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NÚMEROS COMPLEJOS
1.- NÚMEROS COMPLEJOS
1.1.- NECESIDAD DE AMPLIAR  . UNIDAD IMAGINARIA
Ecuaciones aparentemente tan sencillas como x2+1=0, no tienen solución en  .
El primero que incluyó una raíz cuadrada de un número negativo en una fórmula fue Cardano. Lo hizo al intentar descomponer
10 en dos sumandos cuyo producto fuese 40. Las soluciones fueron
eran ficticios
No fue hasta el siglo XVII cuando Euler introdujo el número
5   15 y 5   15 . Concluyó que dichos números
 1 para resolver este problema, y lo llamó unidad imaginaria,
i   1 . A pesar de ello la situación fue confusa hasta que en el siglo XVIII, Gauss y Hamilton definieron un número complejo
como una pareja de números reales dotados de determinadas propiedades.
Resolución de ecuaciones, antes irresolubles
1.2.- NÚMEROS COMPLEJOS. REPRESENTACIÓN GRÁFICA. CONJUGADO
Un número complejo en forma binómica es una expresión de la forma z  a  bi , con a y b números reales.
2 3
Ejemplos: 1  3i,  5i,
 i…
3 5
Al número a se le llama parte real del número complejo y a b parte imaginaria. El conjunto de los números complejos se
representa por C.
- Si b=0, el número complejo se reduce a un número real ( z  a  0i  a )
- Si a =0, el número complejo se llama imaginario puro ( z  0  bi  bi)
Dos números complejos son iguales si lo son sus partes real e imaginaria
Dado un número complejo a+bi, se llama opuesto de z al número  z  a  bi
Se llama conjugado de z, y se representa por z , al número complejo
z  a  bi
Representación gráfica.
C es un espacio vectorial. Podemos considerar C como un espacio vectorial isomorfo a  .
Si tomamos como base (1,0)= unidad real y (0,1)= unidad imaginaria, podemos expresar cualquier
número complejo z  a  bi  a  1,0  b  0,1 y representarlo en el ‘plano complejo’
2
 
 
Los números complejos se representan en el plano complejo. La parte real se representa en el eje
de abcisas, llamado eje real, y la parte imaginaria en el eje de ordenadas, llamado eje imaginario.
Así, a todo número complejo z  a  bi le podemos hacer corresponder un punto del plano
coordenadas P(a,b), llamado afijo, y un vector OP, determinado por el origen de coordenadas y el
afijo del número complejo, llamado vector imagen. Es recíproco.
Los afijos de dos complejos opuestos son simétricos respecto al origen de coordenadas, y los afijos
de dos números complejos conjugados son simétricos respecto al eje real
1.3.- ECUACIONES CON SOLUCIONES COMPLEJAS
Teorema fundamental del álgebra: toda ecuación algebraica de grado n, con coeficientes reales o complejos, tiene n raíces en C.
Los únicos polinomios irreducibles son los de grado 1.
Práctica de resolución de ecuaciones en x.
1.4.- FORMAS DE EXPRESIÓN DE UN NÚMERO COMPLEJO
- Forma binómica:
z=a+bi
- Forma trigonométrica
Dado que un número complejo se corresponde unívocamente con un vector, otra forma de determinarlo es mediante su módulo
(distancia al origen) y su argumento (ángulo que forma con el eje de abcisas)
- Llamaremos módulo de z=a+bi, denotado z a la longitud del vector imagen, es decir: z 
z  z  a2  b2
- Llamaremos argumento de z  0, a la medida del ángulo que forma con el eje de abcisas (*módulo 2π)
a    cos 
→ z=   cos  seni   cos  i sin   . Esta es la llamada ‘forma trigonométrica de z
b    sen
Si z=a+bi→ 
1
 z  12  12  2

