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Trabajo práctico nº2
Números complejos y polinomios
Alumna: Hermosid Camila
Nº de legajo: 28969
Profesora: Saslavsky Gisella
Fecha de entrega: 02/12/13
Comisión: C
¿Que son y para que se utilizan?
En el conjunto de los números reales no es posible obtener raíces de índice par y radicando negativo. Así cuando se conocen
únicamente los números reales no tiene interpretación, por ejemplo √−25, pues no hay ningún numero tal que elevado al cuadrado
dé por resultado un numero negativo -25. Para resolver estas operaciones se amplía el conjunto de números introduciendo a los
números imaginarios.
Estos nuevos números no se definen arbitrariamente, sino de modo tal que las operaciones con ellos gocen de las mismas
propiedades que las correspondientes operaciones con números reales.
Se llama número complejo a toda expresión de la forma z = a + b.i donde a y b son números reales; i es la unidad llamada imaginaria,
definida por las ecuaciones: i = √-1 o i ² = -1; a es la parte real y b es la parte imaginaria del número complejo.
Aplicaciones
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas
como variable compleja, ecuaciones diferenciales, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además los
números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y
en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas
electromagnéticas y la corriente eléctrica.
Resolución de ecuaciones algébricas
Cualquier polinomio real se puede factorizar en un producto de polinomios reales de grados uno y dos. Obviamente hay polinomios
reales que no pueden descomponerse en un producto de polinomios de grado uno; por ejemplo p(x) = 𝑥 2 + 1. El siguiente resultado
permite establecer que cualquier polinomio (real o complejo) se puede descomponer en un producto de polinomios complejos de
grado uno (iguales o distintos).
El Teorema fundamental del Algebra.
Todo polinomio no constante con coeficientes complejos tiene algún cero complejo. Aunque era un resultado intuido con
anterioridad, la primera demostración del Teorema Fundamental del Algebra se debe a C.F. Gauss. A lo largo de su vida dio muchas
demostraciones de este resultado, aunque ninguna de ellas es puramente algebraica y la descripción de cualquiera de ellas se sale
de los objetivos de la asignatura.
Sea p(z) un polinomio complejo de grado n ≥ 1,
p (z) =𝑎0 + 𝑎1 𝑧 + 𝑎2 𝑧 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑧 𝑛
𝑎0 , 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ∈ ℂ, 𝑎𝑛 ≠ 0
p(z) tiene n raíces complejas (contando cada una según su multiplicidad). Es decir, existen n números complejos (iguales o distintos)
𝑧1 , 𝑧 2 , . . . , 𝑧 𝑛 ∈ ℂ tales que
p(z) = (z − 𝑧1 )(z − 𝑧 2 )· · ·(z − 𝑧 𝑛 ).
Se verifican las siguientes relaciones entre las raíces y los coeficientes de p(z)
𝑧1 + 𝑧2 + ⋯ + 𝑧𝑛 =
𝑎𝑛−1
𝑎𝑛
,
𝑧1 𝑧2 … 𝑧𝑛 = (−1)𝑛
𝑎0
𝑎𝑛
De acuerdo con el teorema anterior las ecuaciones polinómicas del tipo 𝑥 2 + 1 = 0, que justificaron la ampliación del conjunto de los
números reales porque esas ecuaciones no tienen solución real, tienen solución en el conjunto de los números complejos.
Concretamente esa ecuación tiene como soluciones
𝑧1 = i y 𝑧 2 = −i, de manera que 𝑥 2 + 1 = (x − i) (x + i).
Electricidad
En ingeniería eléctrica permiten representar muy fácilmente los parámetros de magnitud y fase cuando se representan corrientes y
tensiones alternas; el gran vinculador de ellas, la impedancia (cociente de la tensión y la corriente) se representa con un número
complejo. Una parte real, una imaginaria, que representan resistencia (real) inductancia y capacitancia (imaginario).
