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Problemas de Álgebra – PAU Andalucia
MATEMÁTICAS II − PROBLEMAS DE ÁLGEBRA
PAU ANDALUCÍA
Ejercicio 1.— (Examen 1 − Junio 2012 Específico − Opción A)
1 2 0
0 1
[2'5 puntos] Considera las matrices 𝐴𝐴 = �0 1 2� , 𝐵𝐵 = �
�
1 0
1 2 1
y
−1 2 0
𝐶𝐶 = �
�.
1 1 2
t
t
Determina, si existe, la matriz X que verifica AXB = C , siendo C la matriz traspuesta de C.
Ejercicio 2. — (Examen 2 − 2012 − Opción B)
[2'5 puntos] Encuentra la matriz X que satisface la ecuación XA + A3 B =
A , siendo
0 0 1
𝐴𝐴 = �0 1 0�
1 0 0
y
2 −1 0
𝐵𝐵 = � 0
2 −1�
−1 0
2
Ejercicio 3. — (Examen 3 − Septiembre 2012 − Opción A)
Considera el siguiente sistema de ecuaciones con dos incógnitas
2
 kx + 2 y =

k
2 x + ky =
x − y =
−1

a) [0'5 puntos] Prueba que el sistema es compatible para cualquier valor del parámetro k.
b) [1 punto] Especifica para qué valores del parámetro k es determinado y para cuáles
indeterminado.
c) [1 punto] Halla las soluciones en cada caso.
Ejercicio 4. — (Examen 3 − Septiembre 2012 − Opción B)
Considera el sistema de ecuaciones con tres incógnitas
y
x −

2λy + λz

− x −
y + λz

=
λ
=
λ
=
0
a) [1'25 puntos] Clasifícalo según los distintos valores del parámetro λ.
b) [1'25 puntos] Resuélvelo para λ = 0 y λ = −1.
Ejercicio 5. — (Examen 4 − Junio 2012 General − Opción A)
0 0 1
Sea la matriz 𝐴𝐴 = �2 1 2�
1 𝑘𝑘 1
a) [1 punto] ¿Para qué valores del parámetro k no existe la inversa de la matriz A? Justifica la
respuesta.
b) [1'5 puntos] Para k = 0, resuelve la ecuación matricial
matriz identidad y At la matriz traspuesta de A.
At , donde I denota la
(X + I)⋅ A =
1
Problemas de Álgebra – PAU Andalucia
Ejercicio 6. — (Examen 4 − Junio 2012 General − Opción B)
y
+ z = µ +1
x +

3y
+ 2 z = 2µ + 3

3 x + ( µ − 1) y + z =µ

Considera el sistema de ecuaciones
a) [1 punto] Resuelve el sistema para µ = 1.
b) [1 punto] Halla los valores de µ para los que el sistema tiene una única solución.
c) [0'5 puntos] ¿Existe algún valor de µ para el que el sistema admite la solución
1
 −1
 , 0,  ?
2
 2
Ejercicio 7. — (Examen 5 − 2012 − Opción B)
3 −2
−2 1
Dada la matriz 𝐴𝐴 = �
�, sea B la matriz que verifica que 𝐴𝐴𝐴𝐴 = �
�
5 1
7 3
a) [1 punto] Comprueba que las matrices A y B poseen inversas.
b) [1'5 puntos] Resuelve la ecuación matricial A−1 X − B =
BA .
Ejercicio 8. — (Examen 1 − Reserva 2 Junio 2013 − Opción B)
Sea M una matriz cuadrada de orden 3 tal que su determinante es det(M) = 2. Calcula:
a) [0’5 puntos] El rango de M 3 .
b) [0’75 puntos] El determinante de 2 M t ( M t es la matriz traspuesta de M).
c) [0’75 puntos] El determinante de
(M )
−1 2
.
d) [0’5 puntos] El determinante de N, donde N es la matriz resultante de intercambiar la primera y
segunda filas de M.
Ejercicio 9. — (Examen 2 − Septiembre 2013 − Opción A)
1 0 1
Considera las matrices 𝐴𝐴 = �1 1 0�
0 0 2
y
a) [1 punto] Halla, si es posible, A−1 y B −1 .
−1 1
1
𝐵𝐵 = � 1 −1 1 �
0
0 −1
b) [0’25 puntos] Halla el determinante de AB 2013 At siendo At la matriz traspuesta de A.
c) [1’25 puntos] Calcula la matriz X que satisface AX − B =
AB .
Ejercicio 10. — (Examen 4 − Reserva 2 Septiembre 2013 − Opción B)
−1 2
1 −1
Considera las matrices 𝐴𝐴 = �
� y 𝐵𝐵 = �
�.
0 1
1 0
a) [1’25 puntos] Calcula X e Y tales que X − Y =
B
At y 2 X − Y =
b) [1’25 puntos] Calcula Z tal que AZ
= BZ + A .
2
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Ejercicio 11. — (Examen 2 − Septiembre 2013 − Opción B)
6
 2x − 4 y + 6z =

