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SEGUIMIENTO DE OBJETOS MEDIANTE SISTEMAS DE OPTICA ADAPTATIVA
V.F. Canales, 1 S. Harrison, 2 J.E. Oti, 1 D. M. de Juana1 and M.P. Cagigal1
1
Departamento de Fisica Aplicada, Universidad de Cantabria.
2
Imperial College, Londres, Reino Unido
1. Introducción
En gran número de aplicaciones se necesita describir la trayectoria de un objeto a partir de una
serie de imágenes adquiridas a través de la atmósfera. Estas imágenes presentan un ruido
aleatorio debido a la turbulencia atmosférica, y, en estas condiciones, el cálculo de la velocidad
del objeto a partir de la posición del centroide en las distintas imágenes presenta un cociente
señal ruido muy bajo. Por tanto, en el presente trabajo se propone la combinación de dos técnicas
para solucionar este problema: la óptica adaptativa, que permite compensar parcialmente la
distorsión en las imágenes, y una técnica velocimétrica basada en la transformada espaciotemporal de la serie de imágenes, que mejora la estimación de la velocidad del objeto. Para este
análisis, se ha desarrollado un algoritmo de simulación de imágenes distorsionadas por la
atmósfera y adquiridas por un CCD, que se utiliza para analizar la técnica de seguimiento por
transformada espacio-temporal y su comportamiento en función del grado de corrección
proporcionado por el sistema de óptica adaptativa.
2. Marco teórico
Se considera un objeto que se mueve sobre un fondo fijo con velocidad constante v = (vx,vy)
(aunque el movimiento no sea uniforme siempre se puede considerar como tal en un intervalo
suficientemente corto). La imagen del objeto en un instante tn es igual a la imagen en el instante
inicial, t0, pero desplazada. Por tanto su transformada de Fourier (TF) espacial es idéntica salvo
un factor de fase. Como consecuencia, si se realiza la TF temporal de la serie de TF espaciales de
las imágenes, se obtiene una función delta cuya posición permite deducir la velocidad del
objeto.1,2
Sin embargo, en nuestro análisis las imágenes se obtienen a través de la atmósfera, por lo que se
distorsionan.3-5 Además, en muchas aplicaciones las imágenes se adquieren en bajo número de
fotones, con lo que dos procesos estocásticos independientes afectan a la imagen: las distorsiones
atmosféricas y el ruido en la detección de fotones. Como consecuencia, la transformada espaciotemporal ya no es una función delta. Sin embargo, en un amplio rango de condiciones aún se
centra en la frecuencia temporal que corresponde al valor correcto de la velocidad.1
3. Simulación y resultados
Para analizar la técnica se ha desarrollado una simulación tanto de la distorsión que la atmósfera
produce en las imágenes como de la detección en bajo número de fotones. La atmósfera se
considera una pantalla de fase6 que sigue la estadística de Kolmogorov, y los frentes de onda se
descomponen en la base de los polinomios de Zernike.7,8 El efecto del sistema óptica adaptativa
para corregir parcialmente estas aberraciones atmosféricas consiste en eliminar los primeros
modos de la descomposición.5 El proceso de detección en bajo número de fotones se simula
mediante un generador de números aleatorios con distribución de Poisson.
1
Los frentes de onda se simulan usando 465 modos de Zernike, el muestreo en la pupila es de 65 x
65 modos. El cociente D/r0 es 10 y el muestreo en la imagen es 128 x 128. El objeto en
movimiento es una doble gaussiana y su velocidad es de vy=2 y vx=0 pixeles/imagen. La figura 1
muestra un ejemplo del tipo de imágenes obtenidas en la simulación.
En primer lugar se estudia, en función del grado de corrección, el número de fotones por imagen
que es necesario para una estimación precisa de la trayectoria del objeto. En este análisis se
considera que la descripción del movimiento es posible si el cociente señal ruido (SNR) alcanza
un valor de 10. Los resultados se muestran en la figura 2, construida para una secuencia de 16
imágenes. Se observa que en estas condiciones, la curva presenta una asíntota vertical, que
significa que el SNR requerido no se puede alcanzar si el grado de corrección está por debajo de
12 modos, sea cual sea el número de fotones (energía) detectado. Este es un resultado de gran
importancia porque demuestra que el uso de óptica adaptativa es necesario para determinar la
trayectoria cuando el valor de D/r0 es alto. También se aprecia en la curva que la energía
necesaria decrece con rapidez al aumentar el grado de corrección, lo que demuestra la utilidad de
lo sistemas de compensación parcial9,10 (cuyo costo es moderado) para detectar objetos débiles.
