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COMPLEJOS
Introducción Histórica:
Aparecen los números complejos en el S.XVII en la resolución de
ecuaciones cuadradas con el discriminante menor a cero.
Los complejos fueron estudiados por Descartes (1556-1650), Cardan y
Girad.
Las reglas a las que obedecieron fueron enunciadas por Euler en su
obra “Introducción al análisis centesimal “ y más tarde por
D´Alambert y Cauchy.
Pero fue en 1890 cuando el ingeniero americano Steimetz tuvo la idea
de aplicar los complejos a la electricidad en el estudio de la corriente
alterna. Dio así un empuje inaudito al estudio de dicha corriente. Más
tarde y ya con el camino abierto, los números complejos resultan
vitales en el estudio matemático de los circuitos de radio y electrónica
en general.
Introducción matemática del complejo imaginario ( i ):
Como ya se ha explicado nacen los números complejos ante la
dificultad planteada en la resolución de ecuaciones de segundo grado
en las que el discriminante, , es menor que cero.
i=  1
x2+4=0  x2=-4  x=  4 ; x= 4(1) = 4.  1 -> x = ±2i
Significado geométrico de la unidad imaginaria ( i ):
Podemos decir que -1 es un operador que al aplicarlo a un vector nos lo
gira 180. Nos preguntamos: Qué operador giraría el vector 90 en
origen positivo?
OA(-1)=OB
Op?
OAxOp=OC
OCxOP = OB ->
OAxOPxOP= OB
OAx(Op)2=OB -> OA( -1) = OB
 (Op)2=-1 Op=
1  i
Definición de número complejo:
Se define número complejo como un par ordenado de números
reales (a, b). Al conjunto de los números complejos se le designa C y
a sus elementos z1 y z2.
Al primer número del par, a, se le llama parte real, y al segundo, b,
parte imaginaria.
(a, 0) Es el número real a.
(0,b) Es el número imaginario puro b.
Complejos Conjugados:
Decimos que dos complejos son conjugados cuando teniendo
idéntica parte real, las partes imaginarias son iguales en valor
absoluto pero cambiadas de signo.
(4,5)Complejos conjugados.
(4, -5)
Complejos Opuestos:
Dos complejos son opuestos cuando teniendo iguales, en valor
absoluto, sus componentes, ambas tienen signos opuestos.
(4,5)
 Complejos opuestos.
(-4, -5)
Complejo Nulo:
Es aquel cuyas componentes son nulas.
(0,0) Complejo nulo.
Representación gráfica de los números complejos. Plano complejo.
Diagrama de Argand:
Modulo de un complejo:
El modulo de un complejo es la distancia desde el afijo al origen del
sistema de referencia.
|z|= a 2  b 2
Suma de complejos:
Dados dos números complejos z1(a, b) y z2(c, d), definimos la suma
de estos dos complejos como:
z1+z2=(a+c, b+d)
La suma de complejos cumple la ley de composición interna.
Propiedades de la suma de números complejos:
Asociativa
Conmutativa
Elemento neutro (0,0) actúa como elemento neutro.
Elemento simétrico u opuesto. Dado un complejo (a, b), su
complejo opuesto (-a, -b) actúa como elemento simétrico.
Como consecuencia de todas estas propiedades el conjunto de los
números complejos respecto de la suma tiene estructura de grupo
abeliano.
(C,+) Grupo abeliano
Producto de números complejos:
Si z1(a, b) y z2(c, d), definimos el producto de z1 y z2 por:
z1z2=(ac-bd , ad+bc)
Es una ley de la composición interna.
Propiedades del producto de números complejos:
Asociativa
Conmutativa
Elemento neutro. Existe elemento neutro y es el (1,0)
(a, b)(1,0)=(a1-b0, a0+b1)=(a, b)
Elemento inverso. Cualquier complejo (a, b) menos el (0,0) posee
elemento inverso. El elemento inverso de (a, b) es:
b 
 a
, 2
 2
2
2 
a b a b 
Demuestre el alumno que dicho complejo actúa como elemento
inverso en el producto.
Como consecuencia de las propiedades que acabamos de ver, el
conjunto de los números complejos exceptuando el (0,0) respecto
de la multiplicación, tiene estructura de grupo abeliano.
(C*,x) Grupo abeliano
Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma:
Dados tres números complejos z1, z2, z3:
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
La 2 operación ( . ) es distributiva respecto la 1 (+) es (C*, +)
Grupo abeliano y es (C*, (.) ) Grupo abeliano por lo que es (C*, +, )
Cuerpo.
Cociente de números complejos:
Para dividir el complejo (c,d) entre el complejo (a, b) se multiplicara
el complejo (c, d) por el inverso de (a, b), el (a/a2+b2, -b/a2+b2):
(c, d)(a, b)=(c, d)(a/a2+b2, -b/a2+b2)
En la practica, para dividir dos números complejos, se multiplican el
numerador y denominador por el conjugado del denominador.
