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COLEGIO INTERNACIONAL SEK
Prof. Álvaro Elizondo Montoya.
TEMA: ECUACIONES CUADRÁTICAS.
Nombre: ___________________Fecha:_______Grupo:
9−
ECUACIONES CUADRÁTICAS.
Denición: Llamadas también ecuaciones cuadráticas son aquellas ecuaciones que presentan la siguiente forma general
ax2 + bx + c = 0; ∀a 6= 0 y a, b, c ∈ R
donde
a, b, c
son llamados coecientes.
Si los coecientes
pleta y si
b
ó
c
a, b y c
son diferentes de cero, la ecuación de segundo grado es llamada com-
o ambos, son iguales a cero, la ecuación es llamada incompleta. Si
a = 0,
la
ecuación se reduce a una ecuación lineal. Toda ecuación de segundo grado presenta dos soluciones o raíces, llamémoslas
x1
y
x2 ,
sin embargo no siempre estas raíces corresponden a números
reales. Estas raíces se pueden obtener mediante el siguiente método.
Método de la fórmula general: De la ecuación ax2 + bx + c = 0 se deduce que:
ax2 + bx + c = 0
Ecuación original con
0
ax2 + bx + c
=
a
a
b
c
x2 + x + = 0
a
a
c
b
x2 + x = −
a
a
2
b
b
c
b2
2
x +2· x+ 2 =− + 2
2a
4a
a 4a
2
2
b
b
b
c
x2 + 2 · x +
= 2−
2a
2a
4a
a
2
b
b2 − 4ac
x+
=
2a
4a2
r
b
b2 − 4ac
x+
=±
2
2a
4a
√
b
b2 − 4ac
x=− ±
2a √
2a
2
−b ± b − 4ac
x=
2a
1
a 6= 0.
Divido ambos miembros entre a.
Simplico.
Reacomodo.
Sumo
b2
4a2
en ambos miembros.
Reacomodo.
Simplico.
Aplico la raíz cuadrada.
Despejo
x.
Simplico.
En resumen, las soluciones de una ecuación cuadrática del tipo
√
ax2 + bx + c = 0, ∀a 6= 0
son:
b2 − 4ac
√2a
−b − b2 − 4ac
x2 =
2a
x1 =
Se dene la cantidad subradical:
b2 − 4ac
−b +
como el discriminante (invariante característico) de
la ecuación cuadrática y se denota por el símbolo
∆,
luego:
∆ = b2 − 4ac
Discusión sobre las raíces de una ecuación de segundo grado:
Las raíces
x1
y
x2
(∆).
valor del discriminante
1.
ax2 + bx + c = 0; ∀a 6= 0
de una ecuación de segundo grado:
Primer caso:
Si
Asumiendo que
∆>0
a ∈ Q, b ∈ Q
entonces las raíces
y
c ∈ Q,
dependen del
se tiene:
x1
y
x2
son reales y diferentes. Ahora bien,
x1
y
x2
son racionales. Y se puede hallar la
en este caso se presentan dos situaciones:
a)
Si
∆
es un cuadrado perfecto, las raíces
solución factorizando por inspección o bien aplicando la fórmula general.
b)
2.
Si
∆
no es un cuadrado perfecto, las raíces
x1
Segundo caso: Si ∆ = 0 entonces las raíces x1
y
y
x2
x2
son irracionales conjugadas.
son reales e iguales (raíz de multi-
plicidad 2), donde:
x1 = x2 =
−b
2a
En este caso la ecuación puede ser resuelta factorizando por el método del trinomio cuadrado perfecto o bien aplicando la fórmula general.
3.
Tercer caso:
Si
∆ < 0,
entonces la ecuación no tiene raíces reales, tiene dos raíces
complejas para cuya obtención se requieren conocimientos de cursos superiores, por ello
diremos que el conjunto solución de la ecuación (en este caso) es
S=∅
ó
S = { },
en el
entendido de que la ecuación no tiene soluciones reales.
