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TEXTO PARA EL ESTUDIANTE Maritza Moroni Gálvez Jacqueline Rubilar Mora Matemática Texto para el Estudiante o 4 Básico Autoras Maritza Moroni Gálvez Profesora de Educación General Básica, Universidad de Playa Ancha Psicopedagoga, Universidad Mayor Jacqueline Rubilar Mora Profesora de Educación General Básica, Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educación Mención en Educación Matemática, Universidad Mayor Matemática 4° Básico Texto para el Estudiante Autoras Maritza Moroni Gálvez Jacqueline Rubilar Mora Edición Daniel Catalán Navarrete Asistencia editorial Deysma Coll Herrera Coordinación de producción Cynthia Díaz Godoy Diseño Equipo editorial Diagramación Francisca Urzúa Provoste Ilustraciones Fernando Urcullo Muñoz Corrección de estilo Álex Ortega Toledo No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, tal sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otro método sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright. © McGRAW-HILL/INTERAMERICANA DE CHILE LTDA. para esta edición. Evaristo Lillo 112, piso 7°, Las Condes. Santiago de Chile Teléfono 56-2-6613000 ISBN: 978-956-278-226-5 N° de inscripción: 186.524 Impreso en Chile por: WorldColor Chile Se terminó de imprimir esta 1ª Edición de la 1ª Reimpresión de 114.214 ejemplares, en el mes de noviembre de 2010. Bienvenida Para iniciar el recorrido que te propone este texto te invitamos a completar el siguiente cuadrado mágico. Debes incorporar números de manera que las filas, las columnas y las diagonales sumen 34: 16 3 5 9 11 8 6 12 15 1 A continuación, completa con tus datos personales: Mi nombre es Mi curso es el 4o Estudio en de la comuna de Nací el Tengo de la ciudad de de del año años y meses Vivo en Bienvenida 3 Conociendo mi libro En este libro hallarás: Entrada a la unidad Dos páginas donde encontrarás una situación inicial que motivará tu trabajo y que te permitirá acercar las matemáticas a tu experiencia cotidiana. Rescato mis conocimientos Dos páginas que te plantean actividades matemáticas para medir qué tanto recuerdas de lo que aprendiste el año pasado. Desarrollo mis aprendizajes Páginas de contenido que te irán aportando nuevos conocimientos y habilidades para desarrollar tu espíritu matemático. Profundizando… Dos páginas en las que podrás encontrar algunos de los temas más complicados vistos en la unidad y también ejercicios para que practiques las estrategias propuestas en ellas. 4 Conociendo mi libro Resuelvo problemas Una de las páginas te ofrece un método sencillo para resolver problemas y la otra te propone un problema para que apliques el método. Evalúo qué aprendí Una de las páginas contiene una actividad que te permitirá resumir los temas vistos en la unidad y la otra te da la oportunidad de demostrar que has comprendido las lecciones planteándote ejercicios de aplicación. Junto a los contenidos hallarás: Desafío al ingenio ¿Sabías que...? Recuerda Te propone divertidos ejercicios. Te entrega información complementaria. Refresca tu memoria. Mide cuánto vas aprendiendo. Te indica cómo resolver operaciones con calculadora. Conociendo mi libro 5 Índice Unidad 1 Operaciones con números hasta 1 000 000 Entrada a la unidad..................... 8 y 9 Rescato mis conocimientos......10 y 11 Desarrollo mis aprendizajes Escritura de números y secuencias.............................12 y 13 Números en la recta numérica...............................14 y 15 Valor posicional y redondeo.....16 y 17 Estrategias de adición..............18 y 19 Estrategias de sustracción....... 20 y 21 La multiplicación y sus propiedades......................... 22 y 23 Estrategias de multiplicación... 24 y 25 La división.............................. 26 y 27 Profundizando…..................... 28 y 29 Resuelvo problemas................ 30 y 31 Evalúo qué aprendí Síntesis de la unidad....................... 32 Evaluación...................................... 33 Unidad 2 Utilización de números hasta 1 000 000 Entrada a la unidad................. 34 y 35 Rescato mis conocimientos..... 36 y 37 Desarrollo mis aprendizajes Información numérica y secuencias............................ 38 y 39 Números y recta numérica...... 40 y 41 Equivalencias monetarias y redondeo............................. 42 y 43 Otras estrategias de adición.... 44 y 45 6 Índice Otras estrategias de sustracción........................... 46 y 47 Más propiedades de la multiplicación....................... 48 y 49 Relación entre la multiplicación y la división.......................... 50 y 51 Operaciones combinadas........ 52 y 53 Profundizando…..................... 54 y 55 Resuelvo problemas................ 56 y 57 Evalúo qué aprendí Síntesis de la unidad....................... 58 Evaluación...................................... 59 Unidad 3 Geometría Entrada a la unidad................. 60 y 61 Rescato mis conocimientos..... 62 y 63 Desarrollo mis aprendizajes Medición de ángulos.............. 64 y 65 Cuerpos geométricos y redes................................. 66 y 67 Representación de cuerpos geométricos......................... 68 y 69 Vistas y redes de cuerpos........ 70 y 71 Superficie de figuras geométricas......................... 72 y 73 Área de cuadrados y rectángulos...........................74 y 75 Area de cuerpos geométricos.. 76 y 77 Profundizando…..................... 78 y 79 Resuelvo problemas................ 80 y 81 Evalúo qué aprendí Síntesis de la unidad....................... 82 Evaluación...................................... 83 Unidad 4 Las fracciones Entrada a la unidad................. 84 y 85 Rescato mis conocimientos..... 86 y 87 Desarrollo mis aprendizajes Partes de un todo................... 88 y 89 Significado, lectura y escritura de 1 1 y ............................... 90 y 91 2 3 Significado, lectura y escritura de 1 1 y ............................... 92 y 93 4 8 Significado, lectura y escritura de 3 2 y ............................... 94 y 95 4 3 Significado, lectura y escritura de 1 1 y ....................... 96 y 97 10 100 Más fracciones........................ 98 y 99 Recta numérica y orden.......100 y 101 Uso de fracciones................. 102 y 103 Profundizando…..................104 y 105 Resuelvo problemas.............106 y 107 Evalúo qué aprendí Síntesis de la unidad..................... 108 Evaluación.................................... 109 Unidad 5 Los números decimales Entrada a la unidad...............110 y 111 Rescato mis conocimientos...112 y 113 Desarrollo mis aprendizajes Decimales y su significado... 114 y 115 Decimales y fracciones decimales...........................116 y 117 Igualdades y expresión decimal de una fracción.... 118 y 119 Números decimales en la recta numérica.................. 120 y 121 Comparación de números decimales..........................122 y 123 Uso de los números decimales.......................... 124 y 125 Profundizando….................. 126 y 127 Resuelvo problemas.............128 y 129 Evalúo qué aprendí Síntesis de la unidad..................... 130 Evaluación.................................... 131 Unidad 6 Organizando información Entrada a la unidad.............. 132 y 133 Rescato mis conocimientos.. 134 y 135 Desarrollo mis aprendizajes Datos ordenados.................. 136 y 137 Ordenando información...... 138 y 139 Lectura de gráficos de barras........................... 140 y 141 Representación gráfica de información....................... 142 y 143 Uso de tablas y gráficos.......144 y 145 Profundizando….................. 146 y 147 Resuelvo problemas.............148 y 149 Evalúo qué aprendí Síntesis de la unidad..................... 150 Evaluación.................................... 151 Recortables.................................... 152 Índice 7 1 Operaciones con números hasta 1 000 000 En esta unidad aprenderás a: ££Leer y escribir números hasta 1 000 000 y establecer relaciones de orden. ££Reconocer el valor posicional de un dígito en un número. ££Operar números aplicando estrategias de cálculo mental y escrito. ££Identificar y aplicar las propiedades de las operaciones aritméticas. ££Estimar el resultado de operaciones a partir del redondeo de números. 8 Observa y responde: ¿Crees que los animales están recibiendo una adecuada atención? Ordena los números que aparecen en la ilustración de menor a mayor. i al perrito le van a atender una herida menor y al gatito lo van a despaS rasitar, ¿cuánto tendrán que pagar los niños? ¿Tienes mascotas? ¿Cuál es tu favorita? 9 Rescato mis conocimientos Números mágicos Mientras el veterinario examinaba las mascotas, los niños encontraron en el mesón un libro que les llamó la atención. Al hojearlo, descubrieron una entretenida actividad, que no pudieron realizar. Veamos si tú eres capaz... Instrucciones: ,, Recorta las tarjetas numeradas de la página 153. ,, Sobre tu escritorio, combínalas en filas de tres formando un cuadrado, de manera que al sumarlas en forma vertical, horizontal y diagonal sumen siempre 150 000. ,, Como ya lo lograste, ahora ubícalas y pégalas a continuación en los casilleros correspondientes: 10 Unidad 1 Desarrolla las siguientes actividades a partir del juego Números mágicos: 1 Escribe con palabras los números de la primera columna: Ordena de mayor a menor los números de las tarjetas: Escribe los números del juego en la siguiente tabla. Completa con el antecesor y el sucesor según corresponda: Antecesor Número Sucesor ¿ Cuál es la diferencia entre la suma de las tres columnas menos la suma de la primera fila? Escríbela como número y con palabras. Número: Con palabras: ¿A cuántas centenas equivale el número central de tu juego? Equivale a centenas. ¿A cuántas decenas equivale el número del extremo superior derecho de tu juego? Equivale a decenas. Operaciones con números hasta 1 000 000 11 Desarrollo mis aprendizajes 1 Escritura de números y secuencias En la clínica veterinaria cuentan con un catálogo de animales exóticos que se encuentran a la venta: $ 383 000 $ 135 500 $ 750 000 $ 550 500 1.Responde: Desafío al ingenio Un ve te rin ar io de bi ó atender tucanes y perros. Si entre ambas especies sumaban 12 patas y 10 ojos, ¿cuántos tucanes y cuántos perros eran? a)¿Cuál es el animal más caro? ¿Y el más barato? y b)¿Cuál es la diferencia de precio entre el animal más caro y el más barato? c)Si quisieras comprar un tucán y un perro, ¿cuánto dinero necesitarías? 2.Escribe con palabras los precios de los siguientes animales del catálogo: Animal ¿Sabías que...? El ábaco es un ins trumento que consiste en cierto número de cuentas colocadas en varillas. Se utiliza para calcular y es considerada la más antigua de las herramientas de cálculo. 12 Unidad 1 Precio escrito con palabras 1 3.Completa las siguientes secuencias numéricas de acuerdo a la clave dada: a)La clave es sumar 100 000. 250 000 450 000 750 000 b)La clave es sumar 10 000. 680 000 690 000 c)La clave es sumar 1 000. 978 000 979 000 d)La clave es sumar 100. 174 300 174 600 e)La clave es sumar 10. 865 350 Para generar una secuencia aditiva con la calculadora, anotas el primer término de la secuencia y vas sumando la clave o patrón numérico. Por ejemplo: 10 = 25 15 10 = 35 25 10 = 45 35 10 = 55 45 10 = 65 55 Etcétera. 865 390 4.Indica la clave ocupada en las siguientes secuencias: a) 108 367 118 367 128 367 138 367 148 367 Clave: b) 996 578 996 698 . 996 818 996 938 997 058 Clave: c) 204 820 204 920 205 020 . 205 120 205 220 Clave: . En una secuencia numérica aditiva la clave o patrón indica la cantidad que se debe agregar a un término para obtener el siguiente. ¿Qué número va a la derecha en la siguiente secuencia? 12 029 12 037 ? A. 12 046 B. 12 044 C. 12 045 Operaciones con números hasta 1 000 000 13 Desarrollo mis aprendizajes 2 Números en la recta numérica La clínica veterinaria está habilitada para realizar algunos tipos de cirugías: Listado de cirugías Parto cesárea: $ 80 000 Corte de cola: Cataratas: $ 20 000 Corte de orejas: $ 60 000 Heridas menores: $ 10 000 Esterilización: $ 40 000 $ 50 000 1.Escribe con palabras los precios de: a)Esterilización: b)Parto cesárea: c)Heridas menores: Desafío al ingenio Vi ce nt e ut iliz ó en un a op er ación matemáti ca 6 ve ces el númer o 1 y tre s ve ce s el sig no +, obteniendo como resultado el número 24. ¿Qué combinación de números y signos + utilizó para obtener este resultado? Tr abaja con tu calculadora y anota en tu cuaderno el procedimiento llevado a cabo. d)Corte de cola: e)Cataratas: f)Corte de orejas: 2.Ubica en la recta numérica los precios de las cirugías de menor a mayor. Luego responde: 30 000 70 000 a)¿Cuál es la cirugía de mayor precio? b)¿Para qué cirugía necesitas menos dinero? c)¿Qué cirugías tienen menor precio que un corte de cola? d)¿Qué cirugías tienen mayor precio que un corte de orejas? 14 Unidad 1 1 3.Escribe en la tabla, el antecesor y el sucesor según corresponda: Cirugías Antecesor Precio [$] Sucesor Heridas menores 10 000 Corte de orejas 60 000 Parto cesárea 80 000 Cataratas 20 000 ¿Sabías que...? Corte de cola 40 000 El periodo de gestación de algunos animales es: Ballena: 11 - 12 meses. Caballo: 340 - 345 días. Cerdo: 115 días. Gallina: 21 días. Oveja: 5 meses. Gato: 63 días. Elefante: 22 meses. Pato: 4 semanas. Foca: 11 meses. Perro: 9 semanas. Águila: 7 semanas. Cisne: 5 semanas. Chimpancé: 8,5 meses. El antecesor de un número natural es aquel que se obtiene al restar 1 unidad al número. El sucesor de un número natural es aquel que se obtiene al sumar 1 unidad al número. 4.Completa las rectas numéricas, donde el patrón sea igual en todos los intervalos. Fíjate en el ejemplo: Intervalo 200 400 600 800 400 – 200 = 200 El patrón numérico o clave en este caso es sumar 200. a) 200 1 100 2 000 El patrón numérico o clave es: b) 5 500 7 500 8 500 El patrón numérico o clave es: Operaciones con números hasta 1 000 000 15 Desarrollo mis aprendizajes 3 Valor posicional y redondeo Recuerda conjunto El ganado es el dos por de animales cria a la proel hombre par e, leche ducción de carn y sus derivados. e ganado Entre los tipos d encontramos: toros. Bovino: vacas y Ovino: ovejas. s. Porcino: cerdo s. lo Equino: cabal Caprino: cabras. Observa la siguiente tabla de la producción ganadera de la X Región: Provincia Llanquihue Ganado Bovino 355 043 Ovino 80 374 Porcino 29 598 Equino 8 6 1 1 Caprino 4 692 Chiloé Osorno Palena 105 433 111 498 37 072 5 4 3 1 1 404 507 515 62 584 27 305 10 0 1 9 8 1 7 6 28 346 26 487 3 090 2 004 854 *FUENTE: Atlas Geográfico para la Educación - Edit. IGM 2007 1.Responde: a)¿En qué provincia se produce la mayor cantidad de ganado ovino? b)¿Qué tipo de ganado es el de menor producción en la X Región? c)Escribe el antecesor de la cantidad de ganado porcino, producido en la provincia de Palena. El antecesor de es . 16 Unidad 1 La producción de bovinos en Llanquihue fue de 355 043 ejemplares. Este número lo podemos descomponer de dos formas: ,, Descomposición según valor posicional: Número CM DM UM C D U 355 043 3 5 5 0 4 3 U U U 0 40 3 ,, Descomposición Número 355 043 equivalente a unidades: U U U 300 000 50 000 5 000 2.Escribe la descomposición equivalente a unidades del siguiente número y luego redondéalo a la UM: Número U U U U U U 507 515 Recuerda 1 Redondear es aproximar una cantidad al valor posicional más cercano, de acuerdo a lo solicitado. Por ejemplo: el número 4 218, redondeado a la decena es 4 220, ya que el dígito siguiente a la decena -el 8- es mayor que 5, por lo que el 1 aumenta a 2. El número 8 563 redondeado a la decena, es 8 560; ya que el dígito siguiente a la decena -el 3- es menor que 5, por lo que el 6 mantiene su valor. Número redondeado: 507 515 corresponde a la producción de de la provincia de . 