my + 2 z =
m +1

−3 x + 6 y − 3mz = −9

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales
a) [1’75 puntos] Discute el sistema según los valores del parámetro m.
b) [0’75 puntos] Resuélvelo para m = 3. Para dicho valor de m, calcula, si es posible, una solución
en la que y = 0 .
Ejercicio 12. — (Examen 3 − Reserva 1 Septiembre 2013 − Opción A)
𝑥𝑥
−2 1
−3
1
Sean las matrices 𝐴𝐴 = �−1 𝑚𝑚 𝑚𝑚 − 2� , 𝐵𝐵 = �1� y 𝑋𝑋 = �𝑦𝑦�
𝑧𝑧
𝑚𝑚 0
2
0
a) [1’25 puntos] Determina el rango de A según los valores del parámetro m.
b) [0’75 puntos] Discute el sistema AX = B según los valores del parámetro m.
c) [0’5 puntos] Resuelve el sistema AX = B para m = 1.
Ejercicio 13. — (Examen 3 − Reserva 1 Septiembre 2013 − Opción B)
Sean A y B las matrices
2 −3
𝐴𝐴 = �
�
−3 5
𝐵𝐵 = �
y
1 −4
�
−9 5
a) [1’25 puntos] Calcula las matrices X e Y para las que 2 X − Y =
B.
A y X − 3Y =
3I (I denota la matriz identidad y
b) [1’25 puntos] Halla la matriz Z que verifica B + ZA + B =
B t la matriz traspuesta de B).
2
t
Ejercicio 14. — (Examen 4 − Reserva 2 Septiembre 2013 − Opción A)
Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales
x − y +

2 x + 3 y −
a) [1’5 puntos] Determina el valor de m para el que al añadir la ecuación
z =
0
z =
3
x + my + 4 z =
−3
al sistema anterior se obtenga un sistema con las mismas soluciones.
b) [1 punto] Halla la solución del sistema para la que la suma de los valores de las incógnitas sea 6.
Ejercicio 15. — (Examen 5 − Reserva 1 Junio 2013 − Opción A)
−1 1 0
0 2 1
Considera las matrices 𝐴𝐴 = � 2 0 0� , 𝐵𝐵 = �
�
1 2 0
1 0 1
a) [0’75 puntos] Halla A−1 .
y
1 2
�.
−1 6
𝐶𝐶 = �
t
b) [1’25 puntos] Calcula la matriz X que satisface AX = B C ( B t es la matriz traspuesta de B).
( )
c) [0’5 puntos] Halla el determinante de A2013 B t B A−1
2013
.
3
Problemas de Álgebra – PAU Andalucia
Ejercicio 16. — (Examen 5 − Reserva 1 Junio 2013 − Opción B)
𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐
Sabiendo que el determinante de una matriz 𝐴𝐴 = �𝑑𝑑 𝑒𝑒 𝑓𝑓 � es 4, calcula los siguientes
𝑝𝑝 𝑞𝑞 𝑟𝑟
determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilizas:
a) [1 punto] det(−2A) y det( A−1 ).
b) [1’5 puntos]
a
−b
2d
−2 e 2 f
p
−q
c
r
y
−3d
−3e −3 f
a
−p
b
−q
c
−r
Ejercicio 17. — (Examen 6 − Junio 2013 − Opción A)
1
0
−1
Sea 𝑀𝑀 = �0 𝑚𝑚 + 1
0 �
1
1
𝑚𝑚 − 1
a) [0’75 puntos] Determina los valores de m para los que los vectores fila de M son linealmente
independientes.
b) [1 punto] Estudia el rango de M según los valores de m.
c) [0’75 puntos] Para m = 1, calcula la inversa de M.
Ejercicio 18. — (Examen 6 − Junio 2013 − Opción B)
1 1
Sea 𝐴𝐴 = �
�.
1 −1
a) [1’5 puntos] Comprueba que A2 = 2 I y calcula A−1 .
b) [1 punto] Calcula A2013 y su inversa.
Ejercicio 19. — (2014. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A)
Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales
3
 x + 2 y − 3z =

