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LOS NÚMEROS ENTEROS
¿QUÉ ES UN
NÚMERO
ENTERO?
VALOR
ABSOLUTO
ORDENACIÓN
DE NÚMEROS
ENTEROS
EL OPUESTO
DE UN
NÚMERO
ENTERO
OPERACIONES
CON ENTEROS
•
•
•
•
•
Suma
Resta
Multiplicación
División
Potencia
JERARQUÍA
RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS
Colegio Vizcaya
Los números enteros - 49
1. Expresa el número entero que corresponde a cada una de estas situaciones:
a) La profundidad a la que está un buceador es de 20 metros. __________
b) La temperatura en Oslo es de 12 ºC bajo cero. __________
c) Yo vivo en la planta 12 de un edificio. __________
d) Mi garaje está en el segundo sótano. __________
e) Tengo una deuda de 250 €. __________
Los números enteros
Los números enteros están formados por los números naturales (positivos), los números negativos
y el cero.
Se representan sobre una recta de la siguiente manera:
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
?
2. Ordena de menor a mayor los números enteros: -3, +8, -7, 0, 6, -1.
3. Escribe en orden de menor a mayor todos los números comprendidos entre…
a) -1 y +3
b) -7 y -4
c) -2 y 5
d) 6 y -6
Los números enteros - 50
Colegio Vizcaya
Valor absoluto de un número entero
El valor absoluto de un número es el número de unidades que lo separan del cero.
Por tanto, este valor es siempre positivo y se representa entre barras.
Ejemplo: + 4 = 4
Æ
El valor absoluto de +4 es 4.
Se lee
−4 =4
Æ
El valor absoluto de -4 es 4.
La distancia es 4
-5
-4
-3
-2
La distancia es 4
-1
0
1
2
3
5
4
Ordenación de números enteros
Entre dos números enteros positivos es mayor el que tiene mayor valor absoluto.
Entre dos números enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto.
?
4. Calcula el valor absoluto de los siguientes números:
a)
−5 =
c)
0=
b)
32 =
d)
−120 =
e)
+ 328 =
5. Ordena de menor a mayor los siguientes números y represéntalos sobre la recta numérica:
-7 +4 -2 +2 0 -5 +6 -3
6. ¿Cuántos números enteros hay entre:
a)
b)
c)
d)
-6 < … < -2
-1 < … < +1
0<…<5
-5 < … < 0
7. Escribe el signo < o > según corresponda:
a)
b)
c)
d)
e)
Colegio Vizcaya
-15 …+5
+4 … -3
-8 … -10
-16 … -3
0 … -2
Los números enteros - 51
El opuesto de un número entero
El opuesto de un número entero es otro número entero con el mismo valor absoluto
pero con distinto signo.
Ejemplo: op (5) = -5
Æ
Se lee
op (-5) = 5
Æ
El opuesto de 5 es -5
El opuesto de -5 es 5
Operaciones con números enteros
¾ Suma:
Para sumar 2 o más números enteros del mismo signo, se suman los valores
absolutos de los sumandos y se deja el mismo signo.
(+ 2) + (+ 3) = +5
(− 2) + (− 3) = −5
Para sumar 2 o más números enteros de distinto signo, se restan los valores
absolutos de los sumandos y se pone el signo del que tenga mayor valor absoluto.
(+ 2) + (− 3) = −1
(− 2) + (+ 3) = +1
?
8. Realiza las siguientes sumas de números enteros:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
(− 8) + (− 13) =
(+ 3) + (− 1) =
(− 3) + (+ 2) =
(+ 10 ) + (− 15) =
(− 20) + (− 2) =
(+ 4) + (− 10) =
(25) + (− 16) =
(15) + (− 28) =
Los números enteros - 52
Colegio Vizcaya
¾ Resta:
Para restar dos números enteros, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo.