Por último, para altas correcciones la curva tiende a un valor de 50 fotones por imagen. Este valor
representa la mínima energía que se necesita en ausencia de turbulencia atmosférica. Se puede
observar que cualquier corrección superior a 36 modos (8 órdenes) apenas supone un
decrecimiento de la energía necesaria. Este es un aspecto importante a tener en cuenta para
conseguir un diseño óptimo del sistema de seguimiento.
Otro estudio interesante se muestra en la figura 3. Representa el número de imágenes necesario
en una secuencia con un número fijo de fotones detectados (200 fotones). Al aumentar el grado
de corrección se necesitan series de imágenes más cortas. De nuevo se demuestra que los
sistemas de compensación parcial son las solución más adecuada. Aparece una asíntota vertical
para 6 modos corregidos porque no se puede estimar la velocidad si las imágenes no presentan al
menos ese grado de corrección. Por tanto, se comprueba que la óptica adaptativa es necesaria
para describir el movimiento de un objeto cuando el cociente D/r0 es alto, lo que en el IR afecta
sólo a sistemas de gran apertura, pero en el visible puede afectar a sistemas de apertura
moderada. Como regla general, el valor exigido para el SNR sólo se alcanza cuando las imágenes
presentan un cociente de Strehl de al menos 0.1. Esta condición se puede relacionar con la
varianza residual en el frente de onda mediante la aproximación de Marechal11
SR ≈ exp(−∆ j ) ≈ 0.1 .
4. Conclusiones
Se ha demostrado que la transformada espacio-temporal de una secuencia de imágenes es una
técnica muy útil para la determinación de la velocidad cuando la atmósfera distorsiona las
imágenes. Además se ha descubierto que la corrección por óptica adaptativa es esencial cuando
las condiciones son muy adversas. Afortunadamente, en la mayoría de aplicaciones, el moderado
grado de corrección que proporcionan los sistemas de costo medio es suficiente. Por otra parte, se
ha derivado el número de fotones por imagen (y de imágenes por serie) necesarios para el
seguimiento del objeto en función del grado de corrección. Este análisis podría completarse
incluyendo ciertas fuentes de error que intervienen en los diversos procesos.
Trabajo financiado por la Dirección General de Enseñanza Superior, proyecto AYA2000-1565-C02.
2
REFERENCIAS
1. M.P. Cagigal, L. Vega and P.M. Prieto, Appl. Opt. 34, 1769-1774 (1995).
2. V.F. Canales, M.P. Cagigal and P.M. Prieto, Opt. Eng. 37, 2182-2185 (1998).
3. J. Hardy, Adaptive optics for astronomical telescopes (Oxford Univ. Press, New York, 1998).
4. M.C. Roggemann and B. Welsh, Imaging through turbulence (CRC Press, Boca Raton, Fla., 1996).
5. F. Roddier, Adaptive Optics in astronomy (Cambridge University Press, Cambridge, 1999).
6. J.M. Beckers, Annu. Rev. Astron. Astrophys. 31, 13 (1993).
7. R.J. Noll, J. Opt. Soc. Am. 66, 207-211 (1976).
8. N. Roddier, Opt. Eng. 29, 1174-1180 (1990).
9. G. Vdovin, “Micromachined membrane deformable mirrors,” in Adaptive Optics engineering handbook, R.K.
Tyson, ed. (Marcel Dekker Inc., New York, 2000).
10. I. Munro and J.C. Dainty, “A compact low-cost adaptive optics model,” in Adaptive optics for industry and
medicine, (S. Restaino and S.W. Teare eds., EE.UU., 2002).
11. M. Born and E. Wolf, Principles of optics (Pergamon, Oxford, UK, 1993).
Figura 1. (izqda.) Ejemplo de imagen el objeto
doble gaussiana distorsionada por la atmósfera y
detectada en bajo número de fotones. (200 fotones,
21 modos compensados ).
Figura 2. (abajo izqda.) Núm. de fotones necesarios
para obtener un SNR=10 en función del grado de
corrección (16 imágenes por secuencia y D/r0 =
10).
Figura 3. (abajo dcha.) Número de imágenes en una
secuencia para obtener un SNR=10 en función del
grado de compensación (número de fotones = 200 y
condiciones de atmósfera D/r0=10).
700
600
500
Frames per series
Photocounts per frame .
C
400
300
200
100
0
256
192
128
64
0
0
10
20
30
40
0
Corrected modes
25
50
75
Corrected modes
3
100