5
2 x + 3 y + z =
a) Calcula α de manera que al añadir una tercera ecuación de la forma α x + y - 7z = 1, el sistema
resultante tenga las mismas soluciones que el original.
b) Calcula las soluciones del sistema dado tales que la suma de los valores de las incógnitas sea 4.
Ejercicio 20. — (2015. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN B )
Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales
2 x + y + (α − 1) z = α − 1

3z
1
=
 x − αy −
x
+ y
+
=
2z
2α - 2

a) Resuelve el sistema para α = 1.
b) Determina, si existe, el valor de α para que (x, y, z) = (1,-3, α) sea la única solución del sistema.
4
Problemas de Álgebra – PAU Andalucia
Ejercicio 21. — (2015. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN B )
Considera
las matrices A
=
 −1 2 
=
 y B
 2 m
1 2 0


 -2 m 0 
 3 2 m


a) Encuentra el valor, o los valores, de m para los que A y B tienen el mismo rango.
b) Determina, si existen, los valores de m para los que A y B tienen el mismo determinante.
SECCIÓN DE PROBLEMAS
Ejercicio 22. — (2012. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN A )
Un estudiante ha gastado 57 euros en una papelería por la compra de un libro, una calculadora y un
estuche. Sabemos que el libro cuesta el doble que el total de la calculadora y el estuche juntos.
a) ¿Es posible determinar de forma única el precio del libro?. ¿Y el de la calculadora?. Razona las
respuestas.
b) Si el precio del libro, la calculadora y el estuche hubieran sufrido un 50%, un 20% y un 25% de
descuento respectivamente, el estudiante habría pagado un total de 34 euros. Calcula el precio de cada
artículo.
Ejercicio 23. — (2009. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN A )
Tratamos de adivinar, mediante ciertas pistas, los precios de tres productos A, B y C.
Pista 1: Si compramos una unidad de A, dos de B y una de C gastamos 118 €.
Pista 2: Si compramos n unidades de A, n+3 unidades de B y 3 de C gastamos 390 €.
a) ¿Hay algún valor de n para el que estas dos pistas sean incompatibles?.
b) Sabiendo que n = 4 y que el producto C cuesta el triple que el producto A, calcula el precio de
cada producto.
Ejercicio 24. — (2008. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A )
Un cajero automático contiene sólo billetes de 10, 20 y 50 euros. En total hay 130 billetes con un
importe de 3000 euros.
a) ¿Es posible que en el cajero haya el triple número de billetes de 10 que de 50?.
b) Suponiendo que el número de billetes de 10 es el doble que el número de billetes de 50, calcula
cuantos billetes hay de cada tipo.
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Problemas de Álgebra – PAU Andalucia
Ejercicio 25. — (2005. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN A )
En una excavación arqueológica se han encontrado sortijas, monedas y pendientes. Una sortija, una
moneda y un pendiente pesan conjuntamente 30 gramos. Además, 4 sortijas, 3 monedas y 2 pendientes han
dado un peso total de 90 gramos. El peso de un objeto deformado e irreconocible es de 18 gramos.
Determina si el mencionado objeto es una sortija, una moneda o un pendiente, sabiendo que los
objetos que son del mismo tipo pesan lo mismo.
Ejercicio 26. — (2005. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN A )
Álvaro, Marta y Guillermo son tres hermanos. Álvaro dice a Marta: si te doy la quinta parte del
dinero que tengo, los tres hermanos tendremos la misma cantidad.
Calcula lo que tiene cada uno si entre los tres juntan 84 euros.
Ejercicio 27. — (2004. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN B )
Un tendero dispone de tres tipos de zumo en botellas que llamaremos A, B y C. El mencionado
tendero observa que si vende a 1 € las botellas del tipo A, a 3 € las del tipo B y a 4 € las del tipo C, entonces
obtiene un total de 20 €. Pero si vende a 1 € las del tipo A, a 3 € las del B y a 6 € las del C, entonces obtiene
un total de 25 €.
a) Plantea el sistema de ecuaciones que relaciona el número de botellas de cada tipo que posee el
tendero.
b) Resuelve dicho sistema.
c) ¿Puede determinarse el número de botellas de cada tipo de que dispone el tendero?. (Ten en
cuenta que el número de botellas debe ser entero y positivo).
Ejercicio 28. — (2003. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN B )
Una empresa cinematográfica dispone de tres salas, A, B y C. Los precios de entrada a estas salas
son de 3, 4 y 5 €, respectivamente. Un día la recaudación conjunta de las tres salas fue de 720 € y el número
total de espectadores fue de 200. Si los espectadores de la sala A hubieran asistido a la sala B y los de la sala
B a la sala A, se hubiese obtenido una recaudación de 20 € más. Calcula el número de espectadores que
acudió a cada una de las salas.
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