3.Forma los números que corresponden a las descomposiciones y redondéalos a la C: a)0C + 2U + 7D + 3DM + 7UM = Número redondeado: b)4D + 0DM + 8C + 5UM + 9U + 6CM = Número redondeado: La descomposición aditiva de un número se puede realizar según: ,, Valor posicional: 346 823 = 3CM + 4DM + 6UM + 8C + 2D + 3U ,, Equivalencia a unidades: 346 823 = 300 000 + 40 000 + 6 000 + 800 + 20 + 3 La descomposición según el valor posicional del número 114 005 es: A. 10CM + 10DM + 4C + 5U B. 1CM + 1DM + 4UM + 5U C. 11UM + 40D + 5U Operaciones con números hasta 1 000 000 17 Desarrollo mis aprendizajes 4 Estrategias de adición Recuerda Los términos de una adición son: 18 sumando + 3 sumando 21 suma Para comprobar adiciones de números grandes es útil que ocupes una calculadora. Por ejemplo, para sumar en ella 248 154 y 592 678; debes digitar 248 154, presionar la y luego digitar tecla 592 678. El resultado lo obtendrás tras presionar : 840 832. la tecla Un grupo de amigas compró un software educativo relacionado con el reino animal. Cada una de las niñas eligió un grupo de animales y fue respondiendo las preguntas que el programa les planteaba acerca de él. Por cada respuesta correcta las jugadoras iban ganando un puntaje determinado. Amanda eligió las aves, Marcela eligió los mamíferos y Consuelo eligió los reptiles. Tras jugar media hora, los puntajes obtenidos por cada niña son los siguientes: 1.¿Cuál de las niñas obtuvo el mayor puntaje? 2.¿Cuánto suman los puntajes de Amanda y Consuelo? A continuación, vamos a sumar los puntajes obtenidos por Amanda y Consuelo, es decir, 248 154 + 592 678. Lo haremos de dos formas diferentes: ,, Por descomposición de los sumandos: 248 154 200 000 + 40 000 + 8 000 + 100 + 50 + 4 + 592 678 500 000 + 90 000 + 2 000 + 600 + 70 + 8 (700 000 + 130 000) + 10 000 + (700 + 120) + 12 (830 000 + 10 000) + 840 000 + 840 832 18 Unidad 1 (820 832 +12) ,, Por descomposición de uno de los sumandos y cálculo mental: Descomponemos el segundo sumando y sumamos los dígitos del mismo color de ambos términos, manteniendo los ceros: 248 154 + 500 000 + 90 000 + 2 000 + 600 + 70 + 8 ¿Sabías que...? 1 Los antiguos chinos representaban los números con varillas de bambú y la operación que estudiaron con mayor profundidad fue la adición. (700 000 + 130 000) + 10 000 + 700 + 120 + 12 830 000 + 10 000 + (700 + 120) + 12 840 000 + (820 + 12) 840 000 + 832 840 832 3.Resuelve en tu cuaderno las siguientes adiciones, aplicando en cada una, las dos estrategias aprendidas: a) 378 162 b) 621 530 c) 148 403 + 425 793 + 13 1 769 + 592 609 4.Completa: a) 2 + 8 = 10 20 + = 100 200 + 800 = + = + 80 000 = b) 6+8= + 80 = + = 6 000 + = + El resultado de la adición 34 723 + 152 007 es: A. 186 731 B. 186 730 C. 186 830 = Las estrategias de adición se basan en la descomposición de los dos sumandos y en la descomposición de uno de los sumandos. Operaciones con números hasta 1 000 000 19 Desarrollo mis aprendizajes 5 Estrategias de sustracción Recuerda Los términos de una sustracción son: 27 minuendo – 13 sustraendo 14 resta o diferencia Al terminar la visita al zoológico, las niñas pasaron por las oficinas de recaudación, donde el encargado les mostró una pizarra con los ingresos semanales. En ella falta el total. Calcúlalo y escríbelo en la siguiente tabla: Concepto Ingresos martes a domingo Entradas $ 951 500 Souvenir $ 425 382 Comida $ 268 483 Total $ 1.Responde: ¿Sabías que...? trozos de Los incas unían s colores cuerdas de vivo dos. Cada por medio de nu udos era uno de estos n conjunto un número y al o. lo llamaban quip a)¿Qué significa la palabra ingresos? ¿Cuál es su antónimo? b)¿Cuál fue el total de ingresos de la semana? Escríbelo con números y luego con letras. Con números: Con palabras: c)¿Sabes por qué el día lunes no se consideró dentro de la semana? Menciona la razón. Ahora observa y comenta con tus compañeros y compañeras las siguientes estrategias para restar 668 483 – 425 382: ,, Descomposición aditiva del minuendo y del sustraendo: 668 483 b 600 000 + 60 000 + 8 000 + 400 + 80 + 3 – 425 382 b – 400 000 + 20 000 + 5 000 + 300 + 80 + 2 200 000 + 40 000 + 3 000 + 100 + 0 + 1 243 101 20 Unidad 1 ,, Descomposición 1 aditiva del sustraendo: 668 483 – 425 382 = (668 483 – 400 000) – 20 000 – 5 000 – 300 – 80 – 2 = (268 483 – 20 000) – 5 000 – 300 – 80 – 2 = (248 483 – 5 000) – 300 – 80 – 2 = (243 483 – 300) – 80 – 2 = (243 183 – 80) – 2 = 243 103 – 2 = 243 101 2.Responde con tus propias palabras: a)¿En qué consiste la primera descomposición? ¿Cuál es el resultado de 986 441 – 136 431? A. 850 001 B. 850 100 C. 850 010 b)¿En qué consiste la segunda descomposición? c)¿Qué estrategia te parece más sencilla? 3.Completa aplicando la estrategia de descomposición de minuendo y sustraendo: 539 425 b 500 000 + + + + + – 127 210 b – 100 000 + + + + + + + + + + Las estrategias de sustracción se basan en la descomposición aditiva del minuendo y el sustraendo y en la descomposición aditiva del sustraendo. Operaciones con números hasta 1 000 000 21 Desarrollo mis aprendizajes 6 La multiplicación y sus propiedades En la siguiente tabla se observa el registro de nacimiento de crías de algunos ejemplares representativos de una granja de la ciudad de Osorno: ¿Sabías que...? A las crías de las ovejas se les llama cordero hasta el primer año de vida. Años 2005 16 8 5 8 2006 13 10 12 7 2007 14 12 15 9 13 3 corderos cada una 10 6 cerditos cada una 3 10 conejos cada una 2008 10 Cantidad 2 de crías terneros por animal cada una 1.Analiza la tabla anterior y responde de acuerdo a ella: a)¿Cuántos corderos nacieron en el 2007? Nacieron corderos. Recuerda Los tér min os de una multiplicación son: Producto Factor 2 · 4 = 8 Factor b)¿Cuántos cerditos nacieron en los cuatro años? Nacieron cerditos. c)Compara la cantidad de corderos nacidos en el 2006 y la de conejos nacidos en el 2008. 2.Realiza las siguientes multiplicaciones y analiza los resultados obtenidos: a)10 · 3 = y 3 · 10 = b)17 · 4 = y 4 · 17 = Esta propiedad se llama conmutativa y expresa que el orden de los factores no altera el producto. 22 Unidad 1 3.Completa resolviendo las multiplicaciones y luego analiza los resultados: (2 · 3) · 5 = 2 · (3 · 5) ·5=2· = ¿Sabías que...? 1 El primer instru mento de cálculo del ser humano fue su mano. Fí jate que muchas personas aún recurren a ella par a sumas y restas sencilla s. Esta propiedad se llama asociativa y expresa que, al agrupar con paréntesis los factores ya sea por la derecha o por la izquierda, manteniendo su orden, el producto es el mismo. 4.Resuelve cada multiplicación y escribe el nombre de la propiedad aplicada en cada caso: a)125 · = 5 · 125 = Propiedad: b)(80 · 3) · 6 = ·6= Propiedad: · (3 · 6) · = 5.Inventa, escribe y resuelve junto a un compañero o compañera, dos ejercicios donde se apliquen las propiedades estudiadas: a) Propiedad conmutativa ¿Qué propiedad muestra el siguiente ejercicio? (12 · 4) · 2 = (4 · 12) · 2 A. Asociativa B. Elemento neutro C. Conmutativa b) Propiedad asociativa Operaciones con números hasta 1 000 000 23 Desarrollo mis aprendizajes 7 Estrategias de multiplicación Don Carlitos tiene una distribuidora de diarios, revistas y álbumes. En la bodega hay 3 cajas de álbumes embalados, donde cada una tiene 2 312 álbumes; y 2 cajas con 5 421 sobres de láminas cada una. 1.¿Cuántos álbumes hay en total para repartir? Desafío al ingenio Descubre el número: Es un número impar. No tiene el dígito 3. El dígito de la C es 9. Todos sus dígitos son diferentes. La suma de todos sus dígitos es 24. Es mayor que 51 000 y menor que 52 000. El número es: La respuesta a esta pregunta se puede obtener de dos formas distintas. Observa y luego comenta: ,, Por descomposición aditiva de un factor: 2 312 · 3 b (2 000 + 300 + 10 + 2) · 3 b (2 000 · 3) + (300 · 3) + (10 · 3) + (2 · 3) b b ,, Por 6 000 + 900 + 30 + 6 6 936 el método reducido: Hay 2 3 1 2 ·3 6 9 3 6 álbumes. 2.Responde: a)¿Qué diferencia existe entre las dos formas de resolver el ejercicio? b)¿Qué forma de resolución te gustó más? ¿Por qué? 3.Resuelve las siguientes multiplicaciones ocupando el método que prefieras: a)4 326 · 2 24 Unidad 1 b)1 232 · 4 c)245 632 · 5 1 4.¿Cuántos sobres hay en total para repartir en la distribuidora de don Carlitos? a)Por descomposición aditiva de un factor: b)Por método reducido: Al colegio llegaron 5 paquetes de hojas con 5 835 hojas cada uno. En total llegaron: A. 29 175 hojas B. 39 175 hojas C. 19 175 hojas Hay sobres. 5.¿Qué sucedería en caso de ser 30 cajas de álbumes y 20 cajas de sobres con láminas del álbum? Habrían álbumes. Habrían sobres. 6.Escribe junto a un compañero o compañera cuatro números de 5 cifras. Luego, multiplica cada uno de ellos consecutivamente por 2, 3, 4 y 5. Trabaja en tu cuaderno usando el método que prefieras. Operaciones con números hasta 1 000 000 25 Desarrollo mis aprendizajes 8 La división Mónica necesita leer las 84 páginas de un libro en una semana. Si desea leer la misma cantidad cada día, ¿cuántas páginas debe leer diariamente para completar la lectura? Recuerda Los términos de una división son: Dividendo Cociente 12 : 3 = 4 Divisor La situación consiste en un problema de reparto equitativo. Como una semana consta de 7 días, debemos distribuir las 84 páginas en 7 grupos de la misma cantidad de páginas. Observa la siguiente estrategia: Cuando necesites realizar muchos cálculos puedes auxiliarte de una calculadora. Por ejemplo: 7 = 77 84 7 = 70 77 7 = 63 70 7 = 56 63 Etcétera. 84 – 7 = 77 77 – 7 = 70 70 – 7 = 63 63 – 7 = 56 56 – 7 = 49 49 – 7 = 42 42 – 7 = 35 35 – 7 = 28 28 – 7 = 21 21 – 7 = 14 14 – 7 = 7 7 – 7 = 0 Si contamos las veces que fue necesario restar 7 concluiremos que Mónica debe leer 12 páginas por día. La estrategia seguida nos permitió resolver la división: 84 : 7 = 12 1.Si dispusiera de dos semanas en lugar de una para leer el libro, ¿cuántas páginas necesitaría leer diariamente? 2.Si el libro de Mónica tuviera 126 páginas, ¿cuántas debería leer por día para acabar en una semana? 26 Unidad 1 1 3.En un zoológico hay 40 aves exóticas, las cuales deben ser repartidas en jaulas de 5 aves cada una. ¿Cuántas jaulas se necesitan? Para resolver este problema tenemos dos alternativas: ,, Buscar el factor desconocido en la multiplicación: 5· = 40 ¿Qué número multiplicado por 5 da 40? El factor desconocido es Por lo tanto, se necesitan ,, Buscar . ¿Sabías que...? Cuando un número se divide por 1, el resultado es el mismo número: 8:1=8 21 : 1 = 21 jaulas. el cociente de esta división: 40 : 5 = El cociente es . Por lo tanto, se necesitan jaulas. 4.La enfermera de una clínica veterinaria tiene 2 cajas con jeringas. En una caja hay 42 jeringas y en la otra 57 y necesita repartirlas en 9 dispensadores de forma equitativa. ¿Cuántas jeringas debe colocar en cada dispensador? Comprueba tu respuesta. Dos niños fueron al zoológico y decidieron contar las patas de algunos animales. El niño contó 300 patas de animales negros y la niña 204 patas de animales blancos. Si cada animal tenía 4 patas, entre el niño y la niña contaron: A. 24 animales B. 150 animales C. 126 animales Operaciones con números hasta 1 000 000 27 Profundizando… Secuencias Analiza la siguiente secuencia y descubre su patrón numérico: 50 754 60 754 70 754 80 754 90 754 En la secuencia la clave es 10 000 y la operación aplicada es la adición. Sin embargo, no solo se forman secuencias a partir de la adición, también se pueden construir a partir de la sustracción, la multiplicación y la división e incluso usando combinaciones de ellas. Observa la siguiente secuencia: 40 81 163 327 655 En ella el patrón consiste en “multiplicar por 2 y luego sumar 1”. Practica 1.Encuentra la clave y la operación de cada secuencia y complétalas: a) 50 754 50 654 Clave: b) 50 554 Operación: 20 000 40 000 Clave: 80 000 Operación: 2.Crea una sucesión a partir del número que se indica. Utiliza como clave “sumar 8 y multiplicar el resultado por 3”: 1 240 3.Algunas secuencias pueden tener más de un patrón numérico: 2 3 5 9 17 Como ves, la diferencia entre el segundo y el primer término es 1; entre el tercero y el segundo es 2 (el doble de 1); entre el cuarto y el tercero es 4 (el doble de 2); y así sucesivamente. Encuentra otro patrón numérico para esta secuencia y complétala con el término que falta. 28 Unidad 1 1 Equivalencias Observa la siguiente tabla y responde: Número CM DM UM C D U 200 000 2 20 200 2 000 20 000 200 000 900 000 9 90 900 9 000 90 000 900 000 ¿Será lo mismo decir 2CM que 20 000D? Frente a la pregunta planteada, la respuesta es “sí”, porque: 1CM = 100 000U 2CM = 200 000U 1D = 10U 20 000D = 200 000U Entonces 2CM = 20 000D Practica 1.Completa las equivalencias según corresponda: Número D CM U DM 300 000 70 000 800 000 20 000 400 000 50 000 2.Escribe V si la afirmación es verdadera o F si es falsa: a) 50 000 unidades es igual a 25DM por 2. b) 90 000 dividido por 3 equivale a 30C. c) 2CM más 60DM corresponden a 800 000. d) El doble de 20 000 es igual a 40DM. e) 700 000 equivale a 9CM menos 2D. Operaciones con números hasta 1 000 000 29 Resuelvo problemas Problema modelo Los dueños de una granja educativa deben abastecerse de alimento para sus animales. Para esto compraron 40 kg de carne (cada kilogramo cuesta $ 1 853) y 8 cajones de verduras (cada cajón cuesta $ 4 654). ¿Cuánto dinero gastaron por la compra? Comprende: Debes leer el problema, reconocer la información que te entrega y la que se desea conocer. ¿Qué datos aparecen en el problema? Carne 40 kg $ 1 853 el kilogramo Cajón de verduras 8 cajones $ 4 654 cada cajón Planifica: Una vez extraídos los datos debes idear una estrategia para resolver el problema. Para ello puedes plantear las operaciones, trazar esquemas, etc. Multiplicar el número de kilogramos de carne comprados por su precio. Multiplicar el número de cajones de verdura comprados por su precio. Sumar los resultados anteriores. Resuelve: Debes llevar a cabo la estrategia trazada y realizar los cálculos necesarios para obtener el resultado. 40 . 1 853 = 74 120 8 . 4 654 = 37 232 74 120 + 37 232 = 1 1 1 352 Responde: Debes escribir tu respuesta en forma clara. Por la compra de la carne y las verduras gastaron en total $ 1 1 1 352. Comprueba: Lee nuevamente la pregunta y verifica el resultado que obtuviste. Puedes confirmar la adición restando del resultado uno de los sumandos. 1 1 1 352 – 37 232 = 74 120 30 Unidad 1 ó 1 1 1 352 – 74 120 = 37 232 1 Problema para ti Don Luis fue contratado para realizar arreglos en algunas casas. Para adquirir los materiales necesarios fue a una tienda y compró 3 puertas para exteriores (cada una por $ 109 220), 6 puertas para interiores (cada una por $ 85 135), 2 preservantes para maderas (cada uno por $ 45 998) y otros accesorios en los que gastó $ 36 000. ¿Cuánto gastó don Luis en la compra? Comprende: Planifica: Resuelve: Responde: Comprueba: Operaciones con números hasta 1 000 000 31 Evalúo qué aprendí Síntesis de la unidad Números hasta 1 000 000 a través de operaciones basadas en 0 definición de 1 000 2 000 580 000 – 540 000 = 40 000 105 205 305 405 resolví descubrí 70 000 · 5 = 350 000 600 000 : 100 = 6 000 48 000 + 12 000 = 60 000 74 000 – 24 000 = 50 000 60 : 3 = 20 600 : 30 = 20 6000 : 300 = 20 0 1 2 3 4 determiné 40 812 < 40 813 < 40 814 me permitieron Comprender y resolver problemas cotidianos Completa los recuadros de la red con los siguientes conceptos. Guíate por las pistas que están en la parte inferior de cada recuadro: ,, Recta numérica ,, Diferentes estrategias y cálculo mental ,, Antecesor y sucesor 32 Unidad 1 ,, Multiplicaciones y divisiones ,, Secuencias de números ,, Regularidades numéricas ,, Adiciones y sustracciones 1 Evaluación Ordena en forma vertical las siguientes operaciones y luego resuélvelas: a)365 659 + 29 876 = c)593 146 – 362 584 = b)453 006 + 314 894 = d)783 494 – 153 686 = Resuelve en tu cuaderno las siguientes multiplicaciones: a)53 748 · 6 = b)39 640 · 5 = c)45 821 · 9 = Completa con los números que corresponden y anota la propiedad que se aplica: a)523 647 + = 3 520 + = 527 167 Propiedad b)36 · =9· = 324 Propiedad c)(120 · 4) · = 120 · ( · 7) = 3 360 Propiedad Operaciones con números hasta 1 000 000 33 2 Utilización de números hasta 1 000 000 En esta unidad aprenderás a: ££Utilizar números hasta 1 000 000. ££Completar y escribir secuencias numéricas. ££Establecer relaciones de orden y valor posicional. ££Aplicar estrategias de adición y sustracción. ££Utilizar propiedades de la multiplicación. ££Reconocer la división como operación inversa de la multiplicación. ££Resolver operaciones combinadas. 