Propiedades de las raíces de una ecuación de segundo grado.Sea la ecuación de segundo
grado:
1.
ax2 + bx + c = 0; ∀a 6= 0
y sus raíces
x1
y
x2
tendremos las siguientes propiedades:
Suma de las raíces:
x1 + x2 =
2
−b
a
2.
Producto de las raíces:
x 1 · x2 =
3.
Diferencia de las raíces:
√
|x1 − x2 | =
4.
√
b2 − 4ac
∆
=
a
a
Suma de los cuadrados de las raíces:
x21 + x22 =
5.
c
a
b2 − 4ac
a2
Identidad de Legendre aplicada a las raíces:
(x1 + x2 )2 − (x1 − x2 )2 = 4x1 · x2
Construyendo una ecuación de segundo grado conociendo sus raíces.Conociendo las
dos raíces
x1
x2
y
de una ecuación de segundo grado, ésta se construye empleando la suma y el
producto de dichas raíces. Luego la ecuación que dio origen a
x1
y
x2
es:
x2 − (x1 + x2 )x + (x1 · x2 ) = 0
llamada también: forma canónica de la ecuación de segundo grado.
Propiedades adicionales de las raíces:
1. La ecuación de segundo grado:
x1 = −x2 )
si
si
si
si
decir
ax2 + bx + c = 0; ∀a 6= 0
tiene raíces recíprocas
(es
decir
ax2 + bx + c = 0; ∀a 6= 0
presenta una raíz nula
(es
decir
c = 0.
4. La ecuación de segundo grado:
x = 1)
(es
a = c.
3. La ecuación de segundo grado:
x = 0)
tiene raíces simétricas
b = 0.
2. La ecuación de segundo grado:
1
x1 = )
x2
ax2 + bx + c = 0; ∀a 6= 0
ax2 + bx + c = 0; ∀a 6= 0
presenta una raíz unidad (es decir
a + b + c = 0.
5. Las ecuaciones
a
b
c
= =
m
n
p
ax2 + bx + c = 0; ∀a 6= 0
siempre que
y
mx2 + nx + p = 0; ∀m 6= 0
m 6= 0; n 6= 0 y p 6= 0.
3
son equivalentes si
6. Las ecuaciones
común si
ax2 + bx + c = 0; ∀a 6= 0
y
mx2 + nx + p = 0; ∀m 6= 0
admiten una raíz
(a · n − m · b)(b · p − n · c) = (a · p − m · c)2 .
EJERCICIOS: Resuelva las ecuaciones, indique el conjunto solución en cada una de ellas.
1.
2x2 = 242
14.
(x + 3)2 = 12
2.
1
1 2
x =
3
27
15.
x2 + 9x + 18 = 0
3.
5x2 + 10x = 0
16.
x2 − 3x + 2 = 0
4.
x + 7x2 = −2x2 + 4x
17.
x2 − 10x + 6 = 0
5.
√ 2
5x − 5x = 0
18.
2
1
+
=3
x−1 x+1
19.
1
3
−
=5
b−2 b+2
20.
2y + 10
y+5
=
y+8
y+2
21.
10t
3
5t
=
+
2
5t − 2
2 − 5t 25t − 4
6.
5x2 − 3x + 1 = 0
2
7.
4x − 4x + 1 = 0
8.
7x2 − 10x + 3 = x2 + 4x − 1
9.
6x2 − 14x − 4 = 0
10.
x(3x − 1) + 2x2 − 3x − 1 = (x + 1)2
11.
(2x − 3)(2x + 3) = −10x − 18
12.
(x − 5)2 = 9
13.
(2n − 3)2 = 81
22.
23.
