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S OCIEDAD
E CUATORIANA DE
M ATEMÁTICA
ETAPA FINAL
"VII EDICIÓN DE LAS O LIMPIADAS DE LA S OCIEDAD
E CUATORIANA DE M ATEMÁTICA "
Tercer Nivel Juvenil
24 de abril de 2010
Instrucciones
1. Antes de empezar a resolver la prueba, lee atentamente estas instrucciones.
2. No escribas las respuestas en las hojas de preguntas.
3. Pega tu adhesivo de participación en la hoja de opción múltiple, y escribe tu código en las hojas
de respuestas para las preguntas de desarrollo. No olvides marcar tu categoría y tu nivel en
todas las hojas de respuestas.
4. Las cinco primeras preguntas son de opción múltiple. Cada pregunta tiene una respuesta correcta solamente. Marca tu respuesta en la hoja de respuestas a las preguntas de opción múltiple; no olvides que si ésta es incorrecta, restará 5 puntos a tu calificación, así que es preferible
no contestar si no estás seguro de cuál es la respuesta correcta.
5. Las últimas cinco preguntas son de desarrollo. Utiliza hojas separadas para responder a cada
una de las preguntas. En cada una de las hojas que utilices, no olvides escribir el número de
pregunta a la que estás respondiendo.
6. Cuando termines la prueba, coloca dentro del sobre que recibiste:
(a) las hojas con los enunciados;
(b) la hoja con las repuestas a las preguntas de opción múltiple; y
(c) todas las hojas que hayas utilizado para responder las preguntas de desarrollo.
Preguntas
1. Si n es un número natural mayor que 0, la suma
1
1
+
logn π logπ n
es mayor estrictamente que:
a) π
b) 2
c) π −1
d) n−1
1
e) Ninguna de las anteriores
2. El número θ es la medida en grados de un ángulo tal que 0◦ < θ < 45◦ . Se definen los números t1 ,
t2 , t3 y t4 de la siguiente manera:
t1 = (tan θ )tan θ ,
t2 = (tan θ )cot θ ,
t3 = (cot θ )tan θ ,
t4 = (cot θ )cot θ .
Entonces:
a) t1 < t2 < t3 < t4
b) t4 < t3 < t2 < t1
c) t2 < t1 < t3 < t4
d) t1 < t4 < t3 < t2
e) Ninguna de las anteriores.
3. En la figura, el triángulo △ ABC es equilátero, el radio del círculo inscrito mide 1 centímetro y el
círculo grande pasa por los vértices del rectángulo ABDE:
E
C
D
A
B
El radio del círculo grande es:
a)
√
21
2
b)
√
20
2
5
c)
2
d)
√
18
2
e) Ninguna de las anteriores
4. Los dos círculos que se muestran en la figura son tangentes y de igual radio:
C
√
El cuadrilátero ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 1 + 2. Si C es el centro del círculo que no
está totalmente dentro del cuadrado, el área sombreada es:
√
π
4
√ 2 3π
b) (1 + 2) −
4
a) (1 +
2) 2 −
2
√
2) 2 − π
√
5π
d) (1 + 2)2 −
4
e) Ninguna de las anteriores.
c) (1 +
5. Durante varios días, un jardinero sembró 20 470 plantas. El primer día plantó diez, y cada día
posterior, plantó el doble de lo que plantó el día anterior. ¿Cuántos días trabajó para plantar las
20 470 plantas?
a) 7
b) 8
c) 10
d) 14
e) Ninguna de las anteriores
6. Dibuje la región de R2 de todos los puntos de coordenadas ( x, y) tales que
x2 + y2 ≤ 100
y
sen( x + y) ≥ 0.
7. Demuestre que los números
49, 4489, 444889, . . . ,
obtenidos colocando el número 48 en medio del número anterior, son números cuadrados perfectos.
8. Pruebe que el número 1110 − 1 es divisible por 100.
9. Para cada x tal que | x| < 2, se define
p( x ) = 1 +
x
x2
x3
+
+
+··· .
2
4
8
Se define
p( x )
.
2
Encuentre el valor de x que satisface la ecuación q(q(q(q( x)))) = 2.
q( x ) =
10. Una ruleta tiene números del 1 al 36 pintados en ella de manera aleatoria. Demuestre que, independientemente de la posición de los números, hay tres números consecutivos que juntos suman
55 o más.
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