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Problemas con Diagramas de Venn
RESOLUCIÓN
CONJUNTOS
H=
A) 24
D) 36
B) 30
E) 40
=
at
a
rb
17
11 x 9 12
RPTA.: A
3.
4x
De los residentes de un edificio se
ha observado que 29 de ellos
trabajan y 56 son mujeres, de los
cuales 12 estudian pero no
trabajan. De los varones 32
trabajan o estudian y 21 no
trabajan ni estudian, ¿cuántas
mujeres no estudian ni trabajan,
si 36 varones no trabajan?
A) 32
D) 26
3x
B) 30
E) 34
T(29
)
E
RPTA.: D
A una ceremonia asistieron 24
señoritas con cartera, 28 varones
con corbata, 40 portaban casaca,
17 varones con corbata no tenían
casaca, 9 señoritas portaban
casaca pero no tenían cartera.
¿Cuántos varones con casaca no
llevaron corbata, si 16 señoritas
no llevaron cartera ni casaca y 28
señoritas no llevaron casaca?
A) 8
D) 11
SAN MARCOS
B) 9
E) 12
C) 10
C) 28
RESOLUCIÓN
6x + 12x + 4x + 3x = 50  x = 2
n(A) = 18(2) = 36
2.
12
40 = 11 + 9 + 12 + x  x = 8
B
12x
Cartera = 24
16
U = 50
6x
Casaca = 40
C) 32
RESOLUCIÓN
A = 18x
M=
28
Se hizo una encuesta a 50
personas
sobre
preferencias
respecto a dos revistas A y B. Se
observa que los que leen las dos
revistas son el doble de los que
leen solo A, el triple de los que
leen solo B y el cuádruplo de los
que no leen ninguna de las dos
revistas. ¿Cuántas personas leen
la revista A?
Co
1.
U=
17
21
H
15
12
12
M
56
x
X = 56 – 24
X = 32
RPTA.: A
CUESTIONARIO DESARROLLADO
Problemas con Diagramas de Venn
4. En una clase de 50 alumnos, se practica
tres deportes: Atletismo, Básquet y
Fulbito.
* Los que practican atletismo o fulbito
pero no básquet son 30.
* Los que practican básquet o fulbito
pero no atletismo son 27.
* Los que practican atletismo y fulbito
son 7.
* Los que practican fulbito pero no
atletismo o básquet son 15.
* Los que no practican estos deportes
son la cuarta parte de los que
practican básquet y fulbito pero no
atletismo.
* 4 practican atletismo y básquet pero
no fulbito.
* Los que practican básquet pero no
atletismo o fulbito son 4.
¿Cuántos practican solo dos deportes o
no practican ninguno?
A)
D)
21
2
B) 17
E) 18
5.
Dado los conjuntos A; B y C
contenidos en el universo de 98
elementos, tal que:
n(A  B) = 21
n(B  C) = 25
n(C  A) = 32
3n (ABC) = n(ABC )
´
Hallar:  A  B  C 
´
A) 93
D) 77
B) 95
E) 91
C) 87
RESOLUCIÓN
Diagrama de
visualizar:
Ven
–Euler
para
Planteando tenemos:
98 = 4x + 21 + 25 + 32
20 = 4x
5=x
C) 19
B
A
RESOLUCIÓN
U = 50
x
A
B
3x
8+x
4
4
98
Piden:  A  B  C 
x
8
7-x
U   A  B  C  98  5  93
2
15
F
RPTA.: A
6.

50 = 15 + 8 + (7x) + x + 8 + x
+4+4+2
X = 50  48 = 2
solo 2 deportes o ninguno de los
tres: 5 + 4 + 8 + 2 = 19
RPTA.: C
SAN MARCOS
C
Usando las leyes del álgebra de
conjuntos, simplificar:
 A  B  B   A  B  C´
A) AC
C) U
E) (A  B)C
B) BC
D) (A  B)C
CUESTIONARIO DESARROLLADO
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*
*
*
*
*
RESOLUCIÓN
[(AB)B] = 
[(AB)C]C = (AB)CC
{[(AB)B][(AB)C]}C
{}C = U
138 son inteligentes
55 son habladores y se portan bien
48 se portan bien y son inteligentes
120 son habladores e inteligentes
40 son habladores, inteligentes y se
portan bien.
RPTA.: C
7.
¿Cuántos
estudiantes
inteligentes solamente?
En
un
condominio
de
100
personas, 85 son casados, 70 son
abonados de teléfono, 75 tienen
bicicleta y 80 son empresarios.
¿Cuál es el mínimo número de
personas que al mismo tiempo
son casados, poseen teléfono,
tienen
bicicleta
y
son
empresarios?
A) 15
D) 24
B) 10
E) 15
A) 10
D) 12
B) 20
E) 8
U=
RESOLUCIÓN
HABLADORES:
160
15
5
Tomando por partes:
15
30
55
TELÉFONO
30
15
75
45
25
85
30
70
20
10
AUTO
10
25
45
INTELIGENTES:
138
55
Solo inteligentes = 10
9.