34 Observa y responde: ¿Qué países reconoces por sus banderas? Nómbralos. ¿Cuántas personas asistieron al Estadio Olímpico si se encuentra completo a su máxima capacidad? Escribe esta cantidad con palabras. ¿Qué disciplinas deportivas olímpicas conoces? Nombra seis. 35 Rescato mis conocimientos Carrera con obstáculos A continuación te proponemos participar en una carrera con vallas. ¡Cuidado con caerte! Instrucciones: ,, Trabaja con un compañero o compañera. ,, Elige uno de los 2 deportistas de la lámina. ,, Partiendo con el número de la tarjeta de tu competidor ve realizando las operaciones y saltando los obstáculos. ,, Será el ganador el que resuelva las operaciones matemáticas correctamente en el menor tiempo y llegue primero a la meta. 36 Unidad 2 Desarrolla las siguientes actividades a partir del juego Carrera con obstáculos: 2 Escribe con números y luego con palabras el resultado de las operaciones matemáticas que resolvió el deportista que elegiste en el juego: a) = b) = c) = d) = Representa aproximadamente en la recta numérica los resultados de las operaciones que resolvió el deportista que elegiste en el juego: 4 000 7 000 10 000 13 000 16 000 19 000 22 000 25 000 Ordena los resultados de la actividad 1 de mayor a menor: > > > Completa la tabla con la descomposición aditiva que se te pide: Resultados del deportista elegido DM UM C D U Escribe la equivalencia según corresponda: a)520D = b)25C = c)5 300D = U D C= U d)743 000U = C= D e)950 300U = C= D Utilización de números hasta 1 000 000 37 Desarrollo mis aprendizajes 1 Información numérica y secuencias Los Juegos Olímpicos modernos fueron restablecidos en 1896 y hasta hoy continúan realizándose periódicamente. La cantidad de países, atletas participantes y disciplinas deportivas han sido factores variables en cada uno de ellos. En la siguiente tabla aparecen algunos datos de las últimas ocho olimpiadas celebradas: ¿Sabías que...? límpicos En los Juegos O rados en de 19 08 celeb n Pierre Londres el Baró ndador de Couber tín, fu O límpid e lo s Ju e go s expresó: cos modernos, no es ga"Lo importante ir", frase nar sino compet ada en la que quedó grab orte. historia del dep Atletas participantes 5 217 Ciudad sede País Año Moscú URSS 1980 Los Ángeles EUA 1984 6 797 Seúl Corea del Sur 1988 8 465 Barcelona España 1992 9 364 Atlanta EUA 1996 10 310 Sydney Australia 2000 10 651 Atenas Grecia 2004 10 625 Beijing China 2008 10 500 Total 71 929 1.Considera la tabla anterior y responde: a)¿En cuál de las últimas ocho olimpiadas hubo mayor cantidad de atletas? Escribe el número con palabras: b)Escribe con palabras el número total de atletas participantes en las últimas ocho olimpiadas: c)Ordena de menor a mayor el número de atletas de las últimas cuatro olimpiadas: < < < d)Señala el patrón numérico que relaciona los años de realización de las últimas ocho olimpiadas: El patrón es 38 Unidad 2 . 2 2.Resuelve la operación, escribe el resultado con números y luego con palabras: a)127 + 1 000 = Con palabras b b)1 270 + 10 000 = Con palabras b ¿Sabías que...? c)12 700 + 100 000 = Con palabras b 3.En unas olimpiadas Chile envió deportistas para com- petir en diversas disciplinas. Completa la siguiente secuencia. La última casilla te indicará la cantidad de atletas enviados por nuestro país: 13 23 43 a)¿Cuál es el patrón de la secuencia? b)¿Cuántos deportistas chilenos participaron en las olimpiadas? 4.Completa las secuencias numéricas según la clave: En los Juegos Olímpicos de Beijing 2008, la antorcha olímpica fue encendida oficialmente en la ciudad de Olimpia (Grecia) en marzo del 2008. La antorcha recorrió 22 ciudades en los 5 continentes antes de visitar durante 97 días más de 100 ciudades de China. Este ha sido el recorrido más largo realizado por la antorcha olímpica en la historia y el que más ciudades ha visitado. a)La clave es sumar 1 000. 213 1 213 3 213 b)La clave es sumar 10 000. 461 10 461 50 461 c)La clave es sumar 100 000. 487 253 887 253 5.Inventa tu propia secuencia, indicando la clave: El número ciento cuarenta mil veintisiete corresponde a: A. 104 270 B. 140 027 C. 142 700 La clave o patrón numérico de una secuencia es el número y la operación que relaciona sus términos. Utilización de números hasta 1 000 000 39 Desarrollo mis aprendizajes 2 Números y recta numérica En una villa olímpica las delegaciones de deportistas se alojan y se alimentan. En unas olimpiadas los productos consumidos por algunas delegaciones fueron: Consumo [unidades] Delegación ¿Sabías que...? En los Juegos Olímpicos de Beijing 2008 el medallero lo encabezó China con 51 medallas de oro, seguido por Estados Unidos con 36 y por Rusia con 23. Jugo Pan Fruta México 27 326 1 000 124 632 Italia 45 418 2 000 245 700 China 52 343 5 000 463 851 Suecia 32 895 1 500 101 429 Australia 45 700 3 000 210 005 1.Escribe con palabras el consumo de frutas: = = = = = 2.Representa en la recta el consumo de pan de cada una de las delegaciones: 0 40 Unidad 2 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 2 3.Observa la tabla y responde: a)¿Cuál de los productos presentados fue el más consumido por los atletas? ¿Por qué crees tú? Recuerda Intervalo b)¿Cuál fue el producto de menor consumo? 4.Completa las rectas numéricas, de manera que el patrón sea igual en todos los intervalos: a) 27 326 Consumo de jugos: 27 327 200 400 Patrón numérico o clave: sumar 200. En la recta anterior los términos van de 200 en 200. 27 330 EL patrón numérico o clave es: b) 2 343 Consumo de jugos: 12 343 52 343 EL patrón numérico o clave es: 5.Coloca el signo >, < o = según corresponda: 45C 57 000U 3UM 8UM 500U 80C 300U 80D 60D 97C 300D 6 UM 6C 970D 30C 60 000U ¿Cuál de los siguientes números se ubica a la izquierda de 234 006 en la recta numérica? A. 243 002 B. 301 000 C. 228 700 Al ubicar un número en la recta numérica, los números que están a su derecha son mayores que él y los que están a su izquierda son menores. Utilización de números hasta 1 000 000 41 Desarrollo mis aprendizajes 3 Equivalencias monetarias y redondeo Desafío al ingenio Un ho m br e co m pr ó 3 dó lar es a $ 55 2. Un a semana después decidió vender los. Si en el transcurso de esa semana el dólar subió a $ 680, ¿cuánto dinero ganó tras vender sus 3 dólares? En el tiempo que duran las olimpiadas, muchas personas se trasladan de sus países a la ciudad sede para apoyar a sus representantes. Cada país tiene su moneda, con un nombre y un valor diferente al nuestro. La equivalencia entre monedas de diferentes países varía día a día. La siguiente tabla muestra la conversión de algunas monedas extranjeras a pesos chilenos un determinado día del año 2008: Cambio de dinero País Moneda Equivalencia en pesos chilenos Estados Unidos 1 dólar $ 552 España 1 euro $ 720 Suiza 1 franco suizo $ 491 Inglaterra 1 libra esterlina $ 980 1.Responde: a)¿Cuál es la moneda de mayor valor en pesos chilenos? b) Ordena de menor a mayor el valor de las monedas de los países dados: < < < 2.Calcula a cuántos pesos chilenos equivalen las siguientes cantidades: 42 Unidad 2 a)3 dólares = pesos. b)4 euros = pesos. c)5 libras esterlinas = pesos. d)2 francos suizos = pesos. 2 3.Observa los comestibles que consumieron los deportistas con sus respectivos precios en pesos chileno: Producto Valor en pesos chilenos Jugo $ 850 la unidad Pan $ 145 la unidad Plátano $ 236 la unidad El número 208 911 redondeado a la DM corresponde a: A. 209 000 B. 210 000 C. 208 000 a)Usando las monedas de la página 153 representa el precio de: b)Calcula y redondea a la centena el número total de comestibles consumidos por las delegaciones de Chile y Argentina: = = 270 320 210 290 290 260 Total: Redondeo a la centena más próxima: Total: Redondeo a la centena más próxima: Utilización de números hasta 1 000 000 43 Desarrollo mis aprendizajes 4 Otras estrategias de adición ¿Sabías que...? La palabra olimpiada se puede escribir con o sin tilde en la segunda i. El origen de los juegos se remonta al año 776 a. de C. en Grecia y actualmente se de sarrollan cada 4 años. Los jueces de las diferentes competencias olímpicas son muy exigentes. Ellos evalúan a cada competidor y luego entregan un puntaje. 1.A continuación te presentamos los puntajes obtenidos por algunos equipos de gimnasia artística. Calcula el puntaje de cada país y responde las preguntas: País Juez 1 Juez 2 Juez 3 15 394 15 583 15 001 15 283 15 305 14 975 14 987 14 994 14 990 Total a)¿Qué país ganó la competencia? b)¿Cuál fue el juez que colocó los mayores puntajes? 2.Completa la tabla. Fíjate en el ejemplo: Puntaje Puntaje total: 44 971 Puntaje total: Puntaje total: 44 Unidad 2 Calcula su doble Doble + 1 44 971 + 44 971 89 942 89 942 + 1 89 943 Doble + 100 Doble + 10 000 89 942 + 100 90 042 89 942 + 10 000 99 942 2 Observa las siguientes estrategias de adición: 1 346 + 2 278 Adición por aproximación de un sumando Adición por descomposición de los sumandos Aproximamos el primer sumando a la decena: Descomponemos aditivamente los números: 1 346 + 2 278 1 346b 1 000 + 300 + 40 + 6 + 2 278b+ 2 000 + 200 + 70 + 8 1 350 + 2 278 3 628 Restamos lo aproximado al resultado, es decir, 4: 3 628 – 4 3 624 3 000 + 500 + 110 + 14 3 000 + 610 + 14 3 000 + 624 3 624 3.Resuelve en tu cuaderno las siguientes adiciones aplicando las dos estrategias aprendidas: a) 49 215 + 23 146 d) 163 893 + 275 634 g) 7 463 + 2 321 b) 48 562 + 22 637 e) 164 763 + 239 854 h) 53 625 + 142 835 c) 123 716 + 82 165 f) 926 124 + 1 786 i) 723 001 + 82 918 Calcula mentalmente el resultado de la suma 123 405 + 245 494 A. 368 898 B. 369 999 C. 368 899 Utilización de números hasta 1 000 000 45 Desarrollo mis aprendizajes 5 Otras estrategias de sustracción A los dos partidos de semifinales de un Mundial Juvenil de fútbol asistieron 102 367 espectadores y al de la gran final asistieron 112 477. 1.¿En cuántos espectadores aumentó la asistencia a la final respecto a las semifinales? 2.Si la capacidad del estadio es de 125 543 personas, Recuerda En una sus tr ac ció n se cum ple la sig uie nte rela ció n ent re sus términos: Sustraendo + Diferencia Minuendo ¿cuántas butacas estuvieron vacías en la final? Cuando alguna cifra del minuendo es menor que su correspondiente cifra en el sustraendo la sustracción se complica. Aplicaremos dos estrategias diferentes para resolver este tipo de sustracciones: ,, Por compensación: Para restar usando esta estrategia debes ir extrayendo números desde posiciones superiores a la que estás trabajando y compensando esta extracción. La idea es descomponer los términos de la sustracción de manera que el minuendo sea siempre mayor que el sustraendo. Apliquemos la estrategia a la sustracción 783 732 – 451 195: 783 720 + 12 b 783 600 + 120 + 12 – 451 190 + 5b – 451 100 + 90 + 5 332 500 + 30 + 7 = 332 537 46 Unidad 2 canje: En este caso no se descomponen los números sino que se va trabajando con sus valores posicionales: 2 ,, Por 783 732 b 783 7 (2) (12) b 783 (6) (12) (12) – 451 195 b – 451 1 9 5 b– 451 1 9 5 332 7 332 5 3 7 3.Resuelve las sustracciones aplicando alguno de los métodos vistos: a) 652 534 – 540 228 Desafío al ingenio La ed ad de m i ab ue lo es un nú m er o de do s dígitos tal que si le resto 36 años, obtengo un número que corresponde a la edad de mi abuelo co n lo s dí gi to s in ve rtidos. ¿Qué edad tiene mi abuelo, si se sabe que tiene más de 80 años y menos de 90? b) 723 451 – 210 191 c) 864 772 – 412 860 d) 986 546 – 725 927 e) 375 496 – 146 783 Para comprobar sustracciones de números grandes es útil que ocupes una calculadora. Por ejemplo, para restar en ella 451 195 de 783 732; debes digitar el minuendo 783 732, presionar la y luego digitar tecla el sustraendo 451 195. El resultado o diferencia lo obtendrás tras presionar : 332 537. la tecla Utilización de números hasta 1 000 000 47 Desarrollo mis aprendizajes 6 Más propiedades de la multiplicación ¿Sabías que...? La ac tual Alemania estuvo div idida en tre los años 1949 y 1990 en dos países independientes: la República Democrática Alemana (RDA) y la República Federal Alemana (RFA). En una villa olímpica existen tiendas con productos deportivos a la venta. Si la delegación de Alemania compró 30 pares de zapatillas blancas y 20 pares de zapatillas azules para competir durante un día, ¿cuántos pares de zapatillas debe comprar para competir durante 4 días? Para dar solución a esta pregunta, aplicaremos la propiedad distributiva: 4 · (30 + 20) = (4 · 30) + (4 · 20) 4· 50 = 120 + 80 200 = 200 Esta propiedad se llama distributiva, ya que el factor de multiplicación se distribuye con respecto a dos o más sumandos, obteniendo en ambos lados de la igualdad el mismo resultado. 1.Resuelve los siguientes ejercicios, aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación a) 8 · (600 + 30 000) = ( · · )+ ( = · ) + ) + = b) (7 · 5 000) + (7 · 80 000) = + = = 48 Unidad 2 ·( · 2 2.Resuelve las siguientes multiplicaciones: a)85 · 1 = c)1 583 · 1 = b)10 231 · 1 = d)91 791 · 1 = ¿Qué regularidad observas? Calcula: 6 123 · 9 · 0 · 8 = A. 0 B. 440 856 C. 55 107 El elemento neutro de la multiplicación es el 1, ya que cualquier número multiplicado por 1 es igual al mismo número. 3.Completa y luego responde: a)9 · 1 = d)9 · 1 000 = b)3 · 10 = e)5 · 10 000 = c)7 · 100 = f)2 · 100 000 = ¿Qué puedes deducir de las multiplicaciones anteriores? Fundamenta tu respuesta. Desafío al ingenio Númer o que tra s multiplicarse por sí mismo no cambia su valor. ¿Qué números cumplen esta propiedad? 4.Resuelve: a)15 · 0 = b)105 · 0 = c)65 321 · 0 = Esta propiedad se llama propiedad absorbente del cero, e indica que cualquier número multiplicado por 0 es igual a 0. 5.Resuelve las siguientes multiplicaciones: a)429 210 · 1 = c)60 117 · 0 = b)5 · (90 + 34) = d)51 005 · 8 = Utilización de números hasta 1 000 000 49 Desarrollo mis aprendizajes 7 Relación entre la multiplicación y la división Los auspiciadores de unos juegos olímpicos tienen un fondo de $ 426 000 para repartir equitativamente entre las 3 primeras personas que llamen adivinando correctamente qué país ganará. Recuerda Cua ndo bus cam os un fac tor des conocido en una multiplicación como por ejemplo: 5· = 45 Nos debemos preguntar: ¿Qué número multiplicado por 5 da como resultado 45? 1.¿Cuánto dinero recibirá cada persona ganadora? Para resolver situaciones como estas, debemos buscar el factor desconocido en 3 · = 426 000 y para ello debemos calcular el cociente 426 000 : 3. 4' 2' 6' 0 0 0 : 3 = 1 4 2 0 0 0 – 3 12 – 12 06 – 6 0 ∕∕ Por lo tanto 3 · 142 000 = 426 000. Cada ganador recibirá $ 142 000. 2.Si el dinero total a repartir hubiera sido superior en 3UM, ¿podrías aplicar la misma estrategia? 426 000 + 3UM = 426 000 + 3 000 = 429 000 4' 2' 9' 0 0 0 : 3 = 1 4 3 0 0 0 – 3 12 – 12 09 – 9 0 ∕∕ Por lo tanto 3 · 143 000 = 429 000. Cada ganador habría recibido $ 143 000. 50 Unidad 2 2 3.Se deben repartir equitativamente 12 000 camisetas oficiales con el logo de las olimpiadas entre las 30 delegaciones participantes. ¿Cuántas camisetas recibirá cada delegación? Cada delegación recibirá camisetas. 