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TEMA3 OPERACIONES AVANZADAS
Perímetros y áreas
Perímetro es la medida de la longitud total del contorno de una superficie.
Área es el espacio que cubre una superficie plana.
*José tiene un terreno cuadrado de 25m por lado. Calcular el perímetro y el área de su
terreno.
25m
El terreno rectangular donde vive María mide 8m de frente y 21m de fondo. Calcular su
perímetro.
8m
21m
María construyó su casa al frente ocupando solo 2/3 del lote, ¿Cuál es el área de su
patio?
P=LXa
P = 8m X 7m = 56 m2
Un parque tiene una figura triangular de 8m por cada lado. Calcular su perímetro y su
área.
Una mesa cuadrada de 1.8 m por lado tiene una cubierta circular de vidrio que abarca
todo su centro de lado a lado.
Calcular el perímetro y el área de la cubierta.
Calcular perímetro y área de cada figura
Calcular el área sombreada de cada figura
Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado
de la hipotenusa.
Aplicaciones del Teorema de Pitágoras
** Un hombre colocará una antena de radio de 9m de alto en el patio de su casa
La quiere amarrar desde los 7 m de longitud y dispone de hasta 6m a la redonda en el
suelo.
¿Qué longitud de cable necesitará?
** Juan quiere comprar una escalera para subir al techo de su casa. Si quiere que llegue
al borde superior de su casa de 2.2 m y solo dispone de 0.9 m de suelo en su pasillo ¿De
qué largo puede comprar la escalera?
** María comprará una cuerda para amarrar de una esquina a otra de manera transversal
en su patio para poner un tendedero. Si la pared del fondo mide 7.5m y las laterales 4m
¿Qué largo tendrá su tendedero?
Ejercicio: Calcular la longitud del lado que falta en cada triángulo
Algebra
El álgebra es la parte de las matemáticas que trabaja con cantidades de manera
abstracta, es decir, se pueden realizar cálculos sin utilizar un valor determinado.
El álgebra utiliza números y letras para representar cantidades; por ejemplo, un valor
cualquiera se puede representar con una letra a, b, c...x, y, z.
Completa la siguiente tabla con lenguaje algebraico o común según corresponda
LENGUAJE COMUN
LENGUAJE ALGEBRAICO
Un número cualquiera
El doble de un número
La mitad de un número
El triple de un número cualquiera
La tercera parte de un número cualquiera
La suma de dos números cualquiera
El triple de un número más tres
El doble de un número más su triple
Un número cualquiera multiplicado por otro
a/b
a+b+c
(a + b) / (a—b)
(a + b) (a—b)
REGLAS DE LOS SIGNOS PARA SUMAR LOS SIGNOS PARA SUMAR
La suma de dos números positivos es positiva.
(+2) + (+7), o bien 2 + 7 = 9 (se pueden omitir los signos positivos)
La suma de dos números negativos es negativa.
(-2) + (-7) = -9
-2 - 7 = -9
La suma de un número positivo y uno negativo es:
positiva, si el número positivo tiene mayor valor absoluto.
(-2) + (+7) = (+5), o bien –2 + 7 = 5
negativa, si el número negativo tiene mayor valor absoluto.
(+2) + (-7) = (-5), o bien 2 - 7 = -5
cero, si los número tienen mismo valor absoluto.
(+7) + (-7) = 0, o bien 7 - 7 = 0
REGLAS DE LOS SIGNOS PARA LA RESTA
La resta es lo contrario de la suma. Para restar a - b, se remplaza el problema de
resta con
el problema de suma correspondiente: a + (-b) (sumar el opuesto de b a a). A
continuación se
aplican las reglas de los signos para la resta.
EJEMPLO 1: (+2) - (+7) = +2 - 7 = -5 EJEMPLO 2: (-3) - (-4) = -3 + 4 = 1
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REGLAS DE SIGNOS PARA LA MULTIPLICACIÓN
El producto de dos números es:
positivo, si ambos números son positivos o ambos son negativos.
(+8) x (+2) = +16, o bien 8 x 2 = 16 (se pueden omitir los signos positivos)
(-8) x (-2) = +16, o bien (-8) x (-2) = 16
negativo, si un número es positivo y el otro es negativo.
(+8) x (-2) = -16, o bien 8 x (-2) = -16
(-8) x (+2) = -16, o bien (-8) x 2 = -16
REGLAS DE LOS SIGNOS PARA LA DIVISIÓN
El cociente de dos números es:
positivo, si ambos números son positivos o ambos son negativos.
(+8) ÷ (+2) = +4, o bien 8 ÷ 2 = 4 (se pueden omitir los signos positivos) o bien = 4
(-8) ÷ (-2) = +4, o bien (-8) ÷ (-2) = 4 o bien = 4
negativo, si un número es positivo y el otro es negativo.
(+8) ÷ (-2) = -4, o bien 8 ÷ (-2) = -4 o bien = - 4
(-8) ÷ (+2) = -4, o bien (-8) ÷ 2 = -4 o bien = - 4
Realiza las siguientes operaciones
10 + (-4) =
+6 ÷ (-2) =
(-2) x (-6) =
(-2) - (-6) =
(-6) ÷ (-3) =
4 + (-2) =
(+4) x (-3) =
2 - (-6) =
(-9) + (+8) =
(+3) x (+4) =
(-3) - (-9) =
(-6) ÷ (-3) =
Operaciones con expresiones algebraicas
Una expresión algebraica, en una o más variables (letras), es una combinación cualquiera
de estas variables y de números, mediante una cantidad finita de operaciones: adición,
sustracción, multiplicación, división, potenciación o radicación.
