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Práctico Nº 2: Lógica
1) ¿Cuáles de las siguientes son proposiciones?
Un número complejo igual a su conjugado es un número real.
El producto de dos números positivos.
95  4
3 2  4
3x 5
Existe un número racional x tal que 3x  5 .
Para todo número entero n, n  100 .
Obtenga las cuatro raíces cuartas del número complejo 5.
Para todo x racional x+y es racional.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
2) Sea p: “Mañana tengo que trabajar”; q: “Hoy es domingo” y r: “Hoy no se juegan partidos”.
Escribir una oración que exprese cada una de las siguientes proposiciones:
b) (r  ~ p)  ~ q
a) ~ r  q
3) Sea p: “Trabajamos en grupo”; q: “Estudio solo”; y r: “Despejo mis dudas”. Escribir cada una de
las siguientes proposiciones en términos de p, q, r y conectivos lógicos:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Si trabajamos en grupo y no estudio solo, entonces no despejo mis dudas
Si despejo mis dudas, estudio solo.
Si estudio solo o despejo mis dudas, entonces trabajamos en grupo.
Estudio solo si y solo si trabajamos en grupo y despejo mis dudas.
Estudio solo si no trabajamos en grupo.
Estudio solo sólo si no trabajamos en grupo.
4) Los valores de verdad de las proposiciones p, q, r y s son respectivamente, V, F, F y V. Obtener
los valores de verdad de:
a)
q  s  q  r 
b) r  s  p
c) p  r  r  ~ s
5) Determinar los valores de verdad de las proposiciones siguientes:
a) 2  3 ó 7 es un entero positivo.
b) Si 7 no es un entero positivo, entonces 2 < 3.
6) En cada caso, analizar si la información que se aporta es suficiente para determinar el valor de
verdad de la correspondiente proposición.
a) ~ p  q   q ; p  q es F.
b)  p  q    p  r  ; p es V.
c) p  q  r  ; p  r es V.
d)  p  q   ~ q  q ; p  q es V y ~q es V
7) ¿Existe alguna proposición p tal que p y ~ p sean ambas verdaderas? ¿Qué puede decirse sobre
las proposiciones ~ p  p y ~ p  p ?
1
8) Confeccionar en cada ítem una tabla de verdad que muestre en qué casos la correspondiente
proposición es verdadera y en qué casos es falsa:
a)
b) ~  p  q ~ q
~ p  q  p
c) ~ p  q  ~ r
d)  p  q  r
9) Determinar cuáles de las siguientes proposiciones son leyes lógicas (tautologías):
 p  q  ~ q  ~ p
c) q  p  ~ p  ~ q
a)
b) q  ~q  p 
d) p  q  p 
10) Demostrar que las siguientes equivalencias, teniendo en cuenta que p  q  ~p  q ,:
a) ~  p  q   p ~ q q ~ p
b)  p  r   q  r    p  q  r
11) Simplificar las siguientes proposiciones:
a) ~  p  q  ~ p  q
b) ~ ~ ~  p  q  ~ r   ~ p
Respuestas: a) ~  p  q  b) contradicción
12) Dada la implicación “Un entero es múltiplo 6, sólo si es divisible por 2”, escribir los condicionales
recíproco, contrario y contrarrecíproco.
13) Suponiendo verdadero el condicional, es decir, es una implicación; “Jugaré al fútbol si tengo la
tarde libre” ¿cuál es la condición suficiente y cuál la necesaria?
14) Determinar si P(x) es condición necesaria y/o suficiente para Q(x) y recíprocamente:
a) Pz  : z  i ,
b) Px : x  2 ,
Qz  : z 2  1
Qx : x  4  6
15) Negar todas las proposiciones del ejercicio anterior. Sugerencia: para la proposición e) utilizar la
equivalencia del ejercicio 10)a).
16) Sean las funciones proposicionales: Pz  : z es real ; Qz  : z es imaginario puro; y
R z, w : z.w  1, donde las variables z y w representan números complejos. Considerar las
proposiciones cuantificadas:
a) z : Pz 
b)  z / Qz 
c)  w / ~ Qw
d)  w : P( w)  ~ Q( w)
e) z : w / Rz, w
f)  z /  w : Rz, w
Para cada proposición:
i) Enunciar coloquialmente mediante una oración.
ii) Obtener su negación simbólicamente.
2
iii) Enunciar su negación coloquialmente.
17) En cálculo, se dice que “la constante L es el límite de la función f cuando x tiende a a si
  0 :   0 / x : 0  x  a    f ( x)  L   .”
Esto se conoce como definición  -  de límite. Expresar mediante una proposición cuantificada el
significado de la frase “L no es el límite de f cuando x tiende a a”.
Inducción Matemática
1) Desarrollar las siguientes sumas:
3
b)   
k 0  2 
4
3
a)
7
i
i 1
n
d)
k
6
c)   1
e)
2j
j 0
m
1