30
= 10
RPTA.: B
8.
En una encuesta a los estudiantes
se determinó que:
*
*
68 se portan bien
160 son habladores
SAN MARCOS
RPTA.: A
EMPRESARIOS
20
70
80
8
CASADOS,
TELÉFONO Y AUTO
80
25
40
CASADOS
Y
TELÉFONO
CASADOS
70
C) 40
RESOLUCIÓN
PORTAN
BIEN: 68
C) 20
son
Un club consta de 78 personas, de
ellas 50 juegan fútbol, 32 básquet
y 23 voley. Además 6 figuran en
los 3 deportes y 10 no practican
ningún deporte. Si “x” es el total
de
personas
que
practican
exactamente un deporte, “y” es el
total de personas que practican
exactamente 2 deportes, entonces
el valor de (xy) es:
A) 9
D) 15
B) 10
E) 16
C) 12
CUESTIONARIO DESARROLLADO
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RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
n(AB C ) =3
n[(AB)C] =3
´
U = 78
F = 50
U = 44
B = 32
b
A = 21
B = 17
a
–
a
44
–
4
6
10
5
c
b
2
3
9
17 – b – c
7
C
x
6
V = 23
a+b+c=y
x : solo un deporte
21 + 2 + 7 + 6 + x = 44  x = 8
n(C) = 9 + 5 + 7 + 8 = 29
Del universo:
44ab+b+17bc+32+10 = 78
a + b + c = 25 = y
También:
x + y + 6 + 10 = 78  x = 37
 x  y = 12
RPTA.: C
11.
En un grupo de 80 estudiantes, se
encuentra que las cantidades que
estudiaban las diversas lenguas
eran
en
número
de
72,
distribuidas
de
la
siguiente
manera:
*
*
*
Alemán solamente 25
Español solamente 12
Francés pero no alemán
español, 15
Alemán y francés 10
Alemán y español 8
RPTA.: C
10.
Dado el conjunto universal “U” y
los subconjuntos A, B y C; se
tiene los siguientes datos:
n(U) = 44
n(BC) = 12
n(AC) = 14
n[(ABC ) ]=6
n(ABC) = 5
n(B) = 17
n(A) = 21
n(ABC ) =3
´
´
Hallar n(C)
A) 31
D) 26
SAN MARCOS
B) 27
E) 28
C) 29
*
*
ni
Además
los
que
estudiaban
español y francés eran tantos
como los que estudiaban alemán y
español.
Determinar
cuántos
estudiaban 2 lenguas solamente o
estudiaban las 3 lenguas.
A) 14
D) 8
B) 20
E) 18
C) 12
CUESTIONARIO DESARROLLADO
Problemas con Diagramas de Venn
A: personas con más de 20 años
B: hombres
C: casados
RESOLUCIÓN
U = 80
A
E
8-x
25
Por datos:
x + y = 25
x + z = 15
x = 10
y = 15
z=5
12
x
10 - x
8
8-x
F
15
*
Dos lenguas solamente ó
lenguas
= (80)  (25 + 15 + 12 + 8)
= 20
tres
RPTA.: C
RPTA.: B
12. En una encuesta realizada a 100
trabajadores de una fábrica se
obtuvo la siguiente información:
todos los hombres tenían más de
20 años, 25 de las mujeres eran
casadas mientras que 15 de los
trabajadores casados tenían más de
20 años y 10 de las mujeres
casadas tenían más de 20 años. Si
hay 60 que tienen más de 20 años,
hallar la diferencia entre el número
de trabajadores con menos de 20
años y el número de mujeres
solteras con menos de 20 años.
A) 5
D) 18
B) 10
E) 8
C) 15
C
b
z
x
U(100)
y
25
SAN MARCOS
representa
el
B
C
A) [(AC)(BC)]  C
B) [(AB)(BA)]C
C) C (AB)
D) (CA)  (CB)
E)  A  B  C
´
RPTA.: C
B
a
13. ¿Qué
operación
gráfico?
A
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
A(60)
*
Trabajadores con menos de 20
años: 15 + 25 = 40
Mujeres solteras con menos de 20
años = 25
40  25 = 15
14. En un colegio hay 35 niños. Cada
uno de ellos tiene una bandera que
puede ser monócroma, bicolor o
tricolor,
habiéndose
usado
únicamente 3 colores: rojo, amarillo
y azul. El número de banderas
bicolor es el doble del número de
banderas monocromas, mientras
que el número de banderas que
CUESTIONARIO DESARROLLADO
Problemas con Diagramas de Venn
tienen el color rojo es igual al
número de banderas que tienen el
color azul e igual al número de
banderas que tienen el color
amarillo. Si sólo 8 niños tienen
banderas tricolor y dos alumnos
banderas color amarillo. ¿Cuántas
banderas bicolor rojo – azul hay?
