Download Práctico Nº 2: Lógica

Práctico Nº 2: Lógica
1) ¿Cuáles de las siguientes son proposiciones?
a) Un número complejo igual a su conjugado es un número real.
b) El producto de dos números positivos.
c) 9 − 5 = 4
d) 3 + 2 = 4
e) 3 x = 5
f) Existe un número racional x tal que 3 x = 5 .
g) Para todo número entero n, n ≤ 100 .
h) Obtenga las cuatro raíces cuartas del número
i) Para todo x racional x+y es racional.
complejo 5.
2) Sean p: “Mañana tengo que trabajar”; q: “Hoy es domingo” y r: “Hoy no se juegan partidos”.
Escribir una oración que exprese cada una de las siguientes proposiciones:
a) ~ r ∨ q
b) (r ∧ ~ p ) ⇒ ~ q
c) q ⇔ (~ r ∧ p )
3) Sean p: “Trabajamos en grupo”; q: “Estudio solo”; y r: “Despejo mis dudas”. Escribir cada una
de las siguientes proposiciones en términos de p, q, r y conectivos lógicos:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Si trabajamos en grupo y no estudio solo, entonces no despejo mis dudas.
Si despejo mis dudas, estudio solo.
Si estudio solo o despejo mis dudas, entonces trabajamos en grupo.
Estudio solo si y sólo si trabajamos en grupo y despejo mis dudas.
Estudio solo si no trabajamos en grupo.
Estudio solo sólo si no trabajamos en grupo.
4) Los valores de verdad de las proposiciones p, q, r y s son respectivamente, V, F, F y V. Obtener
los valores de verdad de:
a)
q ∨ [s ∧ (q ∨ r )]
b) r ⇒ (s ∧ p )
c) ( p ∨ r ) ⇔ (r ∧ ~ s )
5) Determinar los valores de verdad de las proposiciones siguientes:
a) 2 ≥ 3 ó 7 es un entero positivo.
b) Si 7 no es un entero positivo, entonces 2 < 3.
6) En cada caso, analizar si la información que se aporta es suficiente para determinar el valor de
verdad de la correspondiente proposición.
a) ~ (p ∧ q ) ⇒ q ; p ⇒ q es F.
c) p ∧ (q ⇒ r ) ; p ⇒ r es V.
b) ( p ∧ q ) ⇒ ( p ∨ r ) ; p es V.
d) [( p ∨ q ) ∧ ~ q ] ⇒ q ; p ∨ q es V y ~q es V
7) ¿Existe alguna proposición p tal que p y ~ p sean ambas verdaderas? ¿Qué puede decirse
sobre las proposiciones ~ p ∧ p y ~ p ∨ p ?
8) Confeccionar en cada ítem una tabla de verdad que muestre en qué casos la correspondiente
proposición es verdadera y en qué casos es falsa:
1
a)
(~
b) ~ ( p ∧ q ) ⇒ ~ q
p ∧ q) ∨ p
c) (~ p ∨ q ) ∧ ~ r
d) ( p ∧ q ) ⇔ r
9) Determinar cuáles de las siguientes proposiciones son leyes lógicas (tautologías):
a)
[( p ⇒ q ) ∧ (~ q )] ⇒ (~ p )
b) q ∨ (~q ∧ p )
c) (q ⇒ p ) ⇔ (~ p ⇒ ~ q )
d) p ⇒ (q ⇒ p )
10) Demostrar las siguientes equivalencias, teniendo en cuenta que p ⇒ q ≡ ~p ∨ q ,:
a) ~ ( p ⇔ q ) ≡ ( p ∧ ~ q ) ∨ (q ∧ ~ p )
b) ( p ⇒ r ) ∧ (q ⇒ r ) ≡ ( p ∨ q ) ⇒ r
11) Simplificar las siguientes proposiciones:
a) ~ ( p ∨ q ) ∨ (~ p ∧ q )
b) ~ {~ [~ ( p ∨ q ) ∧ (~ r )] ∨ (~ p )}
c) ( p ⇒ q ) ⇒ ~ ( p ∨ q )
12) Dado el condicional “Un entero es múltiplo 6, sólo si es divisible por 2”, escribir los
condicionales recíproco, contrario y contrarrecíproco.
13) Suponiendo verdadero el condicional “Jugaré al fútbol si tengo la tarde libre” ¿cuál es la
condición suficiente y cuál la necesaria?
14) Determinar si P(x) es condición necesaria y/o suficiente para Q(x) y recíprocamente:
a) P( z ) : z = i ,
Q( z ) : z 2 = −1
b) P( x ) : x = 2 ,
Q( x ) : x + 4 = 6
15) Negar todas las proposiciones del ejercicio 3, simbólica y coloquialmente. Sugerencia: para la
proposición d) utilizar la equivalencia del ejercicio 10)a).
16) Sean las funciones proposicionales: P(z ) : z es real ; Q( z ) : z es imaginario puro; y
R ( z , w) : z + w = 0 , donde las variables z y w representan números complejos. Considerar las
proposiciones cuantificadas:
( )
a) ∃ z / Q(z )
b) ∀z : P z.z
c) ∃ w / P ( w) ∧ R(−1, w)
d) ∀ w : P ( w) ⇒ ~ Q( w)
e) ∀z :∃ w / R(z , w)
f) ∃ z / ∀ w : R( z , w)
Para cada proposición:
i) Enunciar coloquialmente mediante una oración.
ii) Obtener su negación simbólicamente.
iii) Enunciar su negación coloquialmente.
iv) Señalar si la proposición dada es verdadera o si lo es su negación.
17) En cálculo, se dice que “la constante L es el límite de la función f cuando x tiende a a si
∀ε > 0 : ∃δ > 0 / ∀x : 0 < x − a < δ ⇒ f ( x) − L < ε .”
Esto se conoce como definición ε - δ de límite. Expresar mediante una proposición cuantificada el
significado de la frase “L no es el límite de f cuando x tiende a a”.
2