Download Geometria Diferencial 1 Programa Semestre II-2014

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
Facultad de Ciencias - Departamento de Matemáticas
Geometría Diferencial I – Cód. 2019078-1
Asignatura de pregrado y postgrado.
Semestre II-2014
Profesor: Gabriel Padilla.
Oficina 404-315
Tel. 3165000 Ext. 13166
[email protected]
Evaluación
Cuatro parciales de dos horas (20% c/u); y una exposición final de 10' (20%).
Contenido
Parcial 1
• Curvas: Curvas planas, vector tangente, curvas regulares, vector normal, longitud de arco.
Curvas en R3, vector binormal, ecuaciones de Frênet-Serre.
• Superficies: Superficies regulares. Planos tangentes. Formas fundamentales. Curvatura normal,
principal y de Gauss. Curvas geodésicas. Símbolos de Christoffel.
Parcial 2
• Repaso de cálculo multivariado: Campos escalares y vectoriales en Rn. Continuidad,
derivabilidad, derivadas parciales, regla de la cadena. Funciones implícitas. Integrales
múltiples, cambio de variables. Integrales de línea y superficie. Teoremas de integración
(Green, Gauss, Stokes).
• Teorema de Poincaré en Rn: Determinantes por definición. Álgebra multilineal. Producto
tensorial y producto exterior. Formas diferenciales en R n. Diferencial de una forma. Teorema de
Poincaré.
Parcial 3
• TFC forma simple: Los teoremas de cálculo multilineal reescritos con formas diferenciales.
Teorema fundamental del cálculo.
• Repaso de topología: Espacios métricos. Compacidad. Paracompacidad. Particiones de la
unidad continuas y suaves. Cubrimientos buenos.
Parcial 4
• Variedades suaves: Atlas de una variedad. Funciones suaves. Rango de una función suave.
Inmersiones, submersiones, embebimientos, difeomorfismos.
Subvariedades regulares.
Variedades con borde.
• TFC forma general: Espacio tangente en un punto. Campos vectoriales y formas diferenciales
generales; relación con el cálculo multivariado. Integración en variedades. Teorema de Stokes =
TFC.
Exposiciones
Para pregrado:
• Existencia de particiones de la unidad suaves.
• Existencia de cubrimientos buenos.
• Flujo generado por un campo vectorial suave.
• Derivada de Lie y corchete de Lie.
• Grupos de Lie.
Para postgrado:
• Construcción del fibrado tangente de una variedad suave.
• Relación entre campos vectoriales generales y cálculo VV.
• Campos vectoriales integrables.
• Involución algebraica.
• Teorema de Frobenius.
• Foliaciones suaves.
• Espacio tangente de un grupo de Lie.
Bibliografía
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SHARPE, C. Differential Geometry. Graduate Texts in Mathematics Vol. 166. Springer-Verlag.
(1996).
[9] SPIVAK, M. Calculus on manifolds. Addison Wesley. (1965).
Referencias por parciales:
• Parcial 1: [2, 4]
• Parcial 2: [4, 6, 8]
• Parcial 3: [5, 8, 9]
• Parcial 4: [1, 8, 9]