Producto de un número real por un número complejo:
Para multiplicar un número real por un número complejo se
multiplican las dos componentes del número complejo por el
número real. Esta operación es una ley de composición externa que
cumple las siguientes cuatro propiedades:
(z1+z2)=z1+z2
2) z (+)=z+z
()z=(z)  R
4) 1 x z = z x 1= z
z, z1, z2R
Espacio vectorial de los números complejos:
(C, +,  ) Espacio vectorial sobre R
Unidad imaginaria ( i ):
Vimos en la introducción que i era la  1 . Para saber que número
complejo es i tendríamos que hallar un complejo que su cuadrado
fuera -1. Hay dos complejos que verifican esto, (0,1) y el (0,-1).
También vimos que giraba un vector 90 en sentido positivo, por lo
tanto i será (0,1).
Potencias de la unidad imaginaria ( i ):
i0=1
i5=i3i2=-i(-1)=i
i1=i
i6=i3i3=-1
i2=-1
i7=i4i3=-i
i3=-i
i54=(i4)13i2=i2=-1  Se divide el exponente de la i
i4=1 ...
entre cuatro y el cociente es el exponente
4
al que hay que elevar i y el resto será el exponente al que hay que
elevar otra i. Por lo tanto 544=13 de cociente y dos de resto luego
será (i4)13 y se multiplica por i2. Quedando por lo tanto 1.i2= -1
Forma binómica de un complejo:
(a, b)=(a, 0)+(0, b)=(a, 0)+b(0,1)=a+bi
Potencia de un complejo en forma binómica:
Binomio de Newton:
(a+b)n=(n0)an+(n1)an-1 b+(n2)an-2 b2+...+(nn)bn
(nm)= C n,m=n! / m!(n-m)!
0!=1
(a+bi)n=(n0)an+(n1)an-1 bi+(n2)an-2 (bi)2+...+(nn)(bi)n
Triangulo de Pascal o de Tartaglia:
1
1 1
Cuadrado
1 2
1
Cubo
1 3 3 1
Cuarta
1 4 6
4 1
Quinta
1 5 10 10 5 1
Forma polar o forma modulo-argumental de un complejo:
Para representar el afijo de un número complejo, además de las
coordenadas cartesianas, podemos usar también las coordenadas polares.
En estas coordenadas, un punto vendrá dado por la distancia al origen que
en nuestro caso será el modulo del complejo y el ángulo  del eje polar que
en nuestro caso será el argumento del complejo.
|z|=m=R
=argumento principal
z=mForma polar
Forma trigonométrica de un número complejo:
z=a+bi
cos = a/m  a=m cos 
sen = b/m  b=m sen 
z= m cos +m sen  i
z= m (cos +i sen )  Forma trigonométrica
Formas de expresar un complejo:
z=(a,b)  Forma cartesiana
z=a+bi -> Forma binómica
z=m  Forma polar
z=m (cos +i sen )  Forma trigonométrica
Igualdad de complejos en forma polar:
Para que dos complejos en forma polar sean iguales tienen que tener iguales
sus módulos y sus argumentos ser iguales o diferir un número completo de
vueltas de circunferencia.
360 n si  esta en grados sexagesimales
2k si  esta en radianes
Producto de complejos en forma polar:
Tengamos el complejo z=m y el z´=m´ queremos saber lo que vale zz´:
z=m(cos +i sen )
z´=m´(cos +i sen )
zz´=m m´cos cos +i cos sen +i sen  cos +i2 sen sen  
zz´=m m´cos cos  - sen sen  +i ( sen cos+ cos sen )
zz´=m m´cos (+)+i sen (+)
zz´=(m m´) (+ )
Cociente de complejos en forma polar:
Tengamos el complejo z=m y el z´=m´ queremos saber lo que vale z z´:
z=m(cos +i sen )
z´=m´(cos +i sen )
zz´=m/m´(cos +i sen )(cos +i sen )=
=m/m´(cos +i sen )(cos -i sen )  (cos +i sen )(cos -i sen )=
=m/m´(cos cos- icos sen+isen cos-i2sen sen)(cos2 - i2sen2 )=
=m/m m´ (cos cos- sen sen +i(sen cos- cos sen))1=
=m/m m´cos(+)+i sen(+)
zz´=(m/m´) (- )
Potencia de un complejo en forma polar:
Para elevar un número complejo a una potencia, el modulo se eleva a la
potencia y el argumento tantas veces como indique el exponente.
z=m -> zn=(m)n=mmmmm...n veces=
=(mmmm...n veces)(+++...n veces) zn=mnn
Formula de Moivre:
z=m  zn=mnn=mn(cos n+i sen n)
z=m  z=m(cos +i sen )  zn=mn(cos +i sen )n
mn(cos n+i sen n)=mn(cos +i sen )n
(cos n+i sen n)=(cos +i sen )n
(cos n+i sen n)=(cos +i sen )n Formula de Moivre
Raíz enésima de un complejo en forma polar:
z  n m =M Elevamos a n  m=(M)n=Mnn
z=m
m=Mnn
Módulos  m=Mn M= n m
Argumentos n=+ 360k  =(+ 360k)n k=0, k=1...k=n-1
n
Raíz cuadrada de un complejo en forma polar.
Haciendo en el caso anterior n= 2 obtenemos que el módulo de la raiz
cuadrada será la raiz cuadrada del módulo y el argumento al tomar k los
  360k 
  180
valores 0 y 1 serán /2 y
2
2