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Bernardo Cascales, José Manuel Mira,
universitarios
Análisis
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José Orihuela y Matías Raja
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Bernardo Cascales
es Catedrático de
Análisis Matemático
en la Universidad de
Murcia. Se doctoró en
Matemáticas por
la Universidad de Murcia
en 1985 y ha sido Profesor Visitante en la
University of Missouri at Columbia (Mizzou)
(1998-99) y en la Kent State University
(KSU), Ohio (2009-10). Con amplia
experiencia docente, ha dirigido varios
proyectos competitivos de investigación
financiados por el Estado Español y por la
UE. Investiga en el desarrollo de técnicas de
topología y teoría de la medida con
aplicaciones al análisis funcional y es autor de
un buen número de trabajos originales y
director de varias tesis doctorales. Editor
asociado del Journal of Mathematical
Analysis and Applications (JMAA) y
miembro del Comité Editorial de la RSME
para publicaciones conjuntas con la AMS. Es
también coordinador de la Red de Análisis
Funcional y sus Aplicaciones de España
(NFAAS). Más informacion en:
http://webs.um.es/beca. Su dirección
electrónica es: [email protected].
José Manuel Mira
Ros es Profesor Titular
de Análisis Matemático
de la Universidad de
Murcia. Se
doctoró en Matemáticas
por la Universidad de
Zaragoza en 1979 siendo
docente de la misma
hasta su incorporación a
la Universidad de Murcia.
Tiene una amplia experiencia docente y de
gestión universitaria. Es usuario convencido e
impulsor del software libre de código abierto
entre sus estudiantes y amigos, como puede
apreciarse en su página personal
http://webs.um.es/mira. Ha publicado, junto
con otros cuatro coautores, dos libros sobre
LATEX: http://www.latex.um.es. Su dirección
electrónica es: [email protected].
José Orihuela es
Catedrático de Análisis
Matemático de la
Universidad de Murcia
desde 1991 donde se
doctoró en 1984. Ha sido Profesor Visitante
en el University College London (1995) (UCL)
y en el Mathematical Institute of the
University of Oxford donde fue Fellow del
Brasenose College (2001-02). Tiene amplia
experiencia docente y de gestión, habiendo
sido Vicerrector de Planificación de
Enseñanzas y de Profesorado en su
Universidad (1991-1994). Ha dirigido distintos
proyectos de investigación financiados por el
Gobierno Español, así como por la Agencia de
Ciencia y Tecnología de la Región de Murcia.
En su investigación desarrolla técnicas de la
topología, geometría y optimización en
análisis funcional y estudia aplicaciones de
éstas a las matemáticas de los mercados
financieros. Ha publicado numerosos trabajos
de investigación originales y dirigido varias
tesis doctorales. Editor asociado de Serdica
Mathematical Journal (1999-2011). Es
Académico Correspondiente de la Real
Academia de Ciencias Exactas, Físicas y
Naturales, desde 2005 y editor de su revista,
Serie A, RACSAM. Es miembro del equipo de
coordinación de NFAAS. Su página web es
webs.um.es/joseori y su correo electrónico
[email protected].
Matías Raja es Profesor
Titular de la Universidad
de Murcia y desarrolla
su docencia en distintos
aspectos del Análisis
Matemático.
Es Licenciado por la
Universidad de Murcia y
se doctoró en 1998 por la
Universidad de Burdeos. Desde entonces
realiza su investigación principalmente en
geometría y topología de los espacios de
Banach, área en la que ha publicado varios
trabajos de investigación originales. Su
dirección electrónica es [email protected].
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Primera edición
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A.M.S. Mathematics Subject Classification (2010):
Primaria: 46-01
Secundaria: 46Axx, 46Bxx, 46Cxx, 46Exx, 46Fxx
Código IBIC: PBKF
Código CDU: 517
Diseño de cubierta: Juan Pedro Cascales Sandoval y Ana Martínez Martínez
Diseño y composición: Ediciones Electolibris S.L.
Compuesto con LATEX con tipos Computer Modern Fonts y Lucida Handwriting
c Bernardo Cascales Salinas, José Manuel Mira Ros, José Orihuela Calatayud y
Matías Raja Baño
c Ediciones Electolibris, S. L. (2012)
C.I.F. B-73749186
Pablo Neruda, 7
30820 Murcia (España)
www.electolibris.es
c Real Sociedad Matemática Española (R.S.M.E.)
C.I.F. G-28833523
Todos los derechos reservados.
Queda prohibida, salvo excepción prevista en la Ley, sin la autorización por escrito
de los titulares de los correspondientes derechos de la propiedad intelectual o de sus
cesionarios, cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública y
modificación, parcial o total, en cualquier tipo de soporte o medio de esta obra.
No obstante, los propietarios del Copyright de este libro digital autorizan a los
compradores individuales del mismo a realizar copias impresas de él para su uso
personal.
e-ISBN: 978-84-940688-2-9
Depósito legal: MU 20-2013
Los dos productos identificados por sus respectivos ISBN más abajo, publicados
por Ediciones Electolibris S. L., tienen por título
Análisis Funcional
y autores Bernardo Cascales, José Manuel Mira, José Orihuela y Matías Raja.
ISBN: 978-84-940688-1-2 Versión en papel: libro de teoría con relación de ejercicios propuestos.
eISBN: 978-84-940688-2-9 Versión en formato digital PDF con el contenido de
978-84-940688-1-2 más:
• sistema de navegación interno e hipervínculos internos para referencias cruzadas, índices y lista bibliográfica;
• seis hiperenlaces externos a aplicación web para acceso a la solución a dos
problemas de cada uno de los tres capítulos.
• hiperenlaces de acceso para lectura complementaria en internet (requiere suscripción aparte y acceso a internet).
• hiperenlaces de acceso para las soluciones de todos los problemas propuestos
a través de aplicación web (requiere suscripción aparte y acceso a internet).
• hiperenlaces de acceso a programa de cálculo Maxima (GPL) en la web, para
ilustrar aspectos numéricos del libro (requiere suscripción aparte y acceso a
internet).
Ediciones Electolibris S.L. no posee el Copyright de las fotografías que aparecen
en este texto. Hemos utilizado todos nuestros medios para asegurarnos más allá de la
duda razonable que estas fotografías son de dominio público. Si cree que usted tiene
derechos sobre dichas fotografías, por favor contacte con [email protected] y
trataremos de eliminar esta fotografía o de referir la fuente adecuadamente.
Fotografías e iconos incluidos:
pág. 40, commons.wikimedia.org/wiki/File:Hilbert.jpg
pág. 86, www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/PictDisplay/Schwartz.html
pág. 165, www-history.mcs.st-and.ac.uk/PictDisplay/Riesz.html
pág. 192, commons.wikimedia.org/wiki/File:John_von_Neumann.jpg
pág. 237, www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/PictDisplay/Banach.html
pág. 283, commons.wikimedia.org/wiki/File:Fourier.jpg
Icono solución: Jana Jakeschov, openclipart.org/detail/2263/write-by-machovka
Icono altavoz: Lemmling, openclipart.org/detail/17685/cartoon-speaker-by-lemmlin
Puede obtener información adicional sobre esta obra y otras publicadas por
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página web de la
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incluye una
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Introducción
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1.5. Mejor aproximación. Teorema de la proyección . . . . .
1.6. Dual de un espacio de Hilbert: teorema de Riesz–Fréchet
1.7. Problemas variacionales cuadráticos . . . . . . . . . . .
1.8. Convolución y aproximación de funciones . . . . . . . .
1.9. El principio de Dirichlet: justificación analítico funcional
1.10. Operadores diferenciales y soluciones débiles . . . . . . .
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1. Espacios de Hilbert
1.1. Espacios de Banach . . . . . . . . . . .
1.2. Espacios normados de dimensión finita
1.3. Ejemplos de espacios de Banach . . . .
1.4. Espacios de Hilbert . . . . . . . . . . .
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Reseña histórica sobre David Hilbert, 34
Reseña histórica sobre Laurent Schwartz, 80
1.11. El método de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
1.12. Bases en espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
1.13. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2. Teoría espectral de operadores compactos normales
137
2.1. Ejemplos de operadores acotados en espacios de Hilbert . . . 141
2.2. Inversión de operadores. Espectro . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Reseña histórica sobre Frigyes Riesz, 158
2.3. Adjunto de un operador en espacios de Hilbert . . . . . . . . 158
2.4. Operadores compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
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Índice general
2.5. Teorema espectral para operadores compactos normales . . . 178
Reseña histórica sobre John von Neumann, 185
2.6. Aplicaciones del teorema espectral . . . . . . . . . . . . . . . 197
2.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
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3. Los principios fundamentales del Análisis Funcional
Reseña histórica sobre Stefan Banach, 230
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Reseña histórica sobre Joseph Fourier, 276
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3.4. Teoremas de la aplicación abierta y de la gráfica cerrada
3.5. Espacios vectoriales topológicos . . . . . . . . . . . . . .
3.6. Espacios localmente convexos metrizables y normables .
3.7. Versión geométrica del teorema de Hahn-Banach . . . .
3.8. Pares duales. Polares. El teorema bipolar . . . . . . . . .
3.9. El teorema de completitud de Grothendieck . . . . . . .
3.10. Topologías débiles en espacios de Banach. Reflexividad .
3.11. Separabilidad y metrizabilidad. Propiedad de Schur . . .
3.12. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.1. El teorema de Hahn-Banach: versión analítica . . . . . . . . . 231
3.2. La propiedad de extensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
3.3. Teorema de la acotación uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . 262
A. Introducción a la integral de Lebesgue
A.1. Medida e integración abstracta . . . .
A.2. Espacios Lp . . . . . . . . . . . . . . .
A.3. La medida de Lebesgue en Rn . . . . .
A.4. Relación con la integral de Riemann .
Bibliografía
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Este texto corresponde a nuestra elección de lo que podría ser una asignatura larga de Análisis Funcional en nuestras universidades en España. Para
cursos cortos de Análisis Funcional será necesario hacer una selección de temas. Este libro ha sido escrito tanto pensando en un formato clásico en papel
como en su versión digital. La versión en papel goza de la comodidad que
da nuestra tradición y gusto por los libros. La versión digital en pdf, como
realidad moderna, no es copia muerta de la versión en papel. Esta versión
digital tiene los contenidos de la versión en papel y le hemos añadido la potencia de hipervínculos internos e hiperenlaces externos, lo que ha permitido
que podamos aunar nuestro doble papel de autores-profesores y llevemos al
lector a documentos complementarios en internet, presentemos las soluciones
de los problemas en una aplicación web, fraccionadamente, como haríamos
en nuestras pizarras, añadiendo incluso algunos comentarios de voz, de vez
en cuando, como haríamos al terminar un problema en una clase. En definitiva, este libro en su versión digital no es otra cosa que una muestra de
nuestras clases sacadas del aula y ofrecidas en un libro digital vivo. Cerrada
esta edición, ya estamos deseando volver a ponerle más vida a la siguiente.
Desde el punto de vista del contenido científico, la elaboración de un texto como éste, base para un curso que puede ser introductorio, lleva consigo
siempre un problema de elección. Esto es especialmente cierto en el caso del
Análisis Funcional, por la gran cantidad de temas que abarca, siendo bastante difícil, cualquiera que sea la elección, no caer en omisiones que puedan
parecer graves a determinados especialistas en la materia. La elección llevada a cabo en este texto trata de responder a los objetivos concretos que nos
2
Introducción
hemos fijado, siendo nuestra intención la de ir introduciendo paulatinamente
al lector en temas de dificultad progresiva y con aplicaciones notables.
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“El Análisis Funcional es la rama de las Matemáticas que estudia
los espacios vectoriales topológicos y las aplicaciones U : Ω → F
de una parte Ω de un espacio vectorial topológico E en un espacio
vectorial topológico F , donde estas aplicaciones se supone que
verifican ciertas condiciones algebraicas y topológicas.”
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Un momento de reflexión muestra cómo esta definición, que no es todo lo
amplia que podría ser, cubre gran parte del Análisis Moderno, como por ejemplo, los espacios de Hilbert y de Banach, la teoría espectral de operadores,
las álgebras de Banach, la teoría general de espacios vectoriales topológicos,
la teoría de dualidad, distribuciones, algunos aspectos de las ecuaciones en
derivadas parciales, etc.
En nuestra presentación procuramos ir de lo concreto al planteamiento
general de los problemas, para después de su estudio riguroso volver al mundo de las aplicaciones. Esta presentación de los temas tiene la ventaja de
asegurar el conocimiento de los orígenes de los problemas, y de que los resultados básicos no son sólo demostrados, sino también aplicados. Este esquema
de trabajo nos ha parecido particularmente atractivo en el marco del Análisis Funcional, donde las teorías generales siempre están ligadas a fenómenos
concretos, y donde se puede caer fácilmente en la tentación de olvidarse de
las aplicaciones y centrarse en resultados demasiado abstractos.
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Se podrían dar muchas definiciones de Análisis Funcional. Su nombre
sugiere que este tipo de Análisis se encarga del estudio de aquella parte de
las Matemáticas que trata con funciones, pero esto significa prácticamente
todo el Análisis Matemático. Siguiendo a Dieudonné diremos que:
Pretendemos con este texto suministrar al lector un material accesible e
introductorio al Análisis Funcional. Más allá de lo que nosotros desarrollamos
en este texto, debemos insistir, animar y casi obligar, y así lo hacemos, a que
el lector acuda a otros libros de Análisis Funcional conocidos, como los de
Cerdà [11], Conway [14], Lax [50], Limaye [51], Rudin [58], Schwartz [64], o
nuestros favoritos de topología Choquet [12] y Kelley [44].
La primera parte de este texto corresponde a los elementos básicos del
Análisis Funcional: se recuerdan los conceptos de espacio normado y de espa-
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Introducción
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cio de Banach, resaltando los ejemplos más destacados; se estudian los espacios de dimensión finita, caracterizándolos a través de la compacidad de sus
bolas cerradas, teorema 1.2.8; se analizan, en el marco de los espacios de
Banach, los espacios de sucesiones, espacios de funciones continuas, espacios
de funciones diferenciables u holomorfas, etc. estableciendo, en particular,
las desigualdades de Hölder 1.2.2 y Minkowski 1.2.3; se estudia el concepto
de espacio de Hilbert y se caracterizan las normas hilbertianas a través de
la “ley del paralelogramo”, teorema 1.4.6; se resuelve, en el contexto de los
espacios de Hilbert, el problema de la existencia y unicidad del vector de
mejor aproximación a uno dado para un determinado conjunto de vectores,
relacionándolo con la noción de ortogonalidad, teoremas 1.5.3 y 1.5.4; la existencia de mejores aproximaciones se utiliza, entre otras cosas, para resolver
sistemas sobredimensionados, sección 1.5.1.1, y para calcular el dual topológico de un espacio de Hilbert, teorema 1.6.1; se analiza la conexión existente
entre el problema de mejor aproximación y ciertos problemas variacionales,
teorema 1.7.1; se estudia la convolución como método para regularizar funciones, 1.8, y se estudia el teorema de Malgrange-Ehrenpreis, teorema 1.10.7
y la existencia y unicidad de solución del problema de Dirichlet general, teorema 1.9.8; se estudia el método de Galerkin-Ritz de aproximación, 1.11.1;
se introduce el concepto de base hilbertiana, teorema 1.12.22; se estudia la
noción de red y familia sumable; se construyen bases hilbertianas del espacio
L2 ([−π, π]), teorema 1.12.34, ligadas a los orígenes de las series de Fourier clásicas, bases hilbertianas formadas por polinomios ortogonales, que se aplican
a diversas cuestiones de Análisis Numérico y bases hilbertianas en espacios de
funciones holomorfas A2 (Ω), que sustituyen con éxito en abiertos irregulares
a los monomios (z − a)n ; el estudio de estas bases en espacios de funciones
requiere el uso de los teoremas de Korovkin 1.12.29 y de Weierstrass 1.12.30.
Algunas referencias básicas que, sobre las cuestiones de este capítulo, el lector puede utilizar son: para espacios de Banach [20, 47, 14], para espacios
de Hilbert [59, 64, 71, 51], para aproximación y regularización [49, 70], para
técnicas variacionales y sus aplicaciones [7, 23, 66, 72, 73, 50] y para bases
en espacios de Hilbert y aplicaciones: [12, 35, 46, 65, 67]
En el segundo capítulo se desarrolla la teoría espectral y algunas de sus
aplicaciones. Grosso modo la teoría espectral es la generalización infinito dimensional de la teoría de diagonalización de matrices. En este capítulo se
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Introducción
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introducen ejemplos concretos de operadores, y se analiza la posibilidad de
su representación mediante matrices infinitas, sección 2.1; se define el concepto de espectro para un operador, sección 2.2; se presenta el concepto de
adjunto de un operador y sendos tipos de operadores relacionados con dicho concepto: los operadores autoadjuntos y los normales, sección 2.3; se
estudia el concepto de operador compacto, sección 2.4; se establece el teorema espectral para operadores compactos y autoadjuntos o bien compactos y
normales en espacios de Hilbert, teoremas 2.5.5 y 2.5.14; se discuten algunas
aplicaciones del teorema espectral a la resolución de determinados tipos de
ecuaciones integrales —ecuaciones en las que la incógnita es una función que
aparece bajo el signo integral—, sección 2.6.1, y de ecuaciones diferenciales
—ecuaciones en las que la incógnita es una función de la que se conocen
ciertas propiedades de sus derivadas—, sección 2.6.2; concretamente se estudia la Alternativa de Fredholm, véase el teorema 2.6.1, para operadores
integrales, que se aplica a la resolución de problemas de Sturm–Liouville,
sección 2.6.2; se aprovecha el estudio anterior para resolver el problema de
Dirichlet en un cuadrado y la ecuación diferencial que rige el movimiento
de una cuerda vibrante. Lecturas recomendadas sobre la temática de este
capítulo son: para operadores en espacios de Banach: [57, 47, 20, 14], para
operadores en espacios de Hilbert [28, 51, 66, 73] y para aplicaciones de las
técnicas aquí estudiadas [3, 7, 64, 50, 72]
En el tercer capítulo se desarrollan los Principios Fundamentales del Análisis Funcional, con numerosas aplicaciones, y la teoría de dualidad en el
marco de los espacios localmente convexos, que nos parece el más adecuado. En este capítulo se establece el teorema de extensión de Hahn-Banach
en su versión analítica, teorema 3.1.1; se introduce el concepto de norma
estrictamente convexa y se analiza la unicidad en el teorema de extensión
de Hahn-Banach, teorema 3.1.12, en relación con este concepto; se estudian
los espacios de Banach que se pueden poner en llegada para garantizar un
teorema de extensión similar al teorema de Hahn-Banach, pero con valores vectoriales, véase la sección 3.2; se estudia el teorema de la Categoría
de Baire, teorema 3.3.3, y sus consecuencias en espacios de Banach: el teorema de la Acotación Uniforme, teorema 3.3.5, y el teorema de la Gráfica
Cerrada, teorema 3.4.12; se dan diversas, e importantes, aplicaciones de los
resultados fundamentales estudiados en este tema, entre otras, la existencia
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Introducción
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de límites de Banach, la existencia de funciones continuas con series de Fourier puntualmente divergentes, la continuidad de los coeficientes asociados a
una base, etc.; se introducen las topologías localmente convexas como marco
para establecer los teoremas de separación de conjuntos convexos que permiten estudiar adecuadamente las topologías débiles y débiles∗ en los espacios
de Banach; se demuestra el teorema de Mazur —también conocido como
versión geométrica del teorema de Hahn-Banach—, teorema 3.7.5; se reconocen muchas nociones de convergencia en espacios de funciones continuas,
holomorfas, diferenciables, espacios base para distribuciones, etc., como conceptos asociadas a topologías localmente convexas, véanse las secciones 3.5,
3.6, 3.7 y 3.8; se estudian los teoremas de Alaoglu 3.8.15 y Goldstine 3.10.4,
la noción de reflexividad en espacios de Banach, y se aprende cuáles de los
espacios de Banach clásicos son reflexivos y cuáles no; se introduce la noción de convexidad uniforme, y en particular se demuestra el teorema de
Milman 3.10.11 que se aplica para calcular los duales de los espacios Lp ,
sin necesidad de utilizar el teorema de Radon–Nikodým; se introduce sucintamente al lector en relaciones no triviales entre la topología y el Análisis Funcional tales como: relación entre separabilidad y metrizabilidad para
topologías débiles, comportamiento sucesional de los débil compactos, teorema 3.11.5, propiedad de Schur 3.11.4, etc. De las muchas referencias que
podríamos recomendar al lector sobre las cuestiones tratadas en este capítulo, nos ceñimos a las siguientes: sobre la teoría general de espacios localmente
convexos [31, 36, 39, 45, 48, 58, 61, 64]; sobre los principios fundamentales
en los espacios de Banach [20, 15, 16, 24, 38, 47, 50, 51] y sobre aplicaciones
de estos principios [7, 17, 28, 66, 67, 70, 74].
El apéndice final recoge sin demostraciones los resultados sobre la integral
de Lebesgue que el lector de este texto puede necesitar para entender algunas
partes de los capítulos centrales del mismo.
Cada capítulo tiene una colección de ejercicios propuestos que han sido
ordenados según temática tal y como ésta avanza en el libro. Estos ejercicios,
o problemas a veces, complementan la materia expuesta y se han seleccionado para que el lector que quiera aprender técnicas de Análisis Funcional
se entrene resolviéndolos por él mismo. Como material complementario se
puede acceder desde la versión digital de este libro a las soluciones de todos
los ejercicios propuestos a través de una aplicación web.
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Introducción
En este libro hemos elegido seis matemáticos que han cimentado gran
parte del moderno Análisis Funcional para comentar su historia brevemente.
Nuestra elección es: David Hilbert (pág. 34), Laurent Schwartz (pág. 80),
Frigyes Riesz (pág. 158), John von Neumann (véase página 185), Stefan Banach (pág. 230) y Joseph Fourier (pág. 276).
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Agradecemos a todas las personas que nos han hecho llegar sugerencias,
a lo largo de mucho tiempo, sobre materiales que han conducido a este libro.
En particular nombramos a nuestros alumnos Juan de la Cruz González
y Antonio José Guirao y a nuestros compañeros María Ángeles Hernández
y Antonio José Pallarés. Nuestro agradecimiento muy especial para nuestro
querido Salvador Sánchez-Pedreño quien nos ha ayudado a componer el libro,
ha discutido con nosotros matemáticas y la conveniencia o no de esta o
aquella expresión en el castellano más correcto.
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Para aquellos lectores que hayan disfrutado con el estudio de los temas
tratados en esta obra y que deseen introducirse en aspectos más recientes y
avanzados del Análisis Funcional, sugerimos las siguientes referencias [1, 2,
5, 9, 10, 25, 40, 32, 53].
Los autores manifiestan su agradecimiento a la Real Sociedad Matemática
Española y a sus comités científicos que han aceptado la publicación de este
libro en la colección “Textos Universitarios - Matemáticas” que Ediciones
Electolibris inicia en colaboración con dicha sociedad.
Murcia, 24 de Diciembre de 2012.
Bernardo Cascales.
José Manuel Mira.
José Orihuela.
Matias Raja.
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1.1. Espacios de Banach
1.2. Espacios normados de dimensión finita
1.3. Ejemplos de espacios de Banach
1.4. Espacios de Hilbert
1.5. Mejor aproximación. Teorema de la proyección
1.6. Dual de un espacio de Hilbert: teorema de Riesz–Fréchet
1.7. Problemas variacionales cuadráticos
1.8. Convolución y aproximación de funciones
1.9. El principio de Dirichlet: justificación analítico funcional
1.10. Operadores diferenciales y soluciones débiles
1.11. El método de Galerkin
1.12. Bases en espacios de Hilbert
1.13. Ejercicios
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Objetivos centrales del capítulo
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Aunque en las primeras secciones se incluyen conceptos y propiedades básicas de los espacios normados, este capítulo está esencialmente dedicado a la
estructura de espacio de Hilbert. De ese modo se resaltan mejor las características específicas de los espacios de Hilbert en comparación con los espacios
normados, que constituyen un modelo más flexible, pero de menor riqueza
estructural, que los espacios de Hilbert.
Como objetivos específicos del capítulo señalamos:
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Recordar los conceptos de espacio normado y de espacio de Banach, que se han
podido introducir en otras asignaturas previas de Análisis Matemático,
resaltando los ejemplos más destacados.
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Estudiar los espacios de dimensión finita caracterizándolos a través de la
compacidad de sus bolas cerradas (teorema 1.2.8). Analizar los espacios
de sucesiones, espacios de funciones continuas, espacios de funciones diferenciables, holomorfas, etc. que el lector ha encontrado anteriormente
en otras asignaturas.
Recordar el concepto de espacio de Hilbert y caracterizar los espacios de
Hilbert a través de una propiedad geométrica de la norma, la “ley del
paralelogramo” (teorema 1.4.6).
Resolver el problema de la existencia y unicidad del vector de mejor aproximación a uno dado para un determinado conjunto de vectores, relacionándolo con la noción de ortogonalidad (teoremas 1.5.3 y 1.5.4). Establecer
la existencia en los espacios de Hilbert de proyecciones ortogonales sobre
subespacios cerrados (teorema 1.5.7).
Calcular el dual topológico de un espacio de Hilbert (teorema 1.6.1).
Estudiar la convolución de funciones y utilizarla para aproximar funciones
arbitrarias por funciones infinitamente diferenciables 1.8.6.
Analizar la conexión existente entre el problema de mejor aproximación y
ciertos problemas variacionales sobre la existencia de mínimo para determinado tipo de funciones (teorema 1.7.1). Aplicar estos resultados a
la justificación analítico funcional de la existencia y unicidad de solución
del problema de Dirichlet general.
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Aplicar la teoría de espacios de Hilbert para demostrar el teorema de Malgrange y Erhenpreis sobre existencia de soluciones débiles de ecuaciones en derivadas parciales lineales y de coeficientes constantes (teorema 1.10.7).
ui
ta
Aprender el método de Galerkin que sirve de base para la resolución numérica
de los problemas diferenciales tratados en este capítulo.
gr
at
Introducir el concepto de base hilbertiana, que permite el empleo de
coordenadas con una utilidad similar a la de los espacios de dimensión
finita (1.12.22). Con este propósito se introduce la noción de red y el
concepto familia sumable, concepto que se relaciona, en espacios de
dimensión finita, con otras nociones de sumabilidad que el lector conoce
en el cuerpo de los números reales o complejos.
tra
Construir una base hilbertiana del espacio L2 ([−π, π]) (1.12.34), que se
encuentra ligada a los orígenes de las series de Fourier clásicas. Para lo
cual se establece el teorema de Weierstrass (1.12.30) sobre aproximación
uniforme de las funciones continuas por polinomios.
mu
es
Presentar, en la sección 1.12.7, otro tipo de bases hilbertianas sumamente
interesantes en las aplicaciones, en particular en Análisis Numérico: los
polinomios ortogonales.
Utilizar la noción de base hilbertiana para analizar la posibilidad de
representar una función holomorfa en un abierto Ω del plano complejo
mediante una fórmula del tipo
f (z) =
∞
X
an wn (z),
n=0
análoga a la serie de potencias, con coeficientes (an )n unívocamente
determinados, pero válida para todos los puntos z ∈ Ω.
Mis notas
10
1.1. Espacios de Banach
L
ui
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gr
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tra
1.1.
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os objetos que se consideran en Análisis Matemático: espacios euclídeos,
funciones continuas, diferenciables, integrables, holomorfas, . . . están claramente diferenciados; sin embargo poseen también una serie de características que hacen posible analizar algunas de sus propiedades de forma unificada,
con una economía de medios y con una comprensión global de las mismas.
