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Álgebra Lineal
Ma1010
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Departamento de Matemáticas
ITESM
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 1/39
Introducción
Nuestra meta consiste en decir con precisión que
cosas deben permanecer fijas en un espacio
generado en un espacio vectorial.
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 2/39
Introducción
Nuestra meta consiste en decir con precisión que
cosas deben permanecer fijas en un espacio
generado en un espacio vectorial. El concepto
teórico importante es el de dimensión de un
espacio vectorial.
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 2/39
Introducción
Nuestra meta consiste en decir con precisión que
cosas deben permanecer fijas en un espacio
generado en un espacio vectorial. El concepto
teórico importante es el de dimensión de un
espacio vectorial. El resultado técnico más
importante es el teorema del intercambio:
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 2/39
Introducción
Nuestra meta consiste en decir con precisión que
cosas deben permanecer fijas en un espacio
generado en un espacio vectorial. El concepto
teórico importante es el de dimensión de un
espacio vectorial. El resultado técnico más
importante es el teorema del intercambio: A partir
de él, se deduce que cualquier dos bases a un
mismo espacio vectorial deben tener el mismo
número de elementos.
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 2/39
Introducción
Nuestra meta consiste en decir con precisión que
cosas deben permanecer fijas en un espacio
generado en un espacio vectorial. El concepto
teórico importante es el de dimensión de un
espacio vectorial. El resultado técnico más
importante es el teorema del intercambio: A partir
de él, se deduce que cualquier dos bases a un
mismo espacio vectorial deben tener el mismo
número de elementos. Esto permitirá definir la
dimensión de un espacio vectorial.
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 2/39
Esta sesión termina con una serie de resultados
relativos al número de elementos de un conjunto
generador y de un conjunto linealmente
independiente en su relación con la dimensión del
espacio vectorial.
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Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 3/39
Resultados matemáticos necesarios
El resultado matemático importante es el teorema
del intercambio, pero para su demostración se
requerien ciertos resultados matemáticos. En lo
siguiente V es un espacio vectorial.
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 4/39
El primer resultado dice que si un vector es
combinación lineal de otros entonces el espacio
generado con él y esos otros es igual al que
generan esos otros vectores. Este resultado tiene
varias interpretaciones. En la primera indica que si
un vector es combinación lineal de los otros y se
añade al conjunto generador, entonces no se
genera más de lo que ya se generaba. En otra
interpretación dice que si tal vector se omite del
conjunto generador, entonces no se genera menos
lo que que ya se generaba:
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Lema 1
Si y ∈ Gen{x1 , . . . , xn }, entonces
Gen{x1 , . . . , xn , y} = Gen{x1 , . . . , xn }
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 5/39
El siguiente resultado requerido dice que si un
vector del generado se añade al conjunto
generador, el nuevo generador será linealmente
dependiente:
Lema 2
Si y ∈ Gen{x1 , . . . , xn }, entonces
{x1 , . . . , xn , y} es linealmente dependiente.
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
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Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 6/39
Existen otros resultados básicos que se requieren
y que son fáciles de deducir:
Lema 3
Si el conjunto {v1 , . . . , vn } es linealmente
independiente, entonces:
■ ninguno de los vectores vi es el vector
cero.
■ cualquier subconjunto de él es también
linealmente independiente.
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Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 7/39
El siguiente resultado da operatividad a la
demostración del teorema del intercambio:
Lema 4
Suponga que u1 6= 0. Si el conjunto
{u1 , u2 , . . . , un } es linealmente dependiente,
entonces existe un vector ui que es
combinación lineal de los vectores anteriores
u1 , . . . , ui−1 . (Así i > 1)
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
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Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 8/39
Un resultado teórico también útil es el siguiente:
Lema 5
Suponga que y ∈
/ Gen(x1 , . . . , xn ) y que el
conjunto {x1 , . . . , xn } es linealmente
independiente. Entonces {x1 , . . . , xn , y}
también será linealmente independiente.
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Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 9/39
Teorema del intercambio
El siguiente teorema se conoce como el teorema
del intercambio y recibe su nombre por la forma
como es demostrado.
