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TEXTO PARA EL ESTUDIANTE
Maritza Moroni Gálvez
Jacqueline Rubilar Mora
Matemática
Texto para el Estudiante
o
4
Básico
Autoras
Maritza Moroni Gálvez
Profesora de Educación General Básica, Universidad de Playa Ancha
Psicopedagoga, Universidad Mayor
Jacqueline Rubilar Mora
Profesora de Educación General Básica, Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educación
Mención en Educación Matemática, Universidad Mayor
Matemática 4° Básico
Texto para el Estudiante
Autoras
Maritza Moroni Gálvez
Jacqueline Rubilar Mora
Edición
Daniel Catalán Navarrete
Asistencia editorial
Deysma Coll Herrera
Coordinación de producción
Cynthia Díaz Godoy
Diseño
Equipo editorial
Diagramación
Francisca Urzúa Provoste
Ilustraciones
Fernando Urcullo Muñoz
Corrección de estilo
Álex Ortega Toledo
No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna
forma o por cualquier medio, tal sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otro método sin el permiso previo
y por escrito de los titulares del copyright.
© McGRAW-HILL/INTERAMERICANA DE CHILE LTDA. para esta edición.
Evaristo Lillo 112, piso 7°, Las Condes.
Santiago de Chile
Teléfono 56-2-6613000
ISBN: 978-956-278-226-5
N° de inscripción: 186.524
Impreso en Chile por: WorldColor Chile
Se terminó de imprimir esta 1ª Edición de la 1ª Reimpresión de 114.214 ejemplares, en el mes de noviembre de 2010.
Bienvenida
Para iniciar el recorrido que te propone este texto te invitamos a
completar el siguiente cuadrado mágico. Debes incorporar números
de manera que las filas, las columnas y las diagonales sumen 34:
16 3
5
9
11 8
6
12
15
1
A continuación, completa con tus datos personales:
Mi nombre es Mi curso es el 4o
Estudio en
de la comuna
de
Nací el
Tengo
de la ciudad de
de
del año
años y
meses
Vivo en Bienvenida
3
Conociendo mi libro
En este libro hallarás:
Entrada a la unidad
Dos páginas donde encontrarás una
situación inicial que motivará tu
trabajo y que te permitirá acercar
las matemáticas a tu experiencia
cotidiana.
Rescato mis conocimientos
Dos páginas que te plantean
actividades matemáticas para medir
qué tanto recuerdas de lo que
aprendiste el año pasado.
Desarrollo mis aprendizajes
Páginas de contenido que te irán
aportando nuevos conocimientos
y habilidades para desarrollar tu
espíritu matemático.
Profundizando…
Dos páginas en las que podrás
encontrar algunos de los temas más
complicados vistos en la unidad
y también ejercicios para que
practiques las estrategias propuestas
en ellas.
4
Conociendo mi libro
Resuelvo problemas
Una de las páginas te ofrece un
método sencillo para resolver
problemas y la otra te propone
un problema para que apliques el
método.
Evalúo qué aprendí
Una de las páginas contiene una
actividad que te permitirá resumir
los temas vistos en la unidad y la otra
te da la oportunidad de demostrar
que has comprendido las lecciones
planteándote ejercicios de aplicación.
Junto a los contenidos hallarás:
Desafío al ingenio
¿Sabías que...?
Recuerda
Te propone
divertidos ejercicios.
Te entrega
información
complementaria.
Refresca tu
memoria.
Mide cuánto vas
aprendiendo.
Te indica cómo
resolver operaciones
con calculadora.
Conociendo mi libro
5
Índice
Unidad
1
Operaciones
con números
hasta 1 000 000
Entrada a la unidad..................... 8 y 9
Rescato mis conocimientos......10 y 11
Desarrollo mis aprendizajes
Escritura de números y
secuencias.............................12 y 13
Números en la recta
numérica...............................14 y 15
Valor posicional y redondeo.....16 y 17
Estrategias de adición..............18 y 19
Estrategias de sustracción....... 20 y 21
La multiplicación y sus
propiedades......................... 22 y 23
Estrategias de multiplicación... 24 y 25
La división.............................. 26 y 27
Profundizando…..................... 28 y 29
Resuelvo problemas................ 30 y 31
Evalúo qué aprendí
Síntesis de la unidad....................... 32
Evaluación...................................... 33
Unidad
2
Utilización de
números hasta
1 000 000
Entrada a la unidad................. 34 y 35
Rescato mis conocimientos..... 36 y 37
Desarrollo mis aprendizajes
Información numérica y
secuencias............................ 38 y 39
Números y recta numérica...... 40 y 41
Equivalencias monetarias y
redondeo............................. 42 y 43
Otras estrategias de adición.... 44 y 45
6
Índice
Otras estrategias de
sustracción........................... 46 y 47
Más propiedades de la
multiplicación....................... 48 y 49
Relación entre la multiplicación
y la división.......................... 50 y 51
Operaciones combinadas........ 52 y 53
Profundizando…..................... 54 y 55
Resuelvo problemas................ 56 y 57
Evalúo qué aprendí
Síntesis de la unidad....................... 58
Evaluación...................................... 59
Unidad
3 Geometría
Entrada a la unidad................. 60 y 61
Rescato mis conocimientos..... 62 y 63
Desarrollo mis aprendizajes
Medición de ángulos.............. 64 y 65
Cuerpos geométricos
y redes................................. 66 y 67
Representación de cuerpos
geométricos......................... 68 y 69
Vistas y redes de cuerpos........ 70 y 71
Superficie de figuras
geométricas......................... 72 y 73
Área de cuadrados y
rectángulos...........................74 y 75
Area de cuerpos geométricos.. 76 y 77
Profundizando…..................... 78 y 79
Resuelvo problemas................ 80 y 81
Evalúo qué aprendí
Síntesis de la unidad....................... 82
Evaluación...................................... 83
Unidad
4 Las fracciones
Entrada a la unidad................. 84 y 85
Rescato mis conocimientos..... 86 y 87
Desarrollo mis aprendizajes
Partes de un todo................... 88 y 89
Significado, lectura y escritura
de
1 1
y ............................... 90 y 91
2 3
Significado, lectura y escritura
de
1 1
y ............................... 92 y 93
4 8
Significado, lectura y escritura
de
3 2
y ............................... 94 y 95
4 3
Significado, lectura y escritura
de
1
1
y
....................... 96 y 97
10 100
Más fracciones........................ 98 y 99
Recta numérica y orden.......100 y 101
Uso de fracciones................. 102 y 103
Profundizando…..................104 y 105
Resuelvo problemas.............106 y 107
Evalúo qué aprendí
Síntesis de la unidad..................... 108
Evaluación.................................... 109
Unidad
5
Los números
decimales
Entrada a la unidad...............110 y 111
Rescato mis conocimientos...112 y 113
Desarrollo mis aprendizajes
Decimales y su significado... 114 y 115
Decimales y fracciones
decimales...........................116 y 117
Igualdades y expresión
decimal de una fracción.... 118 y 119
Números decimales en la
recta numérica.................. 120 y 121
Comparación de números
decimales..........................122 y 123
Uso de los números
decimales.......................... 124 y 125
Profundizando….................. 126 y 127
Resuelvo problemas.............128 y 129
Evalúo qué aprendí
Síntesis de la unidad..................... 130
Evaluación.................................... 131
Unidad
6
Organizando
información
Entrada a la unidad.............. 132 y 133
Rescato mis conocimientos.. 134 y 135
Desarrollo mis aprendizajes
Datos ordenados.................. 136 y 137
Ordenando información...... 138 y 139
Lectura de gráficos
de barras........................... 140 y 141
Representación gráfica de
información....................... 142 y 143
Uso de tablas y gráficos.......144 y 145
Profundizando….................. 146 y 147
Resuelvo problemas.............148 y 149
Evalúo qué aprendí
Síntesis de la unidad..................... 150
Evaluación.................................... 151
Recortables.................................... 152
Índice
7
1
Operaciones con
números
hasta 1 000 000
En esta unidad aprenderás a:
££Leer y escribir números hasta 1 000 000 y establecer relaciones de orden.
££Reconocer el valor posicional de un dígito en un número.
££Operar números aplicando estrategias de cálculo mental y escrito.
££Identificar y aplicar las propiedades de las operaciones aritméticas.
££Estimar el resultado de operaciones a partir del redondeo de números.
8
Observa y responde:
¿Crees que los animales están recibiendo una adecuada atención?
Ordena los números que aparecen en la ilustración de menor a mayor.
i al perrito le van a atender una herida menor y al gatito lo van a despaS
rasitar, ¿cuánto tendrán que pagar los niños?
¿Tienes mascotas? ¿Cuál es tu favorita?
9
Rescato mis conocimientos
Números mágicos
Mientras el veterinario examinaba las mascotas, los niños encontraron en el
mesón un libro que les llamó la atención. Al hojearlo, descubrieron una entretenida actividad, que no pudieron realizar. Veamos si tú eres capaz...
Instrucciones:
,, Recorta las tarjetas numeradas de la página 153.
,, Sobre tu escritorio, combínalas en filas de tres formando un cuadrado, de manera que al sumarlas en forma vertical, horizontal y diagonal sumen siempre
150 000.
,, Como ya lo lograste, ahora ubícalas y pégalas a continuación en los casilleros
correspondientes:
10
Unidad 1
Desarrolla las siguientes actividades a partir del juego Números mágicos:
1
Escribe con palabras los números de la primera columna:
Ordena de mayor a menor los números de las tarjetas:
Escribe los números del juego en la siguiente tabla. Completa con el antecesor y el sucesor según corresponda:
Antecesor
Número
Sucesor
¿ Cuál es la diferencia entre la suma de las tres columnas menos la suma de
la primera fila? Escríbela como número y con palabras.
Número:
Con palabras:
¿A cuántas centenas equivale el número central de tu juego?
Equivale a
centenas.
¿A cuántas decenas equivale el número del extremo superior derecho de tu
juego?
Equivale a
decenas.
Operaciones con números hasta 1 000 000
11
Desarrollo mis aprendizajes
1 Escritura de números y secuencias
En la clínica veterinaria cuentan con un catálogo de
animales exóticos que se encuentran a la venta:
$ 383 000
$ 135 500
$ 750 000
$ 550 500
1.Responde:
Desafío al ingenio
Un ve te rin ar io de bi ó
atender tucanes y perros.
Si entre ambas especies
sumaban 12 patas y 10
ojos, ¿cuántos tucanes y
cuántos perros eran?
a)¿Cuál es el animal más caro? ¿Y el más barato?
y
b)¿Cuál es la diferencia de precio entre el animal más
caro y el más barato?
c)Si quisieras comprar un tucán y un perro, ¿cuánto
dinero necesitarías?
2.Escribe con palabras los precios de los siguientes animales del catálogo:
Animal
¿Sabías que...?
El ábaco es un ins trumento que consiste en
cierto número de cuentas
colocadas en varillas.
Se utiliza para calcular y
es considerada la más antigua de las herramientas
de cálculo.
12
Unidad 1
Precio escrito con palabras
1
3.Completa las siguientes secuencias numéricas de
acuerdo a la clave dada:
a)La clave es sumar 100 000.
250 000
450 000
750 000
b)La clave es sumar 10 000.
680 000 690 000
c)La clave es sumar 1 000.
978 000 979 000
d)La clave es sumar 100.
174 300
174 600
e)La clave es sumar 10.
865 350
Para generar una secuencia aditiva con la calculadora, anotas el primer
término de la secuencia
y vas sumando la clave
o patrón numérico. Por
ejemplo:
10 = 25
15
10 = 35
25
10 = 45
35
10 = 55
45
10 = 65
55
Etcétera.
865 390
4.Indica la clave ocupada en las siguientes secuencias:
a) 108 367
118 367
128 367
138 367
148 367
Clave:
b) 996 578 996 698
.
996 818
996 938
997 058
Clave:
c) 204 820 204 920 205 020
.
205 120
205 220
Clave:
.
En una secuencia numérica aditiva la clave o patrón
indica la cantidad que se debe agregar a un término
para obtener el siguiente.
¿Qué número va a la derecha en la siguiente secuencia?
12 029 12 037
?
A. 12 046
B. 12 044
C. 12 045
Operaciones con números hasta 1 000 000
13
Desarrollo mis aprendizajes
2 Números en la recta numérica
La clínica veterinaria está habilitada para realizar algunos tipos de cirugías:
Listado de cirugías
Parto cesárea:
$ 80 000 Corte de cola:
Cataratas:
$ 20 000 Corte de orejas: $ 60 000
Heridas menores: $ 10 000 Esterilización:
$ 40 000
$ 50 000
1.Escribe con palabras los precios de:
a)Esterilización: b)Parto cesárea: c)Heridas menores: Desafío al ingenio
Vi ce nt e ut iliz ó en un a
op er ación matemáti ca
6 ve ces el númer o 1 y
tre s ve ce s el sig no +,
obteniendo como resultado el número 24. ¿Qué
combinación de números
y signos + utilizó para
obtener este resultado?
Tr abaja con tu calculadora y anota en tu cuaderno el procedimiento
llevado a cabo.
d)Corte de cola: e)Cataratas: f)Corte de orejas: 2.Ubica en la recta numérica los precios de las cirugías
de menor a mayor. Luego responde:
30 000
70 000
a)¿Cuál es la cirugía de mayor precio?
b)¿Para qué cirugía necesitas menos dinero?
c)¿Qué cirugías tienen menor precio que un corte de
cola?
d)¿Qué cirugías tienen mayor precio que un corte de
orejas?
14
Unidad 1
1
3.Escribe en la tabla, el antecesor y el sucesor según
corresponda:
Cirugías
Antecesor Precio [$]
Sucesor
Heridas menores
10 000
Corte de orejas
60 000
Parto cesárea
80 000
Cataratas
20 000
¿Sabías que...?
Corte de cola
40 000
El periodo de gestación
de algunos animales es:
ƒƒBallena: 11 - 12 meses.
ƒƒCaballo: 340 - 345 días.
ƒƒCerdo: 115 días.
ƒƒGallina: 21 días.
ƒƒOveja: 5 meses.
ƒƒGato: 63 días.
ƒƒElefante: 22 meses.
ƒƒPato: 4 semanas.
ƒƒFoca: 11 meses.
ƒƒPerro: 9 semanas.
ƒƒÁguila: 7 semanas.
ƒƒCisne: 5 semanas.
ƒƒChimpancé: 8,5 meses.
El antecesor de un número natural es aquel que se
obtiene al restar 1 unidad al número.
El sucesor de un número natural es aquel que se obtiene al sumar 1 unidad al número.
4.Completa las rectas numéricas, donde el patrón sea
igual en todos los intervalos. Fíjate en el ejemplo:
Intervalo
200
400
600
800
400 – 200 = 200
El patrón numérico o clave en este caso es sumar
200.
a)
200
1 100
2 000
El patrón numérico o clave es:
b)
5 500
7 500
8 500
El patrón numérico o clave es:
Operaciones con números hasta 1 000 000
15
Desarrollo mis aprendizajes
3 Valor posicional y redondeo
Recuerda
conjunto
El ganado es el
dos por
de animales cria
a la proel hombre par
e, leche
ducción de carn
y sus derivados.
e ganado
Entre los tipos d
encontramos:
toros.
Bovino: vacas y
Ovino: ovejas.
s.
Porcino: cerdo
s.
lo
Equino: cabal
Caprino: cabras.
Observa la siguiente tabla de la producción ganadera
de la X Región:
Provincia
Llanquihue
Ganado
Bovino
355 043
Ovino
80 374
Porcino
29 598
Equino
8 6 1 1
Caprino
4 692
Chiloé
Osorno
Palena
105 433
111 498
37 072
5 4 3 1
1 404
507 515
62 584
27 305
10 0 1 9
8 1 7 6
28 346
26 487
3 090
2 004
854
*FUENTE: Atlas Geográfico para la Educación - Edit. IGM 2007
1.Responde:
a)¿En qué provincia se produce la mayor cantidad de
ganado ovino? b)¿Qué tipo de ganado es el de menor producción en
la X Región? c)Escribe el antecesor de la cantidad de ganado porcino, producido en la provincia de Palena.
El antecesor de
es
.
16
Unidad 1
La producción de bovinos en Llanquihue fue de
355 043 ejemplares. Este número lo podemos descomponer de dos formas:
,, Descomposición
según valor posicional:
Número
CM
DM
UM
C
D
U
355 043
3
5
5
0
4
3
U
U
U
0
40
3
,, Descomposición
Número
355 043
equivalente a unidades:
U
U
U
300 000 50 000 5 000
2.Escribe la descomposición equivalente a unidades del
siguiente número y luego redondéalo a la UM:
Número
U
U
U
U
U
U
507 515
Recuerda
1
Redondear es aproximar
una cantidad al valor posicional más cercano, de
acuerdo a lo solicitado.
Por ejemplo:
el número 4 218, redondeado a la decena es
4 220, ya que el dígito
siguiente a la decena -el
8- es mayor que 5, por lo
que el 1 aumenta a 2.
El número 8 563 redondeado a la decena, es
8 560; ya que el dígito
siguiente a la decena
-el 3- es menor que 5,
por lo que el 6 mantiene
su valor.
Número redondeado:
507 515 corresponde a la producción de
de la provincia de
.
3.Forma los números que corresponden a las descomposiciones y redondéalos a la C:
a)0C + 2U + 7D + 3DM + 7UM =
Número redondeado:
b)4D + 0DM + 8C + 5UM + 9U + 6CM =
Número redondeado:
La descomposición aditiva de un número se puede
realizar según:
,, Valor posicional:
346 823 = 3CM + 4DM + 6UM + 8C + 2D + 3U
,, Equivalencia a unidades:
346 823 = 300 000 + 40 000 + 6 000 + 800 + 20 + 3
La descomposición según
el valor posicional del número 114 005 es:
A. 10CM + 10DM + 4C +
5U
B. 1CM + 1DM + 4UM +
5U
C. 11UM + 40D + 5U
Operaciones con números hasta 1 000 000
17
Desarrollo mis aprendizajes
4 Estrategias de adición
Recuerda
Los términos de una adición son:
18  sumando
+ 3  sumando
21
suma
Para comprobar adiciones
de números grandes es
útil que ocupes una calculadora. Por ejemplo, para
sumar en ella 248 154 y
592 678; debes digitar
248 154, presionar la
y luego digitar
tecla
592 678. El resultado lo
obtendrás tras presionar
: 840 832.
la tecla
Un grupo de amigas compró un software educativo
relacionado con el reino animal. Cada una de las niñas
eligió un grupo de animales y fue respondiendo las preguntas que el programa les planteaba acerca de él. Por
cada respuesta correcta las jugadoras iban ganando un
puntaje determinado. Amanda eligió las aves, Marcela
eligió los mamíferos y Consuelo eligió los reptiles. Tras
jugar media hora, los puntajes obtenidos por cada niña
son los siguientes:
1.¿Cuál de las niñas obtuvo el mayor puntaje?
2.¿Cuánto suman los puntajes de Amanda y Consuelo?