24.
k 2 3k
3
+
=
2
5
10
√
n2 − 6n = −1
√
z2
5z
+
=1
4
2
PROBLEMAS: Resuelva los siguientes problemas:
1. Halle el área de un triángulo rectángulo cuyos lados miden:
2. Los lados opuestos de un cuadrado aumentan en
se obtiene un rectángulo cuya área es
22
2
y
7
2x; 2x + 2
y
2x + 4.
unidades respectivamente, con esto,
más que el doble del área del rectángulo original.
¾Cuánto mide la diagonal del cuadrado?
3. ¾Cuál es el polígono regular en el cuál se pueden trazar un total de
54
diagonales? R/
Dodecágono
4. Si al cuadrado de un número se agrega el quíntuplo de dicho número, se obtiene
el número. R/-9 ó 4
4
36. Hállese
5. Si se resta cierto número de su cuadrado, el resultado es
6. Hallar dos números que tengan
65
7. Hallar dos números que tengan
432
8. La diferencia entre dos números es
±18
y
por suma y
1050
por producto y
14
30.
Hállese el número.R/-5 ó 6
por producto. R/30 y 35.
3
por cociente. R/
y su producto es
576.
±36
y
±12
¾Cuáles son los números? R/
±32
9. Hallar dos números que den
7
por suma, y tales que la suma sus cubos sea
133.
R/ 2 y 5
10. Hallar cuatro números consecutivos, tales que si los dos primeros se toman como dígitos
de un número, dicho número resulta igual al producto de los otros dos.
11. Se ha comprado tela por un valor de
$1225;
1
metros comprados. Hállese el precio de
12. Un hombre vende un reloj en
$21,
el precio del metro es igual al número de
metro.
y pierde un tanto % igual al costo del reloj. ¾Cuánto
cuesta el reloj?
13. Un hacendado ha comprado cierto número de ovejas por
por la misma cantidad, habrían costado
1, 20
$216.
menos cada una. ¾Cuántas compró?
14. Un hombre compró cierto número de costales de harina en
es
2
Si hubiera comprado 2 más,
$126.
El precio de cada costal
sétimos del número de costales. ¾Cuántos costales ha comprado y a qué precio?
15. Un campo rectangular es tal que su longitud es el triple de la anchura. Si se aumenta la
longitud en
20 m
y la anchura en
8 m,
el área resulta triplicada. ¾Cuál es su supercie?
20 m
16. La longitud de un campo rectangular es de
siones, sabiendo que la supercie es de
17. El área de un campo rectangular es de
mayor que el ancho. Hállense sus dimen-
2400 m2 .
216m2 ,
y su perímetro es de
60 m.
Calcúlense sus
dimensiones.
18. La circunferencia de una rueda delantera de un carruaje tiene
rueda trasera. Después de recorridos
1200
4
pies menos que la de una
pies, la rueda delantera ha dado
25
vueltas más
que la trasera. Hállese la circunferencia de cada rueda.
19. La suma de los catetos de un triángulo rectángulo es
Hállese la longitud de los catetos.
5
47 m
y la hipotenusa mide
37 m.
20. La diferencia entre los catetos de un triángulo rectángulo es
40 m.
8 m,
y la hipotenusa mide
Calcúlese la longitud de los catetos.
21. La suma de los cuadrados de
2
números, más el quíntuplo de su producto, es
suma de sus cuadrados, menos su producto, es
22. Un caminante ha recorrido
durado
6
105 km.
y la
Hállense los dos números.
Si hubiera andado
2 km
más por hora, su viaje habría
horas menos. ¾Cuántos kilómetros recorrió por hora?
23. Se ha repartido la cantidad de
recibido
67.
445;
$7
$120
entre cierto número de personas. Si cada una hubiera
menos, habría recibido un número de pesos igual al del número de las personas
que había. Hállese el número de personas.
24. Las edades de dos niños son tales que el cociente del cuadrado de la del primero entre la
del segundo es
3, 5
28,
y que el cuadrado de la del segundo, dividido entre la del primero, da
por cociente. Hallar las dos edades.
25. Hallar dos números que sean entre sí como
es
4 es a 7, sabiendo que la suma de sus cuadrados
6500.
