Download Álgebra II (CIV/IND) Álgebra Lineal (MAT)

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
PLAN GLOBAL
INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA LINEAL
I. DATOS DE IDENTIFICACIÓN
„ Nombre de la materia:
Álgebra II (CIV/IND)
Álgebra Lineal (MAT)
„ Código:
2008022 ING.CIVIL
2008022 ING. INDUSTRIAL
2008055 MATEMÁTICAS
„ Grupos:
2 CIV – 4A IND – 1 MAT
„ Carga horaria:
2 teóricas y una practica
„ Materias con las que se relaciona: Algebra I, cálculo II, Ecuaciones
Diferenciales, Física 200, Tensores,
Álgebra lineal Avanzada, Análisis
funcional.
II. JUSTIFICACIÓN
El álgebra lineal se ha convertido en una parte esencial del conocimiento requerido por
los matemáticos, ingenieros, físicos y otros científicos como una herramienta básica para
interpretar, plantear y resolver problemas tanto académicos (solución de sistemas de
ecuaciones lineales, generación de espacios vectoriales, etc.) así como algunos de los
métodos numéricos relacionados de mayor uso; reflejando la importancia y una vasta
aplicación de la materia tratada.
III. OBJETIVOS
1. Combinar el aspecto computacional con el teórico.
2. Aplicar a la geometría, mecánica, análisis, etc. los conceptos y propiedades relativos a
las matrices, determinantes, vectores y sistemas de ecuaciones lineales.
3. Usar correctamente los algoritmos que se encuentran en el desarrollo del curso.
4. Conocer los conceptos y aplicaciones fundamentales de los espacios vectoriales.
5. Interpretar y aplicar el concepto de transformación lineal, productos escalares y
relacionarlos con matrices.
6. Introducir los conceptos y propiedades básicas sobre valores y vectores propios.
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IV. SELECCIÓN Y ORGANIZACIÓN DE CONTENIDOS
UNIDAD 1: VECTORES
Objetivos de la Unidad
Establecer una conexión entre el álgebra lineal y la intuición geométrica.
Brindar ejemplos concretos, con coordenadas, de combinaciones lineales,
ortogonalidad y otras nociones que
se desarrollaran más adelante.
CACAPI
Además del contexto geométrico, estas nociones suministran ejemplos de
subespacios vectoriales y una interpretación de las ecuaciones lineales.
Contenido
1. Definición de puntos en el espacio Rn
2. Vectores anclados
3. Producto escalar y norma
4. Rectas paramétricas
5. Hiperplanos
UNIDAD 2: MATRICES, ECUACIONES LINEALES Y DETERMINANTES
Objetivos de la Unidad
Conocer el concepto de matriz.
Efectuar operaciones entre matrices y aplicar.
Encontrar, si existe, la inversa de una matriz cuadrada a través de operaciones
elementales sobre sus renglones (Matrices elementales ).
Relacionar las matrices con sistemas de ecuaciones lineales.
Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante los métodos de Eliminación y
Eliminación de Gauss.
Aplicar las propiedades de la inversa
Comprender el concepto de función determinante.
Evaluar el determinante de una matriz cuadrada.
Conocer y aplicar las propiedades del determinante.
Establecer relaciones entre determinantes y propiedades de la inversa
Conocer el concepto de adjunta de una matriz cuadrada y sus propiedades.
Aplicar la relación entre el determinante, la adjunta y la inversa de una matriz
cuadrada.
Aplicar la regla de Cramer en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales
Contenido
1. Matrices, operaciones y ejemplos
2. Ecuaciones lineales homogéneas y eliminación
3. Operaciones por renglones y eliminación de Gauss
4. Matrices elementales
5. permutaciones y la definición del determinante
6. Determinantes de orden 2 x 2
7. Determinantes de orden 3 x 3 y n x n
8. El rango de una matriz y subdeterminantes
9. Regla de Cramer
10. Inversa de una matriz
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UNIDAD 3: ESPACIOS VECTORIALES
Objetivos de la Unidad
Conocer los conceptos de espacio vectorial, subespacio y ejemplos.
Interpretar los conceptos de independencia y dependencia lineal entre vectores.
Conocer los conceptos de base y dimensión de un espacio vectorial.
Calcular el rango de una matriz.
Definir producto escalar y verificar si una operación dada, definida de un
conjunto dado, es o no un producto interior.
Definir conjunto ortonormal de vectores.
Definir y obtener la proyección ortogonal y la componente de un vector sobre un
espacio M.
Demostrar que todo espacio de dimensión finita con producto interior tiene una
base ORTONORMAL, utilizando el proceso de ORTOGONALIZACION de
Gram-Schmidt.
Contenido
1. Espacios vectoriales y subespacios
2. Combinaciones lineales
3. Independencia lineal
4. Base y dimensión
5. Rango de una matriz
6. Productos interiores
7. Bases ortogonales y ortonormales.
8. Procedimiento de ortogonalización de Gram-Schmidt
UNIDAD 4: APLICACIONES LINEALES Y APLICACION INVERSA
Objetivo de la Unidad
Definir aplicación, aplicación lineal y verificar la linealidad.
Enunciar y demostrar las propiedades de las transformaciones lineales.
Definir y obtener núcleo, imagen de una transformación lineal.
Definir transformación matricial.
Enunciar y aplicar el teorema de la dimensión.
Definir y obtener la matriz de una transformación lineal T: Rn->Rm relativas a las
bases B y B´ donde B y B´ son bases arbitrarias de Rn y Rm respectivamente.
