Download programa de maestría en matemáticas

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
PROGRAMA DE MAESTRÍA EN MATEMÁTICAS
1
PROGRAMA DE MAESTRÍA EN MATEMÁTICAS
1.
PRESENTACIÓN
El Consejo Superior de la Universidad de Antioquia, mediante Acuerdo No. 6 de 1967, dispuso que el Instituto de Estudios Generales se transformara en la Facultad de Ciencias y Humanidades. Uno de los departamentos de la nueva facultad fue el Departamento de Matemáticas. Uno de los objetivos principales de la Facultad de Ciencias y Humanidades era del de crear carreras de corta duración que permitieran la formación de profesionales en Programas del conocimiento que no se pudieran estudiar en las facultades profesionales existentes. Para cumplir con este objetivo, el 22 de noviembre de 1968, por Acuerdo 51 se creó la Licenciatura en Matemáticas, programa conducente al título de “Licenciado en Matemáticas” y adscrito al Departamento de Matemáticas. La primera admisión se realizó en 1970 y el mismo año empezó a funcionar con 16 estudiantes matriculados.
A partir de septiembre 18 de 1972, por Resolución Rectoral No. 222, de esa fecha, se cambia el título para los egresados del programa por el de “Matemático”. El programa tiene aprobación por parte del ICFES por Acuerdo 117 de 1974. El pensum del pregrado fue aprobado por los Acuerdos Académicos No. 31 del 22­09­83 y No. 8 del 16­08­84. El pensum actual está vigente para los estudiantes matriculados a partir del primer semestre de 1991.
Por Acuerdo No. 63 del 11 de abril de 1969 (cinco meses después de creada la licenciatura) el Consejo Directivo de la Universidad de Antioquia crea el programa de “Magíster en Matemáticas”. Este programa debía ser administrado conjuntamente por el Jefe del Departamento de Matemáticas de EAFIT y el Jefe del Departamento 2
de Matemáticas de la Universidad de Antioquia. Este programa no funcionó por parte de la Universidad de Antioquia; sin embargo, EAFIT lo ha mantenido hasta el presente.
En 1980 se crea la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales con los departamentos de Matemáticas, Física, Química y Biología. Entre los objetivos del Departamento de Matemáticas estaba, además de atender los cursos de servicio en matemáticas que se le solicitaran, el de desarrollar la matemática en la Universidad.
2.
JUSTIFICACIÓN
La matemática incide cada vez más en áreas de la vida cotidiana, desde el comercio, las comunicaciones, la medicina, la biología, hasta los viajes interestelares y las modernas teorías que tratan de modelar el funcionamiento de la mente humana.
Es apenas lógico pensar que una medida del grado de desarrollo de una institución universitaria es su mayor o menor nivel matemático y que las instituciones científicas deben velar, permanentemente, por su crecimiento en las ciencias básicas.
Aceptada esta premisa se impone, en la Universidad de Antioquia, el establecimiento de condiciones que permitan un crecimiento de la matemática acorde con el desarrollo creativo de la institución en general y, en particular, de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Este “emerger matemático” sólo puede darse si se posibilita el que estudiantes de pregrado puedan continuar estudios de 3
posgrado que, con sus trabajos de investigación, logren tal desarrollo matemático y se conviertan en candidatos para seguir estudios doctorales.
Las condiciones actuales son absolutamente favorables para lograr tal desarrollo ya que:
1.
Al Programa de Pregrado en Matemáticas se han vinculado en el último año seis profesores de tiempo completo con título de Ph.D., quienes están en capacidad de inducir un crecimiento académico, sin precedentes en esta unidad académica.
Con estos doctores y los magísteres que hay en el Programa de Pregrado se posibilita el trabajo académico­investigativo en las siguientes líneas:
Análisis Funcional y Ecuaciones Diferenciales: Dra. Ruth Stella Huérfano, Dr. Raúl Felipe P.y Msc. Jaime Escobar.
Bioestadística: Dra Lydia Lera Marqués y Msc. Amparo Vallejo, Msc. Armando Gutiérrez y Dr. Daya Krishna Nagar.
Álgebra:Dr. Mario Estrada y Msc. Gilberto García y Msc. Andrés De La Torre.
Matemática Aplicada: Dr. Alexei Rodionov, Msc. Luis Enrique Ruiz G.
Redes Neuronales y Reconocimiento de Patrones: Dra. Nancy López.
Lógica y Teoría de Conjuntos: Msc. Gabriel Jaime Ordóñez.
4
2.
La Escuela Regional de Matemáticas (ERM), de la cual el Programa de Pregrado es activa promotora, tiene como proyecto bandera la creación de un doctorado en matemáticas de carácter regional, sustentado por las universidades de la ERM que tengan profesores con título de Ph.D. en Matemáticas.
3.
Nuestra unidad académica empieza a ser reconocida, tanto en el ámbito nacional como internacional, como consecuencia de la participación a nivel profesoral y estudiantil­ en eventos académicos y la firma de convenios interinstitucionales. Es de destacar el convenio que acaba de suscribirse con el Instituto de Cibernética, Matemática y Física (ICIMAF) de La Habana, Cuba, que facilita el intercambio de investigadores y el desarrollo de programas científicos de manera conjunta.
Estamos, por lo tanto, en este momento creando un programa de maestría en Matemáticas con líneas en Análisis, Álgebra y Estadística, que canalice las líneas de investigación que empiezan a gestarse, sirva de soporte a los otros programas de posgrado de la Facultad, forme personal calificado para la renovación profesoral que, en el Programa de matemáticas, requiere el país y produzca personas con la formación científico­investigativa adecuada para nutrir los programas de doctorado en matemáticas que, es de esperarse prontamente se desarrollarán, en la región y en el país.
3.
OBJETIVOS
5
Formar investigadores matemáticos y estadísticos capaces de: Interactuar con pares del país y del exterior, presentar y liderar proyectos de investigación, generar nuevos conocimientos y desempeñarse como docentes universitarios a nivel de pregrado y posgrado en la enseñanza de las matemáticas y de la estadística.
4.
RESPONSABLES DEL POSGRADO:
El manejo, fomento, coordinación, control y desarrollo del Programa de Posgrado de Matemáticas, estará a cargo de:
a.
El Coordinador del Programa de Posgrado en Matemáticas.
b.
El Comité del Posgrado en Matemáticas.
Las funciones del Coordinador del Posgrado serán primordialmente académico­
administrativas y serán los siguientes:
1.
Responder ante el Consejo de la Facultad por el funcionamiento académico­
administrativo del posgrado.
2.
Hacer parte del Comité de Posgrado.
3.
Presentar semestralmente al Consejo de la Facultad un informe sobre la marcha del posgrado.
4.
Velar por el cumplimiento de los programas de los cursos del posgrado.
6
5.
Promover acuerdos de cooperación con otras instituciones académicas nacionales e internacionales que trabajen en el campo matemático.
6.
Supervisar las actividades realizadas por los profesores y estudiantes del posgrado en los núcleos de investigación.
7.
Realizar reuniones periódicas con los profesores del posgrado para examinar la marcha del mismo.
8.
Preparar la solicitud que autoriza la iniciación de actividades y tramitarla ante el Ministerio de Educación e ICFES.
9.
Las demás que le asignen los organismos directivos de la Universidad.
El Comité del Programa de Posgrado en Matemáticas estará conformado por:
a.
El Jefe del Departamento de Matemáticas.
b.
El Coordinador del Posgrado en Matemáticas.
c.
Un profesor del Posgrado elegido por los profesores del Posgrado. d.
Un estudiante del posgrado, elegido por los estudiantes del mismo, según el reglamento estudiantil del posgrado.
Son funciones del Comité de Posgrado las siguientes:
1.
Aprobar los programas de los cursos, los calendarios y proponer revisiones curriculares.
7
2.
Designar los profesores de los cursos de posgrado para cada semestre.
3.
Fijar el cupo, vigilar y desarrollar el proceso de admisión de los aspirantes al posgrado.
4.
Aprobar los proyectos sobre trabajos de investigación de los estudiantes del posgrado y velar por el cumplimiento de los objetivos y el cronograma del mismo.
5.
Atender y estudiar en primera instancia las solicitudes de los profesores y estudiantes relacionadas con el posgrado.
6.
Fijar las fechas de las sustentaciones de los trabajos de investigación.
7.
Certificar ante el Consejo de Facultad el cumplimiento por parte de los estudiantes del posgrado, de los requisitos para optar al título de Magíster en Matemáticas.
8.
Velar por el cumplimiento de la evaluación, los contenidos y los objetivos propuestos en los cursos del posgrado.
9.
Reunirse, al menos, cada quince días y elaborar actas de las reuniones.
10.
Evaluar para cada cohorte el programa de posgrado y hacer las recomendaciones al Consejo de Facultad sobre posibles ajustes al mismo.
8
Los profesores del posgrado en Matemáticas son todos los profesores del Programa de Pregrado que posean al menos, título de Magíster y que desarrollen total o parcialmente su plan de trabajo en el posgrado.
5.
CARACTERÍSTICA DEL ASPIRANTE
El Posgrado va dirigido a personas que hayan terminado un programa de formación universitaria y que en las pruebas de admisión obtengan un puntaje suficiente para ser admitidos. Los estudiantes del posgrado son estudiantes de tiempo completo.
6.
PROCEDIMIENTO DE ADMISIÓN
La admisión al posgrado se definirá mediante un examen de admisión y el estudio de la hoja de vida académica del estudiante. Cada uno de estos factores tendrá un valor de 50%. El examen de admisión versará sobre temas de Análisis Matemático y Álgebra para los aspirantes a las líneas de Análisis y Álgebra o sobre temas de Probabilidad e Inferencia Estadística para los aspirantes a la línea de Estadística. El Comité de Posgrado definirá, para cada cohorte, si se realiza una prueba conjunta o dos pruebas separadas, en cada línea. Igualmente, definirá los temas y los libros en los cuales se encuentran dichos temas.
El análisis de la hoja de vida comprende los siguientes aspectos:
a.
Promedio de las calificaciones del pregrado.
b.
Distinciones académicas obtenidas.
9
c.
Otros estudios realizados, diferentes al pregrado.
d.
Experiencia docente.
e.
Experiencia investigativa.
f.
Publicaciones.
Cada uno de estos aspectos recibe un puntaje según que el aspirante tenga dos o más años de haber obtenido su título de pregrado o menos de dos años y de acuerdo a la siguiente tabla:
ASPECTO
Dos o más años
de egresado
Menos de dos
años de egresado
A
B
C
D
E
F
0­5
0­5
0­10
0­10
0­10
0­10 puntos
0­20
0­10
0­5
0­5
0­5
0­5 puntos
El puntaje mínimo para ser admitido es de 60 puntos sobre 100. 10
La admisión se definirá según la disponibilidad de cupos, en estricto orden descendente de puntaje entre los aspirantes que hayan alcanzado el puntaje mínimo de admisión.
De acuerdo al número de proyectos de investigación en marcha y al número de estudiantes que puedan participar en los mismos, se establecerá el número de aspirantes para la cohorte.
Según el orden en el puntaje obtenido en el proceso de admisión, cada aspirante irá eligiendo el proyecto de investigación en el cual va a realizar su trabajo de investigación. El investigador principal o uno de los coinvestigadores (si los hay), será el tutor del estudiante (o estudiantes) que va a trabajar en su proyecto, lo asesorará en los cursos optativos que debe tomar y en toda la parte académica relacionada con su trabajo.
El estudiante será orientado por el tutor, desde el primer semestre, en su trabajo de investigación. Al finalizar el semestre, el tutor presentará al Comité de Posgrado un informe sobre el trabajo del estudiante en su proyecto de investigación.
El posgrado de manera periódica, ofrecerá cursos de nivelación preparatorios para el examen de admisión. La participación en estos cursos sólo da lugar a una certificación de asistencia y no genera ningún compromiso con la admisión al posgrado.
7.