A) 2
D) 7
B) 3
E) 10
C) 5
RESOLUCIÓN
U = 35
Azul
Rojo
y
a
A) 5
D) 4
b
8
B) 8
E) 10
C) 12
RESOLUCIÓN
z
x
15. A cuántas personas le gusta 2
cursos solamente si la cantidad de
personas que le gusta aritmética
pero no álgebra ni física es el doble
de los que les gusta álgebra, pero
no aritmética ni física y además a
los que les gusta física pero no
aritmética ni álgebra es el triple de
los que les gusta álgebra pero no
aritmética ni física y a los que les
gusta los 3 cursos es la cuarta parte
de los que les gusta aritmética pero
no álgebra ni física, si a 24
personas le gusta solamente un
curso y además el total de personas
que gusta de al menos un curso es
36.
x
A
c=2
A: aritmética
X: álgebra
F: física
Amarilo
Datos:
a + b + x + y + z = 25 ......(1)
x + y + z = 2(a + b + c) ....(2)
(2) en (1)
a + b + 2 (a + b + 2) = 25
3(a + b) = 21
a+b=7
Dato:
a+x+y=y+z+b=x+z+c
a + 18  z = 18  x + b = 18y+ c
De donde:
a = z y + c
b=xy+c
Sumando: 7 = x + z  2y + 4
7 = 18  y  2y + 4
3y = 15
y=5
RPTA.: C
n
4y
2y
y
p
m
6y
Datos:
A  (xF) = 2[x  (AF)]
F  (Ax) = 3[x(AF)]
A  x F 
F
1
A   x  F 
4
AxF = y
Por dato:
4y + 2y + 6y = 24
12y = 24
y
=2
13y + m + n + p = 36 .... dato
13 x 2 + m + n + p = 36
m + n + p = 10
RPTA.: E
SAN MARCOS
CUESTIONARIO DESARROLLADO
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RESOLUCIÓN
16. A, B y C son conjuntos contenidos
en un mismo universo, simplifique
la siguiente expresión:
E=
H
21+
x = 10
{{[(A  B)  (A  B )]  (A  B )} 
(C  A)}  {((A  C)  (A  C)}
´
A) AC
D) AC
´
B) B
E) C
21
6
x = 10
20 60
28
32
= 22
RPTA.: E
C
E={{[(AB)(AB )](AB )}(CA)} (AC)
A(B(ABC)...............................
A(BA)
*
Algunos provincianos son casados.
Todos
los
profesores
no
son
provincianos.
Ninguno de los que tienen hijos es
profesor
Todos los casados tienen hijos
9 personas no son provincianas, ni
casadas, pero tienen hijos.
Hay 12 profesores y son tantos como
el número de casados
De los 25 provincianos, 15 tienen
hijos.
5 casados no son limeños
10 limeños no son profesores ni
tienen hijos.
*
*
 (CAC)
(AC)

(AC)
(AC)
RPTA.: A
17.
De 60 personas se sabe:
*
*
*
*
6 hombres tienen 20 años
18 hombres no tienen 21 años
22 hombres no tienen 20 años
Tantas mujeres tienen 20 años
como hombres tienen 21 años.
¿Cuántas mujeres no tienen 20
años?
B) 20
E) 28
De un grupo de personas se sabe
lo siguiente:
*
[(AB)A]  [(AB)BC]
A  (ABC)
A) 18
D) 22
18.
*
(AB)  (ABC)
A
20
C) A
RESOLUCIÓN
C
M
*
*
*
*
¿Cuántas personas conforman el
grupo y cuántos no tienen hijos, ni
son profesores?
A) 63 y 20
C) 59 y 23
E) 63 y 22
B) 57 y 10
D) 64 y 9
RESOLUCIÓN
CASADOS
SOLTEROS
C) 24
LIMA
7
9
12
10
PROVINCIA
5
HIJOS
SAN MARCOS
10
HIJOS
10
= 25
HIJOS
CUESTIONARIO DESARROLLADO
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Total = 63
No tienen hijos ni son
profesores = 20
19.
A) 15%
D) 10%
RPTA.: A
En una academia de 100 alumnos,
se rindieron 3 simulacros con los
siguientes
resultados:
40
aprobaron el primero; 39 el
segundo; y 48 el tercero. 10
aprobaron
3
simulacros.
21
ninguno; 9 los dos primeros, pero
no el tercero; 19 el tercero, pero
no los dos primeros.
¿Cuántos aprobaron por los menos
dos exámenes?
A) 19
D) 27
B) 38
E) 29
B) 23%
E) 30%
C) 20%
RESOLUCIÓN
P = 60%
C = 50%
40%
30%
20%
x
U = 100%
C) 24
40
 50%  20%
100
RESOLUCIÓN
S = 39
P = 40
60% + 30% + x = 100%
X = 10%
RPTA.: D
9
10
x
y
19
21
T = 48
U = 100
x + y + 10 + 19 = 48
x + y + 19 = 38
RPTA.: B
20.
En una ciudad el 60% de los
habitantes comen pescado; el
50% come carne; el 40% de los
que comen carne también comen
pescado. ¿Qué porcentaje de los
habitantes no comen pescado ni
comen carne?
SAN MARCOS
CUESTIONARIO DESARROLLADO