26. Si del cuadrado de mi edad se resta el producto de dicha edad por
12, se obtiene 108. ¾Cuál
es mi edad?
27. Hallar dos números que den
diferencia entre los dos sea
28. Un joyero vende un reloj en
320
por producto, y tales que el producto del mayor por la
704.
$31, 25,
ganando un tanto % igual a la cantidad de dólares del
precio de compra. ¾Cuánto le había costado?
29. ¾Cuál es el número que sumado con su raíz cuadrada da por resultado
1640?
30. Un hacendado ha comprado cierto número de bueyes y carneros. ¾Cuántos ha comprado, sabiendo que hay
50
carneros más que bueyes, y que la suma de los dos números,
multiplicada por su diferencia, da
31. Ganando
$112
5500?
más, habría yo ganado el cuadrado de mi haber; ganando
$112
menos,
habría ganado, el doble de dicho haber. ¾Cuánto tenía y cuánto he ganado?
32. Un general dispone sus soldados en hileras y forma con ellas un cuadrado. Después de un
primer arreglo, le sobran
320
soldados; procura entonces poner
línea, pero, para completar el cuadrado, le faltan
6
253.
3
soldados más en cada
¾Cuántos soldados tiene?
33. Hallar
2
números tales que su suma, su diferencia y el producto de sus cuadrados, sean
números proporcionales a
17, 9
34. Dos capitales, cuya suma es
y
2704.
$60000,
reditúan, el primero
biendo que la suma de los tantos porcientos es
10,
$1600
y el segundo
$1200.
Sa-
hállense los capitales y los tantos por
cientos.
35. Hallar tres números consecutivos cuyo producto sea igual a su suma multiplicada por
36. Dos llaves llenan un depósito en
6
horas. ¾Cuánto tiempo necesitaría cada una de ellas,
separadamente, para llenarlo, sabiendo que la primera tarda
37. Dos capitales dieren en
$5000,
8.
5
horas más que la segunda?
y el tanto % del capital mayor excede en
menor. Sabiendo que el rédito anual del primero es
$1000
y el del segundo
1
al del capital
$600,
hallar los
dos capitales y los tantos por ciento.
38. Un tanque puede ser llenado por
sola en
2 llaves juntas en 3 34
horas. La llave mayor podría llenarlo
4 horas menos que la otra. ¾En cuántas horas lo llenaría cada una, separadamente?
39. En un triángulo rectángulo, se conocen el cateto
Calcúlense la hipotenusa
a
y el otro cateto
y la altura
h
relativa a la hipotenusa.
c.
40. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide
Calcúlese la altura relativa a la hipotenusa.
7
b
10 m, y los catetos 6 y 8 m, respectivamente.
EJERCICIOS ADICIONALES
Instrucciones: Determine el conjunto solución de las siguientes ecuaciones cuadráticas.
23.
x2 = −155x
24.
6(x2 − 5) − x = −30
4.
−3x2 = 0
√
3 3 16 2
x =0
75
5 2
x =0
123
√
− 15x2 = 0
5.
x2 = 384
27.
6.
2x2 − 98 = 0
1.
2.
3.
25.
26.
28.
2
10.
5
x
+ =0
4
4
150
=0
x2 −
4
4 2
9
x −
=0
5
625
√
5x2 = 125
11.
√
3
16 = 4x2
12.
3x2 = 6075
7.
8.
9.
13.
14.
29.
30.
x2 = −x
31.
x2 + 144x = 0
32.
33.
34.
8 2 256
x −
=0
5
10
9
(x − 5)2 =
1024
9 2
x + 16x = 0
5
16
x − x2 = 0
5
−9 2
x + 13x = 0
7
4
x + 16x2 = 0
15
7
5 2
x =2 x
7
8
−3 2
x − 11x = 0
5
x2 − 5x
= 2x
4
5x2 − 3x
= 6x
5
35.
