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Bases de Gröbner Asociadas a Módulos Finitos
LUIS DAVID GARCÍA PUENTE
Licenciado en Matemáticas,
Facultad de Ciencias, UNAM
Director de Tesis: Dra. Maria Alicia Aviñó Diaz
En la teoría de Representaciones de Álgebras interesa describir todos los
módulos (espacios vectoriales sobre anillos o más generalmente sobre álgebras,
en vez de campos) salvo isomorfísmos.
Si el álgebra estudiada es nita como el caso que nos interesa, tenemos la
importante propiedad de que todo módulo generado por un número nito de elementos se puede escribir como suma nita de modulos inescindibles. Un módulo
es inescindible si ya no puede descomponerse en la suma de dos o más submódulos no triviales. Por esta razón si conocemos todos los módulos inescindibles
de un álgebra podemos construir todos los módulos sobre esta álgebra.
Existen álgebras que tienen un número nito de módulos inescindibles no
isomorfos y se llaman álgebras de tipo nito. Otras tienen un número innito
de módulos inescindibles pero estos pueden ser clasicados y reciben el nombre
de álgebras mansas. Las que tienen un número innito de módulos inescindibles
y estos no pueden ser clasicados se llaman álgebras salvajes.
con p primo, sea Cp := hxi el grupo cíclico
Sea Zp los enteros módulo pn P
?1 a xi , con a 2 Z , forma el álgebra
de orden p. Entonces := Zp Cp = pi=0
i
i
p
del grupo cíclico de orden p sobre los enteros módulo pn . es un álgebra mansa.
Los módulos inescindibles sobre son p-grupos abelianos nitos y por esta
razón tienen p-bases conjuntos generadores independientes. Cuando se estudian los módulos sobre un álgebra y esta álgebra es sobre un campo k, tenemos
la importante propiedad de que el módulo es un espacio vectorial sobre k y por
lo tanto tiene bases y en estas bases se puede estudiar la acción del álgebra
mediante matrices. Cuando se estudian las álgebras sobre un anillo como Zp
no tenemos esta propiedad dada en una forma sencilla.
El estudio de los Zp Cp -módulos nitos fué iniciado por G. Szekeres en
1949, en [6]. Szekeres clasicó los -módulos inescindibles, en módulos cadena
abierta y módulos cadena cerrada. Sin embargo, en esta clasicación no se tiene
la información de como son los módulos sobre el anillo Zp y menos aún una
p-base, pero si encontrasemos, a partir de las cadenas, la forma de hallar una
p-base entonces podriamos conocer la acción del álgebra sobre esta p-base en
forma de matrices. Esta fué nuestra motivación para tratar de calcular una
p-base a partir del concepto de cadena.
En esta tesis se demostró por primera vez un teorema donde se describen
n
n
n
n
n
n
1
para todos los Zp Cp -módulos cadena abierta de tipo C = (i; j ) (generadas por un sólo elemento, o de dimensión 1). Este es el caso más sencillo,
sin embargo, aún en este caso, calcular una p-base puede resultar muy complejo. Además modelamos el problema utilizando Álgebra Computacional, en
particular, Bases de Gröbner. Estas no son bases de un módulo sino un conjunto
generador con propiedades muy importantes de un ideal de polinomios en varias
indeterminadas. A través de las bases de Gröbner, obtuvimos un algoritmo para
calcular las p-bases de los módulos en cuestión y además nuevas p-bases de estos
módulos no obtenidas en el teorema.
El objetivo general de esta tesis fué iniciar el estudio de las p-bases de los
módulos cadena y también utilizar el álgebra computacional para modelar este
problema de una forma totalmente nueva. La cual nos permitio resolver el caso
general para cualquier -módulo cadena, ver [2].
p-bases
n
1 -módulos cadena
Aqui enunciamos algunos resultados que calculan la Zp -estructura de los módulos cadena abierta de tipo C = (i; j ), y además enunciamos un teorema
que muestra explícitamente una p-base de estos módulos.
Szekeres describió a los -módulos izquierdos inescindibles por la acción de
dos elementos en , = xp?1 + xp?2 + + x + 1 y = x ? 1, los cuales
satisfacen las siguientes condiciones: 1) y son nilpotentes, 2) = = 0,
3) p = + p?1 (), donde () es un polinomio en , con coecientes enteros
no negativos menores que p, que puede ser calculado por medio de un algoritmo
descrito en la tesis.
