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La multiplicación
con líneas: ¡Una forma
divertida de multiplicar!
Aarón Pérez-Benítez
Rosa Elena Arroyo-Carmona, Rosa María Aguilar Garduño y Enrique González-Vergara
Introducción
La multiplicación es una operación aritmética
de uso cotidiano que se aprende en la educación elemental; sin embargo, de acuerdo a
una amplia gamma de estudios, su enseñanza y su aprendizaje conlleva más dificultades
teóricas y prácticas de las que uno podría
imaginar (Fernández, 2007; Harel, 1994). Así,
desde la definición más común de multiplicación, que dicho sea de paso es la que yo
aprendí: “La multiplicación es una suma abreviada”, ya presenta dificultades. Por ejemplo,
en <Wikipedia, la enciclopedia libre> (un portal que se ha popularizado en todo el mundo
y que contiene información bastante confiable) se define a la multiplicación como (Multiplicacion, 2009):
“Multiplicar dos cantidades consiste en
sumar reiteradamente la primera, tantas
veces como indica la segunda.
Así, 4 × 3 = 4 + 4 + 4”.
Pero al carecer de punto de referencia
cabe preguntarse ¿Cuál es la primera cantidad y cuál es la segunda?
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Investigación y Enseñanza
De izquierda a derecha, que es el sentido
usual de la lectura, la primera cantidad es el
“4” y la segunda es el “3”; por lo que según
esa definición, la suma 4 + 4 + 4 es correcta.
Sin embargo, el significado del símbolo aspa,
“×”, es “veces” y la expresión 4 × 3 = 4 + 4 + 4
debe leerse como:
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“Cuatro veces tres es igual a cuatro
más cuatro más cuatro”, lo cual es
obviamente incorrecto porque cuatro
veces tres es: 3 + 3 + 3 + 3
Con esta aclaración la igualdad debe expresarse como:
“4 × 3 = 3 + 3 + 3 + 3”
Si bien el resultado en ambos casos es doce,
pues la multiplicación, al igual que la suma, es
conmutativa, a un maestro no le gustaría que
si a un grupo de doce estudiantes les pide que
formen cuatro equipos de tres personas para
hacer un trabajo, a ellos les hubiera dado igual
hacer tres equipos de cuatro.
Aunque este asunto parece ser trivial, hay
que recordar que un aspecto muy importante
en la solución de problemas es pasar del lenguaje cotidiano al lenguaje matemático y viceversa. Y en ese sentido, la interpretación de las
fórmulas y ecuaciones debe ser precisa, pues
en la ciencia deben evitarse ambigüedades.
“…la interpretación de las fórmulas y
ecuaciones debe ser precisa, pues en la
ciencia deben evitarse ambigüedades.”
Ese problema proveniente de la definición
de la multiplicación no se presenta comúnmente en el algebra, pues la expresión algebraica “4a” (en donde “4” es el coeficiente y
“a” es una letra o literal) indica que la “a” debe
escribirse cuatro veces como sumando:
4a = a + a + a +a
En cambio la opción incorrecta: ““a” veces
cuatro”, no puede escribirse con exactitud
mientras no conozcamos el valor de “a”.1
Si a ese tipo de errores de interpretación le
agregamos la dificultad que tienen los alumnos
para memorizar las tablas de multiplicación o
su dependencia de la calculadora u otros aparatos que les sirven para realizar operaciones aritméticas sencillas, entonces podemos entender
porqué se les dificultan tanto las matemáticas.
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Así que debemos buscar y aplicar técnicas pedagógicas que ayuden a los niños a lograr un aprendizaje significativo
(que tenga sentido) y de larga duración
(aprendizaje de larga vida). Por esa razón,
en este artículo presentamos una técnica
de multiplicación que no requiere saber o
recordar las tablas de multiplicación, solamente sumar.
“…una técnica de multiplicación
que no requiere saber o recordar
las tablas de multiplicación,
solamente sumar.”
Aunque el método deja de ser práctico con
dígitos de valor mayor a cuatro porque hay
que trazar muchas líneas (de 5 a 9), no deja de
ser una forma muy interesante de multiplicar.
Multiplicando con líneas
a) El origen del método.
En la India se han inventado técnicas de
multiplicación muy interesantes desde
hace varios siglos, tales como la Nikhilam, la
Navasesh y la Urdhva Tiryaka (Jhunjhunwala, 1993); muchas de ellas descritas en forma de prosa o de versos cortos llamadas
“sutras” que permiten memorizarlas más
fácilmente (Katz, 2007). El método de multiplicación gráfico que se presenta en este
artículo también proviene de la India; específicamente del “Vedic Mathematics” o “Conocimiento matemático” (The Vedic maths,
2008) y no requiere de saber o de recordar
las tablas de multiplicar.