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Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 10/39
Teorema del intercambio
El siguiente teorema se conoce como el teorema
del intercambio y recibe su nombre por la forma
como es demostrado. La demostración se centra
en la segunda afirmación:
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Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 10/39
Teorema del intercambio
El siguiente teorema se conoce como el teorema
del intercambio y recibe su nombre por la forma
como es demostrado. La demostración se centra
en la segunda afirmación: Se prueba que todo
conjunto linealmente independiente tiene a lo más
m elementos, siendo m el número de elementos
de un conjunto generador del espacio.
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 10/39
Teorema del intercambio
El siguiente teorema se conoce como el teorema
del intercambio y recibe su nombre por la forma
como es demostrado. La demostración se centra
en la segunda afirmación: Se prueba que todo
conjunto linealmente independiente tiene a lo más
m elementos, siendo m el número de elementos
de un conjunto generador del espacio. En la
demostración, se toma un vector del conjunto
linealmente independiente y se introduce vector a
vector en un conjunto que genera.
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Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 10/39
Teorema del intercambio
El siguiente teorema se conoce como el teorema
del intercambio y recibe su nombre por la forma
como es demostrado. La demostración se centra
en la segunda afirmación: Se prueba que todo
conjunto linealmente independiente tiene a lo más
m elementos, siendo m el número de elementos
de un conjunto generador del espacio. En la
demostración, se toma un vector del conjunto
linealmente independiente y se introduce vector a
vector en un conjunto que genera. Como el
conjunto sigue generando y es dependiente, es
posible sacar un elemento del conjunto inicial que
genera:
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 10/39
Teorema del intercambio
El siguiente teorema se conoce como el teorema
del intercambio y recibe su nombre por la forma
como es demostrado. La demostración se centra
en la segunda afirmación: Se prueba que todo
conjunto linealmente independiente tiene a lo más
m elementos, siendo m el número de elementos
de un conjunto generador del espacio. En la
demostración, se toma un vector del conjunto
linealmente independiente y se introduce vector a
vector en un conjunto que genera. Como el
conjunto sigue generando y es dependiente, es
posible sacar un elemento del conjunto inicial que
genera: Es decir, se intercambia un elemento que
genera por uno del conjunto linealmente
independiente.
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 10/39
Teorema
Si un espacio vectorial V es generado por m
vectores.
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Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 11/39
Teorema
Si un espacio vectorial V es generado por m
vectores. Entonces cualquier subconjunto
que contenga más de m vectores es
linealmente dependiente.
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 11/39
Teorema
Si un espacio vectorial V es generado por m
vectores. Entonces cualquier subconjunto
que contenga más de m vectores es
linealmente dependiente. En otras palabras,
todo subconjunto linealmente independiente
de V tiene cuando mucho m vectores.
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 11/39
Teorema
Si un espacio vectorial V es generado por m
vectores. Entonces cualquier subconjunto
que contenga más de m vectores es
linealmente dependiente. En otras palabras,
todo subconjunto linealmente independiente
de V tiene cuando mucho m vectores. En
otras palabras, si B1 es un conjunto de
vectores de V linealmente independiente y
B2 es un conjunto de vectores que genera a
V entonces
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
#(B1 ) ≤ #(B2 )
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 11/39
Demostración
Suponga que
B1 = {x1 , x2 , . . . , xn }
es un conjunto linealmente independiente de V y
que
B2 = {y1 , y2 , . . . , ym }
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
genera a V . Defina C0 = B2 . A partir de C0
defimos el conjunto
A1 = {x1 , y1 , y2 , . . . , ym }
(A1 es C0 donde de ha añadido x1 al frente del
conjunto) Por el lema 1, V = Gen(A1 ). Por el lema
2, A1 es linealmente dependiente. Por el lema 3, al
ser B1 linealmente independiente, ninguno de los
vectores xi es igual al vector cero. Por el lema 4,
un elemento
de A1Vectoriales
que es combinación
Teoría existe
de la Dimensión
en Espacios
Álgebra Lineal - p. 12/39
Teorema fundamental de la dimensión
Habiendo probado el teorema del intercambio,
probar que dos bases cualquiera tienen el mismo
número de elementos es fácil:
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 13/39
Teorema
Si un espacio vectorial V tiene una base con
n elementos, entonces cualquier otra base
de V también tiene n elementos.