A continuación, vamos a sumar los puntajes obtenidos
por Amanda y Consuelo, es decir, 248 154 + 592 678. Lo
haremos de dos formas diferentes:
,, Por
descomposición de los sumandos:
248 154  200 000 + 40 000 + 8 000 + 100 + 50 + 4
+ 592 678  500 000 + 90 000 + 2 000 + 600 + 70 + 8
(700 000 + 130 000) + 10 000 + (700 + 120) + 12
(830 000
+ 10 000) +
840 000
+
840 832
18
Unidad 1
(820
832
+12)
,, Por
descomposición de uno de los sumandos y cálculo
mental:
Descomponemos el segundo sumando y sumamos
los dígitos del mismo color de ambos términos, manteniendo los ceros:
248 154 + 500 000 + 90 000 + 2 000 + 600 + 70 + 8
¿Sabías que...?
1
Los antiguos chinos representaban los números
con varillas de bambú y la
operación que estudiaron
con mayor profundidad
fue la adición.
(700 000 + 130 000) + 10 000 + 700 + 120 + 12
830 000
+ 10 000 + (700 + 120) + 12
840 000
+ (820 + 12)
840 000
+ 832
840 832
3.Resuelve en tu cuaderno las siguientes adiciones, aplicando en cada una, las dos estrategias aprendidas:
a) 378 162
b) 621 530
c) 148 403
+ 425 793
+ 13 1 769
+ 592 609
4.Completa:
a)
2 + 8 = 10
20 +
= 100
200 + 800 =
+
=
+ 80 000 =
b)
6+8=
+ 80 =
+
=
6 000 +
=
+
El resultado de la adición
34 723 + 152 007 es:
A. 186 731
B. 186 730
C. 186 830
=
Las estrategias de adición se basan en la descomposición de los dos sumandos y en la descomposición
de uno de los sumandos.
Operaciones con números hasta 1 000 000
19
Desarrollo mis aprendizajes
5 Estrategias de sustracción
Recuerda
Los términos de una sustracción son:
27 minuendo
– 13 sustraendo
14
resta o
diferencia
Al terminar la visita al zoológico, las niñas pasaron
por las oficinas de recaudación, donde el encargado les
mostró una pizarra con los ingresos semanales. En ella
falta el total. Calcúlalo y escríbelo en la siguiente tabla:
Concepto
Ingresos martes a domingo
Entradas
$ 951 500
Souvenir
$ 425 382
Comida
$ 268 483
Total
$
1.Responde:
¿Sabías que...?
trozos de
Los incas unían
s colores
cuerdas de vivo
dos. Cada
por medio de nu
udos era
uno de estos n
conjunto
un número y al
o.
lo llamaban quip
a)¿Qué significa la palabra ingresos? ¿Cuál es su antónimo?
b)¿Cuál fue el total de ingresos de la semana? Escríbelo con números y luego con letras.
Con números: Con palabras: c)¿Sabes por qué el día lunes no se consideró dentro
de la semana? Menciona la razón.
Ahora observa y comenta con tus compañeros
y compañeras las siguientes estrategias para restar
668 483 – 425 382:
,, Descomposición
aditiva del minuendo y del sustraendo:
668 483 b 600 000 + 60 000 + 8 000 + 400 + 80 + 3
– 425 382 b – 400 000 + 20 000 + 5 000 + 300 + 80 + 2
200 000 + 40 000 + 3 000 + 100 + 0 + 1
243 101
20
Unidad 1
,, Descomposición
1
aditiva del sustraendo:
668 483 – 425 382 =
(668 483 – 400 000) – 20 000 – 5 000 – 300 – 80 – 2 =
(268 483 – 20 000) – 5 000 – 300 – 80 – 2 =
(248 483 – 5 000) – 300 – 80 – 2 =
(243 483 – 300) – 80 – 2 =
(243 183 – 80) – 2 =
243 103 – 2 =
243 101
2.Responde con tus propias palabras:
a)¿En qué consiste la primera descomposición?
¿Cuál es el resultado de
986 441 – 136 431?
A. 850 001
B. 850 100
C. 850 010
b)¿En qué consiste la segunda descomposición?
c)¿Qué estrategia te parece más sencilla?
3.Completa aplicando la estrategia de descomposición
de minuendo y sustraendo:
539 425 b
500 000 +
+
+
+
+
– 127 210 b – 100 000 +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Las estrategias de sustracción se basan en la descomposición aditiva del minuendo y el sustraendo y
en la descomposición aditiva del sustraendo.
Operaciones con números hasta 1 000 000
21
Desarrollo mis aprendizajes
6 La multiplicación y sus propiedades
En la siguiente tabla se observa el registro de nacimiento de crías de algunos ejemplares representativos
de una granja de la ciudad de Osorno:
¿Sabías que...?
A las crías de las ovejas se les llama cordero hasta el primer año
de vida.
Años
2005
16
8
5
8
2006
13
10
12
7
2007
14
12
15
9
13
3
corderos
cada una
10
6
cerditos
cada una
3
10
conejos
cada una
2008
10
Cantidad
2
de crías terneros
por animal cada una
1.Analiza la tabla anterior y responde de acuerdo a
ella:
a)¿Cuántos corderos nacieron en el 2007?
Nacieron
corderos.
Recuerda
Los tér min os de una
multiplicación son:
Producto
Factor


2 · 4 = 8

Factor
b)¿Cuántos cerditos nacieron en los cuatro años?
Nacieron
cerditos.
c)Compara la cantidad de corderos nacidos en el
2006 y la de conejos nacidos en el 2008.
2.Realiza las siguientes multiplicaciones y analiza los resultados obtenidos:
a)10 · 3 =
y
3 · 10 =
b)17 · 4 =
y
4 · 17 =
Esta propiedad se llama conmutativa y expresa que
el orden de los factores no altera el producto.
22
Unidad 1
3.Completa resolviendo las multiplicaciones y luego
analiza los resultados:
(2 · 3) · 5 = 2 · (3 · 5)
·5=2·
=
¿Sabías que...?
1
El primer instru
mento de
cálculo del ser
humano
fue su mano. Fí
jate que
muchas personas
aún recurren a ella par
a sumas
y restas sencilla
s.
Esta propiedad se llama asociativa y expresa que, al
agrupar con paréntesis los factores ya sea por la derecha o por la izquierda, manteniendo su orden, el
producto es el mismo.
4.Resuelve cada multiplicación y escribe el nombre de
la propiedad aplicada en cada caso:
a)125 ·
= 5 · 125
=
Propiedad:
b)(80 · 3) · 6 =
·6=
Propiedad:
· (3 · 6)
·
=
5.Inventa, escribe y resuelve junto a un compañero o
compañera, dos ejercicios donde se apliquen las propiedades estudiadas:
a) Propiedad conmutativa
¿Qué propiedad muestra
el siguiente ejercicio?
(12 · 4) · 2 = (4 · 12) · 2
A. Asociativa
B. Elemento neutro
C. Conmutativa
b) Propiedad asociativa
Operaciones con números hasta 1 000 000
23
Desarrollo mis aprendizajes
7 Estrategias de multiplicación
Don Carlitos tiene una distribuidora de diarios, revistas y álbumes. En la bodega hay 3 cajas de álbumes embalados, donde cada una tiene 2 312 álbumes; y 2 cajas
con 5 421 sobres de láminas cada una.
1.¿Cuántos álbumes hay en total para repartir?
Desafío al ingenio
Descubre el número:
ƒƒEs un número impar.
ƒƒNo tiene el dígito 3.
ƒƒEl dígito de la C es 9.
ƒƒTodos sus dígitos son
diferentes.
ƒƒLa suma de todos sus
dígitos es 24.
ƒƒEs mayor que 51 000
y menor que 52 000.
El número es:
La respuesta a esta pregunta se puede obtener de
dos formas distintas. Observa y luego comenta:
,, Por
descomposición aditiva de un factor:
2 312 · 3 b (2 000 + 300 + 10 + 2) · 3
b (2 000 · 3) + (300 · 3) + (10 · 3) + (2 · 3)
b
b ,, Por
6 000
+
900
+
30
+
6
6 936
el método reducido:
Hay
2 3 1 2 ·3
6 9 3 6
álbumes.
2.Responde:
a)¿Qué diferencia existe entre las dos formas de resolver el ejercicio?
b)¿Qué forma de resolución te gustó más? ¿Por qué?
3.Resuelve las siguientes multiplicaciones ocupando el
método que prefieras:
a)4 326 · 2
24
Unidad 1
b)1 232 · 4
c)245 632 · 5
1
4.¿Cuántos sobres hay en total para repartir en la distribuidora de don Carlitos?
a)Por descomposición aditiva de un factor:
b)Por método reducido:
Al colegio llegaron 5 paquetes de hojas con 5 835
hojas cada uno. En total
llegaron:
A. 29 175 hojas
B. 39 175 hojas
C. 19 175 hojas
Hay
sobres.
5.¿Qué sucedería en caso de ser 30 cajas de álbumes y
20 cajas de sobres con láminas del álbum?
Habrían
álbumes.
Habrían
sobres.
6.Escribe junto a un compañero o compañera cuatro
números de 5 cifras. Luego, multiplica cada uno de
ellos consecutivamente por 2, 3, 4 y 5.
Trabaja en tu cuaderno usando el método que prefieras.
Operaciones con números hasta 1 000 000
25
Desarrollo mis aprendizajes
8 La división
Mónica necesita leer las 84 páginas de un libro en
una semana. Si desea leer la misma cantidad cada día,
¿cuántas páginas debe leer diariamente para completar
la lectura?
Recuerda
Los términos de una división son:
Dividendo Cociente


12 : 3 = 4

Divisor
La situación consiste en un problema de reparto equitativo. Como una semana consta de 7 días, debemos
distribuir las 84 páginas en 7 grupos de la misma cantidad de páginas.
Observa la siguiente estrategia:
Cuando necesites realizar
muchos cálculos puedes
auxiliarte de una calculadora. Por ejemplo:
7 = 77
84
7 = 70
77
7 = 63
70
7 = 56
63
Etcétera.
84 – 7 = 77
77 – 7 = 70
70 – 7 = 63
63 – 7 = 56
56 – 7 = 49
49 – 7 = 42
42 – 7 = 35
35 – 7 = 28
28 – 7 = 21
21 – 7 = 14
14 – 7 = 7
7 – 7 = 0
Si contamos las veces que fue necesario restar 7 concluiremos que Mónica debe leer 12 páginas por día.
La estrategia seguida nos permitió resolver la división:
84 : 7 = 12
1.Si dispusiera de dos semanas en lugar de una para
leer el libro, ¿cuántas páginas necesitaría leer diariamente?
2.Si el libro de Mónica tuviera 126 páginas, ¿cuántas
debería leer por día para acabar en una semana?
26
Unidad 1
1
3.En un zoológico hay 40 aves exóticas, las cuales deben
ser repartidas en jaulas de 5 aves cada una. ¿Cuántas
jaulas se necesitan?
Para resolver este problema tenemos dos alternativas:
,, Buscar
el factor desconocido en la multiplicación:
5·
= 40
¿Qué número multiplicado por 5 da 40?
El factor desconocido es
Por lo tanto, se necesitan
,, Buscar
.
¿Sabías que...?
Cuando un número se divide por 1, el resultado
es el mismo número:
8:1=8
21 : 1 = 21
jaulas.
el cociente de esta división:
40 : 5 =
El cociente es
.
Por lo tanto, se necesitan
jaulas.
4.La enfermera de una clínica veterinaria tiene 2 cajas
con jeringas. En una caja hay 42 jeringas y en la otra
57 y necesita repartirlas en 9 dispensadores de forma
equitativa. ¿Cuántas jeringas debe colocar en cada
dispensador? Comprueba tu respuesta.
Dos niños fueron al zoológico y decidieron contar
las patas de algunos animales. El niño contó 300
patas de animales negros
y la niña 204 patas de animales blancos.
Si cada animal tenía 4 patas, entre el niño y la niña
contaron:
A. 24 animales
B. 150 animales
C. 126 animales
Operaciones con números hasta 1 000 000
27
Profundizando…
Secuencias
Analiza la siguiente secuencia y descubre su patrón numérico:
50 754
60 754
70 754
80 754
90 754
En la secuencia la clave es 10 000 y la operación aplicada es la adición.
Sin embargo, no solo se forman secuencias a partir de la adición, también se pueden construir a partir de la sustracción, la multiplicación y la
división e incluso usando combinaciones de ellas.
Observa la siguiente secuencia:
40
81
163
327
655
En ella el patrón consiste en “multiplicar por 2 y luego sumar 1”.
Practica
1.Encuentra la clave y la operación de cada secuencia y complétalas:
a)
50 754
50 654
Clave:
b)
50 554
Operación:
20 000
40 000
Clave:
80 000
Operación:
2.Crea una sucesión a partir del número que se indica. Utiliza como clave
“sumar 8 y multiplicar el resultado por 3”:
1 240
3.Algunas secuencias pueden tener más de un patrón numérico:
2
3
5
9
17
Como ves, la diferencia entre el segundo y el primer término es 1;
entre el tercero y el segundo es 2 (el doble de 1); entre el cuarto y el
tercero es 4 (el doble de 2); y así sucesivamente.
Encuentra otro patrón numérico para esta secuencia y complétala
con el término que falta.
28
Unidad 1
1
Equivalencias
Observa la siguiente tabla y responde:
Número
CM
DM
UM
C
D
U
200 000
2
20
200
2 000
20 000
200 000
900 000
9
90
900
9 000
90 000
900 000
¿Será lo mismo decir 2CM que 20 000D?
Frente a la pregunta planteada, la respuesta es “sí”, porque:
1CM = 100 000U
2CM = 200 000U
1D = 10U
20 000D = 200 000U
Entonces 2CM = 20 000D
Practica
1.Completa las equivalencias según corresponda:
Número
D
CM
U
DM
300 000
70 000
800 000
20 000
400 000
50 000
2.Escribe V si la afirmación es verdadera o F si es falsa:
a)
50 000 unidades es igual a 25DM por 2.
b)
90 000 dividido por 3 equivale a 30C.
c)
2CM más 60DM corresponden a 800 000.
d)
El doble de 20 000 es igual a 40DM.
e)
700 000 equivale a 9CM menos 2D.
Operaciones con números hasta 1 000 000
29
Resuelvo problemas
Problema modelo
Los dueños de una granja educativa deben abastecerse de alimento para sus animales. Para esto compraron 40 kg de carne
(cada kilogramo cuesta $ 1 853) y 8 cajones de verduras (cada cajón cuesta $ 4 654).
¿Cuánto dinero gastaron por la compra?
Comprende: Debes leer el problema, reconocer la información que te entrega y la que se desea conocer. ¿Qué datos aparecen en el problema?
Carne
40 kg
$ 1 853 el kilogramo
Cajón de verduras
8 cajones
$ 4 654 cada cajón
Planifica: Una vez extraídos los datos debes idear una estrategia para resolver
el problema. Para ello puedes plantear las operaciones, trazar esquemas, etc.
Multiplicar el número de kilogramos de carne comprados por su precio.
Multiplicar el número de cajones de verdura comprados por su precio.
Sumar los resultados anteriores.
Resuelve: Debes llevar a cabo la estrategia trazada y realizar los cálculos
necesarios para obtener el resultado.
40 . 1 853 = 74 120
8 . 4 654 = 37 232
74 120 + 37 232 = 1 1 1 352
Responde: Debes escribir tu respuesta en forma clara.
Por la compra de la carne y las verduras gastaron en total $ 1 1 1 352.
Comprueba: Lee nuevamente la pregunta y verifica el resultado que obtuviste.
Puedes confirmar la adición restando del resultado uno de los sumandos.
1 1 1 352 – 37 232 = 74 120
30
Unidad 1
ó
1 1 1 352 – 74 120 = 37 232
1
Problema para ti
Don Luis fue contratado para realizar arreglos en algunas casas. Para adquirir los materiales necesarios fue
a una tienda y compró 3 puertas para exteriores (cada
una por $ 109 220), 6 puertas para interiores (cada
una por $ 85 135), 2 preservantes para maderas (cada
uno por $ 45 998) y otros accesorios en los que gastó
$ 36 000. ¿Cuánto gastó don Luis en la compra?
Comprende:
Planifica:
Resuelve:
Responde:
Comprueba:
Operaciones con números hasta 1 000 000
31
Evalúo qué aprendí
Síntesis de la unidad
Números hasta 1 000 000
a través de
operaciones basadas en
0
definición de
1 000 2 000
580 000 – 540 000 = 40 000
105 205 305 405
resolví
descubrí
70 000 · 5 = 350 000
600 000 : 100 = 6 000
48 000 + 12 000 = 60 000
74 000 – 24 000 = 50 000
60 : 3 = 20
600 : 30 = 20
6000 : 300 = 20
0
1
2
3
4
determiné
40 812 < 40 813 < 40 814
me permitieron
Comprender y resolver
problemas cotidianos
Completa los recuadros de la red con los siguientes conceptos. Guíate por las
pistas que están en la parte inferior de cada recuadro:
,, Recta
numérica
,, Diferentes estrategias y cálculo
mental
,, Antecesor y sucesor
32
Unidad 1
,, Multiplicaciones
y divisiones
,, Secuencias de números
,, Regularidades numéricas
,, Adiciones y sustracciones
1
Evaluación
Ordena en forma vertical las siguientes operaciones y luego resuélvelas:
a)365 659 + 29 876 =
c)593 146 – 362 584 =
b)453 006 + 314 894 =
d)783 494 – 153 686 =
Resuelve en tu cuaderno las siguientes multiplicaciones:
a)53 748 · 6 =
b)39 640 · 5 =
c)45 821 · 9 =
Completa con los números que corresponden y anota la propiedad que se
aplica:
a)523 647 +
= 3 520 +
= 527 167
Propiedad
b)36 ·
=9·
= 324
Propiedad
c)(120 · 4) ·
= 120 · (
· 7) = 3 360
Propiedad
Operaciones con números hasta 1 000 000
33
2
Utilización de
números hasta
1 000 000
En esta unidad aprenderás a:
££Utilizar números hasta 1 000 000.
££Completar y escribir secuencias numéricas.
££Establecer relaciones de orden y valor posicional.
££Aplicar estrategias de adición y sustracción.
££Utilizar propiedades de la multiplicación.
££Reconocer la división como operación inversa de la multiplicación.
££Resolver operaciones combinadas.
34
Observa y responde:
¿Qué países reconoces por sus banderas? Nómbralos.
¿Cuántas personas asistieron al Estadio Olímpico si se encuentra completo
a su máxima capacidad? Escribe esta cantidad con palabras.
¿Qué disciplinas deportivas olímpicas conoces? Nombra seis.
35
Rescato mis conocimientos
Carrera con obstáculos
A continuación te proponemos participar en una carrera con vallas. ¡Cuidado
con caerte!
Instrucciones:
,, Trabaja con un compañero o compañera.
,, Elige uno de los 2 deportistas de la lámina.
,, Partiendo con el número de la tarjeta de tu competidor ve realizando las operaciones y saltando los obstáculos.