Ejemplo: Si z  1  i  
1
  arctg  45º
1

 1  i  2 45º
 z  z'
  ' 2k
Diremos que z=z’↔ 
- Forma polar:
La expresión en forma polar de un número complejo viene dada por z   
- *Forma exponencial
Por la fórmula de Euler tendremos la forma exponencial de un número complejo:
z    e i
Para pasar de unas a otras usaremos:
Cálculo de : =
z  a2  b2
Cálculo de  : tg 
b
   arctg
a
Relación de coordenadas cartesianas y polares: ( a, b)= (cos, sen)
2.- OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS
2.1.-OPERACIONES ELEMENTALES

Suma/Resta
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i
Ejemplo: ( 5 + 2 i) + ( − 8 + 3 i) − (4 − 2i ) = = (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i

Producto:
En forma binómica:
(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
Ejemplo: ( 5 + 2 i) · ( 2 − 3 i) = =10 − 15i + 4i − 6 i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i
En forma polar: El producto de dos números complejos es otro número complejo que tiene por módulo el producto de los
módulos, y por argumento su suma
   '      '  
Ejemplo: 645° · 315° = 1860°
*Producto por un número complejo de módulo 1: Giro alrededor del origen.

Cociente:
En forma binómica:
a  bi a  bi  c  di ac  bd   bc  ad  i ac  bd bc  ad


 2

i
c  di c  di  c  di
c2  d 2
c  d 2 c2  d 2
Ejemplo:
3  2i 3  2i   1  2i  3  6i  2i  4i 2 (3  4)  8i  1  8i
1 8




  i
2
2
1  2i 1  2i   1  2i 
1 4
5
5 5
1  2i 
En forma polar: El cociente de dos números complejos es otro número complejo que tiene por módulo el cociente de los
módulos, y por argumento su diferencia
   
 
 '      
Ejemplo: 645° : 315° = 230°
La forma más sencilla de efectuar éstos dos últimos es mediante la forma polar:
2
NÚMEROS COMPLEJOS
2.2.- POTENCIACIÓN: FÓRMULA DE MOIVRE
 n   n n
Ejemplo: (230°)4 = 16120°
Aplicando las propiedades de la potencia de un número complejo, se obtiene la siguiente fórmula, llamada fórmula de Moivre
cos  i sin  n  cos n  i  sin n
Es útil en trigonometría, pues permite hallar cos nα y sin nα, en función de cosα y sinα.
2.3.- RADICACIÓN. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
Un número complejo tiene n raíces n-ésimas. Todas ellas tienen:
- el mismo módulo
n
- sus argumentos son:
Ejemplo: Calcular las
 y
  2k
n
6
, desde k=0,1,….., n-1
1 i
Calculamos la forma polar de
1  i  2 45º
Todas sus raíces tienen como módulo
6
 2 
12
2
Calculamos sus argumentos respectivos :
Para n>2, los afijos de estas raíces son los vértices de un n-ágono regular con centro el origen
3.- TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS (Movimientos en el plano)
Las operaciones con complejos están relacionadas con ciertas transformaciones geométricas o movimientos en el plano:
Si z=a+bi es un número complejo expresado en forma binómica y z’=a’+b’i su homólogo o transformado en un movimiento del
plano, entonces:
1) Geométricamente, el opuesto de un número complejo se obtiene aplicando a éste una simetría central, de centro el origen de
coordenadas.
2) La obtención del conjugado de un número complejo, equivale geométricamente a aplicar al complejo dado una simetría axial
3) La suma de dos números complejos equivale geométricamente a aplicar al complejo dado una traslación de vector (c,d)
El producto de números complejos expresados en forma polar y como operación el producto, se tiene:
1) El producto de un número complejo por 1α equivale a aplicar al complejo dado un giro de centro O y amplitud α
2) El producto de un número complejo por la unidad imaginaria equivale, geométricamente a aplicar al complejo dado un giro de
centro O y amplitud 90º
3) El producto de dos números complejos geométricamente equivale a aplicar al complejo dado, primero una homotecia de centro
O y razón s y luego un giro de centro O y amplitud α . Es decir una semejanza directa de razón s y centro O
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