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Los números complejos
Los números complejos
Definición
Opuesto
Conjugado
Representación
Forma binómica
z = a + bi, o bien, z = (a, b)
siendo a la parte real y b la parte
imaginaria.
a = r · cos α
b = r · sen α
Forma polar
z = rα siendo r el módulo y α
el argumento.
r = z = a 2 + b2
⎛b⎞
⎝ ⎠
α = arctan ⎜ ⎟
a
−z = −a − bi
z = a − bi
Operaciones
si z = a + bi y
z’ = a’ + b’i
Suma
z + z’ = (a + a’) + (b + b’)i
z − z’ = (a − a’) + (b − b’)i
Resta
z − z’ = (a − a’) + (b − b’)i
si z = rα y z ' = sβ
Multiplicación
rα ⋅ sβ = ( r ⋅ s )α + β
z · z’ = (aa’ − bb’) + (ab’ + a’b)i
División
z ' a ' a + b ' b ab '− a ' b
= 2
+ 2
i
z
a + b2
a + b2
Potencia
z n = ( rα ) = ( r n )
rα
= ( r / s )α − β
sβ
n
n
nα
⎛ 1⎞
=
rα = ( rα ) = ⎜ r n ⎟
⎝ ⎠ α + 2π k
1
n
n
( r)
n
α + 2π k
n
k va desde 0 hasta n − 1
¿Qué es un número complejo?
Un número complejo, z, está formado por una parte real, a = Re(z), y una
parte imaginaria, b = Im(z), y se escribe a + bi , o bien, (a, b).
Un número complejo es una expresión con dos sumandos: uno es un número real y el
otro es un número real por una letra i. Por ejemplo, z es un ejemplo de número
complejo:
z = 3 + 4i
El sumando sin la i se denomina parte real, mientras que el número que acompaña a
la i se denomina parte imaginaria del número complejo. En el ejemplo anterior, 3 es
la parte real y se indica 3 = Re(z); mientras que 4 es la parte imaginaria y se indica 4
= Im(z).
Un número complejo también puede escribirse en forma de par ordenado; en el
ejemplo, el número complejo z = 3 + 4i también puede escribirse como (3, 4), siendo
la primera coordenada la parte real, y la segunda coordenada la parte imaginaria.
Así pues, un número complejo es un número formado por una parte real, a, y una
parte imaginaria, b, que se escribe
a + bi
o bien,
(a, b)
¿Cómo se representa un número complejo?
Para representar un número complejo pueden utilizarse los ejes
coordenados cartesianos, el eje X para la parte real y el eje Y para la parte
imaginaria.
Para representar un número complejo pueden utilizarse los ejes coordenados
cartesianos, el eje X para la parte real (eje real) y el eje Y para la parte imaginaria
(eje imaginario). Así, por ejemplo, el número z = 3 + 4i, o también (3, 4), se
representa por el siguiente vector:
1
¿Son necesarios los números complejos?
Los números complejos son imprescindibles, ya que permiten que
cualquier ecuación polinómica tenga solución. Para ello, se requiere que
los números reales sean completados con el denominado número i, cuyo
valor es i = −1 .
Es fácil observar que existen ecuaciones que no tienen solución real. Por ejemplo, la
ecuación
x2 + 1 = 0
no tiene solución, ya que si aislamos la x2:
x2 = –1
y no existe ningún número real que elevado al cuadrado sea –1, porque debería
suceder que:
x = −1
y ya sabemos que no existe la raíz cuadrada de un número negativo.
Para permitir que ecuaciones del tipo anterior también tengan solución, se completan
los números reales añadiendo la raíz cuadrada de –1, con lo que obtenemos los
números complejos. A la raíz cuadrada de –1 se le denomina i:
i = −1
es decir
i2 = –1
y, cualquier número complejo se puede expresar de la forma:
z = a + bi
Veamos que la ecuación anterior tiene solución compleja:
x2 = –1
por lo tanto,
x = ± −1 = ± i
Es decir, las soluciones de la ecuación son +i y –i. Veámoslo:
i2 + 1 = –1 + 1 = 0
(–i)2 + 1 = –1 + 1 = 0
De este modo, cualquier ecuación polinómica tiene solución compleja.
¿Cómo se representan las potencias de i?
Las potencias de i son fáciles de hallar y de representar. Tan sólo es
necesario calcular las cuatro primeras porque el resto a partir de la quinta
potencia de i, i5, se repiten cíclicamente.
Las potencias de i son fáciles de hallar:
i1 = i
i2 = –1
i3 = i2 · i = –i
i4 = (i2)2 = (–1)2 = 1
i5 = i4 · i = i
vemos que a partir de i5 se vuelven a repetir los valores, es decir,
i6 = i2
i7 = i3
i8 = i4
i5 = i
2
¿Cómo se calculan el opuesto y el conjugado de un número
complejo?