4.Calcula el factor desconocido y completa las divisiones exactas: a)4 · b)5 · c)7 · d)9 · e)6 · = 24 = 450 = 4 200 24 : 24 : 4 = 450 : 450 : 5 = 4 200 : 4 200 : 7 = =4 Considera: 12 456 : 3 = 4 152 ¿Cuál de las siguientes operaciones no se deduce de ella y es falsa? A. 4 152 · 3 = 12 456 B. 4 152 : 3 = 12 456 C. 12 456 : 4 152 = 3 =5 =7 = 63 000 63 000 : 9 = 63 000 : =9 = 300 000 300 000 : =6 300 000 : 6 = f)3 · = 824 121 824 121 : =3 824 121 : 3 = La división y la multiplicación son operaciones inversas. Utilización de números hasta 1 000 000 51 Desarrollo mis aprendizajes 8 Operaciones combinadas A la ceremonia final de unos Juegos Olímpicos asistieron muchas personas. Considera las siguientes promociones hechas a los precios de las entradas al espectáculo: Precio 1 entrada ¿Sabías que...? Los trigésimos Juegos Olímpicos se desarrollarán en Londres (Inglaterra) entre el 27 de julio y el 12 de agosto del año 2012. Promociones Adultos Niños 1a3 $ 25 000 $ 15 000 4a6 $ 22 500 $ 13 500 7a9 $ 20 000 $ 12 000 10 o más $ 18 000 $ 10 000 1.Si al estadio ingresó un grupo compuesto por 5 adul- tos y 3 niños, ¿cuánto dinero pagaron por concepto de entradas? Entrada adultos ,, $ 22 500 ,, 5 adultos Operación: 22 500 · 5 = Entrada niños ,, $ 15 000 ,, 3 niños Operación: 15 000 · 3 = Total Operación: Adultos + niños = + Total = 2.La delegación chilena entró en 5 grupos de 7 adultos en diferentes momentos de la ceremonia. ¿Cuánto dinero debieron pagar por las entradas? Operación: 52 Unidad 2 Respuesta: 2 3.Resuelve los siguientes ejercicios combinados den- tro de los recuadros, respetando el procedimiento. Resuelve siempre primero las operaciones que están dentro de los paréntesis: Ejemplo: (145 342 + 183 294) · 2 = 328 636 657 272 ·2 657 272 Indica el resultado de las siguientes operaciones: (12 + 6) · 3 y 12 + 6 · 3 A. 54 y 30 B. 51 y 75 C. 30 y 30 a)(86 420 · 5) + 346 510 = + b)120 346 – (25 306 · 3) = – c)(48 972 : 3) + (749 368 – 561 745) = + 4.Con ayuda de una calculadora, inventa y resuelve en tu cuaderno un ejercicio combinado que contenga las cuatro operaciones aritméticas. Preséntalo a tu curso. Cuando resuelves operaciones combinadas con calculadora debes ser muy cuidado con el uso de los paréntesis, procurando siempre resolver las operaciones que están dentro de ellos en primer lugar, anotando el resultado y luego resolviendo el resto de las operaciones. Los paréntesis indican prioridad en las operaciones, es decir, en los ejercicios combinados primero se resuelven las operaciones que están entre paréntesis y luego el resto. Utilización de números hasta 1 000 000 53 Profundizando… Más operaciones combinadas La familia de Fernando decidió aprovechar el verano para hacer algunos arreglos y hermosear su casa. Para lograrlo compraron una serie de artículos. Observa el detalle en la siguiente tabla: Artículo Cantidad Gasto total [$] Silla 6 180 456 Puerta 2 245 866 Espejo 4 455 124 ¿Cuál es el costo de comprar solo un artículo de cada tipo? Lee con atención y comenta con tus compañeros y compañeras la estrategia utilizada para responder: (180 456 : 6) + (245 866 : 2) + (455 124 : 4) 30 076 + 122 933 + 113 781 266 790 El costo de comprar un artículo de cada tipo es de $ 266 790. Practica 1. ¿Cuánto dinero gastó la familia de Fernando en hermosear su casa? 2.Tomando los datos del ejemplo anterior calcula el costo de comprar 3 sillas, 1 puerta y 2 espejos. 3. Calcula el costo de comprar 4 sillas, 3 puertas y 3 espejos. 4.Calcula el costo de comprar 7 sillas, 2 puertas y 1 espejo. 5. Se deben repartir equitativamente $ 997 488 entre las tres áreas de acti- vidades complementarias del colegio. Estas areas son: la rama Deportes (Tenis, Fútbol, Básquetbol y Voleibol), la rama Arte (Música, Pintura y Poesía) y los Talleres (Computación y Astronomía). A su vez, el dinero correspondiente a un área debe asignarse equitativamente a cada una de sus secciones. ¿Cuánto dinero corresponde a cada área y a cada una de sus secciones? 54 Unidad 2 2 Divisiones inexactas Observa la siguiente división: 11' : 2 = 5 – 10 1∕∕ Esta es una división inexacta, ya que el resto es diferente de 0. Los términos de esta división inexacta se pueden relacionar a través de la siguiente equivalencia: Resultado Divisor Resto 2 · 5 + 1 = 11 Dividendo Hagamos el mismo desarrollo para un número más grande: 2 4' 4' 4' 6' 3' : 5 = 4 8 8 9 2 44 44 46 13 3 ∕∕ Y la relación entre los términos de esta división es: 5 · 48 892 + 3 = 244 463 Practica 1.Un padre debe repartir entre sus tres hijos $ 25 654. ¿Cuánto recibirá cada uno y cuánto sobra? 2.Resuelve las siguientes divisiones inexactas y relaciona sus término mediante la equivalencia estudiada: a)476 457 : 2 c)866 541 : 7 e)124 355 : 4 b)241 753 : 3 f)998 473 : 6 d)180 450 : 4 Utilización de números hasta 1 000 000 55 Resuelvo problemas Problema modelo Alonso es un deportista destacado. El detalle de su entrenamiento semanal por día es el siguiente: Lunes y miércoles: 2 350 metros de natación. Martes y viernes: 160 000 metros de ciclismo. Jueves y sábado: 13 650 metros de trote. Domingo: descanso. ¿Cuántos metros practica en una semana? Comprende: Días Deporte Lunes y miércoles Natación Martes y viernes Ciclismo Jueves y sábado Trote Metros recorridos cada día 2 350 1 60 000 1 3 650 Planifica: Multiplicar los tres datos de distancia recorrida por 2. Sumar los tres resultados para obtener el total de metros recorridos en la semana . Resuelve: 2 350 . 2 = 4 700 160 000 . 2 = 320 000 13 650 . 2 = 27 300 4 700 + 320 000 + 27 300 = 352 000 Responde: El entrenamiento semanal de Alonso consiste en 352 000 metros de práctica de tres disciplinas deportivas diferentes. Comprueba: Podemos sumar los tres recorridos y luego multiplicar el resultado por 2: 2 350 + 160 000 + 13 650 = 176 000 176 000 . 2 = 352 000 56 Unidad 2 2 Problema para ti En el colegio de Martín organizaron una cicletada de beneficencia. Cada estudiante invitó a 5 familiares. Si el total de invitados fue de 7 255 personas, ¿cuántos estudiantes participaron de la cicletada? Si cada invitado debió cancelar $ 120, ¿cuánto dinero recaudaron en la cicletada? Comprende: Planifica: Resuelve: Responde: Comprueba: Utilización de números hasta 1 000 000 57 Evalúo qué aprendí Síntesis de la unidad Números hasta 1 000 000 a través de análisis de análisis de 45 000 – 3 000 = 42 000 +, –, · , : 42 000 45 000 resolví resolví 400 : 8 = 50 401 : 8 = 50 1// 205 + 6 · 3 – 108 : 3 60 : 3 = 20 10 000600 + 60 000 : 30 = =2070 000 85 000 6000– : 5 000 300 = =2080 000 F F 120 · 4 = 480 200 : 5 = 40 C determiné 405 · 2 = 810, entonces 810 : 2 = 405 me permitieron Comprender y resolver problemas cotidianos Completa los recuadros de la red con los siguientes conceptos. Guíate por las pistas que están en la parte inferior de cada recuadro: ,, Adiciones y sustracciones ,, Las cuatro operaciones básicas ,, Estrategias gráficas y numéricas ,, Operaciones combinadas 58 Unidad 2 ,, Relación inversa: multiplicación- división ,, Divisiones exactas e inexactas ,, Factores y cocientes 2 Evaluación Une con líneas de colores el numeral con su escritura en palabras: 3DM + 6U + 9D + 5CM Setecientos cincuenta mil setecientos 200U + 2D + 3CM + 5UM Trescientos cinco mil doscientos veinte 5CM + 20D + 8U + 1DM + 7UM Quinientos treinta mil noventa y seis 600U + 9D + 10U + 7CM + 5DM Quinientos diecisiete mil doscientos ocho Pinta el valor del número destacado en cada caso: a)103 457 b 30 000 ó 3 000 ó 300 b)568 942 b 500 000 ó 50 000 ó 5 000 c)796 839 b 900000 ó 90 000 ó 9 000 d)687 576 b 50 000 ó 5 000 ó 500 Resuelve los siguientes ejercicios combinados: a)(723 486 + 94 632) – 5 845 = c)864 326 + (5 749 · 5) – 645 215 = b)(36 410 · 3) + (74 963 : 7) = d)(589 310 : 5) + (49 876 · 6) = Utilización de números hasta 1 000 000 59 3 Geometría En esta unidad aprenderás a: ££Identificar los ángulos rectos, agudos, obtusos y extendidos. ££Medir ángulos. ££Identificar y representar cuerpos geométricos. ££Construir cuerpos a partir de redes. ££Calcular el perímetro de figuras geométricas. ££Calcular el área de cuadrados y rectángulos. 60 Observa y responde: ¿Qué figuras geométricas planas reconoces en la lámina? ¿Qué juguetes reconoces en la lámina? Nombra tres. ¿Qué cuerpos geométricos ves en la lámina? Escribe el nombre de tres. ¿Cuál es el juguete más importante para ti? Explica por qué es el más importante. 61 Rescato mis conocimientos Memorice Mientras Lucía recorría la juguetería, encontró unas tarjetas para jugar al memorice. Ayudémosla a reconocerlas, para esto, dibuja lo que se indica en los recuadros en blanco: Triángulo Cubo Cuadrado Cilindro Pirámide base cuadrada Tras hacer los dibujos, fotocopia esta página y recorta las tarjetas para que juegues aprendiendo geometría. Debes voltearlas y juntar pares semejantes ocupando solo tu memoria. ¡A usar la mente! 62 Unidad 3 En estas figuras, remarca con verde los lados y con amarillo los vértices: a) c) b) d) 3 Completa las siguientes frases: a)Un cuadrado tiene b)Un lados iguales. tiene 3 lados. c)Un cubo tiene caras cuadradas. d)Una pirámide de base cuadrada tiene triangulares. cara cuadrada y caras Calcula el perímetro de las siguientes figuras recordando que el perímetro es la suma sus lados: a) b) 3 cm 2 cm 4 cm 4 cm 2 cm 3 cm 4 cm 6 cm 3 cm Perímetro: Perímetro: Geometría 63 Desarrollo mis aprendizajes 1 Medición de ángulos Colegio Luis invita a sus amigos y amigas a casa para celebrar su cumpleaños. Para indicarles cómo llegar desde el colegio les entrega el siguiente plano: Casa de Luis En el recorrido para llegar a la casa de Luis hay tres ángulos. ¿Se pueden medir esos ángulos? Te enseñaremos a medir el ángulo 2 de la ilustración: Paso 1 Paso 2 Colocamos el centro del Hacemos coincidir la transportador sobre el línea que marca 0° con vértice del ángulo. uno de los lados del ángulo. ¿Sabías que...? Cuándo el minutero de un reloj recorre una hora comple ta ha re corrido 360°. 64 Unidad 3 Paso 3 Observamos el número que indica en el transportador el otro lado del ángulo. En este caso 120°. 1.Utilizando un transportador mide el ángulo 1 y el ángulo 3 de la ilustración: a)El ángulo 1 mide grados. b)El ángulo 3 mide grados. Para medir ángulos se utiliza el transportador y la unidad utilizada es el grado sexagesimal. Un ángulo se clasifica de acuerdo a su medida en: Agudo: mide menos de 90°. Recto: mide exactamente 90°. Obtuso: mide más de 90° y menos de 180°. Extendido: mide exactamente 180°. Completo: mide exactamente 360°. Equivale a una vuelta completa. 2.Mide los siguientes ángulos y clasifícalo según el valor que obtengas: 3 Recuerda Los ángulos se forman al intersecar do s o más rectas y se desig nan con letras mayúscu las. El vértice de los ángulos es la intersecci ón de las rectas. ¿Sabías que...? Las rectas paralelas nunca se cortan o se topan. Las rectas perpendiculares se cortan o se topan en un punto, formando cuatro ángulos rectos. Las rectas secantes se cortan y pueden formar ángulos rectos, agudos y obtusos. 3.Une cada ángulo con su medida: Exactamente 90° Menos de 90º Exactamente 180º Un ángulo de 100° es: A. Agudo B. Recto C. Obtuso Más de 90º y menos de 180º Geometría 65 Desarrollo mis aprendizajes 2 Cuerpos geométricos y redes Ana y Marcos juegan a armar objetos: ¿Sabías que...? Si observas una ciudad, podrás ver una gran variedad de cuerpos geométricos. A lo largo de la historia las ciudades se han edificado ocupando diferentes estilos, todos basados en modelos geométricos. 1.Une, con líneas de colores, el objeto con el cuerpo geométrico al que se asemeja: Pirámide Prisma de base rectangular Cono Cilindro Esfera 66 Unidad 3 3 2.Identifica qué cuerpos se pueden armar a partir de las siguientes redes. Dibújalo junto a cada una de ellas: a) b) Recuerda La cara basal de un cuerpo es su base y con ella se puede apoya r sobre una super ficie. Algunos cuer pos como el cono poseen una ca ra basal, y otros como el cilindro poseen dos. c) d) ¿Cuál de los siguientes cuerpos geométricos puede rodar si lo arrojamos sobre una superficie? A. Cubo B. Cilindro C. Pirámide 3.Utilizando las redes de las páginas 155, 157 y 159 construye los cuerpos, arrójalos sobre una superficie e indica cuáles de ellos ruedan y cuáles no. Geometría 67 Desarrollo mis aprendizajes 3 Representación de cuerpos geométricos Lucía y su hermano juegan un día sábado. Obsérvalos: Ilustración 1 Ilustración 2 1.Desde qué posición está representada la escena en la ilustración 2. Desde . 2.En la ilustración 2 pinta las vistas de los cuerpos del ¿Sabías que...? Lo s cu er po s r ed on do s so n aq ue llo s qu e ruedan. Los cuer pos no redondos son aquellos que no ruedan y se denominan cuerpos poliedros. 68 Unidad 3 color que tienen en la ilustración 1. 3.Observa los siguientes cuerpos geométricos y dibújalos como si los vieras de frente y desde abajo: Cuerpo De frente Desde abajo 3 4.Lee cada una de las siguientes adivinanzas y escribe el nombre de uno de los cuerpos del costado: a)Si me miras desde arriba ves un círculo y si lo haces de frente ves un triángulo. Soy un . b)Si me miras desde arriba ves un triángulo, si lo haces de frente ves un rectángulo. Soy un . c)Si me miras de arriba ves un círculo, si me ves de abajo también. Puedo ser un o una . 5.Dibuja los siguientes cuerpos vistos desde arriba y desde abajo: Cuerpo geométrico Visto de arriba Visto de abajo Recuerda En general, los cuerpos geométricos se ven diferentes si los miramos d e s d e a rr ib a , desde a b a jo , d e fr e n te o d e costado. ¿Cuál de los siguientes cuerpos no puede ser visto como un círculo desde algún sitio? A. Esfera B. Cono C. Prisma Geometría 69 Desarrollo mis aprendizajes 4 Vistas y redes de cuerpos Lucía y Juan están dibujando cuerpos geométricos en hojas cuadriculadas: 1.Ayúdalos a dibujar las redes y adivina el cuerpo geométrico que se puede formar con cada una de ellas: ¿Sabías que...? a)Su red está formada por seis cuadrados iguales. A un conjunto de figuras geomé tric as cor rec tamente ensambladas se llama teselado. Un ejemplo simple de teselado es el pan al de abe jas , estructura formada por hexágonos de cera. b)Su red está formada por cuatro triángulos iguales. 70 Unidad 3 3 2.Observa un cono, un cilindro y un cubo. Luego dibújalos de acuerdo a su vista: Vista Cilindro Cono Cubo ¿Sabías que...? Superior La ax on om et ría es la rama del dibujo técnico que trata de la perspectiv a tri dim en sio na l de los cuerpos, tomando como base las vistas o proyecciones. Frontal Inferior 3.Escribe el nombre del cuerpo geométrico que corresponde a las vistas indicadas: Cuerpo Superior Inferior Frontal Geometría 71 Desarrollo mis aprendizajes 5 Superficie de figuras geométricas Luis realiza el siguiente dibujo en un papel cuadriculado: ¿Sabías que...? Muchas veces se us an los términos superficie y área como sinónimos. Estrictamente hablando la superficie es la ex tensión en dos dimensiones de un cuerpo, mientras que el área es una medida numér ica de es ta ex tensión. Así podemos de cir “la superfi cie de la cocina es lis a” y “el área de la superficie de la cocina mide 20 metros cuadrados”. 1.¿Cuántos cuadrados conforman cada uno de los elementos del dibujo? Elementos del dibujo Árbol Casa Sol Pasto Cantidad de cuadrados La unidad de medida que hemos utilizado para indicar el tamaño de las superficies del dibujo es el cuadrado . 2.Cuenta los cuadrados que ocupan las siguientes figuras: a) Hay 72 Unidad 3 b) cuadrados. Hay cuadrados. 3 3.¿Qué superficie ocupan las siguientes figuras? a) c) Recuerda cuadrados b) Un método par a determ in a r la m e d id a d e la super ficie de u na figura consiste en div idirla en pequeños cuad rados del mismo tamaño . cuadrados d) cuadrados cuadrados 4.Determina la superficie que ocupan las siguientes figuras: El rectángulo ocupa cuadrados. El triángulo ocupa cuadrados. 5.Mide con una regla los cuadrados de las cuadrículas anteriores. a)Los cuadrados miden . Una unidad de medida del tamaño de una superficie debe: A. Tener siempre el mismo tamaño. B. Cubrir toda la superficie. C. Ambas alternativas anteriores. b)¿Qué puedes concluir? Geometría 73 Desarrollo mis aprendizajes 6 Área de cuadrados y rectángulos Alonso en su clase de artes visuales realizó una obra utilizando 50 cuadrados de papel de 1 centímetro de lado similar al que se muestra a continuación: Recuerda Tres de las unidades de longitud más ocupadas son el centímetro (cm), el metro (m) y el kilómetro (km). Sus equivalencias son: 1 m = 100 cm 1 km = 100 000 cm 1 km = 1 000 m 1.¿Qué área ocupa la obra de Alonso? Si contamos, tenemos que el mosaico de Alonso está compuesto por 50 cuadrados de 1 centímetro de lado, por lo tanto, podemos decir que ocupa un área de 50 centímetros cuadrados. ¿Sabías que...? Un cuadrado de 1 centímetro de lado ocupa un área de 1 centímetro cuadrado, al igual que el metro cuadrado que corresponde a un cuadrado de 1 metro de lado. Estas son unidades de medida de área. a)¿Cómo calculamos el área del mar sin contar los cuadrados? Basta multiplicar el ancho por el largo: 10 centímetros 2 centímetros 20 centímetros · = de largo de ancho cuadrados b)¿Cuál es el área del sol del mosaico? Área = centímetros cuadrados. El área es la medida de la superficie que ocupa una figura. El área de un rectángulo se obtiene multiplicando su ancho por su largo. El área de un cuadrado se obtiene multiplicando su lado por sí mismo. 74 Unidad 3 3 2.Mide los lados de las siguientes figuras: ¿Cuál de las siguientes es una unidad de medida de área? A. Metro cúbico B. Litro C. Metro cuadrado a)Calcula el área aplicando las fórmulas que aprendiste: Área del rectángulo = Área del cuadrado = centímetros cuadrados. centímetros cuadrados. b)Comprueba tu respuesta contando los cuadraditos que los componen. c)Si el lado de cada cuadradito midiera 1 metro, cuál sería el área de cada una de las figuras. Área del rectángulo = Área del cuadrado = metros cuadrados. metros cuadrados. 