Esta técnica se está popularizando como
una curiosidad en video a través de sitos
de internet tales como YouTube y Metacafe (YouTube, 2008; Metacafe, 2008). Así, el
objetivo de este artículo es completar la explicación proporcionada en esos sitios y sugerir su uso en la educación primaria que se
imparte en nuestro país.
“...se sugiere el uso de este
método en la educación primaria
de nuestro país...“
Investigación y Enseñanza
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b) El procedimiento para multiplicar con
líneas.
Primer ejemplo: 21 × 23 = 483
Supongamos que deseamos multiplicar 21 ×
23 (cuyo resultado es 483) y denominamos al
21 como multiplicando o primer factor, al 23
como multiplicador o segundo factor y al 483
como producto o resultado:
1. Para el primer factor (el 21) se trazan líneas
horizontales (en azul en la figura 1a), dos y
una, respectivamente, para las decenas (líneas
de arriba) y las unidades (línea de abajo).
2. Para el segundo factor (el 23) se trazan cinco líneas verticales (en rojo en la misma figura),
dos para las decenas (líneas de la izquierda) y
tres para las unidades (líneas de la derecha).
3. Se cuentan los puntos de intersección de las
líneas en cada zona y se suman diagonalmente
siguiendo la flecha punteada, que tiene una inclinación de 45° con respecto a la horizontal.
4. De derecha a izquierda, el primer número
corresponderá a las unidades, el segundo a las
decenas y el tercero a las centenas (figura 1b).
Segundo ejemplo: 40 × 12 = 480
5. En los casos en los que una o ambas cantidades contengan un cero, se traza una línea punteada y el número de intersecciones se considera cero (Figura 1c). El resto del procedimiento es
igual a como se mencionó en los pasos 1-4.
Tercer ejemplo: 33 × 22 = 726
6. En los casos en los que la suma de las intersecciones supere un decimal, el nuevo
decimal se sumará al orden de magnitud siguiente; es decir, a las decenas o a las centenas, etc., según corresponda (Figura 1d). Por
ejemplo, de las 12 decenas de la figura 1d
se usará su equivalente: 1 centena y 2 decenas. Las decenas se mantienen y la centena
se suma a las 6 centenas del resultado inicial,
para dar un total de 7 centenas.
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Investigación y Enseñanza
Figura 1. Procedimiento para la multiplicación de
dos cantidades mediante líneas. En a, c y d se ejemplifican tres casos diferentes.
“El método es general y vale para todo
tipo de multiplicaciones o arreglos…“
c) Validez del método.
El método es general y vale para todo tipo
de multiplicaciones o arreglos:
1. Arreglos cuadrados:
Son multiplicaciones en los que el multiplicando y el multiplicador tienen el mismo
número de decimales; es decir, son multiplicaciones de un decimal por un decimal, dos
decimales por dos decimales, etc., lo cual se
traduce, en términos de arreglos en:
1 renglón y 1 columna (figura 2a), 2 renglones
y 2 columnas, etc. (figuras 2b-d).
2. Arreglos rectangulares verticales:
Son multiplicaciones en las que el número de
decimales del multiplicando es mayor que el
número de decimales del multiplicador. Por
ejemplo: 2 renglones por 1 columna (figura 2e),
3 renglones por 2 columnas, etc. (figura 2f-h);
3. Arreglos rectangulares horizontales o apaisados:
Son multiplicaciones en las que el número de
decimales del multiplicando es menor que el
número de decimales del multiplicador. Por
ejemplo: 1 renglón por 2 columnas (figura 2i),
2 renglones por 3 columnas, etc. (figura 2j-k).
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“…números cuadrados se pueden
describir como aquella serie de números
formados por la suma de números
impares sucesivos…”
En términos de sucesiones, los números cuadrados se pueden describir como aquella serie
de números formados por la suma de números
impares sucesivos (Koestler, 2007); es decir:
1 <12>;
1+3 = 4 <22>;
1+3+5 = 9 <32>;
1+3+5+7 = 16 <42>; etc.
b) Para arreglos rectangulares verticales y apaisados: 1:1; 1:2:2:1; 1:2:3:3:2:1: 1:2:3:4:4:3:2:1,
etc., que sumados dan 2; 6; 12; 20, etc.
Figura 2. Arreglos cuadrados (a), rectangulares verticales (b) y rectangulares apaisados (c), en los que
pueden presentarse las multiplicaciones con líneas,
dependiendo del número de dígitos que constituyan
al multiplicando y al multiplicador.
