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Tema 1 La recta numérica real Matemáticas El conjunto de los números naturales N, el conjunto de los números enteros Z y el conjunto de los números racionales Q pueden representarse en la misma recta numérica. Para hacerlo trazamos una recta, escogemos un punto fijo 0, llamado origen, una unidad y una dirección positiva, como se indica en la figura. -15 -13 -11 4 4 4 -4 -7 2 -3 -5 2 -9 4 -7 4 -2 -5 4 -3 2 -3 4 -1 -1 4 -1 2 1 4 3 4 1 2 u 0 5 4 7 4 3 2 1 9 4 2 5 2 11 4 13 4 3 9 A el número 5 lo podemos localizar si trazamos un triángulo rectángulo de catetos dos y uno respectivamente y un arco con radio igual a su hipotenusa. 15 4 7 2 4 unidad de longitud Si a es un número asociado a un punto P sobre una recta r con una escala numérica, a es denominada la coordenada de P. De esta manera se asocian dos conjuntos: los puntos de una recta geométrica y un conjunto numérico, mediante una correspondencia uno a uno. Los números reales, conformados por los decimales finitos, los infinitos periódicos y los infinitos no periódicos se pueden representar sobre una recta numérica. Ejemplo 1 Representemos sobre una recta geométrica los siguientes números reales: 2 , 5 . 5 El punto correspondiente al número 2 lo podemos ubicar según 5 la siguiente construcción que divide cada segmento unidad en cinco partes. −1 0 2 5 1 2 De acuerdo con el ejemplo, a cada número real corresponde un punto y solo uno de la recta r y, recíprocamente, a cada punto P de la recta r le corresponde exactamente un número real. Por esta razón decimos que el conjunto de los números reales es completo. La recta r se denomina recta coordenada o recta numérica real. Los números que corresponden a puntos que están a la derecha de 0 se llaman números reales positivos y se denotan R+; los números que corresponden a puntos a la izquierda de 0 se llaman números reales negativos y se denotan por R–. El número 0 no es ni positivo ni negativo. Si a y b son dos números reales y a < b, entonces el punto que corresponde al número a – cuya coordenada es a – está a la izquierda del número con coordenada b que corresponde al número b sobre la recta. Matemáticas 1 Sitúa sobre la recta los pares de números dados y entre ellos dos números racionales. a. −1 y −0,2 c. 1 y 2 5 5 b. 3,2 y 3,6 2 Resuelve las operaciones y escribe el resultado con una representación diferente. a. −2[3 − 1 + 5] = __________________ b. (3 − 2) ( 2 − π) = __________________ c. 2,8 (0,4 − 0,32) = __________________ d. (3,5 − 1,8) (5,32 + 1,18 = __________________ 3 6 Resuelve las operaciones y representa geométricamente el resultado. a. 0,5 + 3 = ___________________ b. 3 1 – 2 5 = ___________________ 5 c. 5 − 0,333… = ___________________ 7 Explica cómo aparecen sobre la recta real los siguientes números: a. −5 + π b. − 4 + π c. −3 + π d. − 2 + π e. − 1 + π f. π g. 1 + π h. 2 + π 8 ¿Qué forma tienen los números reales que al colocarlos sobre la recta establecen una secuencia de puntos que distan π de uno al siguiente? Explica. ________________________ __________________________________________________ 9 Encuentra la longitud del cateto desconocido en un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 10 cm y uno de los catetos 5 2 cm . ___________________________________ Representa sobre la recta. a. 3 2 b. –2 3 0 4 5 Identifica los siguientes números reales como racionales o no racionales. Explica. a. 2,0005000… d. 3,131313… b. −10,111111… e. 0,353353335… c. 3,013001300013… Con ayuda de un compás y del teorema de Pitágoras, asigna un punto sobre la recta real a los siguientes números irracionales. a. 3 b. 2 5 c. – 6 d. –2 2 e. 2 3 – 5 f. – 3 2 9 10 La medida del área de un cuadrado es 12 m2. ¿Cuál es la medida de su diagonal? ______________________________