3.Calcula el área de las siguiente figuras. Las medidas Recuerda El área de un rectángulo se calcula como: A = a · b, donde A es el área, a es el ancho y b el largo. El área de un cuadrado se calcula como: A = a · a, dond e a es el lado de l cuadrado. están dadas en centímetros: Área = centímetros cuadrados. Área = centímetros cuadrados. Geometría 75 Desarrollo mis aprendizajes 7 Área de cuerpos geométricos Alicia quiere construir una caja de cartón para guardar un regalo que le dará a su hermana. 1.¿Qué cantidad de cartón necesitará Alicia para su caja? Para responder a esta pregunta necesitamos calcular el área de los cuadrados que, dibujados sobre el cartón, nos permitirán armar la caja. 9 cm 9 cm 9 cm ¿Sabías que...? del área Cuando se habla métrico de un cuerpo geo ncia a la se hace refere año de medida del tam terna, es su superficie ex ficie que decir, a la super po. recubre el cuer 9 cm 9 cm 9 cm 9 cm 9 cm 9 cm 9 cm 9 cm 9 cm 9 cm 9 cm Como puedes ver, la red del cubo está compuesta por 6 cuadrados de 9 centímetros de lado, entonces: Área un cuadrado = 9 centímetros · 9 centímetros Área un cuadrado = 81 centímetros cuadrados Como son 6 cuadrados, entonces: Área total = 81 centímetros · 6 = 486 centímetros cuadrados. 76 Unidad 3 3 2.Calcula el área total del prisma: ¿Sabías que...? El área total es de Un a lon git ud indica el tamaño de los objetos considerando 1 dimensión, y un área el tamaño en 2 dimensiones. Para indicar el tamaño de un objeto en las 3 dimensiones espaciales se habla de volumen. metros cuadrados. 3.Observa el siguiente prisma y los sucesivos cortes que sufre: A B C a)Calcula el área total del prisma A y suma la de los prismas que se van formando al irlo dividiendo (B y C): Área A = metros cuadrados. Área B = metros cuadrados. Área C = metros cuadrados. b)El área total , ¿aumenta o disminuye al ir dividiendo el cuerpo original? ¿Qué ocurrirá si seguimos dividiendo? El área total va al ir dividiendo el cuerpo. Si seguimos dividiendo, el área seguirá . c)¿Por qué razón el área cambia al ir dividiendo el cuerpo? Explica. El área de un cubo de 5 cm de arista es: A. 125 centímetros cuadrados. B. 150 metros cuadrados. C. 150 centímetros cuadrados. Geometría 77 Profundizando… Perímetro y área El Ministerio de Obras Públicas ha planificado la construcción de una carretera que rodee por completo una ciudad del norte del país. Observa una vista aérea de la ciudad: A.¿Cuántos kilómetros de carretera deberá construir el ministerio? Para responder esta pregunta debemos calcular el perímetro del contorno de la ciudad. Sumemos entonces los siete lados rectos que limitan la ciudad: Perímetro = 5 + 7 + 20 + 10 + 12 + 15 + 7 = 76 kilómetros La carretera medirá 76 kilómetros. B.¿Cuál es el área que ocupará la carretera si mide 10 m de ancho? Podemos considerar que la carretera es un rectángulo de 76 kilómetros de largo y 10 metros de ancho. Para calcular el área que ocupará multiplicamos su largo por su ancho. Previamente expresaremos su largo en metros: 76 kilómetros = 76 000 metros Área que ocupará la carretera = 76 000 · 10 = 760 000 metros cuadrados. Practica 1. Calcula el largo de una muralla que se va a construir alrededor de un terreno poligonal de 5 lados, cuyas medidas son: 12 metros, 14 metros, 17 metros, 18 metros y 20 metros. 2.¿Cuál es el área de la muralla si medirá 2 metros de alto y 1 metro de grosor? Considera la muralla como un gran prisma. 78 Unidad 3 3 Teselaciones Una teselación consiste en un conjunto de figuras geométricas que cubren una superficie completamente siguiendo un patrón o una regularidad característica. Observa la siguiente teselación natural: ¿Qué figura geométrica constituye el teselado del panal de abejas? Podemos observar que la figura geométrica es semejante a: Contando los lados comprobamos que son 6 y que su longitud es la misma, por lo tanto estamos frente a un hexágono regular. Practica 1.Observa las siguientes teselaciones y dibuja aproximadamente la figura geométrica que las constituye: Geometría 79 Resuelvo problemas Problema modelo Alejandra necesita asfaltar una parte del patio de su casa para poder estacionar su auto. Si el auto mide 150 centímetros de ancho y 300 centímetros de largo, ¿cuál es el tamaño mínimo que debe tener el terreno a asfaltar? ¿Cuánto terreno libre quedará en el patio si este mide 126 000 centímetros cuadrados? Comprende: El terreno a asfaltar podemos considerarlo como un rectángulo de 150 cm de ancho y 300 cm de largo, como mínimo. El área de un rectángulo se calcula multiplicando el ancho por el largo. La diferencia entre el área del patio y el área del terreno para el estacionamiento corresponde al área que quedará libre del patio. Planifica: Multiplicar el ancho del rectángulo por el largo del rectángulo. Restar al área del patio el área del terreno para el estacionamiento. b a Área = a . b Resuelve: Área del terreno = 150 . 300 = 45 000 centímetros cuadrados. Área libre del patio = 126 000 – 45 000 = 81 000 centímetros cuadrados. Responde: El área de la superficie a asfaltar es de 45 000 centímetros cuadrados. El área del terreno libre será de 81 000 centímetros cuadrados. Comprueba: Para comprobar el resultado de las operaciones puedes utilizar una calculadora: Digita 150, pulsa , digita 300 y pulsa Digita 126 000, pulsa 80 Unidad 3 . El resultado es 45 000. , digita 45 000 y pulsa . El resultado es 81 000. 3 Problema para ti Emilio quiere cubrir su refrigerador con papel de aluminio. La altura del electrodoméstico es de 170 cm, mientras que la base es un cuadrado de 80 cm de lado. Si compró 60 000 centímetros cuadrados de papel, ¿serán suficientes para cubrir el refrigerador? ¿Cuánto papel le sobra o le falta? (No consideres la base del refrigerador). Comprende: Planifica: Resuelve: Responde: Comprueba: Geometría 81 Evalúo qué aprendí Síntesis de la unidad Geometría a través de análisis de identifiqué uso de uso de calculé medí y clasifiqué A X = 18 cm cuadrados A X = 4 cm cuadrados me permitieron Describir y comprender el entorno físico Completa los recuadros de la red con los siguientes conceptos. Guíate por las pistas que están en la parte inferior de cada recuadro: ,, Ángulos ,, Vistas ,, Redes ,, Transportador ,, Área ,, Cuerpos de figuras geométricas ,, Cuadrículas 82 Unidad 3 geométricos 3 Evaluación Utilizando un transportador, mide la amplitud de los siguientes ángulos. Luego, clasifica cada uno de ellos: a) b) c) Completa el siguiente cuadro dibujando las vistas que se solicitan de cada cuerpo geométrico: Cuerpo Superior Frente Inferior Pirámide de base pentagonal Prisma de base triangular Calcula el área de las siguientes figuras si el lado de cada cuadrado mide 1 metro: a) b) c) Geometría 83 4 Las fracciones En esta unidad aprenderás a: ££Definir el concepto de fracción. ££Leer y escribir fracciones. ££Representar fracciones gráficamente. ££Representar fracciones en la recta numérica y compararlas. ££Utilizar fracciones en diferentes ámbitos. 84 Observa y responde: ¿Has comido macedonia? ¿Sabes por qué a una ensalada de frutas se le llama macedonia? ¿Qué hicieron los niños con las frutas enteras? ¿Cuántos trozos de una de las manzanas están malos? ¿Cuántos trozos de la pera están malos? 85 Rescato mis conocimientos Repartiendo en la fiesta de Marta Los padres de Marta le organizaron una fiesta sorpresa el día de su cumpleaños. A ella invitaron a familiares, amigas y amigos. Observa detenidamente la celebración: 86 Unidad 4 Desarrolla las siguientes actividades a partir de la escena del cumpleaños de Marta: 4 Reparte algunas de las cosas para comer que hay en la fiesta entre la cantidad de personas que se indica en cada caso: a)La torta azul se repartirá en partes iguales entre 8 de los niños y niñas. b)El brazo de reina se repartirá en partes iguales entre los 6 adultos que están en la fiesta. Pinta de verde las cosas que se repartirán a los niños y de rojo las cosas que se repartirán a las niñas. Luego completa las frases que están más abajo: a)6 alfajores serán para los niños y 7 b)5 globos serán para los niños y 4 para las niñas. para las niñas. Hay alfajores verdes de un total de . Hay Hay . Hay . globos rojos de un total de alfajores sin pintar de un total de globos verdes de un total de alfajores rojos de un total de Hay . Hay de un total de . globos sin pintar . Las fracciones 87 Desarrollo mis aprendizajes 1 Partes de un todo ¿Sabías que...? eron los Se cree que fu eros en egipcios los prim es. Alguocupar fraccion ican que nos papiros ind acciones trabajaron las fr 1 1 1( , , con numerador 2 3 2 1 c.), además de y 3 , et 4 3 laro que ellos ocu.C 4 nos para paron otros sig representarlas. Marcela lleva para su colación una naranja y la quiere compartir con una amiga en partes iguales. ¿Qué parte de la naranja le tocará a cada niña? A cada niña le corresponde la mitad de la naranja. 1 Esto equivale a decir que a cada niña le tocará de la 2 naranja, es decir, 1 parte de las 2 partes en que fue dividida la naranja. Las fracciones son números que permiten representar las partes en que se divide un entero. Las fracciones están compuestas por: 1 2 88 Unidad 4 Numerador (cantidad de partes que nos interesan) Denominador (cantidad de partes iguales en que fue dividido el entero) 4 1.Supón que debes repartir en partes iguales los siguien- tes alimentos con tres compañeros y compañeras. Marca y pinta la cantidad de trozos que te tocará a ti. Expresa luego esta cantidad mediante una fracción: a) b) Desafío al ingenio Pinté partes de las 8 que hay. Pinté partes de las 24 que hay. 2.Dibuja una representación gráfica de las situaciones que Adivina la fracci ón: S i re s ta m o s a l denominador el num er ador, o b te n e m o s 1. S i m u ltiplic amos por 2 el numerador, obten emos el denominador. se describen y colorea las partes que nos interesan: 1 de 6 partes 2 de 4 partes 5 de 8 partes 3.Indica las partes de un todo que han sido coloreadas: partes de partes partes de partes partes de Si en una bandeja con una docena de huevos, hay tres de color, ¿qué fracción representan los huevos blancos del total de huevos en la bandeja? 3 A. 12 9 B. 12 10 C. 12 partes Las fracciones 89 Desarrollo mis aprendizajes 2 Significado, lectura y escritura de 1 1 y 2 3 En el negocio de don Pepe hay ofertas especiales: 1 kilogramo 2 $ 342 1 litro 2 $ 128 1 sandía 2 $ 455 ¿Cómo podemos interpretar la información de los carteles de los productos en oferta? Los carteles contienen fracciones que representan la cantidad de producto y el precio correspondiente. En 1 este caso indica la mitad de un kilogramo, la mitad de 2 un litro y la mitad de una sandía, respectivamente. Desafío al ingenio Las siguientes fracciones representan la misma cantidad de par tes de un total: 1 2 3 , y 2 4 6 Ob sér val as y hal la la regularidad que las relacion a. Tra s esto, escribe otra fracción que rep res ent e la mis ma cantidad. 90 Unidad 4 1 se lee un medio y representa 1 de las 2 partes 2 1 iguales en que dividimos un entero, es decir, repre2 senta la mitad de un total. 1.Colorea a) 1 de las siguientes figuras: 2 b) c) 4 Camila, Felipe y Martín van a comprar al kiosco: 2.Responde: a)Si Camila, Felipe y Martín se dividen la barra de chocolate equitativamente, ¿qué cantidad del total corresponde a cada uno? ¿A cuántos trozos equivale esta cantidad? b)Si Martín se come una barra de la bolsa de cereal, ¿qué cantidad del total de cereal se ha comido? Si tienes 30 libros, ¿qué cantidad representan 1 1 respectivamente y 2 3 de ellos? En ambos casos, tanto la cantidad de chocolate para cada niño y niña como la cantidad de cereal que se come Martín pueden representarse respecto al total por 1 la fracción . 3 A. 12 y 8 B. 20 y 15 C. 15 y 10 1 se lee un tercio y representa 1 de las 3 partes igua3 1 les en que dividimos un entero, es decir, representa 3 la tercera parte de un total. 3.Pinta a) 1 de los siguientes objetos: 3 b) c) Las fracciones 91 Desarrollo mis aprendizajes 3 Significado, lectura y escritura de 1 1 y 4 8 ¿Sabías que...? Los ingredientes básicos de las pizzas española y napolitana son: Española: tomate, queso, choricillo, pimentón, orégano y jamón. Napolitana: tomate, queso, anchoas, pimentón, orégano y aceitunas. Paula y Felipe compraron dos pizzas del mismo tamaño para repartirla con sus familiares. Felipe compró una española dividida en cuatro trozos iguales y Paula una napolitana dividida en ocho trozos iguales: Antes de compartirla, ambos decidieron comer un trozo de su propia pizza para probarla. ¿Cuánto comió cada uno? ¿Quién comió más, Paula o Felipe? Felipe comió un trozo de los cuatro en que está divi1 dida su pizza. Es decir, del total. 4 1 se lee un cuarto y representa 1 de las 4 partes 4 1 en que dividimos un entero, es decir, representa la 4 cuarta parte de un total. Paula comió un trozo de los ocho en que está dividida 1 su pizza. Es decir, del total. 8 1 se lee un octavo y representa 1 de las 8 partes en 8 1 que dividimos un entero, es decir, representa la oc8 tava parte de un total. 92 Unidad 4 4 Veamos cuál de los dos comió más pizza. Lo que está en verde representa lo que comió de su pizza cada uno: 1 4 Felipe Paula 1 8 1 4 1 8 1 8 1 4 1 8 1 8 1 4 1 8 1 8 1 8 Felipe comió más pizza que Paula. 1.Escribe bajo cada figura la fracción que la representa: a) d) b) e) c) f) 2.Pinta lo necesario para representar a) b) 1 1 y del total: 4 8 c) d) 1 de 32 es: 8 A. 3 B. 4 C. 5 Las fracciones 93 Desarrollo mis aprendizajes 4 Significado, lectura y escritura de 3 2 y 4 3 Desafío al ingenio Observa cómo hemos dividido 1: Francisca invitó a dos de sus amigas a la casa y les ofreció uno de los cuatro trozos iguales en que dividió un queque: 1 1 2 1 2 Entonces: 1 1 + =1 2 2 1 3 1 3 1 3 Entonces: 1 1 1 + + =1 3 3 3 1 4 1 4 1 4 Entonces: 1 1 1 1 + + + = 4 4 4 4 1 4 ¿Qué fracción del queque comerán entre las tres? El queque se dividió en 4 partes, cada una de las cua1 les representa del total. Como son 3 los trozos que 4 3 repartirá Francisca entonces es la fracción que repre4 senta lo que comerán. 3 se lee tres cuartos y representa 3 de las 4 partes 4 3 en que dividimos un entero, es decir, representa las 4 tres cuartas partes de un total. 3 en los siguientes grupos de objetos pin4 tando los que corresponda: a) b) 1.Representa 94 Unidad 4 4 Observa la barra de chocolate: 2 de es 16. ¿Cuál 3 de los siguientes números completa correctamente la frase anterior? A. 20 B. 24 C. 28 2.Responde: a)¿En cuántos trozos está dividida la barra? En trozos. b)¿Cuántos pedazos se separaron de la barra? Se separaron trozos. c)¿Qué fracción representa a la parte de la barra que está fuera del envoltorio? 1 3 1 3 1 3 1 3 2 3 2 se lee dos tercios y representa 2 de las 3 partes en 3 2 representa las que dividimos un entero, es decir, 3 dos terceras partes de un total. 3.Indica la fracción que representa cada cuadrícula: a) b) c) Las fracciones 95 Desarrollo mis aprendizajes 5 Significado, lectura y escritura de 1 1 y 10 100 ¿Sabías que...? En la ant igu a Ro ma , cuando una Legión (unidad básica del ejército romano, compuesta por entre 5 000 y 10 000 soldados de infantería) se amotinaba, el legatus –o comandante– enviaba a ejecutar a 1 de cada 10 legionarios. A esta práctica se le llamó diezmar un ejército. La señora María vende frutillas en la feria: Si un hombre prueba una frutilla de una bandeja y una de un cajón, ¿qué fracción representan las frutillas degustadas del contenido total? 1 de 10 v 1 10 1 de 100 v 1 100 1 se lee un décimo y representa 1 de las 10 partes 10 1 representa en que dividimos un entero, es decir, 10 la décima parte de un total. 1 se lee un centésimo y representa 1 de las 100 100 partes en que dividimos un entero, es decir, representa la centésima parte de un total. 96 Unidad 4 4 1.A un colegio llegó un cargamento de 1 000 lápices: 1 de 500 equivale a: 10 A. 500 : 10 B. 500 · 10 C. 10 : 500 a)Si al cuarto básico le corresponde la décima parte del cargamento, ¿a cuántas cajas equivale esta cantidad? ¿A cuántos lápices? Equivale a cajas. Equivale a lápices. b)Si al quinto básico le corresponde la centésima parte del cargamento, ¿a cuántos lápices equivale esta cantidad? Equivale a lápices. 