ASPECTO CURRICULAR
11
El número de asignaturas que obligatoriamente debe acreditarse es ocho, sin incluir una segunda lengua extranjera (que corresponderá certificar al estudiante, en los aspectos de competencia lectora y comprensión oral). De tales asignaturas, cuatro serán obligatorias según el Programa y cuatro optativas, y un trabajo de investigación. Se propone que esto tome a lo más cuatro semestres de tiempo completo de cada alumno. Las asignaturas serán acreditadas aprobando los cursos con nota no inferior a 3.5. Todos los estudiantes inscritos en un curso están obligados a presentar el correspondiente examen final el cual cubrirá toda la materia.
El plan de estudios consta de 48 créditos cubiertos en 8 asignaturas, de los cuales 16 son obligatorios (sin incluir el idioma inglés y el trabajo de investigación), dos seminarios de dos horas semanales cada uno con dos créditos.
El trabajo de investigación tendrá 12 créditos, deberá ser sustentado ante un jurado compuesto por el tutor y dos profesores nombrados por el Consejo de Facultad.
8.
PROFESORES Y TUTORES
Los siguientes profesores hacen parte inicialmente del grupo de profesores de Posgrado con su Área de trabajo:
• De La Torre Gómez Andrés Felipe
Msc.
Álgebra, Historia de la Matemática.
• Escobar Acosta Jaime de J.
Msc.
Análisis
12
• Estrada Valdés Mario Eugenio
Ph.D.
Álgebra.
• Felipe Parada Lázaro Raúl
Ph.D.
Ecuaciones Diferenciales, Análisis Funcional.
• García Pulgarín Gilberto
Msc.
Álgebra.
• Gómez RomeroArmando
*Msc.
Sistemas.
• Guerra Ones Valia
*Ph.D.
Análisis Numérico
• Gutiérrez Arias, Armando
Msc.
Estadística.
• Huérfano Belisamón Ruth Stella
Ph.D.
Análisis y Geometría
• Lera Marqués Lydia
Ph.D.
Estadística
• López Reyes Nancy
Ph.D.
Redes Neuronales, Reconocimento de Patrones
• Nagar Daya Krishna
Ph.D.
Estadística
• Ordóñez Montoya Gabriel Jaime
Msc.
Lógica, Teoría de Conjuntos.
• Rodionov Alexei
Ph.D.
Análisis
13
• Vallejo Arboleda Amparo
Msc.
Estadística
*Candidatos cercanos al título
9.
CONVENIOS
1.
Con el Instituto de Cibernética, Matemática y Física (ICIMAF) de la Habana (Cuba).
2.
Con la Escuela Regional de Matemáticas (E.R.M.).
3.
Con la Universidad Nacional.
4.
Con la Escuela de Administración y Finanzas (EAFIT).
10.
INVESTIGACIONES
En marcha se tiene la investigación “Extensiones Supersimétricas de los Sistemas Integrables” con el profesor Lázaro Raúl Felipe Parada como investigador principal.
Aprobadas por el CIEN (Centro de Investigaciones de la Facultad de Ciencias Exactas), se tienen los siguientes proyectos:
“Soluciones Analíticas de Ecuaciones en Derivadas Parciales” con Alexei Rodionov como investigador principal.
14
“Desarrollo y Aplicaciones de Redes Neuronales Artificiales” con Nancy López Reyes como investigadora principal.
“Matrix Variable Beta Distribution”con Daya Krishna Nagar como investigador principal.
Por último, está en proceso de aprobación el proyecto: “Conexiones Gauge e Invariantes Topológicas en 3­Variedades” con Ruth Stella Huérfano como investigadora principal.
11.
RECURSOS FÍSICOS
El posgrado de Matemáticas compartirá con el pregrado de Matemáticas la infraestructura física que tiene actualmente, para lo cual se racionalizarán los espacios físicos como oficinas, aulas, salas de cómputo, etc. El aula 5­106 se adoptará como aula para los cursos del posgrado. Compartirá con el pregado el aula 5­118, dotado de microcomputador con multimedia, datashow, proyector, pantalla y acceso a Internet con capacidad para 30 personas.
La Facultad cuenta con una sala con 18 microcomputadores conectados en red con un servidor y con acceso a Internet en el salón 5­104 y próximamente contará con otra sala, en la 4­126 con 30 computadores.
Software especializado para matemática y estadística como: Maple, Mathematica, Derive, Statgraphics, Statistica, SAS, Matlab.
15
El posgrado contará inicialmente con un auxiliar administrativo y un computador.
En el momento actual, el pregrado cuenta con 7 espacios en oficinas para ubicar los nuevos profesores que próximamente se estarán vinculando al Programa. Próximamente se pasará un proyecto sobre reformas locativas de las oficinas 4­103, 4­104, 4­105 y 4­106 con el objeto de ubicar dos oficinas adicionales que podrían ser utilizadas por el Programa de Posgrado.
12.
RECURSOS BIBLIOGRÁFICOS
Como parte de su plan estratégico de actualización y modernización, la Universidad de Antioquia tiene un compromiso serio y decido con respecto al desarrollo de la matemática. Así se ha conseguido recientemente comprometer a la Biblioteca Central de la Universidad con la inmediata consecusión de libros que complementarán la bibliografía, que el programa de Maestría requiere. La Biblioteca Central también se ha comprometido a continuar la subscripción que tiene a las revistas: “Biometrics” y “American Mathematical Monthly” y a conseguir la pronta subscripción a las revistas: Annals of Statistics, Journal of the American Statistical Association, Mathematical Annals, Pacific Journal of Mathematics, como pasos iniciales para promover la investigación matemática en nuestra Universidad.
13.
RECURSOS FINANCIEROS
Los recursos del posgrado serán los siguientes:
Las matrículas de los estudiantes.
16
Los proyectos de investigación de los profesores del posgrado, los cuales dentro de su presupuesto tendrán rubros para financiar al menos un estudiante del posgrado.
Los proyectos de extensión del posgrado.
Recursos de la Universidad como los generados por la estampilla.
Donaciones.
14.
PLAN DE AUTOEVALUACIÓN Y ACREDITACIÓN DEL PROGRAMA
El artículo 16 del Estatuto General de la Universidad establece la autoevaluación como una tarea permanente de la Institución y declara que la Universidad acoge en el Sistema Nacional de Acreditación y participar en el mismo.
En la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales se ha conformado un Comité de Autoevaluación y Acreditación el cual definirá, en asocio con el Consejo de Facultad, las directrices de este proceso.
El Programa de Posgrado en Matemáticas que se propone acoge en todas sus partes las directivas del Comité de Autoevaluación de la Facultad y realizará en forma continua el proceso de autoevaluación con miras a lograr la excelencia académica y la acreditación por parte del Ministerio de Educación Nacional
15.
REGLAMENTO DEL POSGRADO
El reglamento del posgrado en Matemáticas estará acorde con el reglamento estudiantil de posgrado de la Universidad(Acuerdo No. 4 de 1984).
ACUERDO ACADÉMICO 0096
17
27 de mayo de 1997
Por el cual se crea el programa de Maestría en Matemáticas.
EL CONSEJO ACADÉMICO DE LA UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA, en uso de sus facultades legales y reglamentarias, en especial las conferidas en el literal c) del artículo 37 del Estatuto General de la Institución y
CONSIDERANDO
1.
Que el nuevo Estatuto General define que el Consejo Académico crea, cambia, fusiona o suspende programas académicos a propuesta de los Consejos de Facultad y elabora directrices para el efecto.
2.
Que el Consejo de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales presentó una propuesta de crear el programa de Maestría en Matemáticas.
18
3.
Que el Comité Central de Posgrado, analizó el proyecto y lo encontró adecuadamente sustentado demostrándose la necesidad y factibilidad de su realización.
4.
Que para el desarrollo de la ciencia, la tecnología y la investigación, se requiere una Universidad con fortalezas en el Programa de matemáticas.
­2­
Acuerdo Académico 0096
ACUERDA
ARTÍCULO PRIMERO.
Crear el programa de Maestría en Matemáticas, adscrito al Programa de Pregrado en Matemáticas de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales.
ARTÍCULO SEGUNDO.
El programa de Maestría en Matemáticas tendrá una duración de cuatro semestres.
ARTÍCULO TERCERO.
Otorgar el título de Magister en Matemáticas a los estudiantes que cumplan los requisitos exigidos.
19
JAIME RESTREPO CUARTAS
LUIS FERNANDO MEJÍA VÉLEZ
El Presidente
El Secretario
20
PLAN DE ESTUDIOS LÍNEA DE ANÁLISIS Y ÁLGEBRA
Horas/
Créditos seman
a
Semest
Código
Nombre
I
CNM 601
Álgebra Lineal y Aplicaciones
4
4
CNM 602
Análisis Real
4
4
CNM 603
Análisis Complejo
4
4
CNM 610
Álgebra Conmutativa y Geometría Algebraica
4
4
Optativa I
4
4
Optativa II
4
4
Seminario
2
2
Optativa III
4
4
4
4
II
III
Optativa IV
21
IV
Seminario
2
Trabajo de Investigación
12
TOTAL
2
48
PLAN DE ESTUDIOS DE LA LÍNEA DE ESTADÍSTICA
horas/
Créditos seman
a
Semest
Código
Nombre
I
CNM 601
Álgebra Lineal y Aplicaciones
4
4
CNM 604
Probabilidad
4
4
CNM 611
Inferencia
4
4
CNM 605
Modelos Lineales
4
4
Optativa I
4
4
4
4
II
22
Optativa II
2
2
4
4
4
4
2
2
12
12
Seminario
Optativa III
III
Optativa IV
Seminario
Trabajo de Investigación
IV
48
TOTAL
OBJETIVO DE LAS MATERIAS OBLIGATORIAS:
1.
Proporcionar un conocimiento formal y sólido en los siguientes temas básicos de la Matemática de acuerdo a la línea elegida.
2.
Lograr que los estudiantes puedan comunicarse con propiedad y rigor matemático y que a su vez puedan plantear y resolver problemas de manera clara y rigurosa.
23
OBJETIVO DE LAS MATERIAS OPTATIVAS
1.
Con estas materias el alumno podrá ser capaz de comprender la literatura especializada tanto en el campo de las investigaciones como en el de las aplicaciones.
2.
Asimilar métodos poderosos para resolver problemas en Programas específicas y de esta manera entrar en contacto con algunas direcciones de investigación o problemas aplicados de actualidad.
ASIGNATURAS OBLIGATORIAS SEGÚN EL ÁREA
LÍNEA DE ANÁLISIS Y ÁLGEBRA:
­
CNM 610 Álgebra Conmutativa y Geometría Algebráica
­
CNM 601 Álgebra Lineal y Aplicaciones.
­
CNM 602 Análisis Real.
­
CNM 603Análisis Complejo.
LÍNEA DE ESTADÍSTICA:
24
­
CNM 601 Álgebra Lineal y Aplicaciones.
­
CNM 604 Probabilidad.
­
CNM 611 Inferencia.
­
CNM 605 Modelos Lineales.
ASIGNATURAS OPTATIVAS DE LA LÍNEA DE ANÁLISIS Y ÁLGEBRA
CNM 620
Introducción al Análisis Funcional.
CNM 621
Análisis Funcional Avanzado I
CNM 622
Análisis Funcional Avanzado II.
CNM 623
Análisis Funcional Aplicado.
CNM 624
Métodos de Aproximación.
CNM 630
Ecuaciones Diferenciales Parciales I.
CNM 631
Ecuaciones Diferenciales Parciales II.
CNM 635
Métodos Matemáticos.
CNM 641
Álgebra Conmutativa e Introducción al Álgebra Local.
CNM 642
Álgebra Computacional: Bases de Gröbner y Aplicaciones.
CNM 643
Álgebra Homológica.
CNM 645
Tópicos de Combinatoria y Álgebra Conmutativa.
ASIGNATURAS OPTATIVAS DE LA LÍNEA DE ESTADÍSTICA
CNM 650
Muestreo.
25
CNM 651
Muestreo para poblaciones biológicas.
CNM 660
Diseño de Experimentos I.
CNM 661
Diseño de Experimentos II.
CNM 665
Análisis Datos Categóricos.
CNM 670
Análisis Multivariante I.
CNM 671
Análisis Multivariante II.
