Download Cifras significativas. Notación científica. Errores.

Cifras significativas. Definición.
Las cifras significativas de un número son aquellas que tienen un significado
real y, por tanto, aportan alguna información. Toda medición experimental es
inexacta y se debe expresar con sus cifras significativas. Veamos un ejemplo
sencillo: supongamos que medimos la longitud de una mesa con una regla
graduada en milímetros. El resultado se puede expresar, por ejemplo como:
Longitud (L) = 85,2 cm
No es esta la única manera de expresar el resultado, pues también puede ser:
L = 0,852 m
L = 8,52 dm
L = 852 mm
etc…
Se exprese como se exprese el resultado tiene tres cifras significativas, que
son los dígitos considerados como ciertos en la medida. Cumplen con la
definición pues tienen un significado real y aportan información. Así, un
resultado como
L = 0,8520 m
no tiene sentido ya que el instrumento que hemos utilizado para medir no es
capaz de resolver las diezmilésimas de metro.
Por tanto, y siguiendo con el ejemplo, el número que expresa la cantidad
en la medida tiene tres cifras significativas.
Asumiendo que cualquier problema de física o química de un libro de
texto nos muestra las cantidades con sus cifras significativas, debemos saber
expresar el resultado de las operaciones que hagamos con dichos números con
sus cifras significativas correspondientes.
Reglas para establecer las cifras significativas de un número dado.
Regla 1. En números que no contienen ceros, todos los dígitos son
significativos.
Por ejemplo:
3,14159 → seis cifras significativas →
3,14159
5.694 → cuatro cifras significativas →
5.694
Regla 2. Todos los ceros entre dígitos significativos son significativos.
Por ejemplo:
2,054 → cuatro cifras significativas →
2,054
506 → tres cifras significativas → 5 0 6
Regla 3. Los ceros a la izquierda del primer dígito que no es cero sirven
solamente para fijar la posición del punto decimal y no son significativos.
Por ejemplo:
0,054 → dos cifras significativas → 0 , 0 5 4
0,0002604 → cuatro cifras significativas →
0, 0 0 0 2 6 0 4
Regla 4. En un número con dígitos decimales, los ceros finales a la derecha
del punto decimal son significativos.
Por ejemplo:
0,0540 → tres cifras significativas →
0,0540
30,00 → cuatro cifras significativas →
30,00
Regla 5. Si un número no tiene punto decimal y termina con uno o más
ceros, dichos ceros pueden ser o no significativos. Para poder especificar el
número de cifras significativas, se requiere información adicional. Para evitar
confusiones es conveniente expresar el número en notación científica, no
obstante, también se suele indicar que dichos ceros son significativos
escribiendo el punto decimal solamente. Si el signo decimal no se escribiera,
dichos ceros no son significativos.
Por ejemplo:
1200 → dos cifras significativas → 1 2 0 0
1200, → cuatro cifras significativas → 12 0 0 ,
Redondeo de números
La aplicación práctica de las reglas anteriores ha requerido del redondeo de
números para ofrecer el resultado con el número de cifras significativas
estipulado. Es decir, en el proceso de redondeo se eliminan los dígitos no
significativos de un número, pero siguiendo unas reglas que se deben aplicar al
primero de los dígitos que se desea eliminar.
Si el primer dígito que se va a eliminar es inferior a 5, dicho dígito y los que
le siguen se eliminan y el número que queda se deja como está.
Por ejemplo, los siguientes números se han redondeado a 4 cifras
significativas:
1,4142136… → 1,4142136… → 1,414
2,4494897... → 2,4494897...→ 2,449
Si el primer dígito que se va a eliminar es superior a 5, o si es 5 seguido de
dígitos diferentes de cero, dicho dígito y todos los que le siguen se eliminan y
se aumenta en una unidad el número que quede.
Por ejemplo, los siguientes números se han redondeado a cuatro cifras
significativas:
Π = 3,1415927… → 3,1415927… → 3,142
2,6457513... → 2,6457513...→ 2,646
Notación científica
En ocasiones hemos de utilizar números muy grandes, como la distancia
en kilómetros de Saturno al Sol. O números muy pequeños, como el diámetro
en cm. de un virus. El manejo de este tipo de números se simplifica utilizando
potencias de 10, o notación científica. En esta notación, el número se escribe
como el producto de un número mayor o igual que 1 y menor estrictamente
que 10, y una potencia de 10. Por ejemplo:
• 100=10²=1⋅10².