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Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 14/39
Teorema
Si un espacio vectorial V tiene una base con
n elementos, entonces cualquier otra base
de V también tiene n elementos.
Demostración
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Sean dos bases para V : B1 y B2 una con n elementos y
otra con m elementos, respectivamente.
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 14/39
Teorema
Si un espacio vectorial V tiene una base con
n elementos, entonces cualquier otra base
de V también tiene n elementos.
Demostración
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Sean dos bases para V : B1 y B2 una con n elementos y
otra con m elementos, respectivamente. Entoces utilizando
primeramente que B1 (al ser base) genera a V y que B2 (al
ser base) es linealmente independiente en V se deduce por
el teorema del intercambio que m ≤ n.
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 14/39
Teorema
Si un espacio vectorial V tiene una base con
n elementos, entonces cualquier otra base
de V también tiene n elementos.
Demostración
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Sean dos bases para V : B1 y B2 una con n elementos y
otra con m elementos, respectivamente. Entoces utilizando
primeramente que B1 (al ser base) genera a V y que B2 (al
ser base) es linealmente independiente en V se deduce por
el teorema del intercambio que m ≤ n. Por otro lado, si
ahora se usa que B2 genera a V y que B1 es linealmente
independiente en V se deduce por el teorema del
intercambio que n ≤ m.
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 14/39
Teorema
Si un espacio vectorial V tiene una base con
n elementos, entonces cualquier otra base
de V también tiene n elementos.
Demostración
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Sean dos bases para V : B1 y B2 una con n elementos y
otra con m elementos, respectivamente. Entoces utilizando
primeramente que B1 (al ser base) genera a V y que B2 (al
ser base) es linealmente independiente en V se deduce por
el teorema del intercambio que m ≤ n. Por otro lado, si
ahora se usa que B2 genera a V y que B1 es linealmente
independiente en V se deduce por el teorema del
intercambio que n ≤ m. Por tanto, m = n Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 14/39
Definición de la dimensión
El anterior resultado afirma que cualquiera dos
bases para un mismo espacio vectorial tienen el
mismo número de elementos.
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 15/39
Definición de la dimensión
El anterior resultado afirma que cualquiera dos
bases para un mismo espacio vectorial tienen el
mismo número de elementos. Por consiguiente, la
siguiente definición es válida:
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 15/39
Definición de la dimensión
El anterior resultado afirma que cualquiera dos
bases para un mismo espacio vectorial tienen el
mismo número de elementos. Por consiguiente, la
siguiente definición es válida:
Definición
Si un espacio vectorial V tiene una base con
n elementos,
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 15/39
Definición de la dimensión
El anterior resultado afirma que cualquiera dos
bases para un mismo espacio vectorial tienen el
mismo número de elementos. Por consiguiente, la
siguiente definición es válida:
Definición
Si un espacio vectorial V tiene una base con
n elementos, se dice que V es dimensional
finito,
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 15/39
Definición de la dimensión
El anterior resultado afirma que cualquiera dos
bases para un mismo espacio vectorial tienen el
mismo número de elementos. Por consiguiente, la
siguiente definición es válida:
Definición
Si un espacio vectorial V tiene una base con
n elementos, se dice que V es dimensional
finito, y que n es la dimensión de V .
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 15/39
Definición de la dimensión
El anterior resultado afirma que cualquiera dos
bases para un mismo espacio vectorial tienen el
mismo número de elementos. Por consiguiente, la
siguiente definición es válida:
Definición
Si un espacio vectorial V tiene una base con
n elementos, se dice que V es dimensional
finito, y que n es la dimensión de V . Se
expresa:
dim(V ) = n
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 15/39
Numerología en Espacios Vectoriales
En un espacio vectorial y relativos a su dimensión
existen cierto resultados sobre las cantidades de
elementos de conjuntos generadores o conjuntos
linealmente dependientes o independientes.
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 16/39
El siguiente resultado define límites máximos y
mínimos para el número de elementos de
conjuntos que son linealmente independientes o
que generan a un espacio.
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 17/39
El siguiente resultado define límites máximos y
mínimos para el número de elementos de
conjuntos que son linealmente independientes o
que generan a un espacio.
Teorema
Sea V un espacio vectorial de dimensión n, y
S un subconjunto con m elementos.
