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Aritmética
SEMANA 9
TEORÍA DE LOS NÚMEROS
NÚMEROS PRIMOS
SD
º
 N,2 


Divisores compuestos de N:
27 – 4 = 23
444
C) 12
RPTA.: A
3.
RESOLUCIÓN
Si:
M  20x 30x 2 ; tiene 48
divisores positivos múltiplos de 5
y además impares. Halle “x”
A) 1
D) 4
A  32 6   6 n  20  6 n
A  2 2  5  2 n  3n
B) 2
E) 5
RESOLUCIÓN
CD A   444  4
M  20x 30x 2
M  22x 5x 2x 2  3x 2  5x 2
M  23 x2  3 x2  52 x2
M  5 3 x2  52 x1  23 x2
no compuestos

CD A   n  3  (n  1) (1  1)  448
CD A   n  3 (n  1)  224  13  313  1
 n = 13

0
Divisores impares 5
RPTA.: A
CD 0
 48   x  3 2x  2
En el número N  30a , la suma de
sus divisores pares es 2418.
Determine la cantidad de divisores
compuestos de N.
CD 0
 24   x  3  x  1
CD 0
 6  4  3  3 3  1
A) 23
D) 32
B) 22
E) 14

 5 impares 



 5 impares 



 5 impares 


C) 21
x =3
RPTA.: C
RESOLUCIÓN
N  2a  3a  5a
N  2(2a1  3a  5a )
SD
º
 N,2 


C) 3
A  2n  2  3n  5
CD A   448
2.

CD N  3  3  3  27
Calcule “n” si A tiene
divisores compuestos.
B) 11
E) 16

N  2 2  32  5 2
n cifras
A) 13
D) 15

Sólo cumple para a = 2
Sea A  32000...00 6 
1.

 2a  1 3a1  1 5a1  1  3  26  124
 2a  1 3a 1  1 5a 1  1 
 2 


  2418
2
4 
 1
º
Divisores 2
4.
Halle un número divisible por 6;
de 3 cifras y que tenga 21
divisores.
A) 552
D) 288
B) 576
E) 342
C) 522
RESOLUCIÓN
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0
M  abc  6  2x  3y
CD (M)  21  7  3

Solo cumple:
x = 6; y =2

ab = primo²
Solo cumple:
ab = 5² ó 7²
Hay 2 números
7.
Si a2  b3 posee 35 divisores y
M  26  32  64  9  576
RPTA.: B
RPTA.: E
a  b
n
5.
Si N  2.5.3 tiene 16 divisores
múltiplos de 15 y 16 divisores
múltiplos de 20. Halle la cantidad
de divisores cúbicos de N.
A) 1
D) 4
B) 2
E) 5
(n + p)
A) 5
D) 9
C) 3
. N  3  5 2 5
2

. N2 5 2
 2
1
5
Luego:
N2
  y 
Dando forma N  x2
 CD 0     1   16

4
3  CD 0     1  2  16
a  b
n
20
5 3 2
2
1
3
1
 x 4 y6

n
 x2n y2n
B) 5
E) 2
C) 4
RESOLUCIÓN
Efectuando
la
descomposición
polinómica se obtendrá:
N  abab  101ab
Además:
CDN  1  1 2  1
 p9  49
2n  1  7  n  3
p4
piden: n  p  7
5 3
Halle cuántos números de la
forma abab existen, tales que
poseen 6 divisores.
A) 6
D) 3

 x2 y2
2n  1
CDcubi cos  1  11  1  4
RPTA.: D
6.
3
2
Posee: 2n  1 2n  1  p9
  5 
3
2
Donde: a = x² ; b = y²
15
3
4
De donde
3

C) 7
N  a2  b3  35 divisores
Como: 35  5  7   4  16  1
N  2.5.3
1
B) 6
E) 10
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN

posee p9 divisores; halle
RPTA.: C
8.
Sea N = 128 ab,
determine
(a + b) si la suma de divisores de
N, es los
A) 10
D) 13
85
de N (a y b primos).
28
B) 11
E) 14
C) 12
RESOLUCIÓN
N  27 a b ; aplicando el método
y simplificando


SDN  28  1  a  1 b  1 
85
28
2 ab  177 5
7
25 ab
Como 101 es primo
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


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7 255  a  1b  1  17 5 25 ab
divisiones sucesivas para obtener
la descomposición del primo 2 en
31!
a y b son 3 y 7
a  b  10
32!  31! 32  231N  CD32!  32n
RPTA.: A
9.
32n
27
RPTA.: C
Halle el promedio aritmético de
los divisores del número 360.
A) 16,25
C) 68,15
E) 97,5
B) 48,75
D) 47,85
32!  31! 32  231 N  CD32! 
11.
A) 80
C) 100
E) 140
RESOLUCIÓN
3
2
1
360  2  3  5
Calcule de la suma de divisores de
360:
3
El número entero considerado
admite como factor primo a tres:
2
1170
Promedio aritmético =
24
PADivisores  48,75
RPTA.: B
10.
B) 90
D) 120
RESOLUCIÓN
 2  1  3  1 5  1
SD360  