Denición. Decimos que M := C (a) es un -módulo cadena abierta de la
forma C = (i; j ) si satisface las siguientes condiciones:
1) M = hai, como -módulo,
2) i y j son los mínimos enteros no negativos tales que i a = 0, j a = 0.
Teorema 1. Sea M = C (a) un -módulo cadena abierta de la forma C = (i; j ),
generado por a. Si ponemos i = t(p ? 1) + r tal que 0 < r 6 p ? 1, entonces:
n
Si p > i
M
= (i ? 1)Zp Zp ;
si p 6 i y t > j
M = Zp ? rZp (p ? r ? 1)Zp ;
si p 6 i y t < j
M
= Zp (r ? 1)Zp (p ? r)Zp :
Teorema 2. Sea M = C (a) un -módulo cadena abierta de la forma C = (i; j ),
generado por a. Si ponemos i = t(p ? 1) + r tal que 0 < r 6 p ? 1, entonces:
Si p > i
Y = fa; a; : : : ; i?1 ag;
si p 6 i y si t > j
Y = fa; a; : : : ; p?2 a; ag;
si p 6 i y si t < j
Y = fa; a; : : : ; p?1 ag;
es una p-base de M .
j
j
j
2
1
t
t+1
t+1
t
i j
t
r
Ejemplo. p = 3, n = 4, C = (9; 4), i = 4(p ? 1) + 1, p = + 22 + 3 . Como
p 6 i y t > j entonces tenemos que
M
= Zp Zp Zp ;
3
5
4
y además que la p-base de M es
Y
2
p-bases
= fa; a; ag:
de Gröbner
Aqui denimos el concepto de p-base de Gröbner asociada a módulos nitos.
Modelamos el problema de calcular una p-base de los Zp Cp -módulos cadena
abierta de la forma C = (i; j ) utilizando este concepto de p-bases de Gröbner.
Sea k un campo y k[x] = k[x1 ; : : : ; xn ], el anillo de polinomios en n variables.
Los monomios en k[x] son denotados xa = xa1 xa2 xan e identicados con las
n-adas a = (a1 ; a2 ; : : : ; an ) en N n . Un orden total en N n es un orden monomial
si el vector cero es el único elemento minimal, y a b implica a + c b + c
para todos a; b; c 2 N n .
Dado un orden monomial , todo polinomio no cero en k[x] tiene un único
monomio inicial, denotado por in(f ). Si I es un ideal en k[x], entonces su
ideal inicial es el ideal monomial in (I ) := hin (f ) j f 2 I i.
Un subconjunto nito G I es una base de Gröbner de I con respecto
a si in(I ) es generado por fin(g) j g 2 Gg. Es llamada reducida si,
para cualquier par de elementos distintos g; g0 2 G , ningún monomio de g0
es divisible por in(g). La base de Gröbner reducida es única con respecto al
orden monomial, con la condición de que todos los polinomios en G sean mónicos.
Además a partir de cualquier conjunto generador de I , podemos calcular la base
de Gröbner reducida de I a través del algoritmo de Buchberger.
Sea G un p-grupo abeliano nito, y C = fc1; : : : ; cn g un conjunto generador
de G.
Sea X = fx1 ; : : : ; xn g el conjunto de n indeterminadas, y sea T el monoide
generado por X .
Denimos al homomorsmo de la siguiente manera
n
1
:
!
7!
T
xi
2
n
G
ci
Sea ~ la extensión natural de a un homomorsmo entre las K -álgebras
y K [G].
El núcleo de ~ es un ideal, el cual denotamos por IC .
Denición. La base de Gröbner asociada a G con respecto a (; C ) es la base
de Gröbner reducida, con respecto a , del ideal IC , y la denotamos por GC .
El siguiente teorema relaciona esta base de Gröbner, GC , con una p-base del
grupo G.
K [X ]
3
Teorema 3. Sea C = fc1; : : : ; cng un conjunto generador del p-grupo abeliano
nito G, y sean k1 ; : : : ; ks enteros mayores que 1. Entonces GC tiene la forma
GC = fxp1 ? 1; : : : ; xip?1? ? 1;
sY
?1 n0
iY
?1 n0
xl )p ;
xpi ? ( xl )p ; : : : ; xps ? (
ki
k1
ki
xs+1
si, y sólo si,
il
1
ki
ks
sl
ks
l=1
n?1
nn
(s+1)l
; : : : ; xn ?
xl l g;
l
l=1
l=1
l=1
s
Y
? xn
B = fc1; : : : ; ci?1
Y
s?1
i?1
X
X
0
n0 c g
n c ;:::;c ?