,, Será el ganador el que resuelva las operaciones matemáticas correctamente
en el menor tiempo y llegue primero a la meta.
36
Unidad 2
Desarrolla las siguientes actividades a partir del juego Carrera con obstáculos:
2
Escribe con números y luego con palabras el resultado de las operaciones matemáticas que resolvió el deportista que elegiste en el juego:
a)
=
b)
=
c)
=
d)
=
Representa aproximadamente en la recta numérica los resultados de las operaciones que resolvió el deportista que elegiste en el juego:
4 000
7 000
10 000
13 000
16 000
19 000
22 000
25 000
Ordena los resultados de la actividad 1 de mayor a menor:
>
>
>
Completa la tabla con la descomposición aditiva que se te pide:
Resultados del deportista elegido
DM
UM
C
D
U
Escribe la equivalencia según corresponda:
a)520D =
b)25C =
c)5 300D =
U
D
C=
U
d)743 000U =
C=
D
e)950 300U =
C=
D
Utilización de números hasta 1 000 000
37
Desarrollo mis aprendizajes
1 Información numérica y secuencias
Los Juegos Olímpicos modernos fueron restablecidos
en 1896 y hasta hoy continúan realizándose periódicamente. La cantidad de países, atletas participantes y disciplinas deportivas han sido factores variables en cada
uno de ellos. En la siguiente tabla aparecen algunos datos de las últimas ocho olimpiadas celebradas:
¿Sabías que...?
límpicos
En los Juegos O
rados en
de 19 08 celeb
n Pierre
Londres el Baró
ndador
de Couber tín, fu
O límpid e lo s Ju e go s
expresó:
cos modernos,
no es ga"Lo importante
ir", frase
nar sino compet
ada en la
que quedó grab
orte.
historia del dep
Atletas
participantes
5 217
Ciudad sede
País
Año
Moscú
URSS
1980
Los Ángeles
EUA
1984
6 797
Seúl
Corea del Sur
1988
8 465
Barcelona
España
1992
9 364
Atlanta
EUA
1996
10 310
Sydney
Australia
2000
10 651
Atenas
Grecia
2004
10 625
Beijing
China
2008
10 500
Total
71 929
1.Considera la tabla anterior y responde:
a)¿En cuál de las últimas ocho olimpiadas hubo mayor cantidad de atletas? Escribe el número con palabras:
b)Escribe con palabras el número total de atletas participantes en las últimas ocho olimpiadas:
c)Ordena de menor a mayor el número de atletas de
las últimas cuatro olimpiadas:
<
<
<
d)Señala el patrón numérico que relaciona los años
de realización de las últimas ocho olimpiadas:
El patrón es
38
Unidad 2
.
2
2.Resuelve la operación, escribe el resultado con números y luego con palabras:
a)127 + 1 000 =
Con palabras b
b)1 270 + 10 000 =
Con palabras b
¿Sabías que...?
c)12 700 + 100 000 =
Con palabras b
3.En unas olimpiadas Chile envió deportistas para com-
petir en diversas disciplinas. Completa la siguiente secuencia. La última casilla te indicará la cantidad de
atletas enviados por nuestro país:
13
23
43
a)¿Cuál es el patrón de la secuencia?
b)¿Cuántos deportistas chilenos participaron en las
olimpiadas?
4.Completa las secuencias numéricas según la clave:
En los Juegos Olímpicos
de Beijing 2008, la antorcha olímpica fue encendida oficialmente en la
ciudad de Olimpia (Grecia) en marzo del 2008.
La antorcha recorrió 22
ciudades en los 5 continentes antes de visitar
durante 97 días más de
100 ciudades de China.
Este ha sido el recorrido
más largo realizado por
la antorcha olímpica en
la historia y el que más
ciudades ha visitado.
a)La clave es sumar 1 000.
213
1 213
3 213
b)La clave es sumar 10 000.
461
10 461
50 461
c)La clave es sumar 100 000.
487 253
887 253
5.Inventa tu propia secuencia, indicando la clave:
El número ciento
cuarenta mil veintisiete
corresponde a:
A. 104 270
B. 140 027
C. 142 700
La clave o patrón numérico de una secuencia es el
número y la operación que relaciona sus términos.
Utilización de números hasta 1 000 000
39
Desarrollo mis aprendizajes
2 Números y recta numérica
En una villa olímpica las delegaciones de deportistas
se alojan y se alimentan. En unas olimpiadas los productos consumidos por algunas delegaciones fueron:
Consumo [unidades]
Delegación
¿Sabías que...?
En los Juegos Olímpicos
de Beijing 2008 el medallero lo encabezó China
con 51 medallas de oro,
seguido por Estados Unidos con 36 y por Rusia
con 23.
Jugo
Pan
Fruta
México
27 326
1 000
124 632
Italia
45 418
2 000
245 700
China
52 343
5 000
463 851
Suecia
32 895
1 500
101 429
Australia
45 700
3 000
210 005
1.Escribe con palabras el consumo de frutas:
=
=
=
=
=
2.Representa en la recta el consumo de pan de cada
una de las delegaciones:
0
40
Unidad 2
1 000
2 000
3 000
4 000
5 000
6 000
2
3.Observa la tabla y responde:
a)¿Cuál de los productos presentados fue el más consumido por los atletas? ¿Por qué crees tú?
Recuerda
Intervalo
b)¿Cuál fue el producto de menor consumo?
4.Completa las rectas numéricas, de manera que el patrón sea igual en todos los intervalos:
a)
27 326
Consumo de jugos:
27 327
200
400
Patrón numérico o clave:
sumar 200.
En la recta anterior los
términos van de 200 en
200.
27 330
EL patrón numérico o clave es:
b)
2 343
Consumo de jugos:
12 343
52 343
EL patrón numérico o clave es:
5.Coloca el signo >, < o = según corresponda:
45C 57 000U
3UM
8UM
500U
80C
300U
80D
60D
97C
300D
6 UM
6C
970D
30C
60 000U
¿Cuál de los siguientes
números se ubica a la
izquierda de 234 006 en
la recta numérica?
A. 243 002
B. 301 000
C. 228 700
Al ubicar un número en la recta numérica, los números que están a su derecha son mayores que él y los
que están a su izquierda son menores.
Utilización de números hasta 1 000 000
41
Desarrollo mis aprendizajes
3 Equivalencias monetarias y
redondeo
Desafío al ingenio
Un ho m br e co m pr ó 3
dó lar es a $ 55 2. Un a
semana después decidió vender los. Si en el
transcurso de esa semana el dólar subió a $ 680,
¿cuánto dinero ganó tras
vender sus 3 dólares?
En el tiempo que duran las olimpiadas, muchas personas se trasladan de sus países a la ciudad sede para
apoyar a sus representantes. Cada país tiene su moneda,
con un nombre y un valor diferente al nuestro.
La equivalencia entre monedas de diferentes países
varía día a día. La siguiente tabla muestra la conversión
de algunas monedas extranjeras a pesos chilenos un
determinado día del año 2008:
Cambio de dinero
País
Moneda
Equivalencia en
pesos chilenos
Estados Unidos
1 dólar
$ 552
España
1 euro
$ 720
Suiza
1 franco suizo
$ 491
Inglaterra
1 libra esterlina
$ 980
1.Responde:
a)¿Cuál es la moneda de mayor valor en pesos chilenos?
b) Ordena de menor a mayor el valor de las monedas
de los países dados:
<
<
<
2.Calcula a cuántos pesos chilenos equivalen las siguientes cantidades:
42
Unidad 2
a)3 dólares
=
pesos.
b)4 euros
=
pesos.
c)5 libras esterlinas =
pesos.
d)2 francos suizos =
pesos.
2
3.Observa los comestibles que consumieron los deportistas con sus respectivos precios en pesos chileno:
Producto
Valor en pesos chilenos
Jugo
$ 850 la unidad
Pan
$ 145 la unidad
Plátano
$ 236 la unidad
El número 208 911
redondeado a la DM
corresponde a:
A. 209 000
B. 210 000
C. 208 000
a)Usando las monedas de la página 153 representa el
precio de:
b)Calcula y redondea a la centena el número total
de comestibles consumidos por las delegaciones de
Chile y Argentina:
=
=
270
320
210
290
290
260
Total:
Redondeo a la centena
más próxima:
Total:
Redondeo a la centena
más próxima:
Utilización de números hasta 1 000 000
43
Desarrollo mis aprendizajes
4 Otras estrategias de adición
¿Sabías que...?
La palabra olimpiada se
puede escribir con o sin
tilde en la segunda i. El
origen de los juegos se
remonta al año 776 a. de
C. en Grecia y actualmente se de sarrollan cada
4 años.
Los jueces de las diferentes competencias olímpicas
son muy exigentes. Ellos evalúan a cada competidor y
luego entregan un puntaje.
1.A continuación te presentamos los puntajes obtenidos
por algunos equipos de gimnasia artística. Calcula el
puntaje de cada país y responde las preguntas:
País
Juez 1
Juez 2
Juez 3
15 394
15 583
15 001
15 283
15 305
14 975
14 987
14 994
14 990
Total
a)¿Qué país ganó la competencia?
b)¿Cuál fue el juez que colocó los mayores puntajes?
2.Completa la tabla. Fíjate en el ejemplo:
Puntaje
Puntaje total:
44 971
Puntaje total:
Puntaje total:
44
Unidad 2
Calcula su
doble
Doble + 1
44 971
+ 44 971
89 942
89 942
+
1
89 943
Doble + 100 Doble + 10 000
89 942
+ 100
90 042
89 942
+ 10 000
99 942
2
Observa las siguientes estrategias de adición:
1 346 + 2 278
Adición por aproximación
de un sumando
Adición por descomposición
de los sumandos
Aproximamos el primer sumando
a la decena:
Descomponemos aditivamente los números:
1 346
+ 2 278
1 346b 1 000 + 300 + 40 + 6
+ 2 278b+ 2 000 + 200 + 70 + 8
1 350
+ 2 278
3 628
Restamos lo aproximado al resultado, es decir, 4:
3 628
–
4
3 624
3 000 + 500 + 110 + 14
3 000 +
610
+ 14
3 000 +
624
3 624
3.Resuelve en tu cuaderno las siguientes adiciones aplicando las dos estrategias aprendidas:
a) 49 215
+ 23 146
d) 163 893
+ 275 634
g) 7 463
+ 2 321
b) 48 562
+ 22 637
e) 164 763
+ 239 854
h) 53 625
+ 142 835
c) 123 716
+ 82 165
f) 926 124
+ 1 786
i) 723 001
+ 82 918
Calcula mentalmente el
resultado de la suma
123 405
+ 245 494
A. 368 898
B. 369 999
C. 368 899
Utilización de números hasta 1 000 000
45
Desarrollo mis aprendizajes
5 Otras estrategias de sustracción
A los dos partidos de semifinales de un Mundial Juvenil de fútbol asistieron 102 367 espectadores y al de la
gran final asistieron 112 477.
1.¿En cuántos espectadores aumentó la asistencia a la
final respecto a las semifinales?
2.Si la capacidad del estadio es de 125 543 personas,
Recuerda
En una sus tr ac ció n
se cum ple la sig uie nte rela ció n ent re sus
términos:
Sustraendo
+ Diferencia
Minuendo
¿cuántas butacas estuvieron vacías en la final?
Cuando alguna cifra del minuendo es menor que
su correspondiente cifra en el sustraendo la sustracción se complica. Aplicaremos dos estrategias diferentes para resolver este tipo de sustracciones:
,, Por
compensación:
Para restar usando esta estrategia debes ir extrayendo números desde posiciones superiores a la que
estás trabajando y compensando esta extracción. La
idea es descomponer los términos de la sustracción
de manera que el minuendo sea siempre mayor que
el sustraendo. Apliquemos la estrategia a la sustracción 783 732 – 451 195:
783 720 + 12 b 783 600 + 120 + 12
– 451 190 + 5b – 451 100 + 90 + 5
332 500 + 30 + 7 = 332 537
46
Unidad 2
canje:
En este caso no se descomponen los números sino
que se va trabajando con sus valores posicionales:
2
,, Por
783 732 b 783 7 (2) (12) b 783 (6) (12) (12)
– 451 195 b – 451 1 9 5 b– 451 1 9 5
332
7
332 5 3 7
3.Resuelve las sustracciones aplicando alguno de los
métodos vistos:
a) 652 534
– 540 228
Desafío al ingenio
La ed ad de m i ab ue lo
es un nú m er o de do s
dígitos tal que si le resto 36 años, obtengo un
número que corresponde
a la edad de mi abuelo
co n lo s dí gi to s in ve rtidos. ¿Qué edad tiene
mi abuelo, si se sabe que
tiene más de 80 años y
menos de 90?
b) 723 451
– 210 191
c) 864 772
– 412 860
d) 986 546
– 725 927
e) 375 496
– 146 783
Para comprobar sustracciones de números
grandes es útil que ocupes una calculadora. Por
ejemplo, para restar en
ella 451 195 de 783 732;
debes digitar el minuendo 783 732, presionar la
y luego digitar
tecla
el sustraendo 451 195. El
resultado o diferencia lo
obtendrás tras presionar
: 332 537.
la tecla
Utilización de números hasta 1 000 000
47
Desarrollo mis aprendizajes
6 Más propiedades de la
multiplicación
¿Sabías que...?
La ac tual Alemania estuvo div idida en tre los
años 1949 y 1990 en dos
países independientes: la
República Democrática
Alemana (RDA) y la República Federal Alemana
(RFA).
En una villa olímpica existen tiendas con productos
deportivos a la venta. Si la delegación de Alemania compró 30 pares de zapatillas
blancas y 20 pares de zapatillas azules para competir
durante un día, ¿cuántos pares de zapatillas debe comprar para competir durante
4 días?
Para dar solución a esta pregunta, aplicaremos la propiedad distributiva:
4 · (30 + 20) = (4 · 30) + (4 · 20)
4·
50
=
120
+
80
200
=
200
Esta propiedad se llama distributiva, ya que el factor de multiplicación se distribuye con respecto a dos
o más sumandos, obteniendo en ambos lados de la
igualdad el mismo resultado.
1.Resuelve los siguientes ejercicios, aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación
a) 8 · (600 + 30 000) = (
·
·
)+ (
=
·
)
+
)
+
=
b) (7 · 5 000) + (7 · 80 000) =
+
=
=
48
Unidad 2
·(
·
2
2.Resuelve las siguientes multiplicaciones:
a)85 · 1 = c)1 583 · 1 = b)10 231 · 1 = d)91 791 · 1 = ¿Qué regularidad observas?
Calcula:
6 123 · 9 · 0 · 8 =
A. 0
B. 440 856
C. 55 107
El elemento neutro de la multiplicación es el 1, ya
que cualquier número multiplicado por 1 es igual al
mismo número.
3.Completa y luego responde:
a)9 · 1 = d)9 · 1 000 = b)3 · 10 = e)5 · 10 000 = c)7 · 100 = f)2 · 100 000 = ¿Qué puedes deducir de las multiplicaciones anteriores? Fundamenta tu respuesta.
Desafío al ingenio
Númer o que tra s multiplicarse por sí mismo
no cambia su valor.
¿Qué números cumplen
esta propiedad?
4.Resuelve:
a)15 · 0 =
b)105 · 0 =
c)65 321 · 0 =
Esta propiedad se llama propiedad absorbente del
cero, e indica que cualquier número multiplicado por
0 es igual a 0.
5.Resuelve las siguientes multiplicaciones:
a)429 210 · 1 = c)60 117 · 0 = b)5 · (90 + 34) = d)51 005 · 8 = Utilización de números hasta 1 000 000
49
Desarrollo mis aprendizajes
7 Relación entre la multiplicación y
la división
Los auspiciadores de unos juegos olímpicos tienen un fondo de
$ 426 000 para repartir equitativamente entre las 3 primeras personas que llamen adivinando correctamente qué país ganará.
Recuerda
Cua ndo bus cam os un
fac tor des conocido en
una multiplicación como
por ejemplo:
5·
= 45
Nos debemos preguntar:
¿Qué número multiplicado por 5 da como resultado 45?
1.¿Cuánto dinero recibirá cada persona ganadora?
Para resolver situaciones como estas, debemos buscar el factor desconocido en 3 ·
= 426 000 y
para ello debemos calcular el cociente 426 000 : 3.
4' 2' 6' 0 0 0 : 3 = 1 4 2 0 0 0
– 3
12
– 12
06
– 6
0
∕∕
Por lo tanto 3 · 142 000 = 426 000.
Cada ganador recibirá $ 142 000.
2.Si el dinero total a repartir hubiera sido superior en
3UM, ¿podrías aplicar la misma estrategia?
426 000 + 3UM = 426 000 + 3 000 = 429 000
4' 2' 9' 0 0 0 : 3 = 1 4 3 0 0 0
– 3
12
– 12
09
– 9
0
∕∕
Por lo tanto 3 · 143 000 = 429 000.
Cada ganador habría recibido $ 143 000.
50
Unidad 2
2
3.Se deben repartir equitativamente 12 000 camisetas
oficiales con el logo de las olimpiadas entre las 30 delegaciones participantes. ¿Cuántas camisetas recibirá
cada delegación?
Cada delegación recibirá
camisetas.
4.Calcula el factor desconocido y completa las divisiones exactas:
a)4 ·
b)5 ·
c)7 ·
d)9 ·
e)6 ·
= 24
= 450
= 4 200
24 :
24 : 4 =
450 :
450 : 5 =
4 200 :
4 200 : 7 =
=4
Considera:
12 456 : 3 = 4 152
¿Cuál de las siguientes
operaciones no se deduce de ella y es falsa?
A. 4 152 · 3 = 12 456
B. 4 152 : 3 = 12 456
C. 12 456 : 4 152 = 3
=5
=7
= 63 000 63 000 : 9 =
63 000 :
=9
= 300 000 300 000 :
=6
300 000 : 6 =
f)3 ·
= 824 121 824 121 :
=3
824 121 : 3 =
La división y la multiplicación son operaciones inversas.
Utilización de números hasta 1 000 000
51
Desarrollo mis aprendizajes
8 Operaciones combinadas
A la ceremonia final de unos Juegos Olímpicos asistieron muchas personas. Considera las siguientes promociones hechas a los precios de las entradas al espectáculo:
Precio 1 entrada
¿Sabías que...?
Los trigésimos Juegos
Olímpicos se desarrollarán en Londres (Inglaterra) entre el 27 de julio
y el 12 de agosto del año
2012.
Promociones
Adultos
Niños
1a3
$ 25 000
$ 15 000
4a6
$ 22 500
$ 13 500
7a9
$ 20 000
$ 12 000
10 o más
$ 18 000
$ 10 000
1.Si al estadio ingresó un grupo compuesto por 5 adul-
tos y 3 niños, ¿cuánto dinero pagaron por concepto
de entradas?
Entrada adultos
,, $ 22 500
,, 5 adultos
Operación:
22 500 · 5 =
Entrada niños
,, $ 15 000
,, 3 niños
Operación:
15 000 · 3 =
Total
Operación:
Adultos + niños =
+
Total
=
2.La delegación chilena entró en 5 grupos de 7 adultos
en diferentes momentos de la ceremonia. ¿Cuánto dinero debieron pagar por las entradas?
