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Semana 8
Semana 8
Multiplicación
y división de
fracciones
Multiplicación
y división
de fracciones
La semana pasada trabajamos con la adición y sustracción de fracciones y, como
habrás podido aprender, existe una variedad de problemas que pueden ser resueltos usando estas operaciones. No obstante, en la vida cotidiana podemos encontrarnos con otros problemas que requieren de otras operaciones para resolverlos, como
la multiplicación y división de fracciones, que precisamente estudiaremos en esta
semana.
Para este tema es necesario que recuerdes la multiplicación de números enteros,
que has estudiado en semanas anteriores. Además de esto, debes repasar cómo graficar las fracciones en un gráfico continuo.
Responde cada una de las siguientes preguntas individualmente y luego discútelas
con tus compañeros en el CCA.
1. Si la cuarta parte de lo que se recomienda tomar diariamente de una vitamina es
2 onzas, ¿cuánto se debe tomar diariamente de esa vitamina?
2. La mitad de la mitad de una patilla, ¿qué fracción de la patilla representa?
3. María salió a trotar el lunes por la mañana, y recorrió 8 km, si cada día de esa
semana recorre tres medios del camino recorrido el día anterior, ¿cuántos
kilómetros recorrerá el jueves?
4. Si un carro avanza a 100 km/h, ¿cuánto avanzará en tres quintos de hora? ¿y en
un cuarto de hora?
5. ¿Qué fracción de una manzana es la tercera parte de su mitad?
Multiplicación de fracciones
Digamos que en una bolsa se tienen 30 caramelos. Si deseamos saber cuál es la mitad de los caramelos que hay, simplemente dividimos 30 entre 2 y obtenemos la respuesta: 15. Ahora bien, ¿de dónde sale esto? Esta respuesta se obtiene de la siguiente
manera:
1
Multiplicamos 2 (que representa la mitad de los caramelos) por el número de cara1
melos (30), lo cual escribimos como 2 x 30. Para resolver este producto, multiplicamos el numerador de la fracción (1) por el número entero (30) y el denominador de la
fracción queda como denominador de la respuesta final. Luego, cuando sea posible,
se simplifica el resultado. En nuestro caso, tenemos:
198
1
1x30 30
x 30 =
=
, como esta fracción se puede simplificar,
2
2
2
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Multiplicación y división de fracciones
entonces resulta que
30
= 15
2
No necesariamente este producto debe dar un número entero. Si en lugar de haber
30 caramelos, hubiesen 27, entonces diríamos que la mitad de los caramelos en la
bolsa es veintisiete medios: 27
. En conclusión, tenemos que, para encontrar la mitad
2
de un número entero, debemos multiplicar un medio por este número. Esto también
se cumple cuando, en vez de un número entero, se tiene una fracción.
Es decir, para encontrar la mitad de dos quintos, multiplicamos un medio por dos
quintos, esto es, 12 x 25 . Este producto da como resultado una nueva fracción, que
tiene como numerador el producto de multiplicar el numerador de la primera fracción
con el numerador de la segunda fracción, y como denominador el producto de los
denominadores de las dos fracciones, es decir,
1
2
x
2
1x2
2
1
=
=
=
5
2x5
10
5
El producto de dos fracciones da como resultado una nueva
fracción, que tiene como numerador el producto de los numeradores y como denominador el producto de los denominadores. Esto es,
a
c
ac
x
=
b
d
bd
donde a, b, c, d son números naturales.
Veamos cómo aplicar esta definición en problemas cotidianos:
María va a la fiesta de su mejor amiga Martha. Ésta da la cuarta parte de la torta a
María. Cuando María llega a su casa, se encuentra con sus dos hermanos y decide
repartir un tercio de su pedazo a cada uno. ¿Qué porción de la torta de Martha ha
recibido cada hermano?
1
María ha llevado a su casa 4 de la torta de Martha, como repartió un tercio de su pe1
dazo a cada hermano, y su pedazo era 4 de la torta de Martha, significa que repartió
a cada hermano 13 de un 14 de la torta de Martha. Matemáticamente, esto representa
el producto de las fracciones, es decir, 1 x 1
3
4
Este producto lo resolvemos aplicando la definición precedente. Luego,
Por lo tanto, cada hermano recibió
1
12
1
3
x
1
4
1
= 12
de la torta de Martha.