Uno de los puntos de vista novedosos del Análisis Funcional es la búsqueda de
buenas estructuras de clasificación para los objetos del Análisis Matemático,
el estudio abstracto de las propiedades de éstas y la utilización de aplicaciones
lineales continuas como herramienta para modelizar problemas. Los espacios
de Banach y de Hilbert constituyen estructuras de clasificación de objetos
matemáticos tan útiles como puedan ser las estructuras que se manejan en
otras ciencias. La mayor parte de los resultados aquí expuestos son válidos
para espacios vectoriales reales o complejos, aunque eventualmente pueden
presentarse algunos que sólo son ciertos, y se indicará, o bien para espacios
reales o bien para espacios complejos. Por ello, en lo sucesivo K denotará
indistintamente el cuerpo R de los números reales o el cuerpo C de los complejos, y los espacios vectoriales que aparecen se consideran definidos sobre K.
La modelización matemática del espacio físico se realiza a través del espacio euclídeo, que recoge y abstrae todas las propiedades significativas a la
experiencia sensible. El espacio de Hilbert representa la extensión a dimensión infinita de ese modelo.
Espacios de Banach
Definición 1.1.1.
Sean X un espacio vectorial sobre K y q : X → R una función.
Diremos que:
(i) q es subaditiva si q(x + y) ≤ q(x) + q(y) para todo x, y ∈ X.
(ii) q es positivamente homogénea si q(ax) = aq(x) para todo x de X
y a > 0.
(iii) q es una seminorma si q es subaditiva y q(ax) = |a|q(x) para todo
x ∈ X y a ∈ K.
(iv) q es una norma si q es seminorma y además la ecuación q(x) = 0
sólo tiene la solución x = 0.
11
1.1. Espacios de Banach
Definición 1.1.2.
Un espacio normado es un espacio vectorial X con una norma k · k.
Un espacio normado (X, k·k) se llama espacio de Banach si la distancia
d : X × X → R asociada a la norma mediante la fórmula
ui
ta
d(x, y) = kx − yk
Notaciones:
(i) A veces, por brevedad, nos referiremos a un espacio normado (X, k · k)
únicamente como espacio normado X.
tra
(ii) En un espacio normado (X, k · k), con BX o con B[0, 1] denotaremos indistintamente su bola unidad cerrada, es decir, BX = B[0, 1] =
{x ∈ X : kxk ≤ 1}.
(iii) Con int BX y B(0, 1) se denotará, indistintamente, la bola unidad abierta del espacio normado (X, k · k), es decir, B(0, 1) = int BX = {x ∈ X :
kxk < 1}.
mu
es
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gr
at
es completa, es decir, si cada sucesión de Cauchy en (X, d) es convergente.
(iv) SX = {x ∈ X : kxk = 1} designa la esfera unidad del espacio normado
(X, k · k).
(v) Si Y es un subespacio vectorial del espacio normado X, con (Y, k · k)
denotamos el espacio normado Y con la norma inducida por X.
(vi) Para cada conjunto A ⊂ X denotamos con span A el menor subespacio
vectorial que contiene al conjunto A, es decir, la intersección de todos
los subespacios vectoriales que contienen al conjunto A. Con span A denotamos la clausura topológica del conjunto anterior, es decir, el menor
espacio vectorial topológicamente cerrado que contiene al conjunto A
(así, spanA = span A).
(vii) Si (X, k · k) es un espacio normado y S un subconjunto de X, fijado
x ∈ X, con d(x, S) denotaremos, como es usual en los espacios métricos,
la distancia de x a S, es decir,
d(x, S) := ı́nf{d(x, y) : y ∈ S} = ı́nf{kx − yk : y ∈ S}.
12
1.1. Espacios de Banach
Proposición 1.1.3.
Sea X un espacio normado. Entonces:
(i) Las aplicaciones s : X × X → X y p : K × X → X definidas, respectivamente, por las fórmulas
son continuas.
y
p(a, x) = ax
gr
at
(ii) Las aplicaciones sy : X → X y pa : X → X, con a 6= 0, definidas,
respectivamente, por
sy (x) = x + y
y
pa (x) = ax
tra
son homeomorfismos (biyectivas y bicontinuas).
(iii) Si G es un subconjunto abierto de X, también lo es G + A cualquiera
que sea el conjunto A ⊂ X.
(iv) Si F es un subconjunto cerrado y K es un subconjunto compacto, entonces K + F es cerrado.
mu
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ui
ta
s(x, y) = x + y
(v) Si Y ⊂ X es un subespacio1 vectorial también lo es su clausura topológica Y .
(vi) Un subespacio Y ⊂ X es un subespacio propio de X si, y sólo si, el
interior de Y es vacío.
(vii) El espacio normado X es completo
Psi, y sólo si, para cualquier sucesión
(yn )nPen X tal que la serie real ∞
n=1 kyn k es convergente se verifica
∞
que n=1 yn converge a un punto de X.
(viii) Si Y ⊂ X es un subespacio vectorial de X, entonces Y es un espacio
normado para la norma inducida. Si X es de Banach, entonces Y es
cerrado si, y sólo si, Y es de Banach.
Demostración. Las tres primeras afirmaciones son muy sencillas y quedan
al cuidado del lector. Para probar (iv) basta observar que si z = lı́mn (xn +yn )
con (xn )n ⊂ K, (yn )n ⊂ F entonces, al ser K compacto, existe una subsucesión (xnk )k convergente a x ∈ K, con lo que (ynk )k converge a z − x ∈ F .
1
En lo sucesivo subespacio significará subespacio vectorial.
13
1.1. Espacios de Banach
ui
ta
gr
at
tra
Definición 1.1.4.
Si (X, k · k) es un espacio normado, un subconjunto A ⊂ X se dice
acotado si
sup{kxk : x ∈ A} < ∞,
mu
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La propiedad (v) se obtiene de forma inmediata utilizando la caracterización
de la clausura de Y mediante sucesiones en Y . La afirmación (vi) es consecuencia de que si Y tiene interior
S∞ no vacío, entonces existe r > 0 tal que
B(0, r) ⊂ Y y, por tanto, X = n=1 B(0, nr) ⊂ Y , luego X = Y .
Veamos (vii).
Banach, la conP La prueba de que si X es un espacio de P
∞
vergencia de ∞
ky
k
implica
la
convergencia
en
X
de
n
n=1
n=1 yn , se deja al lector. Recíprocamente. Tomemos (xn )n una sucesión de Cauchy en
−k
(X, k · k). Existe
P∞ una subsucesión (xnk )k que satisface kxnk − xnk+1 k ≤ 2
y por
P tanto k=1 kxnk − xnk+1 k es convergente, con lo que también converge ∞
k=1 (xnk − xnk+1 ), es decir, la subsucesión (xnk )k es convergente. Pero
siendo (xn )n una sucesión de Cauchy y la subsucesión (xnk )k convergente,
necesariamente (xn )n es convergente (al mismo límite que (xnk )k ).
o equivalentemente, si existe M ≥ 0 tal que kxk ≤ M para cada x ∈ A.
Proposición 1.1.5.
Sean X e Y espacios normados.
(i) Si T : X → Y es lineal, las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(a) T es continua en 0.
(b) La imagen por T de un conjunto acotado en X es un conjunto
acotado en Y .
(c) sup{kT (x)k : kxk = 1} < ∞.
(d) kT (x)k ≤ M kxk para algún M ≥ 0 y para todo x de X.
(e) T es uniformemente continua en X.
(f ) T es continua.
(ii) Si denotamos por L(X, Y ) el conjunto de las aplicaciones lineales y
continuas de X en Y , entonces L(X, Y ) es un espacio vectorial y la
función definida para cada T de L(X, Y ) mediante la fórmula
14
1.1. Espacios de Banach
kT k : = sup{kT (x)k : kxk ≤ 1} = sup{kT (x)k : kxk = 1}
= sup{kT (x)k : kxk < 1}
(1.1)
es una norma en L(X, Y ). Además, si Y es un espacio de Banach
entonces también lo es (L(X, Y ), k · k).
ui
ta
(iii) La composición de aplicaciones lineales y continuas es lineal y continua.
Demostración. El lector no tendrá dificultad en realizarla por sí mismo.
gr
at
Definición 1.1.6.
Definición 1.1.7.
tra
Si X es un espacio normado, el espacio de Banach L(X, K), que se
denota con X ∗ , se llama dual topológico de X.
mu
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Las aplicaciones lineales de X en K se suelen llamar formas lineales y
el conjunto de las mismas recibe el nombre de dual algebraico. Para formas
lineales la continuidad de T equivale a que Ker T sea cerrado (véase la proposición 1.2.9).
Sean X e Y dos espacios normados.
(i) Una aplicación T : X → Y se llama isomorfismo topológico de X
en Y si es un isomorfismo algebraico tal que T y T −1 son continuas. En tal caso se dice que los espacios X e Y son topológicamente isomorfos 2 .
(ii) Un isomorfismo topológico T se dice isométrico si conserva la distancia, equivalentemente, si kT (x)k = kxk para x ∈ X. En tal
caso X e Y se dicen isométricamente isomorfos.
(iii) Si k · k y | · | son normas en X, se dice que son equivalentes si la
aplicación identidad
I : (X, k · k) → (X, | · |)
es un isomorfismo topológico de espacios normados.
2
No es infrecuente que en textos de Análisis Funcional, con un indudable abuso de
lenguaje, se emplee la terminología espacios normados isomorfos para referirse a espacios
normados topológicamente isomorfos.
15
1.1. Espacios de Banach
Proposición 1.1.8.
Sean X e Y espacios normados.
ui
ta
(i) Sea T : X → Y una aplicación lineal sobreyectiva. Entonces T es un
isomorfismo topológico si, y sólo si, existen constantes m, M > 0 tales
que mkxk ≤ kT (x)k ≤ M kxk para todo x ∈ X.
(ii) Si k · k y | · | son dos normas en X, entonces son equivalentes si, y sólo
si, existen m, M > 0 tales que m|x| ≤ kxk ≤ M |x| para todo x ∈ X.
gr
at
Demostración. Se deja como ejercicio al lector.
tra
Las aplicaciones lineales entre espacios normados se suelen llamar operadores, empleándose los términos operador acotado y operador no acotado
según que el operador sea o no continuo3 . Si X es un espacio de dimensión
finita e Y es un espacio normado, las aplicaciones lineales de X en Y son
continuas (véase el corolario 1.2.5) y todos los operadores son acotados. La
situación es diferente en los espacios de dimensión infinita.
mu
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(iii) Si X e Y son espacios normados isomorfos, la completitud de uno
equivale a la del otro.
Ejemplo 1.1.9. En espacios de dimensión infinita hay operadores no acotados.
Demostración. Sea X un espacio normado de dimensión infinita y sea
Y un espacio normado no nulo. Sea (xn )n una sucesión de vectores en X,
linealmente independientes con norma 1 y sea y 6= 0 un vector arbitrario
de Y . Podemos completar la sucesión (xn )n con vectores (zi )i hasta tener
una base algebraica de X. Entonces definiendo T xn = ny, para cada n, y
T zi = 0, para cada i, se construye una aplicación lineal T de X en Y que
no es continua, debido a que kT xn k = nkyk y, en consecuencia, la sucesión
(kT xn k)n no es acotada.
Es un hecho conocido de topología general que cualquier espacio métrico
(M, d) posee una compleción, es decir, existen un espacio métrico completo
c, db) y una aplicación isométrica J : M −→ M
c tales que J(M ) es denso
(M
3
La equivalencia entre (b) y (f ) en la proposición 1.1.5 justifica esta terminología.
16
1.1. Espacios de Banach
c, db). Si (X, k · k) es un espacio normado y denotamos con X
b su compleen (M
b
ción como espacio métrico, es fácil comprobar que X es un espacio vectorial
b db), define
y que la fórmula |b
x| = lı́mn kxn k, supuesto que x
b = lı́mn xn en (X,
b
una norma que genera la distancia d, es decir,
ui
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gr
at
Utilizando los ejemplos de la sección 1.3 construiremos otro modelo para
la compleción de un espacio métrico.
tra
Proposición 1.1.11.
Sea X un espacio normado. Si Y es un subespacio vectorial cerrado del
espacio normado X, entonces el espacio vectorial cociente X/Y es un espacio
normado para la norma cociente dada por
|x + Y | = ı́nf{kx + yk : y ∈ Y }.
mu
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Proposición 1.1.10.
b y una
Para cada espacio normado X existen un espacio de Banach X
b
b El
aplicación lineal isométrica J : X −→ X tales que J(X) es denso en X.
b recibe el nombre de compleción de X.
espacio X
La aplicación cociente Q : X −→ X/Y es lineal, continua y abierta. Además,
la norma cociente genera la topología cociente y si X es de Banach también
lo es X/Y .
Demostración. Para el segundo, si |x + Y | = 0 y x ∈ X, entonces existe
(yn )n ⊂ Y con lı́mn kx − yn k = 0, por lo que x ∈ Y , puesto que Y es cerrado,
y en consecuencia, x+ Y = 0. Las restantes propiedades de la norma en X/Y
son inmediatas, así como la linealidad y continuidad de Q.
Para ver que Q es abierta basta observar que Q(BX (0, 1)) = BX/Y (0, 1), y
esto se comprueba de forma inmediata. Recordemos que la topología cociente
es la topología más fina en X/Y que hace continua la aplicación cociente Q,
y por ello es claro que la topología cociente es más fina que la topología de
la norma; pero, por otra parte, si W es un abierto en la topología cociente
entonces Q−1 (W ) es un abierto en X, por lo que fijado x ∈ Q−1 (W ) existe
r > 0 tal que B(x, r) ⊂ Q−1 (W ). Por tanto Q(B(x, r)) = B(Qx, r) ⊂ W
y, en consecuencia, W es abierto en la topología que genera la norma | · |
en X/Y .
P
Finalmente, si ∞
∞ podemos tomar yn ∈ xn + Y para que
n=1 |xn + Y | < P
kyn k ≤ |xn + Y | + 2−n , con lo que ∞
n=1 kyn k < ∞ y por la completitud de
17
1.2. Espacios normados de dimensión finita
P∞
X (véase la proposición 1.1.3)
la
serie
n converge, de donde se obtiene
n=1 y
P
P
∞
la convergencia de la serie ∞
(x
+
Y
)
=
n
n=1
n=1 Q(yn ) en X/Y , aplicando
la continuidad de Q.
gr
at
Sea X un espacio normado y sean Y, Z subespacios vectoriales tales
que X es la suma directa algebraica4 de Y y Z, que denotamos con
X = Y ⊕ Z. Se dice que X es la suma directa topológica de Y y Z si las
proyecciones canónicas PY y PZ de X en X, definidas respectivamente
por las fórmulas PY (y + z) = y y PZ (y + z) = z, son continuas. En ese
caso se dice que Z es un complementario topológico de Y respecto de X.
tra
Obsérvese que en una suma directa topológica los sumandos son cerrados
y que es suficiente que una de ambas proyecciones sea continua para que
la suma sea topológica. La topología producto en Y × Z coincide con la
topología que engendra en Y × Z la norma k(y, z)k = kyk + kzk. Es sencillo
comprobar que X es la suma directa topológica de Y y Z si, y sólo si, la
aplicación s : Y × Z −→ X definida por s(y, z) = y + z es un isomorfismo
topológico de espacios normados.
1.2.
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ta
Definición 1.1.12.
Espacios normados de dimensión finita
Los primeros ejemplos de espacios de Banach a considerar son, indudablemente, los espacios de dimensión finita y, particularmente, los espacios
n
n
euclídeos Kn en los que la distancia entrep
dos
Pnpuntos x = 2(xi )i=1 e y = (yi )i=1
está definida por la fórmula d(x, y) = +
i=1 |xi − yi | . Dicha distancia es
la asociada a la norma que define la fórmula
kxk2 :=
X
n
i=1
2
|xi |
1
2
(1.2)
Es fácil comprobar que se satisfacen:
4
Esto significa que para cada x ∈ X existen y ∈ Y y z ∈ Z unívocamente determinados
de modo que x = y + z. O, equivalentemente, que Y ∩ Z = 0 y X = Y + Z.
18
1.2. Espacios normados de dimensión finita
(i) Para todo x ∈ K, kxk2 ≥ 0 y kxk2 = 0 si, y sólo si, x = 0.
(ii) kaxk2 = |a|kxk2 si a ∈ K y x ∈ Kn .
i=1
p
|xi |
1/p
(1.3)
tra
define también una norma en Kn . Como antes, la única propiedad no evidente
de la norma k · kp es la desigualdad triangular, al menos, para p > 1, ya
que para p = 1 la desigualdad triangular es una consecuencia directa de la
desigualdad triangular del valor absoluto en K. La desigualdad triangular
para p > 1 se sigue de la desigualdad de Minkowski que se establece en el
corolario 1.2.3; para probarlo comencemos por un resultado técnico.
Lema 1.2.1.
Sean a, b ≥ 0 y p > 1. Sea q el conjugado de p, definido por la ecuación
1
1
+
p
q = 1. Entonces
a p bq
+
ab ≤
p
q
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X
n
gr
at
kxkp :=
ui
ta
Sin embargo, la desigualdad triangular exige un poco más de trabajo. De
hecho, el exponente 2 en la fórmula (1.2) puede reemplazarse por cualquier
número real p ≥ 1 y la fórmula
Demostración. Como la función exponencial es convexa se tiene
1
p+ 1
q
e p log a
1
Y al ser ab = elog ab = e p
log bq
≤
1 log ap 1 log bq
ap bq
e
+ e
=
+
p
q
p
q
log ap + q1 log bq
se obtiene el resultado.
Proposición 1.2.2. Desigualdad de Hölder.
Sean ak , bk ≥ 0, con 1 ≤ k ≤ n y n ∈ N. Si p > 1 y q es el conjugado de
p, entonces se verifica
n
X
k=1
ak bk ≤
X
n
k=1
apk
1/p X
n
k=1
bqk
1/q
.
19
1.2. Espacios normados de dimensión finita
P
P
Demostración. Sean A := ( k apk )1/p , B := ( k bqk )1/q y supongamos que
A y B son no nulos, pues en otro caso el resultado es claro. Aplicando el
lema anterior con a = aAk , b = bBk y sumando se tiene
n
k=1
≤
AB
de donde se sigue la tesis.
n
p
q
1 X ak
1 X bk
+
= 1,
p
Ap
q
Bq
k=1
k=1
gr
at
Esta desigualdad recibe el nombre de desigualdad de Schwarz cuando p = 2.
tra
Corolario 1.2.3. Desigualdad de Minkowski.
Sean ak , bk ≥ 0 para 1 ≤ k ≤ n y n ∈ N. Si p ≥ 1 entonces se verifica
X
1/p
1/p X
1/p X
n
n
n
p
p
p
+
(ak + bk )
≤
bk
ak
k=1
k=1
k=1
Demostración. En el caso p = 1 no hay nada que probar. Supongamos pues
p > 1 y sea q tal que (1/p) + (1/q) = 1. Teniendo en cuenta que (p − 1)q = p
y la desigualdad de Hölder se tiene:
α :=
n
n
X
X
(ak + bk )p =
(ak + bk )(ak + bk )p−1
k=1
=
mu
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n
X
ak bk
n
X
k=1
ak (ak + bk )p−1 +
k=1
n
X
bk (ak + bk )p−1
k=1
X
1/pX
1/pX
1/q X
1/q
n
n
n
n
p
p
q(p−1)
q(p−1)
≤
ak
(ak + bk )
+
bk
(ak + bk )
k=1
= α1/q
X
n
k=1
k=1
1/p
p
ak
+
X
n
lo que prueba el enunciado.
k=1
1/p !
,
bpk
k=1
k=1
En lo que sigue denotaremos por ℓpn , 1 ≤ p < ∞, el espacio Kn dotado de
n
la norma k · kp . Con ℓ∞
n denotamos el espacio K dotado de la norma k · k∞
definida por
kxk∞ := sup{|xi |; 1 ≤ i ≤ n}.
20
1.2. Espacios normados de dimensión finita
En Kn todas estas normas son equivalentes entre sí como consecuencia de las
desigualdades
kxk∞ ≤ kxkp ≤ n1/p kxk∞
tra
gr
at
Proposición 1.2.4.
Si X e Y son espacios normados finito dimensionales con la misma dimensión, entonces X e Y son topológicamente isomorfos. Más específicamente, si n es la dimensión común y {ek : 1 ≤ k ≤ n} es una base algebraica de
X, entonces el isomorfismo algebraico natural entre ℓ1n y X, dado por
T (z) := T (a1 , a2 , . . . , an ) =
n
X
ai ei ,
k=1
mu
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ui
ta
y, por tanto, definen la misma topología. La topología que definen es la producto (determinada por la convergencia coordenada a coordenada) y como
K es completo, Kn con cualquiera de esas normas es un espacio de Banach.
La proposición que sigue establece que, de hecho, es cierto un resultado más
general.
es, de hecho, un isomorfismo topológico.
Demostración. La continuidad de T es consecuencia de la acotación
n
n
X
X
|ai |,
ai ei ≤ α
kT (a1 , a2 , . . . , an )k = k=1
k=1
donde α := sup{kek k : 1 ≤ k ≤ n}.
Para establecer la continuidad de T −1 tenemos en cuenta que la esfera
unidad K de ℓ1n es unPconjunto compacto y que f : K −→ R definida por
f (a1 , a2 , . . . , an ) := k nk=1 ai ei k es una función continua
sin ceros (por ser T
P
isomorfismo algebraico). Entonces 0 < β := mı́n{k nk=1 ai ei k : k(ai )i k1 = 1}.
Por tanto, para cada (a1 , a2 , . . . , an ) ∈ ℓ1n se tiene
f (a1 , a2 , . . . , an )
≥ β,
k(a1 , a2 , . . . , an )k1
de donde
1.2. Espacios normados de dimensión finita
β
n
X
i=1
21
n
X
|ai | ≤ ai ei = kT (a1 , a2 , . . . , an )k,
i=1
lo que prueba la continuidad de T −1 .
ui
ta
Como consecuencia se obtiene fácilmente el siguiente corolario.
Corolario 1.2.5.
(i) Todas las normas en un espacio finito dimensional son equivalentes.
gr
at
(iii) Todo subespacio de dimensión finita de un espacio normado es cerrado.
(iv) Toda aplicación lineal de un espacio normado de dimensión finita en
un espacio normado arbitrario es continua.
tra
(v) En espacios normados de dimensión finita los conjuntos cerrados y
acotados son compactos (teorema de Bolzano-Weierstrass).
Veremos más adelante, aplicando el teorema de Baire 3.3.3, que la dimensión algebraica de un espacio de Banach o es finita o es no numerable.
La validez del teorema de Bolzano-Weierstrass caracteriza los espacios
de dimensión finita. Para probarlo comenzamos estableciendo un lema, debido a Riesz, llamado a veces “lema sobre la existencia de elementos casi
ortogonales”.
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(ii) Todo espacio normado de dimensión finita es de Banach.
Lema 1.2.6.
Sean X un espacio normado e Y ⊂ X un subespacio cerrado propio. Si
0 < ε < 1, entonces existe xε ∈ X con kxε k = 1 y d(xε , Y ) ≥ 1 − ε.
Demostración. Sea x ∈ X \ Y . Al ser Y cerrado se tiene d := d(x, Y ) > 0.
Puesto que d < d/(1 − ε) existe y0 ∈ Y verificando d ≤ kx − y0 k < d/(1 − ε).
Sea xε el vector normalizado de x − y0 , es decir, xε = (x − y0 )kx − y0 k−1 .
Para cada y ∈ Y arbitrario se tiene
x − y0
1
=
kxε − yk = −
y
−
y
−
kx
−
y
ky
x
0
0 kx − y0 k
kx − y0 k
≥
d
> 1 − ε,
kx − y0 k
luego d(xε , Y ) ≥ 1 − ε.
22
1.2. Espacios normados de dimensión finita
Corolario 1.2.7.
Si X es un espacio normado de dimensión infinita, entonces existen una
sucesión de subespacios (Mn )n (que pueden tomarse finito dimensionales) y
una sucesión de vectores (yn )n tales que para cada n ∈ N se verifica que
yn ∈ Mn ,
kyn k = 1,
d(yn+1 , Mn ) ≥
1
2
gr
at
Demostración. Tomamos x1 ∈ X con kx1 k = 1 y llamamos M1 = span{x1 }.
Si ε = 21 , por el lema de Riesz existe x2 ∈ X\M1 con kx2 k = 1 de forma que
d(x2 , M1 ) ≥ 1 − 21 = 12 . Sea M2 = span{x1 , x2 }; de igual forma con ε = 21
existirá x3 en X\M2 tal que d(x3 , M2 ) = 21 . Al ser X de dimensión infinita,
procediendo de forma recursiva obtenemos el resultado buscado.
tra
Teorema 1.2.8. F. Riesz, 1918.
Si X es un espacio normado las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(i) X es de dimensión finita.
mu
es
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ui
ta
Mn ⊂ Mn+1 ,
(ii) Todo conjunto cerrado y acotado de X es compacto.
(iii) La bola unidad cerrada BX = {x ∈ X : kxk ≤ 1} es compacta (X
es localmente compacto).
Demostración. La implicación (i) ⇒(ii) no es otra cosa que el teorema
de Bolzano-Weierstrass mencionado en el corolario 1.2.5. Es claro que (ii)
implica (iii). A partir de (iii), si X fuera de dimensión infinita, aplicando el
corolario anterior se obtendría una sucesión (yn )n con kyn k = 1 cumpliendo
kyn − ym k ≥ 12 , si n 6= m, lo cual es incompatible con la compacidad de la
bola de X.
También es posible demostrar el teorema anterior como sigue (prueba de
Choquet):
Demostración. Las implicaciones (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) son evidentes. Veamos
que (iii)S ⇒(i). Como BX es compacto existen x1 , x2 , . . . , xn ∈ X tales que
BX ⊂ ni=1 (xi + 12 BX ). Sean Y = span{x1 , ..., xn } y Q : X −→ X/Y la
1.2. Espacios normados de dimensión finita
23
aplicación cociente. Entonces
BX/Y = Q(BX ) ⊂
n
[
i=1
1
1
1
Q xi + BX = Q(BX ) = BX/Y ,
2
2
2
ui
ta
ya que Q(xi ) = 0 al ser xi ∈ Y . De forma inductiva se tiene
1
1
1
BX/Y ⊂ BX/Y ⊂ BX/Y ⊂ · · · ⊂ n BX/Y ⊂ · · ·
2
4
2
gr
at
tra
Proposición 1.2.9.
Para un espacio normado X se verifican:
(i) Si Y ⊂ X es un subespacio vectorial cerrado y Z ⊂ X es un subespacio
vectorial finito dimensional, entonces Y + Z es un espacio vectorial
cerrado.
mu
es
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Si z ∈ BX/Y entonces z ∈ 21n BX/Y para cualquier n ∈ N, es decir, si kzk ≤ 1
en X/Y entonces kzk ≤ 21n para todo n ∈ N. Por tanto BX/Y = {0} y así
X/Y = 0, lo que significa que X = Y .
(ii) Si Y es un espacio normado y T : X → Y una aplicación lineal cuya
imagen es un subespacio de dimensión finita, entonces T es continua
si, y sólo si, Ker T es cerrado.
Demostración. Sea Q : X −→ X/Y la aplicación cociente. Q(Z) es un
subespacio finito dimensional y por tanto cerrado. Como Q es continua, entonces Y + Z = Q−1 (Q(Z)) es cerrado, lo que demuestra la afirmación (i).
Para probar (ii) consideremos la descomposición canónica de T dada por
.
Q
J
X −→ X Ker T −→ T (X) ֒→ Y.
La continuidad de T se obtiene por composición, debido a que la aplicación
cociente Q y la inclusión de T (X) en Y son continuas, junto con que T (X)
es de dimensión finita y por ello J es un isomorfismo topológico, de acuerdo
con la proposición 1.2.4.
La suma de subespacios cerrados es un subespacio que puede no ser cerrado, como pone de manifiesto el ejemplo 1.3.2.
24
1.3. Ejemplos de espacios de Banach
Corolario 1.2.10.
Sean X un espacio de Banach e Y ⊂ X un subespacio cerrado de codimensión finita. Entonces cualquier complementario algebraico Z de Y es un
complementario topológico.
Ejemplos de espacios de Banach
gr
at
1.3.
La desigualdad de Minkowski puede extenderse a series, permitiendo así
definir espacios clásicos de sucesiones.
tra
Proposición 1.3.1.
Los conjuntos definidos a continuación son espacios vectoriales sobre K
y las funciones k · kp y k · k∞ son normas.
1
X
∞
p
p
p
N
|xn |
(i) ℓ := x = (xn )n ∈ K : kxkp :=
< ∞ , 1 ≤ p < ∞.
(ii) ℓ∞
mu
es
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ui
ta
Demostración. Se deduce inmediatamente de la proposición 1.2.9 (véase
también el corolario 3.1.8).
n=1
n
o
:= x = (xn )n ∈ KN : kxk∞ := sup |x(n)| < ∞ .
n∈N
(iii) c0 := x = (xn )n ∈ KN : lı́m |x(n)| = 0 .
n
N
(iv) c := x = (xn )n ∈ K : existe lı́m x(n) .
n
N
(v) c00 := x = (xn )n ∈ K : x(n) = 0 si n > n0 para cierto n0 ∈ N .
(vi) (ℓp , k · kp ), con 1 ≤ p ≤ ∞, son espacios de Banach. Los espacios c, c0
son subespacios cerrados de ℓ∞ y c00 (llamado espacio de las sucesiones
finitamente no nulas) es denso en ℓp para 1 ≤ p < ∞.
(vii)
ℓ1 ⊆ ℓp ⊂ ℓq ⊂ c0 ⊂ c ⊂ ℓ∞
siendo las inclusiones continuas y, en esta ocasión, estrictas cuando
aparecen denotadas con el símbolo ⊂, donde 1 ≤ p < q < ∞.
(viii) ℓp , 1 ≤ p < ∞, c0 y c son separables, mientras que ℓ∞ no lo es.
25
1.3. Ejemplos de espacios de Banach
(ix) Para los duales se tiene:
(c0 , k · k∞ )∗ = (ℓ1 , k · k1 )
y
(ℓp , k · kp )∗ = (ℓq , k · kq ), 1 ≤ p < ∞,
donde 1/p + 1/q = 1.
ui
ta
gr
at
tra
ℓ1 ⊆ ℓp ⊂ ℓq ⊂ c0 ⊂ c ⊂ ℓ∞
de forma continua. Claramente el conjunto
(
aj ∈ Q
D := {(a1 , a2 , . . . , an , 0, 0, . . . ) : n ∈ N} con
aj ∈ Q + iQ
mu
es
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Demostración. Es sencillo comprobar la completitud en todos los casos
utilizando adecuadamente la condición de Cauchy y que la convergencia en
las correspondientes normas implica la convergencia por coordenadas. Como
el término general de una serie convergente tiene por límite 0 se tiene que
ℓq ⊂ c0 para 1 ≤ q < ∞. El hecho de que las sucesiones convergentes sean
acotadas nos proporciona c ⊂ ℓ∞ . Finalmente el hecho de que si 0 ≤ x ≤ 1
y p ≤ q entonces es xq ≤ xp permite probar fácilmente que ℓp ⊂ ℓq , siendo
además el contenido estricto. Resumiendo, se verifican las inclusiones
si K = R,
si K = C
es un conjunto numerable y denso en c0 , que es por lo tanto separable. Para
cada x = (ξn )n ∈ ℓp si xn := (ξ1 , ξ2 . . . , ξn , 0, 0 . . . ) entonces xn converge a
x en k · kp . Por tanto el conjunto D también es denso en ℓp , si 1 ≤ p < ∞.
La separabilidad de c se demuestra razonando con el conjunto de sucesiones que toman sólo una cantidad finita de valores distintos, y además todos ellos racionales. Para ver que ℓ∞ no es separable es suficiente observar
que A = {χA : A ∈ P(N)}, donde P(N) designa la familia de los subconjuntos de N, es un conjunto no numerable tal que si A 6= B entonces
kχA − χB k∞ = 1. Por tanto ningún conjunto numerable es denso en A , y en
consecuencia ℓ∞ no es separable.
Para ver que (c0 , k · k∞ )∗ es isométricamente isomorfo a (ℓ1 , k · k1 ) establecemos la aplicación
T : (ℓ1 , k · k1 ) → (c0 , k · k∞ )∗
26
1.3. Ejemplos de espacios de Banach
que a cada y := (ξn )n ∈ ℓ1 le hace corresponder T (y) ∈ (c0 , k · k∞ )∗ definido
del siguiente modo:
∞
X
ξn xn , para (xn )n ∈ c0 .
T (y) (xn )n :=
u(x) = lı́m u
n
n
X
k=1
gr
at
T está bien definida, es lineal y continua con kT (y)k ≤ kyk1 . Para acabar la
demostración es suficiente ver que T es sobreyectiva y que kyk1 ≤ kT (y)k.
Denotemos con ep el vector que tiene nulas todas sus coordenadas salvo la
p-ésima, que es 1. Dado u ∈ (c0 , k · k∞ )∗ , si x = (xn )n ∈ c0 , se tiene
n
∞
X
X
xk ek = lı́m
u(ek )xk =
ξ k xk ,
n
k=1
k=1
tra
es decir, u queda determinada por (ξn )n siendo ξn = u(en ). Si probamos que
(u(en ))n ∈ ℓ1 y que k(u(en ))n k1 ≤ kuk habremos conseguido establecer que T
es un isomorfismo isométrico. A tal fin, fijado m ∈ N podemos hacer una
elección adecuada de xk , 1 ≤ k ≤ m, con |xk | = 1 para P
que si escribimos
m
x = (x1 , x2 , . . . , xm , 0, 0, . . . ) tengamos
Pm la igualdad u(x) = k=1 |u(ek )|. Así
pues, para cada m ∈ N, se tiene k=1 |u(ek )| ≤ kuk, que es lo que queríamos
demostrar.
Veamos ahora que (ℓ1 , k · k1 )∗ es isométricamente isomorfo a (ℓ∞ , k · k∞ )
mediante la aplicación
mu
es
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ui
ta
n=1
T : (ℓ∞ , k · k∞ ) −→ (ℓ1 , k · k1 )∗
que a cada y := (ξn )n ∈ ℓ∞ le hace corresponder T (y) ∈ (ℓ1 , k · k1 )∗ definido
del siguiente modo:
∞
X
ξn xn , para (xn )n ∈ ℓ1 .
T (y) (xn )n :=
n=1
T está bien definida y kT (y)k ≤ kyk∞ . Como en el caso anterior, es inmediato que cada u ∈ (ℓ1 , k · k1 )∗ viene determinada por (u(ek ))k ya que, si
x = (xn )n ∈ ℓ1 ,
u(x) = lı́m
n
n
X
k=1
u(ek )xk =
∞
X
k=1
u(ek )xk ,
27
1.3. Ejemplos de espacios de Banach
y que (u(ek ))k ∈ ℓ∞ siendo k(u(ek ))k k∞ ≤ kuk, sin más que tener en cuenta
que, en el supuesto de que u(ek ) sea no nulo, se tiene
|u(ek )|
|u(ek )| = u
ek ≤ kuk.
u(ek )
ui
ta
Vamos a probar ahora que si 1 < p < ∞ y 1/p + 1/q = 1, entonces
es isométricamente isomorfo a (ℓq , k · kq ). Para ello consideramos
la aplicación
T : (ℓq , k · kq ) → (ℓp , k · kp )∗
(ℓp , k · kp )∗
gr
at
n=1
tra
La desigualdad de Hölder, proposición 1.2.2, garantiza que T está bien definida y que kT (y)k ≤ kykq . Para terminar la demostración, es suficiente ver
que T es sobreyectiva y que kykq ≤ kT (y)k. Pero, de nuevo, cualquier forma
lineal continua u ∈ (ℓp , k · kp )∗ queda determinada por (u(en ))n ya que, si
x = (xn )n ∈ ℓp entonces
mu
es
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que a cada y := (ξn )n le hace corresponder T (y) ∈ (ℓp , k · kp )∗ definido de la
siguiente manera:
∞
X
ξn xn , para (xn )n ∈ ℓp .
T (y) (xn )n :=
u(x) = lı́m
n
n
X
k=1
u(ek )xk =
∞
X
u(ek )xk
k=1
y, como en los casos anteriores, basta probar que (u(ek ))k ∈ ℓq y que
k(u(ek ))k kq ≤ kuk
para concluir que T es un isomorfismo isométrico. Fijado m, sea