  1170
 2 1   3 1   5 1 
CD360  3  1 2  1 1  1  24
4
Un número tiene 24 divisores y el
triple de éste, 30 divisores.
¿Cuántos divisores tiene el triple
del cuadrado del mismo?
N  3a mp np....  CDN 
a  1p  1q  1 ....  24 ........(1)
3  N  3
a  1
mp nq....
 CDN  a  2p  1q  1 ...  30 ......(2)
Si 31! Tiene n divisores, ¿Cuántos
divisores tiene 32!?
De (1) y (2), a =3
Reemplazando en (1)
p = 1, q = 2
33
n
28
32
C)
n
27
33
n
E)
31
N  33 m1 n2  3N2  37 m2 n4
31
n
27
32
n
D)
25
A)
B)
31! = 226 N  CD31!  27n  n
2 2
31 15 7
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CD3N2  120
RPTA.: D
12.
RESOLUCIÓN
2
CD3N2  7  12  1 4  1  120
2
3 1
En el número 226800, ¿determine
cuántos divisores terminan en las
cifras 1, 3, 7 ó 9?
A) 6
D) 12
B) 8
E) 14
C) 10
RESOLUCIÓN
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multiplicarlo por 8 se cuadruplique
su número de divisores; y si su
cuadrado tiene 21 divisores.
226 800  24 34 52 71
CD226 800   4  1 4  12  11  1  150
CD0  3  1  4  1 2  1 1  1  120
2
A) 5
D) 10
CD0   4  1  4  1 1  1 1  1  100
5
CD 0  3  1  4  1 1  1 1  1  80
M2  ax  by ; a y b primos
CD que terminan en la cifra 1, 3, 7 ó 9 =
Cd(M2 )  21  7  3 = (x + 1)(y+1)
x = 6; y = 2
CD226800  CD0  CD0  CD 0   10
 2
5
10 

13.
RPTA.: C
x
8M  23  M  23  a3  b  Cd(8M)  32
32 = 4 x 4 x 2 (cumple).
Luego M no contiene potencia de 2
a, b mínimos
2y
Si el número. M  10 15 ; tiene
el quintuple del número de
divisores de P  3x 62y y este
tiene 3 divisores
más
que
2x
y
R 3
7 . Halle (x + y).
B) 4
E) 6
C) 7
RESOLUCIÓN
M  10x 152y  2x 5x 32y 52y 
2x 32y 52y  x
P  3x 62y  3x 22y 32y  3x 2y 52y
R  32x 7y
Cd (M)  5Cd(P)
x  12y  12y  x  1  5 x  2y  12y  1
x + 1 = 5;
x =4
Cd(P)  Cd(R)  3
x  2y  12y  1  x  1y  1  3
M  33  51
M  27  5  135
1+3+5=9
RPTA.: C
15.
Sabiendo que 35n tiene a4
divisores.
¿Cuántos
divisores
n
a
tendrá E  33  33 ?
A) 238
D) 294
B) 272
E) 296
C) 298
RESOLUCIÓN
N  35n  5n 7n
CDN  n  1  n  1  a4  64
CDN  n  1  8  n  7
a=6
5  2y2y  1  9 y  1  3
E  37  117  36  116
y=1
x+y=5
E  36  116(3  11  1)  36  116  25
RPTA.: A
14.
Extraigo su raíz cuadrada.
M  a3  b1  Cd(M)  4  2  8
Son 10 divisores
A) 5
D) 8
C) 9
RESOLUCIÓN
10