Electrónica
En ingeniería electrónica el uso es el mismo que en eléctrica, pero además se aplica (para mencionar sólo un ejemplo) a ondas
electromagnéticas, en donde se representa la relación entre campos eléctricos y magnéticos.
Aerodinámica
En el diseño de un ala de avión es vital tener una sección cuya forma permita que el aire fluya sin turbulencias. Esto solamente se
logra si se utilizan las formas aerodinámicas de Joukovsky.
La transformación de Joukovsky en el plano complejo, es la más simple de un conjunto de transformaciones de la forma:
z=f(z)=z+
2
3
𝑎1
+ 𝑎𝑧 + 𝑎𝑧 + ⋯
𝑧
2
3
Estas modifican el plano sensiblemente para valores pequeños de z, pero su influencia tiende a 0 a medida que el módulo de z crece.
La transformación de Joukovsky tiene la expresión:
z=f(z)=z+
𝑏2
𝑧
Esta convierte a una circunferencia de radio a > |b| en una la forma de un perfil aerodinámico.
Ingeniería Civil
En ingeniería civil para representar esfuerzos en estructuras y pendeos.
Física
Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas
variables (ver Análisis de Fourier). En una expresión del tipo z = rei∅ podemos pensar en r como la amplitud y en ∅ como la fase de
una onda sinusoidal de una frecuencia dada. Cuando representamos una corriente o un voltaje de corriente alterna (y por tanto con
comportamiento sinusoidal) como la parte real de una función de variable compleja de la forma 𝑓(𝑡) = 𝑧𝑒 𝑖𝑤𝑡 donde ω representa
la frecuencia angular y el número complejo z nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen
las resistencias, capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos últimas
(ver redes eléctricas). Ingenieros eléctricos y físicos usan la letra j para la unidad imaginaria en vez de i que está típicamente
destinada a la intensidad de corriente.
El campo complejo es igualmente importante en mecánica cuántica cuya matemática subyacente utiliza Espacios de Hilbert de
dimensión infinita sobre C (ℂ).
En la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la métrica del espacio-tiempo son mucho más simples si
tomamos el tiempo como una variable imaginaria.
Actividad 1
¿Qué relación existe entre las partes real e imaginarias de un número complejo y su opuesto?
El opuesto de un número complejo es el resultado de cambiarle los signos de la parte real y la imaginaria a dicho número. Por
ejemplo:
-7+2i
su opuesto será
7-2i
Por lo tanto observamos que si un vector esta dado por una parte real e imaginarias positivas (semi eje de ordenadas y abscisas
positivas) su opuesto va ser de la misma magnitud pero se hallará con partes real e imaginarias negativas es decir en el semi eje de
ordenadas y abscisas negativas.
¿Y entre las de un número complejo y su conjugado?
Un numero complejo es igual a su conjugado con la diferencia que la parte imaginaria del conjugado será de signo contrario, por lo
tanto se tiene un número complejo 2+3i, su conjugado solo cambiará el signo de la parte imaginaria es decir 2-3i, llevado a un
sistema de coordenadas podemos observar que el conjugado se encontrará siempre en el mismo eje de abscisas que el complejo
pero estará en el eje ordenado contrario.
¿Qué relación existe entre los módulos y los argumentos de un número complejo y su opuesto?
Un número complejo y su opuesto tienen argumentos con una diferencia de 180° entre si mientras que sus módulos son
equivalentes
¿Y entre los de un número complejo y su conjugado?
La relación entre el módulo de un número complejo y su conjugado es que es el mismo mientras que argumento del número
complejo conjugado está en el cuadrante opuesto del número complejo manteniendo el ángulo del referencial pero con diferente
signo.
Actividad 2
Circunferencia de radio 5 y centro el origen.
W= 0+0i
d(z,w) = |z-w|= |
52 = |z-(0+0i)|
52 = √(𝑥 − 0)2 − (𝑦 − 0)2
52 = 𝑥 2 + 𝑦 2
Circunferencia de radio 7 y centro 3-2i.