(x − 14)(x − 215) = 0
36.
(x − 1)(2x + 1) = 0
15.
(x + 7)2 = 36
37.
10(12x − 4)(5x + 18) = 0
16.
(2n − 3)2 = 34
38.
5
)=0
(7x + 5 21 )(−3x + 4 12
17.
(3x − 2)2 =
39.
18.
(x − 6)2 = 24
19.
−2(x − 1)2 + 5 = −8
20.
x2 − 5x = 0
21.
x2 +
22.
12x2 − 8x = 0
(9x + 5)(12x + 48) = 0
−33 5
11
6
7
x−
x+
=0
14 4
23
5
8
25x
+ 112 (−9x + 18) = 0
40
−2
1 x
−4
x+
+1 =0
5
4
5
11
2
12 − 3x
x−
=0
5
289
225
65
x=0
4
40.
41.
42.
43.
8
44.
45.
46.
47.
48.
10 2
3x + 5x
x +x =0
51
1
3
2
x+
x + x =0
8
5
2
x
(5x − 1)
−8 =0
2
5
2
(5x + 12) x + x = 0
2
2
(12 − 4x2 ) (15 − x2 )
=0
4x + 15
2
−5 2
x
12
58.
3x2 + 2 = −4x
59.
x2 x
1
− =
3
4
24
60.
x2 − 4x = 12
61.
3x2 + 11x + 10 = 0
62.
4x2 − 10x − 14 = 0
63.
2x2 + 7x − 4 = 0
64.
5x2 + 11x + 6 = 0
65.
6x2 − 7x + 2 = 0
66.
2x2 + 11x + 15 = 0
67.
25x2 − 20x + 4 = 0
68.
x2 −
m2 +
49.
(−9x + 15x)
+ 2x
=0
1
2 (1 − 12x2 )
+
x
4
50.
3x2 = 1 − x
51.
2x2 + 2 = 5x
52.
x2 + 5x − 6 = 0
53.
2x2 − 3x + 5 = 0
69.
54.
3x2 − 10x + 3 = 0
70.
55.
5x2 = 4 − 4x
71.
56.
x2 + 5 = −2x
72.
57.
4x2 = 8x − 5
73.
9
√
√
6x + 1 = 0
√
3m − 2 = 0
√
√
2x2 − 2 5x = 8
x2 − 3x =
√
√
7
√
√
27 − 2 7x = 3x2
√
√
( 3 − 1)x2 + (4 − 2 3)x − 4 = 0
COLEGIO INTERNACIONAL SEK
Prof. Álvaro Elizondo Montoya.
TEMA: PRÁCTICA DE ECUACIONES CUADRÁTICAS.
Nombre: ___________________Fecha:_______Grupo:
9−
Instrucciones: Resuelva las siguientes ecuaciones, verique el conjunto solución indicado.