 |u(ek )| si u(e ) 6= 0
k
u(ek )
εk :=

1
en otro caso.
P
Pn
q−1 e se obtiene kxm kp =
q
Poniendo xm := m
p
k
k=1 εk |u(ek )|
k=1 |u(ek )| .
Y entonces
m
m
X
1/p
X
|u(xm )| = u(xm ) =
|u(ek )|q ≤ kukkxm kp = kuk
|u(ek )|q
k=1
k=1
P
q 1/q ≤ kuk, para cada m ∈ N. que finalmente proporciona ( m
k=1 |u(ek )| )
28
1.3. Ejemplos de espacios de Banach
El ejemplo que sigue pone de manifiesto que (i) en la proposición 1.2.9
no es cierta para subespacios cerrados arbitrarios.
Ejemplo 1.3.2. La suma de subespacios cerrados puede no ser un subespacio
cerrado.
o
n
1
Y := (xn )n ∈ ℓ1 : x2n = 0 y Z := (xn )n ∈ ℓ1 : x2n = n x2n−1
2
gr
at
son cerrados, como es fácil comprobar. El espacio Y + Z no es cerrado, ya
que Y + Z 6= ℓ1 e Y + Z contiene al espacio c00 , que es un conjunto denso
en ℓ1 .
tra
Ejemplo 1.3.3. Espacios de funciones acotadas y continuas.
(i) El espacio de las funciones acotadas en un conjunto no vacío S, denotado con ℓ∞ (S), está formado por las funciones f : S −→ K para las
que kf k∞ = sup{|f (s)| : s ∈ S} < ∞. El espacio (ℓ∞ (S), k · k∞ ) es un
espacio de Banach.
mu
es
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ui
ta
Demostración. En (ℓ1 , k · k1 ) los subespacios
En los apartados que siguen a continuación S denota un espacio topológico.
Si f : S → K es una función continua se llama soporte de f al conjunto
sop(f ) := {x ∈ S : f (x) 6= 0}.
(ii) El espacio de las funciones continuas y acotadas en S, denotado con
Cb (S), es un subespacio cerrado del anterior y por tanto (Cb (S), k · k∞ )
es un espacio de Banach.
(iii) El espacio C0 (S) de las funciones continuas en S que se anulan en
el infinito (lo que significa que para cada ε > 0 existe un subconjunto
compacto de S fuera del cual la función está acotada por ε) es un
subespacio cerrado del anterior y por tanto (C0 (S), k·k∞ ) es un espacio
de Banach.
(iv) Si además S es localmente compacto y de Hausdorff, entonces el espacio
Cc (S) de las funciones continuas con soporte compacto en S es un
espacio normado, denso en (C0 (S), k · k∞ ).
29
1.3. Ejemplos de espacios de Banach
ui
ta
Demostración. La verificación de las afirmaciones contenidas en los tres
primeros apartados es una tarea rutinaria que dejamos al cuidado del lector.
Para el cuarto apartado procedemos como sigue. Dada f ∈ C0 (S) y fijado
ε > 0 existe un compacto K ⊂ S tal que |f (s)| ≤ ε para s ∈
/ K. Si G es un
abierto relativamente compacto tal que K ⊂ G ⊂ S entonces, por el lema de
Urysohn [44, Lema 4. pág. 137], existe una función ϕ ∈ Cc (S) tal que
0 ≤ ϕ ≤ 1, ϕ(x) = 1 si x ∈ K, y sop(ϕ) ⊂ G.
gr
at
Observación 1.3.4. Sobre la compleción de un espacio métrico.
tra
Como ya se comentó anteriormente, es un hecho bien conocido de topología
general que cualquier espacio métrico puede ser completado. Veamos ahora
cómo el espacio ℓ∞ (S) puede ser utilizado para construir un modelo para la
compleción de un espacio métrico. Dados un espacio métrico (S, d) y x0 ∈ S
fijo, la aplicación
φ : (S, d) → (ℓ∞ (S), k · k∞ )
mu
es
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La función f ϕ está en Cc (S) y kf − f ϕk∞ ≤ ε y así acaba la prueba.
que a cada x de S le asigna φ(x) : S → R definida por φ(x)(y) := d(x, y) −
d(x0 , y) para cada y ∈ S, es una isometría. Así un modelo para la compleción
de (S, d) es la terna ((S, d), φ, φ(S)), donde φ(S) se considera con la norma
inducida de ℓ∞ (S).
Ejemplo 1.3.5. Espacios de funciones diferenciables. Sean Ω ⊂ Rn un
m (Ω) el espacio de
abierto no vacío y K ⊂ Ω un conjunto compacto. Sea DK
las funciones m veces diferenciables con continuidad (i.e. de clase m) en Ω
y con soporte contenido en K. La fórmula
∂ |α| f (x)
kf km = sup sup α1 α2
αn ∂x
∂x
.
.
.
∂x
n x∈Ω |α|≤m
1
2
α = (α1 , . . . , αn ),
|α| = α1 + · · · + αn
m (Ω), define una norma completa en D m (Ω).
donde f ∈ DK
K
Si se designa con D m (Ω) el espacio de las funciones de clase m en Ω con
soporte compacto contenido en Ω, la fórmula kf km también define una norma
en dicho espacio. Con D(Ω) se designa el subespacio del anterior formado
por las funciones infinitamente diferenciables.
30
1.3. Ejemplos de espacios de Banach
Ejemplo 1.3.6. Para (Ω, Σ, µ) un espacio de medida arbitrario, los espacio
Lp (Ω, Σ, µ) con la norma k · kp , 1 ≤ p ≤ ∞, son espacios de Banach. En
particular esto se aplica cuando Ω es un abierto de Rn con la medida de
Lebesgue en él inducida; en esta caso Cc (Ω) es denso en Lp (Ω). .
Mp (f ; r) :=
1
2π
Z
0
2π
gr
at
Ejemplo 1.3.7. Espacios de Hardy. Sean D el disco unidad abierto del
plano complejo C, H (D) el espacio de las funciones holomorfas en D y
1 ≤ p ≤ ∞. Para f ∈ H (D) definimos
iθ p
|f (re )| dθ
1/p
0 < r < 1, 1 ≤ p < ∞,
,
tra
M∞ (f ; r) := sup |f (reiθ )|,
0 < r < 1.
0≤θ≤2π
Entonces el conjunto
H p (D) := f ∈ H (D) : kf kHp := sup Mp (f ; r) < ∞
mu
es
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ui
ta
Demostración. Véase, por ejemplo, [59, Teorema 3.2.6] y A.3.5.
0<r<1
es un espacio de Banach para la norma kf kHp llamado espacio de Hardy.
Demostración. Del hecho de que (Lp , k · kp ) sea un espacio normado se
deduce inmediatamente, tomando supremos, que H p (D) es un espacio vectorial y que k · kHp es una seminorma. Por otra parte, si kf kHp = 0 entonces
para cada r es Mp (f ; r) = 0 y por tanto f |D(0, r) = 0 para todo r, es decir,
f = 0. En consecuencia, k · kHp es una norma en H p (D). Vamos a demostrar
a continuación la completitud de Hp (D).
Cuando p = ∞, f ∈ H ∞ (D) si, y sólo si, f es holomorfa y está uniformemente acotada en D, y la norma k·kH∞ coincide con la norma k·k∞ . H ∞ (D)
es un espacio de Banach por ser subespacio cerrado de (Cb (D(0, 1)), k · k∞ ).
Sea 1 ≤ p < ∞. Dada una sucesión de Cauchy (fn )n en H p (D) tomamos
0 < r < R < 1 y fijamos z ∈ B(0, r). Aplicando la fórmula de Cauchy a
fn − fm , e integrando a lo largo de la circunferencia Γ de centro 0 y radio R
31
1.4. Espacios de Hilbert
se tiene:
ui
ta
Z
1
fn (w) − fm (w)
dw
|fn (z) − fm (z)| = 2πi Γ
w−z
Z 2π
R
|fn (Reiθ ) − fm (Reiθ )| dθ.
≤
2π(R − r) 0
Z
2π
0
|fn (Reiθ ) − fm (Reiθ )| dθ
tra
p1
Z 2π
R
1− 1p
|fn (Reiθ ) − fm (Reiθ )|p dθ
≤
(2π)
2π(R − r)
0
R
Mp (fn − fm ; R) < ε, n, m ≥ nε .
≤
(R − r)
Así pues (fn )n es una sucesión de Cauchy en la topología de la convergencia
uniforme sobre los compactos de D y, por tanto, converge en dicha topología
a una función f holomorfa en D. Sólo resta probar que f ∈ H p (D) y que
kfn − f kp converge a cero. Dado ε > 0 existe n0 tal que, si m, n > n0 , se
tiene kfn − fm kp < ε y entonces para todo r < 1,
mu
es
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R
2π(R − r)
gr
at
Aplicando la desigualdad de Hölder A.2.2 a la función constantemente igual
a 1 y a la función g(θ) := |fn (Reiθ ) − fm (Reiθ )|, θ ∈ [0, 2π], se tiene
Mp (f − fm ; r) = lı́m Mp (fn − fm ; r) ≤ ε.
n→∞
Es decir, f ∈ H p (D) y kf − fm kp converge a cero si m tiende a infinito. 1.4.
Espacios de Hilbert.
Ortogonalidad y ley del paralelogramo
Los espacios de Hilbert constituyen un tipo especial de espacios de Banach
que son la generalización natural de los espacios euclídeos de dimensión finita.
Como en el caso de dimensión finita, son espacios cuya norma procede de
un producto escalar. En el caso del espacio euclídeo de dimensión n sobre el
32
1.4. Espacios de Hilbert
cuerpo de los reales, el producto escalar viene dado, como es sabido, por la
fórmula
n
X
hx, yi =
xk y k .
k=1
hx, yi =
n
X
xk y k .
k=1
gr
at
p
En ambos casos se tiene kxk2 = + hx, xi. Esto puede extenderse al espacio
ℓ2 real o complejo mediante
xk y k
tra
hx, yi =
∞
X
k=1
x, y ∈ ℓ2 ,
donde la convergencia absoluta se sigue de la desigualdad de Hölder 1.2.2
aplicada a sus sumas parciales.
En esta sección definimos de forma general la noción de producto escalar
y establecemos resultados conocidos en los espacios euclídeos.
mu
es
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ui
ta
Para espacios euclídeos complejos la fórmula es
Definición 1.4.1.
Sea H un espacio vectorial sobre K donde K es R o C. Un producto
escalar sobre H es una aplicación
h·, ·i : H × H −→ K
que verifica
(i) hax + by, zi = ahx, zi + bhy, zi para todo x, y, z ∈ H y a, b ∈ K.
(ii) hx, yi = hy, xi para todo x, y ∈ H.
(iii) hx, xi ≥ 0 y hx, xi = 0 si, y sólo si, x = 0.
Se llama espacio prehilbertiano a un espacio vectorial H dotado de
un producto escalar. En lo sucesivo los espacios prehilbertianos serán
denotados con (H, h·, ·i), o bien simplemente con H, cuando no haya
lugar a confusión.
33
1.4. Espacios de Hilbert
ui
ta
Las tres propiedades de la definición precedente se expresan diciendo que
h·, ·i es una forma hermitiana definida positiva; las dos primeras corresponden al concepto de forma hermitiana y la tercera corresponde al carácter de
definida positiva.
Un producto escalar permite definir una estructura de espacio normado
en la forma que se describe a continuación.
Proposición 1.4.2.
Si (H, h·, ·i) es un espacio prehilbertiano entonces:
gr
at
tra
Demostración. En la prueba del primer apartado distinguiremos dos casos.
Si hx, yi = 0 la desigualdad es trivial. Supongamos ahora que hx, yi =
6 0.
Entonces para cada a ∈ K, se tiene
mu
es
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(i) |hx, yi|2 ≤ hx, xihy, yi para todo x, y ∈ H
(desigualdad de Cauchy-Schwarz). Dicha desigualdad es una igualdad
si, y sólo si, x e y son linealmente dependientes.
p
(ii) La función kxk := + hx, xi define una norma en H. Además para x
e y no nulos se da la igualdad kx + yk = kxk + kyk si, y sólo si, x = ay
con a > 0.
0 ≤ hx − ay, x − ayi
= kxk2 − ahy, xi − ahx, yi + |a|2 kyk2
(1.4)
= kxk2 − 2 Re(ahy, xi) + |a|2 kyk2 .
hx, yi
con t ∈ R arbitrario, la fórmula anterior se transforHaciendo a = t
|hx, yi|
ma en
0 ≤ kxk2 − 2t|hx, yi| + t2 kyk2 .
(1.5)
Por tanto, el polinomio de segundo grado en t que aparece en la fórmula (1.5) ha de tener su discriminante menor o igual que cero, y esta condición,
|hx, yi|2 ≤ kxk2 kyk2 , es precisamente la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
Es una comprobación inmediata que si x e y son linealmente dependientes, entonces la desigualdad de Cauchy-Schwarz se convierte en una igualdad. Recíprocamente, si la desigualdad de Cauchy-Schwarz es una igualdad
y hx, yi =
6 0, entonces x = ay. En efecto, la fórmula (1.5) adoptaría entonces
la forma
0 ≤ kxk2 − 2t|hx, yi| + t2 kyk2 ≤ (kxk − tkyk)2 ,
(1.6)
34
1.4. Espacios de Hilbert
de modo que para t =
kxk
kyk
=
|hx,yi|
kyk2
se da la igualdad en (1.6) y por tanto
gr
at
kx + yk2 = kxk2 + 2 Rehx, yi + kyk2 ≤ kxk2 + 2|hx, yi| + kyk2
≤ kxk2 + 2kxkkyk + kyk2 = (kxk + kyk)2 .
Definición 1.4.3.
tra
La caracterización de cuándo ocurre la igualdad en la fórmula anterior se
estudia en el ejercicio 1.20.
Se llama espacio de Hilbert a un espacio prehilbertiano H en el que
el espacio normado asociado (H, k · k) es completo.
mu
es
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ui
ta
se tiene x = ay y así acaba la
en (1.4). Esto se traduce en que para a = hx,yi
kyk2
demostración de (i).
p
Para probar que kxk := + hx, xi define una norma en H basta con
verificar la desigualdad triangular, pues las otras dos propiedades de la norma son inmediatas. La desigualdad triangular se obtiene con ayuda de la
desigualdad de Cauchy-Schwarz del siguiente modo:
David Hilbert (1862–1943) fue un matemático de origen alemán. Su influencia en las matemáticas del siglo XX va más allá de sus contribuciones científicas, de entre las que por el
contexto de este libro debemos destacar su formulación de la teoría de los espacios de Hilbert.
Su famosa lista de 23 problemas publicada en
1900 marcó el devenir en buena medida de parte de las Matemáticas del siglo XX: 10 de estos
23 problemas fueron presentados por Hilbert en
el International Congress of Mathematicians de París de 1900. Hilbert
fue Editor Jefe de Mathematische Annalen, que ha sido por casi 150
años ya una revista de gran prestigio en matemáticas. Entre los discípulos de Hilbert se cuentan, entre otros, Alfréd Haar, Erhard Schmidt,
Hugo Steinhaus, Hermann Weyl y Ernst Zermelo. Otros detalles sobre
la historia y obra de Hilbert pueden leerse en:
• David Hilbert en Wikipedia.
• David Hilbert en MacTutor History of Mathematics.
35
1.4. Espacios de Hilbert
Ejemplo 1.4.4. Los ejemplos más básicos de espacios de Hilbert son los
siguientes:
(i) Kn con el producto escalar
xi y i ,
i=1
gr
at
siendo x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ).
P∞
2
(ii) ℓ2 = x = (xn )n ∈ KN :
n=1 |xn | < ∞ con el producto escalar
hx, yi =
∞
X
xn y n .
n=1
tra
(iii) L2 (Ω, Σ, µ), donde µ es una medida positiva en el espacio medible
(Ω, Σ), con el producto escalar
Z
f g dµ.
hf, gi =
mu
es
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ta
hx, yi =
n
X
Ω
Los que siguen son espacios prehilbertianos no completos.
(iv) El espacio c00 , definido en la proposición 1.3.1, con el producto escalar
considerado en ℓ2 , debido a que c00 es denso en ℓ2 y distinto de ℓ2 .
(v) El espacio C([a, b]) de las funciones continuas en el intervalo [a, b] con
el producto escalar heredado de L2 ([a, b], m), donde m es la medida de
Lebesgue, debido a que C([a, b]) es denso en L2 ([a, b], m) y distinto de
L2 ([a, b], m).
Demostración. Los apartados (iii) y (v) se demuestran en los textos de
medida e integración (véase, por ejemplo, [59, Teoremas 3.2.6 y 3.3.1 ]). Las
demás afirmaciones son sencillas de demostrar y quedan como ejercicio para
el lector.
Proposición 1.4.5.
Sean H un espacio prehilbertiano y k · k la norma asociada.
(i) Se verifica la siguiente “ley del paralelogramo”:
kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kx2 k + kyk2 ) para todo x, y ∈ H.
36
1.4. Espacios de Hilbert
(ii) Si K = C se verifica la siguiente “identidad de polarización”:
hx, yi = 14 (kx + yk2 − kx − yk2 + ikx + iyk2 − ikx − iyk2 )
para todo x, y ∈ H.
hx, yi = 14 (kx + yk2 − kx − yk2 )
para todo x, y ∈ H.
gr
at
Demostración. Comprobación simple usando la definición de la norma
hilbertiana.
y
0
tra
y−x
x+y
x
Obsérvese que, en particular, de lo anterior se sigue que el producto escalar es continuo en la topología que define. La ley del paralelogramo caracteriza a las normas que proceden de un producto escalar, como se prueba a
continuación.
mu
es
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ui
ta
(iii) Si K = R se verifica la siguiente identidad de polarización:
Teorema 1.4.6. Jordan-Von Neumann, 1935.
Si (X, k · k) es un espacio normado, las siguientes afirmaciones son
equivalentes:
(i) Existe un producto escalar en X tal que hx, xi = kxk2 para todo
x ∈ X.
(ii) La norma k · k verifica la ley del paralelogramo
kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ) para todo x, y ∈ X.
Demostración. Si la norma satisface la ley del paralelogramo, para cada
x, y ∈ H se define hx, yi mediante la fórmula de la identidad de polarización
que corresponda, según que el cuerpo K sea R o C. Se trata de comprobar que
h·, ·i, así definido, es un producto escalar cuya norma asociada coincide con
37
1.4. Espacios de Hilbert
la inicial. Lo haremos únicamente para el caso complejo, dejando al cuidado
del lector la adaptación al caso real.
Las siguientes identidades se comprueban de forma inmediata
h−x, yi = −hx, yi,
hy, xi = hx, yi,
hix, yi = ihx, yi.
(1.8)
(1.9)
gr
at
La ley del paralelogramo interviene en la prueba de la igualdad
D yE
D yE
+ 2 z,
,
hx + z, yi = 2 x,
2
2
(1.7)
que se establece a continuación, y que sirve como base para demostrar la
igualdad hx + z, yi = hx, yi + hz, yi.
tra
4hx + z, yi = kx + z + yk2 − kx + z − yk2 + ikx + z + iyk2 − ikx + z − iyk2
= k(x + y2 ) + (z + y2 )k2 − k(x − y2 ) + (z − y2 )k2
+ ik(x + i y2 ) + (z + i y2 )k2 − ik(x − i y2 ) + (z − i y2 )k2
= 2kx + y2 k2 + 2kz + y2 k2 − kx − zk2
mu
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ui
ta
kxk2 = hx, xi,
− (2kx − y2 k2 + 2kz − y2 k2 − kx − zk2 )
+ i(2kx + i y2 k2 + 2kz + i y2 k2 − kx − zk2 )
− i(2kx − i y2 k2 + 2kz − i y2 k2 − kx − zk2 )
= 8hx, y2 i + 8hz, y2 i.
Haciendo z = 0 en la fórmula (1.9) se tiene hx, yi = 2hx, y2 i para todo x, y,
por lo que finalmente,
hx + z, yi = hx, yi + hz, yi.
(1.10)
A partir de la fórmula (1.10), haciendo uso de (1.8) se obtiene sin dificultad
hax, yi = ahx, yi,
para a ∈ Q + iQ (primero se hace para a ∈ N, luego para a ∈ Z, a ∈ Q,. . . )
y, a partir de ahí, utilizando la continuidad de la norma (y por tanto la de
h·, ·i) se obtiene hax, yi = ahx, yi para todo a ∈ K.
38
1.4. Espacios de Hilbert
Definición 1.4.7.
Dos espacios prehilbertianos (H1 h·, ·i1 ), (H2 , h·, ·i2 ) se dicen equivalentes si existe T : H1 −→ H2 isomorfismo algebraico tal que
tra
gr
at
Es inmediato, a partir de la identidad de polarización, que una condición
necesaria y suficiente para que esto ocurra es que T sea un isomorfismo
isométrico entre los espacios normados asociados H1 y H2 .
Cualquier espacio prehilbertiano H admite una compleción como espacio
normado (véase la proposición 1.1.10), es decir, existen un espacio de Banach
b y una aplicación lineal isométrica J : H −→ H
b tales que J(H) es denso en
H
b (sección 1.1). Pero como la norma de H verifica la ley del paralelogramo,
H
b En otras palabras, H
b es
también (por densidad) la verifica la norma de H.
un espacio de Hilbert para un producto escalar h·, ·iHb que genera la norma de
b y J es una aplicación lineal isométrica de H sobre un subconjunto denso
H
b tal que hx, yiH = hJx, Jyi b para cada x, y ∈ H.
de H
H
El espacio (ℓ∞ , k · k∞ ) y el espacio C([a, b]) de las funciones continuas
Rb
en [a, b] con la norma kf k1 = a |f (t)| dt son ejemplos de espacios normados
cuya norma no procede de un producto escalar. En ambos casos el lector
puede encontrar pares de vectores que no satisfacen la ley del paralelogramo.
mu
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hT x, T yi2 = hx, yi1 .
Definición 1.4.8.
Sea H un espacio prehilbertiano.
(i) Los vectores x, y ∈ H se dicen ortogonales si hx, yi = 0. La notación x ⊥ y significa que x e y son ortogonales.
(ii) El vector x se dice ortogonal a un subconjunto M ⊂ H, y se denota
con x ⊥ M , si para todo y ∈ M se cumple hx, yi = 0. Se llama
ortogonal de M al siguiente conjunto
M ⊥ := {x ∈ H : hx, yi = 0 para todo y ∈ M }.
(iii) Una familia (xi )i∈I se dice ortogonal si xi ⊥ xj para cada i, j ∈ I
con i 6= j. Si además se cumple que kxi k = 1 para todo i ∈ I,
entonces la familia (xi )i∈I se dice ortonormal.
39
1.4. Espacios de Hilbert
Proposición 1.4.9.
Sea H un espacio prehilbertiano.
(i) Si x, y ∈ H y x ⊥ y, entonces
ui
ta
kx + yk2 = kxk2 + kyk2
(teorema de Pitágoras).
gr
at
(iii) Si M ⊆ H, entonces M ⊥ es un subespacio cerrado de H.
tra
Demostración. Las afirmaciones primera y última son de comprobación
directa. Para la segunda, supóngase que J ⊂ I es un conjunto finito y que
P
j∈J aj xj = 0. Haciendo el producto escalar de este sumatorio por cada uno
de los xj se obtiene aj = 0 para el correspondiente j ∈ J.
Cualquier sucesión de vectores puede “ortonormalizarse” según un procedimiento conocido con el nombre de método de ortonormalización de GramSchmidt que pasamos a detallar.
mu
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(ii) Si (xi )i∈I es una familia ortogonal y xi 6= 0 para todo i ∈ I, entonces
(xi )i∈I es un conjunto linealmente independiente.
Lema 1.4.10. Gram-Schmidt, 1907.
Sea (xn )n una colección contable (finita o numerable) de vectores linealmente independientes en el espacio prehilbertiano H. Si se define por inducción la sucesión (un )n mediante las fórmulas
y1 := x1 ,
u1 :=
yn := xn −
Pn−1
j=1 hxn , uj iuj ,
y1
ky1 k
yn
si n ≥ 2,
un :=
kyn k
(1.11)
entonces (un )n es una sucesión ortonormal en H y para cada n se tiene
span{u1 , . . . , un } = span{x1 , . . . , xn }.
Demostración. Haremos la demostración por inducción sobre n. Poniendo
u1 := kxx11 k (obsérvese que x1 6= 0) se tiene que {u1 } es un conjunto ortonormal y span{x1 } = span{u1 }.
40
1.4. Espacios de Hilbert
gr
at
hy, uj i = 0 = aj + hxn , uj i, para j = 1, . . . n − 1,
es decir, aj = −hxn , uj i, para j = 1, . . . n − 1, por lo que el vector
tra
yn := xn −
n−1
X
j=1
hxn , uj iuj
permite alcanzar nuestro propósito. El vector yn es no nulo puesto que xn es
linealmente independiente de {u1 , . . . , un−1 }. Haciendo un = yn /kyn k se obtiene un conjunto ortonormal {u1 , . . . , un } que satisface span{u1 , . . . , un } =
span{x1 , . . . , xn }.
mu
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ui
ta
Construidos por la hipótesis de inducción u1 , u2 , . . . , un−1 ortonormales tales que para los espacios generados se tenga span{u1 , . . . , un−1 } =
span{x1 , . . . , xn−1 }, vamos a construir un vector y en span{x1 , . . . , xn } =
span{u1 , . . . , un−1 , xn } que sea ortogonal a {u1 , . . . , un−1 }. Dicho vector será
de la forma y = a1 u1 + · · · + an−1 un−1 + an xn , pero como ha de ser ortogonal a los vectores u1 , . . . , un−1 , no puede pertenecer al subespacio que
ellos generan. Por tanto, an tiene que ser no nulo y, por homogeneidad, podemos suponer que an = 1. Además el requerimiento de ortogonalidad exige
también que
Como consecuencia se obtiene el siguiente resultado.
Corolario 1.4.11.
Sean H un espacio prehilbertiano y M un subespacio finito dimensional
de H. Entonces:
(i) M tiene una base algebraica formada por vectores ortonormales.
(ii) M es isomorfo, como espacio prehilbertiano, a Kn , siendo n = dim M .
Demostración. Para la primera parte basta tomar {x1 , x2 , . . . , xn } base
algebraica de M , y con el método de Gram-Schmidt obtener una base ortonormal {u1 , u2 , . . . , un } en M . Para la segunda parte, si {u1 , u2 , . . . , un }
es una base ortonormal de M , la aplicación T : M −→ Kn definida por
T (x) := (hx, ui i)ni=1 es un isomorfismo de espacios prehilbertianos que conserva el producto escalar.
1.5. Mejor aproximación. Teorema de la proyección
1.5.
41
Mejor aproximación.
Teorema de la proyección
Definición 1.5.1.
ui
ta
gr
at
tra
Obsérvese que no siempre existe un vector de mejor aproximación (tómese, por ejemplo, como S un semiespacio abierto de R2 y como x cualquier
elemento de R2 que no pertenezca a S) y que, en caso de que exista, puede
no ser único (tómese como S el exterior de la bola abierta con centro x y
radio 1).
El objetivo de esta sección es probar que para conjuntos convexos completos en un espacio prehilbertiano la mejor aproximación existe y es única.
Asimismo caracterizaremos el vector de mejor aproximación en términos de
una propiedad de ortogonalidad.
Comenzaremos recordando la noción de conjunto convexo.
mu
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Sean (H, h·, ·i) un espacio prehilbertiano, k · k la norma asociada
a h·, ·i, d la métrica asociada a k · k y S un subconjunto no vacío de
H. Fijado x ∈ H, si la función d(x, ·) alcanza un mínimo, es decir, si
existe y ∈ S tal que d(x, y) = d(x, S), se dice que y es un vector de
mejor aproximación de x a S.
Definición 1.5.2.
Un conjunto A de un espacio vectorial X se dice convexo si
λA + (1 − λ)A ⊂ A para todo λ ∈ [0, 1].
Teorema 1.5.3.
Sea H un espacio prehilbertiano y sea C ⊂ H un subconjunto convexo y completo. Entonces para cada x ∈ H existe una única mejor
aproximación de x a C.
Demostración. Mediante una traslación puede suponerse, sin pérdida de
generalidad, que x = 0. Sea α := ı́nf{d(0, z); z ∈ C} y sea (yn )n una sucesión
de vectores en C con lı́mn kyn k = α. Para concluir la prueba de la existencia
es suficiente demostrar que (yn )n es de Cauchy, ya que entonces existirá
1.5. Mejor aproximación. Teorema de la proyección
42
ui
ta
lı́m yn := y ∈ C y por la continuidad de la norma se tendrá kyk = α =
d(0, C). Dado ε > 0, sea n0 tal que si n ≥ n0 se tenga kyn k2 < α2 + ε. Por
la ley del paralelogramo se tiene
y − y 2 1
yn + ym 2
n
m
2
2
=
ky
k
+
ky
k
−
n
m
2
2
2
y por la convexidad de C
gr
at
tra
Así, si n, m > n0 se tiene
y − y 2 1
n
m
≤ (α2 + ε + α2 + ε) − α2 = ε.
2
2
Supongamos ahora que existieran y, z ∈ C con α = kyk = kzk. Utilizando
de nuevo la ley del paralelogramo y la convexidad de C se tiene
y − z 2 1
y + z 2 1 2
= kyk2 + kzk2 − ≤ (α + α2 ) − α2 = 0,
2
2
2
2
mu
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y + y 2
n
m
≥ α2 .
2
y por tanto z = y, lo que prueba la unicidad de la mejor aproximación.
Obsérvese que en el teorema anterior puede sustituirse la hipótesis prehilbertiano para H por Hilbert y la hipótesis completo para S por cerrado,
obteniéndose la misma conclusión.
Teorema 1.5.4.
Sea Y un subespacio de un espacio prehilbertiano H. Las dos afirmaciones siguientes son equivalentes:
(i) Existe un vector y de mejor aproximación de x a Y .
(ii) x − y ⊥ Y .
Además:
(iii) Si el vector de mejor aproximación existe, entonces es único.
(iv) Si Y es completo, el vector de mejor aproximación siempre existe.
1.5. Mejor aproximación. Teorema de la proyección
43
Demostración. Para la implicación (i)⇒(ii) razonamos como sigue. Cualesquiera que sean z ∈ Y y a ∈ K se tiene
kx − yk2 ≤ kx − y + azk2 = kx − yk2 + 2 Re ahz, x − yi + |a|2 kzk2 ,
0 ≤ 2 Re ahz, x − yi + |a|2 kzk2
ui
ta
de donde
y tomando a = thx − y, zi, con t ∈ R, se obtiene
gr
at
Si para algún z ∈ Y fuera hx − y, zi =
6 0 se tendría
0 ≤ 2t + t2 kzk2 ,
tra
para todo t ∈ R, lo cual es imposible. Se tiene así que x − y ⊥ Y .
Veamos la implicación (ii)⇒(i). Supuesto que x − y ⊥ Y , para todo
z ∈ Y , usando el teorema de Pitágoras 1.4.9, se tiene
mu
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0 ≤ 2t|hx − y, zi|2 + t2 |hx − y, zi|2 kzk2 .
kx − zk2 = kx − y + y − zk2 = kx − yk2 + ky − zk2 ≥ kx − yk2 .
En consecuencia, y es el vector de mejor aproximación de x a Y .
Para probar (iii) supongamos que y1 , y2 ∈ Y son vectores de mejor aproximación. Entonces x − y1 y x − y2 pertenecen a Y ⊥ y su diferencia también,
de modo que y1 − y2 ∈ Y ⊥ ∩ Y , lo cual exige que y1 = y2 . Por último (iv) es
consecuencia del teorema 1.5.3.
1.5.1.
Espacios de Hilbert de dimensión finita.
Determinante de Gram
Si M es un subespacio de dimensión finita de un espacio prehilbertiano,
es posible expresar el vector de mejor aproximación a x en términos de una
base de M constituida por vectores ortonormales.
Proposición 1.5.5.
Sea M un subespacio de dimensión finita de un espacio prehilbertiano H
y sea {ei : 1 ≤ i ≤ n} una base ortonormal de M . Entonces:
44
1.5. Mejor aproximación. Teorema de la proyección
(i) Para cada x ∈ H existe un único vector de mejor aproximación y de x
a M que se expresa en la forma
y=
n
X
hx, ei iei .
(1.12)
(ii) d(x, M )2 = kxk2 −
n
X
i=1
|hx, ei i|2 .
tra
gr
at
Demostración. Por el teorema 1.5.4 el vector y de mejor aproximación
está caracterizado por ser el único vector y ∈ M que cumple x − y ⊥ M .
Es inmediato comprobar que el vector definido en la ecuación (1.12) cumple
esta condición y así se obtiene (i).
Utilizando la fórmula (1.12) y que x − y ⊥ y se obtiene
d(x, M )2 = kx − yk2 = hx −
n
n
X
X
hx, ei iei i
hx, ei iei , x −
i=1
i=1
n
n
X
X
|hx, ei i|2 ,
hx, ei iei , xi = kxk2 −
= hx −
mu
es
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ui
ta
i=1
i=1
que es lo afirmado en (ii).
i=1
Así pues, en el caso de utilizar una base ortonormal en M el cálculo del
vector mejor aproximación es muy cómodo. Pero, ¿qué ocurre si la base no
es ortonormal? Siempre podríamos usar el método de ortonormalización de
Gram-Schmidt y construir una base ortonormal respecto de la cual las coordenadas del vector de mejor aproximación tuviesen una expresión sencilla;
un cambio de coordenadas permitiría expresar este vector en términos de la
base inicial. En el siguiente teorema vamos a abordar este problema de forma
directa usando el determinante de Gram de un conjunto de vectores (xi )ni=1
definido por
a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n G(x1 , x2 , . . . , xn ) = · · · · · · · · · · · · an1 an2 · · · ann donde aij = hxj , xi i.
45
1.5. Mejor aproximación. Teorema de la proyección
Teorema 1.5.6.
Sean H un espacio prehilbertiano, M ⊂ H un subespacio de dimensión finita con base {xi : 1 ≤ i ≤ n} y x un vector de H.
ui
ta
gr
at
donde aij = hxj , xi i, i, j = 1, 2, . . . , n.
viene dado por
a1n hx, x1 i a2n hx, x2 i ···
· · · ann hx, xn i
xn
0 tra
(ii) La distancia de x a M se expresa en la forma
s
G(x1 , x2 , . . . , xn , x)
d(x, M ) =
G(x1 , x2 , . . . , xn )
mu
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(i) El vector y de mejor aproximación de x a M
a11 a12 · · ·
a21 a22 · · ·
−1
· · · · · · · · ·
y=
G(x1 , x2 , . . . , xn ) an1 an2 · · ·
x1 x2 · · ·
Demostración. Si y = a1 x1 + · · · + an xn , las coordenadas (a1 , . . . , an ) son
la solución del sistema hx − y, xj i = 0 para j = 1, 2, . . . , n, es decir,

a1 hx1 , x1 i + a2 hx2 , x1 i + . . . + an hxn , x1 i = hx, x1 i 


a1 hx1 , x2 i + a2 hx2 , x2 i + . . . + an hxn , x2 i = hx, x2 i
(1.13)
...
...
...
...



a1 hx1 , xn i + a2 hx2 , xn i + . . . + an hxn , xn i = hx, xn i
Sabemos por la regla de Cramer que aj = Dj /G(x1 , . . . , xn ), siendo Dj
el determinante obtenido a partir del determinante de Gram reemplazando
la columna j-ésima por la columna (hx, xi i)i . Sustituyendo estos valores en
y = a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn podemos escribir explícitamente y. Un simple
cálculo muestra que dicha expresión coincide con
a11 a12 · · · a1n hx, x1 i a21 a22 · · · a2n hx, x2 i −1
· · · · · · · · · · · ·
.
.
.
G(x1 , x2 , . . . , xn ) an1 an2 · · · ann hx, xn i
x1 x2 · · · xn
0 1.5. Mejor aproximación. Teorema de la proyección
46
sin más que desarrollar el determinante anterior por los elementos de la
última fila.
Para la distancia d := d(x, M ) se tiene
i=1
o bien
gr
at
a1 hx1 , xi + a2 hx2 , xi + · · · + an hxn , xi = hx, xi − d2 ,
tra
que se puede reescribir juntamente con las ecuaciones (1.13) en la siguiente
forma

a1 hx1 , x1 i + . . . + an hxn , x1 i −
hx, x1 iα
= 0 


a1 hx1 , x2 i + . . . + an hxn , x2 i −
hx, x2 iα
= 0 

...
...
...
...
...