;c ?
i
il l
l=1
s
l=1
sl l
es una p-base de G.
Denición. Sea M un p-grupo abeliano nito, y G una base de Gröbner asociada a M . Entonces G es una p-base de Gröbner de M , si tiene la forma descrita
en el teorema 3.
Sea M = C (a) un -módulo cadena abierta de la forma C = (i; j ), generado
por a. Como consecuencia del teorema 3, para encontrar una p-base de M ,
basta encontrar una p-base de Gröbner de M visto como p-grupo. Para lo cual
desarrollamos un algoritmo en la tesis, que básicamente consiste en denir el
morsmo , encontrar el ideal IC asociado a M , calcular la base de Gröbner
reducida, con respecto a un orden monomial especíco (orden lexicográco), de
IC , y utilizar el teorema 3 para encontrar los elementos de la p-base de M .
A continuación desarrollamos un ejemplo que muestra la p-base obtenida
por el teorema 2 y dos p-bases obtenidas a través de la modelación algorítmica.
i j
t
r
Ejemplo. p = 5, n = 2, C = (7; 2), i = 1(p ? 1) + 3, p = + 44 + 25 + 36 .
Como p 6 i y t < j entonces por el teorema 1 tenemos que
M
= 3Zp 2Zp
y además por el teorema 2 tenemos que
Y = fa; a; 2 a; 3 a; 4 ag
Sea el homomorsmo:
(x1 ) = a; (x2 ) = a; : : : ; (x7 ) = 6 a;
(x8 ) = a
Entonces algunos teoremas técnicos demostrados en la tesis nos dicen que las
relaciones de denición (los generadores del ideal IC ) son
fx51 ? x8 x45 x26 x37 ; x52 ? x46 x27 ; x53 ? x47 ; x54 ? 1;
x55 ? 1; x56 ? 1; x57 ? 1; x58 ? 1g
2
4
Por lo tanto la p-base de Gröbner asociada a M (obtenida usando el paquete
Macaulay2) es
25
25
5
5
fx25
1 ? 1; x2 ? 1; x3 ? 1; x4 ? 1; x5 ? 1;
20
5 5
x6 ? x15
3 x2 ; x7 ? x6 x3 x2 ;
10 5
x8 ? x5 x10
3 x2 x1 g
A partir de esta p-base de Gröbner obtenemos la siguiente p-base de M :
fa; a; 2 a; 3 a; 4 ag
Si ordenamos las indeterminadas de la siguiente manera
x7
x 6 x 5 x 4 x 8 x 3 x 2 x1
Obtenemos otra p-base de Gröbner asociada a M :
25
25
5
5
fx25
1 ? 1; x2 ? 1; x3 ? 1; x8 ? 1; x4 ? 1;
15
15
20
4
5
5
x5 ? x8 x3 x2 x1 ; x6 ? x5 x8 x2 x1 ;
x7 ? x6 x53 x52 g
A partir de esta p-base de Gröbner obtenemos la siguiente p-base de M :
fa; a; 2 a; 3 a; ag:
Referencias
[1] W. W. Adams y P. Loustaunau, An Introduction to Gröbner Bases, Graduate Studies in Mathematics, vol. 3, American Mathematical Society, Providence, 1994.
[2] M. A. Aviñó y L. D. García Puente, Gröbner Bases Associated to Bases of
Finite Modules, en preparación.
[3] M. A. Aviñó Diaz y R. Bautista Ramos, The Additive Structure of Indecomposable Zp Cp -Modules, Communications in Algebra. 24 (1996), no. 8,
25672595.
[4] M. A. Borges Trenard, Bases de Groebner Asociadas con Monoides Finitamente Generados, Tesis Doctoral, Academia de Ciencias de Cuba, Santiago
de Cuba, Junio 1992.
[5] B. Sturmfels, Gröbner Bases and Convex Polytopes, University Lecture Series, vol. 8, American Mathematical Society, Providence, 1996.
[6] G. Szekeres, Determination of Certain Family of Finite Metabelian Groups,
Trans. Amer. Math. Soc. 66(1949), 143.
n
5