W = 3-2i
d(z,w) = |z-w|
72 = |z-(3-2i)|
72 = √(𝑥 − 3)2 − (𝑦 − (−2))2
2
7 = √(𝑥 −
3)2
− (𝑦 +
2)2
Disco cerrado de radio 5 y centro 3+2i
W = 3+2i
d(z,w) = |z-w|
52 = |z-(3+2i)|
52 = √(𝑥 − 3)2 − (𝑦 − 2)2
Corona abierta de radios 5 y 7 y centro -3+2i
W = -3+2i
d(z,w) = |z-w|
52 = |z-(-3+2i)|
52 = √(𝑥 − (−3))2 − (𝑦 − 2)2
52 = √(𝑥 + 3)2 − (𝑦 − 2)2
W = -3+2i
d(z,w) = |z-w|
72 = |z-(-3+2i)|
72 = √(𝑥 − (−3))2 − (𝑦 − 2)2
72 = √(𝑥 + 3)2 − (𝑦 − 2)2
Actividad 3
a)
Cuando se multiplican dos números complejos, se obtiene otro que tiene por modulo el producto de los módulos y por argumento la
suma de los argumentos.
Para multiplicar dos complejos z1 y z2, primero medimos el ángulo que forman en sentido contrario a las agujas del reloj con el eje
positivo de las x y sumamos ambos ángulos: el ángulo resultante corresponde con el del vector que representa al complejo producto
z1 · z2. La longitud de este vector producto viene dada por la multiplicación de las longitudes de los vectores originales. La
multiplicación por un número complejo fijo puede ser vista como la transformación del vector que rota y cambia su tamaño
simultáneamente.
Desde este punto geométrico, la multiplicación (de un numero complejo genérico) por el numero complejo de
Modulo p y argumento θ, consiste en hacer un giro (de centro el origen y ángulo θ) y una homotecia
(de centro el origen y razón p).
b)
Para dividir dos números complejos se multiplican el dividendo y el divisor por el conjugado del divisor y luego se efectúan las
operaciones indicadas.
Demostración:
a+bi
c+di
(a+bi).(c−di)
= (c+di).(c−di)
El producto del numerador es:
(a+bi).(c-di)= ac + bic – adi - bd𝑖 2
= ac + bic – adi – bd
= (ac+bd)+(bc-ad) i
El producto del denominador:
(c+di).(c-di)= 𝑐 2 + 𝑑 2
Reemplazamos en el dividendo y divisor:
(𝑎𝑐 + 𝑏𝑑) + (𝑏𝑐 − 𝑎𝑑)𝑖
𝑐 2 + 𝑑2
El procedimiento seguido es general.
La división de dos números complejos es otro número complejo tal que:
Su módulo es el cociente de los módulos y su argumento es la diferencia de los argumentos.
rα
rβ
=
r
r′ (α−β)
c)
Entre los números complejos y los vectores del plano podemos observar similitudes y diferencias.
Con respecto a la suma:
 Ambos cumplen las propiedades asociativa y conmutativa.
 Los dos tienen un elemento neutro que es único.
 Tienen un inverso u opuesto
Se resuelven componente a componente.
En la multiplicación:
 Ambos cumplen las propiedades asociativa y conmutativa.
 Los dos tienen un elemento neutro que es único.
 Tienen un inverso u opuesto.
 Son distribuibles con respecto a la suma.
 La multiplicación por un escalar es igual en ambos casos.
En los vectores del plano la división no tiene sentido alguno en cambio en los números complejos sí.
Ambos tiene modulo y argumento.
Actividad 4
Expliquen cómo pueden obtenerse las raíces cuartas de un número complejo en forma gráfica a partir de las raíces cuartas de la
unidad (1=cis0º), usando las transformaciones de homotecia y rotación del plano. Ejemplifiquen usando Geogebra.