2.Marcos vive en un edificio de 100 pisos: 1 a)Si Marcos subió por las escaleras hasta de la al10 tura del edificio, ¿a qué piso llegó? Llegó al piso . 1 de la alb)Si Marcos sube en ascensor y le queda 100 tura total del edificio para llegar a la altura máxima, ¿en qué piso se encuentra? Se encuentra en el piso ¿Sabías que...? A las fracciones cuyo denominador corresponde a un 1 seguido de uno o más ceros se les llama fra cc ion es de cim ale s. Por ejemplo: 4 10 3 100 741 1 000 . 1 c)¿En qué piso se encuentra si ha subido hasta de la 2 altura del edificio? Está en el piso . Las fracciones 97 Desarrollo mis aprendizajes 6 Más fracciones 1.Don Fernando tiene un almacén que distribuye diferentes productos a algunos negocios de la comuna. 1 de sus ventas son bebidas. Esto lo podemos repre4 sentar como: Desafío al ingenio 1 1 16? ¿Cuánto es 4 de 4 de Pinta las casillas necesarias para representar la fracción de las ventas que corresponde a cada uno de los siguientes productos: a)Pan: b)Harina: Recuerda El centímetro es una unidad de longitud. Se abrevia como cm y equivale 1 a de 1 metro. 100 3 100 8 100 2.Marcela usa su regla para medir longitudes. Determi- na la medida de algunos objetos a partir de la fracción que representan del largo total de la regla: 0 1 2 3 a)Objeto 1. 2 del total = 6 b)Objeto 2. 5 del total = 12 98 Unidad 4 1 5 7 d)Otros: 100 c)Azúcar: 4 5 cm cm 6 7 8 9 10 c)Objeto 3. 3 del total = 4 d)Objeto 4. 5 del total = 6 11 cm cm 12 3.Completa la siguiente tabla: Se escribe 1 5 Se lee Recuerda Se representa Un quinto Dos sextos 5 8 4 Los números ordinales destacan la posición de un elemento: 1º: primero 2º: segundo 3º: tercero 4º: cuar to 5º: quinto Etc… Las fracciones se escriben y leen nombrando el numerador seguido del denominador. Cuando este último es 2 se dice “medios”, cuando es 3 “tercios” y desde el 4 hasta el 10 se utiliza el número ordinal correspondiente. Observa cómo se escriben algunas fracciones: 1 2 1 2 1 5 1 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Un Dos Un Dos Un Cinco Un Tres Un medio tercios cuarto quintos sexto séptimos octavo novenos décimo Para las fracciones con denominador mayor que 10 se ocupa la terminación 4 se escribe “cuatro treceavos”. “avo”. Por ejemplo: 13 4.Escribe cómo se leen las siguientes fracciones: 7 a) : 9 6 b) : 23 17 c) : 40 32 d) : 76 34 e) : 81 Las fracciones 99 Desarrollo mis aprendizajes 7 Recta numérica y orden Francisco y Eugenio compiten para ver quién llega pri1 mero a la meta. Francisco ha recorrido de la distancia 2 2 y Eugenio . Observa la siguiente representación: 3 1 2 1 3 M ETA 1 2 1 3 2 3 ¿Sabías que...? Una fracción puede ser: -P ropia: el numer ador es menor que el denominador y por lo tanto la fra cc ió n es m en or que 1. -Igual a 1: el numerador es igual al denominador y por lo tanto la fracción es igual a 1. -Impropia: el numerador es mayor que el denominador y por lo tanto la fra cc ió n es m ay or que 1. ¿Quién va ganando? Observando el esquema anterior concluimos que Eugenio va ganando porque ha recorrido mayor distancia. En otras palabras podemos afirmar que: 2 1 > 3 2 Esta relación la visualizaremos en una recta numérica. Para representar en una recta numérica una fracción propia debemos dividir el intervalo de 0 a 1 en tantas partes como indique el denominador y de ellas considerar tantas partes como indique el numerador. 3 en la recta numérica. Para 4 ello dividimos el intervalo de 0 a 1 en cuatro partes iguales y consideramos tres de ellas: Representemos primero 3 4 0 100 Unidad 4 1 Recuerda que en la recta numérica el mayor de dos números es el que está más a la derecha. 1 2 A continuación representaremos y . 2 3 ,, Dividimos el intervalo de 0 a 1 en tantos intervalos como nos indique el producto de los denominadores de las fracciones. En este caso serán 6 intervalos, ya que 2 · 3 = 6. 0 1 ,, Ubicamos ambas fracciones en la recta: 4 ¿Sabías que...? Cuando dos fr acciones tienen el mism o deno minador, es may or la que tiene mayor nu merador. Por ejemplo: 2 4 < 5 5 ya que 2<4 1 multiplicamos su numerador por el de2 nominador de la otra fracción: 1 · 3 = 3. Entonces consideramos 3 de los intervalos de la recta. 2 •Para ubicar multiplicamos su numerador por el de3 nominador de la otra fracción: 2 · 2 = 4. Entonces consideramos 4 de los intervalos de la recta. Aplicando los pasos anteriores tenemos: •Para ubicar 1 2 0 Como 2 3 1 2 1 está a la derecha de comprobamos que: 3 2 2 1 > 3 2 1 2 3 5 ellas es mayor: 1.Representa y en la recta numérica e indica cuál de 0 La mayor es ¿Cuál de las siguientes frac5 ciones es mayor que ? 6 4 A. 6 5 B. 6 6 C. 6 1 . Las fracciones 101 Desarrollo mis aprendizajes 8 Uso de fracciones Recuerda ades de A lg u n a s u n id longitud: km = kilómetro m = metro cm = centímetro mm = milímetro tre Equivalencias en ellas: 1 km = 1 000 m 1 m = 100 cm 1 cm = 10 mm Para llegar al colegio desde su casa, Alejandra recorre 1 una distancia de 1 kilómetro. Cuando había recorrido 4 del camino encontró a su hermano. ¿A cuántos metros de su casa ocurrió el encuentro? Alejandra se encuentra con su hermano cuando ha 1 recorrido del kilómetro que separa su casa del colegio. 4 Por lo tanto, podemos dividir 1 kilómetro en cuatro tramos, correspondiendo cada uno a un cuarto del total. La longitud de uno de estos tramos nos indicará el lugar del encuentro. Como ya sabemos 1 km = 1 000 m. Entonces: 1 000 m : 4 = 250 m 1 4 Casa ¿Sabías que...? Las fracciones impropias –mayores que 1– también se pueden representar gráficamente: 3 2 5 3 ¿Cuál es la regla? 102 Unidad 4 0 2 4 1 4 1 4 3 4 4 4 1 4 1 Colegio 4 250 m 500 m 750 m 1 000 m Como ves, el encuentro ocurrió a 250 m de la casa. 1.La mamá de Claudia compró 5 metros de tela y con de ella le hizo una falda. 1 5 4 a)¿Qué cantidad de tela utilizó la mamá en confeccionar la falda? Recuerda 0 5m Ocupó m. 3 de lo que quedó de tela tras confeccionar 4 la falda, la mamá se confeccionó un vestido de noche, ¿cuánta tela ocupó en él? b)Si con 0 A lg u n a s u n id ades de masa: kg: kilogramo g: gramo Equivalencia en tre ellas: 1 kg = 1 000 g m Ocupó m. 2.Felipe compró en el mercado de kg de queso. 1 1 de kg de jamón y 4 10 a)¿Cuántos gramos compró de jamón? b)¿Cuántos gramos compró de queso? 3.En una zona protegida se estima que existen 800 1 de 1 000 4 con la calculadora, debes digitar el numerador de la , fracción 1, presionar digitar 1 000, presionar y digitar el denominador 4. Obtendrás 250. Para calcular plantas. Completa el siguiente cuadro calculando la fracción del total que representa cada especie: Especie Cantidad 180 Quil-quil 250 Litre Michay Fracción 1 Juan ganó de $ 9 000 y 3 2 José de $ 7 500. ¿Quién 5 ganó más? A. Juan B. José C. Ganaron lo mismo 100 Las fracciones 103 Profundizando… Fracción de un número Una empresa constructora está levantando un edificio de 48 metros de 3 altura. Si actualmente el edificio está construido hasta las parte de la 4 altura que tendrá finalmente, ¿cuántos metros ya hay construidos? Hasta este momento hemos calculado la fracción de un número utilizando métodos gráficos. Observa: 1 4 0 1 4 1 4 12 m 2 4 1 4 24 m 3 4 36 m 1 4 4 4 48 m Como puedes ver, hay 36 m del edificio construidos hasta el momento. También podemos usar un método numérico para calcular la fracción de un número. Este consiste en multiplicar el número por el numerador de la fracción y luego dividir el resultado por el denominador de la fracción. Apliquémoslo para el ejemplo anterior: 3 Número: 48 Fracción: 4 3 · 48 = 144 144 : 4 = 36 También puedes invertir el orden de las operaciones, es decir, dividir el número por el denominador y luego multiplicar el resultado por el numerador. 48 : 4 = 12 12 · 3 = 36 Practica 1. Calcula las fracciones de los siguientes números y completa las frases: 1 de 60 es 4 5 b) de 100 es 10 a) 2 de 300 es 3 1 de 100 000 es d) 100 c) 1 4 6 de sus tarjetas a Lorena, a Laura y a Liliana. Si tenía 36 6 12 12 tarjetas para repartir, ¿cuántas corresponden a cada una de sus amigas? 2.Paz dio 104 Unidad 4 4 Comparando fracciones Sobre una mesa hay dos vasos idénticos con leche, al vaso A le queda 5 3 de su capacidad máxima, y al B le queda de su capacidad máxima. 6 4 ¿Cuál de los dos tiene más leche? gráfico: consiste en representar ambas fracciones en la recta numérica. La que esté más a la derecha será la mayor: ,,Método 3 4 5 6 0 1 3 3 5 5 está a la derecha de , entonces < y, por lo tanto, el vaso 4 4 6 6 B tiene más leche. Como ,,Método numérico: consiste en ubicar las fracciones una al lado de la otra y “multiplicar cruzado”, es decir, el numerador de la primera fracción con el denominador de la segunda y el denominador de la primera con el numerador de la segunda. Comparando estos productos podremos determinar cuál de las fracciones es mayor y cuál es menor: 5 3 6 4 3·6 4·5 18 20 3 5 Como 18 < 20, entonces < . 4 6 Practica 1.Compara las siguientes fracciones utilizando el método numérico: 3 a) 4 7 9 8 c) 9 2 3 6 e) 8 4 b) 6 5 10 6 d) 5 9 3 9 f) 10 7 7 9 100 2.Don Fernando desea repartir una cierta cantidad de dinero entre sus 2 1 5 del total, a Daniel y a Gustavo . ¿Cuál 6 4 12 de los tres hijos recibirá más dinero? ¿Cuál menos? tres hijos. A Sebastián dará Las fracciones 105 Resuelvo problemas Problema modelo En la verdulería El Túnel se vendieron 2 150 kg de frutas; de los cuales fueron 5 4 1 de uvas. de duraznos, de damascos y 15 3 ¿Cuántos kilogramos de duraznos, damascos y uvas se vendieron? Comprende: El total de frutas vendidas fue de 150 kilogramos. De ellos las 2 partes fueron kilogramos de duraznos, la 1 parte de damascos y 5 3 las 4 partes de uvas. 15 Planifica: Kilogramos de duraznos: Kilogramos de damascos: Calcular 2 5 de 150 Calcular 1 3 de 150 Kilogramos de uvas: Calcular 4 de 150 15 Resuelve: Duraznos: Número: 150 150 : 5 = 30 Numerador: 2 30 . 2 = 60 Denominador: 5 Damascos: Número: 150 150 : 3 = 50 Numerador: 1 50 . 1 = 50 Denominador: 3 Uvas: Numerador: 4 10 . 4 = 40 Denominador: 15 Número: 150 150 : 15 = 10 Responde: La verdulería vendió 60 kg de duraznos, 50 kg de damascos y 40 kg de uvas. Comprueba: Comprobamos multiplicando por el numerador y dividiendo por el denominador: Duraznos: 150 . 2 = 300 Damascos: 150 . 1 = 150 Uvas: 150 . 4 = 600 300 : 5 = 60 150 : 3 = 50 600 : 15 = 40 106 Unidad 4 4 Problema para ti Raúl compró una bolsa con 240 caramelos de 5 del total son caramelos rovarios sabores. 10 2 2 jos. De estos, son de frutilla y de guinda. 6 4 Si los caramelos rojos pueden ser solo de frutilla, frambuesa o guinda, ¿cuántos caramelos de frambuesa vienen en la bolsa? Comprende: Planifica: Resuelve: Responde: Comprueba: Las fracciones 107 Evalúo qué aprendí Síntesis de la unidad Fracciones a través de uso de identificación de 3 4 0 2 4 1 pude definirlas como aplicaciones en pude 2>1y3<7 4 3 8 8 3 cm y 8 kg en las que debí 3 de 8 es 6 4 2 + 1 =1 3 3 me permitieron Usar fracciones para representar situaciones cotidianas Completa los recuadros de la red con los siguientes conceptos. Guíate por las pistas que están en la parte inferior de cada recuadro: ,, Comparar fracciones ,, Recta numérica ,, Medición de longitudes y masas ,, Partes de un todo 108 Unidad 4 ,, Operar fracciones ,, Numerador y denominador ,, Métodos gráficos 4 Evaluación Identifica el numerador y el denominador de las siguientes fracciones. Señala además cómo se lee cada una de ellas: Fracción 1 3 7 12 11 67 Numerador Denominador Ubica en la recta numérica las fracciones Se lee… 3 3 y . Indica luego cuál es mayor: 6 4 0 1 Representa en las cuadrículas las siguientes fracciones: 7 12 a) b) c) 18 12 1 4 Indica una fracción que represente las unidades coloreadas en cada grupo: a) b) c) Las fracciones 109 5 Los números decimales En esta unidad aprenderás a: ££Comprender lo que representa un número decimal. ££Leer y escribir números decimales hasta el centésimo. ££Relacionar los números decimales con las fracciones decimales. ££Representar números decimales en la recta numérica. ££Comparar números decimales. ££Emplear números decimales para expresar cantidades y resolver problemas. 110 Observa y responde: ¿Sabes lo que es una sigla? ¿Sabes qué significa IPC? ¿Qué productos han aumentado su precio en los últimos meses? Menciona dos. ¿Cómo lees los números que aparecen en la tabla? ¿Qué representa la coma que aparece entre los números de la tabla? ¿En qué otra parte has visto esta clase de números, llamados decimales? 111 Rescato mis conocimientos Comprando en la baratella Bárbara se encuentra en el almacén La baratella donde debe comprar varias cosas: 112 Unidad 5 5 La mamá de Bárbara le dio la siguiente lista de compras: Completa los siguientes esquemas relacionando los números decimales con las fracciones decimales que le corresponden. Básate en el ejemplo: 1,5 Una y media unidad 0,5 2,5 1,0 Media unidad 15 10 A partir del esquema completa con las fracciones que correspondan: a)1,5 = b)0,5 = c)2,5 = d)1,0 = ¿Cuánto dinero gastó Bárbara en las compras? Ocupa los valores fraccionarios para calcularlo. a)Harina: $ c)Parafina: $ b)Aceite: $ d)Alimento de perro: $ Los números decimales 113 Desarrollo mis aprendizajes 1 Decimales y su significado ¿Sabías que...? ventaE xisten muchas eb como jas de usar la W a o pago. medio de compr reducen Por un lado se s trámilos tiempos en lo las colas tes y se evitan mprar o a la hora de co se ahopagar y, por otro, robantes rr an los comp a es dar en papel. La tare et a toda acceso a Intern d e l p a ís la p o b la c ió n ic ar esta par a así masif actividad. Buscando en Internet, Javier encontró un bonito monedero para su hermana pequeña. Al buscar el precio se encontró con lo siguiente: Como el número le era desconocido, decidió investigarlo. A.Encontró que poseía tres partes: Parte entera 0,5 ¿Sabías que...? El Euro (€) es la moneda oficial de la Unión Europea (UE) desde el 1 de enero de 1999. Al 2009 circula libremente en 22 países europeos. Parte decimal Coma decimal Los números decimales están formados por una parte entera en el lado izquierdo y por una parte decimal en el lado derecho. Una parte está separada de la otra por la coma decimal. 1.Pinta azul la parte decimal y verde la parte entera de los siguientes números: 114 Unidad 5 a) c) b) d) 5 B.Javier encontró que se podía leer y escribir como: “Cinco décimas” Para nombrar un número decimal debes: ,, Nombrar la parte entera seguida de la palabra ENTEROS o UNIDADES. Si esta parte es cero, no se nombra. ,, A continuación intercalar la letra Y. ,, Nombrar la parte decimal. Si posee solo un dígito agregar la palabra DÉCIMAS. Si posee dos dígitos agregar la palabra CENTÉSIMAS. 2.Escribe con palabras los siguientes números decimales: Recuerda La pa rte en te ra de un número decimal se descompone posicionalmente igual que los números na turales. Es de cir, de derecha a izquierda, en unidade s (U), de cena s (D), centen as (C), unidades de mil (UM), etc. 3 651,03 a)0,2: b)0,94: c)1,3: 3.Escribe el número decimal que corresponde: a)Cuatro centésimas: b)Dos unidades y 8 décimas: c)Treinta y cuatro unidades y dos décimas: C.Finalmente encontró que el precio en pesos chilenos era de $ 400 y dedujo lo siguiente: “Como $ 800 equivalen a 1 €, y 400 es la mitad de 800, entonces 0,5 € equivalen a la mitad de 1 €… y por lo tanto: 0,5 es la mitad de 1” 4.Responde: a)¿Cuánto cuestan 0,5 kg de carne si 1 kg vale $ 1 200? $ b)¿Cuánto cuesta 1 L de gasolina si 0,5 L valen $ 240? $ El número “una unidad y cuatro centésimas” corresponde a: A. 1,4 B. 1,04 C. 1,004 Los números decimales 115 Desarrollo mis aprendizajes 2 Decimales y fracciones decimales Recuerda Las fracciones decimales son aquellas cuyo denominador está constituido por un 1 seguido de uno o más ceros: 3 10 52 100 7 1 000 12 10 000 Etcétera. EL profesor de Matemática está dictando una serie de números para que los estudiantes los escriban en sus cuadernos: Lorena escribió lo que está a la izquierda y Carlos lo que está a la derecha: 4 B. C. Para comprobar la equivalencia fracción-decimal debes dividir el numerador y el denominador de la fracción. El cociente debe coincidir con la expresión decimal. Por ejemplo: 3 = 0,3 10 Digita el numerador 3, presiona , digita el denominador 10 y presiona . Obtendrás 0,3. 