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 17/39
El siguiente resultado define límites máximos y
mínimos para el número de elementos de
conjuntos que son linealmente independientes o
que generan a un espacio.
Teorema
Sea V un espacio vectorial de dimensión n, y
S un subconjunto con m elementos.
1. Si S es linealmente independiente,
entonces m ≤ n. Equivalentemente: si
n < m, S es linealmente dependiente.
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 17/39
El siguiente resultado define límites máximos y
mínimos para el número de elementos de
conjuntos que son linealmente independientes o
que generan a un espacio.
Teorema
Sea V un espacio vectorial de dimensión n, y
S un subconjunto con m elementos.
1. Si S es linealmente independiente,
entonces m ≤ n. Equivalentemente: si
n < m, S es linealmente dependiente.
2. Si S genera a V , entonces m ≥ n.
Equivalentemente: si m < n, S no puede
generar a V .
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 17/39
El siguiente resultado indica que si se ha
alcanzado un cierto número de elementos y
respecto al número de elementos de la base,
entonces se tienen otras propiedades.
Teorema
Sea V un espacio vectorial n dimensional, y
sea S un conjunto con n elementos.
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 18/39
El siguiente resultado indica que si se ha
alcanzado un cierto número de elementos y
respecto al número de elementos de la base,
entonces se tienen otras propiedades.
Teorema
Sea V un espacio vectorial n dimensional, y
sea S un conjunto con n elementos.
1. Si S es linealmente independiente,
entonces S genera a V .
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 18/39
El siguiente resultado indica que si se ha
alcanzado un cierto número de elementos y
respecto al número de elementos de la base,
entonces se tienen otras propiedades.
Teorema
Sea V un espacio vectorial n dimensional, y
sea S un conjunto con n elementos.
1. Si S es linealmente independiente,
entonces S genera a V . Es decir, S es
base.
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 18/39
El siguiente resultado indica que si se ha
alcanzado un cierto número de elementos y
respecto al número de elementos de la base,
entonces se tienen otras propiedades.
Teorema
Sea V un espacio vectorial n dimensional, y
sea S un conjunto con n elementos.
1. Si S es linealmente independiente,
entonces S genera a V . Es decir, S es
base.
2. Si S genera a V , entonces S es
linealmente independiente.
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 18/39
El siguiente resultado indica que si se ha
alcanzado un cierto número de elementos y
respecto al número de elementos de la base,
entonces se tienen otras propiedades.
Teorema
Sea V un espacio vectorial n dimensional, y
sea S un conjunto con n elementos.
1. Si S es linealmente independiente,
entonces S genera a V . Es decir, S es
base.
2. Si S genera a V , entonces S es
linealmente independiente. Es decir, S es
base.
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 18/39
El siguiente resultado indica cuando se pueden
extender conjuntos linealmente independientes o
reducir conjuntos generadores para tener una
base de un espacio vectorial.
Teorema
Sea V un espacio vectorial n dimensional, y
S un conjunto con m elementos.
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 19/39
El siguiente resultado indica cuando se pueden
extender conjuntos linealmente independientes o
reducir conjuntos generadores para tener una
base de un espacio vectorial.
Teorema
Sea V un espacio vectorial n dimensional, y
S un conjunto con m elementos.
■ Si S es linealmente independiente y m < n,
entonces S se puede ampliar a una base.
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 19/39
El siguiente resultado indica cuando se pueden
extender conjuntos linealmente independientes o
reducir conjuntos generadores para tener una
base de un espacio vectorial.
Teorema
Sea V un espacio vectorial n dimensional, y
S un conjunto con m elementos.
■ Si S es linealmente independiente y m < n,
entonces S se puede ampliar a una base.
■ Si S genera a V , entonces S contiene una
base.
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 19/39
El siguiente resultado indica cómo deben ser las
dimensiones de los subespacios respecto a la
dimensión del espacio que los contiene.
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 20/39
El siguiente resultado indica cómo deben ser las
dimensiones de los subespacios respecto a la
dimensión del espacio que los contiene.
Teorema
Sea W un subespacio de un espacio
vectorial V de dimensión n. Entonces
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 20/39
El siguiente resultado indica cómo deben ser las
dimensiones de los subespacios respecto a la
dimensión del espacio que los contiene.
Teorema
Sea W un subespacio de un espacio
vectorial V de dimensión n. Entonces
■ dim(W ) ≤ n.
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 20/39
El siguiente resultado indica cómo deben ser las
dimensiones de los subespacios respecto a la
dimensión del espacio que los contiene.
Teorema