Operación:
52
Unidad 2
Respuesta:
2
3.Resuelve los siguientes ejercicios combinados den-
tro de los recuadros, respetando el procedimiento.
Resuelve siempre primero las operaciones que están
dentro de los paréntesis:
Ejemplo:
(145 342 + 183 294) · 2 =
328 636
657 272
·2
657 272
Indica el resultado de las
siguientes operaciones:
(12 + 6) · 3 y 12 + 6 · 3
A. 54 y 30
B. 51 y 75
C. 30 y 30
a)(86 420 · 5) + 346 510 =
+
b)120 346 – (25 306 · 3) =
–
c)(48 972 : 3) + (749 368 – 561 745) =
+
4.Con ayuda de una calculadora, inventa y resuelve en
tu cuaderno un ejercicio combinado que contenga las
cuatro operaciones aritméticas. Preséntalo a tu curso.
Cuando resuelves operaciones combinadas con
calculadora debes ser muy
cuidado con el uso de los
paréntesis, procurando
siempre resolver las operaciones que están dentro
de ellos en primer lugar,
anotando el resultado y
luego resolviendo el resto
de las operaciones.
Los paréntesis indican prioridad en las operaciones,
es decir, en los ejercicios combinados primero se resuelven las operaciones que están entre paréntesis y
luego el resto.
Utilización de números hasta 1 000 000
53
Profundizando…
Más operaciones combinadas
La familia de Fernando decidió aprovechar el verano para hacer algunos
arreglos y hermosear su casa. Para lograrlo compraron una serie de artículos. Observa el detalle en la siguiente tabla:
Artículo
Cantidad
Gasto total [$]
Silla
6
180 456
Puerta
2
245 866
Espejo
4
455 124
¿Cuál es el costo de comprar solo un artículo de cada tipo?
Lee con atención y comenta con tus compañeros y compañeras la estrategia utilizada para responder:
(180 456 : 6) + (245 866 : 2) + (455 124 : 4)
30 076 +
122 933 +
113 781
266 790
El costo de comprar un artículo de cada tipo es de $ 266 790.
Practica
1. ¿Cuánto dinero gastó la familia de Fernando en hermosear su casa?
2.Tomando los datos del ejemplo anterior calcula el costo de comprar 3
sillas, 1 puerta y 2 espejos.
3. Calcula el costo de comprar 4 sillas, 3 puertas y 3 espejos.
4.Calcula el costo de comprar 7 sillas, 2 puertas y 1 espejo.
5. Se deben repartir equitativamente $ 997 488 entre las tres áreas de acti-
vidades complementarias del colegio. Estas areas son: la rama Deportes
(Tenis, Fútbol, Básquetbol y Voleibol), la rama Arte (Música, Pintura y
Poesía) y los Talleres (Computación y Astronomía). A su vez, el dinero
correspondiente a un área debe asignarse equitativamente a cada una
de sus secciones. ¿Cuánto dinero corresponde a cada área y a cada una
de sus secciones?
54
Unidad 2
2
Divisiones inexactas
Observa la siguiente división:
11' : 2 = 5
– 10
1∕∕
Esta es una división inexacta, ya que el resto es diferente de 0.
Los términos de esta división inexacta se pueden relacionar a través de
la siguiente equivalencia:
Resultado
Divisor
Resto
2 · 5 + 1 = 11
Dividendo
Hagamos el mismo desarrollo para un número más grande:
2 4' 4' 4' 6' 3' : 5 = 4 8 8 9 2
44
44
46
13
3
∕∕
Y la relación entre los términos de esta división es:
5 · 48 892 + 3 = 244 463
Practica
1.Un padre debe repartir entre sus tres hijos $ 25 654. ¿Cuánto recibirá
cada uno y cuánto sobra?
2.Resuelve las siguientes divisiones inexactas y relaciona sus término mediante la equivalencia estudiada:
a)476 457 : 2
c)866 541 : 7
e)124 355 : 4
b)241 753 : 3
f)998 473 : 6
d)180 450 : 4
Utilización de números hasta 1 000 000
55
Resuelvo problemas
Problema modelo
Alonso es un deportista destacado. El detalle de
su entrenamiento semanal por día es el siguiente:
Lunes y miércoles: 2 350 metros de natación.
Martes y viernes: 160 000 metros de ciclismo.
Jueves y sábado: 13 650 metros de trote.
Domingo: descanso.
¿Cuántos metros practica en una semana?
Comprende:
Días
Deporte
Lunes y miércoles
Natación
Martes y viernes
Ciclismo
Jueves y sábado
Trote
Metros recorridos cada día
2 350
1 60 000
1 3 650
Planifica:
Multiplicar los tres datos de distancia recorrida por 2.
Sumar los tres resultados para obtener el total de metros recorridos en la
semana .
Resuelve:
2 350 . 2 = 4 700
160 000 . 2 = 320 000
13 650 . 2 = 27 300
4 700 + 320 000 + 27 300 = 352 000
Responde:
El entrenamiento semanal de Alonso consiste en 352 000 metros de práctica
de tres disciplinas deportivas diferentes.
Comprueba:
Podemos sumar los tres recorridos y luego multiplicar el resultado por 2:
2 350 + 160 000 + 13 650 = 176 000
176 000 . 2 = 352 000
56
Unidad 2
2
Problema para ti
En el colegio de Martín organizaron
una cicletada de beneficencia. Cada estudiante invitó a 5 familiares. Si el total de
invitados fue de 7 255 personas, ¿cuántos
estudiantes participaron de la cicletada? Si
cada invitado debió cancelar $ 120, ¿cuánto dinero recaudaron en la cicletada?
Comprende:
Planifica:
Resuelve:
Responde:
Comprueba:
Utilización de números hasta 1 000 000
57
Evalúo qué aprendí
Síntesis de la unidad
Números hasta 1 000 000
a través de
análisis de
análisis de
45 000 – 3 000 = 42 000
+, –, · , :
42 000
45 000
resolví
resolví
400 : 8 = 50
401 : 8 = 50
1//
205 + 6 · 3 – 108 : 3
60 : 3 = 20
10 000600
+ 60 000
: 30 = =2070 000
85 000 6000– : 5 000
300 = =2080 000
F

F

120 · 4 = 480
200 : 5 = 40  C
determiné
405 · 2 = 810, entonces
810 : 2 = 405
me permitieron
Comprender y resolver
problemas cotidianos
Completa los recuadros de la red con los siguientes conceptos. Guíate por las
pistas que están en la parte inferior de cada recuadro:
,, Adiciones
y sustracciones
,, Las cuatro operaciones básicas
,, Estrategias gráficas y numéricas
,, Operaciones combinadas
58
Unidad 2
,, Relación
inversa: multiplicación-
división
,, Divisiones exactas e inexactas
,, Factores y cocientes
2
Evaluación
Une con líneas de colores el numeral con su escritura en palabras:
3DM + 6U + 9D + 5CM
Setecientos cincuenta
mil setecientos
200U + 2D + 3CM + 5UM
Trescientos cinco mil
doscientos veinte
5CM + 20D + 8U + 1DM + 7UM
Quinientos treinta mil
noventa y seis
600U + 9D + 10U + 7CM + 5DM
Quinientos diecisiete
mil doscientos ocho
Pinta el valor del número destacado en cada caso:
a)103 457 b
30 000
ó
3 000
ó
300
b)568 942 b
500 000
ó
50 000
ó
5 000
c)796 839 b
900000
ó
90 000
ó
9 000
d)687 576 b
50 000
ó
5 000
ó
500
Resuelve los siguientes ejercicios combinados:
a)(723 486 + 94 632) – 5 845 =
c)864 326 + (5 749 · 5) – 645 215 =
b)(36 410 · 3) + (74 963 : 7) =
d)(589 310 : 5) + (49 876 · 6) =
Utilización de números hasta 1 000 000
59
3
Geometría
En esta unidad aprenderás a:
££Identificar los ángulos rectos, agudos, obtusos y extendidos.
££Medir ángulos.
££Identificar y representar cuerpos geométricos.
££Construir cuerpos a partir de redes.
££Calcular el perímetro de figuras geométricas.
££Calcular el área de cuadrados y rectángulos.
60
Observa y responde:
¿Qué figuras geométricas planas reconoces en la lámina?
¿Qué juguetes reconoces en la lámina? Nombra tres.
¿Qué cuerpos geométricos ves en la lámina? Escribe el nombre de tres.
¿Cuál es el juguete más importante para ti? Explica por qué es el más importante.
61
Rescato mis conocimientos
Memorice
Mientras Lucía recorría la juguetería, encontró unas tarjetas para jugar al memorice. Ayudémosla a reconocerlas, para esto, dibuja lo que se indica en los
recuadros en blanco:
Triángulo
Cubo
Cuadrado
Cilindro
Pirámide base
cuadrada
Tras hacer los dibujos, fotocopia esta página y recorta las tarjetas para que
juegues aprendiendo geometría. Debes voltearlas y juntar pares semejantes
ocupando solo tu memoria. ¡A usar la mente!
62
Unidad 3
En estas figuras, remarca con verde los lados y con amarillo los vértices:
a)
c)
b)
d)
3
Completa las siguientes frases:
a)Un cuadrado tiene
b)Un
lados iguales.
tiene 3 lados.
c)Un cubo tiene
caras cuadradas.
d)Una pirámide de base cuadrada tiene
triangulares.
cara cuadrada y
caras
Calcula el perímetro de las siguientes figuras recordando que el perímetro es
la suma sus lados:
a)
b)
3 cm
2 cm
4 cm
4 cm
2 cm
3 cm
4 cm
6 cm
3 cm
Perímetro:
Perímetro:
Geometría
63
Desarrollo mis aprendizajes
1 Medición de ángulos
Colegio
Luis invita a sus amigos y amigas a casa para celebrar
su cumpleaños. Para indicarles cómo llegar desde el colegio les entrega el siguiente plano:
Casa de Luis
En el recorrido para llegar a la casa de Luis hay tres
ángulos. ¿Se pueden medir esos ángulos?
Te enseñaremos a medir el ángulo 2 de la ilustración:
Paso 1
Paso 2
Colocamos el centro del Hacemos coincidir la
transportador sobre el
línea que marca 0° con
vértice del ángulo.
uno de los lados del
ángulo.
¿Sabías que...?
Cuándo el minutero de
un reloj recorre una hora
comple ta ha re corrido
360°.
64
Unidad 3
Paso 3
Observamos el número
que indica en el transportador el otro lado
del ángulo. En este caso
120°.
1.Utilizando un transportador mide el ángulo 1 y el ángulo 3 de la ilustración:
a)El ángulo 1 mide
grados.
b)El ángulo 3 mide
grados.
Para medir ángulos se utiliza el transportador y la
unidad utilizada es el grado sexagesimal.
Un ángulo se clasifica de acuerdo a su medida en:
Agudo: mide menos de 90°.
Recto: mide exactamente 90°.
Obtuso: mide más de 90° y menos de 180°.
Extendido: mide exactamente 180°.
Completo: mide exactamente 360°. Equivale a una
vuelta completa.
2.Mide los siguientes ángulos y clasifícalo según el valor
que obtengas:
3
Recuerda
Los ángulos se
forman
al intersecar do
s o más
rectas y se desig
nan con
letras mayúscu
las.
El vértice de los
ángulos
es la intersecci
ón de las
rectas.
¿Sabías que...?
Las rectas paralelas
nunca se cortan o se
topan.
Las rectas perpendiculares se cortan o se topan
en un punto, formando
cuatro ángulos rectos.
Las rectas secantes se
cortan y pueden formar
ángulos rectos, agudos
y obtusos.
3.Une cada ángulo con su medida:
Exactamente 90°
Menos de 90º
Exactamente 180º
Un ángulo de 100° es:
A. Agudo
B. Recto
C. Obtuso
Más de 90º y
menos de 180º
Geometría
65
Desarrollo mis aprendizajes
2 Cuerpos geométricos y redes
Ana y Marcos juegan a armar objetos:
¿Sabías que...?
Si observas una ciudad,
podrás ver una gran
variedad de cuerpos
geométricos.
A lo largo de la historia las ciudades se han
edificado ocupando diferentes estilos, todos
basados en modelos
geométricos.
1.Une, con líneas de colores, el objeto con el cuerpo
geométrico al que se asemeja:
Pirámide
Prisma de base
rectangular
Cono
Cilindro
Esfera
66
Unidad 3
3
2.Identifica qué cuerpos se pueden armar a partir de las
siguientes redes. Dibújalo junto a cada una de ellas:
a)
b)
Recuerda
La cara basal de
un cuerpo es su base y
con ella
se puede apoya
r sobre
una super ficie.
Algunos
cuer pos como
el cono
poseen una ca
ra basal,
y otros como el
cilindro
poseen dos.
c)
d)
¿Cuál de los siguientes
cuerpos geométricos puede
rodar si lo arrojamos sobre
una superficie?
A. Cubo
B. Cilindro
C. Pirámide
3.Utilizando las redes de las páginas 155, 157 y 159
construye los cuerpos, arrójalos sobre una superficie e
indica cuáles de ellos ruedan y cuáles no.
Geometría
67
Desarrollo mis aprendizajes
3 Representación de cuerpos
geométricos
Lucía y su hermano juegan un día sábado. Obsérvalos:
Ilustración 1
Ilustración 2
1.Desde qué posición está representada la escena en la
ilustración 2.
Desde
.
2.En la ilustración 2 pinta las vistas de los cuerpos del
¿Sabías que...?
Lo s cu er po s r ed on do s so n aq ue llo s qu e
ruedan.
Los cuer pos no redondos son aquellos que no
ruedan y se denominan
cuerpos poliedros.
68
Unidad 3
color que tienen en la ilustración 1.
3.Observa los siguientes cuerpos geométricos y dibújalos como si los vieras de frente y desde abajo:
Cuerpo
De frente
Desde abajo
3
4.Lee cada una de las siguientes adivinanzas y escribe el
nombre de uno de los cuerpos del costado:
a)Si me miras desde arriba ves un círculo y si lo haces
de frente ves un triángulo.
Soy un
.
b)Si me miras desde arriba ves un triángulo, si lo haces de frente ves un rectángulo.
Soy un
.
c)Si me miras de arriba ves un círculo, si me ves de
abajo también.
Puedo ser un
o una
.
5.Dibuja los siguientes cuerpos vistos desde arriba y
desde abajo:
Cuerpo
geométrico
Visto de arriba
Visto de abajo
Recuerda
En general, los
cuerpos
geométricos se
ven diferentes si los
miramos
d e s d e a rr ib a
, desde
a b a jo , d e fr e n
te o d e
costado.
¿Cuál de los siguientes
cuerpos no puede ser visto como un círculo desde
algún sitio?
A. Esfera
B. Cono
C. Prisma
Geometría
69
Desarrollo mis aprendizajes
4 Vistas y redes de cuerpos
Lucía y Juan están dibujando cuerpos geométricos en
hojas cuadriculadas:
1.Ayúdalos a dibujar las redes y adivina el cuerpo geométrico que se puede formar con cada una de ellas:
¿Sabías que...?
a)Su red está formada por seis cuadrados iguales.
A un conjunto de figuras
geomé tric as cor rec tamente ensambladas se
llama teselado. Un ejemplo simple de teselado
es el pan al de abe jas ,
estructura formada por
hexágonos de cera.
b)Su red está formada por cuatro triángulos iguales.
70
Unidad 3
3
2.Observa un cono, un cilindro y un cubo. Luego dibújalos de acuerdo a su vista:
Vista
Cilindro
Cono
Cubo
¿Sabías que...?
Superior
La ax on om et ría es la
rama del dibujo técnico
que trata de la perspectiv a tri dim en sio na l de
los cuerpos, tomando
como base las vistas o
proyecciones.
Frontal
Inferior
3.Escribe el nombre del cuerpo geométrico que corresponde a las vistas indicadas:
Cuerpo
Superior
Inferior
Frontal
Geometría
71
Desarrollo mis aprendizajes
5 Superficie de figuras geométricas
Luis realiza el siguiente dibujo en un papel cuadriculado:
¿Sabías que...?
Muchas veces se us an
los términos superficie
y área como sinónimos.
Estrictamente hablando
la superficie es la ex tensión en dos dimensiones
de un cuerpo, mientras
que el área es una medida numér ica de es ta
ex tensión. Así podemos
de cir “la superfi cie de
la cocina es lis a” y “el
área de la superficie de
la cocina mide 20 metros
cuadrados”.
1.¿Cuántos cuadrados conforman cada uno de los elementos del dibujo?
Elementos del dibujo
Árbol
Casa
Sol
Pasto
Cantidad de cuadrados
La unidad de medida que hemos utilizado para indicar el tamaño de las superficies del dibujo es el cuadrado .
2.Cuenta los cuadrados que ocupan las siguientes figuras:
a)
Hay
72
Unidad 3
b)
cuadrados.
Hay
cuadrados.
3
3.¿Qué superficie ocupan las siguientes figuras?
a)
c)
Recuerda
cuadrados
b)
Un método par
a determ in a r la m e d id
a d e la
super ficie de u
na figura
consiste en div
idirla en
pequeños cuad
rados del
mismo tamaño
.
cuadrados
d)
cuadrados
cuadrados
4.Determina la superficie que ocupan las siguientes figuras:
El rectángulo ocupa
cuadrados.
El triángulo ocupa
cuadrados.
5.Mide con una regla los cuadrados de las cuadrículas
anteriores.
a)Los cuadrados miden
.
Una unidad de medida
del tamaño de una superficie debe:
A. Tener siempre el
mismo tamaño.
B. Cubrir toda la superficie.
C. Ambas alternativas
anteriores.
b)¿Qué puedes concluir?
Geometría
73
Desarrollo mis aprendizajes
6 Área de cuadrados y rectángulos
Alonso en su clase de artes visuales realizó una obra
utilizando 50 cuadrados de papel de 1 centímetro de
lado similar al que se muestra a continuación:
Recuerda
Tres de las unidades de
longitud más ocupadas
son el centímetro (cm), el
metro (m) y el kilómetro
(km). Sus equivalencias
son:
1 m = 100 cm
1 km = 100 000 cm
1 km = 1 000 m
1.¿Qué área ocupa la obra de Alonso?
Si contamos, tenemos que el mosaico de Alonso
está compuesto por 50 cuadrados de 1 centímetro de
lado, por lo tanto, podemos decir que ocupa un área
de 50 centímetros cuadrados.
¿Sabías que...?
Un cuadrado de
1 centímetro de lado
ocupa un área de 1
centímetro cuadrado, al
igual que el metro cuadrado que corresponde
a un cuadrado de 1 metro de lado. Estas son
unidades de medida
de área.
a)¿Cómo calculamos el área del mar sin contar los
cuadrados?
Basta multiplicar el ancho por el largo:
10 centímetros 2 centímetros 20 centímetros
·
=
de largo
de ancho
cuadrados
b)¿Cuál es el área del sol del mosaico?
Área =
centímetros cuadrados.