a1 hx1 , xn i + . . . + an hxn , xn i − hx, xn iα
= 0 



2
a1 hx1 , xi + . . . + an hxn , xi + (d − hx, xi)α = 0
mu
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ta
d2 = kx − yk2 = hx − y, xi = hx, xi − hy, xi
n
X
ai hxi , xi
= hx, xi −
donde α = 1. Y como este sistema homogéneo de n + 1 ecuaciones en las
variables (a1 , . . . , an , α) tiene solución no nula, el determinante principal del
mismo ha de ser nulo, es decir,
a11
a12
···
a1n
h−x, x1 i a21
a22
···
a2n
h−x, x2 i ···
= 0.
···
···
···
...
an1
an2
···
ann
h−x, xn i hx1 , xi hx2 , xi · · · hxn , xi d2 − hx, xi
Desarrollando este determinante por los elementos de la última columna y
denotando con Dj el menor complementario (con su signo) correspondiente
a la fila j en dicha columna, se tiene
(d2 − hx, xi)Dn+1 + h−x, xn iDn + · · · + h−x, x1 iD1 = 0,
pero como Dn+1 = G(x1 , . . . , xn ), esta igualdad puede expresarse del siguiente modo:
d2 G(x1 , . . . , xn ) = hx, xiDn+1 + hx, xn iDn + · · · + hx, x1 iD1 ,
47
1.5. Mejor aproximación. Teorema de la proyección
es decir,
a1n
hx, x1 i a2n
hx, x2 i ···
. . . ann
hx, xn i
hxn , xi hx, xi Vamos a continuación a ilustrar estos resultados con algunas aplicaciones.
Funciones lineales experimentales. Resolución
de sistemas sobredimensionados por mínimos cuadrados
tra
1.5.1.1.
Supongamos que un determinado fenómeno experimental admite una modelización matemática mediante una función y que es lineal en las variables
x1 , . . . , xn , es decir,
mu
es
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gr
at
= G(x1 , . . . , xn , x).
Y el teorema está probado.
···
···
···
···
···
ui
ta
a11
a12
a21
a22
d2 G(x1 , . . . , xn ) = · · ·
···
an1
an2
hx1 , xi hx2 , xi
y = a1 x 1 + a2 x 2 + · · · + an x n ,
pero desconocemos el valor de las constantes a1 , a2 , . . . , an . Para determinar
estas constantes podría pensarse en realizar experimentos fijando los valores
de entrada x1k , . . . , xnk (k = 1, 2, . . . m) y, midiendo los valores y1 , . . . , ym
obtenidos, generar un sistema de ecuaciones

a1 x11 + . . . + an xn1 = y1 


a1 x12 + . . . + an xn2 = y2
(1.14)
...
...
...
... 


a1 x1m + . . . + an xnm = ym
Si este sistema pudiera resolverse, proporcionaría los valores a1 , . . . an que
rigen el experimento. Desde un punto de vista matemático sólo sería necesario
hacer n experimentos (o sea, tomar m = n), eso sí, cuidando bien la elección
de las entradas x1k , . . . , xnk , k = 1, 2, . . . m, para que fueran linealmente
independientes. ¿Qué ocurre si m > n? Desde un punto de vista matemático
48
1.5. Mejor aproximación. Teorema de la proyección
gr
at
n
n
2
2
X
X
αi xim
αi xi1 + · · · + ym −
f (α1 , . . . , αn ) = y1 −
i=1
i=1
tra
y buscamos un punto (a1 , . . . , an ) en el que f alcanza su mínimo. Para ello
podemos utilizar el teorema 1.5.6. Veámoslo. Consideremos los vectores columna del sistema de ecuaciones, es decir,
Xk = (xk1 , xk2 , . . . , xkm ) ∈ Km para k = 1, 2, . . . , n;
Y = (y1 , y2 , . . . , ym ).
Supongamos m > n, porque usualmente hay más experimentos que variables,
admitamos que los vectores {X1 , X2 , . . . , Xn } son linealmente independientes
en Km y denotemos con M el subespacio vectorial que engendran. Lo que
buscamos es (a1 , . . . , an ) tal que
mu
es
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ui
ta
el sistema podría ser incompatible, cuando lo que realmente está pasando
es que las mediciones experimentales son aproximadas: es razonable pues
resolver el sistema (1.14) de forma aproximada también.
Un modelo de compromiso para determinar
los (ai )ni=1 podría ser realizar
P
una serie de medidas aceptando que yk − i ai xik no es necesariamente cero,
pero que la “solución” buscada será aquélla que globalmente minimice estas
desviaciones. De forma precisa, consideramos la función
n
n
2
2
X
X
αi Xi ,
ai Xi ≤ f (α1 , . . . , αn ) = Y −
f (a1 , . . . , an ) = Y −
i=1
i=1
para todo (α1 , . . . , αn ) ∈ Kn , es decir, queremos encontrar las coordenadas
(a1 , . . . , an ) respecto de la base (X1 , . . . , Xn ) del vector de Z ∈ M de mejor
aproximación a Y . Poniendo Aij = hXj , Xi i y aplicando el teorema 1.5.6 se
obtiene que el vector de mejor aproximación es
A11 A12 · · · A1n hY, X1 i A21 A22 · · · A2n hY, X2 i n
X
−1
··· ··· ··· ···
ai Xi =
Z=
. . . G(X1 , X2 , . . . , Xn ) i=1
An1 An2 · · · Ann hY, Xn i
X1 X2 · · · Xn
0 Para terminar, obsérvese que si escribimos A = (xij )n,m
i=1,j=1 entonces el vector
Z ∈ M de mejor aproximación de Y a M aparece, de acuerdo con (1.13),
1.5. Mejor aproximación. Teorema de la proyección
49
como la única solución del sistema compatible determinado
t
AAX = t AY,
1.5.1.2.
Ajustes polinómicos por mínimos cuadrados
tra
gr
at
Dados k puntos, t1 , . . . , tk , en el intervalo [a, b] y valores y1 , . . . , yk , representados en una tabla
x t1 t2 . . . tk
y y1 y2 . . . yk
cuyos datos han sido obtenidos, por ejemplo, de forma experimental, es posible determinar un polinomio P de grado a lo sumo k − 1 con la propiedad
de que P (ti ) = yi para 1 ≤ i ≤ k. Para obtener P es suficiente resolver
el sistema de k ecuaciones lineales cuyas incógnitas son los coeficientes del
polinomio o, si se prefiere, aplicar directamente la fórmula del polinomio de
interpolación de Lagrange, [46].
En muchas situaciones experimentales k es muy grande y lo razonable es
buscar un polinomio de grado n netamente inferior a k − 1, por dos razones:
en primer lugar porque las operaciones necesarias para calcular el polinomio
de interpolación crecen al aumentar el grado del polinomio; en segundo lugar
porque el aumento del número de puntos de interpolación puede conducir,
contrariamente a lo que podría esperarse, a que el polinomio obtenido no
sea una buena aproximación para la ley que rige el fenómeno experimental
(fenómeno de Runge [46, p. 296], véase también la página 107).
Desde un punto de vista matemático, este problema es del mismo tipo que
el problema de la resolución de los sistemas sobredimensionados por mínimos
cuadrados abordado en el apartado anterior. En esta situación lo que se hace
es determinar, de entre todos los polinomios de grado a lo sumo n, aquél que
mejor se aproxima a tomar los valores yi en los puntos ti . Concretamente se
trata de minimizar la función
mu
es
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ui
ta
que, al ser desarrollada en coordenadas, proporciona las llamadas ecuaciones
normales asociadas al sistema lineal sobredimensionado definido en (1.14).
f (P ) =
k
X
i=1
|yi − P (ti )|2 ,
donde P es un polinomio arbitrario de grado a lo más n, k − 1 ≥ n.
1.5. Mejor aproximación. Teorema de la proyección
50
ui
ta
gr
at
tra
1.5.2.
Teorema de la proyección
Si H es un espacio prehilbertiano y M ⊂ H es un espacio de dimensión
finita, la aplicación que envía x ∈ H a su mejor aproximación PM (x) en M
es lineal gracias al apartado (i) de la proposición 1.5.5. En general tenemos,
mu
es
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A tal fin consideremos el espacio prehilbertiano H formado por las funciones cuyoP
dominio es D = {ti ; 1 ≤ i ≤ k} con el producto escalar definido por
hf, gi = i f (ti )g(ti ), y el subespacio M formado por los polinomios de grado a lo más n. En dicho espacio los polinomios 1, t, t2 , . . . , tn son linealmente
independientes y podemos aplicar de nuevo el teorema 1.5.6 para obtener,
mediante el procedimiento de los “mínimos cuadrados”, el polinomio buscado:
A00 A01 A02 · · · A0n hY, 1i A10 A11 A12 · · · A1n hY, ti n
X
−1
A20 A21 A22 · · · A2n hY, t2 i ai t i =
P =
G(1, t, t2 , . . . , tn ) · · · · · · · · · · · · · · ·
. . . i=1
A
n n0 An1 An2 · · · Ann hY, t i
2
n
1
t
t
···
t
0
j
i
donde Ai,j = ht , t i, Y = (y1 , . . . , yk ).
Teorema 1.5.7. Teorema de la proyección.
Sean H un espacio de Hilbert y M un subespacio cerrado de H. Sea
PM : H −→ H la aplicación que a cada x ∈ H le hace corresponder la
mejor aproximación de x a M . Entonces:
(i) PM es una proyección lineal y el espacio H se puede descomponer
como suma directa algebraica de M y M ⊥ , siendo PM y PM ⊥ ,
precisamente, las proyecciones canónicas asociadas a dicha descomposición.
(ii) PM (H) = M , Ker PM = M ⊥ , PM ⊥ = I − PM .
(iii) Si M 6= 0, la proyección PM tiene norma 1 y, para x, y ∈ H,
verifica hPM (x), yi = hx, PM (y)i. Otro tanto ocurre con PM ⊥ .
(iv) La suma directa H = M ⊕ M ⊥ es topológica.
(v) M ⊥⊥ = M .
1.5. Mejor aproximación. Teorema de la proyección
51
ui
ta
gr
at
tra
mu
es
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Demostración. El vector y := PM (x) viene caracterizado por el hecho
de ser el único vector que satisface x − y ⊥ M . Si z := x − y, se tiene
x = y + z y como M ∩ M ⊥ = 0, concluimos que se da la igualdad H =
M + M ⊥ , siendo la suma una suma directa. Además, PM es lineal ya que
x + y − (PM x + PM y) ⊥ M y, por la unicidad de la mejor aproximación,
se obtiene PM (x + y) = PM x + PM y. Análogamente, si a ∈ K se tiene
ax − aPM (x) ⊥ M y, por ende, PM (ax) = aPM (x). Se comprueba fácilmente
que PM , PM ⊥ son las proyecciones canónicas asociadas a la suma directa, y
esto acaba la demostración de los dos primeros apartados.
Como x = y + z, siendo y ⊥ z, se tiene kxk2 = kyk2 + kzk2 = kPM xk2 +
2
kzk , lo cual permite concluir que PM es continua y además que para M 6= 0
es kPM k = 1. Así H = M ⊕ M ⊥ es una suma directa topológica. La fórmula
hPM x, yi = hx, PM yi se comprueba fácilmente escribiendo x e y como suma
de elementos en M y M ⊥ .
Veamos ya el último apartado. Es claro que M ⊂ M ⊥⊥ . Si x ∈ M ⊥⊥ ⊂
H = M ⊕ M ⊥ , existen y ∈ M, z ∈ M ⊥ tales que x = y + z, de donde
0 = hx, zi = hy, zi + kzk2 = kzk2 . Es decir, z = 0 y, por tanto, x ∈ M .
Definición 1.5.8.
El operador PM , que a cada x ∈ H le hace corresponder la mejor
aproximación de x a M , recibe el nombre de proyección ortogonal de H
sobre M .
Ejemplo 1.5.9.
(i) El teorema anterior no es cierto si M no es cerrado. Tomando H = ℓ2
con la norma k · k2 y M = c00 se tiene que para cualquier x ∈ H es
d(x, M ) = 0, debido a que M es denso en H, y por tanto si x ∈ H \ M
no existe vector en M de mejor aproximación.
(ii) El teorema anterior no es cierto si H no es completo, aunque M sea
cerrado. Tómese H = c00 con la norma k · k2 y M = Ker f donde
∞
X
1
an ,
f (an )n =
n
n=1
1.6. Dual de un espacio de Hilbert: teorema de Riesz–Fréchet
52
ui
ta
para (an )n ∈ c00 . Es claro que f está bien definida, pues la serie se
reduce a una suma finita en cada caso, y que es una aplicación lineal
no nula. Además f es continua pues, por la desigualdad de Hölder 1.2.2,
se tiene
∞
X
1
f (an )n ≤
|an | ≤ k(an )n k2 C.
n
n=1
Así pues, M es un subespacio cerrado propio de H y H 6= M ⊕ M ⊥
puesto que M ⊥ = 0, como el lector puede comprobar.
gr
at
Definición 1.5.10.
tra
Un subconjunto S de (E, k · k) se dice total si span S = E.
En espacios de Hilbert los conjuntos totales se caracterizan en la forma
simple que establece el corolario que sigue.
mu
es
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La propiedad de que cada subespacio cerrado de un espacio de Hilbert
tiene un complementario topológico caracteriza dichos espacios (véase [52]).
Corolario 1.5.11.
Sea H un espacio de Hilbert. S ⊂ H es total si, y sólo si, S ⊥ = 0.
Demostración. Supongamos que span S = H y sea x ∈ H tal que hs, xi = 0
para todo s ∈ S. Entonces la linealidad y continuidad de h·, xi garantizan que
hy, xi = 0 para todo y ∈ H. En particular hx, xi = 0, y por tanto S ⊥ = 0.
Recíprocamente se tiene que H = span S ⊕ span S ⊥ , por el teorema 1.5.7,
pero al ser S ⊥ = span S ⊥ y S ⊥ = 0 se concluye que H = span S.
1.6.
Dual de un espacio de Hilbert:
teorema de Riesz–Fréchet
El cálculo del dual de un espacio de Banach es generalmente complicado,
véase la proposición 1.3.1 y el corolario 3.10.12. De hecho, en un espacio de
Banach abstracto, ni siquiera la existencia de formas lineales continuas no
nulas es una cuestión inmediata (véase la sección 3.1). Para espacios con
producto escalar la situación es muy diferente: cada h·, yi es una forma lineal
continua.
1.6. Dual de un espacio de Hilbert: teorema de Riesz–Fréchet
53
Teorema 1.6.1. F. Riesz – M. Fréchet, 1907.
Sean un espacio de Hilbert H y una forma lineal f : H −→ K. Las
siguientes afirmaciones son equivalentes:
(i) La forma lineal f es continua.
tra
gr
at
Demostración. La implicación (ii)⇒(i) es una consecuencia de que el producto escalar es lineal en la primera variable y de la desigualdad de CauchySchwarz.
Veamos ahora que (i)⇒(ii). La unicidad es consecuencia de que 0 es el
único vector ortogonal a H. La existencia se sigue del teorema de la proyección del modo que se indica a continuación. Supongamos f 6= 0 (en caso
contrario, y = 0 resuelve la cuestión) y sea Y := Ker f . Como Y es un subespacio cerrado de H se tiene H = Y ⊕ Y ⊥ , siendo además Y ⊥ de dimensión
uno. Sea z ∈ Y ⊥ con kzk = 1. Para cada x ∈ H su proyección ortogonal
sobre Y ⊥ es hx, ziz, y por tanto x − hx, ziz ∈ Y , así que
f (x) = f x−hx, ziz+hx, ziz = f (hx, ziz) = hx, zif (z) = hx, f (z)zi = hx, yi
mu
es
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ui
ta
(ii) Existe un único y ∈ H tal que f (x) = hx, yi para todo x ∈ H,
siendo además kf k = kyk.
donde y := f (z)z.
Finalmente, por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, se tiene kf k ≤ kyk.
Pero, por otra parte, se tiene f (ykyk−1 ) = kyk, lo que permite concluir
kf k = kyk.
Ejemplo 1.6.2. La completitud es necesaria para la validez del teorema anterior. La forma lineal continua f : (c00 , k · k2 ) −→ K definida por
f (x) =
∞
X
an
n=1
n
donde x = (an )n∈N ∈ c00 , no es representable por ningún vector de c00 .
El teorema anterior permite establecer una correspondencia biyectiva entre H ∗ y H. Las propiedades de la misma se reflejan en la proposición que
sigue, cuya demostración se deja como ejercicio.
1.6. Dual de un espacio de Hilbert: teorema de Riesz–Fréchet
54
Proposición 1.6.3.
Sea H un espacio de Hilbert. Para cada f ∈ H ∗ sea T (f ) = y ∈ H el
único vector que verifica f (x) = hx, yi, para todo x ∈ H. Entonces:
ui
ta
(i) T : H ∗ −→ H es biyectiva isométrica y lineal conjugada, es decir,
kT f k = kf k y
T (af + bg) = a T (f ) + b T (g).
(ii) H ∗ es un espacio de Hilbert con el producto escalar hf, gi∗ = hT g, T f i.
gr
at
Definición 1.6.4.
tra
En la definición que sigue recordamos los conceptos de forma bilineal y sesquilineal en espacios vectoriales sobre K, introduciendo los conceptos de acotación y positividad fuerte en espacios normados.
Sean X un espacio vectorial sobre K y B : X × X −→ K.
(i) Se dice que B es una forma bilineal si fijados, respectivamente, x
e y en X, las aplicaciones B(·, y) y B(x, ·) son lineales.
mu
es
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(iii) Si H ∗∗ denota el dual de H ∗ , entonces la aplicación J : H −→ H ∗∗ definida por J(x)f = f (x) es una biyección lineal que satisface kJxk = kxk
(lo que se expresa diciendo que H es reflexivo).
(ii) Se dice que B es una forma sesquilineal si B(·, y) es lineal y B(x, ·)
es lineal conjugada, es decir,
B(x, ay + bz) = aB(x, y) + bB(x, z),
a, b ∈ C; x, y, z ∈ X.
(iii) B se dice simétrica si B(x, y) = B(y, x), para todo x, y ∈ X.
(iv) B se dice positiva si B(x, x) ≥ 0, para todo x ∈ X.
Si X es un espacio normado:
(v) Se dice que B es acotada si existe una constante M > 0 tal que
|B(x, y)| ≤ M kxkkyk para todo x, y ∈ X.
(vi) Se dice que B es fuertemente positiva si existe c > 0 tal que
B(x, x) ≥ ckxk2 para todo x ∈ X.
Obsérvese que cuando K = R los conceptos de forma bilineal y sesquilineal
coinciden.
1.6. Dual de un espacio de Hilbert: teorema de Riesz–Fréchet
55
Como ocurre con las aplicaciones lineales, puede comprobarse (véase el
ejercicio 1.39) que una forma bilineal o sesquilineal B es acotada si, y sólo
si, es continua. También se satisface la siguiente identidad:
2B(x, x) + 2B(y, y) = B(x + y, x + y) + B(x − y, x − y),
ui
ta
gr
at
Teorema 1.6.5. Lax-Milgram, 1954.
tra
Sean H un espacio de Hilbert sobre K y B una forma sesquilineal
en H acotada y fuertemente positiva. Entonces existe un isomorfismo
de espacios de Hilbert T : H −→ H, unívocamente determinado, tal que
B(x, y) = hx, T yi para todo x, y ∈ H.
mu
es
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que corresponde con la ley del paralelogramo para un producto escalar, véase
la proposición 1.4.5.
Una herramienta que se ha manifestado muy útil en la discusión de problemas de frontera para ecuaciones lineales en derivadas parciales de tipo
elíptico es el siguiente resultado de Lax-Milgram.
Demostración. Comenzaremos definiendo el conjunto siguiente:
Y := y ∈ H : existe y ∗ tal que hx, yi = B(x, y ∗ ) para todo x ∈ H .
Observemos en primer lugar que 0 ∈ Y y que el elemento y ∗ está unívocamente determinado por y, debido a que B es fuertemente positiva. Por la
sesquilinealidad del producto escalar y de B, resulta que Y es un espacio
vectorial y S : Y −→ H definida por S(y) = y ∗ es lineal. De la fórmula
ckSyk2 ≤ B(Sy, Sy) = hSy, yi ≤ kSykkyk
se obtiene la continuidad de S y que kSk ≤ c−1 .
La continuidad de S y la acotación de B permiten probar que Y es
cerrado, ya que si (yn )n ⊂ Y y lı́m yn = y se tiene
hx, yi = lı́mhx, yn i = lı́m B(x, S(yn )) = B(x, Sy),
n
n
es decir, y ∈ Y .
Además Y = H, pues si z ∈ Y ⊥ , la forma lineal f (x) := B(x, z) es
continua y, por el teorema 1.6.1, existe w ∈ H de modo que f (x) = hx, wi =
56
1.7. Problemas variacionales cuadráticos
B(x, z) para todo x ∈ H; pero entonces w ∈ Y . Tomando x = z ∈ Y ⊥ se
obtiene B(z, z) = 0, concluyéndose que z = 0.
S es sobreyectiva pues, si z ∈ H, el teorema 1.6.1 aplicado a la forma
lineal continua f (x) := B(x, z) garantiza la existencia de w ∈ H de modo que
gr
at
para todo x ∈ H y por tanto z = Sw.
S es inyectiva pues, si Sy = 0, entonces hx, yi = B(x, Sy) = 0 para todo
x ∈ H lo que permite concluir que y = 0.
Finalmente, haciendo T = S −1 se tiene hx, T yi = B(x, y), y tomando
x = T y se obtiene
kT yk2 = B(T y, y) ≤ M kT ykkyk,
de donde kT k ≤ M y, como ya hemos probado, kT −1 k = kSk ≤ c−1 .
tra
Obsérvese que, en particular, el teorema de Lax-Milgram dice que: si
(H, h·, ·i) es un espacio de Hilbert y h·, ·i1 es otro producto escalar cuya
norma asociada es equivalente a la norma asociada a h·, ·i, entonces existe
un isomorfismo T : H → H de espacios de Hilbert tal que
mu
es
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ui
ta
f (x) = B(x, z) = hx, wi
hx, yi1 = hx, T yi, para todo x, y ∈ H.
(1.15)
En otras palabras la topología de H determina su producto escalar módulo
fórmulas como las dadas en (1.15). En el ejercicio 1.41 damos una prueba
más breve del teorema de Lax-Milgram cuando B es un producto escalar.
1.7.
Problemas variacionales cuadráticos
En la sección 1.5 hemos considerado un cierto problema de mínimo para
la función distancia de un punto a un subespacio. Consideramos en esta
sección otro problema de mínimo que nos será de utilidad para el principio
de Dirichlet que analizamos en la sección 1.9.
Teorema 1.7.1. Teorema principal de los problemas variacionales cuadráticos.
Sean H un espacio de Hilbert real y B una forma bilineal simétrica,
acotada y fuertemente positiva definida en H. Sea b una forma lineal
57
1.7. Problemas variacionales cuadráticos
continua en H y sea F : H −→ R definida mediante
1
F (x) := B(x, x) − b(x).
2
(1.16)
gr
at
para todo y ∈ H.
(1.17)
(ii) La función real F (x) alcanza un mínimo absoluto en H que, además, es único.
tra
Demostración. La condición de simetría de B proporciona, tras los cálculos
adecuados, la siguiente fórmula
1 2
t B(y, y) + t(B(w, y) − b(y)) + F (w),
2
cualesquiera que sean w, y ∈ H y t ∈ R. Si la función F tiene un mínimo en
w, entonces para todo y ∈ H y t ∈ R es F (w) ≤ F (w + ty). En consecuencia,
para cualquier y ∈ H la función ϕ(t) := F (w + ty) tiene un mínimo en t = 0
por lo que ϕ′ (0) = 0 para cualquier y, lo que implica la condición (1.17).
Recíprocamente, si para algún w ∈ H se verifica la condición (1.17), entonces
F (w + ty) =
mu
es
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B(w, y) = b(y)
ui
ta
Entonces:
(i) Es condición necesaria y suficiente para que F alcance su mínimo
en w ∈ H que se verifique la siguiente ecuación:
1
F (w + ty) = t2 B(y, y) + F (w),
2
para cada t ∈ R y cada y ∈ H. En otras palabras, F (w) ≤ F (z) para todo
z ∈ H. Se concluye así la demostración de (i).
Vamos ahora a probar la existencia y unicidad del mínimo para F . Debido
a que B es bilineal, simétrica y fuertemente positiva, define un producto
escalar en el espacio vectorial real H. Además, la norma de dicho producto
escalar es equivalente a la original puesto que para ciertas constantes c, M > 0
se tiene
ckxk2 ≤ B(x, x) ≤ M kxk2 ,
para todo x ∈ H. Por tanto, b es lineal continua para el producto escalar que
B define. Del teorema de representación de Riesz-Fréchet 1.6.1 se obtiene la
58
1.7. Problemas variacionales cuadráticos
existencia de un único w de modo que b(y) = B(y, w) = B(w, y) para todo
y ∈ H. Ahora podemos aplicar el apartado (i) para concluir (ii).
Como aplicación del teorema anterior obtenemos la siguiente
gr
at
1.7.1 Teorema de existencia de mínimos para los problemas variacionales
cuadráticos.
1.5.4 Teorema de existencia de mejor aproximación a subespacios cerrados.
1.6.1 Teorema de Riesz-Fréchet de representación del dual.
tra
Demostración. Comenzaremos probando que el teorema 1.7.1 implica la
parte (iv) del teorema 1.5.4 de existencia de mejor aproximación a subespacios cerrados, es decir,
Si Y es un subespacio cerrado de un espacio de Hilbert H sobre
K, entonces para cada x ∈ H existe un único y ∈ Y tal que
kx − yk = d(x, Y ).
mu
es
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ui
ta
Proposición 1.7.2.
En un espacio de Hilbert los tres teoremas de existencia que siguen son
equivalentes:
A tal fin procedemos como sigue. Fijado x, se tiene
1
kx − yk2 = hx, xi + hy, yi − 2 Rehx, yi = hx, xi + B(y, y) − b(y),
2
donde B(x, y) := 2hx, yi y b(y) := 2 Rehx, yi. Resulta así que el problema de
la existencia de mínimo para la función d(x, ·) definida en Y es equivalente
al problema de la existencia de mínimo para la función
F (y) :=
1
B(y, y) − b(y),
2
y ∈ Y.
Cuando K = R el teorema 1.7.1 garantiza la existencia de un único punto
de mínimo absoluto para F y, por ende, lo mismo le ocurre a la función d(x, ·).
El teorema está probado en este caso. Cuando K = C, el espacio de Hilbert
complejo H también es un espacio de Hilbert real para el producto escalar
real definido por hx, yi∗ := Rehx, yi, y la función distancia d∗ (x, ·) asociada
a dicho producto escalar alcanza su mínimo en un único vector y ∈ Y . Basta
59
1.8. Convolución y aproximación de funciones
gr
at
Convolución y aproximación de funciones
Definición 1.8.1.
tra
Las funciones de clase C ∞ con soporte compacto van a jugar un papel
esencial en todo el desarrollo. Veremos primero la gran abundancia de estas
funciones que van a aproximar, en situaciones muy generales, a cualquier
otra función dada de antemano. La técnica que empleamos es la convolución
de funciones, que podemos definir del siguiente modo:
Para funciones f, g localmente integrables en Rn definimos el producto de convolución
Z
f (x)g(a − x) dx
(f ∗ g)(a) =
mu
es
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1.8.
ui
ta
observar que d = d∗ para concluir la prueba en el caso complejo y alcanzar
así el objetivo propuesto.
Las restantes implicaciones son más sencillas. Una revisión de la demostración del teorema de Riesz-Fréchet evidencia que se trata únicamente de
un corolario del teorema 1.5.4. Y una revisión de la prueba del teorema 1.7.1
permite comprobar que éste se deduce del teorema 1.6.1.
Rn
para cada a ∈ Rn para el que la función x
f (x)g(a − x) sea integrable.
Para funciones f, g ∈ L2 (Rn ), la desigualdad de Cauchy-Schwarz asegura
que su producto de convolución esta definido para todo a ∈ Rn , de hecho
tenemos
kf ∗ gk∞ ≤ kf kL2 (Rn ) kgkL2 (Rn )
siendo f ∗ g una función continua por el teorema de la convergencia dominada, así como uniformemente acotada. Observemos que un simple cambio de
variable nos muestra que el producto de convolución es conmutativo, esto es
f ∗ g = g ∗ f . Si f ∗ g está definida en casi todo punto se puede comprobar
que para los soportes tendremos la siguiente inclusión:
sop(f ∗ g) ⊂ sop(f ) + sop(g).
1.8. Convolución y aproximación de funciones
60
Definición 1.8.2.
Una sucesión de funciones {Km : Rn → R : m = 1, 2, . . . } diremos
que es una sucesión de Dirac si verifica las siguientes condiciones:
gr
at
(iii) Dados ε > 0 y δ > 0 existe M tal que si m ≥ M entonces
Z
Km (x) dx < ε.
Rn \B(0,δ)
tra
Ejemplo 1.8.3. Tomemos KR una función continua no negativa y con soporte compacto en Rn tal que Rn K(x) dx = 1. Si definimos
Km (x) = mn K(mx), m = 1, 2, · · ·
obtendremos una sucesión de Dirac
mu
es
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ui
ta
(i) Km (x) ≥ 0 para todo m y todo x.
R
(ii) Cada Kn es continua con Rn Kn (x)dx = 1.
Las sucesiones de Dirac aproximan puntualmente a una función “extendida”, que vale cero en todo punto salvo en el origen donde se concentra el
valor que es infinito. Dicha “función” se conoce como delta de Dirac. Las
sucesiones de Dirac nos van a servir para obtener teoremas muy generales de
aproximación de funciones, el método reside en el siguiente resultado:
Teorema 1.8.4.
Sea f : Rn → R una función continua y acotada. Definamos
Z
f (t)Km (x − t) dt.
fm (x) := f ∗ Km (x) =
Rn
Entonces la sucesión de funciones (fm ) tiende hacia f uniformemente
sobre subconjuntos compactos de Rn .
Demostración. Un simple cambio de variables nos da
Z
f (x − t)Km (t) dt.
fm (x) =
Rn
61
1.8. Convolución y aproximación de funciones
Utilizando (ii) de la definición 1.8.2 podemos escribir
Z
Z
f (x)Km (t) dt.
Km (t) dt =
f (x) = f (x)
Rn
Rn
fm (x) − f (x) =
Z
Rn
f (x − t) − f (x) Km (t) dt.
gr
at
La continuidad de f sobre un compacto que fijemos H ⊂ Rn asegura que
dado ε > 0 existe δ > 0 tal que |f (x − t) − f (x)| < ε siempre que |t| < δ y
x ∈ H. Si |f (x)| ≤ B para todo x ∈ Rn y escogemos el entero M tal que
Z
Km (x) dx < ε/2B
tra
Rn \B(0,δ)
para m ≥ M , gracias a la propiedad (iii) de la definición 1.8.2, tendremos:
Z
|f (x − t) − f (x)|Km (t) dt
|fm (x) − f (x)| ≤
B(0,δ)
Z
|f (x − t) − f (x)|Km (t) dt.
+
mu
es
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ta
Por tanto:
Rn \B(0,δ)
Para la primera integral tenemos:
Z
Z
|f (x − t) − f (x)|Km (t) dt ≤ ε
B(0,δ)
Rn
Km (t) dt ≤ ε
siempre que x ∈ H. Para la segunda integral tendremos, gracias a la elección
que hemos hecho del entero M , la siguiente acotación
Z
Z
Km (t) dt ≤ ε
|f (x − t) − f (x)|Km (t) dt ≤ 2B
Rn \B(0,δ)
Rn \B(o,δ)
siempre que m ≥ M , siendo el razonamiento válido para todo x ∈ H. Esto
completa la prueba del teorema.
La convolución se comporta muy bien cuando uno de los factores es derivable:
1.8. Convolución y aproximación de funciones
62
ui
ta
Proposición 1.8.5.
Sea f una función localmente integrable en Rn y g ∈ D k (Rn ) Entonces
f ∗ g es una función de clase C k en Rn y se tiene la formula:
∂ |α|
∂ |α|
(f ∗ g) = f ∗
g
∂xα1 1 · · · ∂xαnn
∂xα1 1 · · · ∂xαnn
para cualquier multi-índice α ∈ Nn con α ≤ k
gr
at
tra
Teniendo en cuenta que el soporte de g es compacto y que el límite se calcula
cuando h tiende a cero, el límite anterior se puede calcular reduciendo el
dominio de integración a un entorno de a trasladado sobre el soporte compacto de g, en definitiva a un intervalo compacto I que contiene al conjunto
a − sop(g). El límite anterior permuta entonces con la integral, porque los
cocientes incrementales están acotados en el compacto I por una cota de la
función continua g ′ , gracias al teorema del incremento finito, lo que permite
aplicar el teorema de la convergencia dominada y obtener finalmente que
Z
g(a + h − t) − g(a − t)
dt
lı́m f (t)
h→0 I
h
Z
g(a + h − t) − g(a − t)
lı́m f (t)
=
dt
h
I h→0
Z
f (t)g′ (a − t) dt = f ∗ g′ (a)
=
mu
es
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Demostración. Supongamos, para simplificar la notación, que f y g son
funciones reales de variable real y que queremos derivar f ∗ g. Fijemos a ∈ R,
debemos entonces mostrar la existencia del límite siguiente
Z
g(a + h − t) − g(a − t)
f (t)
dt.
lı́m
h→0 R
h
R
La función f ∗ g es entonces una regularización de f a través de la función
suave g. Haciendo dicha regularización con sucesiones de Dirac (Km ) que sean
suaves obtendremos resultados de aproximación a f con funciones suaves, sin
más que aplicar el teorema 1.8.4.
63
1.8. Convolución y aproximación de funciones
Teorema 1.8.6.
tra
gr
at
Demostración. Partiendo de una función K ≥ 0 en D(Rn ) cuyo soporte
sea la bola unidad podremos construir una sucesión de Dirac (Km ) formada
con funciones de clase infinito y soporte compacto, como en el ejemplo 1.8.3.
Como la convolución entre funciones de soporte compacto tiene también soporte compacto, aplicando el teorema 1.8.4 se completa la prueba de la densidad del espacio D(Rn ) en el de las funciones continuas de soporte compacto
Cc (Rn ), para la topología de convergencia uniforme sobre compactos. Como
Cc (Rn ) es denso en Lp (Rn ) (véase [59] y A.3.5), se sigue ahora que D(Rn ) es
denso en Lp (Rn ) para cualquier 1 ≤ p < ∞. En efecto, fijada f ∈ Lp (Rn ) y
ε > 0 podemos encontrar una función continua con soporte compacto h tal
que kf − hkp < ε/2. Llamando H al soporte de h y fijando µ > 0, aplicamos
el teorema 1.8.4 con una sucesión de Dirac formada por funciones de D(Rn )
para hallar g ∈ D(Rn ) tal que
mu
es
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ui
ta
D(Rn ) es denso en el espacio Cc (Rn ) de funciones continuas con
soporte compacto en Rn , dotado de la topología de la convergencia uniforme sobre compactos, y en Lp (Rn ), para cualquier 1 ≤ p < ∞.
|h(x) − g(x)|p <
(ε/2)p
m(H + B[0, µ])
para todo x ∈ H + B[0, µ], con sop(g) ⊂ H + B(0, µ). Finalmente tendremos:
kf − gkp ≤ kf − hkp + kh − gkp < ε/2 +
≤ ε/2 +
y la prueba concluye.
Z
H+B[0,µ]
Z
p
Rn
|h(x) − g(x)| dx
|h(x) − g(x)|p dx
1/p
1/p
≤ε
Es posible refinar el teorema anterior y localizarlo sobre un abierto arbitrario G ⊂ Rn :
Corolario 1.8.7.
Para cualquier abierto G de Rn se tiene que D(G) es denso en el espacio Cc (G) de funciones continuas con soporte compacto en G, dotado de
1.9. El principio de Dirichlet: justificación analítico funcional
64
la topología de la convergencia uniforme sobre compactos, y en Lp (G), para
cualquier 1 ≤ p < ∞.
ui
ta
Demostración. Fijado el compacto K ⊂ G soporte de una función continua f , extendemos dicha función a todo Rn anulándola fuera de G. La
aproximación f ∗ Km es una función cuyo soporte estará contenido en
K + sop(Km ).
gr
at
tra
Resumimos estos hechos para el espacio de Hilbert L2 (G) con el siguiente
corolario que juega un papel central en el cálculo de variaciones al permitirnos
definir, sin ambigüedad, las derivadas generalizadas, con las que trabajaremos
en las próximas secciones.
mu
es
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Si m es tal que d(K, Rn \ G) > 1/m la función f ∗ Km tendrá su soporte
contenido en G, ya que el soporte de Km está contenido en B(0, 1/m). De
nuevo como Cc (G) es denso en Lp (G) se sigue también la densidad de D(G)
en los espacios Lp (G), 1 ≤ p < ∞.
Corolario 1.8.8.
Sea f ∈ L2 (G) donde G es un abierto de Rn . Si
Z
f (x)ψ(x) dx = 0 para cualquier ψ ∈ D(G),
G
entonces f = 0 en casi todo punto. Cuando f sea continua tendremos que
f = 0 en todo punto.
Demostración. La densidad de D(G) en el espacio de Hilbert L2 (G) nos
asegura que hf, f i = 0 y de aquí la conclusión del corolario.
1.9.
El principio de Dirichlet:
justificación analítico funcional
Los manuales de variable compleja (véase [59, Teorema 11.2.5]) suelen
incluir una solución al clásico problema de Dirichlet que consiste en: dada
una función continua g definida en la frontera del disco unidad del plano
1.9. El principio de Dirichlet: justificación analítico funcional
65
tra
gr
at
△u se llama laplaciano de u. Este problema puede plantearse con mayor
generalidad, como hacemos a continuación, sustituyendo C por Rn y D por
un abierto acotado G de Rn .
Sea G un abierto acotado y no vacío de Rn con frontera ∂G. Sean f, g
funciones dadas definidas en G y ∂G, respectivamente, con valores reales y
u : G −→ R. Supóngase que f , g y u tienen las propiedades adecuadas para
que tenga sentido el siguiente problema:

n
X
∂ 2 u(x)