El opuesto de un número complejo z = a + bi, se indica –z y es igual a
–z = –a − bi. El conjugado de dicho complejo z, se indica z , y es
z = a − bi
Dado un número complejo z = a + bi, su opuesto, que se indica –z, es el número
complejo con los signos opuestos, es decir, –z = –a − bi. El conjugado de dicho
complejo z, que se indica z , se construye cambiando de signo la parte imaginaria de
z; así pues, z = a − bi .
Por ejemplo, el opuesto de z = 3 + 4i es –z = –3 − 4i. Mientras que su conjugado es z
= 3 − 4i.
En este gráfico pueden observarse el opuesto y el conjugado de z = 3 + 4i:
3
¿Cómo se realizan la suma y la resta entre complejos?
Para sumar dos números complejos z = a + bi y z’ = a’ + b’i, se suman las
partes reales e imaginarias, z + z’ = (a + a’) + (b + b’)i. La resta se realiza
de manera similar: z − z’ = (a − a’) + (b − b’)i.
Para sumar dos números complejos z = a + bi y z’ = a’ + b’i, se suman las partes
reales e imaginarias de la siguiente manera:
z + z’ = (a + a’) + (b + b’)i
Por ejemplo, si z = –2 + i y z’ = 1 + 4i
z + z’ = (–2 + 1) + (1 + 4)i = –1 + 5i
como puede verse gráficamente:
La resta se realiza de modo similar, restando las partes reales e imaginarias:
z − z’ = (a − a’) + (b − b’)i
Por ejemplo, si z = –2 + i y z’ = 1 + 4i
z + z’ = (–2 − 1) + (1 − 4)i = –3 − 3i
¿Cómo se realiza el producto de números complejos?
El producto de dos números complejos z = a + bi y z’ = a’ + b’i es igual a
z · z’ = (aa’ − bb’) + (ab’ + a’b)i.
La multiplicación de dos números complejos se realiza de manera semejante a la
multiplicación de polinomios: si los números son z = a + bi y z’ = a’ + b’i, para
obtener el resultado se sitúan uno sobre el otro, y se multiplican factor a factor,
teniendo en cuenta que i · i = i2 = –1:
a + bi
a’ + b’ i
aa’ + ab’i
bb’i2 + a’bi
(aa’ − bb’) + (ab’ + a’b)i
es decir, z · z’ = (aa’ − bb’) + (ab’ + a’b)i
Así, por ejemplo, si z = –2 + i y z’ = 1 + 4i
z · z’ = (–2 · 1 − 1 · 4) + (–2 · 4 + 1 · 1)i = –6 − 7i
4
¿Cómo se realiza el cociente de números complejos?
El cociente de dos números complejos z = a + bi y z’ = a’ + b’i es igual a
z ' a ' a + b ' b ab '− a ' b
= 2
+ 2
i.
z
a + b2
a + b2
Para realizar el cociente de dos números complejos se deben multiplicar numerador y
denominador por el conjugado del denominador. Si los números son z = a + bi y z’
= a’ + b’i, y teniendo en cuenta que i · i = i2 = –1:
z ' a '+ b ' i ( a '+ b ' i )( a − bi ) (a ' a + b ' b) + (ab '− a ' b)i
=
=
=
=
z
a + bi
a 2 + b2
( a + bi )( a − bi )
=
a ' a + b ' b ab '− a ' b
+ 2
i
a2 + b2
a + b2
es decir, la parte real del cociente es
a ' a + b 'b
ab '− a ' b
.
y la parte imaginaria es 2
2
2
a +b
a + b2
Así, por ejemplo, si z’ = –3 + i y z = 1 + 2i
z ' 1 ⋅ (−3) + 2 ⋅1 1 ⋅1 − (−3) ⋅ 2
=
+
i = −0, 2 + 1, 4i
z
12 + 22
12 + 22
5
¿Cómo se representa un número complejo en forma polar?
Un número complejo z = a + bi puede representarse por z = rα , siendo r el
módulo de z, y α el argumento o ángulo que forma con el eje real.
Observando la representación de un número complejo, es fácil comprobar que el
número z puede también caracterizarse por la longitud del vector, denominada
módulo, z , y el ángulo que forma con el eje real, denominado argumento. Si el
número es z = 3 + 4i, la longitud del segmento es z = 32 + 42 = 5 , mientras que el
ángulo puede establecerse buscando el arcotangente del cociente entre la parte
⎛4⎞
imaginaria y la aparte real: α = arctan ⎜ ⎟ ≈ 0,93 rad .
⎝3⎠
En general, pues, un número complejo z = a + bi, o (a, b), puede representarse por
z = rα , siendo r el módulo de z, y α el ángulo que forma dicho segmento con el eje
real:
⎛b⎞
r = z = a 2 + b2
α = arctan ⎜ ⎟
⎝a⎠
Cabe destacar que el argumento debe ser un ángulo entre 0 y 2p (en ocasiones es
mejor utilizar ángulos entre -p y p); si fuese mayor o menor, debe buscarse el ángulo
entre 0 y 2p que se corresponda; por ejemplo:
se corresponde con el ángulo p.
el ángulo –p
el ángulo 9p/2 se corresponde con el ángulo p/2.