CNM 680
Procesos Estocásticos.
CNM 681
Series de Tiempo I.
CNM 682
Series de Tiempo II.
CNM 685
Control de Calidad.
Los requisitos para optar al título de Magister en Matemáticas son:
­
Haber aprobado las ocho asignaturas (obligatorias y optativas).
­
Haber sustentado y aprobado su trabajo de investigación.
­
Haber presentado un examen de suficiencia en una segunda lengua extranjera.
­
Haber realizado el Seminario de Investigación.
26
PROGRAMAS DE LOS CURSOS
OBLIGATORIOS Y OPTATIVOS
EN LAS LÍNEAS
DE ANÁLISIS Y ÁLGEBRA
27
PROGRAMA DE ÁLGEBRA LINEAL
1.
2.
VECTORES Y MATRICES
1.1.
Vectores y espacios vectoriales.
1.2.
Transformaciones lineales.
1.3.
Correspondencia entre transformaciones lineales y matrices.
1.4.
Sumas directas, productos y cocientes.
1.5.
Aplicaciones.
PROBLEMAS LINEALES
2.1.
Sistemas de ecuaciones lineales.
2.2.
Espacios de solución de un sistema.
2.3.
Problemas equivalentes (cambios de base, transformaciones elemen­
tales y de semejanza).
3.
2.4.
Inversión matricial; determinantes y desarrollo por menores.
2.5.
Algoritmos computacionales para solución de problemas lineales.
FORMAS CANÓNICAS
3.1.
El grupo de los cambios de base.
3.2.
Espacio lineal y ortogonal.
3.3
Formas canónicas de transformaciones lineales del plano y del espa­
cio.
3.4.
Formas canónicas de transformaciones lineales en general.
28
3.5.
Descomposición de Jordan.
3.6.
Cálculo de valores propios, de formas diagonales y de formas nilpo­
tentes.
4.
3.7.
Complejificación y subespacios reales.
3.8.
Aplicaciones a sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.
OTROS MÉTODOS ALGEBRÁICOS
4.1.
Acción del anillo de polinomios en un espacio vectorial.
4.2.
El polinomio mínimo y el polinomio característico.
4.3.
Cálculo de los polinomios mínimos y característicos.
4.4.
Teorema de Cayley­Hamilton.
4.5.
Construcción de transformaciones lineales con polinomio mínimo dado.
4.6.
Introducción a la teoría de módulos sobre anillos y teoremas estruc­
turales.
4.7.
Aplicaciones.
OBJETIVOS:
29
1.
Conocimientos sólidos del Álgebra Lineal y sus aplicaciones.
2.
Poder realizar cálculos hábiles en la obtención de la forma canónica.
BIBLIOGRAFÍA
­
Birkhoff, G. y Mac Lane, S. A survey of Modern Algebra. Macmillan Publishing Company. New York. 1977.
­
Jacobson, N. Basic Algebra I. W. H. Freeman and Company. San Francisco. 1974.
­
Lang, S. Algebra. Addison­Wesley Publishing Company. Reading. Massachusetts. 1965.
­
Hirsch, M. and Smale, S. Differential equations, dynamical systems and Linear Algebra. Academic Press. New York. 1974.
PROGRAMA DE ÁLGEBRA CONMUTATIVA Y GEOMETRÍA ALGEBRÁICA
Título:
TÓPICOS DE ÁLGEBRA CONMUTATIVA Y GEOMETRÍA ALGE­
BRÁICA.
1.
VARIEDADES ALGEBRÁICAS
30
2.
3.
1.1.
Variedades algebráicas afines.
1.2.
El teorema de la base de Hilbert.
1.3.
Descomposición de una variedad en componentes irreducibles.
1.4.
El teorema de los ceros de Hilbert.
1.5.
El espectro de un anillo.
1.6.
Variedades proyectivas y el espacio homogéneo.
DIMENSIÓN
2.1.
La dimensión de Krull de espacios topológicos y de anillos.
2.2.
Cadenas de ideales primos y extensiones enteras de anillos.
2.3.
Dimensión de álgebras afines y de variedades algebraicas afines.
2.4.
Dimensión de variedades proyectivas.
FUNCIONES REGULARES Y FUNCIONES RACIONALES SOBRE VARIEDADES
3.1.
Algunas propiedades de la topología de Zarinski.
3.2.
El haz de funciones regulares sobre una variedad algebráica.
3.3.
Anillos y módulos de fracciones.
3.4.
Suma fibrada y producto fibrado de módulos. Pegamiento de módu­
los.
31
4.
SOBRE EL NÚMERO DE ECUACIONES NECESARIAS PARA DESCRIBIR UNA VARIEDAD ALGEBRÁICA
4.1.
Toda variedad en el espacio N­dimensional es la intersección de N hipersuperfices.
4.2.
Anillos y módulos de longitud finita.
4.3.
Teorema de los ideales principales de Krull. Dimensión de la inter­
sección de dos variedades.
4.4.
Aplicación del teorema de ideales principales en anillos Noetheria­
nos.
BIBLIOGRAFÍA
­
E. Kunz. Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry. Bikhäuser, Boston. 1985.
­
M. Atiyah y I.G. MacDonald. Introducción al Álgebra Conmutativa. Editorial Reverté. Barcelona. 1973.
­
H. Matsumura. Commutative Algebra. Benjamin. New York. 1980.
­
I.R. Shafarevich. Basic Algebraic Geometry. Springer Verlag. 1974.
­
D. Mumford. Introduction to Algebraic Geometrly. Princeton. 1968.
32
­
O. Zarisky y P. Samuel. Commutative Algebra. Vol. I­II. Van Nustrand. 1958, 1960.
33
PROGRAMA DE ANÁLISIS REAL
1.
TOPOLOGÍA EN Rn.
1.1.
Interior, clausura, puntos de acumulación y frontera en subconjuntos de Rn.
1.2.
Sucesiones y series en Rn.
1.3.
Teoremas de Heine­Borel y Bolzano­Weierstrass.
1.4.
Compacidad y conexidad bajo funciones continuas.
1.5.
Convergencia uniforme, teoremas de Arzela­Ascoli y Stone­Weiers­
trass.
2.
LOS TEOREMAS DEL ANÁLISIS REAL
2.1.
Funciones diferenciales.
2.2.
Regla de la cadena, derivadas direccionales, teorema del valor me ­
dio, teorema de Taylor y máximos y mínimos.
2.3.
Teoremas de la función inversa y la función implícita; aplicaciones (multiplicadores de Lagrange, lema de Morse).
2.4.
Integración en Rn; teorema fundamental del cálculo.
2.5.
Existencia, unicidad, continuidad y extensión de soluciones de ecua­
ciones diferenciales.
2.6.
Integrales impropias y teoremas de convergencia.
2.7.
Aplicaciones: Series de Fourier e integrales de Fourier.
2.8.
Aplicaciones de la teoría de Fourier a ecuaciones diferenciales.
2.9.
Análisis de Fourier (Series de Fourier­Bessel).
34
3.
4.
5.
6.
MEDIDA DE LEBESGUE Y FUNCIONES MEDIBLES
3.1.
Medida exterior de Lebesgue. Conjuntos medibles según Lebesgue.
3.2.
Propiedades de la medida de Lebesgue.
3.3.
Propiedades elementales de las funciones medibles.
3.4.
Teoremas de Egorov y Lusin.
INTEGRAL DE LEBESGUE
4.1.
Definición de la integral para funciones no negativas.
4.2.
Propiedades de la integral de una función medible arbitraria.
4.3.
Integrales múltiples. Teoremas de Fubini y Tonelli.
LA CLASE Lp.
5.1.
Definición de los espacios Lp.
5.2.
Desigualdades de Hölder y Minkowski.
5.3.
Propiedades de los espacios métricos y de Banach.
INTEGRACIÓN ABSTRACTA
6.1.
Funciones de conjuntos aditivas. Medidas.
6.2.
Funciones medibles, integración.
6.3.
Funciones absolutamente continuas y singulares.
35
6.4.
El dual de los espacios. Lp.
6.5.
Diferenciación relativa de medidas.
OBJETIVOS:
1.
Hacer un resumen eficiente del material básico del análisis real.
2.
Que el estudiante desarrolle habilidades para realizar cálculos complejos, basado en el empleo de los teoremas de convergencia uniforme y de aproximación.
BIBLIOGRAFÍA
­
Halmos, P. Measure Theory. Van Nostrand. Princeton. New Jersey. 1950.
­
Lang, S. Real Analysis. Addison­Wesley Publishing Company. Reading. Massachusetts. 1983.
­
Rudin, W. Real and Complex Analysis. McGraw Hill. New Delhi. 1978.
­
Royden, H. Real Analysis. Macmillan Publishsing Company. New York. 1968.
­
Bartle, R. The elements of Real Analysis. John Wiley and sons. Inc. New York. 1964.
36
­
Marsden, I. Elementary classical Analysis. W.H. Freeman and Company. San Francisco. 1974.
37
PROGRAMA DE ANÁLISIS COMPLEJO
1.
2.
FUNCIONES ANALÍTICAS
1.1.
Ecuaciones de Cauchy­Riemann.
1.2.
Aplicacaciones conformes.
1.3.
Superficies de Riemann Elementales.
INTEGRACIÓN
2.1.
Fórmula integral de Cauchy.
2.2.
Teorema de Taylor. El principio del Máximo.
2.3.
Forma general del teorema de Cauchy (regiones múltiplemente cone­
xas).
2.4.
Cálculo de residuos. El teorema de los residuos. Principio del argu­
mento.
3.
4.
SUCESIONES INFINITAS
3.1.
Convergencia uniforme. Límite de funciones analíticas.
3.2.
Series de potencia. Series de Taylor y Laurent.
3.3.
Productos infinitos. Productos canónicos.
3.4.
Familias normales. Teorema de la aplicación de Riemann.
FUNCIONES ARMÓNICAS
4.1.
Propiedades básicas.
38
5.
6.
4.2.
La propiedad del valor medio.
4.3.
Fórmula de Poisson.
4.4.
Principio de Harnack.
4.5.
Fórmula de Jensen. El principio de simetría.
4.6.
Funciones subarmónicas. Solución del problema de Dirichlet.
FUNCIONES MULTIVARIADAS
5.1.
Continuación analítica. Superficie de Riemann de una función.
5.2.
Funciones algebraicas.
APLICACIONES
BIBLIOGRAFÍA
­
Marsden, I. Basic Complex Analysis. W.H. Freeman and Company. San Francisco. 1974.
­
Ahlfors, L.V. Complex Analysis. Mc Graw­Hill Book Company.
39
PROGRAMA DE INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS FUNCIONAL
1.
TOPOLOGÍA ELEMENTAL EN ESPACIOS VECTORIALES NORMALES.
1.1.
Espacios vectoriales métricos.
1.2.
Topología en espacios vectoriales métricos; bases, espacios separa­
bles, topología débil, separación de puntos.
1.3.
Compacidad secuencial.
1.4.
Compacidad, uniformidad y equicontinuidad.
1.5.
Aplicaciones contractantes y puntos fijos.
1.6.
Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y las funciones holomor­
fas.
2.
3.
ESPACIOS DE HILBERT
2.1.
Espacios vectoriales con un producto interno.
2.2.
Isometrías.
2.3.
Espacios de Hilbert; ejemplos (Espacios de Hilbert no separables).
2.4.
Desigualdad de Bessel y teorema de Riesz­Fischer.
2.5.
Bases ortonormales completas; identidad de Parseval.
2.6.
Subespacios cerrados y teorema de la descomposición ortogonal.
2.7.
Aplicaciones a las series de Fourier.
TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL ANÁLISIS FUNCIONAL
3.1.
Teorema de Hahn­Banach.
3.2.
Principio de acotación uniforme.
40
4.
3.3.
El teorema del grafo cerrado.
3.4.
Aplicaciones.
OPERADORES COMPACTOS Y TEOREMA DE DESCOMPOSICIÓN ES­
PECTRAL
4.1.
Operadores compactos y operadores de dimensión finita.
4.2.
Operador adjunto.
4.3.
Espectro resolvente.
4.4.
