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Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Álgebra Lineal 11-2 Control 1 P1. a (3,0 ptos.) Considere el siguiente sistema lineal a coecientes reales, −x1 αx1 βx1 +αx3 +αx3 x2 +βx2 +βx2 +βx4 +βx4 +αx3 = = = = 0 0 0 0 Determine las condiciones sobre los parámetros reales α y β que garanticen que el sistema tenga una única solución. b) (3,0 ptos.) Sea A la matriz de coecientes reales denida por: 1 A=a a2 1 b b2 1 c c2 Demuestre que si la ecuación Ax = 0 tiene solución única, entonces (a ̸= b) ∧ (a ̸= c) ∧ (b ̸= c). P2. i) (2,5 ptos.) Sea A ∈ Mnn (R) invertible tal que satisface la condición A · (A2 + 3A + I) = 0. Pruebe que A−1 = −A − 3I. ii) Sea B ∈ Mnn (R) invertible y tal que satisface B 3 = 0. Para cada λ ∈ R se dene M (λ) ∈ Mnn (R) por M (λ) = I + λB + ii)(1) (2,5 ptos.) Pruebe que ∀λ, β ∈ R, λ2 2 B . 2 M (λ + β) = M (λ) · M (β) y deduzca que M (β) · M (λ) = M (λ) · M (β) ii)(2) (1,0 pto.) Pruebe que M (λ) es invertible y que M (λ)−1 = M (−λ). Indicación: Piense en M (0). Tiempo: 2:15 hrs. 1