 −△u(x) := −
= f (x), x ∈ G,
∂x2j
(1.18)
j=1


u(x) = g(x), x ∈ ∂G,
mu
es
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ui
ta
complejo, estudiar la existencia de una función u definida y continua en el
disco D que coincida con g en la frontera ∂D de D y que sea armónica en
D. Recordemos que una función u es armónica en D si cumple la ecuación
de Laplace
∂2u ∂2u
+ 2 = 0, en D.
△u :=
∂x2
∂y
que llamaremos problema de valores frontera para la ecuación de Poisson y
que es una generalización del problema de Dirichlet, antes formulado.
Íntimamente ligado con el problema de valores frontera para la ecuación
de Poisson está el, así llamado, problema generalizado de valores frontera:
existencia de u, verificando
 Z X
Z
n
∂u(x) ∂v(x)


f (x)v(x) dx, para todo v ∈ D(G).
dx =
∂xj
G
(1.19)
G j=1 ∂xj


u(x) = g(x), x ∈ ∂G,
Un problema conectado con los anteriores consiste en el estudio del problema variacional siguiente: existencia de mínimo para la función real F (u)
definida por

2
Z
Z X
n 1
∂u(x)

F (u) :=
f (x)u(x) dx,
dx −
2 G
∂xj
(1.20)
G
j=1


u(x) = g(x) para todo x ∈ ∂G.
1.9. El principio de Dirichlet: justificación analítico funcional
66
tra
Mostraremos a continuación que los problemas que reflejan las ecuaciones (1.18) y (1.19) son equivalentes entre sí, así como la forma en que se
relacionan con el problema de mínimo para la ecuación (1.20), en el caso de
funciones de clase C 2 .
Empezamos por recordar la fórmula de integración por partes (véase el
corolario 1.10.2):
Z
Z
(1.21)
u(x)∂j v(x) dx = − (∂j u(x))v(x) dx,
mu
es
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Conexión entre problemas variacionales
y de valores frontera
gr
at
1.9.1.
ui
ta
En esta sección demostraremos que el problema variacional anterior tiene
solución si las funciones f, g y u pertenecen a determinados conjuntos, que
serán precisados, y que la solución de este problema variacional (1.20) permite
resolver asimismo los dos problemas planteados por las ecuaciones (1.18)
y (1.19).
∂u
.
En lo sucesivo, para simplificar la notación, pondremos ∂j u :=
∂xj
G
G
donde G es un abierto de Rn , u ∈ C 1 (G) y v ∈ D(G).
Proposición 1.9.1.
Sea G un abierto acotado y no vacío de Rn y supónganse dadas las funciones continuas f : G −→ R y g : ∂G −→ R. Supóngase también que las
funciones u que aparecen en las ecuaciones (1.18), (1.19) y (1.20) son funciones de clase C 2 (G) (es decir, u ∈ C 2 (G) y las derivadas parciales de orden
2 admiten prolongación continua a la frontera de G).
(i) Una función w ∈ C 2 (G) es solución del problema de valores frontera
definido en (1.18) si, y sólo si, es solución del problema generalizado
de valores frontera definido en (1.19).
(ii) Si w ∈ C 2 (G) es un mínimo para la función F en las condiciones
del problema variacional (1.20), entonces w es también solución del
problema de valores frontera definido en (1.18).
67
1.9. El principio de Dirichlet: justificación analítico funcional
Demostración. Comenzamos probando el primer apartado. Sea w ∈ C 2 (G)
tal que w = g en ∂G. Supongamos que se cumple
Z
Z X
n
fv
∂j w∂j v =
G
G j=1
G
G j=1
gr
at
para todo v ∈ D(G). Aplicando la fórmula de integración por partes, la
igualdad anterior equivale a
Z
Z
Z X
Z
Z X
n
n
(∂j ∂j w)v − f v = − (△w + f )v,
∂j w∂j v − f v = −
0=
que puede escribirse como
G
G
(1.22)
tra
(△w + f ) ⊥ D(G),
en L2 (G). Al ser D(G) denso en L2 (G) (véase 1.8.8) la fórmula (1.22) es
equivalente, a su vez, a
(△w + f ) = 0.
mu
es
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ui
ta
G j=1
Y se acaba así la demostración de (i).
Veamos ahora la prueba de (ii). Sea w ∈ C 2 (G) tal que w = g en ∂Ω y
supongamos que w es un mínimo para la función F definida en (1.20). Fijado
v ∈ D(G), para cada t ∈ R la función u := w + tv cumple u = g en ∂G y
u ∈ C 2 (G). En consecuencia, para cada t ∈ R la función
ϕ(t) := F (w + tv) =
1
2
Z
Z X
n
f (x) w(x) + tv(x) dx
(∂j w + t∂j v)2 (x) dx −
G
G j=1
tiene un mínimo en t = 0. Como ϕ es un polinomio de grado dos en t, ϕ es
derivable y ha de ser
Z
Z X
n
′
f v, para todo v ∈ D(G),
∂j w∂j v −
0 = ϕ (0) =
G j=1
G
es decir, w es solución del problema generalizado (1.19) para v ∈ D(G). Y
por el apartado (i) también es solución del problema de valores frontera para
la ecuación de Poisson dada en (1.18).
1.9. El principio de Dirichlet: justificación analítico funcional
68
ui
ta
gr
at
1.9.2.
Derivadas generalizadas y espacios de Sobolev
tra
Este apartado está destinado a presentar la noción de derivada generalizada y a introducir los espacios adecuados para abordar el problema de
Dirichlet general. Tales herramientas forman parte de la teoría de funciones
generalizadas o distribuciones desarrollada por L. Schwartz [63].
El punto de partida para la definición de derivadas generalizadas es la
fórmula de integración por partes (1.21). Poniendo w = ∂j u, dicha fórmula
puede ser reescrita del siguiente modo:
Z
Z
w(x)v(x) dx, para todo v ∈ D(G).
u(x)∂j v(x) dx = −
G
mu
es
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La proposición 1.9.1 establece que si la solución del problema variacional (1.20) existe y es “suficientemente regular”, también sirve como solución
del problema de valores frontera (1.18) para la ecuación de Poisson. Pero,
desafortunadamente, existen situaciones razonables para las que la solución
del problema variacional no es suficientemente regular. Ello aconseja ensanchar la clase de las soluciones regulares con nuevos objetos ideales llamadas
funciones generalizadas, que constituyen el espacio de Sobolev. La introducción de los espacios de Sobolev se corresponde, en cierto sentido, con la
introducción de los reales para completar el conjunto de los racionales con
los irracionales.
G
Y esta formulación es la que se adopta como definición de derivada para
ciertas funciones u no derivables en sentido usual.
Definición 1.9.2.
Sea G un abierto de Rn y sean u, w ∈ L2 (G). Si para toda función
v ∈ D(G) se cumple la fórmula
Z
Z
w(x)v(x) dx,
(1.23)
u(x)∂j v(x) dx = −
G
G
diremos que w es la derivada generalizada j-ésima de u en G y escribiremos ∂j u = w.
1.9. El principio de Dirichlet: justificación analítico funcional
69
Definición 1.9.3.
Sea G un abierto de Rn . Se llama espacio de Sobolev 5 al conjunto
determinado por
W 1,2 (G)
ui
ta
W 1,2 (G) := W 1 (G) := {u ∈ L2 (G) : existe ∂j u ∈ L2 (G), 1 ≤ j ≤ n}.
G
j=1
tra
hu, vi1,2
Z n
X
∂j u∂j v
uv +
:=
define un producto escalar en W 1 (G) que lo convierte en un espacio de
Hilbert, supuesto que se identifican las funciones que difieren únicamente
en conjuntos de medida nula.
mu
es
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Proposición 1.9.4.
La fórmula
gr
at
El corolario 1.8.8 nos asegura que las definiciones anteriores están bien
formuladas, al ser D(G) denso en L2 (G).
Demostración. Es inmediato que se trata de un producto escalar. Sea
(un )n ⊂ W 1 (G) una sucesión de Cauchy en h·, ·i1,2 . Entonces (un )n y (∂j un )n
son sucesiones de Cauchy en L2 (G), cuyos límites respectivos los denotamos
con u y wj ∈ L2 (G).
La relación entre un y su derivada generalizada ∂j un es, de acuerdo
con (1.21)
Z
Z
para todo v ∈ D(G).
un ∂j v = − (∂j un )v,
G
G
Usando la continuidad del producto escalar y tomando límites se tiene
5
En general, para cada k ∈ N y 1 ≤ p < ∞ se llama espacio de Sobolev al conjunto
W k,p (G) de las funciones u que tienen derivadas generalizadas Dα u de orden |α| ≤ k y
tanto u como Dα u pertenecen a Lp (G). W k,p (G) es un espacio de Banach para la norma
X Z
1/p
kukk,p :=
|Dα u(x)|p dx
|α|≤k
G
Para p = 2 frecuentemente se escribe W k (G) en lugar de W k,2 (G).
70
1.9. El principio de Dirichlet: justificación analítico funcional
Z
G
u∂j v = −
Z
wj v,
G
para todo v ∈ D(G).
ui
ta
Esta ecuación expresa que las derivadas generalizadas de u existen y vienen
dadas por ∂j u = wj en G y, por tanto, que u ∈ W 1 (G). Finalmente, como
(un )n y (∂j un )n convergen en L2 (G), a u y wj respectivamente, se obtiene
que u es el límite de (un )n en W 1 (G).
Definición 1.9.5.
gr
at
Definición 1.9.6.
tra
En general H01 (G) es un subespacio propio de W 1 (G). Sin embargo, cuando
G = Rn ambos espacios coinciden (véase [72, pág. 58]).
Sea G un abierto acotado no vacío de Rn . Sea u ∈ W 1 (G). Diremos
que u se anula en la frontera de G en sentido generalizado y escribiremos
mu
es
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Con H01 (G) denotamos el espacio de Hilbert obtenido como la clausura en W 1 (G) de D(G).
u = 0 en ∂G.
(1.24)
si u ∈ H01 (G). Si f − g ∈ H01 (G) diremos que f = g en ∂G en sentido
generalizado.
Esta definición está motivada, entre otras razones, por el hecho de que
cuando G es un abierto de Rn , con una frontera “suficientemente regular”, el
concepto de anulación en la frontera en sentido generalizado significa que u
realmente vale 0 en la frontera de G.
1.9.3.
Principio de Dirichlet generalizado
Comenzaremos probando que el operador de Laplace cumple la condición
de positividad fuerte en el sentido de la definición 1.6.4 para, a continuación,
aplicar el teorema general de los problemas variacionales cuadráticos 1.7.1 al
principio de Dirichlet generalizado.
1.9. El principio de Dirichlet: justificación analítico funcional
71
Lema 1.9.7. Desigualdad de Poincaré-Friedrichs.
Si G es un abierto no vacío y acotado de Rn , entonces existe C > 0
tal que para todo u ∈ H01 (G) se tiene
Z X
Z
n
2
2
∂j u(x) dx,
(1.25)
u (x) dx ≤
C
G j=1
a
De aquí se sigue
Z
a
b
a
b
2
a
a
2
u′ (y) dy.
tra
≤ (b − a)
Z
gr
at
Demostración. Consideremos inicialmente el caso n
R x= 1. Y supongamos
G ⊂ (a, b). Para cada u ∈ D(a, b) se tiene u(x) = a u′ (y) dy, para todo
x ∈ [a, b], y por tanto, aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz, se tiene
2 Z b Z b
Z x
2
2
′
′
dy
u (y) dy
u (y)dy ≤
u(x) =
2
u(x) dx ≤ (b − a)
mu
es
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ui
ta
G
Z
b
a
2
u′ (x) dx.
En particular la fórmula anterior es válida para las funciones u ∈ D(G). Pero
si u ∈ H01 (G), existe una sucesión un ∈ D(G) con lı́mn ku − un k1,2 = 0, por
lo que
lı́m ku − un k2 = 0, lı́m ku′ − u′n k2 = 0.
n
n
En consecuencia, tomando límites en la ecuación anterior, se obtiene
Z b
Z b
2
u(x)2 dx ≤ (b − a)2
(1.26)
u′ (x) dx.
a
a
Supongamos ahora que n = 2 y sea u ∈ D(G). Consideremos un rectángulo R := [a, b] × [c, d] tal que R ⊃ G. Como u se anula fuera de G se
tiene
Z x2
∂2 u(x1 , t) dt, (x1 , x2 ) ∈ R.
u(x1 , x2 ) =
c
Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz
2
Z x2
Z
2
∂2 u(x1 , t) dt ≤ (d − c)
u(x1 , x2 ) =
c
d
c
2
∂2 u(x1 , t) dt.
72
1.9. El principio de Dirichlet: justificación analítico funcional
Integrando sobre R
Z
Z
2
2
u(x1 , x2 ) dx1 dx2 ≤ (d − c)
R
R
2
∂2 u(x1 , x2 ) dx1 dx2
ui
ta
Z X
2
(∂j u(x))2 dx.
≤M
G j=1
gr
at
Teorema 1.9.8. Principio de Dirichlet.
tra
Sea G un abierto acotado no vacío de Rn y supongamos dadas las
funciones f ∈ L2 (G) y g ∈ W 1 (G). Entonces:
(i) La función
1
F (u) :=
2
Z
Z X
n
2
f (x)u(x) dx
(∂j u(x)) dx −
mu
es
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Así pues, para u ∈ D(G) el resultado es cierto. El caso general es consecuencia
de la densidad de D(G) en H01 (G). Utilizando las mismas ideas, se completa
la prueba en dimensiones mayores.
(1.27)
G
G j=1
para u ∈ W 1 (G) y u = g en ∂G en sentido generalizado, tiene un
único punto de mínimo u = u0 .
(ii) Dicho punto u0 es también la única solución, u = u0 , del siguiente
problema generalizado de valores frontera:
Z X
n
G j=1
∂j u(x)∂j v(x) dx =
Z
f (x)v(x) dx
(1.28)
G
para todo v ∈ H01 (G), con la condición u = g en ∂G en sentido generalizado. Y también es la única solución del problema de valores
frontera para la ecuación de Poisson
− △u(x) = f (x),
con u = g en ∂G en sentido generalizado.
(1.29)
73
1.9. El principio de Dirichlet: justificación analítico funcional
∂j u(x)∂j v(x) dx, b1 (v) :=
gr
at
G j=1
Z
G
f (x)v(x) dx; u, v ∈ W 1 (G).
Introduciendo w := u − g, unos sencillos cálculos muestran que el problema
de mínimo considerado en (1.27) equivale al problema de mínimo para
tra
1
B(w, w) − b(w), para w ∈ H
2
(1.30)
donde b(w) := b1 (w)−B(w, g). Y el problema generalizado de valores frontera
(1.28) es equivalente a
mu
es
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B(u, v) :=
Z X
n
ui
ta
Demostración. La estrategia para la prueba es ver que este teorema es un
caso particular del teorema principal de los problemas variacionales cuadráticos, para funciones B y b adecuadas, siendo las ecuaciones (1.27) y (1.28)
las expresiones respectivas que adoptan, en este caso concreto, las ecuaciones
(1.16) y (1.17) del teorema 1.7.1. Finalmente, con los argumentos de la proposición 1.9.1, se verifica que u0 también es solución de la ecuación (1.29).
Sea H := H01 (G) y sean
B(w, v) = b(v) para todo v ∈ H.
(1.31)
Sólo resta probar que B y b satisfacen las condiciones del teorema 1.7.1.
Desde luego, B es bilineal simétrica y acotada, ya que
Z X
n
|∂j u∂j v| dx
|B(u, v)| ≤
≤
G j=1
n
X
j=1
k∂j uk2 k∂j vk2 ≤ nkuk1,2 kvk1,2
La desigualdad de Poincaré-Friedrichs (1.25) proporciona
Z Z X
n
n
X
2
2
(∂j v) dx ≤ (1 + C)
(∂j v)2 dx,
C
v +
G
j=1
G j=1
para todo v ∈ H. Por tanto, B es fuertemente positiva pues
C(1 + C)−1 kvk21,2 ≤ B(v, v),
1.10. Operadores diferenciales y soluciones débiles
74
para todo v ∈ H. Como b1 es lineal continua (por la desigualdad de CauchySchwarz) y B es acotada se obtiene que b es lineal continua. Se concluye así
que, efectivamente, B y b cumplen las hipótesis del teorema 1.7.1.
Operadores diferenciales y soluciones débiles
tra
gr
at
En esta sección veremos cómo el concepto de solución débil, o solución
generalizada, nos ayuda a obtener resultados precisos de existencia de soluciones para ecuaciones en derivadas parciales que sean lineales y de coeficientes
constantes. Dado que no siempre es posible obtener soluciones clásicas las
soluciones débiles juegan un importante papel, más aún cuando sobre ellas
se basan los fundamentos para la obtención de aproximaciones mediante algoritmos numéricos basados en el método de Galerkin.
Consideremos el operador diferencial lineal y de coeficientes constantes
∂ α
X
(1.32)
L=
aα
∂x
mu
es
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ui
ta
1.10.
|α|≤n
donde aα es un escalar real o complejo y utilizamos la notación
∂ α
∂ |α|
=
α1
∂x
∂x1 · · · ∂xαnn
para cualquier multi-índice α = (α1 , α2 , · · · , αn ) ∈ Nn , donde utilizamos la
notación |α| = α1 + α2 + · · · + αn . Fijamos k ≥ |aα | para todo α, esto es L
es de orden menor o igual que k.
El operador L actúa de la siguiente forma: para cualquier función u suficientemente derivable tendremos:
∂ α
X
X
∂ |α| u
(u) =
aα α1
Lu :=
aα
∂x
∂x1 · · · ∂xαnn
|α|≤n
|α|≤n
Asociamos al mismo un operador adjunto formalmente definido como:
∂ α
X
L∗ :=
(−1)|α| aα
∂x
|α|≤n
La razón para esta terminología es la siguiente
1.10. Operadores diferenciales y soluciones débiles
75
Proposición 1.10.1.
Sea G un abierto en Rn . Para funciones ϕ, ψ ∈ L2 (G) que sean de clase
k
C en el abierto G se tiene que
Z
Z
ψL∗ ϕ = hψ, L∗ ϕi
Lψϕ =
hLψ, ϕi =
G
ui
ta
G
siempre que alguna de las funciones ϕ, o ψ, tenga su soporte compacto.
gr
at
tra
Corolario 1.10.2.
Sea G un abierto en Rn , f ∈ L2 (G) y u ∈ L2 (G) de clase C k . Si Lu = f
entonces se tiene que
hf, ψi = hu, L∗ ψi
para cualquier ψ ∈ D(G).
mu
es
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Demostración. Se sigue de la fórmula de integración por partes (1.21) aplicada a cada derivada parcial ∂j . Iterando se obtiene para cualquier operador
diferencial lineal L.
Podemos ahora ampliar la definición de solución para el operador L a
través de la siguiente
Definición 1.10.3.
Dada f ∈ L2 (G) diremos que una función u ∈ L2 (G) es solución
débil de la ecuación
Lu = f
siempre que tengamos
hf, ψi = hu, L∗ ψi
para cualquier ψ ∈ D(G).
Notemos que el corolario 1.10.2 nos dice que las soluciones clásicas para
el operador L son soluciones débiles, por lo que ampliamos el concepto de
solución con la nueva definición de solución débil. Las derivadas en sentido
débil nos aparecieron en el estudio variacional que hemos hecho del problema
de Dirichlet en la sección anterior. Soluciones débiles que no son soluciones
clásicas aparecen, por ejemplo, al analizar el teorema fundamental del cálculo
para la integral de Lebesgue, como detallamos a continuación
76
1.10. Operadores diferenciales y soluciones débiles
Ejemplo 1.10.4. Consideramos el operador diferencial más sencillo posible
d
sobre el abierto G = (0, 1) ⊂ R. Para u, f ∈ L2 (G) tenemos que
L = dx
Lu = f en sentido débil si, y solo si, existe F : (0, 1) → R absolutamente
continua con F (x) = u(x), F ′ (x) = f (x) para casi todo x ∈ (0, 1).
ui
ta
gr
at
0
0
Z
1
0
tra
para cualquier función ψ ∈ D(0, 1).
funciones
R 1 Recíprocamente, si
R 1F, G son
′
integrables en (0, 1) que verifican 0 F (x)ψ(x) dx = − 0 G(x)ψ (x) dx para
cualquier ψ ∈ D(0, 1) tendremos que
F (x)ϕ(x) dx = −
mu
es
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Demostración. Si la función u es absolutamente
el teorema funR t continua
′
damental del cálculo nos dice que u(t) − u(a) = a u (x) dx y la fórmula de
integración por partes nos da
Z 1
Z 1
′
u(x)ψ ′ (x) dx
u (x)ψ(x) dx = −
Z
1
G(x)ϕ′ (x) dx
(1.33)
0
para cualquier función meseta ϕ continua, lineal
a trozos, y tal que ϕ(x) = 1 si x ∈ [a, b] ⊂ (0, 1),
ϕ(x) = 0 si x ∈
/ [a − h, b + h] ⊂ (0, 1). En efecto una tal función ϕ se aproxima por funciones
ψ de clase infinito y soporte compacto en (0, 1),
0 a−h a
b b+h 1
aplicando el teorema 1.8.6, como para dichas funciones la fórmula (1.33) es válida por hipótesis, el paso al límite nos asegura
nuestra afirmación. Tomando el conjunto de puntos de Lebesgue S para la
función integrable G tendremos ahora, para a, b ∈ S,
1
lı́m
h→0+
Z
b+h
a−h
Z
a
1
G(x) dx −
F (x)ϕ(x) dx = lı́m −
+
h
h→0
a−h
de donde se sigue que G(b) − G(a) =
ejemplo.
Rb
a
Z
b+h
b
1
dx
G(x) −
h
F (x)dx y la comprobación del
Soluciones débiles que no son soluciones ordinarias aparecen de forma
natural en situaciones elementales:
77
1.10. Operadores diferenciales y soluciones débiles
u(x, 0) = f (x),
gr
at
3/4
f (0) = f (π) = 0,
π
f (3/4) = 1.
tra
0
∂u(x, 0)
=0
∂t
para 0 ≤ x ≤ π, donde f es una función lineal a trozos cuya gráfica determina la posición inicial de una
cuerda vibrante tal como, por ejemplo,
Este problema admite soluciones débiles que no son soluciones ordinarias.
Demostración. Extendamos la función f al intervalo [−π, 0] haciéndola
impar y volvámosla a extender a toda la recta real como función 2π periódica.
La fórmula de d’Alembert:
mu
es
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1
ui
ta
Ejemplo 1.10.5. La ecuación de ondas en dimensión uno tiene como operador:
∂2u ∂2u
Lu =
− 2
∂x2
∂t
buscándose u(x, t) tal que Lu = 0 con las condiciones frontera
u(x, t) =
f (x + t) + f (x − t)
2
proporciona una solución débil que no es de clase C 2 . En efecto, aproximemos f por una sucesión de funciones fm ∈ D(R) que converja hacia f
uniformemente sobre compactos en R usando el teorema 1.8.6. Definiendo
um (x, t) =
fm (x + t) + fm (x − t)
2
se sigue ahora que um es de clase C ∞ comprobándose directamente que
Lum = 0. Por consiguiente, tras el corolario 1.10.2 sabemos que hum , L∗ ψi = 0
para todo m y, pasando al límite, obtendremos hu, L∗ ψi = 0 para cualquier
ψ ∈ D(R2 ), tal y como queríamos demostrar.
En abiertos acotados de Rn es posible demostrar la siguiente desigualdad,
donde la constante c tan solo depende del abierto G y del operador L, casos
particulares son conocidos como desigualdades de Friedrichs.
1.10. Operadores diferenciales y soluciones débiles
78
Lema 1.10.6.
P
∂ α
un operador
Sea G un abierto acotado en Rn y L =
|α|≤n aα ∂x
diferencial lineal con coeficientes constantes reales o complejos. Existe una
constante c > 0, dependiente tan solo del abierto G y del operador L tal que
ui
ta
kψk2 ≤ c kL∗ ψk2
para toda ψ ∈ D(G).
gr
at
tra
para x = (x1 , · · · , xn ) ∈ G. Así podemos escribir:
Z x1 2
2
∂
ψ(x1 , · · · , xn ) ≤
ψ(t, x2 , · · · , xn ) · 1 dt .
−∞ ∂x1
mu
es
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Demostración. Hagamos el caso mas sencillo asumiendo que L∗ = ∂x∂ 1 .
La desigualdad en este caso se debe a S. Zaremba. Nuestro razonamiento es
similar al realizado anteriormente en la prueba de la desigualdad de PoincaréFriedrichs (1.25). Para cualquier función ψ ∈ D(G) tenemos, gracias a que
el soporte de ψ es compacto y está contenido en G:
Z x1
∂
ψ(x1 , x2 , · · · , xn ) =
ψ(t, x2 , · · · , xn ) dt.
−∞ ∂x1
Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz tendremos:
Z x1 2
∂
ψ(x)2 ≤ d
ψ(t,
x
,
·
·
·
,
x
)
2
n dt
∂x
1
−∞
para cualquier x ∈ G, donde d es el diámetro del abierto acotado G en Rn
con la norma euclídea. De aquí se sigue la conclusión integrando de nuevo
sobre G y aplicando el teorema de Fubini:
Z Z Z x1 Z
2 2
∂ψ
∂
2
2
ψ(t, x2 , · · · , xn ) dt dx ≤ d
(x) dx.
ψ(x) dx ≤ d
∂x
∂x
1
1
G
−∞
G
G
Reiterando el mismo razonamientose puede demostrar la desigualdad para
∂ α
operadores de la forma L∗ = aα ∂x
para cualquier multi-índice α ∈ Nn . El
caso general del lema anterior puede consultarse en [66, Ch. 5, Lemma 3.3] Gracias a la desigualdad anterior estamos en condiciones de probar ahora
el resultado central de esta sección:
1.10. Operadores diferenciales y soluciones débiles
79
Teorema 1.10.7. Malgrange-Ehrenpreis.
Sea G un abierto acotado de Rn . Dado un operador en derivadas
parciales lineal y con coeficientes constantes
X
|α|≤n
existe un operador lineal continuo
aα
∂ α
∂x
gr
at
K : L2 (G) → L2 (G)
tra
tal que LK(f ) = f en sentido débil para cualquier f ∈ L2 (G). En otras
palabras, u = K(f ) es una solución débil de L(u) = f para cualquier
f ∈ L2 (G), i.e.
hf, ψi = hu, L∗ ψi
para cualquier ψ ∈ D(G).
mu
es
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ui
ta
L=
Demostración. Consideremos el producto escalar
hϕ, ψiL := hL∗ ϕ, L∗ ψiL2 (G)
para funciones cualesquiera ϕ, ψ ∈ D(G). Notemos que es un producto escalar gracias a la desigualdad del lema 1.10.6 y denotemos con H0 el correspondiente espacio prehilbertiano, cuya norma será kϕkL = kL∗ ϕkL2 (G) .
Sea H su completado. Considerando a nuestro operador L∗ con dominio H0
y valores en L2 (G) resulta claro que es un operador lineal y continuo que
admite, por tanto, una extensión lineal y continua a todo H, que denotamos
c∗ . Fijemos ahora f ∈ L2 (G) y su forma lineal asociada restringida a
por L
H0 , i.e. l0 : H0 → K definida por l0 (ψ) = hψ, f iL2 (G) para cualquier ψ ∈ H0 .
Notemos que aplicando el lema 1.10.6 tendremos:
|l0 (ψ)| = |hψ, f iL2 (G) | ≤ kψkL2 (G) kf kL2 (G)
≤ c kL∗ ψkL2 (G) kf kL2 (G) = CkψkL
que nos muestra la continuidad de l0 en el espacio prehilbertiano H0 . Por
ello podremos extender l0 a una forma lineal y continua l definida en el
1.10. Operadores diferenciales y soluciones débiles
80
completado H con klk ≤ C = ckf kL2 (G) . El teorema de Riesz (1.6.1) aplicado
al espacio de Hilbert H y a la forma l nos asegura que existe un vector û ∈ H
tal que
c∗ h, L
c∗ ûiL2 (G)
l(h) = hh, ûiL = hL
ui
ta
gr
at
para cualquier ψ ∈ D(G) como queríamos demostrar. Definiendo K(f ) = u
tendremos un operador K : L2 (G) → L2 (G) que verifica:
kK(f )kL2 (G) = kukL2 (G) = kLˆ∗ ûkL2 (G) = kûkH ≤ C = c kf kL2 (G)
tra
donde la última igualdad se sigue de la aplicación que hemos hecho del teorema de Riesz y la anterior es un paso al completado que termina con la
prueba.
mu
es
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c∗ û ∈ L2 (G) tenemos l(h) = hL
c∗ h, uiL2 (G) para
Tomando ahora u := L
c∗ (ψ) = L∗ ψ para ψ ∈ D(G)
todo h ∈ H. Como l(ψ) = hψ, f iL2 (G) y L
llegamos a que
hL∗ ψ, uiL2 (G) = hψ, f iL2 (G)
Laurent Schwartz (1915–2002) fue un
brillante matemático francés que es mundialmente conocido por haber creado la teoría de distribuciones, [14, Chapter IV, §5]
y [62]. La idea de derivada generalizada,
véase (1.23), que ya estaba en trabajos de
Sobolev, encuentra su marco general en los
espacios de las distribuciones de Schwartz,
que se definen como espacios duales de espacios de funciones infinitamente derivables
con una cierta topología. La posibilidad de
trabajar con derivadas generalizadas permite encontrar soluciones débiles para algunas ecuaciones en derivadas
parciales que en situaciones adecuadas conducen a soluciones fuertes.
La teoría de distribuciones le supuso a Schwartz el premio máximo en
matemáticas que es la Medalla Fields (1950); como glosa de su trabajo
se puede leer en la página web de la International Mathematical Union,
organización que otorga las medallas, lo siguiente: “Schwartz developed
the theory of distributions, a new notion of generalized function motivated by the Dirac delta-function of theoretical physics”. Fue profesor