Alternativa de Fredholm y espectro de operadores compactos.
4.5.
Operadores de proyección ortogonal.
4.6.
Teorema de descomposición espectral.
4.7.
Caso particular de operadores acotados y autoconjugados.
4.8.
Consecuencias. Operadores Unitarios.
4.9.
Teorema de Plancherel.
OBJETIVO :
Dar a conocer aplicaciones importantes de los resultados fundamentales del Análisis Funcional para que el estudiante pueda estar en condiciones de abordar temas más especializados como: Álgebra de Banach, Análisis Armónico y existencia de soluciones para ecuaciones diferenciales.
BIBLIOGRAFÍA
41
­
Riesz, F. y Sz­Nagy, B. Functional Analysis. John Wiley and Sons. Inc. New York. 1958.
­
Conway, J. A course in Functional Analysis. Serie Graduate Texts in Mathematics. Springer Verlag. New York. 1985.
42
PROGRAMA DE ANÁLISIS FUNCIONAL AVANZADO I
1.
2.
3.
4.
PRELIMINARES
1.1.
Normas en un espacio vectorial.
1.2.
Espacios normales de dimensión finita.
1.3.
Espacios normados de dimensión infinita.
1.4.
Bases de Hamel y de Shauder.
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE OPERADORES
2.1.
Operadores lineales compactos.
2.2.
Teoría de Riez y subespacios duales.
2.3.
El teorema de la aplicación abierta.
2.4.
El teorema del grafo cerrado.
FUNCIONES LINEALES
3.1.
Espacio dual.
3.2.
El teorema de Hahn­Banach en espacios normados.
3.3.
El teorema de Banach­Steinhauss.
3.4.
Espacios de Banach reflexivos.
TOPOLOGÍA DÉBIL
4.1.
Topologías definidas por familias de seminormas.
43
5.
4.2.
Espacios localmente convexos. Teorema de Kolmogorov.
4.3.
Teorema de Hahn­Banach.
4.4.
Espacios duales y el teorema de Krein­Millman.
APLICACIONES
5.1.
Series trigonométricas.
5.2.
Series divergente: El teorema de Dubois­Reymond.
5.3.
El teorema del punto fijo de Kakutani­Markov.
5.4.
Medida de Haar en grupos compactos.
OBJETIVOS:
Que el alumno comprenda la importancia de los espacios normados para los problemas del álgebra lineal, análisis real y ecuaciones integrales.
BIBLIOGRAFÍA
­
Banach, S. Théories des Opérations Linéaires. Varsovia. 1932.
­
N. Dunford y J.T. Schwartz. Linear Operators. Vols. I, II, II. Interscience. New York. 1958, 1963, 1971.
­
L. Schwartz. Functional Analysis. Courant Institute. New York. 1964.
44
­
M. Schechter. Principles of Functional Analysis. Academic Press. New York. 1971.
­
K. Yosida. Functional Analysis. Springer­Verlag. New York. 1980.
­
Taylor, A.E. y Lay, D.C. Introduction to Functional Analysis. Wiley. New York. 1980.
45
PROGRAMA DE ANÁLISIS FUNCIONAL AVANZADO II
1.
OPERADORES COMPACTOS
1.1.
Operadores compactos. Operadores de Hilbert­Schmidth. Operado­
res nucleares.
2.
3.
4.
1.2.
Ideales de operadores compactos.
1.3.
El teorema espectral para operadores compactos.
1.4.
El teorema de Peter­Weyl para grupos compactos.
TEORÍA ESPECTRAL GENERAL
2.1.
Espectro de un operador.
2.2.
El teorema espectral para operadores autoconjugados.
2.3.
Álgebra conmutativas y C*­álgebras.
2.4.
Teorema de Von­Newmann.
TRANSFORMADA DE FOURIER Y ESPACIOS DE SOBOLEV
3.1.
Propiedades básicas de la transformación de Fourier.
3.2.
Espacios de Sobolev.
3.3.
Teoremas de inmersión de Sobolev y Rellich.
DISTRIBUCIONES Y OPERADORES ELÍPTICOS
4.1.
Propiedades básicas de las distribuciones.
46
4.2.
Distribuciones y Espacios de Sobolev.
4.3.
Regularidad para operadores elípticos.
4.4.
La desigualdad de Garding.
OBJETIVO:
Profundizar y aplicar los conceptos y resultados aprendidos en el curso de Análisis Funcional Avanzado I.
BIBLIOGRAFÍA
­
Banach, S. Théories des Opérations Linéaires. Varsovia. 1932.
­
N. Dunford y J.T. Schwartz. Linear Operators. Vols. I, II, II. Interscience. New York. 1958, 1963, 1971.
­
L. Schwartz. Functional Analysis. Corant Institute. New York. 1964.
­
M. Schechter. Principles of Functional Analysis. Academic Press. New York. 1971.
­
K. Yosida. Functional Analysis. Springer­Verlag. New York. 1980.
47
­
Taylor, A.E. y Lay, D.C. Introduction to Functional Analysis. Wiley. New York. 1980.
48
PROGRAMA DE MÉTODOS DE APROXIMACIÓN
1.
SOLUCIONES APROXIMADAS
1.1.
Teorema del punto fijo de Banach.
1.2.
Método de Newton. Método de Newton simplificado.
1.3.
Esquemas de Proyección. Ejemplos.
1.4.
El operador del Esquema de Proyección. Aplicaciones A­propias.
1.5.
Solubilidad aproximada. Aplicaciones A­propias y aproximación de soluciones aisladas. Ejemplos.
1.6.
Aplicaciones A­propias y el método de Galerkin para ecuaciones di­
ferenciales.
2.
MÉTODOS APROXIMADOS EN PROBLEMAS ESPECTRALES
2.1.
Problemas espectrales autoconjugados. Caracterización variacional de los valores propios.
2.2.
Método de Rayleigh­Ritz.
2.3.
Estimaciones por abajo y por arriba de los valores propios.
2.4.
Problemas intermedios. Resultados de A. Weinstein y N. Aronszajn. Estimaciones del error en los métodos de Weinstein y Aronszajn. Aplicaciones.
3.
2.5.
Método de G. Fichera.
2.6.
Aproximación de los vectores propios.
ECUACIONES EN DIFERENCIA FINITA
49
3.1.
Ecuaciones en diferencia. Ejemplos.
3.2
Método de elemento finito.
3.3.
Estimación del error de la solución aproximada.
BIBLIOGRAFÍA
K. Deimling. Nonlinear functional Analysis Springer­Verlag. 1985.
H.F. Weinberger.
Variational Methods for eigenvalue approximation. 1974.
PROGRAMA DE ANÁLISIS FUNCIONAL APLICADO
1.
2.
ESPACIOS DE HILBERT Y DE BANACH
1.1.
Espacios normados y completitud.
1.2.
Separabilidad, desarrollos ortogonales y ortogonalización.
1.3.
Espacios de Sobolev.
1.4.
Problemas de norma mínima.
OPERADORES Y FUNCIONALES
2.1.
Funcionales lineales.
2.2.
Ejemplos de espacios duales.
2.3.
Operadores lineales.
2.4.
Operador adjunto. Ejemplos.
50
3.
4.
5.
CONVEXIDAD Y OPTIMIZACIÓN
3.1.
Derivadas de Gateaux y Fréchet.
3.2.
Ecuaciones de Euler­Lagrange.
3.3.
Funcionales y conjuntos convexos.
3.4.
Multiplicadores de Lagrange y condiciones de Kuhn­Tucker.
ELEMENTO FINITO
4.1.
Interpolación y Splines.
4.2.
El método de Ritz­Galerkin.
4.3.
Problemas de valores propios.
4.4.
Problemas con condiciones iniciales.
ECUACIONES NO LINEALES
5.1.
El principio de las aplicaciones contractantes.
5.2.
Método de Newton.
5.3.
Convergencia según Kantorovich.
5.4.
Solución aproximada de ecuaciones funcionales.
OBJETIVOS:
­
Estudiar los siguientes problemas:
51
­
Solución de ecuaciones funcionales.
­
Optimización.
­
Se trata de estudiar los problemas:
1).
Ax = b o bien F(x) = 0.
donde A y F sons operadores, A lineal y F generalmente no lineal.
2).
Min Q(x) donde X∈H y Q ∈ H*.
Los métodos de solución de estos problemas requieren de procesos iterativos. Se propone considerar las aplicaciones sobre Espacios de Sobolev.
BIBLIOGRAFÍA
­
Brézis, H. Análisis Funcional. Alianza Universidad. Madrid. 1984.
­
Kantorovich, L.V. y Akilov, G.P. Functional Analysis in normed Spaces. Pergamon Press. Macmillan. New York. 1964.
­
Kolmogorov, A.N. y Fomin, S.V. Elements of the theory of Functional Analysis. Graylock Press. Rochester New York. 1957.
­
Luenberger, D.G. Optimization by Vector Space Methods. John Wiley and Sons. New York. 1969.
52
PROGRAMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES I
1.
2.
3.
PRELIMINARES
1.1.
Convoluciones.
1.2.
Transformada de Fourier.
1.3.
Distribuciones.
1.4.
Operadores Compactos.
TEORÍA LOCAL DE EXISTENCIA
2.1.
Ecuaciones de primer orden.
2.2.
El problema de Cauchy.
2.3.
El Teorema de Cauchy­Kovaleski.
2.4.
El ejemplo de Levy.
2.5.
Solubilidad local: el caso de los coeficientes constantes.
EL OPERADO DE LAPLACE
3.1.
Propiedades básicas de las funciones armónicas.
3.2.
La solución fundamental.
3.3.
Los problemas de Dirichlet y Neumann.
3.4.
La función de Green.
3.5.
El principio de Dirichlet.
3.6.
El problema de Dirichlet en un semi­espacio.
3.7.
El problema de Dirichlet en una bola.
53
4.
LOS PROBLEMAS DE DIRICHLET Y NEUMANN POR EL MÉTODO DE LAS ECUACIONES.
4.1.
Operadores integrales.
4.2.
Potenciales de capa doble.
4.3.
Potenciales de capa simple.
4.4.
Solución a los problemas.
OBJETIVOS:
­
Dar a conocer los conceptos fundamentales de las ecuaciones en derivadas parciales, especialmente de las ecuaciones elípticas.
­
Que el alumno aprecie la importancia de la ecuación de Laplace para muchas Programas del análisis.
BIBLIOGRAFÍA
­
Bers, L., John, F. y Schechter, M. Partial Differential Equations. Interscience. New York. 1964.
54
­
Courant, R. y Hilbert, D. Methods of Mathematical. Physics. Vols. I y II. Interscience. New York. 1953.
­
Folland, G.B. Introduction to Partial Differential Equations. Princeton University Press. Princeton. 1976.
­
F. John. Partial Differential Equations. Springer­Verlag. New York. 1982.
55
PROGRAMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES II
1.
2.
3.
4.
EL OPERADOR DE LA CONDUCCIÓN DEL CALOR
1.1.
La ecuación de la conducción del calor en dominios acotados.
1.2.
Solución fundamental.
EL OPERADOR DE ONDAS
2.1.
El problema de Cauchy.
2.2.
Soluciones en un semi­espacio.
2.3.
La ecuación no homogénea.
2.4.
La ecuación de ondas en dominios acotados.
2.5.
La transformada de Radon.
LA TEORÍA L2.
3.1.
Espacios de Sobolev en Rn.
3.2.
Regularidad local de los operadores elípticos.
3.3.
Espacios de Sobolev en dominios acotados.
PROBLEMAS CON CONDICIONES DE CONTORNOS ELÍPTICOS : TEO­
RÍA L2.
4.1.
Fórmula de integración por parte generalizada.
4.2.
Formas de Dirichlet y condiciones en la frontera.
56
4.3.
Estimaciones coercitivas.
4.4.
Existencia, unicidad y valores propios.
OBJETIVOS:
­
Familiarizar al estudiante con la materia básica para la ecuación de la conducción del calor y la ecuación de ondas. ­
Dar a conocer resultados generales para las ecuaciones elípticas de manera que pueda consultar la literatura especializada.