El área es la medida de la superficie que ocupa una
figura.
El área de un rectángulo se obtiene multiplicando
su ancho por su largo.
El área de un cuadrado se obtiene multiplicando su
lado por sí mismo.
74
Unidad 3
3
2.Mide los lados de las siguientes figuras:
¿Cuál de las siguientes es
una unidad de medida de
área?
A. Metro cúbico
B. Litro
C. Metro cuadrado
a)Calcula el área aplicando las fórmulas que aprendiste:
Área del rectángulo =
Área del cuadrado =
centímetros cuadrados.
centímetros cuadrados.
b)Comprueba tu respuesta contando los cuadraditos
que los componen.
c)Si el lado de cada cuadradito midiera 1 metro, cuál
sería el área de cada una de las figuras.
Área del rectángulo =
Área del cuadrado =
metros cuadrados.
metros cuadrados.
3.Calcula el área de las siguiente figuras. Las medidas
Recuerda
El área de un rectángulo
se calcula como:
A = a · b,
donde A es el área, a es
el ancho y b el largo.
El área de un cuadrado
se calcula como:
A = a · a,
dond e a es el lado de l
cuadrado.
están dadas en centímetros:
Área =
centímetros cuadrados.
Área =
centímetros cuadrados.
Geometría
75
Desarrollo mis aprendizajes
7 Área de cuerpos geométricos
Alicia quiere construir una caja de cartón para guardar un regalo que le dará a su hermana.
1.¿Qué cantidad de cartón necesitará Alicia para su
caja?
Para responder a esta pregunta necesitamos calcular el área de los cuadrados que, dibujados sobre el
cartón, nos permitirán armar la caja.
9 cm
9 cm
9 cm
¿Sabías que...?
del área
Cuando se habla
métrico
de un cuerpo geo
ncia a la
se hace refere
año de
medida del tam
terna, es
su superficie ex
ficie que
decir, a la super
po.
recubre el cuer
9 cm
9 cm
9 cm
9 cm
9 cm
9 cm
9 cm
9 cm
9 cm
9 cm
9 cm
Como puedes ver, la red del cubo está compuesta
por 6 cuadrados de 9 centímetros de lado, entonces:
Área un cuadrado = 9 centímetros · 9 centímetros
Área un cuadrado = 81 centímetros cuadrados
Como son 6 cuadrados, entonces:
Área total = 81 centímetros · 6 = 486 centímetros cuadrados.
76
Unidad 3
3
2.Calcula el área total del prisma:
¿Sabías que...?
El área total es de
Un a lon git ud indica el
tamaño de los objetos
considerando 1 dimensión, y un área el tamaño
en 2 dimensiones. Para
indicar el tamaño de un
objeto en las 3 dimensiones espaciales se habla
de volumen.
metros cuadrados.
3.Observa el siguiente prisma y los sucesivos cortes que
sufre:
A
B
C
a)Calcula el área total del prisma A y suma la de los prismas que se van formando al irlo dividiendo (B y C):
Área A =
metros cuadrados.
Área B =
metros cuadrados.
Área C =
metros cuadrados.
b)El área total , ¿aumenta o disminuye al ir dividiendo
el cuerpo original? ¿Qué ocurrirá si seguimos dividiendo?
El área total va
al ir dividiendo el cuerpo.
Si seguimos dividiendo, el área seguirá
.
c)¿Por qué razón el área cambia al ir dividiendo el
cuerpo? Explica.
El área de un cubo de 5 cm
de arista es:
A. 125 centímetros cuadrados.
B. 150 metros cuadrados.
C. 150 centímetros cuadrados.
Geometría
77
Profundizando…
Perímetro y área
El Ministerio de Obras Públicas ha planificado la construcción de una
carretera que rodee por completo una ciudad del norte del país. Observa
una vista aérea de la ciudad:
A.¿Cuántos kilómetros de carretera deberá construir el ministerio?
Para responder esta pregunta debemos calcular el perímetro del contorno de la ciudad. Sumemos entonces los siete lados rectos que limitan
la ciudad:
Perímetro = 5 + 7 + 20 + 10 + 12 + 15 + 7 = 76 kilómetros
La carretera medirá 76 kilómetros.
B.¿Cuál es el área que ocupará la carretera si mide 10 m de ancho?
Podemos considerar que la carretera es un rectángulo de 76 kilómetros de largo y 10 metros de ancho. Para calcular el área que ocupará
multiplicamos su largo por su ancho. Previamente expresaremos su largo en metros:
76 kilómetros = 76 000 metros
Área que ocupará la carretera = 76 000 · 10 = 760 000 metros cuadrados.
Practica
1. Calcula el largo de una muralla que se va a construir alrededor de un
terreno poligonal de 5 lados, cuyas medidas son: 12 metros, 14 metros,
17 metros, 18 metros y 20 metros.
2.¿Cuál es el área de la muralla si medirá 2 metros de alto y 1 metro de
grosor? Considera la muralla como un gran prisma.
78
Unidad 3
3
Teselaciones
Una teselación consiste en un conjunto de figuras geométricas que cubren una superficie completamente siguiendo un patrón o una regularidad característica. Observa la siguiente teselación natural:
¿Qué figura geométrica constituye el teselado del panal de abejas?
Podemos observar que la figura geométrica es semejante a:
Contando los lados comprobamos que son 6 y que su longitud es la
misma, por lo tanto estamos frente a un hexágono regular.
Practica
1.Observa las siguientes teselaciones y dibuja aproximadamente la figura
geométrica que las constituye:
Geometría
79
Resuelvo problemas
Problema modelo
Alejandra necesita asfaltar una parte del patio de su casa para poder estacionar su auto.
Si el auto mide 150 centímetros de ancho y
300 centímetros de largo, ¿cuál es el tamaño
mínimo que debe tener el terreno a asfaltar?
¿Cuánto terreno libre quedará en el patio si
este mide 126 000 centímetros cuadrados?
Comprende:
El terreno a asfaltar podemos considerarlo como un rectángulo de 150 cm de
ancho y 300 cm de largo, como mínimo.
El área de un rectángulo se calcula multiplicando el ancho por el largo.
La diferencia entre el área del patio y el área del terreno para el
estacionamiento corresponde al área que quedará libre del patio.
Planifica:
Multiplicar el ancho del rectángulo por el largo del rectángulo.
Restar al área del patio el área del terreno para el
estacionamiento.
b
a
Área = a . b
Resuelve:
Área del terreno = 150 . 300 = 45 000 centímetros cuadrados.
Área libre del patio = 126 000 – 45 000 = 81 000 centímetros cuadrados.
Responde:
El área de la superficie a asfaltar es de 45 000 centímetros cuadrados.
El área del terreno libre será de 81 000 centímetros cuadrados.
Comprueba:
Para comprobar el resultado de las operaciones puedes utilizar una calculadora:
Digita 150, pulsa
, digita 300 y pulsa
Digita 126 000, pulsa
80
Unidad 3
. El resultado es 45 000.
, digita 45 000 y pulsa
. El resultado es 81 000.
3
Problema para ti
Emilio quiere cubrir su refrigerador con papel
de aluminio. La altura del electrodoméstico es
de 170 cm, mientras que la base es un cuadrado
de 80 cm de lado. Si compró 60 000 centímetros
cuadrados de papel, ¿serán suficientes para cubrir el refrigerador? ¿Cuánto papel le sobra o le
falta? (No consideres la base del refrigerador).
Comprende:
Planifica:
Resuelve:
Responde:
Comprueba:
Geometría
81
Evalúo qué aprendí
Síntesis de la unidad
Geometría
a través de
análisis de
identifiqué
uso de
uso de
calculé
medí y clasifiqué
A X = 18 cm cuadrados
A X = 4 cm cuadrados
me permitieron
Describir y comprender
el entorno físico
Completa los recuadros de la red con los siguientes conceptos. Guíate por las
pistas que están en la parte inferior de cada recuadro:
,, Ángulos
,, Vistas
,, Redes
,, Transportador
,, Área
,, Cuerpos
de figuras geométricas
,, Cuadrículas
82
Unidad 3
geométricos
3
Evaluación
Utilizando un transportador, mide la amplitud de los siguientes ángulos.
Luego, clasifica cada uno de ellos:
a)
b)
c)
Completa el siguiente cuadro dibujando las vistas que se solicitan de cada
cuerpo geométrico:
Cuerpo
Superior
Frente
Inferior
Pirámide de base
pentagonal
Prisma de base
triangular
Calcula el área de las siguientes figuras si el lado de cada cuadrado mide 1 metro:
a)
b)
c)
Geometría
83
4
Las fracciones
En esta unidad aprenderás a:
££Definir el concepto de fracción.
££Leer y escribir fracciones.
££Representar fracciones gráficamente.
££Representar fracciones en la recta numérica y compararlas.
££Utilizar fracciones en diferentes ámbitos.
84
Observa y responde:
¿Has comido macedonia?
¿Sabes por qué a una ensalada de frutas se le llama macedonia?
¿Qué hicieron los niños con las frutas enteras?
¿Cuántos trozos de una de las manzanas están malos?
¿Cuántos trozos de la pera están malos?
85
Rescato mis conocimientos
Repartiendo en la fiesta de Marta
Los padres de Marta le organizaron una fiesta sorpresa el día de su cumpleaños. A ella invitaron a familiares, amigas y amigos. Observa detenidamente la
celebración:
86
Unidad 4
Desarrolla las siguientes actividades a partir de la escena del cumpleaños de
Marta:
4
Reparte algunas de las cosas para comer que hay en la fiesta entre la cantidad de personas que se indica en cada caso:
a)La torta azul se repartirá en partes iguales entre 8 de los niños y
niñas.
b)El brazo de reina se repartirá en
partes iguales entre los 6 adultos
que están en la fiesta.
Pinta de verde las cosas que se repartirán a los niños y de rojo las cosas que
se repartirán a las niñas. Luego completa las frases que están más abajo:
a)6 alfajores serán para los niños y 7 b)5 globos serán para los niños y 4
para las niñas.
para las niñas.
Hay
alfajores verdes de
un total de
.
Hay
Hay
.
Hay
.
globos rojos de un
total de
alfajores sin pintar
de un total de
globos verdes de
un total de
alfajores rojos de
un total de
Hay
.
Hay
de un total de
.
globos sin pintar
.
Las fracciones
87
Desarrollo mis aprendizajes
1 Partes de un todo
¿Sabías que...?
eron los
Se cree que fu
eros en
egipcios los prim
es. Alguocupar fraccion
ican que
nos papiros ind
acciones
trabajaron las fr 1 1
1( , ,
con numerador 2 3
2
1 c.), además de y
3
, et
4
3 laro que ellos ocu.C
4
nos para
paron otros sig
representarlas.
Marcela lleva para su colación una naranja y la quiere
compartir con una amiga en partes iguales.
¿Qué parte de la naranja le tocará a cada niña?
A cada niña le corresponde la mitad de la naranja.
1
Esto equivale a decir que a cada niña le tocará de la
2
naranja, es decir, 1 parte de las 2 partes en que fue dividida la naranja.
Las fracciones son números que permiten representar las partes en que se divide un entero.
Las fracciones están compuestas por:
1
2
88
Unidad 4
Numerador (cantidad de partes que nos
interesan)
Denominador (cantidad de partes
iguales en que fue dividido el entero)
4
1.Supón que debes repartir en partes iguales los siguien-
tes alimentos con tres compañeros y compañeras.
Marca y pinta la cantidad de trozos que te tocará a ti.
Expresa luego esta cantidad mediante una fracción:
a)
b)
Desafío al ingenio
Pinté
partes de las
8 que hay.
Pinté
partes de las
24 que hay.
2.Dibuja una representación gráfica de las situaciones que
Adivina la fracci
ón:
S i re s ta m o s a
l denominador el num
er ador,
o b te n e m o s 1.
S i m u ltiplic amos por
2 el numerador, obten
emos el
denominador.
se describen y colorea las partes que nos interesan:
1 de 6 partes
2 de 4 partes
5 de 8 partes
3.Indica las partes de un todo que han sido coloreadas:
partes
de
partes
partes
de
partes
partes
de
Si en una bandeja con una
docena de huevos, hay tres
de color, ¿qué fracción representan los huevos blancos del total de huevos en
la bandeja?
3
A.
12
9
B.
12
10
C.
12
partes
Las fracciones
89
Desarrollo mis aprendizajes
2 Significado, lectura y escritura de
1 1 y 2 3
En el negocio de don Pepe hay ofertas especiales:
1
kilogramo
2
$ 342
1
litro
2
$ 128
1
sandía
2
$ 455
¿Cómo podemos interpretar la información de los
carteles de los productos en oferta?
Los carteles contienen fracciones que representan la
cantidad de producto y el precio correspondiente. En
1
este caso indica la mitad de un kilogramo, la mitad de
2
un litro y la mitad de una sandía, respectivamente.
Desafío al ingenio
Las siguientes fracciones representan la misma cantidad de par tes
de un total:
1 2 3
, y
2 4 6
Ob sér val as y hal la la
regularidad que las relacion a. Tra s esto, escribe otra fracción que
rep res ent e la mis ma
cantidad.
90
Unidad 4
1
se lee un medio y representa 1 de las 2 partes
2
1
iguales en que dividimos un entero, es decir, repre2
senta la mitad de un total.
1.Colorea
a)
1
de las siguientes figuras:
2
b)
c)
4
Camila, Felipe y Martín van a comprar al kiosco:
2.Responde:
a)Si Camila, Felipe y Martín se dividen la barra de
chocolate equitativamente, ¿qué cantidad del total
corresponde a cada uno? ¿A cuántos trozos equivale esta cantidad?
b)Si Martín se come una barra de la bolsa de cereal,
¿qué cantidad del total de cereal se ha comido?
Si tienes 30 libros, ¿qué
cantidad representan
1 1
respectivamente
y
2 3
de ellos?
En ambos casos, tanto la cantidad de chocolate para
cada niño y niña como la cantidad de cereal que se
come Martín pueden representarse respecto al total por
1
la fracción .
3
A. 12 y 8
B. 20 y 15
C. 15 y 10
1
se lee un tercio y representa 1 de las 3 partes igua3
1
les en que dividimos un entero, es decir, representa
3
la tercera parte de un total.
3.Pinta
a)
1
de los siguientes objetos:
3
b)
c)
Las fracciones
91
Desarrollo mis aprendizajes
3 Significado, lectura y escritura de
1 1 y 4 8
¿Sabías que...?
Los ingredientes básicos
de las pizzas española y
napolitana son:
Española: tomate, queso, choricillo, pimentón,
orégano y jamón.
Napolitana: tomate, queso, anchoas, pimentón,
orégano y aceitunas.
Paula y Felipe compraron dos pizzas del mismo tamaño para repartirla con sus familiares. Felipe compró una
española dividida en cuatro trozos iguales y Paula una
napolitana dividida en ocho trozos iguales:
Antes de compartirla, ambos decidieron comer un
trozo de su propia pizza para probarla. ¿Cuánto comió
cada uno? ¿Quién comió más, Paula o Felipe?
Felipe comió un trozo de los cuatro en que está divi1
dida su pizza. Es decir, del total.
4
1
se lee un cuarto y representa 1 de las 4 partes
4
1
en que dividimos un entero, es decir, representa la
4
cuarta parte de un total.
Paula comió un trozo de los ocho en que está dividida
1
su pizza. Es decir, del total.
8
1
se lee un octavo y representa 1 de las 8 partes en
8
1
que dividimos un entero, es decir, representa la oc8
tava parte de un total.
92
Unidad 4
4
Veamos cuál de los dos comió más pizza. Lo que está
en verde representa lo que comió de su pizza cada uno:
1
4
Felipe
Paula
1
8
1
4
1
8
1
8
1
4
1
8
1
8
1
4
1
8
1
8
1
8
Felipe comió más pizza que Paula.
1.Escribe bajo cada figura la fracción que la representa:
a)
d)
b)
e)
c)
f)
2.Pinta lo necesario para representar
a)
b)
1 1
y del total:
4 8
c)
d)
1
de 32 es:
8
A. 3
B. 4
C. 5
Las fracciones
93
Desarrollo mis aprendizajes
4 Significado, lectura y escritura de
3 2 y 4 3
Desafío al ingenio
Observa cómo hemos
dividido 1:
Francisca invitó a dos de sus amigas a la casa y les
ofreció uno de los cuatro trozos iguales en que dividió
un queque:
1
ƒƒ
1
2
1
2
Entonces:
1 1
+ =1
2 2
ƒƒ
1
3
1
3
1
3
Entonces:
1 1 1
+ + =1
3 3 3
ƒƒ 1
4
1
4
1
4
Entonces:
1 1 1 1
+ + + =
4 4 4 4
1
4
¿Qué fracción del queque comerán entre las tres?
El queque se dividió en 4 partes, cada una de las cua1
les representa del total. Como son 3 los trozos que
4
3
repartirá Francisca entonces es la fracción que repre4
senta lo que comerán.
3
se lee tres cuartos y representa 3 de las 4 partes
4
3
en que dividimos un entero, es decir, representa las
4
tres cuartas partes de un total.
3
en los siguientes grupos de objetos pin4
tando los que corresponda:
a)
b)
1.Representa
94
Unidad 4
4
Observa la barra de chocolate:
2
de
es 16. ¿Cuál
3
de los siguientes números
completa correctamente la
frase anterior?
A. 20
B. 24
C. 28
2.Responde:
a)¿En cuántos trozos está dividida la barra?
En
trozos.
b)¿Cuántos pedazos se separaron de la barra?
Se separaron
trozos.
c)¿Qué fracción representa a la parte de la barra que
está fuera del envoltorio?
1
3
1
3
1
3
1
3
2
3
2
se lee dos tercios y representa 2 de las 3 partes en
3
2
representa las
que dividimos un entero, es decir,
3
dos terceras partes de un total.
3.Indica la fracción que representa cada cuadrícula:
a)
b)
c)
Las fracciones
95
Desarrollo mis aprendizajes
5 Significado, lectura y escritura de
1 1 y 10 100
¿Sabías que...?
En la ant igu a Ro ma ,
cuando una Legión (unidad básica del ejército
romano, compuesta por
entre 5 000 y 10 000 soldados de infantería) se
amotinaba, el legatus –o
comandante– enviaba a
ejecutar a 1 de cada 10
legionarios. A esta práctica se le llamó diezmar
un ejército.
La señora María vende frutillas en la feria:
Si un hombre prueba una frutilla de una bandeja y
una de un cajón, ¿qué fracción representan las frutillas
degustadas del contenido total?
1 de 10 v
1
10
1 de 100 v
1
100
1
se lee un décimo y representa 1 de las 10 partes
10
1
representa
en que dividimos un entero, es decir,
10
la décima parte de un total.
1
se lee un centésimo y representa 1 de las 100
100
partes en que dividimos un entero, es decir, representa la centésima parte de un total.
96
Unidad 4
4
1.A un colegio llegó un cargamento de 1 000 lápices:
1
de 500 equivale a:
10
A. 500 : 10
B. 500 · 10
C. 10 : 500
a)Si al cuarto básico le corresponde la décima parte
del cargamento, ¿a cuántas cajas equivale esta cantidad? ¿A cuántos lápices?