1)(5x − 3)2 = (3 − 5x)2 + (1 − 4x)2
1)S=
2
2)(2x − 1) = (−x − 1)(x + 1) + 9
3)(2x − 1)2 = (3 − 4x)2 + (x + 1)(5x − 5)
4)12x2 − 13x + 3 = (x + 3)2 + (1 − 5x)(x + 5)
5)(4x + 2)2 = (5 − 3x)2 + (3 − 3x)(x − 5)
6)(4x − 4)2 = 5x2 + (4 − 5x)2 − 5x
7)(5x − 2)2 = (x + 2)2 + x(4x + 5)
8)9x2 = (x + 4)2 − 10
9)(3 − 5x)2 = (5x − 2)2 + 12x + 12
10)(−2x − 2)(x + 4) = (−5x − 5)2
11)(−3x − 1)(x + 2) = (x − 5)(x + 4) + (x + 3)(2x + 2)
12)(x − 5)2 = −6x2 + (−5x − 2)2 + 11x − 4
13)(−2x − 5)2 = (−3x − 3)2
14)12x2 − 6x − 6 = −4x2 + 20x − 15
15)(−3x − 1)2 = −10x2 + (−2x − 3)2 − 4x
16)(3x + 3)2 = 9 − 4(x − 2)x
17)16x + 12 = 4(x − 5)x + (x + 4)(5x + 4)
18)(5x − 2)2 = (x − 2)(2x − 2) − 12x
19)3x2 + 13x − 10 = (−3x − 5)2 + (2 − 4x)(x − 3)
20)(x + 5)2 = 4x2 + 25x + (x + 4)(x + 5) + 25
21)5x2 + 7x + 2 = −3x2 − 14x + (4 − 3x)(x + 2) − 8
22)(−3x − 1)(x − 5) = −24x2 − 32x − 8
23)(2x + 3)2 = −25x2 + (−x − 2)2 + 25
24)(−2x − 4)(x − 5) = (2x − 1)x − x − 1
25)8x − 10x2 = 10x2 + 17x − 20
10
1
4
2)S= −1, 57
3 3)S= 17
,1
11
4)S= −1, 16
5)S= −3, 51
13 6)S= 0, 14
7)S= 0, 29
20
8)S= − 21 , 32
7
9)S= − 22
10)S= − 11
, −1
9
11)S= −3, 32
12)S= − 25
,1
9 2
13)S= − 58 , 2
14)S= 12 , 98
15)S= − 32 , 45
10 16)S= − 13
,0
2
17)S= 3
2
18)S= 0, 23
19)S= − 29
, −1
2
20)S={−5, −1}
1
21)S= −2, − 11
22)S= − 13
, − 13
7
23)S= −1, 57
24)S= − 23 , 72
25)S= − 45 , 45
26) − 10x2 − 16x + 8 = −4x2 − (x − 1)x − 8x + 12
27)(3 − 5x)x = 6x2 − 13x + 5
28)9x2 = (5x − 2)2 + (4 − x)x
29)(x − 5)(x + 2) = 5(x − 5) + (x + 3)(5x − 3)
30)16x2 + 28x + 10 = (−3x − 1)2 + (x + 3)(2x + 3)
31)25 = x2 + (x − 5)2
32) − 9x2 − 3x + 2 = 4x2 + (2 − 4x)(x + 1)
33)20x2 + 23x + 6 = −5x2 − 2x
34)9x2 = (4x − 4)2 + (x − 2)(4x + 5)
35)(x − 4)(5x + 4) = (4x − 1)2 + (x − 4)(x + 5)
36)(2x + 4)2 = 9x2 + (2x − 2)x + 3x − 6
37)(4 − x)(x − 2) = −20x2 + 4(x − 1)x − 4x
38)(4 − 4x)2 = (2 − 5x)2
39)(−5x − 4)(x + 4) = −3x2 − 11x − 1
40)25x2 = 29x2 + 9x + 5
41)25x2 = 16x2 + (4 − 2x)2
42)(−4x − 1)2 = 10x2 − 7x + 1
43)(3x − 2)2 = (−2x − 2)2 + (x − 4)2
44)(−x − 4)(x − 4) = 5x2 + 3x + (5x − 4)2
45)(−3x − 2)2 = −17x2 + 19x + 23
46)(1 − 2x)(x − 4) = (x − 4)(5x − 1) − (x − 4)x
47)4 = (3x − 2)2 − 2x(x + 4)
48)(2x + 4)2 = −35x2 + 6x + 16
