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Algebra universitaria UNIDAD III. POLINOMIOS 3.3. Raíces polinomios Definición de raíz Un polinomio P(x) tiene una raíz “r” si y solo si P(r) = 0. Ejemplo: El polinomio P(x)= x2 - 5x + 6 tiene las siguientes raíces: r1 = 2 y r2 = 3 Dado que: P(2)= 22 – 5(2) + 6 = 0 P(3)= 32 – 5(3) + 6 = 0 Antes de revisar el teorema fundamental del álgebra es necesario recordar que un número complejo tiene la forma z = a + bi; donde a es la parte real y bi la imaginaria. Cuando b = 0 el número complejo z se simplifica a z = a; lo cual es un número real; todos los números reales son un caso especial de los números complejos, es decir, el conjunto de los complejos contiene a los números reales. Teorema fundamental del álgebra Un polinomio P(x) de grado “n” no constante (es decir con un grado mayor a cero, n>0) y con coeficientes complejos (por lo tanto también para coeficientes reales) tiene tantas raíces como su grado “n” lo indica. Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez Teorema de factorización lineal Si p ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0 Donde: an ≠ 0 y n ≥ 1. El polinomio puede factorizarse a la forma: p( x) = an ( x − r1 )( x − r2 )( x − r3 ) ... ( x − rn ) Donde: an es el coeficiente principal y r1 a rn son las raíces complejas del polinomio, nótese que la cantidad de raíces “n” es igual al grado del polinomio de acuerdo al teorema fundamental del álgebra. Las raíces se consideran complejas según los teoremas pero recuerde que si la parte imaginaria de la raíz compleja b = 0 entonces la raíz pertenece a los números reales (los reales son un subconjunto de los números complejos). Ejemplo: El polinomio P(x)= x2 - 5x + 6 debe tener dos raíces, ya que su grado es 2. Otro ejemplo: los polinomios: p ( x ) = x 3 − 6 x 2 − 16 x f ( x ) = 2 x 4 + 8 x 3 + 10 x 2 q ( x ) = 3 x 2 − 10 x + 8 p(x) debe tener 3 raíces complejas (pueden ser imaginarias, reales o una combinación de ambas, pero en total deben ser 3). f(x) debe tener 4 raíces complejas. q(x) debe tener 2 raíces complejas. 1