Equivale a
cajas.
Equivale a
lápices.
b)Si al quinto básico le corresponde la centésima parte del cargamento, ¿a cuántos lápices equivale esta
cantidad?
Equivale a
lápices.
2.Marcos vive en un edificio de 100 pisos:
1
a)Si Marcos subió por las escaleras hasta
de la al10
tura del edificio, ¿a qué piso llegó?
Llegó al piso
.
1
de la alb)Si Marcos sube en ascensor y le queda
100
tura total del edificio para llegar a la altura máxima,
¿en qué piso se encuentra?
Se encuentra en el piso
¿Sabías que...?
A las fracciones cuyo denominador corresponde
a un 1 seguido de uno o
más ceros se les llama
fra cc ion es de cim ale s.
Por ejemplo:
4
10
3
100
741
1 000
.
1
c)¿En qué piso se encuentra si ha subido hasta de la
2
altura del edificio?
Está en el piso
.
Las fracciones
97
Desarrollo mis aprendizajes
6 Más fracciones
1.Don Fernando tiene un almacén que distribuye diferentes productos a algunos negocios de la comuna.
1
de sus ventas son bebidas. Esto lo podemos repre4
sentar como:
Desafío al ingenio
1 1 16?
¿Cuánto es 4 de 4 de
Pinta las casillas necesarias para representar la fracción
de las ventas que corresponde a cada uno de los siguientes productos:
a)Pan:
b)Harina:
Recuerda
El centímetro es una unidad de longitud. Se abrevia como cm y equivale
1
a
de 1 metro.
100
3
100
8
100
2.Marcela usa su regla para medir longitudes. Determi-
na la medida de algunos objetos a partir de la fracción
que representan del largo total de la regla:
0
1
2
3
a)Objeto 1.
2
del total =
6
b)Objeto 2.
5
del total =
12
98
Unidad 4
1
5
7
d)Otros:
100
c)Azúcar:
4
5
cm
cm
6
7
8
9
10
c)Objeto 3.
3
del total =
4
d)Objeto 4.
5
del total =
6
11
cm
cm
12
3.Completa la siguiente tabla:
Se escribe
1
5
Se lee
Recuerda
Se representa
Un quinto
Dos sextos
5
8
4
Los números ordinales
destacan la posición de
un elemento:
1º: primero
2º: segundo
3º: tercero
4º: cuar to
5º: quinto
Etc…
Las fracciones se escriben y leen nombrando el numerador seguido del denominador. Cuando este último es 2 se dice “medios”, cuando es 3 “tercios”
y desde el 4 hasta el 10 se utiliza el número ordinal correspondiente. Observa
cómo se escriben algunas fracciones:
1
2
1
2
1
5
1
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Un
Dos
Un
Dos
Un
Cinco
Un
Tres
Un
medio tercios cuarto quintos sexto séptimos octavo novenos décimo
Para las fracciones con denominador mayor que 10 se ocupa la terminación
4
se escribe “cuatro treceavos”.
“avo”. Por ejemplo:
13
4.Escribe cómo se leen las siguientes fracciones:
7
a) :
9
6
b) :
23
17
c) :
40
32
d) :
76
34
e) :
81
Las fracciones
99
Desarrollo mis aprendizajes
7 Recta numérica y orden
Francisco y Eugenio compiten para ver quién llega pri1
mero a la meta. Francisco ha recorrido de la distancia
2
2
y Eugenio . Observa la siguiente representación:
3
1
2
1
3
M ETA
1
2
1
3
2
3
¿Sabías que...?
Una fracción puede ser:
-P ropia: el numer ador
es menor que el denominador y por lo tanto
la fra cc ió n es m en or
que 1.
-Igual a 1: el numerador
es igual al denominador
y por lo tanto la fracción
es igual a 1.
-Impropia: el numerador
es mayor que el denominador y por lo tanto
la fra cc ió n es m ay or
que 1.
¿Quién va ganando?
Observando el esquema anterior concluimos que Eugenio va ganando porque ha recorrido mayor distancia.
En otras palabras podemos afirmar que:
2 1
>
3 2
Esta relación la visualizaremos en una recta numérica.
Para representar en una recta numérica una fracción propia debemos dividir el intervalo de 0 a 1 en
tantas partes como indique el denominador y de ellas
considerar tantas partes como indique el numerador.
3
en la recta numérica. Para
4
ello dividimos el intervalo de 0 a 1 en cuatro partes iguales y consideramos tres de ellas:
Representemos primero
3
4
0
100
Unidad 4
1
Recuerda que en la recta numérica el mayor de dos
números es el que está más a la derecha.
1 2
A continuación representaremos y .
2 3
,, Dividimos el intervalo de 0 a 1 en tantos intervalos
como nos indique el producto de los denominadores
de las fracciones. En este caso serán 6 intervalos, ya que
2 · 3 = 6.
0
1
,, Ubicamos
ambas fracciones en la recta:
4
¿Sabías que...?
Cuando dos fr
acciones
tienen el mism
o deno minador, es may
or la que
tiene mayor nu
merador.
Por ejemplo:
2 4
<
5 5
ya que
2<4
1
multiplicamos su numerador por el de2
nominador de la otra fracción: 1 · 3 = 3. Entonces
consideramos 3 de los intervalos de la recta.
2
•Para ubicar multiplicamos su numerador por el de3
nominador de la otra fracción: 2 · 2 = 4. Entonces
consideramos 4 de los intervalos de la recta.
Aplicando los pasos anteriores tenemos:
•Para ubicar
1
2
0
Como
2
3
1
2
1
está a la derecha de comprobamos que:
3
2
2 1
>
3 2
1 2
3 5
ellas es mayor:
1.Representa y en la recta numérica e indica cuál de
0
La mayor es
¿Cuál de las siguientes frac5
ciones es mayor que ?
6
4
A.
6
5
B.
6
6
C.
6
1
.
Las fracciones
101
Desarrollo mis aprendizajes
8 Uso de fracciones
Recuerda
ades de
A lg u n a s u n id
longitud:
km = kilómetro
m = metro
cm = centímetro
mm = milímetro
tre
Equivalencias en
ellas:
1 km = 1 000 m
1 m = 100 cm
1 cm = 10 mm
Para llegar al colegio desde su casa, Alejandra recorre
1
una distancia de 1 kilómetro. Cuando había recorrido
4
del camino encontró a su hermano. ¿A cuántos metros
de su casa ocurrió el encuentro?
Alejandra se encuentra con su hermano cuando ha
1
recorrido del kilómetro que separa su casa del colegio.
4
Por lo tanto, podemos dividir 1 kilómetro en cuatro tramos, correspondiendo cada uno a un cuarto del total.
La longitud de uno de estos tramos nos indicará el lugar
del encuentro.
Como ya sabemos 1 km = 1 000 m.
Entonces:
1 000 m : 4 = 250 m
1
4
Casa
¿Sabías que...?
Las fracciones impropias
–mayores que 1– también se pueden representar gráficamente:
3
2
5
3
¿Cuál es la regla?
102
Unidad 4
0
2
4
1
4
1
4
3
4
4
4
1
4
1
Colegio
4
250 m 500 m 750 m 1 000 m
Como ves, el encuentro ocurrió a 250 m de la casa.
1.La mamá de Claudia compró 5 metros de tela y con
de ella le hizo una falda.
1
5
4
a)¿Qué cantidad de tela utilizó la mamá en confeccionar la falda?
Recuerda
0
5m
Ocupó
m.
3
de lo que quedó de tela tras confeccionar
4
la falda, la mamá se confeccionó un vestido de noche, ¿cuánta tela ocupó en él?
b)Si con
0
A lg u n a s u n id
ades de
masa:
kg: kilogramo
g: gramo
Equivalencia en
tre ellas:
1 kg = 1 000 g
m
Ocupó
m.
2.Felipe compró en el mercado
de kg de queso.
1
1
de kg de jamón y
4
10
a)¿Cuántos gramos compró de jamón?
b)¿Cuántos gramos compró de queso?
3.En una zona protegida se estima que existen 800
1
de 1 000
4
con la calculadora, debes
digitar el numerador de la
,
fracción 1, presionar
digitar 1 000, presionar
y digitar el denominador 4. Obtendrás 250.
Para calcular
plantas. Completa el siguiente cuadro calculando la
fracción del total que representa cada especie:
Especie
Cantidad
180
Quil-quil
250
Litre
Michay
Fracción
1
Juan ganó de $ 9 000 y
3
2
José de $ 7 500. ¿Quién
5
ganó más?
A. Juan
B. José
C. Ganaron lo mismo
100
Las fracciones
103
Profundizando…
Fracción de un número
Una empresa constructora está levantando un edificio de 48 metros de
3
altura. Si actualmente el edificio está construido hasta las parte de la
4
altura que tendrá finalmente, ¿cuántos metros ya hay construidos?
Hasta este momento hemos calculado la fracción de un número utilizando métodos gráficos. Observa:
1
4
0
1
4
1
4
12 m
2
4
1
4
24 m
3
4
36 m
1
4
4
4
48 m
Como puedes ver, hay 36 m del edificio construidos hasta el momento.
También podemos usar un método numérico para calcular la fracción
de un número. Este consiste en multiplicar el número por el numerador
de la fracción y luego dividir el resultado por el denominador de la fracción. Apliquémoslo para el ejemplo anterior:
3
Número: 48
Fracción:
4
3 · 48 = 144
144 : 4 = 36
También puedes invertir el orden de las operaciones, es decir, dividir el número por el denominador y luego multiplicar el resultado por el numerador.
48 : 4 = 12
12 · 3 = 36
Practica
1. Calcula las fracciones de los siguientes números y completa las frases:
1
de 60 es
4
5
b) de 100 es
10
a)
2
de 300 es
3
1
de 100 000 es
d)
100
c)
1
4
6
de sus tarjetas a Lorena,
a Laura y
a Liliana. Si tenía 36
6
12
12
tarjetas para repartir, ¿cuántas corresponden a cada una de sus amigas?
2.Paz dio
104
Unidad 4
4
Comparando fracciones
Sobre una mesa hay dos vasos idénticos con leche, al vaso A le queda
5
3
de su capacidad máxima, y al B le queda de su capacidad máxima.
6
4
¿Cuál de los dos tiene más leche?
gráfico: consiste en representar ambas fracciones en la recta
numérica. La que esté más a la derecha será la mayor:
,,Método
3
4
5
6
0
1
3
3 5
5
está a la derecha de , entonces < y, por lo tanto, el vaso
4
4 6
6
B tiene más leche.
Como
,,Método
numérico: consiste en ubicar las fracciones una al lado de la otra
y “multiplicar cruzado”, es decir, el numerador de la primera fracción
con el denominador de la segunda y el denominador de la primera con
el numerador de la segunda. Comparando estos productos podremos
determinar cuál de las fracciones es mayor y cuál es menor:
5
3
6
4
3·6
4·5
18
20
3 5
Como 18 < 20, entonces < .
4 6
Practica
1.Compara las siguientes fracciones utilizando el método numérico:
3
a)
4
7
9
8
c)
9
2
3
6
e)
8
4
b)
6
5
10
6
d)
5
9
3
9
f)
10
7
7
9
100
2.Don Fernando desea repartir una cierta cantidad de dinero entre sus
2
1
5
del total, a Daniel y a Gustavo
. ¿Cuál
6
4
12
de los tres hijos recibirá más dinero? ¿Cuál menos?
tres hijos. A Sebastián dará
Las fracciones
105
Resuelvo problemas
Problema modelo
En la verdulería El Túnel se vendieron
2
150 kg de frutas; de los cuales fueron
5
4
1
de uvas.
de duraznos, de damascos y
15
3
¿Cuántos kilogramos de duraznos, damascos y uvas se vendieron?
Comprende:
El total de frutas vendidas fue de 150 kilogramos.
De ellos las 2 partes fueron kilogramos de duraznos, la 1 parte de damascos y
5
3
las 4 partes de uvas.
15
Planifica:
Kilogramos de duraznos: Kilogramos de damascos:
Calcular
2
5
de 150
Calcular
1
3
de 150
Kilogramos de uvas:
Calcular 4 de 150
15
Resuelve:
Duraznos: Número: 150
150 : 5 = 30
Numerador: 2
30 . 2 = 60
Denominador: 5
Damascos: Número: 150
150 : 3 = 50
Numerador: 1
50 . 1 = 50
Denominador: 3
Uvas:
Numerador: 4
10 . 4 = 40
Denominador: 15
Número: 150
150 : 15 = 10
Responde:
La verdulería vendió 60 kg de duraznos, 50 kg de damascos y 40 kg de uvas.
Comprueba:
Comprobamos multiplicando por el numerador y dividiendo por el denominador:
Duraznos: 150 . 2 = 300
Damascos: 150 . 1 = 150
Uvas: 150 . 4 = 600
300 : 5 = 60
150 : 3 = 50
600 : 15 = 40
106
Unidad 4
4
Problema para ti
Raúl compró una bolsa con 240 caramelos de
5
del total son caramelos rovarios sabores.
10
2
2
jos. De estos, son de frutilla y de guinda.
6
4
Si los caramelos rojos pueden ser solo de frutilla, frambuesa o guinda, ¿cuántos caramelos de
frambuesa vienen en la bolsa?
Comprende:
Planifica:
Resuelve:
Responde:
Comprueba:
Las fracciones
107
Evalúo qué aprendí
Síntesis de la unidad
Fracciones
a través de
uso de
identificación de
3
4
0
2
4
1
pude definirlas como
aplicaciones en
pude
2>1y3<7
4 3 8 8
3 cm y 8 kg
en las que debí
3 de 8 es 6
4
2 + 1 =1
3 3
me permitieron
Usar fracciones para representar
situaciones cotidianas
Completa los recuadros de la red con los siguientes conceptos. Guíate por las
pistas que están en la parte inferior de cada recuadro:
,, Comparar
fracciones
,, Recta numérica
,, Medición de longitudes y masas
,, Partes de un todo
108
Unidad 4
,, Operar
fracciones
,, Numerador y denominador
,, Métodos gráficos
4
Evaluación
Identifica el numerador y el denominador de las siguientes fracciones. Señala además cómo se lee cada una de ellas:
Fracción
1
3
7
12
11
67
Numerador
Denominador
Ubica en la recta numérica las fracciones
Se lee…
3 3
y . Indica luego cuál es mayor:
6 4
0
1
Representa en las cuadrículas las siguientes fracciones:
7
12
a)
b)
c)
18
12
1
4
Indica una fracción que represente las unidades coloreadas en cada grupo:
a)
b)
c)
Las fracciones
109
5
Los números
decimales
En esta unidad aprenderás a:
££Comprender lo que representa un número decimal.
££Leer y escribir números decimales hasta el centésimo.
££Relacionar los números decimales con las fracciones decimales.
££Representar números decimales en la recta numérica.
££Comparar números decimales.
££Emplear números decimales para expresar cantidades y resolver
problemas.
110
Observa y responde:
¿Sabes lo que es una sigla? ¿Sabes qué significa IPC?
¿Qué productos han aumentado su precio en los últimos meses? Menciona
dos.
¿Cómo lees los números que aparecen en la tabla?
¿Qué representa la coma que aparece entre los números de la tabla?
¿En qué otra parte has visto esta clase de números, llamados decimales?
111
Rescato mis conocimientos
Comprando en la baratella
Bárbara se encuentra en el almacén La baratella donde debe comprar varias
cosas:
112
Unidad 5
5
La mamá de Bárbara le dio la siguiente lista de compras:
Completa los siguientes esquemas relacionando los números decimales con
las fracciones decimales que le corresponden. Básate en el ejemplo:
1,5
Una y media
unidad
0,5
2,5
1,0
Media unidad
15
10
A partir del esquema completa con las fracciones que correspondan:
a)1,5 =
b)0,5 =
c)2,5 =
d)1,0 =
¿Cuánto dinero gastó Bárbara en las compras? Ocupa los valores fraccionarios para calcularlo.
a)Harina: $
c)Parafina: $
b)Aceite: $
d)Alimento de perro: $
Los números decimales
113
Desarrollo mis aprendizajes
1 Decimales y su significado
¿Sabías que...?
ventaE xisten muchas
eb como
jas de usar la W
a o pago.
medio de compr
reducen
Por un lado se
s trámilos tiempos en lo
las colas
tes y se evitan
mprar o
a la hora de co
se ahopagar y, por otro,
robantes
rr an los comp
a es dar
en papel. La tare
et a toda
acceso a Intern
d e l p a ís
la p o b la c ió n
ic ar esta
par a así masif
actividad.
Buscando en Internet, Javier encontró un bonito monedero para su hermana pequeña. Al buscar el precio se
encontró con lo siguiente:
Como el número le era desconocido, decidió investigarlo.
A.Encontró que poseía tres partes:
Parte entera
0,5
¿Sabías que...?
El Euro (€) es la moneda
oficial de la Unión Europea (UE) desde el 1 de
enero de 1999. Al 2009
circula libremente en 22
países europeos.
Parte decimal
Coma decimal
Los números decimales están formados por una parte entera en el lado izquierdo y por una parte decimal
en el lado derecho. Una parte está separada de la
otra por la coma decimal.
1.Pinta azul la parte decimal y verde la parte entera de
los siguientes números:
114
Unidad 5
a)
c)
b)
d)
5
B.Javier encontró que se podía leer y escribir como:
“Cinco décimas”
Para nombrar un número decimal debes:
,, Nombrar la parte entera seguida de la palabra ENTEROS o UNIDADES. Si esta parte es cero, no se
nombra.
,, A continuación intercalar la letra Y.
,, Nombrar la parte decimal. Si posee solo un dígito
agregar la palabra DÉCIMAS. Si posee dos dígitos
agregar la palabra CENTÉSIMAS.
2.Escribe con palabras los siguientes números decimales:
Recuerda
La pa rte en te ra de un
número decimal se descompone posicionalmente igual que los números
na turales. Es de cir, de
derecha a izquierda, en
unidade s (U), de cena s
(D), centen as (C), unidades de mil (UM), etc.
3 651,03
a)0,2:
b)0,94:
c)1,3:
3.Escribe el número decimal que corresponde:
a)Cuatro centésimas:
b)Dos unidades y 8 décimas:
c)Treinta y cuatro unidades y dos décimas:
C.Finalmente encontró que el precio en pesos chilenos era de $ 400 y dedujo lo siguiente:
“Como $ 800 equivalen a 1 €, y 400 es la mitad de 800, entonces 0,5 € equivalen a la mitad de 1 €… y por lo tanto:
0,5 es la mitad de 1”
4.Responde:
a)¿Cuánto cuestan 0,5 kg de carne
si 1 kg vale $ 1 200?
$
b)¿Cuánto cuesta 1 L de gasolina
si 0,5 L valen $ 240?