49)x2 − x = 3x2 + 2x − 2
50)(−2x − 5)2 = −5x2 + (−5x − 2)2 + 5
51)20x2 + 36x + 16 = (x − 3)2 + (−5x − 4)(x + 2)
52)10x2 − 14x + 4 = (−4x − 3)2 + (−2x − 4)2
53) − 2x2 − x + 6 = (3 − 5x)(x − 3) + (x − 4)(2x + 4)
54)(2 − 3x)2 = (x + 5)2 + (4x + 5)2
55)25x2 = (−4x − 3)2 + 5x − 10
56)(3 − 2x)(x + 1) = (3x − 1)2 + 1
57)(2x − 5)2 = 20x2 + (3x + 3)x + 7x − 3
11
26)S= −1, − 54
5 27)S= 11
,1
2 2
28)S= 5 , 3
29)S={−6, 1}
,
0
30)S= − 13
5
31)S={0, 5}
32)S= − 91 , 0
33)S= − 53 , − 52
2 34)S= 11
,3
35)S= −1, 14
36)S= −1, 22
7
37)S= − 43 , 52
38)S= −2, 23
39)S= −5, − 23
40)S= − 54 , −1
41)S= −4, 54
42)S= − 25 , 0
43)S={−1, 4}
37 44)S= 0, 31
45)S= − 19
,
1
26
1 46)S= 3 , 4
47)S= 0, 20
7
48)S= − 10
,
0
39
49)S= −2, 12
50)S={−1, 1}
√ 1 √
1
51)S= 12
−14 − 106 , 12
106 − 14
√ 1 √
1
52)S= 10
−27 − 519 , 10
519 − 27
√ √ 53)S= 12 15 − 101 , 21 15 + 101
√ √
54)S= 18 −31 − 593 , 18
593 − 31
√ 1
√ 1
55)S= 18
29 − 805 , 18
29 + 805
√ 1
√ 1
56)S= 22
7 − 93 , 22
7 + 93
√ 1 √
1
57)S= 19
−15 − 757 , 19
757 − 15
58)3x2 + 7x − 6 = −9x2 − 3x + (2x − 5)2 + 6
58)S=
1
59) − x(x + 4) = 15x2 + (−2x − 5)x − 9x − 6
59)S=
1
60)S=
1
61)S=
1
62)S=
1
63)S=
1
64)S=
2
65)S=
1
66)S=
1
67)S=
1
68)S=
1
69)S=
1
70)S=
1
71)S=
1
2
2
60)(5x − 2) = (3x + 3) + (3x + 5)
2
2
2
61)16x = (5x − 1) + (x − 3)x
62)5x2 − 2x = (2x − 1)2 − 3x(x + 5)
2
63)(3x − 1) = (−4x − 4)(x − 3) + (x + 1)(3x − 4)
2
64)4(x − 5)x = −2x + 3(x + 5)x + 5x + 12
65)(−3x − 1)(x + 1) = (−5x − 4)(x + 4) − 3x(x + 5)
2
66) − 3x = (5x + 5) + (5 − 5x)(x − 2)
67)(5 − 2x)2 = −10x2 + 10x + (−4x − 4)(x − 2) + 20
2
68)5 − 5x = (x − 5) + (1 − 5x)(x − 5)
69) − 3x2 − 5x − 2 = −10x2 + 16x + (−4x − 1)(x − 1) + 8
2
2
70)4 − 25x = 16x − 13x − 9
2
71) − 10x − 16x − 6 = 3x + (x + 5)(3x + 4) − 3
12
8
14
7
20
8
20
3
2
10
18
8
11
82
13
√ √
−15 − 521 , 18
521 − 15
√ 1
√ 5 − 109 , 14
5 + 109
√
√
34 − 1366 , 17 34 + 1366
√ 1
√ 13 − 129 , 20
13 + 129
√ √
−17 − 305 , 18
305 − 17
√ 1
√ 13 − 449 , 20
13 + 449
√ √ 10 − 109 , 32 10 + 109
√ √
−7 − 37 , 12
37 − 7
√ 1 √
214 − 17
−17 − 214 , 10
√ 1
√ 17 − 7 7 , 18
17 + 7 7
√ √ 21 − 681 , 81 21 + 681
√ 1
√ 12 − 265 , 11
12 + 265
√
√
1
13 − 2301 , 82
13 + 2301
√ 1 √
62 − 19
−19 − 62 , 13