Sea W un subespacio de un espacio
vectorial V de dimensión n. Entonces
■ dim(W ) ≤ n. Es decir, la dimensión de un
subespacio no puede exceder la dimensión
del espacio que lo contiene.
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 20/39
El siguiente resultado indica cómo deben ser las
dimensiones de los subespacios respecto a la
dimensión del espacio que los contiene.
Teorema
Sea W un subespacio de un espacio
vectorial V de dimensión n. Entonces
■ dim(W ) ≤ n. Es decir, la dimensión de un
subespacio no puede exceder la dimensión
del espacio que lo contiene.
■ dim(W ) = n si y sólo si W = V
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 20/39
El siguiente resultado indica cómo deben ser las
dimensiones de los subespacios respecto a la
dimensión del espacio que los contiene.
Teorema
Sea W un subespacio de un espacio
vectorial V de dimensión n. Entonces
■ dim(W ) ≤ n. Es decir, la dimensión de un
subespacio no puede exceder la dimensión
del espacio que lo contiene.
■ dim(W ) = n si y sólo si W = V Es decir, el
subespacio es el total del espacio cuando
su dimensión alcanza la dimensión del
espacio que lo contiene.
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 20/39
Procesos de Cálculo
Nuestros principales procesos referentes a la
dimensión de un espacio o subespacio vectorial
son los sigueintes:
■ En el caso de espacios generados:
El número de pivotes en la matriz reducida es la
dimensión del espacio generado.
■ En el caso de
sistemas de ecuaciones lineales homogéneos:
El número de variables libres es la dimensión del
espacio lineal.
Note que en sistemas no homogéneos el concepto
de dimensión no aplica pues el conjunto de
soluciones no es un espacio vectorial.
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 21/39
Ejemplos sobre teoría
Veamos algunos ejemplos donde participa
directamente la teoría:
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 22/39
Ejemplo
Suponga que en un espacio vectorial V existe un
conjunto linealmente independiente B1 con 4
elementos, entonces la dimensión del espacio
será . . .
A mayor o igual que 4
B
menor o igual que 4
C
igual a 4
D
menor que 4
E
mayor que 4
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 23/39
Solución
La respuesta correcta es A : Sea B2 una base
para V , así dim(V ) = #(B2 ). Como B2 una base
para V , B2 genera a V . Siendo B1 linealmente
independiente el teorema del intercambio afirma
que
4 = #(B1 ) ≤ #(B2 ) = dim(V ).
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Por tanto, la dimensión de V es mayor o igual que
4 Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 24/39
Ejemplo
Suponga que en un espacio vectorial V con
dimensión 7 el subconjunto B tiene 7 elementos
diferentes, ¿se puede decir que B es base?
A Falso
B
Cierto
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 25/39
Ejemplo
Suponga que en un espacio vectorial V con
dimensión 7 el subconjunto B tiene 7 elementos
diferentes, ¿se puede decir que B es base?
A Falso
B
Cierto
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Solución
La respuesta correcta es A : hay mucha distancia
entre un conjunto con vectores diferentes entre si
y un conjunto que es base. Por ejemplo, si v 6= 0,
entonces son diferentes todos los vectores del
conjunto {v, 2 v, 3 v, 4 v, . . .} y éste es linealmente
dependiente. Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 25/39
Ejemplo
Suponga que en un espacio vectorial V existe un
conjunto generador B1 con 8 elementos, entonces
la dimensión del espacio será . . .
A igual a 8
B
mayor que 8
C
menor o igual que 8
D
mayor o igual que 8
E
menor que 8
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 26/39
Solución
La respuesta correcta es C : Sea B2 una base
para V , así dim(V ) = #(B2 ). Como B2 una base
para V , B2 es linealmente independiente. Siendo
B1 un conjunto generador para V , el teorema del
intercambio afirma que
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
dim(V ) = #(B2 ) ≤ #(B1 ) = 8.
Por tanto, la dimensión de V es menor o igual que
8 Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 27/39
Ejemplo
Suponga que en un espacio vectorial V con
dimensión 8, un subespacio W tiene un conjunto
linealmente independiente con 8 elementos,
entonces
A W ⊆ V (Contenido con la posibilidad de la igualdad)
B
W =V
C
W ⊂ V (Contenido pero sin la posibilidad de la igualdad)
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 28/39
Ejemplo
Suponga que en un espacio vectorial V con
dimensión 8, un subespacio W tiene un conjunto
linealmente independiente con 8 elementos,
entonces
A W ⊆ V (Contenido con la posibilidad de la igualdad)
B
W =V
C
W ⊂ V (Contenido pero sin la posibilidad de la igualdad)
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Solución
Se deduce que 8 ≤ dim(W ) ≤ dim(V ) = 8. Por
tanto, dim(W ) = dim(V ) y así W = V Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 28/39
Ejemplos de cálculo
Veamos algunos ejemplos donde participa
directamente la teoría:
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 29/39
Ejemplo
Determine la dimensión del subespacio:

 


−4
−6








 5   5 
 


Gen 
,
, 





1   −2 






2
1







−42
 

40 

,
−1 

11
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales







16 





−10 


−8 





0
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 30/39
Ejemplo
Determine la dimensión del subespacio:

 


−4
−6








 5   5 
 


Gen 
,
, 





1   −2 






2
1







−42
 

40 

,
−1 

11







16 





−10 


−8 





0
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Solución
Formando la matriz aumentada y aplicando
Gauss-Jordan tenemos:


−6 −4 −42
16
 5

5
40
−10



→
 1 −2 −1 −8 
1
2
11
0
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 30/39
Ejemplo
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Determine la dimensión del subespacio:

 


−4
−6








 5   5 
 


Gen 
,
, 





1   −2 






2
1







−42
 

40 

,
−1 

11







16 





−10 


−8 





0
Solución
Formando la matriz aumentada y aplicando
Gauss-Jordan tenemos:



−6 −4 −42
16
1 0 5 −4
 5

 0 1 3
5
40
−10
2




→
 1 −2 −1 −8 
 0 0 0
0
1
2
11
0
0 0 0
0
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales





Álgebra Lineal - p. 30/39
¿Qué significa el cálculo anterior?
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 31/39
¿Qué significa el cálculo anterior? Si hubieramos
puesto armado la matriz aumentada con la parte
de coefiecientes hasta el segundo vector
quedaría:
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 31/39
¿Qué significa el cálculo anterior? Si hubieramos
puesto armado la matriz aumentada con la parte
de coefiecientes hasta el segundo vector
quedaría:




16
−6 −4 −42
1 0 5 −4
 5


 0 1 3
5
40
−10
2




→




 1 −2 −1 −8 
 0 0 0
0 
1
2
0 0 0
11
0
0
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 31/39
¿Qué significa el cálculo anterior? Si hubieramos
puesto armado la matriz aumentada con la parte
de coefiecientes hasta el segundo vector
quedaría:




16
−6 −4 −42
1 0 5 −4
 5


 0 1 3
5
40
−10
2




→




 1 −2 −1 −8 
 0 0 0
0 
1
2
0 0 0
11
0
0
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Lo cual diría que los vectores 3 y 4 son
combinación lineal de los vectores 1 y 2.
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 31/39
¿Qué significa el cálculo anterior? Si hubieramos
puesto armado la matriz aumentada con la parte
de coefiecientes hasta el segundo vector
quedaría:




16
−6 −4 −42
1 0 5 −4
 5


 0 1 3
5
40
−10
2




→




 1 −2 −1 −8 
 0 0 0
0 
1
2
0 0 0
11
0
0
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Lo cual diría que los vectores 3 y 4 son
combinación lineal de los vectores 1 y 2. Por tanto,
Gen {v1 , v2 , v3 , v4 } = Gen {v1 , v2 }
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 31/39
El mismo cálculo indica que el conjunto formado
por los vectores 1 y 2 son linealmente
independientes.
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 32/39
El mismo cálculo indica que el conjunto formado
por los vectores 1 y 2 son linealmente
independientes. Por lo tanto, los vectores 1 y 2
son una base para el espacio. Por tanto, la
dimensión es 2 Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 32/39
Ejemplo
Determine la dimensión del subespacio que
generan las polinomios:
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
{−2−x−2 x2 , 1+5 x+x2 −2 x3 , 2+x−x3 , 3−3 x−3 x2 −x3 }
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 33/39
Ejemplo
Determine la dimensión del subespacio que
generan las polinomios:
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
{−2−x−2 x2 , 1+5 x+x2 −2 x3 , 2+x−x3 , 3−3 x−3 x2 −x3 }
Solución
Formando la matriz aumentada de los polinomios
vectorizados y aplicando Gauss-Jordan tenemos:


−2
1
2
3
 −1

5
1
−3



→
 −2
1
0 −3 
0 −2 −1 −1
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 33/39
Ejemplo
Determine la dimensión del subespacio que
generan las polinomios:
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
{−2−x−2 x2 , 1+5 x+x2 −2 x3 , 2+x−x3 , 3−3 x−3 x2 −x3 }
Solución
Formando la matriz aumentada de los polinomios
vectorizados y aplicando Gauss-Jordan tenemos:




−2
1
2
3
1 0 0
1
 −1

 0 1 0 −1 
5
1
−3





→

 −2
 0 0 1
1
0 −3 
3 
0 −2 −1 −1
0 0 0
0
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 33/39
Por la nota anterior, la dimensión es el número de
pivotes de la matriz reducida. Por tanto, la
dimensión es 3 Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 34/39
Ejemplo
Determine la dimensión del subespacio que
generan las matrices:
("
# "
# "
# "
#)
2 −2
1 −1
1 2
−2 −1
,
,
,
2 −1
0
1
−2 1
1 −1
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 35/39
Ejemplo
Determine la dimensión del subespacio que
generan las matrices:
("
# "
# "
# "
#)
2 −2
1 −1
1 2
−2 −1
,
,
,
2 −1
0
1
−2 1
1 −1
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Solución
Formando la matriz aumentada de las matrices
vectorizadas y aplicando Gauss-Jordan tenemos:


2
1
1 −2
 −2 −1

2
−1



→
 −2
0 −2
1 
−1
1
1 −1
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 35/39
Ejemplo
Determine la dimensión del subespacio que
generan las matrices:
("
# "
# "
# "
#)
2 −2
1 −1
1 2
−2 −1
,
,
,
2 −1
0
1
−2 1
1 −1
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Solución
Formando la matriz aumentada de las matrices
vectorizadas y aplicando Gauss-Jordan tenemos:




2
1
1 −2
1 0 0 0
 −2 −1

 0 1 0 0 
2
−1




→




 −2
 0 0 1 0 
0 −2
1 
−1
1
1 −1
0 0 0 1
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 35/39
Por la nota anterior, la dimensión es el número de
pivotes de la matriz reducida. Por tanto, la
dimensión es 4 Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 36/39
Ejemplo
Determine la dimensión para el subespacio de R3
formado por las soluciones al sistema:
6x − 5y − 3z = 0
−12 x + 10 y + 6 z = 0
36 x − 30 y − 18 z = 0
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 37/39
Ejemplo
Determine la dimensión para el subespacio de R3
formado por las soluciones al sistema:
6x − 5y − 3z = 0
−12 x + 10 y + 6 z = 0
36 x − 30 y − 18 z = 0
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Solución
Al formar la aumentada y al aplicar Gauss-Jordan:
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 37/39
Ejemplo
Determine la dimensión para el subespacio de R3
formado por las soluciones al sistema:
6x − 5y − 3z = 0
−12 x + 10 y + 6 z = 0
36 x − 30 y − 18 z = 0
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Solución
Al formar la aumentada y al aplicar Gauss-Jordan:




1 −5/2 −1/2 0
6 −5 −3 0




10
6 0 → 0
0
0 0 
 −12
36 −30 −18 0
0
0
0 0
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 37/39
Por tanto,






x
5/2
1/2
 




=
y
+
z
 y 
 1 
 0 
z
0
1
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 38/39
Por tanto,





Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos

x
5/2
1/2
 




=
y
+
z
 y 
 1 
 0 
z
0
1
Por tanto, la dimensión del espacio lineal es 2 Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 38/39
Ejemplo
Extienda el siguiente conjunto de vectores a una
base para R3 :






1 
1






B = v1 =  1  , v2 =  −1 



1 
−1
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Introducción
Prerrequisitos
Tma Intercambio
Tma Fundamental
Dimensión
Numerologı́a
Procesos
Ejemplos Teorı́a
Ejemplos Prácticos
Álgebra Lineal - p. 39/39
Ejemplo
Extienda el siguiente conjunto de vectores a una
base para R3 :






1 
1






B = v1 =  1  , v2 =  −1 



1 
−1
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Tma Fundamental
Dimensión
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Ejemplos Prácticos
Solución
Para determinar adecuadamente la selección de vectores
formamos y reducimos la matriz:


[v1 v2 |e1 e2 e3 ] → 

1
0
0
0
1
0
1/2
1/2
0
0
0
1
−1/2


1/2 

1
Por consiguiente una base que extiende a B es B ∪ {e2 }.
Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 39/39