Ejemplo:
(− 7 ) − (− 3) = (− 7 ) + (+ 3) = −4
(+ 6) − (+ 4) = (+ 6) + (− 4) = +2
9. Realiza las siguientes sumas y restas de enteros:
(+15) + (-9) =
(+46) – (-50) =
(+234) – (+123) =
(-26) + (+7) =
(-55) – (+43) =
(-36)+ (-12) =
g) (+ 5) − (+ 1) =
a)
b)
c)
d)
e)
f)
h)
i)
j)
k)
l)
(− 2) − (+ 1) =
(+ 3) − (− 2) =
(− 1) − (− 4) =
(− 10 ) − (− 2) =
(− 5) − (15) =
¾ Multiplicación y división:
Para multiplicar o dividir números enteros, se multiplican o dividen los
valores absolutos de estos números y el signo se coloca en función de la
siguiente regla: “Si los signos son iguales el resultado es +, y si son distintos
el resultado es –“.
Regla de los signos
Multiplicación
División
+·+=+
+:+=+
+·– =–
+:–=–
–·+=–
–:+=–
–·–=+
–:–=+
Ejemplos:
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(− 3) ⋅ (− 2) = +5
(+ 2) ⋅ (− 5) = −10
(− 9) : (+ 3) = −3
(+ 18) : (− 2) = +9
Los números enteros - 53
?
10. Recuerda la regla de los signos y calcula estos productos :
a) (+24) · (-5) =
b) ( -212) · (-3) =
c) (+12) · (-4) =
d) (-76) · (+5) =
11. Vamos con números :
a) 34 : (-2) =
b) 99: ____= (-9)
c) 18 : (-9) =
d) (-49) : ___= 7
e) (-325) : (-13) =
f) ____ : (-40) = 8
Recuerda la jerarquía en las operaciones:
a)
b)
c)
d)
6 − (− 5) ⋅ 3 =
14 : (− 2 ) + 9 =
21 : 3 ⋅ (− 2 ) + 7 =
− 2 ⋅ (7 − 4 ) + 9 : [− 1 − 2 ⋅ (− 1)] =
Recuerda:
1º Los paréntesis y los corchetes.
2º Los productos y las divisiones. (Respetando el orden de aparición)
3º Las sumas y restas. (Respetando el orden de aparición)
12. Calcula:
a) 14 − (− 8 + 10 ) =
b) − 3 ⋅ (− 9 + 4 ) =
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
2 + (− 3) ⋅ [3 − 4] =
(5 + 3) : 2 − (7 − 4) : 3 =
21 − 5 ⋅ (− 2 ) + 8 ⋅ (− 3) =
12 ⋅ (− 5) + 9 ⋅ (− 4 ) =
8 − [7 + 2 ⋅ (− 3) − (− 9 ) : 3] =
125 : [12 − 7 ⋅ 6 − 30 ⋅ (− 2 ) − 5] =
29 − 5 ⋅ [18 − 8 ⋅ 5] =
8 − 6 ⋅ (− 3) + 5 − [13 − 4 ⋅ (− 2 )] =
Los números enteros - 54
Colegio Vizcaya
Potencias con números enteros:
Completa el signo:
a)
b)
c)
d)
(− 2)3 = (− 2) ⋅ (− 2) ⋅ (− 2) = __ 8
(− 2)4 = (− 2) ⋅ (− 2) ⋅ (− 2) ⋅ (− 2) = __ 16
(− 3)2 = (− 3) ⋅ (− 3) = __ 9
(− 3)3 = (− 3) ⋅ (− 3) ⋅ (− 3) = __ 27
¿Qué conclusiones obtienes? ¿Puedes dar alguna regla?
__________________________________________________________________________
?