Definir y obtener la matriz de transición de una base B a una base B’; definir
matrices semejantes (o similares)
Definir la aplicación compuesta y conocer sus propiedades.
Conocer las definiciones de aplicaciones inversas y los teoremas que las
relacionan
Contenido
1. Aplicaciones.
2. Aplicaciones lineales.
3. El núcleo e imagen de una aplicación lineal.
4. El rango y las ecuaciones lineales.
5. Matriz asociada a una aplicación lineal y cambio de base.
6. Composición de aplicaciones lineales
7. Aplicaciones Invertibles
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UNIDAD 5: VECTORES Y VALORES PROPIOS
Objetivo de la Unidad
Definir y conocer las propiedades básicas de los valores propios y de los vectores
propios.
Calcular el polinomio característico.
Diagonalizar una matriz simétrica.
Contenido
1. Vectores y valores propios
2. El polinomio característico
3. Diagonalización de matrices simétricas
V. METODOLOGIAS
Las clases expositivas se efectuarán con un diálogo didáctico que introduzcan al estudiante en la
formalidad de los temas desde el punto de vista matemático, pero que a su vez pongan de
manifiesto los aspectos computacionales y las aplicaciones específicas. buscando la participación
activa de lo todos los estudiantes, con cuestionamientos y planteamientos de situaciones que
motiven discusiones y críticas.
Se propondrán tareas (guías de ejercicios, problemas, lecturas de profundización, cuestionarios
metacognitivos, mapas conceptuales, investigación, proyectos), en clases y para la casa, buscando
mayor comprensión y profundización de los contenidos tratados. Se resolverán problemas
complejos, en el sentido que engloben diferentes temáticas, buscando conexiones y
representaciones variadas demandando de los estudiantes un trabajo cooperativo, de común
esfuerzo para lograr resolver la problemática planteada.
Dentro las diferentes actividades se introducirán preguntas que impulsen a razonar de manera
crítica y reflexiva sobre los contenidos involucrados. En todo momento se incentivará a los
estudiantes a que verbalicen sus ideas o razonamientos y sean discutidos con el resto de al clase, a
través de la exposición, desde ejercicios, teoremas, hasta temas de investigación o profundización
que aporten a la teoría estudiada.
Se analizarán procedimientos que contengan errores, para identificarlos y cuestionar su
procedencia. Se propondrán tareas de redacción que exijan escribir una explicación o descripción
de contenidos tratados.
Un aspecto fundamental en el proceso de enseñanza es el diseño de estrategias e implementación
adecuada de la demostración deductiva o prueba matemática que ofrece la forma más pura de
distinguir lo correcto de lo erróneo, asentándose en una serie de hábitos mentales, de buscar
estructuras e invariantes, de identificar suposiciones, de organizar argumentos lógicos; luego estos
procesos se han de coordinar con la evidencia empírica, con resultados matemáticos y con hechos,
y están además influidos por la intuición y las creencias, por las convicciones personales y por las
normas sociales que se requiere para comunicar una prueba.
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VI. CRONOGRAMA O DURACIÓN EN PERIODOS ACADÉMICOS POR UNIDAD
UNIDAD
DURACIÓN
(HORAS
DURACIÓN EN
SEMANA
ACADEMICAS)
(Tomando en cuenta las
horas de práctica)
Puntos y vectores en Rn
18
3
Matrices, Sistemas de Ecuaciones Lineales y
Determinantes
30
5
Espacios Vectoriales y productos interiores
24
4
Aplicaciones Lineales
18
3
Vectores y valores propios
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1
Exámenes
12
2
VII. CRITERIOS DE EVALUACIÓN
1. Como una primera fase dentro el proceso evaluador se cita la observación
sistemática en el estudiante, sobre el comportamiento, responsabilidad, iniciativa,
honestidad, participación, comunicación, desenvolvimiento en el grupo de trabajo
o en una exposición, el cumplimiento y realización de tareas; también de manera
paralela la realización de pruebas tipo de complementación, pareo, respuesta
breve; que sirven fundamentalmente para proporcionar información diagnostica al
docente, especialmente acerca de concepciones erróneas o incompletas sobre
determinados conceptos de conocimientos o actitudes contrarias hacia la
asignatura. Siendo de vital importancia para diseñar la secuencia de tareas a
desarrollar, partiendo de los conocimientos del estudiante y con la intención de
que emerjan las ideas previas, estimulando la autoestima del alumno y favorezcan
una actitud positiva hacia la asignatura.
2. Se realizarán 3 pruebas escritas: 2 parciales (Unidades I,II,III para el primer
parcial y III, IV Y V para el segundo parcial), y un examen final sobre el 100%
de la materia. El estudiante que no haya obtenido 51/100 tendráopción a una
prueba de segunda instancia.
3. Se evaluarán prácticas, exposiciones de teoremas, aplicaciones y ejercicios
propuestos, ya sea en grupo o individualmente.
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VIII. BIBLIOGRAFÍA
1. Lang S., Introductión to Linear Algebra, 2da. Edition, Addison Wesley, 1970.
2. Lipschutz, S., Teoría y Problemas de Algebra Lineal, Mcgraw – Hill 1971.
3. Antón H, Introducción al Algebra Lineal, 3ra edición, Limusa Noriega, 1990
4. Kolman B., Álgebra Lineal con aplicaciones y Mat Lab, sexta Edición, Prentice
Hall, 1997
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