• 72900=7,29⋅10000=7,29⋅10⁴.
• 0,0000000065=65/10000000000=65⋅10⁻¹⁰=6,5⋅10⁻⁹.
El exponente entero al que está elevado la potencia de 10 recibe el
nombre de orden de magnitud. Cuando los números son mayores que 1 el
orden de magnitud es positivo. Por ejemplo, la distancia de Saturno al Sol, que
es de 1433000000 km., se escribe en notación científica de la forma 1,433⋅10⁹
km.
y
el
orden
de
magnitud
de
este
número
es
9.
Cuando los números son menores que 1 el orden de magnitud es
negativo. Por ejemplo, el diámetro un virión del virus de la inmunodeficiencia
humana (VIH), causante del síndrome de inmunodeficiencia adquirida (SIDA),
mide aproximadamente 0,0000000009 m., que en notación científica se
escribe 9⋅10⁻¹⁰ m., y el orden de magnitud es, en este caso, igual a −10.
Utilizando las propiedades de las potencias podemos multiplicar y dividir
fácilmente con números dados en notación científica. Veamos un par de
ejemplos.
Es habitual, cuando se suman o restan números escritos en notación
científica, escribirlos en el mayor de lo órdenes de magnitud que aparezca en
dicha suma o en dicha resta.
Si los órdenes de magnitud son muy diferentes, uno de los números
números será mucho mayor que el otro y frecuentemente pueden despreciarse
en las operaciones de suma o resta. Por ejemplo:
Un error muy común, sobre todo por el uso de las calculadoras, es
arrastrar en el cálculo muchos más dígitos de los que en realidad se conocen.
Una regla general válida cuando se manejan diferentes números en una
operación de multiplicación o división es que el número de cifras significativas
del resultado no debe ser mayor que el menor número de cifras significactivas
de cualesquiera de los números.
Página 39. Actividadades 2,3
Página 45. Actividades 30, 31, 32, 33, 34, 35
Error absoluto y relativo
Los números reales reflejan con absoluta precisión los resultados
teóricos. Así por ejemplo, la longitud de una circunferencia de radio
exactamente,
√5
3
es,
2 Π √5
, número real del cual no se puede dudar. Al ser un
3
número irracional su expresión decimal consta de infinitas cifras decimales que
no forman período:
4,683209821… Pero
en las ciencias aplicadas
o,
simplemente, en la vida cotidiana, estos números se expresan en forma
decimal y con una cantidad reducida de cifras. Así, el número anterior se
quedaría en 4,7, 4,68, 4,683..., según la precisión requerida. En este proceso
estamos tomando una expresión decimal aproximada (valor aproximado) del
número real exacto (valor real).
Se dice que de un número real tomamos una aproximación de orden n
cuando se trata de un número racional con n cifras decimales.
Así, las tres aproximaciones anteriores de
2 Π √5
3
son de orden 1 (hasta
las décimas), de orden 2 (hasta las centésimas) y de orden 3 (hasta las
milésimas).
En todo proceso de aproximación de un valor real Vr, por un valor
aproximado Va, se comete un error. Hay dos tipos de errores, el error absoluto
Ea y el error relativo Er.
Cuando aproximamos un número real, el valor real del mismo en la
mayoría de las ocasiones no se conoce. En estos casos no podemos calcular
exactamente el error. Así pues, para que la cantidad aproximada que utilizamos
sea fiable, es imprescindible que el error esté controlado. Las cotas de los
errores absoluto y relativo, que llamaremos k y k′ respectivamente, indican en
cuánto nos podemos equivocar como máximo al utilizar una aproximación.
Ea<k;
Er<k′
El error absoluto suele ser menor que 5 unidades del lugar siguiente al de
la última cifras significativa utilizada. El error relativo es tanto menor cuanto
más cifras significativas se utilicen.
En el ejemplo anterior (
2 Π √5
=4,683209821… 4,7, 4,68, 4,683), las
3
cotas del error absolutos serán, respectivamente, 0,05, 0,005 y 0,0005.
Página 38. Actividad 1
Página 45. Actividades 30, 34, 35