13. Calcula:
a)
b)
c)
d)
(− 5)3 =
(− 10)4 =
(− 6)2 =
(− 7 )3 =
14. Expresa en forma de una única potencia:
a) 8 ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ 8 =
b) (− 7 ) ⋅ (− 7 ) =
c)
d)
(− 2) ⋅ (− 2) ⋅ (− 2) ⋅ (− 2) ⋅ (− 2) =
(− 10) ⋅ (− 10) ⋅ (− 10) ⋅ (− 10 ) ⋅ (− 10) ⋅ (− 10) =
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Los números enteros - 55
?
1. Practica:
a) ¿Cuáles de estos números no son enteros?
(-1’7), 2/3, 6/2, 0, (-12), 1032, 102, 6
b) ¿Cuál es el opuesto de cada uno de estos números?
(-7), (+2), 0, 205
c) El opuesto del opuesto de 5, ¿qué número es?
d) ¿Qué número es –(-3)?
e) Halla el valor absoluto de estos números:
0, (-5), (+6), (-6)
f) Halla todos los números cuyo valor absoluto sea:
3, 9, 2, 0
2. Busca los números enteros siguientes:
a)
b)
c)
d)
El número entero que es tres unidades menor que (-2)
Dos números enteros comprendidos entre (-6) y (-1)
El número entero que es cinco unidades mayor que (-3).
Dos números enteros que sean, al menos, seis unidades menores que (-14)
3. Representa sobre la recta numérica y ordena de menor a mayor los siguientes números enteros:
-7, 4, -8, 0, 1, -2, 2
4. Realiza las siguientes sumas y restas de enteros:
a) (+5) + (-13) =
b) (+26) – (-40) =
c) (+34) – (+54) =
d) (-46) + (+67) =
e) (-50) – (+21) =
f) (-12)+ (-12) =
5. Completa los recuadros con un número entero para que sean correctas las operaciones:
a) (+6) + ___ = -8
b) ____ + (-2) = +8
c) (-7) + (-5) =____
d) (-12) + ____= +4
6. En un día de invierno la temperatura en la calle es de 4º C bajo cero; pero al entrar en el cine, la temperatura es
de 22º C.
¿Qué aumento de temperatura experimenta cuando entras en el cine?_________________________________
¿Cuánto baja la temperatura al salir del cine?____________________________________________________
7. Inténtalo tú:
a) (-176) + (+234) - (-12) =
b) (-136) + (-56) + (-345) =
c) ( -123) + 89 + (-39) =
d) 340 + (-234) + (-65) =
Los números enteros - 56
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8. Recuerda la regla de los signos y calcula estos productos:
a) (+11) · (-5) =
b) ( -12) · (-3) =
c) (+25) · (-4) =
d) (-45) · (+5) =
9. Completa estas tablas:
×
(+15)
(-1)
×
(-2)
(-9)
(-10)
(-7)
(+2)
(+4)
(+12)
(-7)
(-2)
(+14)
(+60)
10. Cuestión de signos:
+ : + =_____
- : + =____
+ : - =______
- : - =_____
11. Vamos con números :
a) 24 : (-2) =
b) 88: ____= (-8)
c) 27 : (-9) =
d) (-49) : ___= 7
e) (-169) : (-13) =
f) ____ : (-4) = 8
12. En estas igualdades faltan números. Descúbrelos:
a) (+390) · ( ___) = (-31590)
b) (-2303): (____) = (-49)
c) (_____) : (-21) = (+33)
d) (-39) · (____)· (-15) = ( -3150)
e) (-28) · 609: (-21) = _____
f) (-25) ·(____) + 123 = 748
13. Realiza las siguientes operaciones:
a)
b)
c)
d)
e)
( 36 : (–4) – 3 · 2) : (–2 –4 + 1) =
15 : 5 – 6 : 3 + 49 : 7 – 22 : 2 =
( 18 : 3 + 8 : 2 – 5 · 2 ) · ( 4 + 5 – 3) =
(64 : 8 – 25 : 5 ) · 2 – ( 16 : 4 + 27 : 9 ) : 7 =
( 5+ 3 ) : 2 – (7 – 4) : 3 =
14. A lo largo de un día de febrero, la temperatura que ha hecho en una ciudad ha sufrido los cambios siguientes:
A las 8 h. era de -4º C. De las 8 a las 12 h. subió 9º C. Entre las 12 y las 15 horas subió 3º C. De las 15 h a las
18 h bajo 5º C. De las 18 a las 21 h bajó 2º C.