Calcula el área de las siguientes figuras geométricas
Ejercicio: Simplifica las siguientes operaciones algebraicas
Simplificar es reducir la expresión algebraica asociando términos semejantes.
Considera la jerarquización de las operaciones, primero resuelves las operaciones entre
signos de agrupación después resuelves las multiplicaciones y divisiones y por último
sumas y restas.
Valor de una expresión algebraica
Se llama valor numérico de una expresión algebraica al número que se obtiene al sustituir
cada una de sus variables por el valor que se les haya asignado de antemano, y de
efectuar la operación indicada.
Suponga la ecuación 3a+2b, ¿Cuál será su valor cuando a=4 y b=5
Sustituya las letras por su valor como en el ejemplo
3 (4) + 2(5) = 22
12 + 10 = 22
3a + 3b = 22
De la ecuación siguiente
encuentre su valor cuando x = 6 y y = 3
Encuentre el valor de las siguientes expresiones algebraicas. Suponga los valores
x=2
y=3
w=4
2x+3y+4w =
4(x+1) + 3(y+2) + 2 (w+3) =
2w + 6y =
x
2
(y) x +w =
5x + y (w) =
Plano cartesiano
El plano cartesiano se forma por dos ejes uno horizontal y otro vertical, que se cruzan en
un punto llamado origen.
La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de la equis “x” y la vertical, eje de las
ordenadas o eje de las yes “y”
La posición en la que se encuentran los puntos en el plano cartesiano se le llaman
coordenadas las cuales se forman al unir un valor del eje de las “x” con uno de las “y”, lo
cual se representa: P(x, y)
Un punto en el plano cartesiano se ubica por dos coordenadas, la abscisa y ordenada ( x,
y)
El punto A se encuentra a 2 unidades del origen en el eje de las x; a la derecha y 1 unidad
hacia arriba del origen en el eje de las y; sus coordenadas son (2, 1)
Las coordenadas del punto B son (4, 3)
Ejercicios. Escribe las coordenadas que correspondan a los siguientes puntos.
C( , )
F( , )
I ( , )
D( , )
G( , )
J( , )
E( , )
H( , )
K( , )
Ecuaciones lineales
Una ecuación lineal es aquella que puede representarse en el plano cartesiano como una
línea recta.
Haz la gráfica para calcular cada una de las ecuaciones siguientes.
Utiliza tres o cuatro puntos para cada gráfica.
y= -2x
y= 3-x
y= x-4
a) 2x+y=-3
b) x+2y=0
c) x+3y=6
d) 2x-y=4
Sistema de ecuaciones simultáneas 2x2
Un sistema de ecuaciones simultáneas es compatible cuando los valores de las dos
incógnitas satisfacen o hacen verdaderas a ambas ecuaciones; por ejemplo; suponga el
sistema.
Y los valores solución son x = 3; y = 2 porque 3+2=5 y 3-2=1 y los dos valores satisfacen
a ambas ecuaciones.
Considera el sistema
¿Cómo hallar los valores solución del sistema?
Método de suma o resta
Paso 1
Igualar los coeficientes de alguna de las dos incógnitas, multiplicando una o las dos
ecuaciones por números que sean necesarios.
Paso 2
Eliminar una de las incógnitas
a) Si los coeficientes iguales tienen igual signo, restar las ecuaciones
b) Si los coeficientes iguales tienen signo diferente, sumar las ecuaciones
Paso 3
Despejar la única incógnita
Paso 4
En una ecuación de las iniciales, sustituir el valor encontrado para la incógnita y despejar
de nuevo.
4x + 2y = 16
4(2)+2y = 16
2y = 16-8
y=8
2
y= 4
Resuelve los siguientes problemas:
1.- José compró 3 camisas y 2 pantalones y pagó $720 pesos. Ramón compró en el
mismo lugar 2 camisas y 4 pantalones y pagó $960 pesos. ¿Cuánto cuesta un pantalón
en ese lugar?
Establezcamos un sistema de ecuaciones para el problema
Apliquemos el método de suma o resta para la resolución del problema
2.- María compró 5 litros de aceite y 2 Kg de azúcar y pagó $120 pesos. Rosa en la
misma tienda pagó $51 por 2 litros de aceite y 1 kg de azúcar. ¿Cuánto vale un litro de
aceite en ese lugar?
Ejercicio: Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones 2x2 por el método de
suma o resta
Método de igualación
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas.
1. – Primero, despejemos a la misma incógnita en ambas ecuaciones
2. – Ahora, igualemos entre sí a ambos despejes
3.- De esta nueva ecuación con una sola incógnita despejemos a la “ye” para encontrar
su valor
4. – Sustituir a la incógnita con el valor encontrado en uno de los despejes iniciales y
despejar de nuevo para encontrar el valor de la segunda incógnita
¡Listo, hemos encontrado los valores de las dos incógnitas!
Ejercicios: Resuelve los siguientes sistemas 2x2 por el método de igualación
Método de sustitución
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas 2x2
1. – Primero despejamos a una de las incógnitas en una de las ecuaciones
2. – En la otra ecuación, sustituimos a la incógnita por su valor encontrado en el despeje
3. – Ahora realicemos las operaciones necesarias y haremos un nuevo despeje en la
nueva ecuación
4. – Sustituir a la incógnita en el despeje inicial por su valor encontrado y calcular el valor
para la segunda incógnita
¡Listo, encontramos los valores para ambas incógnitas!
Ejercicios: Resuelve los siguientes sistemas 2x2 por el método de sustitución