BIBLIOGRAFÍA
­
Bers, L., John, F. y Schechter, M. Partial Differential Equations. Interscience. New York. 1964.
­
Courant, R. y Hilbert, D. Methods of Mathematical. Physics. Vols. I y II. Interscience. New York. 1953.
­
Folland, G.B. Introduction to Partial Differential Equations. Princeton University Press. Princeton. 1976.
57
PROGRAMA DE MÉTODOS MATEMÁTICOS
1.
Los teoremas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.
1.1.
Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales ordinarias.
1.2.
Clasificación de los puntos singulares.
1.3.
Teoría fundamental de los sistemas dinámicos; existencia, unicidad, continuidad y extensión de soluciones.
2.
1.4.
Estabilidad.
1.5.
El teorema de Poincaré­Bendixon.
1.6.
Aplicaciones.
LOS TEOREMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES (LA TEORÍA DE STURM­LIOUVILLE)
2.1.
Ecuaciones de segundo orden; puntos singulares y soluciones de Frobenius.
2.2.
Soluciones numéricas y algoritmos computacionales.
2.3.
Teoría de Sturm­Liouville; desarrollos en series y completitud de las funciones propias.
2.4.
3.
Familias de polinomios ortogonales.
ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES DE LA FÍSICA­MATEMÁTICA Y FUNCIONES ESPECIALES
3.1.
Ecuaciones diferenciales con simetría cilíndrica.
3.2.
Funciones de Bessel de primera especie.
58
3.3.
Funciones de Neumann y funciones de Bessel de segunda especie.
3.4.
Funciones de Bessel esféricas y desarrollos asintóticos.
3.5.
Ecuaciones diferenciales con simetría esférica; polinomios de Legen­
dre y armónicos esféricos.
4.
3.6.
Teorema de Adición para armónicos esféricos.
3.7.
Aplicaciones.
CÁLCULO DE VARIACIONES
4.1.
Funciones y variación de un funcional.
4.2.
El problema variacional para funciones de una variable y la ecuación de Euler.
4.3.
Invariancia de la ecuación de Euler.
4.4.
El problema variacional para funciones de varias variables y las ecuaciones de Euler­Lagrange.
4.5.
Problemas variacionales con restricciones.
4.6.
Forma canónica de las ecuaciones de Euler­Lagrange.
4.7.
Teorema de Noether y aplicaciones; leyes de conservación.
4.8.
Criterio de la segunda variación; campos de Jacobi y puntos conjugados (Teoría Morse).
4.9.
Problemas variacionales para integrales múltiples.
4.10. Aplicaciones.
59
OBJETIVOS:
1.
Introducir las funciones especiales y algunas técnicas elementales para encontrar soluciones explícitas a ecuaciones de la física­matemática.
2.
Dar a conocer las aplicaciones fundamentales del Cálculo de Variaciones.
BIBLIOGRAFÍA
­
Gelfand, I. y Fomin, S. Calculus of Variations. Prentice­Hall. Inc. Englewood Cliffs. New Jersey. 1963.
­
Lebedev, N. Special Functions and their applications. Dover Publications. Inc. New York. 1972.
­
Courant, R. y Hilbert, D. Methods of Mathematical Physics. Interscience Publishers. New York. 1962.
 Hirsch, M. y Smale, D. Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra. Academic Press. New York. 1974.
60
PROGRAMA DE ÁLGEBRA CONMUTATIVA E INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA LOCAL
1.
Anillos locales. Anillos y módulos graduados. Filtración de módulos.
2.
Topología y completaciones. Completado de un anillo local. Límite inverso de módulos.
3.
Anillos graduados asociados.
4.
Noetherianidad del completado de un anillo local Noetheriano.
5.
Funciones de Hilbert. Polinomio característico.
6.
Sistemas de parámetros.
7.
Anillos locales regulares. Sistema regular de parámetros.
8.
Puntos no singulares (suaves) de una variedad algebráica.
9
Teoría de la dimensión de anillos Noetherianos locales.
10.
Intersección completa, conjuntista y en teoría de ideales. Intersección completa local.
11.
Sucesiones regulares. Profundidad y dimensión de un módulo.
12.
Módulos y anillos locales de Cohen­Macaulay: Propiedades.
13.
Anillos locales de Gorenstein.
BIBLIOGRAFÍA
­
E. Kunz. Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry. Birikhäuser. Boston. 1985.
­
H. Matsumura. Commutative Algebra. Benjamin. New York. 1980.
61
­
M. Atiyah y I.G. MacDonald. Introducción al Álgebra Conmutativa. Editorial Reverté. Barcelona. 1973.
­
M. Nagata. Local Rings. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics. Wiley. New York. 1962.
­
J.P. Serre. Algebre Local, Multiplicités. Springer L.N. M. 11. 1957.
­
O. Zarisiky y P. Samuel. Commutative Algebra. Vol. I­II. Van Nostrand. 1958, 1960.
62
PROGRAMA DE ÁLGEBRA COMPUTACIONAL: BASES DE GRÖBNER Y APLICACIONES
1.
BASES DE GRÖBNER
1.1.
Solución de sistemas de ecuaciones lineales. Algoritmo de elimina­
ción de Gauss.
1.2.
Algoritmo de Euclides en el anillo de polinomios de una variable sobre un campo.
1.3
Órdenes admisibles en el conjunto de términos del anillo de polino­
mios sobre un campo.
1.4.
El algoritmo de división.
1.5
Reducción de un polinomio respecto a un sistema finito de polino­
mios.
1.6.
Bases de Gröbner de un ideal. Caracterizaciones de las bases de Gröbner.
2.
1.7.
S­polinomios y el algoritmo de Bucaberger.
1.8.
Bases de Gröbner minimales y reducidas.
APLICACIONES DE LAS BASES DE GRÖBNER
2.1.
Dado un polinomio y un ideal en el anillo de los polinomios, deter­
minar su pertenencia al ideal.
2.2.
Determinar si dos ideales son iguales.
2.3.
Hallar representantes de los cosetos módulo un ideal.
63
2.4.
Hallar una base del espacio vectorial, sobre el campo de coeficientes, del anillo cociente respecto a un ideal.
2.5.
Calcular en el anillo cociente respecto a un ideal.
2.6.
Encontrar inversos en el anillo cociente, si existen.
2.7.
Teoría de la eliminación.
2.8.
Aplicaciones polinomiales.
2.9.
Algunas aplicaciones a la geometría algebráica.
2.10. Polinomios minimales de elementos en una extensión de campo.
2.11.
3.
Programación en enteros.
MÓDULOS Y BASES DE GRÖBNER
3.1.
Módulos. Recordatorio. Syzygias.
3.2.
El algoritmo de Buchberger mejorado.
3.3.
Cálculo de los módulos de Syzygias.
3.4.
Bases de Gröbner para módulos.
3.5.
Algoritmo de Buchberger para módulos.
3.6.
Aplicaciones elementales de las bases de Gröbner para módulos.
3.7.
Aplicaciones elementales de los Syzygias.
3.8.
Computación de Hom.
3.9.
Resoluciones libres.
64
BIBLIOGRAFÍA
­
D., Cox, J. Little y D. O’shea. Ideals, Varieties and Algorithms. Springer Verlag. New York. 1992.
­
W. Adams y Ph. Lous Taunau. An Introduction to Gröbner Bases. A.M. S. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 3. 1994.
­
D. Bisenbud. Commutative Algebra, with a View Toward Algebraic Geometry. Springer Verlag. New York. 1994.
­
TN. Breker y V. Weispfenning. Gröbner Bases, a Computational Approach to Commutative Algebra. Springer Verlag. New York. 1991.
65
PROGRAMA DE ÁLGEBRA HOMOLÓGICA
1.
2.
3.
TEORÍA DE MÓDULOS
1.1.
Sucesiones exactas.
1.2.
El lema de los cinco.
1.3.
Sucesiones que se escinden.
1.4.
Módulos libres.
1.5.
Módulos proyectivos.
1.6.
Módulos simples. Módulos semisimples.
EL GRUPO HOM
2.1.
Sucesiones exactas.
2.2.
Extensiones.
2.3.
Producto fibrado.
2.4.
Suma fibrada.
2.5.
Resoluciones proyectivas.
2.6.
Definición de los Ext (M,N).
2.7.
Sucesiones exactas infinitas.
2.8.
El grupo Ext.
PRODUCTO TENSORIAL DE MÓDULOS Y LOS GRUPOS TOR.
3.1.
Definiciones y propiedades.
3.2.
Producto tensorial de morfismos.
66
3.3.
Producto tensorial de sucesiones exactas.
3.4.
Módulos planos.
3.5.
El grupo de Tor.
3.6.
Extensión de anillo de escalares.
3.7.
Anillos locales.
4.
MÓDULOS INYECTIVOS.
5.
DIMENSIÓN GLOBAL DE UN ANILLO
5.1.
Definición y propiedades.
5.2.
Dimensión global de A [x].
5.3.
Dimensión homológica en anillos locales.
5.4.
Potencia exterior.
5.5.
Dimensión global de anillos locales conmutativos y Noetherianos.
BIBLIOGRAFÍA
­
O. Villamayor. Curso de Álgebra Homológica. Curso Universidad de Buenos Aires. 1988.
67
­
D.G. Nortitcott. Introduction to Homological Algebra. Cambridge University Press. 1963.
­
S. Mac Lane. Homology. Springer Verlag. New York. 1963.
68
PROGRAMA DE TÓPICOS DE COMBINATORIA
Y ÁLGEBRA CONMUTATIVA
1.
SEMIGRUPOS NUMÉRICOS
1.1.
Definición.
1.2.
El número de Frobenius y el conductor de un semigrupo numérico. Algoritmos para su determinación.
1.3.
Algunas clases de semigrupos numéricos: Semigrupos libres, de in­
tersección completa, de curva plana, simétricos y casi simétricos.
2.
1.4.
Complejos simpliciales asociados a un semigrupo numérico.
1.5.
Tabla de homología de un semigrupo.
CURVAS MONOMIALES EN EL ESPACIO AFÍN
2.1.
Definición.
2.2.
Número minimal de generadores del ideal de definición de una cur­ va monomial.
2.3.
Relación entre las propiedades aritméticas del semigrupo que define una curva monomial y sus propiedades geométricas.
2.4.
El problema de intersección completa en curvas monomiales.
2.5.
Sobre el anillo de las potencias simbólicas del ideal de una curva monomial Condiciones de Noetherianidad.
3.
GRAFOS Y POLITOPOS
69
3.1.
El anillo de las “caras” de un complejo simplicial. Caso de los grafos.
3.2.
Teoría de ideales asociados a grafos.
3.3.
Grafos de Cohen­Macaulay.
3.4.
Politopos convexos. Bases de Gröbner asociadas.
3.5.
Ideales tóricos.
BIBLIOGRAFÍA
­
Sh. Eliahou. Courses Monomiales et Algèbre de Prees Symbolique, these. Université de Genève. 1983.
­
R. Stanley. Combinatorics and Commutative Algebra. Birkhäuser. Boston. 1983.
­
A. Simis, W. Vasconcelos, R. Villarreal. The Ideal Theory of Graphs. Preprint. 1991.
­
J.C. Rosales. Teoría Computacional de Monoidal Conmutivos Finitamente Generados. Universidad de Granada. 1994.
70
­
C. Marijuan. Notas sobre Semigrupos Numéricos. Universidad de Valladolid, España. 1993.
71
PROGRAMAS DE LOS CURSOS
OBLIGATORIOS Y OPTATIVOS
EN LA LÍNEA DE ESTADÍSTICA
72
PROGRAMA DE PROBABILIDAD
1.
2.
DEFINICIONES BÁSICAS DE PROBABILIDAD Y VARIABLE ALEATORIA.
1.1.
Probabilidad a priori y probabilidad frecuentesta.
1.2.
Probabilidad Aximática.
1.3.
Definición de variable aleatoria.
1.4.
Función de distribución acumulada.
1.5.
Función de densidad.
1.6.
Esperanzas y momentos.
FAMILIAS PARAMÉTRICAS DE DISTRIBUCIONES UNIVARIADAS.
2.1.