81
1.11. El método de Galerkin
durante muchos años en la afamada École Polytechnique de París. Entre sus discípulos se encuentran A. Grothendieck (Medalla Fields en
1966), J. L. Lions, B. Malgrange, B. Maurey, L. Nachbin y G. Pisier.
Otros detalles sobre la historia y obra de Schwartz pueden leerse en:
• Laurent Schwartz en Wikipedia.
gr
at
El método de Galerkin
tra
El método de Galerkin es el precursor teórico del práctico método de los
elementos finitos para la resolución numérica de ecuaciones diferenciales en
derivadas parciales. Podremos ver una descripción del mismo basada en la
aproximación variacional que de los problemas de tipo elíptico hemos hecho
anteriormente (1.7.1).
Teorema 1.11.1. Galerkin-Ritz.
mu
es
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1.11.
ui
ta
• Laurent Schwartz en MacTutor History of Mathematics.
Sea M1 ⊂ M2 ⊂ · · · ⊂ Mn ⊂ · · · una sucesión de subespacios cerrados en un espacio de Hilbert H con unión densa. Sea a : H × H → R
bilineal, simétrica, continua y fuertemente positiva y sea b : H → R una
forma lineal y continua. Consideramos el problema de minimización del
funcional
1
J(x) := a(x, x) − b(x)
2
sobre el subespacio Mn y sea un ∈ Mn su solución, i.e.
a(x, un ) = b(x)
para todo x ∈ Mn . Entonces la sucesión (un ) converge hacia la solución
u del problema de minimización de J en todo H.
La demostración del teorema se basa en el siguiente
Lema 1.11.2.
Sea M1 ⊂ M2 ⊂ · · · ⊂ Mn ⊂ · · · una sucesión de subespacios cerrados en
un espacio de Hilbert H. Si ∪∞
n=1 Mn = H y Pn es la proyección ortogonal de
82
1.11. El método de Galerkin
H sobre Mn se tiene que
lı́m Pn (x) = x
n→∞
para cualquier x ∈ H
gr
at
kx − Pn (x)k = d(x, Mn ) ≤ d(x, Mn0 ) ≤ kx − yk ≤ ε
siempre que n ≥ n0 .
tra
Demostración del teorema 1.11.1. Como a(x, un ) = f (x) para todo
x ∈ Mn y a(x, u) = f (x) para todo x ∈ H, tendremos que a(x, u − un ) = 0
para cualquier x ∈ Mn . La forma bilineal, simétrica, continua y fuertemente
positiva nos suministra un producto escalar a(·, ·) equivalente al original sobre
H. La anterior ecuación nos asegura entonces que u − un es ortogonal a Mn
y, así, que un = Pn (u) donde Pn es la proyección ortogonal de H sobre Mn
para el producto escalar dado por a(·, ·). El lema anterior asegura entonces
que
lı́m un = u.
mu
es
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ui
ta
Demostración. Por el teorema de la proyección, teorema 1.5.7, sabemos
que kx−Pn (x)k = d(x, Mn ). La densidad nos asegura que d(x, ∪∞
n=1 Mn ) = 0,
y por ello lı́mn→∞ Pn (x) = x para cualquier x ∈ H que fijemos. En efecto,
dado ε > 0 encontremos y ∈ Mn0 tal que kx − yk < ε. Dado que la sucesión
de espacios Mn es creciente tendremos
n→∞
Podemos determinar estimaciones a priori de la solución, así como del
error cometido con la aproximación un de u:
Corolario 1.11.3.
En las condiciones del Teorema 1.11.1 se verifican:
(i) Escribiendo a(x, y) ≤ dkxkkyk y ckxk2 ≤ a(x, x) para cualesquiera
x, y ∈ H tenemos la estimación a priori para la solución u:
kuk ≤ c−1 kbk.
(ii) Razón de convergencia:
ku − un k ≤ d · c−1 d(u, Mn ).
83
1.11. El método de Galerkin
(iii) Estimación del error: Si β ≤ J(x) para todo x ∈ H, entonces:
1
cku − un k2 ≤ J(un ) − β
2
(ii) Se comprueba como la anterior:
para cualquier x ∈ Mn .
(iii) Finalmente,
gr
at
ku − un k2 ≤ c−1 a(u − un , u − un ) ≤ c−1 a(u − x, u − x)2 ≤ c−1 dku − xk2
tra
1
J(u + v) = a(u + v, u + v) − b(u + v)
2
1
1
= a(u, u) + (a(u, v) − b(v)) + a(v, v) − b(u)
2
2
y, teniendo en cuenta la ecuación variacional a(v, u) = b(v), tendremos
mu
es
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ui
ta
para todo n ∈ N
Demostración.
(i) En efecto, kuk2 ≤ c−1 a(u, u) = c−1 b(u) ≤ c−1 kbkkuk.
J(u + v) − J(u) =
1
a(v, v),
2
por tanto J(u + v) − J(u) ≥ 12 ckvk2 para cualquier v ∈ H. Tomando
w := u + v, como J(u) ≥ β tendremos J(w) − β ≥ 12 cku − wk2 .
La aplicación natural del método de Galerkin consiste en tomar los subespacios Mn de dimensión finita, en cuyo caso la ecuación variacional restringida a cada Mn se reduce a un sistema lineal de ecuaciones con número de
incógnitas igual a la dimensión de Mn y con matriz simétrica y definida positiva. Tomando adecuadamente bases de los espacios Mn dichas matrices
pueden reducir bastante su número de entradas no nulas, haciendo los sistemas asociados fáciles de resolver numéricamente aunque sean de dimensión
alta. Este es uno de los objetivos del método de los elementos finitos, en el que
dichos elementos describen bases adecuadas para la geometría del problema
que estemos considerando. Este método ha supuesto uno de los grandes avances que para el tratamiento numérico de las ecuaciones en derivadas parciales
se obtuvieron en la segunda mitad del último siglo.
84
1.12. Bases en espacios de Hilbert
1.12.
Bases en espacios de Hilbert
ui
ta
gr
at
Redes
tra
1.12.1.
mu
es
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En los espacios de dimensión finita las bases algebraicas proporcionan
una herramienta útil (recuérdense, por ejemplo, 1.2.4 y 1.2.5) para el estudio
de sus propiedades y para obtener representantes canónicos de los espacios
euclídeos de dimensión n. Sin embargo, el concepto de base algebraica es poco
adecuado para el estudio de los espacios normados y hilbertianos de dimensión infinita. La razón fundamental es que, a diferencia de lo que ocurre en
espacios de dimensión finita, las bases algebraicas no guardan relación con la
estructura topológica del espacio. Para el estudio en Análisis Matemático de
las propiedades de los espacios de dimensión infinita se consideran otro tipo
de bases. Esta sección está destinada a definir el concepto y establecer la existencia de bases hilbertianas en cualquier espacio de Hilbert. Damos ejemplos
de bases hilbertianas concretas, desarrollamos la L2 -teoría de series de Fourier
e ilustramos con aplicaciones a integración numérica y a espacios de funciones
holomorfas los métodos de Análisis Funcional que presentamos aquí.
Comenzaremos fijando una noción nueva: la noción de red convergente.
En [44] se puede encontrar una exposición más detallada de los conceptos
aquí comentados.
Definición 1.12.1.
(i) Un conjunto dirigido es un conjunto D con una relación binaria
≥ que satisface las propiedades:
(a) Si i, j y k son puntos de D tales que i ≥ j y j ≥ k, entonces
i ≥ k (propiedad transitiva).
(b) Si i ∈ D, entonces i ≥ i (propiedad reflexiva).
(c) Si i, j ∈ D, entonces existe k ∈ D con k ≥ i, k ≥ j.
(ii) Una red en un conjunto Y es una aplicación φ : D −→ Y donde
(D, ≥) es un conjunto dirigido. La red se suele denotar mediante
{ωi : i ∈ D, ≥}, o simplemente como (wi )i∈D si no queremos
85
1.12. Bases en espacios de Hilbert
explicitar la relación binaria y no hay lugar a confusión, donde
estamos escribiendo ωi = φ(i), i ∈ D.
ui
ta
gr
at
Definición 1.12.2.
tra
Las sucesiones son un caso particular de redes, cuando D = N dotado del
orden inducido por el de R. El concepto de red convergente extiende pues
el de sucesión convergente; a la convergencia de redes se le da también el
nombre de convergencia de Moore-Smith.
Si (X, k · k) es un espacio normado, una red (xi )i∈D en X se dice
que satisface la condición de Cauchy si para cada ε > 0 existe i0 ∈ D
tal que kxi − xj k < ε para cada i, j ≥ i0 en D.
mu
es
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(iii) Si T es un espacio topológico y (ti )i∈D es una red en T , se dice que
la red converge a t ∈ T si para cada entorno V de t existe i0 ∈ I tal
que ti ∈ V para todo i ≥ i0 en D. En el caso de que el punto t sea
único (lo que ocurre si T es de Hausdorff), t se llama el límite de
la red (ti )i∈D y se escribe t = lı́mi∈D ti = lı́mD ti . Un punto s ∈ T
se dice que es de aglomeración de (ti )i∈D si para cada entorno V
de s y cada j ∈ D existe i ≥ j en D de forma que ti ∈ V .
Como en el caso de las sucesiones, una red convergente satisface la condición de Cauchy. En espacios completos, las redes que satisfacen la condición
de Cauchy son convergentes.
Lema 1.12.3.
En un espacio de Banach X cualquier red que satisface la condición de
Cauchy es convergente.
Demostración. Sea (xi )i∈D una red en X que satisface la condición de
Cauchy. Entonces, para cada n ∈ N existe kn tal que si i, j ≥ kn se verifica
kxi − xj k < 1/n. Tomemos in ∈ D tal que in ≥ kj , j = 1, 2, . . . n. Se tiene
que para N ∈ N fijo, si n, m ≥ N , entonces kxin − xim k < 1/N , y por tanto
la sucesión (xin )n satisface la condición de Cauchy. Si x ∈ X es el límite de
(xin )n , se cumple kxin − xk ≤ 1/N si n ≥ N , y por lo tanto
kxi − xk ≤ kxi − xin k + kxin − xk ≤ 2/N,
para i ≥ kN en D, lo que prueba que x = lı́mi∈D xi .
86
1.12. Bases en espacios de Hilbert
De forma similar a como se define el concepto de subsucesión de una
sucesión se puede definir el concepto de subred de una red.
Definición 1.12.4.
gr
at
(ii) Para cada i0 ∈ D existe j0 ∈ J tal que si j ≥ j0 , entonces
ρ(j) ≥ i0 .
tra
Obsérvese que, en las condiciones de la definición anterior, si D es un
conjunto dirigido y J ⊂ D tiene la propiedad de que para cada i ∈ D existe
j ∈ J con j ≥ i (un tal J se dice que es cofinal en D), entonces para cada
red (wi )i∈D en Y , la red (wi )i∈J es una subred suya. En espacios topológicos
si una red converge toda subred suya converge al mismo punto.
Algunas propiedades de las redes, como las que siguen, son bastante atractivas por su similitud con las correspondientes propiedades de las sucesiones
en espacios métricos, y muestran cómo las redes sustituyen con ventaja a
las sucesiones en el estudio de espacios topológicos generales. Remitimos al
lector a [44] para la demostración de la proposición que sigue.
mu
es
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ui
ta
Dada una red φ : D −→ Y , una red ψ : J −→ Y diremos que es
una subred de φ si existe una aplicación ρ : J −→ D satisfaciendo las
propiedades:
(i) φ ◦ ρ = ψ.
Proposición 1.12.5.
Se tienen las siguientes propiedades:
(i) Un espacio topológico es de Hausdorff si, y sólo si, cada red que converge
lo hace hacia un único punto.
(ii) Un punto s de un espacio topológico es de aglomeración de una red
(xi )i∈D si, y sólo si, existe una subred de (xi )i∈D que converge hacia s.
(iii) Un conjunto A de un espacio topológico es cerrado si, y sólo si, para
cualquier red contenida en A que sea convergente, su límite pertenece a A.
(iv) Un punto s en un espacio topológico está en la clausura de un conjunto
A si, y sólo si, s es límite de alguna red contenida en A.
87
1.12. Bases en espacios de Hilbert
(v) Una función f : Y → Z entre espacios topológicos es continua en un
punto a ∈ Y si, y sólo si, f transforma redes de Y convergentes hacia
a en redes de Z convergentes hacia f (a).
gr
at
En espacios metrizables las sucesiones son suficientes para describir la
topología subyacente; sin embargo, en espacios no metrizables no es así y
hemos de recurrir a las redes para describir la topología de los espacios. No
debe caerse en la tentación de infravalorar el concepto de red pensando que
se trata únicamente de un cambio terminológico.
tra
Ejemplo 1.12.6. En espacios métricos un punto s es de aglomeración de
la sucesión (xn )n si, y sólo si, existe una subsucesión (xnk )k de (xn )n que
converge hacia s. Esto no es cierto en espacios topológicos arbitrarios, a pesar
de que los puntos de aglomeración de sucesiones son límites de subredes.
Sea A = (N∪{0})×(N∪{0}) con la topología definida mediante las siguientes
reglas:
mu
es
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ui
ta
(vi) Un subconjunto A en un espacio topológico es compacto si, y sólo si,
toda red en A posee una subred convergente a un punto de A.
(i) Si (n, m) 6= (0, 0), entonces {(n, m)} es abierto.
(ii) Un conjunto V ⊂ A es un entorno de (0, 0) si (0, 0) ∈ V y existe n0 ∈ N
con la propiedad de que para cada n ≥ n0 el conjunto {m : (n, m) 6∈ V }
es finito.
El espacio topológico A es de Hausdorff. Ninguna sucesión (xk )k en
A \ {(0, 0)} converge a (0, 0), ya que si lo hiciera, para cada n, en la columna {(n, m) : m ∈ N} sólo podría haber un número finito de términos de
la sucesión; pero en tal caso sería posible construir un entorno de (0, 0) que
no contuviese ningún punto de la sucesión. Enumerando A según el proceso diagonal de Cantor, se obtiene una sucesión para la que (0, 0) es punto
aglomeración pero que no tiene subsucesiones convergentes a dicho punto. El ejemplo que sigue pone de manifiesto que las sucesiones no sirven para
caracterizar la clausura de subconjuntos en espacios no metrizables ni la
compacidad.
Ejemplo 1.12.7. Sea Y = [0, 1]R dotado de la topología producto. Para
(xγ )γ∈R en Y definimos
88
1.12. Bases en espacios de Hilbert
y consideramos
sop(xγ )γ∈R := γ ∈ R : xγ 6= 0
D = {(xγ )γ∈R ∈ Y : sop(xγ )γ∈R es a lo sumo numerable}.
ui
ta
Entonces:
(i) El conjunto D es sucesionalmente cerrado, denso y no cerrado en Y .
1.12.2.
tra
Claramente D 6= Y pero D = Y . Así, D no es cerrado y por ende no es compacto. Las otras propiedades que hemos enunciado se siguen del hecho de que
si A es un conjunto numerable, entonces [0, 1]A es un espacio compacto
meS
trizable, [44], y dada una sucesión (yn )n en D podemos tomar A := n sop yn
y mirar (yn )n en [0, 1]A .
Familias sumables
mu
es
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(iii) D no es compacto.
gr
at
(ii) Toda sucesión en D tiene una subsucesión convergente a un punto de D.
Si I es un conjunto no vacío denotaremos por
P0 (I) := {J : J ⊆ I, J es finito}.
P0 (I) está dirigido por la relación de contenido conjuntista ⊆, i.e.,
J1 ≥ J2 en P0 (I) si, por definición, J2 ⊆ J1 .
Definición 1.12.8.
Sea (X, k.k) un espacio normado.
Se dice que la familia (xi )i∈I es
P
sumable con suma x, si la P
red ( i∈J xi )J∈P0 (I) tiene límite x en X, y en
este caso, se escribe x = i∈I xi . Se dice que (xi )i∈I es absolutamente
sumable si la familia (kxi k)i∈I es sumable en R.
P
Dada la forma especial del conjunto P0 (I), la red ( i∈J xi )J∈P0 (I) satisface la condición de Cauchy, como es fácil comprobar, si, y sólo si, para
cada ε > P
0 existe J0 ∈ P0 (I) tal que si J ∈ P0 (I) y J ∩ J0 = ∅, entonces k i∈J xi k < ε. Con esto en mente se prueba fácilmente la siguiente
proposición.
89
1.12. Bases en espacios de Hilbert
Proposición 1.12.9.
Sea (X, k.k) un espacio normado y sea (xi )i∈I una familia en X.
ui
ta
gr
at
i∈J
(iv) La familia (xi )i∈I es absolutamente sumable si, y sólo si,
o
nX
kxi k : J ∈ P0 (I) < ∞.
sup
(1.35)
tra
i∈J
Demostración. Establezcamos (i). Si (xi )i∈I es absolutamente sumable,
la red
X
(
kxi k)J∈P0 (I)
mu
es
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(i) Si X es un espacio de Banach y (xi )i∈I es absolutamente sumable,
entonces (xi )i∈I es sumable.
P
(ii) Si la red ( i∈J xi )J∈P0 (I) es de Cauchy, el conjunto {i ∈ I : xi 6= 0}
es contable (finito o numerable).
P
(iii) Si la red ( i∈J xi )J∈P0 (I) es de Cauchy, entonces se tiene que
o
nX (1.34)
sup xi : J ∈ P0 (I) < ∞.
i∈J
P
cumple la condición de Cauchy y, por tanto, la red ( i∈J xi )J∈P0 (I) también
la cumple; pero al ser X completo, dicha red es convergente por el lema 1.12.3,
es decir, (xi )i∈I es sumable.
La prueba de (ii) es como sigue. Por la condición de Cauchy, para cada
n ∈ N existe Jn ⊂ I finito tal que kxi k < 1/n si i ∈
/ Jn , en consecuencia el
conjunto
n
1o
⊂ Jn
An := i ∈ I : kxi k ≥
n
S
es finito para cada n ∈ N. Como {i ∈ I : xi 6= 0} = n An , se obtiene el
resultado.
La propiedad (iii) se sigue directamente de la condición de Cauchy. Efectivamente, si utilizamos que se satisface la condición de Cauchy para ε = 1
podemos
determinar J0 ∈ P0 (I) tal que si J ∈ P0 (I) y J ∩ J0 = ∅, entonces
P
k i∈J xi k < 1. Para cualquier conjunto finito J ⊂ I tenemos
X
X X
X
kxi k
xi < 1 +
xi + xi ≤ i∈J
i∈J\J0
i∈J∩J0
i∈J0
90
1.12. Bases en espacios de Hilbert
tra
gr
at
A la vista de las condiciones (1.34) y (1.35) en la proposición anterior,
es claro que poder establecer que las familias sumables son absolutamente
sumables en un espacio de Banach “sólo depende” de poder intercambiar
normas con sumas de forma “razonable”. Dvoretzky y Rogers establecieron
en [18] que un espacio de Banach es de dimensión finita si, y sólo si, las
familias sumables coinciden con las absolutamente sumables.
En nuestra siguiente definición 1.12.10 introducimos la propiedad que
necesitamos para que los conceptos de sumabilidad y sumabilidad absoluta
coincidan. Vemos en el teorema 1.12.16 que dicha propiedad caracteriza también los espacios de dimensión finita y utilizamos en la proposición 1.12.13
esta propiedad para establecer de forma sencilla, sin pasar por coordenadas,
que en espacios de dimensión finita las nociones de convergencia absoluta e
incondicional para series coinciden.
El lector familiarizado con la noción de espacio nuclear y de operador
1-sumante sabrá poner en contexto la definición que sigue.
mu
es
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ui
ta
P
y por tanto sup{k i∈J xi k : J ∈ P0 (I)} < ∞.
La propiedad (iv) se sigue ahora de (iii) y de la definición de supremo.
Si (xi )i∈I es absolutamente sumable, entonces (kxi k)i∈I es sumable y la propiedad (iii)
P nos dice que el supremo en (1.35) es finito. Recíprocamente, si
α = sup{ i∈J kxP
i k : J ∈ P0 (I)} ∈ R y ε > 0, entonces existe
P J0 ∈ P0 (I)
tal que α − ε ≤ i∈J0 kxi k. De aquí se tiene que α − ε ≤P i∈J kxi k ≤ α
para cada J ∈ P0 (I) con J ⊃ J0 , lo que significa que α = i∈I kxi k.
Definición 1.12.10.
Diremos que una norma k · k en un espacio de Banach X tiene la
propiedad S si cumple la siguiente propiedad:
(S) Existe una constante 1 > C > 0 tal que para cada conjunto finito
{zj : j ∈ J} en X existe un subconjunto S ⊂ J con la propiedad
X X
(1.36)
zj .
C
kzj k ≤ j∈J
j∈S
Se comprueba fácilmente que si una norma k · k tiene la propiedad (S),
entonces cualquier otra norma equivalente también tiene esta propiedad. Por
91
1.12. Bases en espacios de Hilbert
lo tanto, (S) es una propiedad del espacio de Banach X y no de una norma
particular en X.
Si k · k en X satisface (S) escribimos
C(S) := sup{C : C satisface (1.36)}.
(1.37)
ui
ta
gr
at
donde Cn (S) está definida como en (1.37). En consecuencia, todos los espacios de Banach de dimensión finita tienen la propiedad (S).
tra
Demostración. Probemos que (1.36) se satisface en (Rn , k · k2 ) cuando
1
tomamos cn = √ . Consideremos las 2n pirámides en Rn definidas por
2n n
Ai = (x1 , x2 , . . . , xn ) : xi ≥ 0, |xj | ≤ xi , j 6= i, j ∈ J ,
i ∈ J,
Ai+n = (x1 , x2 , . . . , xn ) : xi ≤ 0, |xj | ≤ |xi |, j 6= i, j ∈ J ,
i ∈ J,
mu
es
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Lema 1.12.11.
La norma euclídea k · k2 en Rn tiene la propiedad (S) con constante
1
cn = √ satisfaciendo la desigualdad (1.36). Para (Rn , k · k2 ) tenemos las
2n n
estimaciones
1
1
√ ≤ Cn (S) ≤ √ ,
2n n
n
donde J =
P{1, 2, . . . , n}. Para cada conjunto finito {zj : j ∈ J} en X definamos α = j∈J kzj k2 . Quitando algunas caras (aquí y allí) de los Ai es fácil
convencerse uno mismo de que Rn puede partirse en 2n conjuntos disjuntos
Bi tales que para sus clausuras tenemos Bi = Ai , i = 1, 2, . . . , 2n. Así, uno
al menos de los Ai tiene la propiedad de que
X
kzj k2 ≥ α/2n.
(1.38)
zj ∈Ai
Por sencillez suponemos que este Ai es A1 y llamamos entonces
S = {j ∈ J : zj ∈ A1 }.
Si π1 : Rn → R es la proyección canónica en la primera coordenada, tenemos
las desigualdades
X X
X 1 X
1 α
zj ) =
π1 (zj ) ≥ √
zj ≥ π1 (
(1.39)
kzj k2 ≥ √
2
n
n 2n
j∈S
j∈S
j∈S
j∈S
92
1.12. Bases en espacios de Hilbert
gr
at
j=1
Así, cn ≤
√
X ej .
kej k2 ≤ j∈S
2
n y la prueba acaba.
tra
Proposición 1.12.12.
Sea (X, k · k) un espacio normado de dimensión finita y sea (xi )i∈I una
familia en X. Las siguientes propiedades son equivalentes:
(i) (xi )i∈I es absolutamente sumable.
mu
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c
n
X
ui
ta
√
debido a (1.38) y a que para cada z ∈ A1 claramente se tiene nπ1 (z) ≥ kzk2 .
Si leemos otra vez el principio y el final de las desigualdades en (1.39) hemos
establecido que (1.36) se satisface para cn .
Obsérvese que lo que hemos hecho hasta ahora prueba que 2n1√n ≤ Cn (S).
Para establecer la otra desigualdad para Cn (S), supongamos que se satisface (1.36) para una cierta constante 1 > c > 0 en (Rn , k·k2 ). Si {e1 , e2 , . . . , en }
es la base canónica, podemos encontrar un conjunto S ⊂ {1, 2, ..., n} tal que
(ii) (xi )i∈I es sumable.
P
(iii) sup{ i∈J kxi k : J ∈ P0 (I)} < ∞.
Demostración. La equivalencia (i)⇔(iii) y la implicación (i)⇒(ii) son,
respectivamente, las propiedades (iv) y (i) de la proposición 1.12.9. Veamos
cómo (ii)⇒(iii). Como X es de dimensión finita, X tiene la propiedad (S) y
por tanto existe 1 > C > 0 satisfaciendo la desigualdad (1.36). Si (xi )i∈I es
sumable, entonces
o
n X α = sup xi : J ∈ P0 (I) < ∞,
i∈J
después de la propiedad (iii) en la proposición 1.12.9. La desigualdad (1.36)
dice ahora que
nX
o
α
sup
kxi k : J ∈ P0 (I) ≤
C
i∈J
y en consecuencia hemos establecido la validez de (iii).
Dejamos como ejercicio para el lector constatar que, para series, la proposición 1.12.12 se lee como sigue:
93
1.12. Bases en espacios de Hilbert
ui
ta
Proposición 1.12.13.
Sea (X, k.k) un espacio normado de dimensión finita y sea (xn )n una
sucesión en X. Las siguientes propiedades son equivalentes:
P
(i) La serie ∞
n=1 xn es absolutamente convergente.
P n
(ii) sup
i=1 kxi k : n ∈ N < ∞.
P
(iii) sup
kx
k
:
J
∈
P
(N)
< ∞.
i
0
i∈J
tra
El teorema de reordenación de Riemann, que aparece
en los textos de
P
cálculo, asegura que si una serie de números reales ∞
x
n=1 n es convergente
pero no es absolutamente convergente, entonces
para cada x ∈ [−∞, ∞]
P
existe una biyección π : N → N tal que x = ∞
x
n=1 π(n) . Como consecuencia,
todas las “reordenaciones” de una serie de números reales son convergentes
a un número real sólo cuando la serie es absolutamente convergente. En
espacios de Banach convergencia absoluta e incondicional de series coinciden
si, y sólo si, el espacio es de dimensión finita, lo que es de nuevo el teorema
de Dvoretzky y Rogers [18] comentado anteriormente, tal y como aclaramos
en las páginas que siguen.
mu
es
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(v) (xn )n∈N es sumable.
gr
at
(iv) (xn )n∈N es absolutamente sumable.
Definición 1.12.14.
Sean X un
espacio de Banach y (xn )n una sucesión en X. Se dice
P∞
que la serie
convergente si para cada
n=1 xn es incondicionalmente
P
x
converge.
biyección π : N → N la serie ∞
π(n)
n=1
Convergencia incondicional y sumabilidad se encuentran frente a frente
en la siguiente proposición.
Proposición 1.12.15.
P∞Sean (X, k · k) un espacio de Banach y (xn )n una sucesión. La serie
n=1 xn es incondicionalmente convergente si, y sólo si, la familia (xn )n∈N
es sumable, en cuyo caso para cada biyección π : N → N se tiene
X
n∈N
xn =
∞
X
n=1
xπ(n) .
94
1.12. Bases en espacios de Hilbert
ui
ta
Demostración.
Supongamos que (xn )n∈N es sumable y probemos
P
P que la
serie ∞
x
es
incondicionalmente
convergente.
Llamemos
x
=
n
n=1
n∈N xn
y sea π : N → N una biyección. Dado ε > 0 existe
un
conjunto
finito
P
J0 ∈ P0 (I) tal que si J ⊃ J0 y J ∈ P0 (I), entonces k n∈J xn − xk < ε. Si
mε = sup π −1 (J0 ), entonces π({1, 2, . . . , n}) ⊃ J0 siempre que n ≥ mε . Por
lo tanto,
X
X
n
< ε,
x
−
x
x
−
x
=
m
π(j)
j=1
m∈π({1,2,...,n}
tra
gr
at
para n ≥ mε , y consecuentemente n=1 xπ(n) = x para cada biyección π.
El recíproco lo estableceremos razonando por contradicción.
Suponemos
P
que (xn )n no es sumable, y por ende suponemos que ( i∈J xi )J∈P0 (N) no
satisface la condición de Cauchy, es decir, existe ε > 0 tal que para cada
J ∈ P0 (N) existe J ′ ∈ P0 (N) con
X (1.40)
xi ≥ ε.
J ∩ J′ = ∅ y i∈J ′
Describimos la biyección π : N → N dando su imagen. Aplicamos (1.40) a
J = J1 = {1} y producimos J2 := {n21 , n22 , . . . , n2m(2) } ∈ P0 (N) tal que
X xj ≥ ε.
J2 ∩ J = ∅ y mu
es
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P∞
i∈J2
Nuestra reordenación de N empezará definiendo J2′ := {1, n21 , n22 , . . . , n2m(2) }
si 2 ∈ J2 y J2′ := {1, n21 , n22 , . . . , n2m(2) , 2} si 2 6∈ J2 . Otra vez, aplicamos (1.40)
al conjunto J definido inmediatamente antes y construimos otro conjunto
J3 := {n31 , n32 , . . . , n3m(3) } ∈ P0 (N) tal que
X xi ≥ ε.
J3 ∩ J = ∅ y i∈J3
Como antes, definimos el conjunto
J3′ := {n31 , n32 , . . . , n3m(3) , 3} si 3 6∈ J3 .
Definiendo π como
J3′
′
:= {n31 , n32 , . . . , n3m(3) } si 3 ∈ J3 y
′
J2
J3
z
}|
{ z
}|
{
2
2
2
3 3
3
π : {1, 2, . . . } → 1, n1 , n2 , . . . , nm(2) , n1 , n2 , . . . , nm(3) , . . .
95
1.12. Bases en espacios de Hilbert
P∞
producimos una reordenación
