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Práctico Nº 2: Lógica 1) ¿Cuáles de las siguientes son proposiciones? Un número complejo igual a su conjugado es un número real. El producto de dos números positivos. 95 4 3 2 4 3x 5 Existe un número racional x tal que 3x 5 . Para todo número entero n, n 100 . Obtenga las cuatro raíces cuartas del número complejo 5. Para todo x racional x+y es racional. a) b) c) d) e) f) g) h) i) 2) Sea p: “Mañana tengo que trabajar”; q: “Hoy es domingo” y r: “Hoy no se juegan partidos”. Escribir una oración que exprese cada una de las siguientes proposiciones: b) (r ~ p) ~ q a) ~ r q 3) Sea p: “Trabajamos en grupo”; q: “Estudio solo”; y r: “Despejo mis dudas”. Escribir cada una de las siguientes proposiciones en términos de p, q, r y conectivos lógicos: a) b) c) d) e) f) Si trabajamos en grupo y no estudio solo, entonces no despejo mis dudas Si despejo mis dudas, estudio solo. Si estudio solo o despejo mis dudas, entonces trabajamos en grupo. Estudio solo si y solo si trabajamos en grupo y despejo mis dudas. Estudio solo si no trabajamos en grupo. Estudio solo sólo si no trabajamos en grupo. 4) Los valores de verdad de las proposiciones p, q, r y s son respectivamente, V, F, F y V. Obtener los valores de verdad de: a) q s q r b) r s p c) p r r ~ s 5) Determinar los valores de verdad de las proposiciones siguientes: a) 2 3 ó 7 es un entero positivo. b) Si 7 no es un entero positivo, entonces 2 < 3. 6) En cada caso, analizar si la información que se aporta es suficiente para determinar el valor de verdad de la correspondiente proposición. a) ~ p q q ; p q es F. b) p q p r ; p es V. c) p q r ; p r es V. d) p q ~ q q ; p q es V y ~q es V 7) ¿Existe alguna proposición p tal que p y ~ p sean ambas verdaderas? ¿Qué puede decirse sobre las proposiciones ~ p p y ~ p p ? 1 8) Confeccionar en cada ítem una tabla de verdad que muestre en qué casos la correspondiente proposición es verdadera y en qué casos es falsa: a) b) ~ p q ~ q ~ p q p c) ~ p q ~ r d) p q r 9) Determinar cuáles de las siguientes proposiciones son leyes lógicas (tautologías): p q ~ q ~ p c) q p ~ p ~ q a) b) q ~q p d) p q p 10) Demostrar que las siguientes equivalencias, teniendo en cuenta que p q ~p q ,: a) ~ p q p ~ q q ~ p b) p r q r p q r 11) Simplificar las siguientes proposiciones: a) ~ p q ~ p q b) ~ ~ ~ p q ~ r ~ p Respuestas: a) ~ p q b) contradicción 12) Dada la implicación “Un entero es múltiplo 6, sólo si es divisible por 2”, escribir los condicionales recíproco, contrario y contrarrecíproco. 13) Suponiendo verdadero el condicional, es decir, es una implicación; “Jugaré al fútbol si tengo la tarde libre” ¿cuál es la condición suficiente y cuál la necesaria? 14) Determinar si P(x) es condición necesaria y/o suficiente para Q(x) y recíprocamente: a) Pz : z i , b) Px : x 2 , Qz : z 2 1 Qx : x 4 6 15) Negar todas las proposiciones del ejercicio anterior. Sugerencia: para la proposición e) utilizar la equivalencia del ejercicio 10)a). 