116 Unidad 5 A. 0,04 A. 100 9 B. 0,9 10 14 C. 0,14 100 ¿Cuál de los dos escribió correctamente los números? Ambos escribieron correctamente: Lorena expresó los números usando fracciones y Carlos usando números decimales. He aquí la equivalencia: 0,04 = 4 100 0,9 = 9 10 0,14 = 14 100 Los números decimales se pueden expresar como fracciones decimales y viceversa: Si el número decimal tiene 1 dígito en la parte decimal, se escribe el número sin la coma como numerador y un 10 como denominador. Si el número decimal tiene 2 dígitos en la parte decimal, se escribe el número sin la coma como numerador y un 100 como denominador. 5 1.Expresa los siguientes números decimales mediante una fracción decimal: a)0,2 = d)18,6 = b)0,77 = e)0,3 = c)1,58 = f)9,21 = Desafío al ingenio Resuelve gr áfic am ente la adición: 0,3 + 0,5 + 0,2 = ? Ocupa la sigui ente cuadrícula: 2.Pinta los recuadros necesarios para representar los números decimales: a) 0,3 b) 0,15 Una expresión fraccionaria de 1,43 es: 143 A. 10 143 B. 100 143 C. 1 000 c) 0,7 3.Cuando la parte entera de un número decimal es 0, el valor del número decimal es menor que 1. A continuación, pinta los números que son menores que 1: 0,35 1,06 0,9 1,5 0,01 3,24 Los números decimales 117 Desarrollo mis aprendizajes 3 Igualdades y expresión decimal de una fracción Don Joaquín compró una puerta. En las especificaciones leyó que su altura era de 2,20 metros: ¿Sabías que...? s de Las especificacione en rib un produc to desc stina el uso al que se de bre y las indicaciones so esensus características una ciales. En el caso de ones puer ta las indicaci drían fundamentales po s de se r lo s m at er ia le su s qu e es tá he ch a y largo dimensiones: alto, y ancho. Recuerda Así como el agregar ceros a la izquierda de un número natural no altera su valor (43 = 043 = 0043), el agregar ceros a la derecha de la par te decimal de un número t ampoco lo hace (2,1 = 2,10 = 2,100). Al medir con su huincha anotó: 1.Responde: a)¿Cometió un error don Joaquín al medir la altura de la puerta? b)¿Cómo se escribe con palabras la altura según las especificaciones de la puerta y según el valor que obtuvo don Joaquín? 2,20: 2,2: ¿Hay alguna diferencia entre ambos números? Cuando agregamos ceros a la derecha de la parte decimal de un número no se altera su valor. Por ejemplo, tienen el mismo valor: 9,8 = 9,80 = 9,800 3,14 = 3,140 = 3,1400 118 Unidad 5 5 2.Une mediante una línea los términos que están a la derecha con sus equivalente a la izquierda: Una décima 0,120 1,40 Una unidad y cuarenta centésimas Siete décimas Diez centésimas 0,12 0,70 Observa las siguientes fracciones: ¿Sabías que...? Un núm er o n a tura l s e p u e d e ex p re s ar como u n n ú m e ro d e c im a l c u y a p a r te d e c im a l es cero: 13 = 13,00000… 6 8 124 30 100 100 10 100 ¿Cuál es la expresión decimal de cada una de ellas? Como ya vimos, el número de ceros del denominador indica la cantidad de dígitos decimales que debemos marcar en el numerador (se indican en azul). Entonces: 30 = 0,30 = 0,3 100 8 = 0,8 10 6 = 0,06 100 124 = 1,24 100 3.Expresa las fracciones decimales como números deci- males. Indica en cada caso la cantidad de ceros que posee el denominador y las cifras decimales del número decimal: 3 18 a) = c) = 100 10 654 b) = 10 9 d) = 10 Una fracción con el mismo 7 valor que es: 10 7 A. 100 70 B. 10 70 C. 100 Los números decimales 119 Desarrollo mis aprendizajes 4 Números decimales en la recta numérica ¿Sabías que...? El IPC (Índice de Precios al Consumidor) indica la variación mensual de los precios de una canasta de pr od uc to s de co nsumo bá sico. A mayor IPC, los precios de los ar tículos que compra s son mayores y todo se hace más caro. Mirando el periódico Matías encontró que el valor del IPC de abril del 2007 fue de 0,6 y quiso representar este número en la recta numérica. Ayudémoslo… 1ºDibuja la recta numérica. Como 0,6 es menor que 1 basta que dibujes el intervalo del 0 al 1: 0 1 0 1 6 (“seis décimos”), 2ºComo el número 0,6 equivale a 10 dividimos el intervalo en 10 partes iguales: 3ºFinalmente contamos 6 espacios de izquierda a derecha y ubicamos el número en esta posición: 0,6 0 1 Hemos representado 0,6 en la recta numérica. En julio del mismo año el valor del IPC fue de 1,1. Para ubicarlo en la recta debemos fijarnos que este número está entre 1 y 2, por lo tanto, ahora dividimos este intervalo en 10 partes y consideramos uno de ellos: 1,1 0 1 Hemos representado 1,1 en la recta numérica. 120 Unidad 5 2 5 1.Representa los siguientes números decimales en las rectas numéricas: a)0,3: 0 1 b)1,7: 0 1 2 c)0,9: 0 1 Recuerda P ar a repre sen tar en la recta numérica números decimales may ores que 1 debes tr abaj ar sobre el intervalo def inido por la p ar te en tera del número y su suce sor. Por ejemplo: - El 3,7 se ubic a entre el 3 y el 4. - E l 12,24 se ub ica entre el 12 y el 13. 2.Observa los valores del IPC el primer semestre del año 2008: Enero 0,0 Febrero 0,4 Marzo 0,8 Abril 0,4 Mayo 1,2 Junio 1,5 a)Representa cada valor en la recta numérica: 0 1 2 b)¿Qué meses se registró el mismo valor de IPC? 3.Identifica los números decimales que están en la recta numérica y escríbelos con palabras: 0 1 2 Los números que aparecen en la recta numérica son: : : Considera el número decimal 0,7. En la recta numérica el número 0,70 está: A. En su misma posición. B. A su derecha. C. A su izquierda. Los números decimales 121 Desarrollo mis aprendizajes 5 Comparación de números decimales El valor del dólar en pesos chilenos es un factor muy importante para el desarrollo del comercio tanto dentro del país como fuera de él. A continuación se muestra el valor en pesos de la moneda estadounidense para algunos días de enero del 2009: 5 6 7 8 9 640,91 643,87 633,23 630,19 629,50 1.Responde: a)¿Qué día el valor del dólar fue mayor? El de enero. b)¿Qué día el valor del dólar fue menor? El de enero. 2.Realiza las siguientes actividades: ¿Sabías que...? Un a ca sa de ca m bi o es un centro que permite cambiar monedas de un país por monedas de otro. Cualquiera de nosotros puede comprar dólares en las casas de cambio, o cualquier otra moneda ex tranjera. a)Ordena los valores de la tabla de mayor a menor: > > > > b)Escribe con palabras los números decimales de la tabla: 5 de enero: 6 de enero: 7 de enero: 8 de enero: 9 de enero: Para comparar el valor de dos números decimales debes partir por la parte entera. Si esta es igual, debes ir comparando los dígitos decimales uno a uno de izquierda a derecha. Por ejemplo: 3,5 es mayor que 3,46 ya que el primer dígito decimal (décima) así lo indica (5 > 4). 122 Unidad 5 5 3.Mauricio compró tres bebidas: Desafío al ingenio a)¿Cuál de las tres botellas contiene más bebida? La de litros. Agregando un símbolo tr a n s form a e l núm er o 78 en otro que se ubique entre el 7 y el 8 en la recta numéric a. b)¿Cuál de las tres contiene menos bebida? La de litros. 4.En una ciudad del norte de Chile se registraron los siguientes valores en milímetros para las precipitaciones mensuales del año 2005: Lluvia Mayo Junio Julio Agosto 8,7 10,34 8,58 9,6 a)¿Cuál fue el mes más lluvioso de los señalados? El mes de . b)¿Cuál fue el mes menos lluvioso de los señalados? El mes de . 5.La lluvia mensual normal medida en milímetros en la misma ciudad es la siguiente: Lluvia normal Mayo Junio Julio Agosto 12,06 17,2 14,91 12,44 a)¿El intervalo mayo-junio-julio-agosto del 2005 en la ciudad fue seco o lluvioso? Compara los valores del 2005 con los valores normales de la segunda tabla. b)Ordena los datos de lluvia en un año normal de menor a mayor: < < < ¿Cuál de los siguientes números es mayor que 30,65 y menor que 30,72? A. 29,70 B. 30,58 C. 30,66 Los números decimales 123 Desarrollo mis aprendizajes 6 Uso de los números decimales Como ya sabes la unidad de longitud es el metro, que a su vez podemos subdividir en 10 y 100 partes iguales: Si subdividimos 1 metro en diez partes iguales a cada una de ellas llamamos 1 decímetro, es decir, una décima de metro es 1 decímetro: Recuerda Las unidades de longitud se pueden abreviar: Metro: m Decímetro: dm Centímetro: cm Otras unidades de longitud de uso común son: Kilómetro: km Milímetro: mm 1 m = 0,1 m = 1 dm 10 Si ahora lo subdividimos en 100 partes cada una de ellas equivale a 1 centímetro, o sea que una centésima de metro es 1 centímetro: 1 m = 0,01 m = 1 cm 100 ¿Sabías que...? idad Se cuenta que la un yarda de longitud inglesa cm) (equivalente a 91,44 glés la estableció el rey in rnó Enrique I (que gobe C.) hacia el 1100 d. de entre como la distancia pulsu nariz y el dedo cha gar de su mano dere azo (man teniendo el br ex tendido). Es usual utilizar números decimales para expresar longitudes. Algunas equivalencias entre unidades de medida de longitud son: 1 m = 10 dm o 0,1 m = 1 dm 1 m = 100 cm o 0,01 m = 1 cm 1 dm = 10 cm o 0,1 dm = 1 cm Algunas reglas importantes: Coma a la derecha Mover dos posiciones Mover una posición Metro Mover una posición Decímetro Mover una posición Mover una posición Mover dos posiciones Coma a la izquierda 124 Unidad 5 Centímetro 5 1.Completa la siguiente tabla con las equivalencias entre unidades de longitud. Metro Decímetro Centímetro 1 10 100 50 7 0,3 2. Renato Roberto Braulio a)Ordena los nombres de los niños desde el más alto al más bajo. > > b)Expresa las alturas anteriores en decímetros: Renato mide Roberto mide Braulio mide dm de altura. dm de altura. dm de altura. c)Expresa las alturas en centímetros. Renato mide Roberto mide Braulio mide 1,9 metros equivalen a: A. 19 cm B. 190 cm C. 1 900 cm cm de altura. cm de altura. cm de altura. Los números decimales 125 Profundizando… La milésima y otros valores posicionales decimales Hasta ahora hemos visto los valores decimales hasta la décima y la centésima. Otros valores decimales son: Unidad Coma Décima Centésima Milésima Diezmilésima 2 , 3 2 7 6 Este número 2,3276 se lee “dos unidades y tres mil doscientas setenta y seis diezmilésimas”. Por ejemplo: 6 0,006 = Se escribe: seis milésimas. 1 000 0,014 = 14 1 000 0,7331 = 7 331 10 000 Se escribe: catorce milésimas. e escribe: siete mil trescientos treinta y un S diezmilésimas. Practica 1. Escribe con palabras los siguientes números decimales: a)13,004: b)0,0101: c)1,540: d)0,032: e)2,3407: f)0,0051: 2.Expresa como número decimal las siguientes fracciones: a) 23 = 1 000 1 b) = 1 000 126 Unidad 5 c) 884 = 1 000 1 054 d) = 1 000 5 Más unidades de longitud A.Ya vimos que si dividimos 1 metro en 10 partes iguales obtenemos 10 decímetros y que si lo dividimos en 100 partes, entonces obtenemos 100 centímetros. ¿Qué ocurre si dividimos 1 metro en 1 000 partes iguales? Cada una de las 1 000 partes en que se divide el metro corresponde a 1 milímetro, es decir, una milésima de metro es 1 milímetro: 1 m = 0,001 m = 1 mm 1 000 B.Una maratón es la prueba olímpica más larga de las corridas a pie. Consiste en recorrer un trayecto de 42,195 kilómetros. ¿Cómo podemos expresar esta distancia en metros? Observa: Si dividimos 1 kilómetro en 1 000 partes iguales obtendremos 1 metro. Otra forma de señalar esta relación es indicar que la milésima parte de un kilómetro es un metro: 1 km = 0,001 km 1m= 1 000 Practica 1.Completa la siguiente tabla con los números que corespondan: Milímetro Centímetro Decímetro Metro Kilómetro 1 500 30 100 6 000 400 Los números decimales 127 Resuelvo problemas Problema modelo Alonso y Tomás desarrollaron una prueba. Alonso demoró 35,16 minutos en responder 3 515 su prueba. Por su parte, Tomás demoró 100 minutos en desarrollar la suya. ¿Quién demoró menos tiempo en responder la prueba? Comprende: Dos estudiantes han resuelto una misma prueba. 3 515 Alonso lo hizo en 35,16 minutos. Tomás lo hizo en 100 minutos. Planifica: Debemos expresar el tiempo que demoró Tomás mediante un número decimal. Luego, comparamos los dos números decimales que representan los tiempos que tardaron los niños. El número menor corresponde al niño que demoró menos. Resuelve: En el tiempo de Tomás 3 515, separamos el numerador y ubicamos la coma de 100 manera que determine dos dígitos decimales: 3 515 = 100 35,15 Para comparar los números primero notamos que la parte entera es idéntica y que el dígito de las décimas es 1 para ambos. Finalmente, constatamos que el dígito de las centésimas para el tiempo de Alonso es 6 y para Tomás es 5. Por lo tanto: Tpo. de Tomás < Tpo. de Alonso; ya que 35,15 < 35,16. Responde: Tomás demoró menos tiempo. Comprueba: El tiempo de Alonso se lee “treinta y cinco unidades y diez y seis centésimas” y el de Tomás “treinta y cinco unidades y quince centésimas”. Las unidades coinciden pero Alonso demoró “una centésima más”. 128 Unidad 5 5 Problema para ti Las familias de María, Mónica y Marcela partieron de vacaciones a diferentes lugares. La de María fue a un balneario ubicado a 124,364 km, la de Mónica a una playa ubicada a 124,436 km y la de Marcela a un lago distante 124,643 km. ¿Cuál de las tres familias debió viajar más kilómetros? Comprende: Planifica: Resuelve: Responde: Comprueba: Los números decimales 129 Evalúo qué aprendí Síntesis de la unidad Números decimales a través de identificación de uso de 3,2 0 pude 0,5: cinco décimas 1 2 aplicaciones en 3 fui capaz de 3 = 0,3 10 0,7 < 0,9 y 2,4 > 1,4 1BBB2BBB3 3 cm hicieron posible 1,5 m = 150 cm = 1 500 mm me permitieron Comprender información expresada mediante números decimales Completa los recuadros de la red con los siguientes conceptos. Guíate por las pistas que están en la parte inferior de cada recuadro: ,, Expresar fracciones como números decimales ,, Parte entera, coma y parte decimal ,, Mediciones de longitud 130 Unidad 5 ,, Establecer relaciones de orden ,, Convertir unidades de medida ,, Leer y escribir números decimales ,, Recta numérica 5 Evaluación Observa los siguientes sacos de harina: a)Ubica las fracciones en la siguiente recta numérica: 0 1 b)Ordena de menor a mayor los números decimales anteriores: > > > c)Escribe con palabras los números decimales que indican el contenido de harina de cada saco: 0,25: 0,35: 0,2: 0,3: Expresa las siguientes cantidades en la unidad que se indica: a)300 cm = b)5 mm = m cm c)350 m = d)700 cm = km dm Expresa cada número decimal en forma fraccionaria: a)0,47 = c)0,72 = b)1,03 = d)304,1 = Los números decimales 131 6 Organizando información En esta unidad aprenderás a: ££Recolectar y organizar datos del entorno. ££Extraer información a partir de tablas de datos. ££Leer y extraer información desde gráficos de barras verticales y horizontales. ££Representar información en gráficos de barras. ££Interpretar información. 132 Observa y responde: ¿Qué están haciendo los niños y niñas? ¿Cuántos niños y niñas hay? ¿Cuántos juguetes hay de cada tipo? ¿Has realizado obras de caridad con tu curso? 133 Rescato mis conocimientos Las flores de doña Margarita Un grupo de niños y niñas ayudó a la señora Margarita a plantar flores en su patio. Dos meses más tarde la visitaron para ver el resultado y se encontraron con el siguiente espectáculo de colores: 134 Unidad 6 6 Observando el patio de doña Margarita, realiza las siguientes actividades: Pinta las casillas del color que se indica. Una casilla por cada flor del color respectivo. Parte desde abajo: 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Azul Rosado Rojo Violeta Amarillo Responde: a)¿Cuántas flores hay en total? Hay flores. b)¿De qué color hay más flores? De color . c)¿De qué color hay menos flores? De color . d)¿Cuál es la diferencia entre flores azules y amarillas? . El único ingreso de la señora Margarita lo obtiene por la venta de sus flores. Las rojas las vende a $ 300, las azules a $ 200, las rosadas a $ 400, las amarillas a $ 150 y las violetas a $ 100. Calcula sus ingresos si: a)Vende 3 flores de cada color. Obtendrá $ . b)Vende 2 rojas, 3 violetas y 5 rosadas. Obtendrá $ . c)Vende 4 amarillas, 6 azules y 1 violeta. Obtendrá $ . d)Vende 2 violetas, 2 azules, 3 rojas y 2 amarillas.Obtendrá $ . e)Vende todas las flores que hay en el patio. . Obtendrá $ Organizando información 135 Desarrollo mis aprendizajes 1 Datos ordenados La Teletón es una fundación que se encarga del tratamiento y rehabilitación de miles de niños y niñas con algún tipo de discapacidad motriz, contando para ello con 10 centros de rehabilitación a lo largo del país. Observa la siguiente tabla: Centro Nº de pacientes Arica 500 Iquique 500 Antofagasta 1600 Coquimbo 800 Valparaíso 3 200 Santiago 8 500 Talca ¿Sabías que...? La prim era Tel etó n se realizó en 1978 y desde entonces es la obr a más importante que se ha efectuado en favor de los niños y niñas con discapacidad; no sólo por trabajar en su rehabilitación, sino que además por haber producido en el país un cambio cultural a fav or de la dig nidad y los der ech os de las per son as con discapacidad. 