Completa la tabla con los valores de la temperatura que hizo.
8h
12 h.
15 h.
18 h.
21 h.
Temperatura
( º C.)
15. Recordamos la jerarquía de las operaciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Colegio Vizcaya
22– (–3) ·4+5–7+4· (–3) =
–2 (7–4)+9:( –1–2· (–1)) =
6. (–4–2+5·6) – (–7+(–2) ·9) :5 =
4–7· (–2)+8: (10–2 · 4) =
– (8 – 6 · (–3) + 5 – (13 – 4 · (–2) : 7) =
(–5 + 7 · ( 8 –2· 3) – (–12) : (–4) ) : (-6) =
Los números enteros - 57
16. Contesta a las siguientes cuestiones:
a) El producto de un número por su opuesto es -196. ¿Qué números son?
______________________________
b) La suma de dos números negativos consecutivos es -15. ¿Cuáles son esos números?
_____________________________
c) El producto de dos números negativos consecutivos es 72. ¿De qué números se trata?
_____________________________
d) Escribe cuatro maneras diferentes de conseguir que la suma de dos números enteros sea -6.
____________________
_____________________
_____________________
_____________________
e) Cuatro maneras diferentes de conseguir que el producto de dos números enteros sea -24.
_____________________
______________________
_____________________
______________________
f) Cuatro maneras diferentes de conseguir que el cociente de la división exacta entre dos números
enteros sea -8.
______________________
______________________
______________________
______________________
17. Tres amigos participan en un concurso en el que suman 30 ptos. por cada respuesta acertada y -10 ptos. por
cada error. Calcula cuántos puntos ha obtenido cada uno:
a) Jon ha acertado 16 preguntas y ha fallado 4._______________________________________________
b) Ana ha acertado 10 preguntas y ha fallado 10._____________________________________________
c) Alejandra ha acertado 18 preguntas y ha fallado 2._________________________________________
18. Aristóteles, uno de los filósofos más influyentes de todos los tiempos, vivió entre los años 106 y 43 a.C. ¿A
qué edad murió? ¿Cuántos años hace de eso?
19. ¿En qué año nos situamos medio siglo antes del año 15 de nuestra era?
20. En las vidas de Cicerón y Séneca encontramos numerosos rasgos comunes. Ambos eran ciudadanos de Roma,
cultos, buenos oradores y metidos en política, lo que a ambos les costó la vida. Sin embargo, vivieron en
distinta época:
• Cicerón nació en el año 106 a.C. y vivió 63 años.
• Séneca nació 47 años después de la muerte de Cicerón y vivió 61 años.
¿En qué año murió Séneca?
Los números enteros - 58
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21. Calcula:
a)
(+ 2) + (+ 3) + (+ 1) + (+ 4) =
b)
(+ 3) + (− 1) + (− 3) + (+ 2) =
c)
(+ 10) + (− 15) + (− 20) + (− 2) =
d)
(+ 4) + (− 10 ) + (25) + (− 16) =
e)
(+ 5) − (+ 1) − (− 2) − (+ 1) =
f)
(+ 3) − (− 2) − (− 1) − (− 4) =
g)
(− 10) − (− 2) − (− 5) − (15) =
h)
[18 + (− 4)] − (− 15 + 9) =
i)
96 + [(25 : 5) : (2 + 3)] =
j)
5 ⋅ 4 ⋅ (1 − 2 ) ⋅ (62 − 2 ⋅ 30 ) =
k)
[− 7 − (+ 13)] ⋅ (− 3 + 6) =
l)
(+ 3) ⋅ (− 4) − (+ 5) ⋅ (− 2) =
Recuerda que los
números enteros
positivos son
naturales, y por eso
pueden aparecer
escritos sin signo.