Observa que para los hermanos de María el todo es el cuarto de torta, mientras que
para María el todo es la torta de Martha. Por esta razón, es importante que se indique
siempre, al lado de la fracción, lo que se esté tomando como unidad.
Veamos cómo se puede representar esta situación gráficamente.
199
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Multiplicación y división de fracciones
Debemos seguir varios pasos:
1. Graficamos la unidad, es decir, el todo, que para nuestro caso, es la torta de
Martha, que por facilidad la representaremos con una barra y no con un círculo,
como sería lo más lógico.
2. Como queremos graficar
de
1
4
de la torta, primero ubicamos
1
4
en la gráfica.
¼
1
3
3. Ahora, ubicamos
1
3
de
en la parte que representa
/3
de
1
4
representa justamente
1
Observa que
1
3
1
4
de la torta.
/4
1
1
12
de la unidad completa, la torta.
División de fracciones
Imaginemos que tenemos una barra de chocolate y la dividimos en cinco partes
1
iguales, cada parte representaría 5 de la barra de chocolate. Si ahora dividimos esta
porción en dos partes, ¿qué porción de la barra completa tendríamos?
1
Este problema nos sugiere dividir 5 de la barra de chocolate entre dos, lo cual escri1
bimos matemáticamente como 5 ÷ 2. Veamos cómo podemos resolver gráficamente
este problema:
Si representamos con un diagrama continuo la barra de chocolate y representamos
1
sobre éste 5 , tenemos,
/5
1
Ahora, dividimos
200
1
5
de la porción en dos partes iguales y resulta:
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Multiplicación y división de fracciones
Todo número entero se puede escribir como una fracción que
tiene denominador uno. Por ejemplo: 2 = 2 , 5 = 5
1
1
1
Observa que la porción de color amarillo, representa 10 de la barra completa, lo cual
nos lleva a concluir que 1 ÷2 = 1 . Esto, los podemos escribir como 1 ÷ 2 = 1 .
5
10
5
1
10
Lo cual nos lleva a inferir la siguiente proposición:
La división de dos fracciones da como resultado una nueva
fracción, que tiene como numerador el producto del numerador de la primera fracción con el denominador de la segunda
fracción, y tiene como denominador el producto del denominador de la primera fracción con el numerador de la segunda
fracción.
a
c
ac
Esto es, ÷
=
b
d
bd
donde a,b,c,d son números enteros.
Fíjate que para dividir dos fracciones, simplemente multiplicamos en cruz, por ejemplo 32 ÷ 54 = 32 .. 45 = 12
10
3
5
3.4
12
· =
=
O bien, podemos ver esta división como el producto de las fracciones y
2 4 2 . 5 10
4
5
decimos que la fracción
es la inversa de la fracción
. Es decir, tres medios entre
5
4
cinco cuartos es lo mismo que decir tres medios de cuatro quintos.
1. El señor Carlos compró un tubo de 25 metros para hacer una enramada en su
casa, y cortó tres pedazos de 16
m cada uno. ¿Cuántos metros le quedaron?
3
2. María compró un televisor en 2000 Bs.F. y en una semana lo vendió por
valor. ¿Hubo alguna ganancia en la venta?, ¿cuánto ganó?
5
3
de su
3. La edad de Juan es un quinto de los cinco tercios de la edad de Marcos. Si marcos
tiene 48 años, ¿qué edad tiene Juan?
4. Un auto gasta 16 del tanque de gasolina para recorrer 50 km. Si el auto recorre
30 kilómetros, ¿qué porción del tanque de gasolina gastó?
5. Pedro usa tres quintos de su tierra para sembrar y emplea la tercera parte de los
tres quintos para sembrar maíz. ¿Qué fracción de la tierra usó para el maíz?
6.Resuelve las siguientes operaciones y expresa tu repuesta en fracciones
irreducibles:
16
3
3
8
5
3
7
4
a)
x b)
x c)
x d)
x
3
2
9
4
3
11
3
5
e) 6
5
÷
3
5
f) 7
5
8
÷
9
1
g) 5
1
÷
5
h)
3
4
÷
4
5
201