$
El número “una unidad y
cuatro centésimas” corresponde a:
A. 1,4
B. 1,04
C. 1,004
Los números decimales
115
Desarrollo mis aprendizajes
2 Decimales y fracciones decimales
Recuerda
Las fracciones decimales
son aquellas cuyo denominador está constituido
por un 1 seguido de uno
o más ceros:
3
10
52
100
7
1 000
12
10 000
Etcétera.
EL profesor de Matemática está dictando una serie
de números para que los estudiantes los escriban en sus
cuadernos:
Lorena escribió lo que está a la izquierda y Carlos lo
que está a la derecha:
4
B.
C.
Para comprobar la equivalencia fracción-decimal
debes dividir el numerador y el denominador de la
fracción. El cociente debe
coincidir con la expresión
decimal. Por ejemplo:
3
= 0,3
10
Digita el numerador 3,
presiona
, digita el denominador 10 y presiona
. Obtendrás 0,3.
116
Unidad 5
A. 0,04
A. 100
9
B. 0,9
10
14
C. 0,14
100
¿Cuál de los dos escribió correctamente los números?
Ambos escribieron correctamente: Lorena expresó los
números usando fracciones y Carlos usando números
decimales. He aquí la equivalencia:
0,04 =
4
100
0,9 =
9
10
0,14 =
14
100
Los números decimales se pueden expresar como
fracciones decimales y viceversa:
Si el número decimal tiene 1 dígito en la parte decimal, se escribe el número sin la coma como numerador y un 10 como denominador.
Si el número decimal tiene 2 dígitos en la parte decimal, se escribe el número sin la coma como numerador y un 100 como denominador.
5
1.Expresa los siguientes números decimales mediante
una fracción decimal:
a)0,2 =
d)18,6 =
b)0,77 =
e)0,3 =
c)1,58 =
f)9,21 =
Desafío al ingenio
Resuelve gr áfic am
ente
la adición:
0,3 + 0,5 + 0,2 = ?
Ocupa la sigui
ente
cuadrícula:
2.Pinta los recuadros necesarios para representar los números decimales:
a) 0,3
b) 0,15
Una expresión fraccionaria
de 1,43 es:
143
A.
10 143
B.
100
143
C.
1 000
c) 0,7
3.Cuando la parte entera de un número decimal es 0,
el valor del número decimal es menor que 1. A continuación, pinta los números que son menores que 1:
0,35
1,06
0,9
1,5
0,01
3,24
Los números decimales
117
Desarrollo mis aprendizajes
3 Igualdades y expresión decimal de
una fracción
Don Joaquín compró una puerta. En las especificaciones leyó que su altura era de 2,20 metros:
¿Sabías que...?
s de
Las especificacione
en
rib
un produc to desc
stina
el uso al que se de
bre
y las indicaciones so
esensus características
una
ciales. En el caso de
ones
puer ta las indicaci
drían
fundamentales po
s de
se r lo s m at er ia le
su s
qu e es tá he ch a y
largo
dimensiones: alto,
y ancho.
Recuerda
Así como el agregar ceros
a la izquierda de un número natural no altera su
valor (43 = 043 = 0043),
el agregar ceros a la
derecha de la par te
decimal de un número t ampoco lo hace
(2,1 = 2,10 = 2,100).
Al medir con su huincha anotó:
1.Responde:
a)¿Cometió un error don Joaquín al medir la altura de
la puerta?
b)¿Cómo se escribe con palabras la altura según las
especificaciones de la puerta y según el valor que
obtuvo don Joaquín?
2,20:
2,2:
¿Hay alguna diferencia entre ambos números?
Cuando agregamos ceros a la derecha de la parte decimal de un número no se altera su valor.
Por ejemplo, tienen el mismo valor:
9,8 = 9,80 = 9,800
3,14 = 3,140 = 3,1400
118
Unidad 5
5
2.Une mediante una línea los términos que están a la
derecha con sus equivalente a la izquierda:
Una décima
0,120
1,40
Una unidad y
cuarenta centésimas
Siete décimas
Diez centésimas
0,12
0,70
Observa las siguientes fracciones:
¿Sabías que...?
Un núm er o n a
tura l s e
p u e d e ex p re s
ar como
u n n ú m e ro d
e c im a l
c u y a p a r te d
e c im a l
es cero:
13 = 13,00000…
6
8
124
30
100
100
10 100
¿Cuál es la expresión decimal de cada una de ellas?
Como ya vimos, el número de ceros del denominador
indica la cantidad de dígitos decimales que debemos
marcar en el numerador (se indican en azul). Entonces:
30
= 0,30 = 0,3
100
8
= 0,8
10
6
= 0,06
100
124
= 1,24
100
3.Expresa las fracciones decimales como números deci-
males. Indica en cada caso la cantidad de ceros que
posee el denominador y las cifras decimales del número decimal:
3
18
a) =
c)
=
100
10
654
b)
=
10
9
d) =
10
Una fracción con el mismo
7
valor que es:
10
7
A.
100
70
B.
10
70
C.
100
Los números decimales
119
Desarrollo mis aprendizajes
4 Números decimales en la recta
numérica
¿Sabías que...?
El IPC (Índice de Precios
al Consumidor) indica la
variación mensual de los
precios de una canasta
de pr od uc to s de co nsumo bá sico. A mayor
IPC, los precios de los
ar tículos que compra s
son mayores y todo se
hace más caro.
Mirando el periódico Matías encontró que el valor del
IPC de abril del 2007 fue de 0,6 y quiso representar este
número en la recta numérica.
Ayudémoslo…
1ºDibuja la recta numérica. Como 0,6 es menor que 1
basta que dibujes el intervalo del 0 al 1:
0
1
0
1
6
(“seis décimos”),
2ºComo el número 0,6 equivale a
10
dividimos el intervalo en 10 partes iguales:
3ºFinalmente contamos 6 espacios de izquierda a derecha y ubicamos el número en esta posición:
0,6
0
1
Hemos representado 0,6 en la recta numérica.
En julio del mismo año el valor del IPC fue de 1,1. Para
ubicarlo en la recta debemos fijarnos que este número
está entre 1 y 2, por lo tanto, ahora dividimos este intervalo en 10 partes y consideramos uno de ellos:
1,1
0
1
Hemos representado 1,1 en la recta numérica.
120
Unidad 5
2
5
1.Representa los siguientes números decimales en las
rectas numéricas:
a)0,3:
0
1
b)1,7:
0
1
2
c)0,9:
0
1
Recuerda
P ar a repre sen
tar en la
recta numérica
números
decimales may
ores que
1 debes tr abaj
ar sobre
el intervalo def
inido por
la p ar te en tera
del número y su suce
sor. Por
ejemplo:
- El 3,7 se ubic
a entre el
3 y el 4.
- E l 12,24 se ub
ica entre
el 12 y el 13.
2.Observa los valores del IPC el primer semestre del año
2008:
Enero
0,0
Febrero
0,4
Marzo
0,8
Abril
0,4
Mayo
1,2
Junio
1,5
a)Representa cada valor en la recta numérica:
0
1
2
b)¿Qué meses se registró el mismo valor de IPC?
3.Identifica los números decimales que están en la recta
numérica y escríbelos con palabras:
0
1
2
Los números que aparecen en la recta numérica son:
:
:
Considera el número decimal 0,7. En la recta numérica el número 0,70 está:
A. En su misma posición.
B. A su derecha.
C. A su izquierda.
Los números decimales
121
Desarrollo mis aprendizajes
5 Comparación de números
decimales
El valor del dólar en pesos chilenos es un factor muy
importante para el desarrollo del comercio tanto dentro
del país como fuera de él. A continuación se muestra el
valor en pesos de la moneda estadounidense para algunos días de enero del 2009:
5
6
7
8
9
640,91
643,87
633,23
630,19
629,50
1.Responde:
a)¿Qué día el valor del dólar fue mayor?
El
de enero.
b)¿Qué día el valor del dólar fue menor?
El
de enero.
2.Realiza las siguientes actividades:
¿Sabías que...?
Un a ca sa de ca m bi o
es un centro que permite cambiar monedas de
un país por monedas de
otro.
Cualquiera de nosotros
puede comprar dólares
en las casas de cambio,
o cualquier otra moneda
ex tranjera.
a)Ordena los valores de la tabla de mayor a menor:
>
>
>
>
b)Escribe con palabras los números decimales de la
tabla:
5 de enero:
6 de enero:
7 de enero:
8 de enero:
9 de enero:
Para comparar el valor de dos números decimales
debes partir por la parte entera. Si esta es igual, debes ir comparando los dígitos decimales uno a uno
de izquierda a derecha. Por ejemplo:
3,5 es mayor que 3,46 ya que el primer dígito decimal (décima) así lo indica (5 > 4).
122
Unidad 5
5
3.Mauricio compró tres bebidas:
Desafío al ingenio
a)¿Cuál de las tres botellas contiene más bebida?
La de
litros.
Agregando un
símbolo
tr a n s form a e l
núm er o
78 en otro que
se ubique entre el 7
y el 8 en
la recta numéric
a.
b)¿Cuál de las tres contiene menos bebida?
La de
litros.
4.En una ciudad del norte de Chile se registraron los
siguientes valores en milímetros para las precipitaciones mensuales del año 2005:
Lluvia
Mayo
Junio
Julio
Agosto
8,7
10,34
8,58
9,6
a)¿Cuál fue el mes más lluvioso de los señalados?
El mes de
.
b)¿Cuál fue el mes menos lluvioso de los señalados?
El mes de
.
5.La lluvia mensual normal medida en milímetros en la
misma ciudad es la siguiente:
Lluvia normal
Mayo
Junio
Julio
Agosto
12,06
17,2
14,91
12,44
a)¿El intervalo mayo-junio-julio-agosto del 2005 en
la ciudad fue seco o lluvioso? Compara los valores
del 2005 con los valores normales de la segunda
tabla.
b)Ordena los datos de lluvia en un año normal de
menor a mayor:
<
<
<
¿Cuál de los siguientes números es mayor que 30,65
y menor que 30,72?
A. 29,70
B. 30,58
C. 30,66
Los números decimales
123
Desarrollo mis aprendizajes
6 Uso de los números decimales
Como ya sabes la unidad de longitud es el metro, que
a su vez podemos subdividir en 10 y 100 partes iguales:
Si subdividimos 1 metro en diez partes iguales a cada
una de ellas llamamos 1 decímetro, es decir, una décima
de metro es 1 decímetro:
Recuerda
Las unidades de longitud
se pueden abreviar:
Metro: m
Decímetro: dm
Centímetro: cm
Otras unidades de longitud de uso común son:
Kilómetro: km
Milímetro: mm
1
m = 0,1 m = 1 dm
10
Si ahora lo subdividimos en 100 partes cada una de
ellas equivale a 1 centímetro, o sea que una centésima
de metro es 1 centímetro:
1
m = 0,01 m = 1 cm
100
¿Sabías que...?
idad
Se cuenta que la un
yarda
de longitud inglesa
cm)
(equivalente a 91,44
glés
la estableció el rey in
rnó
Enrique I (que gobe
C.)
hacia el 1100 d. de
entre
como la distancia
pulsu nariz y el dedo
cha
gar de su mano dere
azo
(man teniendo el br
ex tendido).
Es usual utilizar números decimales para expresar
longitudes. Algunas equivalencias entre unidades de
medida de longitud son:
1 m = 10 dm
o
0,1 m = 1 dm
1 m = 100 cm
o
0,01 m = 1 cm
1 dm = 10 cm
o
0,1 dm = 1 cm
Algunas reglas importantes:
Coma a la derecha
Mover dos posiciones
Mover una posición
Metro
Mover una posición
Decímetro
Mover una posición
Mover una posición
Mover dos posiciones
Coma a la izquierda
124
Unidad 5
Centímetro
5
1.Completa la siguiente tabla con las equivalencias entre unidades de longitud.
Metro
Decímetro
Centímetro
1
10
100
50
7
0,3
2.
Renato
Roberto
Braulio
a)Ordena los nombres de los niños desde el más alto
al más bajo.
>
>
b)Expresa las alturas anteriores en decímetros:
Renato mide
Roberto mide
Braulio mide
dm de altura.
dm de altura.
dm de altura.
c)Expresa las alturas en centímetros.
Renato mide
Roberto mide
Braulio mide
1,9 metros equivalen a:
A. 19 cm
B. 190 cm
C. 1 900 cm
cm de altura.
cm de altura.
cm de altura.
Los números decimales
125
Profundizando…
La milésima y otros valores posicionales decimales
Hasta ahora hemos visto los valores decimales hasta la décima y la centésima. Otros valores decimales son:
Unidad
Coma
Décima
Centésima
Milésima
Diezmilésima
2
,
3
2
7
6
Este número 2,3276 se lee “dos unidades y tres mil doscientas setenta y
seis diezmilésimas”.
Por ejemplo:
6
0,006 =
Se escribe: seis milésimas.
1 000
0,014 =
14
1 000
0,7331 =
7 331
10 000
Se escribe: catorce milésimas.
e escribe: siete mil trescientos treinta y un
S
diezmilésimas.
Practica
1. Escribe con palabras los siguientes números decimales:
a)13,004:
b)0,0101:
c)1,540:
d)0,032:
e)2,3407:
f)0,0051:
2.Expresa como número decimal las siguientes fracciones:
a)
23
=
1 000
1
b)
=
1 000
126
Unidad 5
c)
884
=
1 000
1 054
d)
=
1 000
5
Más unidades de longitud
A.Ya vimos que si dividimos 1 metro en 10 partes iguales obtenemos 10
decímetros y que si lo dividimos en 100 partes, entonces obtenemos 100
centímetros. ¿Qué ocurre si dividimos 1 metro en 1 000 partes iguales?
Cada una de las 1 000 partes en que se divide el metro corresponde a
1 milímetro, es decir, una milésima de metro es 1 milímetro:
1
m = 0,001 m = 1 mm
1 000
B.Una maratón es la prueba olímpica más larga de las corridas a pie. Consiste en recorrer un trayecto de 42,195 kilómetros. ¿Cómo podemos
expresar esta distancia en metros? Observa:
Si dividimos 1 kilómetro en 1 000 partes iguales obtendremos 1 metro.
Otra forma de señalar esta relación es indicar que la milésima parte de
un kilómetro es un metro:
1
km = 0,001 km
1m=
1 000
Practica
1.Completa la siguiente tabla con los números que corespondan:
Milímetro
Centímetro
Decímetro
Metro
Kilómetro
1
500
30
100
6 000
400
Los números decimales
127
Resuelvo problemas
Problema modelo
Alonso y Tomás desarrollaron una prueba.
Alonso demoró 35,16 minutos en responder
3 515
su prueba. Por su parte, Tomás demoró
100
minutos en desarrollar la suya. ¿Quién demoró menos tiempo en responder la prueba?
Comprende:
Dos estudiantes han resuelto una misma prueba.
3 515
Alonso lo hizo en 35,16 minutos. Tomás lo hizo en 100 minutos.
Planifica:
Debemos expresar el tiempo que demoró Tomás mediante un número decimal.
Luego, comparamos los dos números decimales que representan los tiempos que
tardaron los niños. El número menor corresponde al niño que demoró menos.
Resuelve:
En el tiempo de Tomás 3 515, separamos el numerador y ubicamos la coma de
100
manera que determine dos dígitos decimales:
3 515
=
100
35,15
Para comparar los números primero notamos que la parte entera es idéntica
y que el dígito de las décimas es 1 para ambos. Finalmente, constatamos que
el dígito de las centésimas para el tiempo de Alonso es 6 y para Tomás es 5.
Por lo tanto: Tpo. de Tomás < Tpo. de Alonso; ya que 35,15 < 35,16.
Responde:
Tomás demoró menos tiempo.
Comprueba:
El tiempo de Alonso se lee “treinta y cinco unidades y diez y seis centésimas”
y el de Tomás “treinta y cinco unidades y quince centésimas”. Las unidades
coinciden pero Alonso demoró “una centésima más”.
128
Unidad 5
5
Problema para ti
Las familias de María, Mónica y Marcela partieron de vacaciones a diferentes lugares. La de
María fue a un balneario ubicado a 124,364 km,
la de Mónica a una playa ubicada a 124,436 km
y la de Marcela a un lago distante 124,643 km.
¿Cuál de las tres familias debió viajar más kilómetros?
Comprende:
Planifica:
Resuelve:
Responde:
Comprueba:
Los números decimales
129
Evalúo qué aprendí
Síntesis de la unidad
Números decimales
a través de
identificación de
uso de
3,2

0
pude
0,5: cinco décimas
1
2
aplicaciones en
3
fui capaz de
3 = 0,3
10
0,7 < 0,9 y 2,4 > 1,4
1BBB2BBB3
3 cm
hicieron posible
1,5 m = 150 cm = 1 500 mm
me permitieron
Comprender información expresada
mediante números decimales
Completa los recuadros de la red con los siguientes conceptos. Guíate por las
pistas que están en la parte inferior de cada recuadro:
,, Expresar
fracciones como números
decimales
,, Parte entera, coma y parte decimal
,, Mediciones de longitud
130
Unidad 5
,, Establecer
relaciones de orden
,, Convertir unidades de medida
,, Leer y escribir números decimales
,, Recta numérica
5
Evaluación
Observa los siguientes sacos de harina:
a)Ubica las fracciones en la siguiente recta numérica:
0
1
b)Ordena de menor a mayor los números decimales anteriores:
>
>
>
c)Escribe con palabras los números decimales que indican el contenido de
harina de cada saco:
0,25:
0,35:
0,2:
0,3:
Expresa las siguientes cantidades en la unidad que se indica:
a)300 cm =
b)5 mm =
m
cm
c)350 m =
d)700 cm =
km
dm
Expresa cada número decimal en forma fraccionaria:
a)0,47 =
c)0,72 =
b)1,03 =
d)304,1 =
Los números decimales
131
6
Organizando
información
En esta unidad aprenderás a:
££Recolectar y organizar datos del entorno.
££Extraer información a partir de tablas de datos.
££Leer y extraer información desde gráficos de barras verticales y
horizontales.
££Representar información en gráficos de barras.
££Interpretar información.
132
Observa y responde:
¿Qué están haciendo los niños y niñas?
¿Cuántos niños y niñas hay?
¿Cuántos juguetes hay de cada tipo?
¿Has realizado obras de caridad con tu curso?
133
Rescato mis conocimientos
Las flores de doña Margarita
Un grupo de niños y niñas ayudó a la señora Margarita a plantar flores en su
patio. Dos meses más tarde la visitaron para ver el resultado y se encontraron
con el siguiente espectáculo de colores:
134
Unidad 6
6
Observando el patio de doña Margarita, realiza las siguientes actividades:
Pinta las casillas del color que se indica. Una casilla por cada flor del color
respectivo. Parte desde abajo:
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Azul
Rosado
Rojo
Violeta Amarillo
Responde:
a)¿Cuántas flores hay en total?
Hay
flores.
b)¿De qué color hay más flores?
De color
.
c)¿De qué color hay menos flores?
De color
.
d)¿Cuál es la diferencia entre flores azules y amarillas?
.
El único ingreso de la señora Margarita lo obtiene por la venta de sus flores.