m) (− 16 ) : (+ 2 ) + (+ 54 ) : (− 9 ) =
n)
[(− 5) ⋅ (+ 3) + (− 7 ) ⋅ (− 3)] : (4 + 5 − 7 ) =
o) 15 : 5 − 6 : 3 + 49 : 7 − 22 : 2 =
p)
[36 : (− 4) − 3 ⋅ 2] : (− 2 − 4 + 1) =
q)
[18 : 3 + 8 : 2 − 5 ⋅ 2] ⋅ (4 + 5 − 3) =
r)
6 + [7 − 5 − (− 2 ) + (− 4 )] =
s)
[64 : 8 − 25 : 5] ⋅ 2 − [16 : 4 + 27 : 9] : 7 =
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Los números enteros - 59
22. Calcula:
a)
b)
c)
d)
(− 2)5 =
(− 1)36 =
(− 3)4 =
(− 10)5 =
e)
f)
g)
h)
(− 3)3 =
(− 25)0 =
(− 5)3 =
(− 10)4 =
i)
j)
(− 6)2 =
(− 7 )3 =
Recuerda:
Æ Las potencias de base negativa y exponente
par son positivas.
Æ Y las potencias de base negativa y
exponente impar son negativas.
23. Expresa en forma de una única potencia:
a) 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 =
b) (− 9 ) ⋅ (− 9 ) =
c)
d)
(− 3) ⋅ (− 3) ⋅ (− 3) ⋅ (− 3) ⋅ (− 3) =
(− 10) ⋅ (− 10) ⋅ (− 10) ⋅ (− 10) =
24. Calcula:
a)
b)
(− 3)2 + (− 2)3 =
(− 5)3 − (− 10)2 =
c)
d)
(− 9)2 + (− 1)5 =
(− 2)5 − (− 3)2 =
25. Escribe el término que falta:
a)
( )3 = −27
b)
□
(- 7) = 49
c)
□
d) (- 24) = 1
e)
( )3 = 64
( )5 = −32
26. Expresa en forma de una única potencia:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
(− 2)4 ⋅ (− 2) =
(− 5)3 ⋅ (− 5)2 =
(− 3)3 ⋅ (− 3)2 ⋅ (− 3) =
(− 7 )4 ⋅ (− 7 ) ⋅ (− 7 )2 =
(− 3)5 : (− 3)2 =
(− 5)4 : (− 5)4 =
(− 15)4 : (− 15)3 =
h)
i)
j)
k)
l)
(− 5)4 : 25 =
[(− 3)3 ]2 =
[(− 2)3 ]5 =
[(− 2) ⋅ (− 3) ⋅ (− 1)]3 =
[(− 15) : 3]3 =
Recuerda:
Los números enteros - 60
•
Multiplicación: (− 2 )3 ⋅ (− 2 )5 = (− 2)8 = 2 8
•
División: (− 2 )7 : (− 2)4 = (− 2)3 = −2 3
•
Potencia de una potencia: (− 2)2
[
]
3
= (− 2 )6 = 2 6
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27. Completa:
+(+1)
+(-3)
+4
+( )
+(-2)
-1
+( )
+(+6)
+1
-( )
-(+1)
-(-3)
-( )
-1
-(-3)
-( )
-(+5)
+(+5)
+(-4)
+(-2)
+2
+5
-(+3)
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-( )
Los números enteros - 61
Vocabulario
Número entero: Los números enteros están formados por los números naturales (positivos), los números
negativos y el cero.
Valor Absoluto: El valor absoluto de un número es el número de unidades que lo separan del cero. Por tanto,
este valor es siempre positivo y se representa entre barras.
Opuesto de un número: El opuesto de un número entero es otro número entero con el mismo valor absoluto
pero con distinto signo.
Los números enteros - 62
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