B) 13
E) 12
CD(E)  6  16  15  1  294
RPTA.: D
Determine la suma de las cifras
del menor número tal que al
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16.
n4  ab5  625
Se tiene un número divisible por
15, el cual posee tres divisores
simples y además sabemos que
cuando se multiplica por 27, el
número de sus divisores se
duplica y cuando se multiplica por
625 su cantidad de divisores se
triplica. Determinar la suma de
cifras de dicho número.
A) 9
D) 36
B) 18
E) 15
n=5
a=6
a + b + n = 13
RPTA.: D
18.
C) 27
Se tiene un número “W” cuya taba
de divisores es una matriz 3 x 3;
si se observa que el producto de
los divisores que componen una
de las diagonales es 9261. Halle la
suma de cifras de “W”.
A) 5
D) 8
RESOLUCIÓN
0
b=2
B) 6
E) 9
C) 7
0
N  15  3  5
CDsimples (N)  3 ; CDprimos (N) = 2
a
RESOLUCIÓN
9261 = 33 . 73
Luego los factores de W son 3 y 7
b
N3 5
27 N  3a3  5b
625  N  3a  5b  4
a  1b  1  2  a  4b  2
1
3
9
7
21
63
49 147 441
a=2
a  1b  1 x 3  a  1b  5
b =1
W  441  32  72
2
N  3  5  45
4+4+1=9
4+5=9
RPTA.: E
RPTA.: A
19.
17.
Si: 210n  1 tiene ab 0 divisores
compuestos. Halle el valor de
(a + b + n);
A) 10
D) 13
B) 11
E) 14
C) 12
210
2
n 1
 3
CD  n4  abo  5
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n 1
5
CDcompuestos = ab0
CDnocompuestos = 5
B) 2
E) 5
C) 3
N  63a1  8a  26a1  33a1
CDimpuestos  ab0
n 1
A) 1
D) 4
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
n 1
La suma de los divisores del
número 63a1  8a es 17 veces la
suma de los divisores del número
8a  33a1 . Calcule a.
y
n 1
7
26a  2  1 33a  2  1

2 1
3 1
3a
3a 1
M2 3
SDN 
SDM 
22a  1  1 33a  2  1

2 1
3 1
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Luego:
SDN = 17SDM
aaa  3  37  a
8 divisores
a  2 ó 5 ó 7 ó 32
26a2  1 33a2  1
23a1  1 33a2  1
x
 17 

1
2
1
2
3a 1
3a 1
3a 1
2  13  1  17  2  1
3a 1
2
3a 1
 1  17  2
Restándole “a” unidades
aao  2  5  11  a
16 divisores
de los valores anteriores
solo cumple a =7
4
 16  2
a=1
RPTA.: A
20.
Si los números enteros P y Q son
los menores posibles que tienen
los mismos divisores primos, si se
cumple que P tiene 35 divisores y
Q tiene 39 divisores, determinar
¿cuántos divisores compuestos
tendrá (P x Q)?
A) 74
D) 125
B) 90
E) 130
C) 120
Como P y Q son los menores
números enteros, se cumplirá
que:
CDP  35  6  1 4  1  P  26  34
CDQ  39  12  12  1  Q  212  32
P x q   2
CDN  3  1 1  1  8
RPTA.: D
22.
Sea N   a  1  ab 1  ba , donde
a
D.C
N tiene 108 divisores compuestos.
Calcule la suma de los divisores
cuadrados perfectos de cd si
cd  (CDimpares
RESOLUCIÓN
18
(a  1)  a  1  88  23  11
se pide
3
CD compuestos =130
RPTA.: E
 a  1  a  1 .
B) 12
E) 16
0
60
A) 32
D) 56
B) 48
E) 68
C) 85
RESOLUCIÓN
CDN  108  3  1  112
CDN   a  1 b  2   a  1  112
CDN   a  1 b  2  16  7  42  7
2
a=3
b =5
N  23  36  53


N  23 36 x 53
C) 90

N  60 21  35  52  CD
0 
 N, 60 


  CD
 2  6  3  36
IMPARES
 7  4  28
cd  36  28  64
RESOLUCIÓN
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de
N).
De donde
Si aaa posee 8 divisores pero al
restarle “a” unidades el número
de sus divisores se duplica. Halle
la cantidad de divisores de
A) 24
D) 8
N)  (CD
CDN  CDC  CDP  1
6
CDP  Q  18  1 6  1  133
21.
de
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Suma de divisores
perfectos de 64:
1 + 4 + 16 + 64 = 85
Aritmética
cuadrados
RPTA.: C
23.
Halle la suma de cifras del número
N = 32 ab sabiendo que a y b son
primos absolutos y la suma de los
divisores de N es el triple de N.
A) 11
D) 14
B) 12
E) 15
C) 13
RESOLUCIÓN

N  25 a b
SDN  3N
2
6

 1  a  1 b  1  3 25 ab
7 3 a  1b  1  25 ab




ayb son7y3
a7 b3
N  672
 CIFRAS  15
RPTA.: E
24.
Halle ( a +b ) si:
2
ab tiene 12 divisores y ab tiene
33 divisores.
A) 12
D) 13
B) 15
E) 18
C) 14
RESOLUCIÓN
Se verifica
CDab  12 = (5+1) (1 +1)
CD
2
ab

 33 = (2.5 + 1)(2.1+1)
Luego: ab  25 31
Son los únicos números
cumplen:
Luego ab = 96
a + b = 9 + 6 = 15
SAN MARCOS 2011
que
RPTA.: B
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