“..arreglos de la multiplicación con líneas
…pueden usarse a manera de introducción
al tema de “series matemáticas”…”
Aplicación de la multiplicación con líneas para la generación de series matemáticas: La serie de números cuadrados y la serie de números oblongos2
Los arreglos de la multiplicación con líneas
de la figura 2 pueden usarse a manera de introducción al tema de “series matemáticas” a
nivel de secundaria.
Analizando esos arreglos puede uno darse
cuenta que el número de zonas de intersección es:
a) Para arreglos cuadrados: 1; 1:2:1; 1:2:3:2:1;
1:2:3:4:3:2:1, etc. (Figura 2a-d), que sumados
dan 1, 4, 9, 16, etc. A esta serie de números
se les conoce como números cuadrados,
NC, y son todos aquellos que pueden escribirse como NC = n2 = 12, 22, 32, 42, etc. (Alsina,
2004b; James, 2007).
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A esta serie de números se les conoce
como números oblongos, NO, y se pueden
describir como el producto de dos números
consecutivos; es decir: NO = (n)(n+1) = 1×2
= 2; 2×3 = 6; 3×4 = 12; etc. (Orton, 1990) o
como la suma de números pares consecutivos (Camargo, 2004):
2+4 = 6;
2+4+6 = 12;
2+4+6+8 = 20, etc.
Nótese que de estas dos definiciones la
primera es más exacta pues incluye al primer
número de la serie, el 2; en tanto que para que
se cumpla la segunda tenemos que considerar
arbitrariamente al cero como un número par.
De manera que 0+2 = 2, completa la serie.
¿Cómo funciona este método gráfico
de multiplicación?
Cuarto ejemplo: 34 × 21 = 714
En la figura 3a-c se ilustra la forma en que
debe de realizarse la multiplicación de acuerdo a la aplicación correcta de la definición.
Cuatro veces 21 produce 84 (Figura 3a) y tres
veces 21 produce 63 (Figura 3b).
Para efectos de la multiplicación, la segunda cantidad se desplaza un lugar a la izquierda
(con lo cual las tres unidades se transforman
en decenas y las seis decenas en centenas) y
se suma a la primera para dar 714 (Figura 3c).
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Ahora bien, efectuando la misma multiplicación en el sentido incorrecto de la definición de la multiplicación, se produce 34 y 68,
que sumados dan también 78 (Figura 3d-f ).
Figura 4. Dando sentido a la multiplicación con líneas. Las cantidades obtenidas a partir de las intersecciones del método gráfico concuerdan con los
sumandos de la multiplicación tradicional.
Figura 3. Multiplicación de 34 × 21 en la versión correcta de la definición (a-c) e incorrecta (d-f).
Las cantidades que aparecen en la figura
3d-f se suman dándoles la interpretación que
se describe en la figura 4a, de tal manera que
se pueden aplicar la propiedad conmutativa
de la suma para dar 4b.
Esos dos sumandos, el 680 y el 34, se pueden descomponer en cuatro sumandos; 600
+ 80 + 30 + 4 (Figura 4e), y volver a reagruparse convenientemente en dos sumandos,
según se muestra en las figuras 4c y 4d.
“…encontrar correspondencia entre
la multiplicación con líneas y la
multiplicación tradicional
es relativamente largo…”
Obsérvese que los sumandos 63 y 84 son
los que aparecen como resultado de las intersecciones de la multiplicación con líneas
(Figura 4f ). Nótese además que el procedimiento que hemos seguido para encontrar
correspondencia entre la multiplicación con
líneas y la multiplicación tradicional es relativamente largo, resulta mucho más corto si
hubiéramos trabajado con los sumando obtenidos a partir de la definición correcta de
la multiplicación (Figura 3c).
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Investigación y Enseñanza
“El método de multiplicación con
líneas es un método muy visual de
enseñanza-aprendizaje…”
Conclusión
El método de multiplicación con líneas es un
método muy visual de enseñanza-aprendizaje de esta operación aritmética fundamental,
que permite reforzar el concepto de suma
abreviada y la hace más divertida para los niños de educación primaria.
Por otra parte, analizando las particularidades de la multiplicación con líneas, el método
puede utilizarse a manera de introducción del
concepto de series matemáticas, las cuales se
están abordando actualmente en la secundaria.
“El método es tan interesante que logra
sorprender incluso a jóvenes y adultos….”
El método es tan interesante que logra
sorprender incluso a jóvenes y adultos que ya
han superado la educación elemental, lo cual
se ha podido constatar directamente por los
autores y puede corroborarse con comentarios vertidos en la red.
Notas
al pie
1
El mismo tipo de inconsistencia en cuanto a la definición de multiplicación puede observarse en otros autores, como por ejemplo en Alsina, 2004a.
2
La propiedad conmutativa de la multiplicación se ha
explicado también mediante matrices generadas a par-
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tir de la multiplicación con líneas, pero se ha suprimido
de este artículo a sugerencia de uno de los árbitros y
será presentado en otro lugar.