n=1 xπ(n) que no satisface la condición de
Cauchy y por lo tanto no converge.
ui
ta
El teorema de Dvoretsky-Rogers [16, Chapter VI], permite completar
nuestro estudio sobre sumabilidad y probar que la propiedad (S) de una
norma caracteriza los espacios de dimensión finita.
Teorema 1.12.16.
gr
at
(ii) X tiene la propiedad (S).
tra
(iii) Para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que, para cada conjunto finito
{zj : j ∈ J} en X, si tenemos
o
n X (1.41)
sup zj : S ⊂ J < δ,
mu
es
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Para un espacio de Banach (X, k · k) las siguientes afirmaciones son
equivalentes:
(i) X es de dimensión finita.
entonces
j∈S
X
j∈J
kzj k < ε.
(iv) Cada serie incondicionalmente convergente en X es absolutamente
convergente.
Demostración. El lema 1.12.11 es la implicación (i)⇒(ii). La prueba de
la implicación (ii)⇒(iii) es fácil: si (X, k · k) tiene la propiedad (S) con
constante 1 > c > 0 satisfaciendo la desigualdad (1.36), entonces basta tomar
δ = cε para un ε > 0 dado y así se tiene (iii). La implicación (iii)⇒(iv)
es
P
como sigue: tomemos una serie incondicionalmente convergente n zn en X.
Después de la proposición 1.12.15 la familia (zn )n es sumable y por tanto
o
n X M := sup zn : S ⊂ N, S finito < +∞,
n∈S
como consecuencia de la proposición 1.12.9. Para ε = 1 en (iii) tomemos
el correspondiente δ. Todos los subconjuntos finitos de {(δ/2M )zn : n ∈ N}
96
1.12. Bases en espacios de Hilbert
satisfacen (1.41) y en consecuencia, para cada conjunto finito J ⊂ N tenemos
X
n∈J
P
kzn k ≤
2M
δ
gr
at
Sumas hilbertianas
tra
Sean H1 y H2 dos espacios de Hilbert. En el producto cartesiano H :=
H1 × H2 se pueden definir distintas normas cuya topología asociada es la
topología producto. Una de estas normas en H, a saber,
1/2
k(x1 , x2 )k := kx1 k2H1 + kx2 k2H2
,
proviene del producto escalar
mu
es
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1.12.3.
ui
ta
lo que significa que n zn es absolutamente convergente.
La implicación (iv)⇒(i) es el teorema de Dvoretsky-Rogers.
h(x1 , x2 ), (y1 , y2 )i := hx1 , y1 iH1 + hx2 , y2 iH2 .
El espacio H dotado del producto escalar anterior se llama suma directa
hilbertiana de H1 y H2 y lo denotaremos como H1 ⊕ H2 . Su estructura
hilbertiana es la única que induce sobre H1 y H2 sus respectivas estructuras
hilbertianas y las hace mutuamente ortogonales.
No ofrece dificultad extender el concepto de suma hilbertiana anterior
a una cantidad finita de sumandos.
ejemplo, el espacio Rn con su
PnAsí, por
norma euclídea habitual kxk2 = ( i=1 |xi |2 )1/2 no es más que la suma hilbertiana P
de n espacios idénticos a la recta real R. Análogamente Cn , con
kxk2 = ( ni=1 |xi |2 )1/2 , no es otra cosa que la suma hilbertiana de n espacios
idénticos a C con su norma canónica kzk = |z| que proviene del producto
escalar hx, yiC = xy. También podemos definir sumas hilbertianas infinitas.
Proposición 1.12.17.
Sea {Hi : i ∈ I} una familia de espacios de Hilbert sobre K, donde I es
un conjunto arbitrario no vacío de índices, y sea
n
o
Y
X
H := x = (xi )i∈I ∈
Hi :
kxi k2Hi < ∞ .
i∈I
i∈I
97
1.12. Bases en espacios de Hilbert
Entonces H es un espacio vectorial sobre K y la fórmula
kxk :=
X
i∈I
kxi k2Hi
1/2
ui
ta
gr
at
i∈I
Demostración. Para subconjuntos finitos J ⊂ I, por la desigualdad de
Minkowski, se tiene que
i∈J
kxi +
1/2
X
tra
X
yi k2Hi
mu
es
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donde x = (xi )i∈I ∈ H, define una norma con la que H es un espacio de
Banach. Además dicha norma está generada por el producto escalar definido
en H por la expresión
X
h(xi )i∈I , (yi )i∈I i :=
hxi , yi iHi .
≤
≤
≤
i∈J
X
i∈J
X
i∈I
2
(kxi kHi + kyi kHi )
kxi k2Hi
kxi k2Hi
1/2
1/2
+
1/2
X
i∈J
+
X
i∈I
kyi k2Hi
kyi k2Hi
1/2
1/2
En consecuencia, H es un espacio vectorial y k · k una norma. Además,
procediendo de forma parecida, utilizando subconjuntos finitos J ⊂ I y la
desigualdad de Hölder, es fácil comprobar que la fórmula
X
h(xi )i∈I , (yi )i∈I i :=
hxi , yi iHi
i∈I
está bien definida y corresponde a un producto escalar que genera la norma
de H.
Veamos que H es completo. Si (xn )n es una sucesión de Cauchy en H,
dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que
kxn − xm kH =
X
i∈I
kxn,i −
xm,i k2Hi
1/2
<ε
(1.42)
98
1.12. Bases en espacios de Hilbert
ui
ta
para n, m ≥ n0 en N. Para cada i ∈ I la sucesión (xn,i )n∈N es de Cauchy en
el espacio de Hilbert Hi , por lo que es convergente, digamos a yi ∈ Hi . Para
probar que H es de Hilbert basta demostrar que y := (yi )i∈I pertenece a H
y que y = lı́mn xn . Pero esto es consecuencia de la desigualdad
X
1/2
2
kxn,i − yi kHi
≤ ε,
i∈I
gr
at
Definición 1.12.18.
tra
El espacio (H, k · k) descrito en la proposición 1.12.17 se llama
L suma
directa hilbertiana de los espacios {Hi : i ∈ I} y se denota con i∈I Hi .
El espacio H recibe también el nombre de suma ℓ2 de los
espacios
{Hi : i ∈ I}, utilizándose a veces la notación H = ℓ2 (Hi )i∈I .
Obsérvese que cada espacio Hi puede identificarse isomorfa e isométricamente con el subespacio de H formado por aquellos vectores que tienen nulas
todas las coordenadas distintas de la coordenada i, y desde esa perspectiva
puede considerársele como un subespacio de H. Además, con esa identificación los espacios Hi son mutuamente ortogonales en H y H coincide con la
clausura lineal cerrada de los espacios
P {Hi : i ∈ I}. De hecho cada x ∈ H se
expresa de forma única como x = i∈I xi con xi ∈ Hi .
Un caso particular de esta construcción, que además proporciona un recíproco de lo anterior, se presenta cuando la familia {Hi : i ∈ I} está formada
por subespacios cerrados mutuamente ortogonales de un espacio de Hilbert
dado H.
mu
es
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para n ≥ n0 en N, obtenida, una vez más, utilizando subconjuntos finitos
J ⊂ I y pasando al límite en m en la ecuación (1.42).
Proposición 1.12.19.
Sea H un espacio de Hilbert sobre K y sea {Hi : i ∈ I} una colección de
subespacios cerrados mutuamente ortogonalesLtales que span{Hi : i ∈ I} = H.
Entonces H es isométricamente isomorfo a i∈I Hi .
L
Demostración. Consideremos el subespacio de i∈I Hi definido por
o
n
M
F := (xi )i∈I ∈
Hi : {i ∈ I : xi 6= 0} es finito .
i∈I
99
1.12. Bases en espacios de Hilbert
P
Sea φ : F −→ H dada por φ((xi )i∈I
)
:=
i∈I xi . Claramente φ es lineal e
L
isométrica. Además F es denso en i∈I Hi y φ(F ) = span{Hi : i ∈ I} lo es
en H. Entonces φ puede extenderseLde forma única a una aplicación lineal
isométrica, que es sobreyectiva, de i∈I Hi en H.
El espacio ℓ2 (I): series de Fourier abstractas
tra
La definición del espacio ℓ2 de la página 35 se generaliza de forma natural
para un conjunto arbitrario I al espacio
n
o
X
ℓ2 (I) := (ai )i∈I ∈ KI :
|ai |2 < ∞ ,
i∈I
dotado del producto escalar
X
xi y i .
(xi )i∈I , (yi )i∈I =
mu
es
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gr
at
1.12.4.
ui
ta
En las condiciones de la proposición
anterior resulta cómodo, y es usual,
L
L identificar H con la suma directa i∈I Hi y escribir simplemente H = i∈I Hi .
i∈I
Obsérvese que tomando Hi = K, i ∈
LI, con su correspondiente producto
2
escalar, se tiene la igualdad ℓ (I) = i∈I Hi , y así, después de la proposición 1.12.17, el espacio ℓ2 (I) es de Hilbert.
El objetivo de esta sección es establecer que ℓ2 (I) constituye el modelo
canónico de espacio de Hilbert; o dicho de otra forma, que cualquier espacio
de Hilbert es isomorfo, como espacio de Hilbert, a ℓ2 (I), para un conjunto
I adecuado. Para establecer este resultado introducimos y estudiamos la
existencia de bases hilbertianas.
Proposición 1.12.20. Desigualdad de Bessel.
Sean H espacio prehilbertiano y (ei )i∈I un conjunto ortonormal en H.
Para cada x ∈ H se tiene
X
1/2
|hx, ei i|2
≤ kxk.
(1.43)
i∈I
100
1.12. Bases en espacios de Hilbert
Demostración. Para establecer (1.43) es suficiente probar que
X
i∈J
2
|hx, ei i|
1/2
(1.44)
≤ kxk,
ui
ta
gr
at
k∈J
o lo que es lo mismo, que la desigualdad (1.44) es cierta.
tra
Proposición 1.12.21.
Sean H un espacio prehilbertiano y (ei )i∈I un conjunto ortonormal en H.
Sea b : H −→ KI definida por x
b = (hx, ei i)i∈I . Entonces:
(i) La aplicación b tiene rango en ℓ2 (I), es lineal y continua de norma 1.
mu
es
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para cada J ∈ P0 (I). Para un tal J, si llamamos M := span{ei : i ∈ J} y
aplicamos la propiedad (ii) en la proposición 1.5.5 obtenemos que
X
0 ≤ d(x, M )2 = kxk2 −
|hx, ek i|2 ,
(ii) Si además H es un espacio de Hilbert la aplicación anterior es sobreyectiva sobre ℓ2 (I) (Teorema de Riesz-Fischer).
Demostración. La primera parte es una consecuencia directa de la desigualdad de Bessel (1.43). Veamos que b es sobreyectiva cuando H es un
2
espacio de Hilbert. En efecto,
P dado (ai )i∈I ∈ ℓ (I), la familia (ai ei )i∈I es sumable en H, puesto que ( i∈J ai ei )J∈P0 (I) verifica la condición de Cauchy,
como consecuencia de que para cada conjunto J ∈ P0 (I) se tiene
2 X
X
|ai |2 ,
ai ei =
i∈J
i∈J
después del teorema de Pitágoras 1.4.9. Definiendo x :=
que x
b = (ai )i∈I y la prueba termina.
P
i∈I
ai ei se tiene
La inyectividad de esta aplicación requiere condiciones adicionales en el
conjunto ortonormal que caracterizamos en el siguiente teorema. Un conjunto
ortonormal (ei )i∈I en un espacio de Hilbert H se dice maximal si no está
contenido propiamente en ningún otro conjunto ortonormal.
101
1.12. Bases en espacios de Hilbert
Teorema 1.12.22.
Sean H un espacio de Hilbert y (ei )i∈I un conjunto ortonormal en
H. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(i) (ei )i∈I es un conjunto ortonormal maximal.
(iii) (ei )i∈I es un conjunto total.
tra
gr
at
(iv) La aplicación b : H −→ ℓ2 (I) definida por x
b = (hx, ei i)i∈I es
inyectiva.
P
(v) Para cada x ∈ H se verifica x =
i∈I hx, ei iei (Desarrollo de
Fourier).
P
(vi) Para cada x, y ∈ H se tiene hx, yi = i∈I hx, ei ihy, ei i.
P
2
(vii) Para cada x ∈ H se tiene kxk2 =
i∈I |hx, ei i| (Identidad de
Parseval).
Demostración. Claramente (i)⇒(ii). Las afirmaciones (ii) y (iii) son equivalentes por el corolario 1.5.11. La afirmación (iv) es exactamente la afirmación (ii) expresada de otra forma. Veamos
P que (iv)⇒(v): puesto que
x
b = (hx, ei i)i∈I y una antiimagen de x
b es
i hx, ei iei , la inyectividad en
(iv) garantiza que (v) se da. La afirmación (vi) se sigue de (v) por la continuidad del producto escalar. Tomando x = y en la igualdad (vi) se tiene
(vii). Finalmente veamos cómo (vii)⇒(i): supongamos que M ⊂ H es un
conjunto ortonormal conteniendo a (ei )i∈I ; no puede haber un vector x ∈ M
que no sea uno de los eP
i porque si éste fuera el caso, la identidad de Parseval
nos daría 1 = kxk2 = i∈I |hx, ei i|2 = 0 lo cual es absurdo.
mu
es
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ui
ta
(ii) Si x ∈ H es tal que hx, ei i = 0, para todo i ∈ I, entonces x = 0.
Definición 1.12.23.
Sea H un espacio de Hilbert. Un conjunto ortonormal (ei )i∈I verificando una de las condiciones equivalentes de la proposición anterior (y
por tanto todas) se llama una base hilbertiana de H o sistema ortonormal completo.
Una aplicación sencilla del lema de Zorn garantiza que cualquier espacio
de Hilbert posee una base hilbertiana; de hecho, cualquier conjunto ortonor-
102
1.12. Bases en espacios de Hilbert
mal de vectores en H puede completarse para obtener una base hilbertiana
(ei )i∈I de H. El teorema 1.12.22 conduce al siguiente corolario.
ui
ta
Corolario 1.12.24.
Para cada espacio de Hilbert H existe un conjunto I y un isomorfismo
isométrico de H sobre ℓ2 (I).
Por otro lado se tiene
gr
at
tra
Demostración. Es claro que si I y J tienen el mismo cardinal se verifica
que ℓ2 (I) es isométricamente isomorfo a ℓ2 (J).
Recíprocamente, supongamos que T : ℓ2 (I) −→ ℓ2 (J) es un isomorfismo
topológico y que los espacios son de dimensión infinita (para el caso finito
dimensional el resultado es claro). Denotemos con (ei )i∈I y (εj )j∈J , respectivamente, las bases canónicas de ℓ2 (I) y ℓ2 (J). Para
S cada i ∈ I, el conjunto
Ai :=
6 0} es contable yS J ⊇ i∈I Ai . Pero, de hecho,
S {j ∈ J : hT ei , εj i =
J = i∈I Ai , puesto que si existiera j ∈ J \ i∈I Ai se tendría hT ei , εj i = 0,
para cada i ∈ I, y por tanto, hT x, εj i = 0, para cada x ∈ ℓ2 (I); entonces al
2
ser T isomorfismo topológico sería hy,
S εj i = 0, para todo y ∈ ℓ (J), lo cual es
absurdo. Así pues, card(J) = card i∈I Ai ≤ card(I). Con un razonamiento
simétrico se prueba que card(I) ≤ card(J).
mu
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Proposición 1.12.25.
El espacio de Hilbert ℓ2 (I) es topológicamente isomorfo a ℓ2 (J) si, y sólo
si, I y J tienen el mismo cardinal.
Combinando el corolario y la proposición anterior, se obtiene que todas
las bases hilbertianas de un espacio de Hilbert tienen el mismo cardinal. Esto
conduce a la siguiente definición.
Definición 1.12.26.
Se llama dimensión hilbertiana de un espacio de Hilbert H al cardinal
de cualquier base hilbertiana de H.
Los espacios de Hilbert con base numerable se conocen con el nombre de
espacios de Hilbert “clásicos” y son, precisamente, los separables; en ellos es
posible construir bases hilbertianas sin apelar al lema de Zorn, como veremos
en la prueba del siguiente resultado.
103
1.12. Bases en espacios de Hilbert
Proposición 1.12.27. Riesz-Fischer.
Sea H un espacio de Hilbert de dimensión infinita. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(i) La dimensión hilbertiana de H es ℵ0 .
ui
ta
(ii) H es isomorfo a ℓ2 .
(iii) H es separable.
gr
at
tra
La clasificación topológica de los espacios de Banach es mucho más compleja que la de los espacios de Hilbert. Kadec demostró en 1966 que todos los
espacios de Banach separables son homeomorfos a ℓ2 , [6, Corollary 9.1]. La
clasificación topológica de los espacios de Banach fue dada por Toruńczyk [69]
en 1981: dos espacios de Banach de dimensión infinita son homeomorfos si,
y sólo si, sus densidades son iguales.
Los resultados anteriores conducen al siguiente corolario.
mu
es
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Demostración. La equivalencia entre (i) y (ii) es consecuencia directa de
los últimos resultados. La implicación (ii)⇒(iii) es evidente. Para (iii)⇒(i)
basta observar que por ser H de dimensión infinita, de cualquier conjunto
(xn )n∈N denso en H se puede extraer una subsucesión (xnk )k∈N de vectores linealmente independientes tal que span{xn : n ∈ N} = span{xnk : k ∈ N}. Por
lo tanto span(xnk )k = H y mediante el procedimiento de ortonormalización
de Gram-Schmidt 1.4.10 aplicado a (xnk )k obtenemos una base hilbertiana
numerable de H.
Corolario 1.12.28.
Si Z es un subespacio cerrado de dimensión infinita de ℓ2 , entonces Z es
isomorfo a ℓ2 .
Durante mucho tiempo fue un problema abierto —Problema del espacio
homogéneo— el decidir si ℓ2 era el único espacio de Banach gozando de la propiedad anterior, es decir, la propiedad de ser isomorfo a todos sus subespacios
cerrados de dimensión infinita. En 1996 Gowers probó que, efectivamente, ℓ2
es el único espacio de Banach con esta propiedad, [30].
104
1.12. Bases en espacios de Hilbert
1.12.5.
Aproximación por polinomios
en espacios de funciones
ui
ta
En este apartado probamos el clásico teorema de Weierstrass de aproximación uniforme mediante polinomios de funciones continuas en un intervalo
compacto de R. La demostración que realizamos hace uso del siguiente teorema de Korovkin.
Teorema 1.12.29. Korovkin, 1953.
gr
at
f0 (t) = 1,
f1 (t) = t
y
f2 (t) = t2 ,
para cada t ∈ [a, b]. Para n = 1, 2, . . . , sea Pn : C([a, b]) → C([a, b])
lineal. Supongamos que:
tra
(i) Cada Pn es positivo, i.e., Pn (f ) ≥ 0, para n = 1, 2, . . . y cada
f ≥ 0 en C([a, b]).
(ii) Para m = 0, 1, 2 se tiene lı́mn→∞ kPn (fm ) − fm k∞ = 0.
mu
es
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Consideremos las funciones f0 , f1 y f2 definidas en [a, b] por
Entonces:
lı́m kPn (f ) − f k∞ = 0,
n→∞
(1.45)
para cada f ∈ C([a, b]).
Demostración. Es suficiente establecer la validez de (1.45) para funciones
con valores reales f ∈ C([a, b]). Tomemos pues f ∈ C([a, b]) con valores
reales y sea α > 0 tal que kf k∞ ≤ α. Para t, s ∈ [a, b] se tiene
− 2α ≤ f (t) − f (s) ≤ 2α.
(1.46)
Fijemos ε > 0. Como f es uniformemente continua en [a, b], existe δ > 0 tal
que para t, s ∈ [a, b] con |t − s| < δ se verifica
− ε ≤ f (t) − f (s) ≤ ε.
(1.47)
Fijado s ∈ [a, b], consideremos la función gs (t) = (t − s)2 . Si t, s ∈ [a, b] y
|t−s| ≥ δ, entonces gs (t) ≥ δ2 . Combinando las desigualdades (1.46) y (1.47),
se tiene
gs (t)
gs (t)
(1.48)
− ε − 2α 2 ≤ f (t) − f (s) ≤ ε + 2α 2
δ
δ
105
1.12. Bases en espacios de Hilbert
Como cada Pn es lineal y positivo, entonces
Pn (gs )
≤ Pn (f ) − f (s)Pn (f0 )
δ2
(1.49)
Pn (gs )
≤ εPn (f0 ) + 2α
δ2
Por hipótesis, Pn (f0 )(s) converge hacia 1 uniformemente en s ∈ [a, b]. Por
otro lado, Pn (gs )(s) converge uniformemente a cero en s ∈ [a, b], dado que
gs = f2 − 2sf1 + s2 f0 y consecuentemente
lı́m Pn (gs )(s) = lı́m Pn (f2 )(s) − 2sPn (f1 )(s) + s2 Pn (f0 )(s)
n→∞
2
gr
at
n→∞
= s − 2ss + s2 1 = 0
tra
uniformemente. Este último hecho junto con las desigualdades (1.49) permiten concluir ahora que Pn (f )(s) converge uniformemente hacia f (s) en
s ∈ [a, b].
El teorema de Korovkin puede utilizarse como herramienta para demostrar el teorema de Weierstrass que sigue.
mu
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ui
ta
−εPn (f0 ) − 2α
Teorema 1.12.30. Weierstrass, 1885.
El conjunto de los polinomios en una variable es denso en el espacio
(C([a, b]), k · k∞ ).
Demostración. Haciendo el cambio de variable t → a + t(b − a) podemos
suponer sin pérdida de generalidad que [a, b] = [0, 1]. Consideremos ahora
los operadores Bn : C([0, 1]) → C([0, 1]), n = 1, 2, . . . , dados por
n
k n
X
Bn (f )(t) =
tk (1 − t)n−k ,
(1.50)
f
n k
k=0
para f ∈ C([0, 1]) y t ∈ [0, 1]. La conclusión se obtiene probando que la
sucesión (Bn )n satisface las hipótesis del teorema 1.12.29. Ciertamente, cada
Bn es lineal y positivo y se tiene
Bn (f0 ) = f0 ,
Bn (f1 ) = f1 ,
Bn (f2 ) = (1 − 1/n)f2 + 1/nf1 ,
(1.51)
106
1.12. Bases en espacios de Hilbert
para n = 1, 2, . . . , lo que implica que lı́mn→∞ kBn (fm ) − fm k∞ = 0, para
m = 0, 1, 2. La validez de (1.51) se establece evaluando las funciones involucradas en t ∈ [0, 1]:
k=0
k
n
tk (1 − t)n−k = t + (1 − t) = 1;
tra
gr
at
n n
X
X
n−1 k
k n k
n−k
t (1 − t)
=
t (1 − t)n−k
Bn (f1 )(t) =
n k
k−1
k=1
k=1
n−1
X n−1
tk+1 (1 − t)(n−1)−k
=
k
k=0
n−1
X n − 1
tk (1 − t)(n−1)−k = t;
=t
k
k=0
n
X
k n−1 k
k 2 n k
n−k
t (1 − t)
=
t (1 − t)n−k
Bn (f2 )(t) =
k
n
n k−1
k=1
k=1
n h
i
X
(n − 1)(k − 1) 1 n − 1 k
+
t (1 − t)n−k
=
n(n − 1)
n k−1
k=1
n n (n − 1) X n − 2 k
1 X n−1 k
n−k
=
t (1 − t)
+
t (1 − t)n−k
n
n
k−2
k−1
n X
mu
es
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ui
ta
Bn (f0 )(t) =
n X
n
k=2
k=1
(n − 1) 2 1
t + t.
n
n
Obsérvese para terminar que cada Bn (f ) es un polinomio de grado n a lo
sumo (polinomio de Bernstein asociado a f ).
=
Planteado el problema de encontrar una sucesión explícita de polinomios
que aproximen a una función continua concreta y elegida a priori, aparece
todo un abanico de dificultades; algunas de éstas se ilustran a continuación
mediante diferentes figuras.
La primera figura ilustra la aproximación por polinomios de Bernstein;
se trata de un caso en el que la convergencia puede estimarse como lenta.
107
1.12. Bases en espacios de Hilbert
1
0.8
0.4
0.2
0
0.4
0.6
0.8
1
gr
at
0.2
Polinomios de Berstein de grados 4, 12 y 36
para la función f (x) = sen(πx) en [0,1].
tra
Aproximar funciones por polinomios de interpolación con nodos prefijados no es una buena estrategia, ya que fijada una sucesión de nodos de
interpolación en [a, b] siempre se puede encontrar una función f ∈ C([a, b])
cuyos polinomios de interpolación en los nodos dados no converge uniformemente hacia f . Las dos figuras siguientes muestran diferentes polinomios de
interpolación para la función f (x) = 1/(1 + 25x2 ) en [−1, 1], tanto con nodos
equidistantes como con nodos que son ceros de los polinomios de Čebyšev.
Nótese que, para esta función, la aproximación con nodos equidistantes es
peor y que, incluso aumentando el número de nodos (como en la segunda
figura) la aproximación empeora: fenómeno de Runge.
mu
es
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0
ui
ta
0.6
2
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-1
-0.5
0
0.5
1
Interpolación con elección de nodos equidistantes.
-0.5
-1
-0.5
0
0.5
1
Interpolación con ceros de los polinomios de Čebyšev como nodos.
108
1.12. Bases en espacios de Hilbert
Terminamos esta sección con un breve comentario sobre el teorema de
Čebyšev, [33,
p. 147-149], que nos asegura que, para cada función continua
f ∈ C [a, b] y cada n ∈ N, existe un único polinomio pn de grado, a lo más
n, tal que
1.12.6.
tra
gr
at
El algoritmo de Remes nos proporciona un método para calcular pn (es el
único polinomio de grado menor o igual que n que equioscila respecto de f en
n + 2 puntos distintos de [a, b]), véase [33, p. 144-157]. Conociendo a priori la
validez del teorema de Stone-Weierstrass, la sucesión de polinomios (pn )n así
obtenida converge uniformemente hacia f . Por tanto, dada cualquier función
continua f ∈ C([a, b]) siempre se puede encontrar una sucesión de nodos
de interpolación para la que la sucesión correspondiente de polinomios de
interpolación, converge uniformemente hacia f .
Series de Fourier en el espacio L2 ([−π, π])
mu
es
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ui
ta
kf − pn k∞ = mı́n{kf − qk∞ : q polinomio, a lo más, de grado n}.
Como veremos, el espacio L2K ([−π, π]) es separable y por tanto posee una
base hilbertiana numerable, de acuerdo con la proposición 1.12.27. En lo que
sigue vamos a describir una base de este espacio, que se encuentra ligada a
los orígenes de las series de Fourier clásicas.
Comenzaremos estableciendo, con ayuda del teorema de aproximación de
Weierstrass 1.12.30, que los polinomios trigonométricos son uniformemente
densos en el espacio vectorial de las funciones reales 2π-periódicas.
Definición 1.12.31.
Recibe el nombre de polinomio trigonométrico real cualquier función
p : R −→ R de la forma
p(x) :=
m
X
n=0
con an , bn ∈ R.
an cos(nx) + bn sen(nx)
109
1.12. Bases en espacios de Hilbert
Teorema 1.12.32. Weierstrass.
ui
ta
Si f : [−π, π] −→ R es una función continua con f (−π) = f (π),
entonces para cada ε > 0 existe un polinomio trigonométrico real p de
forma que kf − pk∞ < ε.
Demostración. Puesto que el conjunto de los polinomios trigonométricos
es un espacio vectorial y se tiene la identidad
gr
at
f (x) + f (−x) f (x) − f (−x)
+
= f1 (x) + f2 (x)
2
2
tra
donde f1 (x) := (f (x) + f (−x))/2 y f2 (x) := (f (x) − f (−x))/2 siendo f1 una
función par (es decir f1 (−x) = f1 (x)) y f2 una función impar (f2 (−x) =
−f2 (x)) que verifica f2 (0) = f2 (π) = 0, bastará probar el resultado para
funciones con las propiedades de f1 y f2 .
Caso 1. Supongamos que f es par en [−π, π]. Como φ : [−1, 1] −→ [0, π]
definida por φ(t) = arc cos t es una biyección estrictamente decreciente y
continua, la función f ◦ φ es también continua, y por tanto, fijado ε > 0
existe, por el teorema 1.12.30, un polinomio p de modo que se verifica
mu
es
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f (x) =
sup |f ◦ φ(t) − p(t)| < ε,
t∈[−1,1]
es decir, tal que
sup |f (x) − p(cos x)| < ε.
x∈[0,π]
Pero al ser f y cos funciones pares en [−π, π] también se verifica
sup |f (x) − p(cos x)| < ε.
x∈[−π,π]
Como p(cos x) es un polinomio trigonométrico, queda probado el lema para
las funciones pares.
Caso 2. Supongamos ahora que f es impar y que verifica f (0) = f (π) = 0.
En primer lugar, por la continuidad uniforme de f en [0, π], fijado ε > 0
existe η > 0 tal que si
x, x′ ∈ [0, π] y |x′ − x| < η, entonces |f (x′ ) − f (x)| < ε.
110
1.12. Bases en espacios de Hilbert
ui
ta
gr
at
Haciendo x′ := π(x − δ)/(π − 2δ), un sencillo cálculo muestra que es posible
elegir δ > 0 para que se tenga |x′ − x| < η siempre que x ∈ [δ, π − δ]. Para
esa elección de δ, se tendría
|f (x) − gδ (x)| < ε para todo x ∈ [0, π].
tra
Definiendo gδ en el intervalo [−π, 0] mediante gδ (x) = −gδ (−x) si x ∈ [−π, 0],
se tendría entonces que |f (x) − gδ (x)| < ε para x ∈ [−π, π], por ser f y gδ
funciones impares. Sea G : [−π, π] −→ R definida mediante
mu
es
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Por otra parte, como f es una función continua que se anula en 0 y π es
posible elegir δ0 > 0 con δ0 < mı́n{η, π} de modo que |f (x)| < ε para
x∈
/ [δ, π − δ], siempre que 0 < δ < δ0 . Para cada δ > 0 en las condiciones
anteriores sea gδ : [0, π] −→ R definida por
 f π(x − δ)
si δ ≤ x ≤ π − δ
gδ (x) :=
π − 2δ