Las rojas las vende a $ 300, las azules a $ 200, las rosadas a $ 400, las amarillas a $ 150 y las violetas a $ 100. Calcula sus ingresos si:
a)Vende 3 flores de cada color.
Obtendrá $
.
b)Vende 2 rojas, 3 violetas y 5 rosadas.
Obtendrá $
.
c)Vende 4 amarillas, 6 azules y 1 violeta.
Obtendrá $
.
d)Vende 2 violetas, 2 azules, 3 rojas y 2 amarillas.Obtendrá $
.
e)Vende todas las flores que hay en el patio.
.
Obtendrá $
Organizando información
135
Desarrollo mis aprendizajes
1 Datos ordenados
La Teletón es una fundación que se encarga del tratamiento y rehabilitación de miles de niños y niñas con
algún tipo de discapacidad motriz, contando para ello
con 10 centros de rehabilitación a lo largo del país.
Observa la siguiente tabla:
Centro
Nº de pacientes
Arica
500
Iquique
500
Antofagasta
1600
Coquimbo
800
Valparaíso
3 200
Santiago
8 500
Talca
¿Sabías que...?
La prim era Tel etó n se
realizó en 1978 y desde entonces es la obr a
más importante que se
ha efectuado en favor de
los niños y niñas con discapacidad; no sólo por
trabajar en su rehabilitación, sino que además
por haber producido en
el país un cambio cultural
a fav or de la dig nidad y los der ech os
de las per son as con
discapacidad.
600
Concepción
3 340
Temuco
1 620
Puerto Montt
2 315
Fuente: Fundación Teletón.
1.Responde:
a)¿Qué criterio se ocupó para presentar la información?
b)¿En qué centro se atiende a más niños y niñas?
En el centro de
.
c)¿En qué centros se atiende a menos niños y niñas?
En los centros de
e
Una tabla de datos permite ordenar los datos recolectados de manera que cualquier persona pueda
leerlos y entenderlos. También recibe el nombre de
tabla de registros.
136
Unidad 6
.
6
2.En una ciudad se registró cuántas empresas hicieron
aportes a la Teletón. Los datos por rubro de la empresa son:
Rubro
Nº de empresas que aportaron
Alimenticio
14
Minero
11
Pesquero
8
Forestal
17
Desafío al ingenio
Adivina las edades de las
siguientes niñas representadas en la tabla con
las letras a, b, c y d:
Responde:
a)¿Cuántas empresas aportaron a la Teletón?
empresas.
b)¿Cuál es el rubro que más se hizo presente en número de empresas?
El rubro
.
c)¿Cuál es el rubro que menos se hizo presente en
número de empresas?
El rubro
.
3.La meta impuesta a un pequeño poblado para la Te-
Niña Edad
Pía
a
Paz
b
María c
Laura d
Las pistas son:
-b es dos unidades mayor que a.
-d es 3 unidades menor
que c y 5 unidades mayor que a.
-El valor de c es 20.
letón es de $ 950 000. Hasta las 23:00 (1 hora antes
del cierre) se han recibido $ 730 000. Los últimos 5
aportes de los pobladores fueron los siguientes:
Hora del aporte
Aporte
23:18
$ 45 000
23:20
$ 50 000
23:48
$ 18 000
23:55
$ 32 000
23:59
$ 60 000
4.Responde:
a)¿Se alcanzó la meta?
b)¿Cuánto dinero faltó o sobró? $
Organizando información
137
Desarrollo mis aprendizajes
2 Ordenando información
Es común que muchos colegios se organicen para reunir fondos para la Teletón.
Los terceros recaudaron $ 30 000, los sextos $ 25 000,
los primeros $ 20 000, los cuartos $ 50 000, los segundos $ 15 000 y los quintos $ 10 000.
1.Ordena en la tabla los datos por nivel (del menor al
¿Sabías que...?
mayor):
Nivel
El m on to re un id o en
la Te let ón re ali za da el
añ o 20 08 as ce nd ió a
$ 22 533 294 849. ¿Sabes cómo se escribe con
palabras este número?
Averígualo.
Monto reunido
2.Ordena los datos por cantidad reunida (de mayor a
menor):
Nivel
138
Unidad 6
Monto reunido
6
Para ordenar la información en una tabla de datos
debes establecer algún criterio o relación entre ellos.
Por ejemplo, puedes ordenar los datos numéricos en
orden creciente o decreciente y los datos no numéricos, puedes ordenarlos en orden alfabético.
3.Responde:
a)Considera las tablas que elaboraste en la página anterior, ¿en cuál de ellas es más cómodo averiguar el
nivel que aportó con más dinero?
La tabla
.
El nivel que más aportó fue el de los
con $
.
Recuerda
Los números p
ares son
los que terminan
en 0, 2,
4, 6 u 8.
L o s n ú m er o s
im p a re s
son los que term
inan en
1, 3, 5, 7 ó 9.
b)¿En cuál de las tablas es más cómodo consultar para
calcular la diferencia entre lo que aportaron los primeros y los segundos básicos?
La tabla
.
La diferencia fue de $
.
4.Una alumna realizó una encuesta en su cuadra preguntando: En esta casa, ¿existió algún aporte a la última
Teletón?
Los resultados fueron:
Casa 1: Sí
Casa 4: No
Casa 7: Sí
Casa 10: Sí
Casa 2: Sí
Casa 5: No
Casa 8: No
Casa 11: No
Casa 3: No
Casa 6: Sí
Casa 9: Sí
Casa 12: Sí
Indica con una cruz las respuestas anteriores en la segunda columna de la tabla y en la tercera escribe el
total de preferencias para cada opción:
Respuesta
Sí
No
Marcas
Total
De las siguientes tres formas de ordenar las edades
de los estudiantes de un
curso elije la que te parece
menos útil:
A. Desde el estudiante
mayor al menor.
B. En orden alfabético por
apellido.
C. Primero las edades
pares y luego las
impares.
Organizando información
139
Desarrollo mis aprendizajes
3 Lectura de gráficos de barras
Los cursos de un colegio recolectan ropa en buen estado para enviar a diversas fundaciones de ayuda a personas de escasos recursos. El detalle de lo reunido se
muestra en el siguiente gráfico:
20
¿Sabías que...?
15
Unidades
En Chile muchas instituciones reciben ropa usada que luego distribuyen
a las personas más desposeídas. Una de ellas es
la Cruz Roja.
10
5
0
Pantalones
Poleras
Vestidos Zapatillas
Prendas
1.Traslada la información del gráfico a la siguiente tabla
de datos:
Recuerda
e barras,
En un gráfico d
a lt a (d e
la b a rr a m á s
d) indic a
mayor longitu
uente y
el dato más frec
e menor
la más b aj a (d
s menos
longitud) el dato
frecuente.
Prenda
Nº de
unidades
En un gráfico de barras la altura de cada barra indica
la cantidad de veces que se repite el dato graficado.
Se dice entonces, que cada barra indica la frecuencia
del dato.
Las barras pueden ser verticales –como en el gráfico
anterior– u horizontales.
140
Unidad 6
6
2.Pinta los casilleros que correspondan de acuerdo a la
información entregada en el gráfico de la página anterior:
Prendas
Zapatillas
Vestidos
Poleras
¿Sabías que...?
Pantalones
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18 20
Unidades
3.A partir de los gráficos anteriores completa:
a)La frecuencia para el dato zapatillas es
.
b)La frecuencia para el dato vestidos es
.
Al da to m ás fre cu en te de un co nj un to de
da to s se le lla m a la
“m od a” de l co nj un to .
Así, por ejemplo, si la
edad más frecuente en
tu curso es de 9 años,
entonces la “moda” es
tener 9 años.
c)La diferencia entre la frecuencia del dato pantalones
y el dato vestidos es
.
4.Las notas del 4º B en una prueba de Matemática se
representan en el siguiente gráfico:
7
5
4
Frecuencia
Estudiantes
6
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
a)¿Cuál fue la nota más frecuente?
b)¿Cuál fue la nota menos frecuente?
c)¿Cuántos estudiantes tiene el 4º B?
7
Nota
A
B
C
Dato
Según el gráfico, el dato
más frecuente o moda es:
A. A
B. B
C. C
Organizando información
141
Desarrollo mis aprendizajes
4 Representación gráfica de
información
Los organizadores de una jornada solidaria para ayudar a un hogar de ancianos ofrecen jugos de fruta natural a las personas que asisten a ella:
¿Sabías que...?
Mundial
La Organización
S) recode la Salud (OM
al menos
mienda comer
frutas al
400 gramos de
comes
día. Es decir, si
e frutas
esta cantidad d
sentirás
diariamente te
sano y fuer te.
La cantidad vendida de jugos el primer día fue:
Frutilla
Naranja
Damasco
Piña
8
11
9
6
Jugo
Cantidad
Vasos
Representemos la información en un gráfico de barras:
1ºDibujamos los dos ejes, uno horizontal y otro vertical.
A cada uno le damos un nombre. En el eje horizontal
anotamos los sabores de jugo y en el vertical la cantidad de vasos:
142
Unidad 6
12
10
8
6
4
2
0
F
N
D
P
Sabores
6
Vasos
2ºDibujamos las barras de la altura que indique la cantidad consumida de cada sabor:
12
10
8
6
4
2
0
F
N
D
P
Sabores
1.Dibuja el mismo gráfico anterior pero ahora con las
barras dispuestas en forma horizontal.
2.Construye el gráfico de barras que representa la infor-
mación de la tabla que indica la cantidad de verduras
y hortalizas cosechadas en una huerta:
Verdura
Unidades
13
7
16
17
Recuerda
Los datos que ubicas en
los ejes de un gráfico
deben estar a la misma
distancia uno del otro.
Además, los datos numéricos deben ubicarse
en posiciones que muestren la relación entre sus
valores. Por ejemplo,
en el eje siguiente los
valores numéricos NO
están correctamente
posicionados:
20
12
5
2
1
0
¿Por qué?
Organizando información
143
Desarrollo mis aprendizajes
5 Uso de tablas y gráficos
¿Sabías que...?
Al conjunto de personas al que está dirigida
una encuesta se le llama
población. Como este
conjunto suele ser muy
grande se selecciona
un grupo representativo de menos individuos
al que se llama muestra. Por ejemplo, si se
desea saber la opinión
de los estudiantes de
educación básica del
país (población) acerca
de un tema dado, lo que
puedes hacer es encuestar a los estudiantes de
tu colegio (muestra).
Las encuestas permiten obtener información específica mediante preguntas al conjunto de personas a las
que está dirigida.
¿Sabes cuál es el mes en que nacen más personas en
Chile?
Este dato no podrás obtenerlo en forma sencilla. Sin embargo, a nivel mucho más local puedes averiguar cuáles
son los meses en que nacieron los integrantes de un curso
cualquiera de tu colegio y del colegio en su totalidad.
1ºEscriban en tarjetas de cartón lo que se indica más abajo. Hagan muchas copias para repartir en los cursos:
Marca el mes en que naciste:
Enero
Mayo
Septiembre
Febrero
Junio
Octubre
Marzo
Julio
Noviembre
Abril
Agosto
Diciembre
2ºRealicen la encuesta en cada uno de los cursos del colegio. Para ello formen grupos de visita a cada curso
a encuestar.
3ºUna vez finalizada la encuesta viene la organización
de la información. Completen la tabla de registro con
los datos del curso que les tocó encuestar:
Colegio:
Mes
Nº
144
Unidad 6
Curso:
E
F
M
A
M
J
J
A
S
O
N
D
6
4ºCon las frecuencias de los meses construyan un gráfico
de barras pintando los casilleros que correspondan:
Estudiantes
Colegio:
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
Curso:
E
F
M
A
M
J
J
A
S
O
N
D
Meses
1.A partir de los datos recolectados respondan:
a)Del grupo de estudiantes que te tocó encuestar,
¿en qué mes ocurrieron más nacimientos?
En el mes de
.
b)Del grupo de estudiantes que te tocó encuestar,
¿en qué mes ocurrieron menos nacimientos?
En el mes de
.
c)¿Qué puedes concluir de esta encuesta?
2.Reúnan en una nueva tabla de datos la información
obtenida de todos los cursos del colegio y construyan
en sus cuadernos un gráfico que represente a todo el
alumnado.
a)¿Difieren sus respuestas de la actividad 1. al considerar ahora a todo el colegio?
b)¿Fue el curso que les tocó encuestar representativo
del universo de estudiantes del colegio?
Una encuesta permite:
A. Elegir las autoridades
del país.
B. Averiguar características
o la opinión de un grupo
de personas.
C. D istinguir entre una
población pequeña y la
población nacional.
Organizando información
145
Profundizando…
Gráficos de barras dobles
Un grupo de estudiantes viajó a un nuevo criadero de conejos en el sur
de Chile. En este criadero existen conejos de tres razas diferentes.
Uno de los encargados del
criadero les dio una tabla con la
siguiente información:
Raza A
Raza B
Raza C
Blancos
11
12
8
Negros
13
9
12
Conejos
Además les dio el gráfico de barras que está a continuación:
14
12
10
8
6
4
2
0
B
N
Raza A
B
N
Raza B
B
N
Raza C
Como ves existen tres categoría de datos: Raza A, Raza B y Raza C. Cada
una de ellas está representada por dos barras, una que indica la cantidad
de conejos blancos y otra la cantidad de conejos negros.
Practica
1.Haz una encuesta en dos cursos de tu colegio para averiguar si en las
casas de los estudiantes tienen mascotas o no. Grafica la información a
continuación:
Curso 2 No
Sí
No
Curso 1 Sí
0
146
Unidad 6
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40
Estudiantes
6
Tendencias de los datos
EStatura [cm]
En un gráfico de barras es posible ver la variación en el tiempo de un
dato. Por ejemplo, la cantidad de habitantes de una ciudad, la cantidad
de árboles en un bosque o el nivel de agua de una piscina que está siendo
vaciada.
Observa la altura de una niña a diferentes edades:
160
140
120
100
80
60
40
20
0
2
4
6
8
10
12
Edad [años]
Tras una rápida mirada confirmamos algo que ya sabíamos: entre los 2
y los 12 años la niña fue creciendo desde una altura de 87 cm hasta una
de 150 cm.
Practica
1.Observa los siguientes gráficos e indica bajo cada uno de ellos si la variable considerada ha aumentado o disminuido en el tiempo:
Gráfico con el número de pájaros car- Gráfico con el número de incendios
pinteros que habitan en una zona:
forestales en la misma zona:
300
200
100
0
Año Año Año Año Año
Años
1
2
3
4
5
60
50
40
30
20
10
0
Año Año Año Año Año
Años
1
2
3
4
5
El número de pájaros carpinteros ha El número de incendios forestales ha
.
.
Organizando información
147
Resuelvo problemas
Problema modelo
Andrea vende helados de agua a $ 100 cada
uno. El número de helados vendidos durante una
semana laboral se muestran en la tabla. Construye
el gráfico de barras correspondiente e indica el día
de mayores ventas. Además señala si a lo largo de
la semana las ventas aumentan o disminuyen.
Día
Lunes
Nº de
helados
25
Martes
25
Miércoles
30
Jueves
45
Viernes
55
Comprende:
En la primera columna de la tabla están los días de la semana laboral.
En la segunda columna de la tabla está la cantidad de helados vendidos.
Planifica:
Para construir el gráfico de barras ubicamos los días de la semana en el eje
horizontal y el número de helados en el eje vertical.
La barra más alta indica el día de mayores ventas.
Observando si las barras crecen o decrecen de izquierda a derecha
averiguaremos si las ventas aumentan o disminuyen durante la semana.
Unidades vendidas
Resuelve:
La barra más alta es la del viernes. Por lo tanto, este
50
40
es el día de mayores ventas.
30
La altura de las barras aumenta de izquierda a
20
derecha, por lo que las ventas aumentan a lo largo de
10
L
M
M
J
V
Día
la semana.
Responde:
El viernes es el día de la semana en que Andrea vende más helados.
Las ventas van aumentando en la medida que transcurre la semana.
Comprueba:
Para comprobar los resultados podemos comparar los números de la tabla:
El mayor de ellos es el 55 que corresponde al viernes.
Se cumple la relación: 25 = 25 < 30 < 45 < 55.
148
Unidad 6
Problema para ti
A un encuentro solidario asistieron estudiantes de varias ciudades de Chile. Un alumno preguntó a 20 asistentes por su ciudad de procedencia y fue registrando
está información. Lo que registró está a un costado.
Construye en tu cuaderno una tabla con los datos y
confecciona el gráfico de barras representativo. A partir
de ellos determina la ciudad de procedencia más frecuente entre los encuestados y la menos frecuente.
Rancagua-Talca-
6
Santiago-AricaOsorno-SantiagoTalca-RancaguaOsorno-Santiago-TalcaRancagua-RancaguaTalca-Arica-TalcaTalca-Santiago-OsornoRancagua
Comprende:
Planifica:
Resuelve:
Responde:
Comprueba:
Organizando información
149
Evalúo qué aprendí
Síntesis de la unidad
Información
presentada en
A
0
1
S
T
B
1
1
que pueden ser
ordenados en

Datos
me permitieron
Utilizar la información para describir
y analizar situaciones cotidianas
Completa los recuadros de la red con los siguientes conceptos. Guíate por las
pistas que están en la parte inferior de cada recuadro:
,, Simples
,, Gráficos
,, Tablas
,, Dobles
de datos
,, Filas y columnas
150
Unidad 6
de barras
6
Evaluación
El club deportivo “San Martín” organizó tres partidos a beneficio de uno
de sus más antiguos socios que se encuentra muy enfermo. Las entradas a
galería costaban $ 1 000 y las a tribuna $ 2 000.
Asistentes
4 000
3 000
2 000
1 000
0
G
T
Viernes
G
T
Sábado
G
T
Domingo
a)Completa la siguiente tabla con las personas en galería cada jornada:
Viernes
Sábado
Domingo
Público en galería
b)Completa la siguiente con las personas en tribuna cada día:
Viernes
Sábado
Domingo
Público en tribuna
A partir del gráfico y de las tablas anteriores responde:
a)¿Cuál fue el público total que asistió a galería durante las tres jornadas?
espectadores.
b)¿Cuál fue el público total que asistió a tribuna durante las tres jornadas?
espectadores.
c)¿Cuál fue el público total que asistió a las tres jornadas?
espectadores.
d)¿Qué día asistió más público? ¿Cuántos asistentes registró esa jornada?
espectadores.
e)¿Cuánto dinero se recaudó tras realizarse los tres partidos a beneficio?
$
Organizando información
151
Recortables
10 00
0 2
0 000
30 00
40 00
0
0 50
000
70 00
0
60 000
90 000
80 0
00
152
Recortables
Recortable 1
,, Página
10 (U1)
10 000 20 000 30 000
40 000 50 000 60 000
70 000 80 000 90 000
,, Página
43 (U2)
Recortables
153
Recortable 2
,, Cilindro.
Página 67 (U3)
Recortables
155
Recortable 3
,, Pirámide
pentagonal. Página 67 (U3)
Recortables
157
Recortable 4
,, Cono.
Página 67 (U3)
Recortables
159
ISBN 978-956-278-226-5
9
789562 782265