Distribuciones Discretas.
2.1.2. Distribución uniforme discreta.
2.1.3. Distribución hipergeométrica.
2.1.4. Distribución de Poisson.
2.1.5. Distribuciones geométrica y binomial negativa.
2.1.6. Otras distribuciones discretas.
2.2.
Distribuciones Continuas.
2.2.1. Distribución uniforme continua.
2.2.2. Distribución normal.
2.2.3. Distribuciones Gamma y exponencial.
2.2.4. Distribuciones Beta.
2.2.5. Otras distribuciones continuas.
73
3.
2.3.
Relaciones Entre Las Distribuciones.
2.4.
Distribuciones Con Y Distribuciones Truncales.
DISTRIBUCIONES CONJUNTA Y MARGINAL INDEPENDENCIA ESTOCÁSTICA.
4.
5.
3.1.
Funciones de distribución conjuntas.
3.2.
Funciones de distribución marginal.
3.3.
Distribución condicional.
3.4.
Independencia estocástica.
3.5.
Esperanzas, covarianza y coeficiente de correlación.
3.6.
Distribución normal bivariada.
TRANSFORMACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS.
4.1.
Técnica de la función de distribución acumulada.
4.2.
Técnica de la función generatriz de momentos.
4.3.
Técnica de la transformación.
4.4.
Distribuciones de
DISTRIBUCIÓN DE LÍMITES.
5.1.
Convergencia estocástica.
5.2.
Convergencia en Distribución.
5.3.
Teorema del Límte Central.
74
OBJETIVO GENERAL
Al cursar y aprobar este curso el estudiante debe conocer los elementos básicos de probabilidad, variable aleatoria, distribuciones de probabilidad univariada, distribuciones conjunta de probabilidad y distribuciones límites.
METODOLOGÍA
Conferencias magistrales, exposiciones de parte del estudiante sobre temas asignados previamente, solución de problemas teóricos y prácticos, algunos con el apoyo de software apropiado.
BIBLIOGRAFÍA:
1.
Lee J. Bain and Max Engelhardt (1992). Introduction to Probability and Mathematical Statistics, 2nd edition, Duxbury Press, Belmont, California.
2.
C. Radhakrisha Rao (1973). Linear statistical inference and its applications, 2nd edition., Wiley, New York.
3.
Edward J. Dudewicz and Satya N. Mishra (1988). Modern Mathemtical Statistics, Wiley, New York.
75
4.
Alexander McFarlane Mood, Franklin A. Graybill and Duane C. Boes (1974). Introduction to The Theory of Statistics, 3rd. ed., MacGraw­Hill, New York.
5.
Robert V Hogg, and Allen T. Craig (1978). Introduction to Mathematical Statistics, 4th. ed., MacMillan, New York.
6.
Narayan C. Giri (1974(75)). Introduction to Probability and Statistics, pt. 1. Probability. pt. 2. Statistics, Marcel Dekker, New York.
7.
Vijay K. Rohatgi, (1984). Statistical Inference, Wiley, New York.
8.
Vijay K. Rohatgi (1976). An introduction to Probability Theory and Mathematical Statistics, Wiley, New York.
9.
William Feller (1968). An introduction to Probability Theory and its Applications, Vol. 1, John Wiley, New York. New Edition.
10.
E. Parzen (1960). Modern Probability Theory and Its Applications, John Wiley, New York.
11.
K L Chung ( ).
12.
Robert B. Ash (1970). Basic Probability Theory, John Wiley, New York.
76
PROGRAMA DE INFERENCIA ESTADÍSTICA
Prerrequisitos: Probabilidad
I.
OBJETIVOS:
Al final de este curso el estudiante debe :
1.
Dado un conjunto de datos ajustados a una distribución de probabilidad, obtener estimaciones de los parámetros de dicha distribución.
2.
Planteado un problema de una hipótesis, inferir sobre dicha hipótesis y obtener conclusiones.
II.
CONTENIDO:
1.
Distribuciones Muestrales:
1.1.
Definición de un estadístico. Distribuciones de combinaciones lineales de variables normales. Distribuciones Ji­cuadrado, t y F. Aproximaciones para grandes muestras.
2.
Estimación Puntual:
2.1.
Métodospara encontrar estimadores.
2.2.
Propiedades de los estimadores puntuales.
2.3.
Suficiencia.
77
3.
4.
5.
2.4.
Estimación Insesgada.
2.5.
Localización e invarianza de escala.
2.6.
Estimadores de Bays.
2.7.
Propiedades de los Estimadores Máximo Verosimil.
Estimación Paramétrica de Intervalos:
3.1.
Intervalos de confianza. Definción.
3.2.
Intervalos de confianza para publicaciones normales.
3.3.
Intervalos de confianza para muestras grandes.
3.4.
Estimación de intervalos por el método de Bayes.
Pruebas de Hipótesis:
4.1.
Hipótesis simple vs. Hipótesis alternativa.
4.2.
Hipótesis compuestas.
4.3.
Pruebas de hipótesis con distribuciones normales.
4.4.
Test Chi­cuadrado.
4.5.
Test de hipótesis e intervalos de confianza.
4.6.
Test de hipótesis secuencial.
Tablas de contigencia y pruebas de bondad de ajuste.
5.1.
Caso de una muestra binomial. Test para r­muestras binomiales. Caso multinomial de una muestra. Test para r­muestras multinomiales. Test para independencia con tablas de contingencia. Test para pruebas de bondad de ajuste.
78
BIBLIOGRAFÍA:
1.
Lee J. Bain and Max Engelhardt (1992). Introduction to Probability and Mathematical Statistics, 2nd edition, Duxbury Press, Belmont, California.
2.
C. Radhakrisha Rao (1973). Linear statistical inference and its applications, 2nd edition., Wiley, New York.
3.
Edward J. Dudewicz and Satya N. Mishra (1988). Modern Mathemtical Statistics, Wiley, New York.
4.
Alexander McFarlane Mood, Franklin A. Graybill and Duane C. Boes (1974). Introduction to The Theory of Statistics, 3rd. ed., MacGraw­Hill, New York.
5.
Robert V Hogg, and Allen T. Craig (1978). Introduction to Mathematical Statistics, 4th. ed., MacMillan, New York.
6.
Narayan C. Giri (1974(75)). Introduction to Probability and Statistics, pt. 1. Probability. pt. 2. Statistics, Marcel Dekker, New York.
7.
Vijay K. Rohatgi, (1984). Statistical Inference, Wiley, New York.
8.
Vijay K. Rohatgi (1976). An introduction to Probability Theory and Mathematical Statistics, Wiley, New York.
79
9.
William Feller (1968). An introduction to Probability Theory and its Applications, Vol. 1, John Wiley, New York. New Edition.
10.
E. Parzen (1960). Modern Probability Theory and Its Applications, John Wiley, New York.
11.
K L Chung ( ).
12.
Robert B. Ash (1970). Basic Probability Theory, John Wiley, New York.
80
PROGRAMA DE MODELO LINEAL
1.
El Modelo Lineal.
1.1.
Planteamiento e hipótesis del modelo lineal.
1.2.
Sus variantes principales: Regresión, Análisis de Varianza y Análisis de Covarianza, y Análisis de Covarianza.
1.3.
Aspectos importantes a considerar en el trabajo con el modelo lineal: violación de hipótesis, naturaleza de estos datos.
2.
3.
Regresión y correlación.
2.1.
Planteamiento del problema.
2.2.
Solución mínimo cuadrática.
2.3.
Propiedades de los estimadores.
2.4.
Solución del modelo lineal general.
2.5.
Cálculo de la estimación de la correlación.
ANÁLISIS DE VARIANZA.
3.1.
Planteamiento del problema. 3.2
Análisis de Varianza por la clasificación simple, doble, doble con interacción.
3.3.
4.
De Comparación Múltiple.
ANÁLISIS DE COVARIANZA.
81
5.
4.1.
Planteamiento del problema.
4.2
Modelo de Covarianza Simple.
4.3.
Ejemplos.
CALIBRACIÓN.
5.1.
6.
Planteamiento del problema.
EJERCICIOS, PROBLEMAS Y USO DE PAQUETES TIPO.
OBJETIVOS
Concer los elementos básicos del modelo lineal así como sus variantes principales.
METODOLOGÍA
Exposición de los temas por parte del profesor acompañados de clases prácticas donde el estudiante resolverá problemas teóricos y prácticos. Utilización de paquetes tipo por parte del profesor y los estudiantes.
BIBLIOGRAFÍA
1.
Chatterjee, Samprit y Bertram Price: “Regression Analysis by examples”. John Wiley & Sons, Inc, New York. 1991.
82
2.
Draper, N. y Smith, H: “Applied Regression Analysis. New York, Wiley. 1966.
3.
Neter, John, Wasserman, William y Kuthner, Michael: “Applied Lineare Statistical Models. Second Edition, Richard D. Irwin, In. 1985.
4.
Graybill, F.: Theory and Application of the Linear Model”. Wadsworth & Brooks/Cole. California. 1976.
83
PROGRAMA DE MUESTREO
CONTENIDO GENERAL:
Importancia del muestreo y antecedentes históricos. Muestreo probabilístico. Muestreo aleatorio simple. Muestreo estratificado. Muestreo sistemático. Estimadores de razón y regresión. Muestreo por conglomerados. Submuestreo. Errores en el muestreo. Planeación y ejecución de encuestas. Encuestas en diferentes Programas de investigación.
CONTENIDO ESPECÍFICO POR TEMAS:
1
INTRODUCCIÓN AL MUESTREO.
1.1.
El muestreo como herramienta del método científico.
1.2.
Muestreo probabilístico y no probabilístico. Antecedentes históricos.
1.3.
El muestreo según la teoría estadística y según las encuestas por muestreo.
1.4.
Pasos en el proceso de encuestas por muestreo.
1.5.
Estimación de parámetros. Errores de muestreo y error cuadrático medio.
2.
MUESTREO ALEATORIO SIMPLE (MAS).
2.1.
Nomenclatura del muestreo. Definición del MAS. Equivalencia entre la definición y el método práctico de selección.
84
2.2.
Probabilidades de selección de muestras con y sin reemplazo.
2.3.
Estimación de la media, el total y sus respectivas varianzas.
2.4.
Estimación de proporciones y sus varianzas.
2.5.
Tamaño de la muestra para estimar medias y proporciones.
2.6.
Definición de un “diseño muestral”. Muestreo con probabilidades variables de selección. Probabilidades proporcionales al tamaño de las unidades de muestreo.
2.7.
Esquema de Hausen y Hurwitz. Estimadores de Horvitz y Thompson.
3.
MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO (MAE).
3.1.
Definición y ventajass de la estratificación.,
3.2.
Estimación de la media y de la proporción. Estimación de sus va­
rianzas en el MAE.
3.3.
Asignación de Neyman y proporcional. Comparación de varianzas entre el MAS y el MAE.
3.4.
Algunos problemas que se presentan en el MAE: formación y núme­
ro de estratos, tamaños muestrales por estrato. Post­estratificación.
3.5.
4.
Efecto del diseño. Estimación de la ganancia en estratificación.
MUESTREO SISTEMÁTICO LINEAL (MSL).
4.1.
Definición del MSL. Ventajas y desventajas. Estimación de la media.
4.2.
Problema de estimación de la varianza. Muestreos repetidos. Efecto de la correlación intraclase.
85
4.3.
Distribución poblacional conocida: aleatoria, periódica, con tenden­ cia lineal.
5.
ESTIMADORES DE RAZÓN Y DE REGRESIÓN.
5.1.
Estimación de una razón y de su error cuadrático medio.
5.2.
Estimadores de razón sesgados e insesgados.
5.3.
Estimadores de razón en el MAE.
5.4.
Estimadores de regresión lineal. Consideraciones sobre el coeficiente de regresión.
5.5.
6.
Comparación de varianzas del MAS, MAE y razones.
MUESTREO POR CONGLOMEARDOS (MCO).
6.1.
Definición de conglomerado. Muestreo monoetápico y conglomera­
dos iguales. Estimación de medias y varianzas.
6.2.