Referencias
1. Alsina i Pastells, A. (2004). “Desarrollo de
competencias matemáticas con recursos
lúdico-manipulativos: Para niños y niñas de 6
a 12 años”. Herramientas. Madrid: Narcea, a).
p. 49; b). p. 50.
2. Camargo Uribe, L; Castiblanco Paiba, A.C.;
Leguizamón de Bernal, C.; Samper de Caicedo, C. “Espiral 5. Serie de matemáticas para
preescolar y básica primaria”. Norma. Bogotá,
Colombia, p. 89.
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barrera epistemológica”. Rev. Iberoamericana
de Educación, 43, pp. 119-130.
4. Harel, G.; Confrey, J. (1994). “The Development of multiplicative reasoning in the
learning of mathematics. SUNY series, reform
in mathematics education”. Albany: State
University of New York Press.
5. James, S.; Redlin, L.; Watson, S.; Vidaurri, H.;
Alfaro, A.; Anzures, M. B. J.; Fragoso Sánchez,
F. (2007). “Precálculo: matemáticas para el
cálculo”. México: Thomson Learning, p. 847.
6. Jhunjhunwala, A. (1993). Indian mathematics, an introduction. New Delhi: Wiley Eastern.
7. Katz, V. J. (2007). The mathematics of Egypt,
Mesopotamia, China, India, and Islam: A
sourcebook. Princeton: Princeton University Press.
8. Koestler, A.; León, F. (2007). Los sonámbulos: Origen y desarrollo de la cosmología.
Colección QED. México: Libraria, p. 34.
9. Metacafe Inc. (2008). “Multiplication Using
Vedic Mathematics – Video. En línea en:
http://www.metacafe.com/watch/yt-kZKOPKIHsrc/multiplication_using_vedic_mathematics/. Consultado el 8 de noviembre de 2008.
10. Multiplicacion – Wikipedia, la enciclopedia libre. Disponible en:
http://es.wikipedia.org/wiki/
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febrero de 2009.
11. Orton, A. (1990). “Didáctica de las matemáticas: cuestiones, teoría y práctica en
el aula”. Ministerio de Educación y Ciencia;
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12. Strang, G. (2007). Algebra lineal y sus
2009
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13. The Vedic Maths Forum India. “Easy Mental
Multiplication Trick Video”. En línea en:
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14. YouTube, LLC. (2008). “YouTube - Multiplication using vedic mathematics”. En línea en:
http://www.youtube.com/
watch?v=kZKOPKIHsrc. Consultado el 8 de
noviembre de 2008.
Aarón Pérez Benítez es profesor-investigador de la facultad de ciencias químicas de la BUAP. Se encuentra citado en
el “Atlas de la Ciencia Mexicana” por haber realizado una importante contribución en el campo de los fullerenos: <http://
www.amc.unam.mx/atlas/cquimicas/tabla17.htm> Su disciplina de investigación es la ciencia de materiales. Específicamente en el área de materiales orgánicos con propiedades
eléctricas de interés tecnológico. Cuenta con 20 artículos internacionales de investigación científica y 30 artículos de enseñanza de la química (26 nacionales y 4 internacionales).
[email protected]
Rosa Elena Arrollo Carmona es profesora de bioquímica
y fisiología de la UPAEP. Su disciplina de investigación científica es la fisiología. En investigación para la educación cuenta con 8 artículos nacionales y 2 internacionales. Tiene una
participación destacada en la divulgación de la ciencia con
cerca de 30 talleres impartidos a niños y jóvenes de Puebla y
de otros estados de nuestro país.
[email protected]
Rosa María Aguilar Garduño es profesor-investigador
de tiempo completo en la Facultad de Ciencias Químicas
de la BUAP. Tiene perfil PROMEP y pertenece al Padrón de
Investigadores de la VIEP. Es autora de diversos artículos
de investigación educativa y de divulgación científica. Sus
líneas de investigación son: El lenguaje científico, la evaluación educativa y la divulgación de la ciencia.
[email protected]
Enrique González Vergara es profesor-investigador Titular C de tiempo completo en el Centro de Química del ICUAP.
Miembro del Sistema Nacional de Investigadores (Nivel 1) y
tiene Perfil PROMEP. Es miembro del consejo editorial de las
revistas “Educación Química” y “Elementos”. En el 2006 recibió un reconocimiento del Consejo de Ciencia y Tecnología
del Estado de Puebla, por su dedicación a la docencia y a la
divulgación científica. Cuenta con 59 artículos de docencia e
investigación científica. Ha dirigido 37 tesis de licenciatura,
maestría y doctorado.
[email protected]
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