16) Sean las funciones proposicionales: Pz : z es real ; Qz : z es imaginario puro; y R z, w : z.w 1, donde las variables z y w representan números complejos. Considerar las proposiciones cuantificadas: a) z : Pz b) z / Qz c) w / ~ Qw d) w : P( w) ~ Q( w) e) z : w / Rz, w f) z / w : Rz, w Para cada proposición: i) Enunciar coloquialmente mediante una oración. ii) Obtener su negación simbólicamente. 2 iii) Enunciar su negación coloquialmente. 17) En cálculo, se dice que “la constante L es el límite de la función f cuando x tiende a a si 0 : 0 / x : 0 x a f ( x) L .” Esto se conoce como definición - de límite. Expresar mediante una proposición cuantificada el significado de la frase “L no es el límite de f cuando x tiende a a”. Inducción Matemática 1) Desarrollar las siguientes sumas: 3 b) k 0 2 4 3 a) 7 i i 1 n d) k 6 c) 1 e) 2j j 0 m 1 k k 0 3 j 1 5 r 1 1 r 2 f) 3 n .n 1 r 1 n n2 2) Expresar cada suma usando la notación de sumatoria: a) 1.2 2.3 3.4 ... nn 1 b) 1 1 1 1 n 1 ... 1 3 9 27 3 c) -16-12-8-4+4+8+12+16+20 d) 5+7+9+11+13+15+17+19 n 3) Desarrollar las siguientes sumas y demostrar que si n es un entero positivo, son válidas las siguientes igualdades: n a) 7i i 1 n c) k k 1 2 7 n1 7 6 b) nn 12n 1 6 d) n 1 n j ( j 1) n 1 j 1 n 2i i 2 i 1 n2 2n 4) Expresar cada suma usando la notación de sumatoria y demostrar que si n es un entero positivo, son válidas las siguientes igualdades: a) 13 23 33 ... n3 1 2 2 n n 1 4 3 3 3 2 2 b) 1 3 5 ... 2n 1 n 2n 1 3 c) 1.2 2.3 3.4 ... nn 1 nn 1n 2 . 3 3 d) 1 1 1 1 n ... 1.2 2.3 3.4 n.n 1 n 1 e) 2 6 18 ... 2.3n 1 3n 1 5) La Suma Geométrica: Sean a R y r 1 Probar que para todo número natural n , vale: a 1 rn . 1 r 6) a) Probar que si n es un entero mayor o igual que 2 y si z1 , z 2 ,...,z n son números complejos, a ar ar 2 ar 3 ... ar n 1 entonces vale la igualdad: z1 z2 ... zn z1 z2 ... zn . ¿Qué propiedad de la conjugación se deduce en caso de que z1 , z 2 ,...,z n sean iguales? 7) Probar las siguientes relaciones: a) 3 10 n1 10 n 1 b) 2 n 2 n c) 4 5 n 1 Nota: m n denota la relación m divide a n, es decir que existe un entero k tal que n m.k . 8) Probar que 9 divide a toda suma de los cubos tres números naturales consecutivos. 9) Dada la proposición: “Para todo número natural, la suma del mismo más el triple de su cuadrado más el doble de su cubo, es un múltiplo de 6.” a) b) Escríbala simbólicamente y enuncie su negación en forma simbólica y coloquial. Demuestre la proposición dada. 10) Probar por inducción que la suma de los cubos de los n primeros números naturales es: n 2 n 1 . 4 n 11) Probar que, dado un número real θ, vale la igualdad sen( n ) 1 sen para todo natural n. 2 12) Demostrar el teorema de De Moivre para potencias naturales de un complejo no nulo. 13) Demostrar por inducción las siguientes desigualdades a) 2n n 2 2 para n≥1 n 1 2 n para n≥3 n c) 1 / 2 1 / 4 .... 1 / 2 1 para n≥1 b) n d) 1 / 2 k 1 n / 2 para n≥1 k 1 14) La función proposicional “ p(n) : nn 1 41 es un número primo” es una proposición verdadera al menos cuando n es un entero positivo menor o igual que 40, ¿esto nos permite asegurar que la proposición n : p (n) es verdadera? Justifique usando el principio de inducción. 15) Demuestre que la función proposicional: p(n) : 3 5 ... 2n 1 n 1 satisface la condición 2 2 del principio de inducción matemática, pero la proposición n : p (n) es falsa. 4 5