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5to H nocturno
Liceo departamental de maldonado
Análisis combinatorio
El análisis combinatorio estudia las distintas formas de agrupar u ordenar elementos de un conjunto
y determinar la cantidad de grupos diferentes que podemos formar con los elementos de un
conjunto.
A continuación se describen algunas reglas y procedimientos, así como, se definen algunos
símbolos que se utilizan en el desarrollo de este tema.
Factorial de un número: el factorial de un número natural n mayor que uno (1) es igual al
producto de los n primeros números naturales; el símbolo característico es "!".
Ejemplo 2: n! = 1x2x3x4x...xn
o bien
n! = n(n-1)(n-2)...3.2.1
Ejemplos:
6! = 6x5x4x3x2x1
12!= 12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x1
Además se define: 0! = 1 y 1! = 1.
Combinatoria
La Teoría Combinatoria estudia las agrupaciones que pueden ser formadas cuando se toman todos, o
algunos, de los elementos de un conjunto finito. Los elementos del conjunto pueden ser de cualquier
naturaleza: números, personas, empresas, artículos producidos por una fábrica, etc. La Teoría
Combinatoria estudia especialmente el número de agrupaciones que pueden ser obtenidas bajo
algún modo de composición de los elementos. Para ello, distingue básicamente tres conceptos:
arreglos, permutaciones y combinaciones.
Normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar en si el orden de las
cosas es importante.
Arreglos
Definición: Se llama arreglo, a todo subconjunto ordenado de n elementos elegidos de un conjunto
que contiene m elementos.
La definición establece que dos arreglos son distintos cuando difieren en algún elemento o, si tienen
los mismos, cuando difieren en el orden en que se encuentran.
Arreglos Amn=m!/(m-n)!
(donde m es el número “total” de elementos de y n es el
número de elementos elegidos”)
Ejemplo: De una caja que contiene cuatro bolillas numeradas del 1 al 4 se extraen sucesivamente 2
sin reposición. ¿ Cuántas extracciones diferentes pueden resultar si
se supone que interesa el orden de extracción?
Las diferentes posibilidades son todos los arreglos de 4 elementos tomados de a 2 es decir todos los
pares ordenados posibles: (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3).
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Entonces, pueden resultar A42 = 4!/ (4-2)! = 12 extracciones posibles.
4!= 4x3x2x1=24
y
(4-2)!= 2! = 2x1= 2 entonces A42 =24 / 2 =12
Obsérvese que si de un conjunto de m elementos diferentes se extraen n sucesivamente sin
reposición, e interesa el orden de extracción, se tendrán exactamente Amn extracciones diferentes
posibles.
Permutaciones
Definición: Los arreglos de orden m de m elementos se llaman permutaciones.
Dos permutaciones cualesquiera de m elementos tienen, en consecuencia las mismas componentes;
por lo tanto la única diferencia entre ellas está dada por la ubicación de esos elementos.
El símbolo que expresa el número de permutaciones es Pm.
P m= Amm= m!
Ejemplo 6: ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ordenar, en un estante cinco libros distintos?
Se trata de determinar la cantidad de arreglos de cinco elementos tomados de a cinco, es decir:
P5 = 5x4x3x2x1 = 120 se pueden ordenar de 120 maneras diferentes.
Combinaciones
Definición: Se llama combinación Cmn , a todo subconjunto de n elementos elegidos en un conjunto
de m elementos, tal que cada subconjunto es distinto de otro si y sólo si difieren por lo menos en un
elemento.
Cmn= m!/ (n!. (m-n)!)
Ejemplo: Un hospital cuenta con 10 cirujanos con los cuales hay que formar ternas para realizar
guardias. ¿Cuántas ternas se podrán formar?
m=10 y n=3 tenemos que calcular C103= 10!/(3!(10-3)!
10!=10.9.8.7.6.5.4.3.2.1=3628800
3!.(10-3)!= 3!.7!=3.2.1 . 7.6.5.4.3.2.1=30240
C103= 3628800/30240 entonces C103=120
Se pueden formar 120 ternas distintas.
Para tener en cuenta
a) Dos grupos que difieran por lo menos en un elemento serán considerados distintos tanto en los
arreglos como en las combinaciones. (Esto se expresa diciendo que interesa la naturaleza de los
elementos que conforman los conjuntos).
b) Dos grupos que tengan los mismos elementos pero dados en distinto orden, serán considerados
iguales para las combinaciones pero distintos para los arreglos. (Esto significa que en las
ombinaciones no interesa el orden en que se disponen los elementos, mientras que para los arreglos
sí interesa)
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En la resolución de problemas de análisis combinatorio estas dos observaciones cumplen un papel
preponderante, puesto que nos permitirá dirimir qué fórmula elegir para llegar a la solución
correcta.
El problema generalmente proporciona los datos m y n, quedando por deducir si se trata de Amn o
Cmn. En tal caso se forman dos grupos de n elementos, de igual naturaleza (con los mismos
elementos) pero dispuestos en distinto orden, y según el problema se podrá deducir si los grupos
son iguales o distintos.
Si los grupos son iguales significa que el orden no interesa por lo tanto se elegirá la fórmula de Cmn,
si por el contrario, los grupos resultan distinto significa que el orden si interesa, por lo tanto
aplicaremos la fórmula de Amn.
Ejercicios
Ejercicio 1
¿Cuántos números distintos de tres cifras (sin repetir) se podrán formar con los números 1, 2, 3, 4,
5?
Ejercicio 2
Con las letras de la palabra ESTUDIAR:
1. ¿De cuantas maneras pueden ordenarse sus letras? (con o sin significado).
2. ¿Cuántas empiezan con RST en ese orden?
3. ¿Cuantas terminan en vocal?
Ejercicio 3
Se consideran los dígitos: 1; 2 ; 4 ; 7 ; 8 ; 9
1. ¿Cuántos números de 4 cifras sin repetir pueden formarse?
2. ¿Cuántos de ellos son pares?
3. ¿Cuántos comienzan con las cifras 98 en ese orden?
Ejercicio 4
¿Cuántos códigos de cinco colores (sin repetirlos) puedo formar con azul, verde, rojo, amarillo y
negro?
Ejercicio 5
De un curso de 15 alumnos, ¿Cuántos grupos distintos de 4 alumnos se podrán formar?
Ejercicio 6
En un partido de voleibol mixto, los equipos han acordado que en la cancha deben integrar el
equipo de 6 jugadores, al menos 3 mujeres y al menos un hombre. Si en el plantel hay 7 chicas y 4
varones, ¿De cuantas maneras distintas puede el entrenador formar el equipo?