El teorema de Moivre nos permite calcular fácilmente la expresión para las raíces de cualquier número complejo. Un número w es
una de las n raíces n-ésimas de un número complejo z, si w= 𝑧1/𝑛 . Del Teorema de Moivre, podemos demostrar que las n raíces de z,
𝑤𝑘 son:
𝑤𝑘 = 𝑧1/𝑛 = {r[cos(θ) + j sin(θ)]}1/𝑛 =
θ+2πk
)+
n
𝑟1/𝑛 {cos (
θ+2πk
)}
n
j sin (
con k = 0,1,2,K,n−1
Estos n valores distintos surgen debido a la posibilidad de obtener un mismo número complejo sumando vueltas enteras (de 2π ) al
argumento.
Para calcular las raíces cuartas de un número complejo a partir de la unidad (1= 1cis 0º) podemos observar que su argumento es 0º y
su modulo es 1 entonces:
K puede tomar valor hasta el (n-1) por lo tanto si la raíz es 4 va a tomar valores 0,1,2 y3
Z=r cis θ
4
4
𝜃+2𝑘𝜋
)
4
4
4
0+2.0𝜋
)
4
= 10 = 1 (cos+isen0)= 1
4
4
0+2.1𝜋
)
4
=1 =1 (cos +isen )=i
4
4
0+2.2𝜋
)
4
=1𝜋 =1 (cos 𝜋 +isen 𝜋)= -1
4
4
0+2.3𝜋
)
4
=1 2 =1 (cos 2 +isen 2 )= -i
√𝑧= √𝑟 cis (
√𝑧=√1 cis (
√𝑧=√1 cis (
√𝑧=√1 cis (
√𝑧=√1 cis (
𝜋
2
3𝜋
𝜋
2
3𝜋
𝜋
2
3𝜋
Las raíces cuartas de la unidad (1=1cis 0º) son, 1,i, -1 y –i.
Actividad 5
¿Cómo podrían aplicar el criterio de Gauss para encontrar las raíces racionales de los siguientes polinomios?
El Teorema de Gauss permite determinar, si existen, raíces racionales de un polinomio con coeficientes enteros, por lo tanto, para
encontrar las raíces racionales de los polinomios dados debemos:
En primer lugar encontrar un factor común para eliminar los coeficientes irracionales.
2
1
T(x)= 𝑥 3 − 𝑥 2 + 𝑥 + 1
5
T(x)=
1
10
2
3
( 10𝑥 − 4𝑥 2 + 5𝑥 + 10)
Luego debemos encontrar todas las raíces posibles, es decir los divisores posibles de los coeficientes que serian:
-10,10,1,-1,2,-2,5,-5,4,-4,
5 1 1
, , .
2 2 5
El teorema fundamental del algebra dice que un polinomio de grado "n tiene "n" raíces reales o complejas por lo tanto el debe tener
3 raíces pero al reemplazar los valores en el polinomio, ninguno confirma que T(x)=0.
1
1
S(x)= 𝑥 4 − 𝑥 3 − 𝑥 2 + 𝑥
2
S(x)= )=
2
1
2
𝑥(𝑥 3 − 𝑥 2 − 2𝑥 + 2)
Las posibles raíces son: 1,-1,2,-2,
Al reemplazar
S(1)=0 es raíz.
S(-1)=-1 no es raíz.
S(2)= 2 no es raíz.
S(-2)= 6 no es raíz.
Solo encontramos una raíz y tendría que haber 2 raíces más.
Podemos concluir que el teorema de Gauss nos permite identificar, si existen, las raíces racionales de un polinomio pero si el
polinomio tiene raíces irracionales, este teorema no las permite hallar.
b)
Expresen los siguientes polinomios reales como producto de polinomios irreducibles en R[x] y en C[x]:
Grafiquen los polinomios usando Geogebra y señalen sus raíces reales.
R( x) =x⁴−6x²−8x+24 no se puede reducir.
Q(x)= x6-x
Q(x)=x6-x5+x4+x3+x2-x5-x4-x3-x2-x
Q(x)=(x4+x3+x2+x+1)(x2-x)
Q(x) )=(x4+x3+x2+x+1)(x-1)x