600 Concepción 3 340 Temuco 1 620 Puerto Montt 2 315 Fuente: Fundación Teletón. 1.Responde: a)¿Qué criterio se ocupó para presentar la información? b)¿En qué centro se atiende a más niños y niñas? En el centro de . c)¿En qué centros se atiende a menos niños y niñas? En los centros de e Una tabla de datos permite ordenar los datos recolectados de manera que cualquier persona pueda leerlos y entenderlos. También recibe el nombre de tabla de registros. 136 Unidad 6 . 6 2.En una ciudad se registró cuántas empresas hicieron aportes a la Teletón. Los datos por rubro de la empresa son: Rubro Nº de empresas que aportaron Alimenticio 14 Minero 11 Pesquero 8 Forestal 17 Desafío al ingenio Adivina las edades de las siguientes niñas representadas en la tabla con las letras a, b, c y d: Responde: a)¿Cuántas empresas aportaron a la Teletón? empresas. b)¿Cuál es el rubro que más se hizo presente en número de empresas? El rubro . c)¿Cuál es el rubro que menos se hizo presente en número de empresas? El rubro . 3.La meta impuesta a un pequeño poblado para la Te- Niña Edad Pía a Paz b María c Laura d Las pistas son: -b es dos unidades mayor que a. -d es 3 unidades menor que c y 5 unidades mayor que a. -El valor de c es 20. letón es de $ 950 000. Hasta las 23:00 (1 hora antes del cierre) se han recibido $ 730 000. Los últimos 5 aportes de los pobladores fueron los siguientes: Hora del aporte Aporte 23:18 $ 45 000 23:20 $ 50 000 23:48 $ 18 000 23:55 $ 32 000 23:59 $ 60 000 4.Responde: a)¿Se alcanzó la meta? b)¿Cuánto dinero faltó o sobró? $ Organizando información 137 Desarrollo mis aprendizajes 2 Ordenando información Es común que muchos colegios se organicen para reunir fondos para la Teletón. Los terceros recaudaron $ 30 000, los sextos $ 25 000, los primeros $ 20 000, los cuartos $ 50 000, los segundos $ 15 000 y los quintos $ 10 000. 1.Ordena en la tabla los datos por nivel (del menor al ¿Sabías que...? mayor): Nivel El m on to re un id o en la Te let ón re ali za da el añ o 20 08 as ce nd ió a $ 22 533 294 849. ¿Sabes cómo se escribe con palabras este número? Averígualo. Monto reunido 2.Ordena los datos por cantidad reunida (de mayor a menor): Nivel 138 Unidad 6 Monto reunido 6 Para ordenar la información en una tabla de datos debes establecer algún criterio o relación entre ellos. Por ejemplo, puedes ordenar los datos numéricos en orden creciente o decreciente y los datos no numéricos, puedes ordenarlos en orden alfabético. 3.Responde: a)Considera las tablas que elaboraste en la página anterior, ¿en cuál de ellas es más cómodo averiguar el nivel que aportó con más dinero? La tabla . El nivel que más aportó fue el de los con $ . Recuerda Los números p ares son los que terminan en 0, 2, 4, 6 u 8. L o s n ú m er o s im p a re s son los que term inan en 1, 3, 5, 7 ó 9. b)¿En cuál de las tablas es más cómodo consultar para calcular la diferencia entre lo que aportaron los primeros y los segundos básicos? La tabla . La diferencia fue de $ . 4.Una alumna realizó una encuesta en su cuadra preguntando: En esta casa, ¿existió algún aporte a la última Teletón? Los resultados fueron: Casa 1: Sí Casa 4: No Casa 7: Sí Casa 10: Sí Casa 2: Sí Casa 5: No Casa 8: No Casa 11: No Casa 3: No Casa 6: Sí Casa 9: Sí Casa 12: Sí Indica con una cruz las respuestas anteriores en la segunda columna de la tabla y en la tercera escribe el total de preferencias para cada opción: Respuesta Sí No Marcas Total De las siguientes tres formas de ordenar las edades de los estudiantes de un curso elije la que te parece menos útil: A. Desde el estudiante mayor al menor. B. En orden alfabético por apellido. C. Primero las edades pares y luego las impares. Organizando información 139 Desarrollo mis aprendizajes 3 Lectura de gráficos de barras Los cursos de un colegio recolectan ropa en buen estado para enviar a diversas fundaciones de ayuda a personas de escasos recursos. El detalle de lo reunido se muestra en el siguiente gráfico: 20 ¿Sabías que...? 15 Unidades En Chile muchas instituciones reciben ropa usada que luego distribuyen a las personas más desposeídas. Una de ellas es la Cruz Roja. 10 5 0 Pantalones Poleras Vestidos Zapatillas Prendas 1.Traslada la información del gráfico a la siguiente tabla de datos: Recuerda e barras, En un gráfico d a lt a (d e la b a rr a m á s d) indic a mayor longitu uente y el dato más frec e menor la más b aj a (d s menos longitud) el dato frecuente. Prenda Nº de unidades En un gráfico de barras la altura de cada barra indica la cantidad de veces que se repite el dato graficado. Se dice entonces, que cada barra indica la frecuencia del dato. Las barras pueden ser verticales –como en el gráfico anterior– u horizontales. 140 Unidad 6 6 2.Pinta los casilleros que correspondan de acuerdo a la información entregada en el gráfico de la página anterior: Prendas Zapatillas Vestidos Poleras ¿Sabías que...? Pantalones 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Unidades 3.A partir de los gráficos anteriores completa: a)La frecuencia para el dato zapatillas es . b)La frecuencia para el dato vestidos es . Al da to m ás fre cu en te de un co nj un to de da to s se le lla m a la “m od a” de l co nj un to . Así, por ejemplo, si la edad más frecuente en tu curso es de 9 años, entonces la “moda” es tener 9 años. c)La diferencia entre la frecuencia del dato pantalones y el dato vestidos es . 4.Las notas del 4º B en una prueba de Matemática se representan en el siguiente gráfico: 7 5 4 Frecuencia Estudiantes 6 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 a)¿Cuál fue la nota más frecuente? b)¿Cuál fue la nota menos frecuente? c)¿Cuántos estudiantes tiene el 4º B? 7 Nota A B C Dato Según el gráfico, el dato más frecuente o moda es: A. A B. B C. C Organizando información 141 Desarrollo mis aprendizajes 4 Representación gráfica de información Los organizadores de una jornada solidaria para ayudar a un hogar de ancianos ofrecen jugos de fruta natural a las personas que asisten a ella: ¿Sabías que...? Mundial La Organización S) recode la Salud (OM al menos mienda comer frutas al 400 gramos de comes día. Es decir, si e frutas esta cantidad d sentirás diariamente te sano y fuer te. La cantidad vendida de jugos el primer día fue: Frutilla Naranja Damasco Piña 8 11 9 6 Jugo Cantidad Vasos Representemos la información en un gráfico de barras: 1ºDibujamos los dos ejes, uno horizontal y otro vertical. A cada uno le damos un nombre. En el eje horizontal anotamos los sabores de jugo y en el vertical la cantidad de vasos: 142 Unidad 6 12 10 8 6 4 2 0 F N D P Sabores 6 Vasos 2ºDibujamos las barras de la altura que indique la cantidad consumida de cada sabor: 12 10 8 6 4 2 0 F N D P Sabores 1.Dibuja el mismo gráfico anterior pero ahora con las barras dispuestas en forma horizontal. 2.Construye el gráfico de barras que representa la infor- mación de la tabla que indica la cantidad de verduras y hortalizas cosechadas en una huerta: Verdura Unidades 13 7 16 17 Recuerda Los datos que ubicas en los ejes de un gráfico deben estar a la misma distancia uno del otro. Además, los datos numéricos deben ubicarse en posiciones que muestren la relación entre sus valores. Por ejemplo, en el eje siguiente los valores numéricos NO están correctamente posicionados: 20 12 5 2 1 0 ¿Por qué? Organizando información 143 Desarrollo mis aprendizajes 5 Uso de tablas y gráficos ¿Sabías que...? Al conjunto de personas al que está dirigida una encuesta se le llama población. Como este conjunto suele ser muy grande se selecciona un grupo representativo de menos individuos al que se llama muestra. Por ejemplo, si se desea saber la opinión de los estudiantes de educación básica del país (población) acerca de un tema dado, lo que puedes hacer es encuestar a los estudiantes de tu colegio (muestra). Las encuestas permiten obtener información específica mediante preguntas al conjunto de personas a las que está dirigida. ¿Sabes cuál es el mes en que nacen más personas en Chile? Este dato no podrás obtenerlo en forma sencilla. Sin embargo, a nivel mucho más local puedes averiguar cuáles son los meses en que nacieron los integrantes de un curso cualquiera de tu colegio y del colegio en su totalidad. 1ºEscriban en tarjetas de cartón lo que se indica más abajo. Hagan muchas copias para repartir en los cursos: Marca el mes en que naciste: Enero Mayo Septiembre Febrero Junio Octubre Marzo Julio Noviembre Abril Agosto Diciembre 2ºRealicen la encuesta en cada uno de los cursos del colegio. Para ello formen grupos de visita a cada curso a encuestar. 3ºUna vez finalizada la encuesta viene la organización de la información. Completen la tabla de registro con los datos del curso que les tocó encuestar: Colegio: Mes Nº 144 Unidad 6 Curso: E F M A M J J A S O N D 6 4ºCon las frecuencias de los meses construyan un gráfico de barras pintando los casilleros que correspondan: Estudiantes Colegio: 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 Curso: E F M A M J J A S O N D Meses 1.A partir de los datos recolectados respondan: a)Del grupo de estudiantes que te tocó encuestar, ¿en qué mes ocurrieron más nacimientos? En el mes de . b)Del grupo de estudiantes que te tocó encuestar, ¿en qué mes ocurrieron menos nacimientos? En el mes de . c)¿Qué puedes concluir de esta encuesta? 2.Reúnan en una nueva tabla de datos la información obtenida de todos los cursos del colegio y construyan en sus cuadernos un gráfico que represente a todo el alumnado. a)¿Difieren sus respuestas de la actividad 1. al considerar ahora a todo el colegio? b)¿Fue el curso que les tocó encuestar representativo del universo de estudiantes del colegio? Una encuesta permite: A. Elegir las autoridades del país. B. Averiguar características o la opinión de un grupo de personas. C. D istinguir entre una población pequeña y la población nacional. Organizando información 145 Profundizando… Gráficos de barras dobles Un grupo de estudiantes viajó a un nuevo criadero de conejos en el sur de Chile. En este criadero existen conejos de tres razas diferentes. Uno de los encargados del criadero les dio una tabla con la siguiente información: Raza A Raza B Raza C Blancos 11 12 8 Negros 13 9 12 Conejos Además les dio el gráfico de barras que está a continuación: 14 12 10 8 6 4 2 0 B N Raza A B N Raza B B N Raza C Como ves existen tres categoría de datos: Raza A, Raza B y Raza C. Cada una de ellas está representada por dos barras, una que indica la cantidad de conejos blancos y otra la cantidad de conejos negros. Practica 1.Haz una encuesta en dos cursos de tu colegio para averiguar si en las casas de los estudiantes tienen mascotas o no. Grafica la información a continuación: Curso 2 No Sí No Curso 1 Sí 0 146 Unidad 6 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 Estudiantes 6 Tendencias de los datos EStatura [cm] En un gráfico de barras es posible ver la variación en el tiempo de un dato. Por ejemplo, la cantidad de habitantes de una ciudad, la cantidad de árboles en un bosque o el nivel de agua de una piscina que está siendo vaciada. Observa la altura de una niña a diferentes edades: 160 140 120 100 80 60 40 20 0 2 4 6 8 10 12 Edad [años] Tras una rápida mirada confirmamos algo que ya sabíamos: entre los 2 y los 12 años la niña fue creciendo desde una altura de 87 cm hasta una de 150 cm. Practica 1.Observa los siguientes gráficos e indica bajo cada uno de ellos si la variable considerada ha aumentado o disminuido en el tiempo: Gráfico con el número de pájaros car- Gráfico con el número de incendios pinteros que habitan en una zona: forestales en la misma zona: 300 200 100 0 Año Año Año Año Año Años 1 2 3 4 5 60 50 40 30 20 10 0 Año Año Año Año Año Años 1 2 3 4 5 El número de pájaros carpinteros ha El número de incendios forestales ha . . Organizando información 147 Resuelvo problemas Problema modelo Andrea vende helados de agua a $ 100 cada uno. El número de helados vendidos durante una semana laboral se muestran en la tabla. Construye el gráfico de barras correspondiente e indica el día de mayores ventas. Además señala si a lo largo de la semana las ventas aumentan o disminuyen. Día Lunes Nº de helados 25 Martes 25 Miércoles 30 Jueves 45 Viernes 55 Comprende: En la primera columna de la tabla están los días de la semana laboral. En la segunda columna de la tabla está la cantidad de helados vendidos. Planifica: Para construir el gráfico de barras ubicamos los días de la semana en el eje horizontal y el número de helados en el eje vertical. La barra más alta indica el día de mayores ventas. Observando si las barras crecen o decrecen de izquierda a derecha averiguaremos si las ventas aumentan o disminuyen durante la semana. Unidades vendidas Resuelve: La barra más alta es la del viernes. Por lo tanto, este 50 40 es el día de mayores ventas. 30 La altura de las barras aumenta de izquierda a 20 derecha, por lo que las ventas aumentan a lo largo de 10 L M M J V Día la semana. Responde: El viernes es el día de la semana en que Andrea vende más helados. Las ventas van aumentando en la medida que transcurre la semana. Comprueba: Para comprobar los resultados podemos comparar los números de la tabla: El mayor de ellos es el 55 que corresponde al viernes. Se cumple la relación: 25 = 25 < 30 < 45 < 55. 148 Unidad 6 Problema para ti A un encuentro solidario asistieron estudiantes de varias ciudades de Chile. Un alumno preguntó a 20 asistentes por su ciudad de procedencia y fue registrando está información. Lo que registró está a un costado. Construye en tu cuaderno una tabla con los datos y confecciona el gráfico de barras representativo. A partir de ellos determina la ciudad de procedencia más frecuente entre los encuestados y la menos frecuente. Rancagua-Talca- 6 Santiago-AricaOsorno-SantiagoTalca-RancaguaOsorno-Santiago-TalcaRancagua-RancaguaTalca-Arica-TalcaTalca-Santiago-OsornoRancagua Comprende: Planifica: Resuelve: Responde: Comprueba: Organizando información 149 Evalúo qué aprendí Síntesis de la unidad Información presentada en A 0 1 S T B 1 1 que pueden ser ordenados en Datos me permitieron Utilizar la información para describir y analizar situaciones cotidianas Completa los recuadros de la red con los siguientes conceptos. Guíate por las pistas que están en la parte inferior de cada recuadro: ,, Simples ,, Gráficos ,, Tablas ,, Dobles de datos ,, Filas y columnas 150 Unidad 6 de barras 6 Evaluación El club deportivo “San Martín” organizó tres partidos a beneficio de uno de sus más antiguos socios que se encuentra muy enfermo. Las entradas a galería costaban $ 1 000 y las a tribuna $ 2 000. Asistentes 4 000 3 000 2 000 1 000 0 G T Viernes G T Sábado G T Domingo a)Completa la siguiente tabla con las personas en galería cada jornada: Viernes Sábado Domingo Público en galería b)Completa la siguiente con las personas en tribuna cada día: Viernes Sábado Domingo Público en tribuna A partir del gráfico y de las tablas anteriores responde: a)¿Cuál fue el público total que asistió a galería durante las tres jornadas? espectadores. b)¿Cuál fue el público total que asistió a tribuna durante las tres jornadas? espectadores. c)¿Cuál fue el público total que asistió a las tres jornadas? espectadores. d)¿Qué día asistió más público? ¿Cuántos asistentes registró esa jornada? espectadores. e)¿Cuánto dinero se recaudó tras realizarse los tres partidos a beneficio? $ Organizando información 151 Recortables 10 00 0 2 0 000 30 00 40 00 0 0 50 000 70 00 0 60 000 90 000 80 0 00 152 Recortables Recortable 1 ,, Página 10 (U1) 10 000 20 000 30 000 40 000 50 000 60 000 70 000 80 000 90 000 ,, Página 43 (U2) Recortables 153 Recortable 2 ,, Cilindro. Página 67 (U3) Recortables 155 Recortable 3 ,, Pirámide pentagonal. Página 67 (U3) Recortables 157 Recortable 4 ,, Cono. Página 67 (U3) Recortables 159 ISBN 978-956-278-226-5 9 789562 782265