Conglomerados desiguales. Estimadores de la media sesgados e insesgados. Selección con probabilidades proporcionales al tamaño del conglomerado.
6.3.
Tamaño óptimo del conglomerado. Optimización de las fracciones de muestreo y la ecuación de costos.
6.4.
7.
Submuestreo en dos y tres etapas.
TÓPICOS ESPECIALES.
7.1.
Errores en el muestreo. Errores ajenos al diseño de la muestra. El problema de la no respuesta.
86
7.2.
Planeación de encuestas: población estudiada, definición de varia­
bles, construcción de cuestionarios, personal encuestador, métodos de recolección de la información.
7.3.
Muestreo de poblaciones biológicas. Encuestas demográficas, en­
cuestas de salud, encuestas industriales y en otros campos específi­
cos.
METODOLOGÍA
Exposición de los temas por parte del profesor, acompañados de ejercicios numéricos. Solución de ejercicios teóricos y numéricos por parte del estudiante.
BIBLIOGRAFÍA
1.
Abad de Servin, A. y Servin, L.A. Introducción al muestreo. Limusa. México. 1978.
2.
Azorín Poch, F. Curso de muestreo y aplicaciones. Aguilar Madrid. 1972.
3.
Cochran, W.G. Técnicas de muestreo. CECSA. México. 1985.
4.
Demming, W.E. Some theory of sampling. John Wiley. 1950.
87
5.
Díaz, A. Muestreo Estadístico. Acesta. Medellín. 1981.
6.
Hansen, M.H, Hurwitz, W.N., Madow, W.G. Sample Survery Methods and Theory. John Wiuley. 1996. Vol. 1, Vol. 2.
7.
Horvitz, D., Thomposon, D.J. A generalization of sampling without replacement from a finite universe. JASA. 47, 1952.
8.
Hurtado, L.H. Elementos de muestreo en poblaciones biológicas. Universidad del Quindío, Armenia. 1995.
9.
Kish, L. Muestreo de encuestas. Trillas. México. 1972.
10.
Konijn, H.S. Statistical theory of Sample Survey Design and Analysis. North Holland Pu. Co. 1973.
11.
Lininger, CH.A., Warwick, D.P. La encuesta por muestreo, teoría y práctica. CECSA. México. 1978.
12.
Martínez, C. Muestreo. Edit. ECOE. Bogotá. 1984.
13.
Raj, D. Sampling Theory. Mc Graw­Hill. New Delhi. 1968.
14.
Raj, D. La estructura de las encuestas por muestreo. Fondo de Cultura Económica. México. 1979.
88
15.
Scheaffer R, L. Mendenhall, W. Ott, L. Elementary Survey Sampling. Duxbury Press. 1979. (Existe versión en español).
16.
Silva Ayçaguer, L.C. Muestreo para la investigación en ciencias de la salud. De. Díaz de Santos, S.A. Madrid. 1993.
17.
Sudman, S. Applied Sampling. Academic Press. New York. 1976.
18.
Sukhatme, P.V. Teoría de encuestas por muestreo cona plicaciones. Fondo de Cultura Económica. México. 1962.
PROGRAMA DE MUESTREO EN POBLACIONES BIOLÓGICAS
1.
2.
GENERALIDADES SOBRE LAS POBLACIONES BIOLÓGICAS.
1.1.
El concepto de población biológica.
1.2.
Dispersión espacial de una Población.
1.3.
El índice de Perry y Aewitt.
INTRODUCCIÓN AL MUESTREO.
2.1.
Universo, población y muestreo.
2.2.
Parámetro, estimador y estimación.
2.3.
El plan de muestreo.
2.3.1. Forma de seleccionar la muestra.
2.3.2. Probabilidad de pertenecer a la muestra.
89
2.3.3. Parámetros y estimadores.
2.3.4. Varianza de los estimadores.
2.3.5. Estimadores de las varianzas.
2.3.6. Tamaño de la muestra.
3.
MUESTREO POR CUADRÍCULAS.
3.1.
Diseño de la muestra.
3.2.
Construcción de estimadores.
3.2.1. Suma total.
3.2.2. El tamaño de la población.
3.2.3. La densidad.
3.3.
Tamaño de la muestra.
3.4.
Comportamiento espacial aleatorio.
3.5.
Estratificación de la población.
3.6.
Muestreo por submuestras ordenadas.
3.6.1. Diseño de la muestra.
3.6.2. Construcción de estimadores.
4.
3.7.
Las poblaciones agregadas y el muestreo adaptivo.
3.8.
Posibilidades y limitaciones del muestreo por cuadrículas.
MUESTREO POR LÍNEAS INTERSECTAS.
4.1.
Diseño de la muestra.
4.2.
Construcción de estimadores.
4.3.
Utilización de varias intersectas en una región.
90
5.
4.4.
Longitud de la intersecta.
4.5.
El Problema de la aguja de Buffon.
4.6.
Una generalización del muestreo por líneas intersectas.
MUESTREO POR LÍNEAS INTERSECTAS.
5.1.
Diseño de la muestra.
5.2.
Construcción de estimadores.
5.3.
Estimación de f(o).
5.3.1. Estimación con datos no agrupados.
5.3.2. Estimación con datos agrupados
5.4.
Intervalos de confianza para f(o), N y D.
5.5.
Utilización de varias transectas en una región.
5.5.1. Réplicas con transectas.
5.5.2. Estratificación con transectas.
5.6.
Longitud de la transecta.
5.7.
Utilización del muestreo por líneas transectas.
OBJETIVOS:
Conocimiento por parte del estudiante de las técnicas de estimación del tamaño de poblaciones biológicas, diversidad y distribución geográfica de las especies.
METODOLOGÍA:
91
Exposición por parte del profesor de los tópicos anteriores. Clases prácticas donde los estudiantes resolverán ejercicios teóricos y prácticos. Uso de paquetes estadísticos.
BIBLIOGRAFÍA
­
Hurtado, Hernando: Muestreo en poblaciones biológicas. Simposio Internacional de Estadística, Santa Marta, Colombia. 1995.
­
Sánchez­Crespo, J.L.: Curso de muestreo en poblaciones finitas. Segunda Edición. Instituto Nacional de Estadística, Madrid. 1980.
­
Thompson, S.K.: Sampling, John Wiley & Sons. New York. 1992.
­
Cochran, W.G.: Sampling Techniques. Tercera Edición. John Wiley & Sons. New York. 1977.
92
PROGRAMA DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS
OBJETIVOS GENERALES:
Al finalizar esta asignatura el estudiante estará en capacidad de: Analizar una situación o problema de investigación, plantear el modelo, obtenerlo y evaluarlo.
CONTENIDO
1.
2.
Introducción
1.1.
Qué es el diseño de experimentos.
1.2.
Aplicaciones del diseño de experimentos.
1.3.
Principios básicos del diseño de experimentos.
1.4.
Directrices para el diseño de experimentos.
Modelos con una vía de clasificación
2.1.
Análisis de varianza.
2.2.
Análisis de modelo de efectos fijo.
2.3.
Comparaciones de medios de tratamientos individuales.
2.4.
Modelo de efectos sssaleatorios.
2.5.
Comprobación de la idoneidad del modelo. Transformaciones de datos.
2.6.
Selección del tamaño muestral.
2.7.
Enfoque de regresión para el análisis de varianza.
2.8.
Polinomios ortogonales.
93
2.9.
3.
4.
5.
Métodos no paramétricos en el análisis de varianza.
Bloqueos Aleatorios Cuadrados Latinos y Grecolatinos.
3.1.
Diseño aleatorizado por bloques completos.
3.2.
Diseño de cuadrado latino.
3.3.
Diseño de cuadrado grecolatino.
3.4.
Diseño de bloques incompletos balanceados.
3.5.
Diseño parcialmente balanceado por bloques incompletos.
3.6.
Cuadrados de Youden.
3.7.
Diseños reticulares.
Diseños Factoriales.
4.1.
Principios y definiciones básicas.
4.2.
Diseño factorial de dos factores.
4.3.
Modelos aleatorios y mixtos.
4.4.
Diseño factorial general.
4.5.
Ajuste de superficies de respuesta.
4.6.
Modelo de data desbalanceados.
Diseño factorial 2k.
5.1.
Diseños 22 23.
5.2.
Diseño general 2k. Una sola réplica en el diseño 2k.
5.3.
Algoritmos de Yates.
94
6.
7.
Diseños jerárquicos o anudados.
6.1.
Diseño jerárquico de dos etapas.
6.2.
Diseño jerárquico general.
6.3.
Diseño jerárquico y factores cruzados.
Modelos y diseños de superficies de respuesta.
7.1.
Metodología de las superficies de respuesta.
7.2.
Método de la máxima pendiente en ascenso.
7.3.
Análisis de modelos cuadráticos.
7.4.
Diseños experimentales para ajustar superficies de respuesta.
7.5.
Experimentoss de mezcla.
7.6.
Operación evolutiva.
BIBLIOGRAFÍA:
1.
J. Netel, W. Wasserman and M. H. Kutner. “Applied Linear Statistical Models”, 2da. edición. Irwin Inc. 1985.
2.
D.C. Montgomery. “Diseño y Análisis de Experimentos”. Grupo Editorial Iberoamericano. Mexico. 1991.
3.
C. R. Kicks. “Fundamental concepts in the design of Experiments”, Halt Rinehart and Winston. New York. 1964.
95
4.
Scheffe H. “Analysis of Variance”. Willey, New York. 1959.
5.
Scarle, S.R. “Linear Models for Unbalanced”. Data. Willey, New York. 1987.
6.
Winner, B. J. “Statistical Principles in Experimental Design”. MacGraw­Hill, Inc. New York. 1971.
7.
Peña Sánchez de Rivera Daniel. “Estadística, Modelos y Métodos”. Alianza Universidad Textos. Madrid. 1984.
8.
Jerrold H. Zar. “Biostatistical Analysis”. Prentice Hall, Inc. London. 1984.
96
PROGRAMA DE ANÁLISIS DE DATOS CATEGÓRICOS
OBJETIVOS:
El estudiante será capaz de:
1.
Comprender el rol de la estadística en la investigación.
2.
Aplicar adecuadamente el análisis de tablas de contingencia.
1.
INTRODUCCIÓN
Aspectos Metodológicos. Tipos de investigación. Rol de la estadística. Escalas de medición. Principios del análisis de datos.
2.
NOCIONES DE ESTADÍSTICA
Conceptos básicos. Lógica de las pruebas de hipótesis.
3.
TABLAS DE CONTINGENCIA DE DOS ENTRADAS
Procedimiento usual. Notación. Homogeneidad e independencia. La prueba Ji­cuadrado. Análisis de residuos. La razón de productos cruzados.
4.
TABLAS DE CONTINGENCIA DE TRES ENTRADAS
97
Tablas parciales y marginales. Paradoja de Simpson. Independencia condicional.
5.
MODELOS LOGI­LINEALES Y LOGÍSTICOS
El estadígrafo de razón de verosimilitud. Modelos para dos y tres dimensiones. Jerarquía de modelos (Lattice). Modelos para más de tres variables. Estrategias de selección de modelos.
6.
MODELOS GRÁFICOS
Grafos. Selección de modelos gráficos. Representación gráfica de las relaciones de causalidad.
7.
TÓPICOS ESPECIALES (6 horas)
Ceros estructurales. Modelos para datos ordinales. Índice de falta de ajuste. Análisis de frecuencias de las configuraciones.
8.
PRUEBAS NO PARAMÉTRICAS
Casos de una muestra, dos o más muestras relacionadas y dos o más muestras independientes.
98
9.
ANÁLISIS COMPARATIVO ENTRE LOS ENFOQUES PARAMÉTRICOS Y NO PARAMÉTRICOS
10.
EJERCICIOS Y USO DE SOFTWARE ESPECIALIZADO
METODOLOGÍA
El profesor impartirá las clases teóricas y los estudiantes junto con el profesor participará en las clases prácticas resolviendo ejercicios prácticos y teóricos. También se utilizará software especializado.
BIBLIOGRAFÍA
1.
Agresti, A. 1990. Categorical Data Analysis. New York: Wiley.
2.