k
k 0 3
j 1
5
r 1
  1 r 2
f)   3 n .n  1
r 1
n
n2
2) Expresar cada suma usando la notación de sumatoria:
a)
1.2  2.3  3.4  ...  nn  1
b) 1 
1 1 1
n 1 
 
 ...   1  
3 9 27
3
c)
-16-12-8-4+4+8+12+16+20
d)
5+7+9+11+13+15+17+19
n
3) Desarrollar las siguientes sumas y demostrar que si n es un entero positivo, son válidas las
siguientes igualdades:
n
a)
 7i 
i 1
n
c)
k
k 1
2

7 n1  7
6
b)
nn  12n  1
6
d)
n
1
n
 j ( j  1)  n  1
j 1
n
 2i
i
 2
i 1
n2
2n
4) Expresar cada suma usando la notación de sumatoria y demostrar que si n es un entero positivo,
son válidas las siguientes igualdades:
a)
13  23  33  ...  n3 
1 2
2
n n  1
4


3
3
3
2
2
b) 1  3  5  ...  2n  1  n 2n  1
3
c)
1.2  2.3  3.4  ...  nn  1 
nn  1n  2
.
3
3
d)
1
1
1
1
n


 ... 

1.2 2.3 3.4
n.n  1 n  1
e)
2  6  18  ...  2.3n 1  3n  1
5) La Suma Geométrica: Sean a  R y r  1 Probar que para todo número natural n , vale:


a 1 rn
.
1 r
6) a) Probar que si n es un entero mayor o igual que 2 y si z1 , z 2 ,...,z n son números complejos,
a  ar  ar 2  ar 3  ...  ar n 1 
entonces vale la igualdad: z1  z2  ...  zn  z1  z2  ...  zn .
¿Qué propiedad de la conjugación se deduce en caso de que z1 , z 2 ,...,z n sean iguales?
7) Probar las siguientes relaciones:
a) 3 10 n1  10 n  1
b) 2 n 2  n
c) 4 5 n  1
Nota: m n denota la relación m divide a n, es decir que existe un entero k tal que n  m.k .
8) Probar que 9 divide a toda suma de los cubos tres números naturales consecutivos.
9) Dada la proposición: “Para todo número natural, la suma del mismo más el triple de su cuadrado
más el doble de su cubo, es un múltiplo de 6.”
a)
b)
Escríbala simbólicamente y enuncie su negación en forma simbólica y coloquial.
Demuestre la proposición dada.
10) Probar por inducción que la suma de los cubos de los n primeros números naturales es:
n 2 n  1
.
4
n
11) Probar que, dado un número real θ, vale la igualdad sen(  n )   1 sen para todo natural n.
2
12) Demostrar el teorema de De Moivre para potencias naturales de un complejo no nulo.
13) Demostrar por inducción las siguientes desigualdades
a)
2n  n 2  2 para n≥1
n  1  2 n para n≥3
n
c) 1 / 2  1 / 4  ....  1 / 2  1 para n≥1
b)
n
d)
1 / 2
k
 1  n / 2 para n≥1
k 1
14) La función proposicional “ p(n) : nn  1  41 es un número primo” es una proposición verdadera al
menos cuando n es un entero positivo menor o igual que 40, ¿esto nos permite asegurar que la
proposición n   : p (n) es verdadera? Justifique usando el principio de inducción.
15) Demuestre que la función proposicional: p(n) : 3  5  ...  2n  1  n  1 satisface la condición
2
2 del principio de inducción matemática, pero la proposición n : p (n) es falsa.
4
5