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Ingeniería Matemática
FACULTAD DE CIENCIAS
FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
MA1B2 Álgebra Lineal 08-2
EXAMEN RECUPERATIVO

3
P1. Considere la matriz A = 2
1

2 1
3 1
1 4
(i) (1,0 pto.) Deterimine el polinomio característico de A y verifique que λ = 1 es uno de sus valores
propios.
(ii) (2,0 ptos.) Determine todos los valores y vectores propios de A. ¿Es A definida positiva? ¿Es A
invertible? Justifique.
(iii) (1,5 ptos.) Construya una base ortonormal de vectores propios de A.
(iv) (1,5 ptos.) Diagonalice A, si es posible, es decir, encuentre matrices P y D tales que A = P DP t y
escriba una matriz diagonal D̃ similar a A−1 .
P2. Sea V =
R4 y S el subespacio engendrado por:
      
1 
0
1



      
−1
0
  ,   , 1






1 
0
0





1
0
0
a) (1,5 ptos.) Encuentre un subespacio S 0 de V tal que V = S ⊕ S 0 .
b) (1,5 ptos.) Encuentre una base de S ⊥ = {v ∈ 4 |hv, ui = 0, ∀u ∈ S}.
Indicación: Use que v ∈ S ⊥ si y sólo si v es ortogonal a una base de S.
R
 
x1
x2 

c) (1,5 ptos.) Encuentre explícitamente el vector w, proyección de x =  
sobre S, es decir
x3 
x4
determinar el único vector w ∈ S tal que x − w es ortogonal a S.
R
P3. a) (3,5 ptos.) Determine cuáles de los siguientes subconjuntos de M3×3 ( ) son subespacios vectoriales
de M3×3 ( ), en cuyo caso de una base. Justifique su respuesta, es decir, en el caso que no lo sea
muestre mediante un contraejemplo que no se cumple la definición, y cuando el conjunto sí sea
subespacio demuestre que se cumple la definición.
(i) {A ∈ M3×3 ( ) : A + At = 0}.
(ii) {A ∈ M3×3 ( ) : det A = 0}.
t
t
(iii) {A ∈ M3×3 ( ) : Ax = 0 para x = 1 1 0 y x = 0 1 1 }.
R
R
R
R
b) (2,5 ptos.) Considere la cónica de ecuación
5x2 + 5y 2 + 6xy + 16x + 16y + 15 = 0.
Realice el cambio de variables que permite escribir la cónica de manera centrada. Identifique la
cónica y dibújela.
12 de diciembre de 2008
Tiempo: 3:00 hrs.
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