Leach, C. 1989. Introduction to Statistics: A nonparametric Approach for the Social Sciences.
3.
Linares, G. 1990. Análisis de Datos La Habana. MES.
4.
Méndez, I.y otros. 1988. El protocolo de investigación. México: Trillas.
5.
Rudas, T. et al. 1994. A new indenx of fit based on mixture methods for the analysis of contingency tables. J.R. Statist. Soc. B. V 56, p. 623­639.
99
6.
Von Eye, A. 1990. Introduction to configural frecuency analysis. The search for types and antitypes in cross­classifications. Cambridge. Cambridge University Press.
7.
Wickens, T.D. 1989. Multiway contingency tables analysis for the social sciences. New Jersey: LEA.
PROGRAMA DE ANÁLISIS MULTIVARIADO I
1.
INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MULTIVARIADO
1.1.
Notación.
1.2.
Esperanza y Covarianza.
1.3
Datos muestrales.
1.4.
Distancia y ángulos de Mahalanobis.
1.5.
Inferencia simultánea.
1.5.1. Pruebas simultáneas.
1.5.2. Principio de Unión­Intersección.
1.6.
2.
Prueba de Razón de Verosimilitud.
DISTRIBUCIONES MULTIVARIADAS
2.1.
Introducción.
2.2.
Distribución Normal Multivariada.
2.3.
Distribución de Wishart.
2.3.1. Definición y Propiedades.
2.3.2. Cuadráticas Generalizadas.
100
2.3.3. Distribución Wishart no central.
2.3.4. Valores propios de una matriz de Wishart.
2.3.5. Determinante de una matriz de Wishart.
2.4.
Distribución T2 de Hotelling.
2.4.1. Distribución central.
2.4.2. Distribución no central.
2.5.
Distribuciones Beta Multivariadas.
2.5.1. Derivación.
2.5.2. Valores propios.
2.5.3. Dos estadísticos de traza.
a.
Estadístico Lawley­Hotelling.
b.
Estadístico traza de Pillai.
2.5.4. Distribución U.
2.5.5. Resumen de distribuciones especiales.
a.
T2 de Hotelling.
b.
Estadístico U.
c.
Estadístico de la raíz máxima.
d.
Estadístico de traza.
e.
Equivalencia de Estadísticos cuando mh= 1,43.
2.5.6. Fatorizaciones de U.
a.
Producto de variables beta.
b.
Producto de dos estadísticos U.
2.6.
Distribución de Rao.
2.7.
Cortosis y Asimetría Multivariada.
101
3.
INFERENCIA PARA LA NORMAL MULTIVARIADA.
3.1.
Introducción.
3.2.
Estimación.
3.2.1. Estimación máximo verosímil.
3.2.2. Teoría de la distribución.
3.3.
Pruebas para la media.
3.3.1. Prueba T2 de Hotelling.
3.3.2. Potencia de una prueba.
3.3.3. Robusted de una prueba.
3.3.4. Procedimiento de prueba “Step­down”.
3.4.
Restricciones lineales sobre la Media.
3.4.1. Generalizacióln de la prueba de comparación aparareada.
3.4.2. Algunos ejemplos.
3.4.3. Técnica de minimización para el estadístico de prueba.
3.4.4. Intervalos de confianza.
102
ANÁLISIS MULTIVARIADO II
1.
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS MULTIVARIADOS.
1.1.
La matriz de datos.
1.2.
Escala de medición de las variables.
2.
MÉTODOS GRÁFICOS MULTIVARIADOS.
3.
MÉTODOS MULTIVARIADOS.
4.
3.1.
Análisis de Componentes 3.2.
Análisis Factorial Clásico.
3.3.
Análisis Factorial de las Correspondencias.
3.4.
Análisis de Correlaciones 3.5.
Análisis Discriminante.
3.6.
Taxonomía Numérica.
3.7.
Escalonamiento Multidimensional.
ESQUEMAS DE REMUESTREOS.
4.1
B
4.2.
4.3.
5.
Validación Cruzada.
EJERCICIOS, PROBLEMAS Y USO DE PAQUETES TIPO.
103
OBJETIVOS
Conocer los métodos multivariados así como su clasificación con el fin de poderlos utilizar en problemas reales de interés.
METODOLOGÍA
Exposición de los temas por parte del profesor así como la participación de los estudiantes en la resolución de problemas numéricos en las clases prácticas. Utilización de paquetes estadísticos tipo por parte del profesor y de los estudiantes.
BIBLIOGRAFÍA
1.
Anderberg, M.: “Cluster Analysis for Applications”. Academic Press. 1973.
2.
Anderson, T.W.: “An Introduction to Multivariate Statistical Analysis”. John Wiley & Sons.
3.
Efron, B: “The Jackknife, the Bootstrap and other resampling plans”. Society for industrial and applied math. 1982.
4.
Flury, B. y Riedwyl, H.: “Multivariate Statistic: A practical approach, Chapman and Hall, London. 1988.
5.
Johnson, Richard: “Applied Multivariate Statistical Analysis”. Prentice Hall International, Inc. Second Edition 1988.
104
6.
Mardia, K.V., Kent, J.T y Bibby, J.M.: “Multivariate Analysis”> Academic Press, London. 1979.
7.
Morrison, D.: “Multivariate Statistical Methods”. McGraw­Hill. Second Edition. 1976.
8.
Seber, G.A.F.: “Multivariate Observations” John Wiley & Sons. 1984.
105
PROGRAMA DE SERIE DE TIEMPO
1.
2.
3.
4.
SERIES TEMPORALES Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS.
1.1.
El concepto de procesos estocásticos.
1.2.
Proceso estacionario.
1.3.
Proceso de ruido blanco.
1.4.
Procesos homogéneos.
PROCESOS AUTORREGRESIVOS.
2.1.
Proceso autorregresivo de primer orden.
2.2.
Proceso autorregresivo de segundo orden.
2.3.
Proceso autorregresivo general.
2.4.
La función de autocorrelación parcial.
PROCESOS DE MEDIAS MÓVILES.
3.1.
Descomposición de Wold.
3.2.
Proceso de medias movil de orden uno.
3.3.
Proceso de media movil general.
PROCESOS ARMA Y ARIMA.
4.1.
Procesos ARMA (1.1) y Arma (p.q).
4.2.
Proceso aleatorio y proceso de alisado exponencial simple.
4.3.
Procesos ARIMA y ARIMA exponencial.
106
5.
4.4.
Identificación de la estructura no estacionaria.
4.5.
Identificación de la estructura ARMA.
4.6.
Estimación del modelo ARMA.
DIAGNOSIS DEL MODELO Y PREDICCIÓN.
5.1.
Contrastaes básicos.
5.2.
Reformulación.
5.3.
Sobreajuste.
5.4.
Búsqueda de componentes determinesticos.
5.5.
La esperanza condicionada como predictor óptimo.
5.6.
Predicción de modelos ARIMA.
5.7.
Varianza de las predicciones. Adaptación de las predicciones.
5.8.
Contrastes de Estabilidad del modelo.
5.9.
Análisis de un caso.
BIBLIOGRAFÍA:
1.
Bartlett, M.S.: An introduction to stochostic Processes with special
reference to methods and applications. Tercera Edición. Cambridge
University Press. 1978.
2.
Box, G.E.P. y Jenkns, G.M.: Time series analysis: Forecarting and
control. Holden Day. 1976.
3.
Pankratz A.:
Forecasting with univariate.
Box-Jenkins Models.
Willey. 1983.
107
4.
Uriel, E.: Analisis de series temporales modelos ARIMA. Paraninfo.
1985.
108
PROGRAMA DE CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD
1.
CÓMO FUNCIONA EL DIAGRAMA DE CONTROL.
1.1.
Causas fortuitas y causas atribuibles de la variación de la calidad.
1.2.
Base estadística del diagrama de control.
1.2.1. Principios básicos.
1.2.2. Selección de los límites de control.
1.2.3. Tamaño neutral y frecuencia de muestreo.
2.
1.3.
Subgrupos 1.4.
Análisis de patrones en diagramas de control.
1.5.
Aplicaciones no industriales de los diagramas de control.
DIAGRAMAS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS
2.1.
Introducción.
2.2.
Diagrama de control para la fracción de disconformes.
2.2.1. Desarrollo y empleo del Diagrama de Control.
2.2.2. Tamaño muestral variable.
2.2.3. Función característica de operación.
2.3.
Diagrama de Control de Disconformidades (defectos).
2.3.1. Procedimiento con tamaño muestral constante.
2.3.2. Procedimiento con tamaño muestral variable.
2.3.3. Sistemas de Demérito.
2.3.4. Función Característica de Operación.
109
3.
DIAGRAMAS DE CONTROL DE VARIABLES
3.1.
Introducción.
3.2.
Diagramas de Control de X y R.
3.2.1. Base de estadística de los diagaramas.
3.2.2. Desarrollo y uso de los diagramas de X y R.
3.2.3. Diagramas basados en valores estándares.
3.2.4. Interpretación de los diagramas de X y R.
3.2.5. Efecto de la no normalidad en los diagramas de X y R.
3.2.6. Función característica de la operación.
3.3.
Otros diagramas de control de variables.
3.3.1. Diagramas de control de X y R.
3.3.2. Diagramas de control de S2.
3.3.3. Gráficas de control para unidades individuales.
3.3.4. Límites de control basados en un número pequeño de muestras.
4.
3.4.
Selección entre diagramas de control de atributos y de variables.
3.5.
Resumen de los procedimientos para uso de los diagramas X, R y S.
3.6.
Directrices para implementar programas de diagramas de control.
OTROS MÉTODOS ESTADÍSTICOS DE CONTROL DE PROCESOS.
4.1.
Diagramas de control modificados.
4.2.
Diagramas de control de suma acumulativa.
4.3.
Diagramas de control basados en medias ponderadas.
4.4.
Pre­control.
110
4.5.
5.
Otros procedimientos.
ANÁLISIS DE LA CAPACIDAD O APTITUD DE UN PROCESO.
5.1.
Introducción.
5.2.
Análisis de la capacidad de proceso mediante un h istograma o un diagrama de probabilidades.
5.3.
Análisis de la capacidad del proceso mediante:
5.3.1. Un diagrama de control.
5.3.2. Experimentos diseñados.
6.
5.4.
Establecimiento de límites de especificación sobre componentes.
5.5.
Determinación de los límites de tolerancia natural de un proceso.
DISEÑO ECONÓMICO DE DIAGRAMAS DE CONTROL.
6.1.
Introducción
6.2.
Modelos económicos para el diagrama de control de X.
6.3.
Diseño económico del diagrama de control de la fracción disconfor­
me.
6.4.
7.
Diseño económico de otros diafragmas de control.
MUESTREO POR ACEPTACIÓN.
7.1.
Muestreo para aceptación lote por lote por atributos.
7.2.
Muestreo para aceptación por variables.
111
8.
EJERCICIOS Y USO DE SOFTWARE ESPECÍFICO.
OBJETIVOS:
Proporcionar un conocimiento firme de los principios del control estadístico de la calidad y proporcionar la base para su aplicación en una amplia variedad de entornos de productos y de servicios.
METODOLOGÍA:
El profesor impartirá las clases teóricas y los alumnos junto con el profesor participará activamente en las clases prácticas a través de la realización de ejercicios teóricos y prácticos.
BIBLIOGRAFÍA:
­
Montgomery, Douglas C.: Control Estadístico de la Calidad. Grupo Editorial Iberoamérica. 1991.
­
Grant, Eugene L.: Control de Calidad Estadístico. Compañía Editorial Continental S.A. 1971.
112
TEMAS DE ÁLGEBRA LINEAL NUMÉRICA Y
APROXIMACIÓN NUMÉRICA DE FUNCIONES
I.
Análisis Matricial
1.1. Ideas Básicas del Álgebra Lineal
1.2. Computación matricial de precisión finita.
1.3. Ortogonalidad y Descomposición en Valores Singulares.
II.
Sistemas de Ecuaciones Lineales Generales y Especiales
2.1.
Sensibilidad
de
los
sistemas
de
ecuaciones
lineales.
Condicionalidad numérica
113