¿Cómo se transforma un complejo de forma polar a forma
binómica?
La forma binómica de un número complejo en forma polar, z = rα , es
z = r · cos α + i · r · sen α.
Si z es un número complejo en forma polar, z = rα , para hallar su forma binómica,
tan sólo deben calcularse las coordenadas del eje real e imaginario, (a, b):
a = r · cos α
b = r · sen α
es decir, la forma binómica es z = r · cos α + i · r · sen α.
6
¿Cómo se realizan la multiplicación y la división en forma polar?
Para realizar el producto de dos números complejos en forma polar, rα y
sβ , deben multiplicarse ambos módulos y poner por argumento la suma de
argumentos, rα ⋅ sβ = ( r ⋅ s )α + β . Para realizar la división, deben dividirse
ambos módulos y poner por argumento la diferencia de argumentos,
rα
= ( r / s )α − β .
sβ
La suma y la resta no suelen realizarse en forma polar porque es mucho más fácil
realizarlas en forma binómica. En cambio, la multiplicación y la división son más
sencillas en forma polar que en forma binómica.
Para realizar el producto de dos números complejos en forma polar, rα y sβ , deben
multiplicarse ambos módulos y poner por argumento la suma de argumentos:
rα ⋅ sβ = ( r ⋅ s )α + β
Por ejemplo, el producto de z = 2 π y z ' = 3π es igual a
3
4
z ⋅ z ' = 2 π ⋅ 3π = ( 2 ⋅ 3 ) π + π = 6 7 π
3
3
4
4
12
como puede observarse en este gráfico:
Para dividir dos números complejos en forma polar, rα y sβ , deben dividirse ambos
módulos y poner por argumento la diferencia de argumentos:
rα
= ( r / s )α − β
sβ
Por ejemplo, el cociente de z = 2π y z ' = 3π es igual a
3
4
2π
z
= 3 = ( 2 / 3) π − π = ( 2 / 3) π
z ' 3π
3 4
12
4
7
¿Cómo se realiza la potencia de un número complejo en forma
polar?
La potencia de exponente n de un número complejo rα es ( rα ) = ( r n )nα .
n
Para realizar la potencia de un número complejo, rα , debe observarse lo siguiente:
( rα )
2
( rα )
3
= rα ⋅ rα = ( r 2 )
2α
= rα ⋅ ( rα ) = rα ⋅ ( r 2 )
2
2α
= (r3 )
3α
es decir, en general,
( rα )
n
= (rn )
nα
Esta expresión es válida tanto para exponentes positivos como negativos. Por
ejemplo:
( 32 )
4
( 32 )
−3
= ( 34 )
4·2
= ( 3−3 )
= 818 = 818− 2π
−3·2
=
=
↑
todos los ángulos
deben estar entre
0 y 2π
1
1
=
27 −6 27 −6 + 2π
811,72
=
↑
todos los ángulos
deben estar entre
0 y 2π
1
27 0,28
¿Cómo se realizan las raíces de un número complejo en forma
polar?
La potencia de exponente n de un número complejo rα es ( rα ) = ( r n )nα .
n
Una raíz no es más que una potencia de exponente quebrado. El proceso es, pues,
similar a la obtención de una potencia, aunque el número de raíces de un número
complejo es igual al índice de la raíz. Por ejemplo:
1
⎛ 1⎞
4π = ( 4π ) 2 = ⎜ 4 2 ⎟ = 2 π
⎝ ⎠ 1 ·π
2
2
8
Esto es así porque:
2
⎛ ⎞
⎜ 2π ⎟ = 4π
⎝ 2⎠
Ahora bien, es fácil observar que también:
2
⎛
⎞
⎜ 2 3π ⎟ = 43π = 4π
⎝ 2 ⎠
Así pues, para hallar las raíces de un número complejo en forma polar se lleva a cabo
lo siguiente:
1
⎛ 1⎞
n r = r
n = rn
k va desde 0 hasta n − 1
= n r α + 2π k
(
)
⎜
⎟
α
α
α
π
2
+
k
⎝ ⎠
n
( )
n
Por ejemplo, para hallar las raíces de índice 4 de la unidad, es decir, del número real
1, que en forma polar se escribe 10 , debe hacerse lo siguiente:
4
1
⎛ 1⎞
10 = (10 ) 4 = ⎜ 14 ⎟
=
⎝ ⎠ 0 + 2π k
( 1)
4
4
2π k
4
k va desde 0 hasta 4 − 1 = 3
= 12π k
4
Para k = 0
4
10 = 12π 0 = 10
Para k = 1
4
10 = 12π 1 = 1π
Para k = 2
4
10 = 12π 2 = 1π
Para k = 3
4
4
4
2
4
10 = 12π 3 = 13π
4
2
Por lo tanto, las raíces de índice 4 de la unidad son: 10 , 1π , 1π y 13π .
2
9
2
10