0
en otro caso.
G(x) :=
gδ (x)
, si x ∈ (−π, π) y G(0) := 0.
sen x
Así definida, G es continua y par, por lo que, aplicando el Caso 1 ya demostrado, existe un polinomio trigonométrico p que verifica |G(x) − p(x)| < ε.
Pero entonces |gδ (x) − p(x) sen x| < ε y, de nuevo, p(x) sen x es un polinomio
trigonométrico, con lo que se ha probado el lema para funciones continuas
impares en [−π, π] que se anulan en 0 y π.
Sea f : [−π, π] −→ C una función integrable respecto a la medida de
Lebesgue en [−π, π] y para cada n ∈ Z sea
Z π
1
f (t)e−int dt.
(1.52)
fb(n) :=
2π −π
Definición 1.12.33.
El valor fb(n) anterior recibe el nombre de n-ésimo coeficiente de
Fourier de f .
111
1.12. Bases en espacios de Hilbert
La serie formal
X
n∈Z
fb(n)e−int
ui
ta
gr
at
tra
y las series formales
∞
X
1
a0 +
an cos(nt) + bn sen(nt) .
2
mu
es
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recibe el nombre de serie de Fourier de f .
También conviene considerar para una función f : [−π, π] −→ K integrable respecto a la medida de Lebesgue en [−π, π] los números
Z
1 π
f (t) dt
(1.53)
a0 :=
π −π
Z π
1
an :=
f (t) cos(nt) dt, n = 1, 2, . . .
(1.54)
π −π
Z
1 π
f (t) sen(nt) dt, n = 1, 2, . . .
(1.55)
bn :=
π −π
n=1
En el teorema que sigue se estudia la convergencia de ambos tipos de
series en el espacio L2 ([−π, π]).
Teorema 1.12.34.
Sean Σ y m la σ-álgebra y la medida de Lebesgue en [−π, π]. Sea
m
µ= m
π si K = R o bien µ = 2π si K = C.Entonces:
(i) La familia eint : n = 0, ±1, ±2, . . . es una base hilbertiana en el
espacio L2C ([−π, π], Σ, µ) que se conoce con el nombre de sistema
trigonométrico.
(ii) La familia 12 , cos(nt), sen(nt) : n ∈ N es una base hilbertiana
en el espacio L2R ([−π, π], Σ, µ).
P
(iii) Para cada f ∈ L2C ([−π, π], Σ, µ) es f (t) = n∈Z fb(n)eint en k · k2 .
(iv) Para cada f ∈ L2R ([−π, π], Σ, µ) es
112
1.12. Bases en espacios de Hilbert
f (t) =
X
1
an cos(nt) + bn sen(nt)
a0 +
2
n∈N
en k · k2 .
F (f ) = (fd
(n))n∈Z
gr
at
es un isomorfismo de espacios de Hilbert.
π
tra
Demostración. Basta demostrar que los conjuntos respectivos que se consideran en (i) y (ii) son bases hilbertianas, pues las otras afirmaciones son
consecuencias de este hecho y del teorema 1.12.22. Unos sencillos cálculos
prueban que
Z
ei(n−m)t dµ(t) = δn,m
−π
n, m ∈ Z.
Es decir, la familia (eint )n∈Z considerada en (i) es ortonormal en L2C [−π, π].
Recordando que
mu
es
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ui
ta
(v) La aplicación F : L2C [−π, π] −→ ℓ2 (Z) definida por
cos(nt) =
eint + e−int
,
2
sen(nt) =
eint − e−int
2i
(1.56)
se comprueba fácilmente que la familia considerada en (ii) también es ortonormal en L2R ([−π, π]).
Debido a que CK ([−π, π]) es denso en (L2K ([−π, π]), k · k2 ) y a que dados
una función continua f y ε > 0 es posible modificar f en las cercanías de −π
y π para obtener una función continua g con g(−π) = g(π) y kf − gk2 < ε, se
obtiene inmediatamente que las funciones continuas en [−π, π] que cumplen
f (−π) = f (π) son densas en (L2K ([−π, π]), k · k2 ).
Para el caso (ii), aplicando el teorema 1.12.32, se obtiene que los polinomios trigonométricos con coeficientes reales son densos en (L2R ([−π, π]), k·k2 ),
es decir, la familia considerada en (ii) es una base hilbertiana del espacio
L2R ([−π, π], Σ, µ).
Sea ahora f ∈ C[−π, π] con valores en C tal que f (−π) = f (π). Dado
ε > 0, separando las partes real (f1 ) e imaginaria (f2 ) de f existen, por
lo anterior, sendos polinomios trigonométricos reales p1 y p2 de modo que
113
1.12. Bases en espacios de Hilbert
kf1 − p1 k2 < ε/2 y kf2 − p2 k2 < ε/2; entonces p := p1 + ip2 es un polinomio
trigonométrico complejo, o sea, una suma del tipo
n
X
k=1
ak cos(kt) + bk sen(kt)
1.12.7.
gr
at
con ak , bk ∈ C, que cumple kf − pk2 < ε. Ahora bien, los polinomios trigonométricos complejos
pueden escribirse (usando las ecuaciones (1.56)) como
P
sumas del tipo nk=−n ck eikt , con ck ∈ C (y recíprocamente). Por tanto la
familia considerada en (i) es una base hilbertiana de L2C ([−π, π]).
Polinomios ortogonales
tra
Definición 1.12.35.
Sean I un intervalo cerrado de R y p : I → R una función, continua
en el interior de I, estrictamente positiva y tal que para cada entero no
negativo n = 0, 1, 2, . . . se tenga
Z
|t|n p(t)dt < ∞.
(1.57)
mu
es
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ta
a0 +
I
Esta función p se llama peso en I.
Proposición 1.12.36.
Si p es un peso en el intervalo I, entonces:
Z
2
Hp := f ∈ C(I) : |f (t)| p(t) dt < ∞
I
es un espacio vectorial y la fórmula
Z
hf, gi := f (t)g(t)p(t) dt,
I
para f, g ∈ Hp , define un producto escalar.
(1.58)
114
1.12. Bases en espacios de Hilbert
Demostración. De las desigualdades
2|a||b| ≤ |a|2 + |b|2
y |a + b|2 ≤ 2|a|2 + 2|b|2 ,
ui
ta
gr
at
tra
Por definición, si p es un peso en I, la sucesión de polinomios {tn }∞
n=0 está en Hp y, siendo una familia linealmente independiente, podemos aplicarle
el método de Gram-Schmidt, véase el lema 1.4.10, para obtener una familia
ortonormal {P0 , . . . , Pn , . . . } en (Hp , h·, ·i) que satisface
span{1, t, . . . , tn } = span{P0 , P1 , . . . , Pn },
para cada n = 0, 1, . . . Consecuentemente cada Pn es un polinomio. A la sucesión {P0 , P1 , P2 , . . . } se le llama sucesión de polinomios ortonormales asociada al producto escalar dado por (1.58) o simplemente asociada al peso p en I.
mu
es
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para a, b ∈ K, se sigue que Hp es un espacio vectorial y que h·, ·i está bien
definido. Por otro lado h·, ·i esRsesquilineal y definido positivo. Obsérvese que
si f ∈ Hp es tal que hf, f i = I |f (t)|2 p(t)dt = 0, la continuidad de f en I y
de p en el interior de I obligan a que |f (t)|p(t) = 0 para t en el interior de I.
Utilizando ahora que p es estrictamente positiva, y, de nuevo, la continuidad
de f en I, se obtiene que f = 0.
Proposición 1.12.37.
Sea {P0 , P1 , . . . , Pn , . . . } la sucesión de polinomios ortonormales en el
intervalo I asociada al peso p. Se tienen las siguientes propiedades.
(i) Cada Pn tiene coeficientes reales y es un polinomio de grado n.
(ii) Cada Pn es ortogonal al subespacio de polinomios de grado menor
que n.
(iii) Cada Pn tiene n raíces distintas e interiores a I.
Demostración. La propiedad (ii) se sigue de la definición de familia ortonormal y de (i). Para establecer la propiedad (i) basta tener en cuenta que
Pn , construido por el método de Gram-Schmidt (1.11), se obtiene normalizando el polinomio tn − qn (t) donde qn es la proyección ortogonal de tn sobre
115
1.12. Bases en espacios de Hilbert
I
gr
at
lo que implica que Pn cambia de signo en I porque p no lo hace. Por lo tanto
Pn tiene al menos una raíz que está en el interior de I. Sean t1 < t2 < . . . < tr
las r raíces de Pn interiores a I y que marcan los cambios de signo de Pn .
Nuestra demostración habrá terminado si probamos que r = n. Supongamos
que r < n. Si definimos
Q(t) = (t − t1 )(t − t2 ) . . . (t − tr ),
tra
t ∈ I, entonces el polinomio Pn Q no cambia de signo en I. Consecuentemente
Z
0 6= Pn (t)Q(t)p(t)dt = hPn , Qi,
I
mu
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ta
span{1, t, . . . , tn−1 }. La afirmación (iii) requiere un poco más de trabajo. Fijemos n = 1, 2, . . . y demostremos que Pn tiene n raíces simples en el interior
de I. La condición Pn ⊥ P0 significa que
Z
Pn (t)p(t)dt = 0,
lo que contradice (ii) y concluye la prueba.
Ejemplo 1.12.38. Para distintos pesos e intervalos se obtienen diferentes
familias de polinomios ortogonales que son útiles en Análisis Numérico y en
Ecuaciones Diferenciales.
Polinomios de Legendre. Es la sucesión de polinomios ortogonales asociados al peso p(t) = 1 en el intervalo I = [−1, 1]. El término general es
p
(2n + 1)/2 dn 2
(t − 1)n .
Pn (t) =
2n n!
dtn
Polinomios de Laguerre. Es la sucesión de polinomios ortogonales asociados al peso p(t) = e−t en el intervalo I = [0, +∞). El término
general es
et dn −t n
Pn (t) =
(e t ).
n! dtn
116
1.12. Bases en espacios de Hilbert
gr
at
Polinomios de Čebyšev. √
Es la sucesión de polinomios ortogonales asociados al peso p(t) = 1/ 1 − t2 en el intervalo I = [−1, 1]. El término
general es
Pn (t) = cos(n arc cos t),
donde arc cos es la determinación que envía [−1, 1] a [0, π].
tra
Proposición 1.12.39.
Si I es un intervalo compacto y p un peso en I, entonces la sucesión de
polinomios ortonormales {P0 , P1 , . . . , Pn , . . . } es total en Hp . En particular
los polinomios de Legendre forman una base hilbertiana de L2 ([−1, 1]).
Demostración. Si I = [a, b], entonces Hp = C([a, b]). Dada f ∈ C([a, b])
se tiene
Z b
1/2
Z b
1/2
kf k =
|f (t)|2 p(t) dt
≤ kf k∞
p(t) dt
= M kf k∞ . (1.59)
mu
es
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ui
ta
Polinomios de Hermite. Es la sucesión de polinomios ortogonales asocia2
dos al peso p(t) = e−t en el intervalo I = (−∞, +∞). El término
general es
2
et
dn
2
Pn (t) = 1/4 n 1/2 n e−t .
π (2 n!) dt
a
a
Si P es el conjunto de los polinomios restringidos a [a, b], sabemos que
P = span{P0 , P1 , . . . , Pn , . . . }
k·k∞
= C([a, b]) después del teorema de Weierstrass 1.12.30. La
y que P
k·k
= C([a, b]) y en consecuencia, la
fórmula (1.59) implica ahora que P
sucesión {P0 , P1 , . . . , Pn , . . . } es total.
Cuando [a, b] = [−1, 1] y p(t) = 1, los polinomios asociados, es decir los polinomios de Legendre, son una base de L2 ([−1, 1]) porque siendo
una familia total en C([−1, 1]) se tiene además que C([−1, 1]) es denso en
(L2 ([−1, 1]), k · k2 ).
Utilizaremos ahora las técnicas aprendidas anteriormente para obtener
valores aproximados en el cálculo de integrales definidas.
117
1.12. Bases en espacios de Hilbert
Nos planteamos la siguiente cuestión: dado un peso p en [a, b] y fijados
a ≤ t1 < t2 < . . . < tn ≤ b, queremos estudiar la existencia de constantes
A1 , A2 , . . . , An de forma que con algún criterio de aproximación se tenga
Z b
n
X
f (t)p(t)dt ≈
Ak f (tk ).
k=1
gr
at
El análisis de la existencia de las constantes Ak y cómo elegir los puntos
a ≤ t1 < t2 < . . . < tn ≤ b para que la aproximación sea buena se hace en la
proposición 1.12.40 y en los teoremas 1.12.41 y 1.12.42 que siguen.
tra
Proposición 1.12.40.
Si p es un peso en [a, b] y a ≤ t1 < t2 < . . . < tn ≤ b puntos distintos en
[a, b], entonces existen números A1 , A2 , . . . , An tales que la fórmula
Z b
n
X
Ak f (tk )
(1.60)
f (t)p(t)dt ≈
a
k=1
es exacta (una igualdad) para polinomios de grado menor que n.
mu
es
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ui
ta
a
Demostración. Para k = 1, 2, . . . , n sea ℓk el polinomio base de Lagrange
dado por
n
Y
t − tj
ℓk (t) :=
tk − tj
j=1,j6=k
Si y1 , y2 , . . . , yn son números dados, entonces el polinomio
P(yk )k (t) =
n
X
yk ℓk (t)
k=1
tiene grado menor que n, y satisface P(yk )k (tj ) = yj , para j = 1, 2, . . . , n
(polinomio de interpolación). Consecuentemente, si Q es cualquier polinomio
de grado menor que n se tiene que Q = P(Q(tk ))k , y por lo tanto
Z
b
Q(t)p(t) dt =
a
donde hemos definido Ak :=
Z
b
a
Rb
a
P(Q(tk ))k (t)p(t) dt =
n
X
Q(tk )Ak ,
k=1
ℓk (t)p(t) dt, para k = 1, 2, . . . , n.
118
1.12. Bases en espacios de Hilbert
Las fórmulas dadas en (1.60) se llaman fórmulas de cuadratura gaussiana.
Tomando los puntos a ≤ t1 < t2 < . . . < tn ≤ b convenientemente podemos
hacer que estas fórmulas sean exactas para polinomios de grado mayor que n.
En concreto podemos demostrar el siguiente resultado de Gauss.
ui
ta
Teorema 1.12.41. Gauss.
b
a
f (t)p(t) dt ≈
n
X
(1.61)
Ak f (tk )
k=1
tra
es exacta para polinomios de grado menor que n. Entonces: la fórmula es
exacta para polinomios de grado menor que 2n si, y sólo, {t1 , t2 , . . . , tn }
son los ceros del polinomio Pn .
Demostración. Es suficiente hacer la prueba para polinomios con coeficientes reales. Supongamos que {t1 , t2 , . . . , tn } son los ceros de Pn y que la
fórmula (1.61) es exacta para polinomios de grado menor que n. Sea P un
polinomio de grado menor que 2n. Haciendo la división entera de P por Pn
tendremos que P = Pn Q + R donde Q y R son polinomios, ambos con grado
menor que n. Por lo tanto
mu
es
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Z
gr
at
Sea p un peso en [a, b] y sea {P0 , P1 , . . . , Pn , . . . } la sucesión de polinomios ortonormales asociados a p en [a, b]. Fijado n ∈ N, consideramos
t1 < t2 < . . . < tn puntos interiores a [a, b] y supongamos que la fórmula
Z
b
P (t)p(t) dt =
a
=
Z
b
a
n
X
k=1
Pn (t)Q(t) + R(t) p(t) dt = hPn , Qi +
Ak R(tk ) =
n
X
Z
b
R(t)p(t) dt
a
Ak P (tk )
k=1
gracias a que hPn , Qi = 0 por la proposción 1.12.37.
Recíprocamente, supongamos que la fórmula (1.61) es exacta para polinomios de grado menor que 2n y demostremosQque {t1 , t2 , . . . , tn } son
los ceros de Pn . Definamos el polinomio P (t) := nj=1 (t − tj ). La fórmula (1.61) es válida, en particular, para cada polinomio Qm := Pm P , para
m = 0, 1, 2, . . . , n − 1, y por tanto se tiene que
119
1.12. Bases en espacios de Hilbert
Z
hPm , P i =
b
Qm (t)p(t) dt =
a
n
X
Ak Qm (tk ) = 0.
k=1
P =
n
X
hP, Pk iPk = hP, Pn iPn .
k=0
gr
at
De aquí se sigue que P y Pn tienen los mismos ceros y queda establecida la
equivalencia que queríamos demostrar.
tra
El teorema de Weierstrass 1.12.30 permite demostrar ahora que para toda
función continua sus fórmulas de cuadratura gaussiana (1.60) aproximan el
valor de la integral cuando el número de puntos involucrado es grande.
Teorema 1.12.42. Stieltjes.
Sea p un peso en [a, b] y sea {P0 , P1 , . . . , Pn , . . . } la sucesión de polinomios ortonormales asociados a p en [a, b]. Para cada n = 1, 2, . . .
sean tn1 < tn2 < . . . < tnn los ceros de Pn y sean An1 , An2 , . . . , Ann
los correspondientes coeficientes en la fórmula de cuadratura gaussiana (1.60). Entonces, para cada función f ∈ C([a, b]) se tiene
mu
es
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ui
ta
Esto significa que P ⊥ Pm , m = 0, 1, 2, . . . , n − 1. Al ser P un polinomio de
grado n se tiene P ∈ span{P0 , P1 , . . . , Pn } y en consecuencia
Z
b
f (t)p(t) dt = lı́m
n
a
n
X
Ank f (tnk ).
(1.62)
k=1
Demostración. Gracias al teorema de Gauss 1.12.41, para cada polinomio
Q de grado menor que 2n se tiene
Z b
n
X
Q(t)p(t) dt =
Ank Q(tnk ).
a
k=1
Aplicando
esta
Rb
Pn igualdad a la función constantemente igual a 1 se tiene que
p(t)
dt
=
k=1 Ank para cada n = 1, 2, . . . Dados f ∈ C([a, b]) y ε > 0 el
a
teorema de Weierstrass 1.12.30 nos asegura la existencia de un polinomio Q
tal que |f (t) − Q(t)| < ε si t ∈ [a, b]. Para todo n ∈ N tal que 2n sea mayor
que el grado de Q se verifica
120
1.12. Bases en espacios de Hilbert
Z b
Z b
Z b
n
X
f (t)p(t) dt −
Ank f (tnk ) ≤ Q(t)p(t)dt
f (t)p(t) dt −
a
a
k=1
b
p(t) dt +
a
Z
n
X
k=1
b
p(t) dt,
ui
ta
Z
= 2ε
n
n
X
X
f (t) − Q(t)p(t) dt + Ank f (tnk )
Ank Q(tnk ) −
k=1
|Ank | Q(tnk ) − f (tnk ) ≤ ε
a
Z
b
p(t) dt +
a
n
X
Ank ε
k=1
tra
ya que para todo n, k se cumple que Ank > 0. Efectivamente,
para cada n y
Q
para una constante adecuada an se tiene Pn (t) = an nk=1 (t − tnk ). Dado k
fijo, consideremos el polinomio P (t) := Pn (t)/(t − tnk ). P 2 es un polinomio
positivo, no nulo y de grado menor que 2n. Así, se tiene
mu
es
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≤ε
a
k=1
b
gr
at
≤
Z
a
a
k=1
Z b
n
X
+
Q(t)p(t) dt −
Ank f (tnk )
0<
Z
a
b
n
X
2
Anj (P (tnj ))2 = Ank (P (tnk ))2 ,
P (t) p(t) dt =
j=1
de donde se concluye que Ank > 0 y con ello la prueba.
1.12.8.
El espacio de Bergman: A2 (Ω)
Si Ω es un abierto del plano complejo C, H (Ω) denota el espacio de las
funciones holomorfas en Ω. Para una función holomorfa f ∈ H (D(a, r)) en
un disco del plano complejo, su desarrollo en serie de potencias
f (z) =
∞
X
n=0
an (z − a)n ,
z ∈ D(a, r),
(1.63)
converge uniformemente sobre compactos de D(a, r). Si cambiamos D(a, r)
por un abierto Ω ⊂ C que no sea un disco y tomamos un punto a ∈ Ω y
f ∈ H (Ω), sabemos que f se puede escribir como en (1.63) en el mayor
disco centrado en a y contenido en Ω. Esto significa que al cambiar el punto
121
1.12. Bases en espacios de Hilbert
a cambian los coeficientes (an )n . Parece natural preguntarse: dado Ω ⊂ C,
¿existe una sucesión de funciones wn ∈ H (Ω) (dependiendo sólo del abierto)
de forma que para cada f ∈ H (Ω) existan coeficientes únicos (an )n tales que
∞
X
an wn (z),
z ∈ Ω,
ui
ta
f (z) =
n=0
gr
at
Definición 1.12.43.
tra
Sea Ω ⊂ C un abierto del plano complejo. Definimos el espacio de
Bergman para Ω como
ZZ
2
2
|f (x + iy)| dx dy < +∞ .
A (Ω) := f ∈ H (Ω) :
mu
es
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siendo la serie uniformemente convergente sobre compactos de Ω?
En esta sección utilizamos técnicas de espacios de Hilbert para dar respuesta positiva a la cuestión anterior cuando tomamos funciones holomorfas
de cuadrado integrable. Remitimos a [59] para los conceptos de Análisis Complejo que se necesitan para la comprensión de esta sección.
Ω
El lema que sigue lo necesitamos para luego obtener las propiedades del
espacio de Bergman analizadas en la proposición 1.12.45.
Lema 1.12.44.
Sean Ω ⊂ C un abierto del plano complejo, M > 0 y
ZZ
2
|f (x + iy)| dx dy ≤ M .
F := f ∈ H (Ω) :
Ω
Entonces, F es una familia normal en Ω.
Demostración. Empezaremos probando que si D(a, R) ⊂ Ω y f ∈ H (Ω),
entonces
ZZ
1
2
|f (x + iy)|2 dx dy.
(1.64)
|f (a)| ≤
πR2
D(a,R)
P
n
Tomemos ρ > R con D(a, R) ⊂ D(a, ρ) ⊂ Ω y sea f (z) = ∞
n=0 an (z − a) ,
el desarrollo en serie de potencias de f en D(a, ρ). Haciendo un cambio a
polares en la integral que aparece en (1.64) se tiene
122
1.12. Bases en espacios de Hilbert
2
=
=
0
∞
X
X
n=0
Z R Z 2π
j=0 n+m=j 0
∞ Z R Z 2π
X
n=0 0
∞
X
= 2π
n=0
an r n einθ
|an |2
m=0
0
am r m e−imθ r dr dθ
an am r j+1 ei(n−m)θ dθ dr
0
2 2n+1
|an | r
0
0
∞
X
|f (a + reiθ )|2 r dr dθ
dθ dr = 2π
∞
X
n=0
2
|an |
r 2n+2
2n + 2
R
0
R2
R2n+2
≥ 2π|a0 |2
= π|f (a)|2 R2 .
2n + 2
2
tra
Para probar que F es normal es suficiente demostrar que dado un punto
arbitrario a ∈ Ω y fijado D(a, ρ) ⊂ Ω, entonces F está uniformemente
acotada sobre D(a, ρ/2). Veamos esto último. Si z ∈ D(a, ρ/2) entonces
D(z, ρ/2) ⊂ D(a, ρ) ⊂ Ω y así podemos utilizar (1.64) con z en lugar de a y
ρ/2 en lugar de R para concluir
ZZ
1
|f (z)|2 ≤
|f (x + iy)|2 dx dy
π(ρ/2)2
D(z,ρ/2)
ZZ
1
4
≤
|f (x + iy)|2 dx dy ≤ M
,
2
π(ρ/2)
πR2
Ω
mu
es
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=
0
∞
2π Z R X
2π Z R
gr
at
D(a,R)
Z
|f (x + iy)| dx dy =
Z
ui
ta
ZZ
para cada z ∈ D(a, ρ/2).
Dado un abierto Ω ⊂ C denotaremos por TK la topología en H (Ω) de
convergencia uniforme sobre compactos de Ω, véanse los ejemplos 3.5.16.
Proposición 1.12.45.
Sea Ω ⊂ C un abierto. La topología inducida por (L2 (Ω), k · k2 ) en A2 (Ω)
es más fina que la topología inducida por (H (Ω), TK ). El espacio A2 (Ω) es
un subespacio cerrado de (L2 (Ω), k · k2 ), y consecuentemente es un espacio
de Hilbert con el producto escalar inducido.
Demostración. Probaremos que toda sucesión (fn )n en A2 (Ω) que converge hacia f ∈ L2 (Ω) en k · k2 es convergente en (H (Ω), TK ) hacia alguna
123
1.12. Bases en espacios de Hilbert
ui
ta
D(a,r)
= lı́m fn
n
gr
at
f
D(a,r)
= lı́m fnj
j
en (L2 (D(a, r)), k · k2 ), tiene que ser g1
D(a,r)
D(a,r)
= lı́m fmk
= g2
k
D(a,r)
D(a,r)
, ya que ambas fun-
tra
ciones son continuas y casi iguales en D(a, r). Hemos probado, por tanto, que
g1 = g2 y así la sucesión (fn )n converge hacia alguna g en (H (Ω), TK ). Queda ahora como ejercicio sencillo para el lector entender que la demostración
ha terminado.
mu
es
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g ∈ H (Ω). Efectivamente, por el lema 1.12.44, como la sucesión (kfn k2 )n es
acotada, la familia {fn : n ∈ N} es normal, es decir, es TK -relativamente
compacta, [59]. Así, para probar que (fn )n converge en (H (Ω), TK ) es
suficiente ver que tiene un único punto de aglomeración: supongamos que
g1 , g2 ∈ H (Ω) son dos puntos de TK -aglomeración de (fn )n , es decir, suponemos que existen dos subsucesiones (fnj )j y (fmk )k de (fn )n tales que
g1 = lı́mj fnj y g2 = lı́mk fmk en (H (Ω), TK ). Para cada disco compacto
D(a, r) ⊂ Ω se tiene pues g1 (z) = lı́mj fnj (z) y g2 (z) = lı́mk fmk (z), uniformemente en z ∈ D(a, r). Como también verifica
El espacio A2 (Ω) es un espacio de Hilbert separable, porque L2 (Ω) lo es, y
en consecuencia tiene una base hilbertiana numerable. La respuesta positiva
a la cuestión con la que hemos abierto la sección la da el siguiente corolario.
Corolario 1.12.46.
Sean Ω ⊂ C abierto y {w1 , w2 , . . . , wn , . . . } una base hilbertiana de A2 (Ω).
Entonces, para cada f ∈ A2 (Ω) el desarrollo en serie de Fourier
f=
∞
X
hf, wn iwn
(1.65)
n=1
converge uniformemente sobre compactos de Ω.
Demostración. En la fórmula (1.65) la convergencia es en (A2 (Ω), k · k2 ).
Pero la proposición 1.12.45 garantiza que también se tiene convergencia uniforme sobre los compactos de Ω.
Para abiertos concretos Ω pueden darse bases hilbertianas específicas de
Para los discos D(a, R), los monomios ψn (z) = (z − a)n normalizados forman una base hilbertiana de A2 (D(a, R)) y el desarrollo en serie de
A2 (Ω).
124
1.12. Bases en espacios de Hilbert
potencias es (como cabría esperar) el desarrollo en serie de Fourier (1.65)
correspondiente.
Teorema 1.12.47.
ui
ta
Sean Ω ⊂ C abierto y A2 (Ω) con el producto escalar inducido por
Se tiene:
L2 (Ω).
(i) Si Ω = D(0, R), R > 0, entonces la sucesión {φ1 , φ2 , . . . , φn , . . . }
dada por
R−n z n−1 , z ∈ D(0, R),
gr
at
π
es una base hilbertiana de A2 (D(0, R)).
tra
(ii) Si Ω es simplemente conexo y distinto de C y f : Ω → D(0, 1) es un
isomorfismo conforme, entonces la sucesión {w1 , w2 , . . . , wn , . . . }
dada por
mu
es
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n 1/2
φn (z) :=
wn (z) :=
n 1/2
π
[f (z)]n−1 f ′ (z), z ∈ Ω,
es una base hilbertiana de A2 (Ω).
Demostración. Establezcamos
la validez de (i). Tomemos f ∈
P∞ primero
2
n
A (D(0, R)) y sea f (z) = n=0 an z su desarrollo en serie de potencias en
D(0, R). Tenemos las igualdades
ZZ
f (z)φm (z) dx dy
hf, φm i =
=
Z
0
=
=
=
D(0,R)
2π Z R
0
m 1/2
π
m 1/2
π
π 1/2
m
f (reiθ )
R
−m
Z
m 1/2
π
R
r
Z
m
0
0
R−m am−1
Z
0
Rm am−1 .
R−m r m−1 e−i(m−1)θ r dr dθ
R
∞
2π X
n inθ −i(m−1)θ
an r e
n=0
r m r m−1 2π dr =
e
m 1/2
π
!
dθ dr
R−m am−1
R2m
2π
2m
125
1.12. Bases en espacios de Hilbert
De lo anterior se sigue que si n 6= m, entonces hφn , φm i = 0 y para n = m es
π 1/2
n 1/2
hφn , φn i =
Rn
R−n = 1,
n
π
ui
ta
gr
at
tra
= (ux (z))2 + (vx (z))2 = |f ′ (z)|2 ,
z = x + iy ∈ Ω,
donde ux , uy , vx y vy son las derivadas parciales de u y v respecto de las
variables consideradas. Como por otra parte
mu
es
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y así queda establecida la validez de (i) dado que {φ1 , φ2 , . . . , φn , . . . } es
claramente total.
Veamos ahora (ii). De acuerdo con (i) la sucesión {φ1 , φ2 , . . . , φn , . . . }
donde
n 1/2
φn (z) :=
z n−1 , z ∈ D(0, 1),
π
es una base hilbertiana de A2 (D(0, 1)). El isomorfismo conforme f = u +
iv : Ω → D(0, 1) es un cambio de variable cuyo jacobiano, después de las
condiciones de Cauchy-Riemann, es
ux (z) uy (z)
= ux (z)vy (z) − vx (z)uy (z)
J(f (z)) = vx (z) vy (z) wn (z) = f ′ (z)φn (f (z)),
z ∈ Ω,
y |φn |2 ∈ L1 (D), por el teorema del cambio de variable A.3.10 se tiene
|φn ◦ f |2 J(f ) = |wn |2 ∈ L1 (Ω),
es decir, wn ∈ A2 (Ω). Por otra parte, efectuando de nuevo el cambio de
variable w = f (z), se tiene que para cada h ∈ A2 (Ω) será
ZZ
ZZ
h(z)φn [f (z)]f ′ (z) dx dy
h(z)wn (z) dx dy =
Ω
Ω
ZZ
h(z)
=
φn [f (z)]|f ′ (z)|2 dx dy
′
Ω f (z)
ZZ
(1.66)
(f −1 )′ [f (z)](h ◦ f −1 )[f (z)]φn [f (z)]|f ′ (z)|2 dx dy
=
Z ZΩ
(f −1 )′ [w](h ◦ f −1 )(w)φn (w) dx dy
=
D
= h(f −1 )′ (h ◦ f −1 ), φn iA2 (D) .
126
1.13. Ejercicios
Tomando ahora h = wm en las igualdades anteriores se concluye que
hwm , wn iA2 (Ω) = hφm , φn iA2 (D) ,
ui
ta
dado que (f −1 )′ (wm ◦f −1 ) = φm . Utilizando otra vez (i) obtenemos que la familia {w1 , w2 , w3 , . . . } es ortonormal en A2 (Ω). Para acabar la demostración
será suficiente ver que si h ∈ A2 (Ω) es tal que
hh, wn i = 0, n = 1, 2, . . . ,
(1.67)
gr
at
1.1
1.2
tra
1.13.
Ejercicios
Demuestre que sup |3x + 4y| : x2 + y 2 = 1 = 5.
mu
es
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entonces h = 0. Si (1.67) se da, entonces (1.66) dice que (f −1 )′ (h ◦ f −1 ) = 0
y como f es un isomorfismo conforme, se sigue que h = 0 y la demostración
acaba.
Sea (X, k · k) un espacio normado. Pruébese que si toda forma
lineal en X es continua, entonces X es de dimensión finita. ¿Es cierto el
recíproco? Razónese la respuesta.
√
1.3
Demuestre que sup |x + 4y + 9z| : |x|3 + |y|3 + |z|3 = 1 = 6 3 6.
Indicación. 36=1+8+27.
1.4
Sea g ∈ C[a, b] y considere la forma lineal L : C[a, b] −→ R definida
Rb
por L(f ) = a f (x)g(x) dx. Demuestre que L es continua y calcule su
norma.
Indicación. Suponga en primer lugar que g es positiva.
1.5
Sea (X, k · k) un espacio de Banach. Sea A ⊂ X un conjunto
absolutamente convexo (i.e. para cada x, y ∈ A y cada |λ| + |µ| ≤ 1,
entonces λx + µy ∈ A), cerrado y con la propiedad de que para cada
x ∈ X existe un n ∈ N tal que x ∈ nA. Pruébese que A es un entorno del
origen. ¿Es cierto el resultado si la última hipótesis sobre A se reemplaza
por la condición de que para todo x ∈ A existe r > 0 real, tal que
x ∈ rA?
127
1.13. Ejercicios
1.7
Demuestre que la aplicación T : (R2 , k.k2 ) −→ (C[0, 1], k.k∞ ) definida por T ((x, y)) = xf + yg, donde f (t) = cos πt y g(t) = sin πt, es
una isometría sobre su imagen.
1.8
Pruébese que si M es un subespacio métrico separable todos sus
subespacios lo son.
1.9
Pruébese que un espacio normado X es separable si, y sólo si,
existe una sucesión (xn ) tal que el espacio vectorial generado por ella es
denso en X.
1.10
Sean Y = {(xn ) ∈ ℓ1 : x2n = 0} y Z = {(xn ) ∈ ℓ1 : x2n = 21n x2n−1 }.
Pruébese que Y y Z son subespacios cerrados en ℓ1 pero que, sin embargo, Y + Z no es cerrado en ℓ1 .
1.11
Mostrar con un ejemplo que existen espacios normados y sucesiones decrecientes de conjuntos cerrados y acotados con intersección
vacía.
1.12
Pruébese que un subconjunto de un espacio de Banach X es relativamente compacto si, y sólo si, para cada ε > 0 existe un conjunto
relativamente compacto Kε en X tal que K ⊂ εBX + Kε .
tra
gr
at
ui
ta
Demuestre que en un espacio normado de dimensión infinita no
existe una medida numerablemente aditiva e invariante por traslaciones
que sea positiva y finita sobre las bolas, es decir, que goce de propiedades
análogas a las de la medida de Lebesgue en Rn .
mu
es
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1.6
1.13
Pruébese el siguiente teorema de Mazur: la envoltura convexa y
cerrada de un subconjunto compacto para la norma de un espacio de
Banach X es compacto para la norma.
1.14
Sea c el espacio de las sucesiones convergentes en K con su norma
del supremo y sea c0 el subespacio de las sucesiones convergentes a cero.
Sea e = (1, 1, ..., 1, ...). Pruébese que c es la suma directa topológica
de c0 y el espacio vectorial generado por el vector e. Calcúlese el dual
topológico de c.
1.15
Sean X e Y espacios normados y T : X → Y lineal con la propiedad
de que para cada sucesión (xn ) convergente a cero se verifica que (T xn )
es acotada. ¿Es T necesariamente continua?
128
1.13. Ejercicios
1.17
Sea X un espacio normado de dimensión infinita. Pruébese que:
(i) todo hiperplano de X es cerrado o denso;
(ii) existen hiperplanos densos.
1.18
Sea Y un subespacio de dimensión finita de un espacio normado
X. Pruébese que para cada x + Y ∈ X/Y existe z ∈ x + Y con kzk =
kx + Y k.
1.19
1.20
tra
gr
at
ui
ta
Sean X e Y espacios normados y T : X → Y una aplicación lineal.
Pruebe que las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(i) T es abierta.
(ii) Existe δ > 0 tal que {T x : kxk < 1} ⊃ {y ∈ Y : kyk < δ}.
(iii) Existe M > 0 tal que, dado y ∈ Y , existe x ∈ X de modo que
kxk ≤ M kyk y T x = y.
Deduzca: a) que si T es abierta, entonces T es sobreyectiva; b) que si
Y = R y T 6= 0, entonces T es abierta; c) que si T es abierta y continua
y X es un espacio de Banach, entonces Y también es un espacio de
Banach.
mu
es
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1.16
Sea M = {f ∈ C0 (R) : f (t) = 0 si t ∈ F } y F ⊂ R cerrado.
Pruebe que C0 (R)/M es isométricamente isomorfo a C0 (F ).
Sea H un espacio prehilbertiano.
(i) Describa todos los pares de vectores x, y tales que
kx + yk = kxk + kyk.
(ii) Describa todos los pares de vectores x, y tales que
kx + yk2 = kxk2 + kyk2 .
1.21
1.22
Sea (H, h·, ·i) un espacio de Hilbert y sea {Hi : i ∈ I} una colección
de subespacios cerrados mutuamente ortogonales. Para cada i ∈ I, sea
Pi : H −→ Hi la proyección ortogonal de H sobre Hi . Pruébese que para
cada x ∈ H el conjunto {i ∈ I : Pi (x) 6= 0} es a lo sumo numerable.
Pruebe que la norma en un espacio prehilbertiano real H es diferenciable en todos los puntos salvo en el origen y calcule su diferencial.
129
1.13. Ejercicios
1.24
Demuestre que si H1 y H2 son dos espacios de Hilbert, el espacio
de operadores lineales acotados L(H1 , H2 ) con su norma usual tiene
estructura de espacio de Hilbert si, y sólo si, H2 tiene dimensión 1.
1.25
Sea D = D(0, 1) el disco unidad en C. Utilice la estructura de C
como espacio de Hilbert complejo para demostrar que para cualquier
0 n
z0 ∈ ∂D y cualquier ε > 0, la sucesión fn (z) = ( z+z
2 ) converge uniformemente a 0 sobre D \ D(z0 , ε).
Indicación. |z + z0 |2 + |z − z0 |2 = 2|z|2 + 2|z0 |2 .
gr
at
tra
1.26
ui
ta
Sea X un espacio normado sobre R y sea S = {x ∈ X : kxk = 1} su
esfera unidad. Pruebe que las siguientes afirmaciones son equivalentes.
(i) X es un espacio prehilbertiano.
(ii) Cada subespacio de X de dimensión 2 es un espacio prehilbertiano.
(iii) Si P es un plano pasando por el origen, entonces P ∩S es una elipse
con centro el origen.
Sea E = C([−1, 1]) dotado del producto escalar inducido por el de
Calcúlese M ⊥ para los siguientes conjuntos:
L2 ([−1, 1]).
mu
es
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1.23
M1 = {f ∈ E : f (x) = 0 si x ≤ 0} M2 = {f ∈ E : f (0) = 0}
1.27
Pruebe que si (H, h·, ·i) es un espacio prehilbertiano, entonces la
e de H como espacio métrico es un espacio vectorial en
compleción H
el que existe un producto escalar cuya restricción a H coincide con el
producto escalar definido en H, siendo además la métrica de la complee por su producto escalar. H
e con ese
ción precisamente la inducida en H
producto escalar es pues un espacio de Hilbert que se conoce como la
compleción de (H, h·, ·i).
1.28
Sea H un espacio prehilbertiano y M un subespacio cerrado de H.
Pruebe que el espacio vectorial cociente H/M puede dotarse de una
estructura de espacio prehilbertiano.
1.29
Sea X = C 1 ([a, b]) el espacio de las funciones continuamente diferenciables en [a, b]. Para cada x, y ∈ X se define
Z b
x(t)y(t) + x′ (t)y ′ (t) dt.
hx, yi =
a
130
1.13. Ejercicios
ui
ta
(i) Pruebe que h·, ·i es un producto escalar en X.
(ii) Pruebe que la compleción de X es
H = x ∈ L2 ([a, b]) : x es absolutamente continua y x′ ∈ L2 ([a, b]) .
Indicación. Una función x : [a, b] −→ R es absolutamente continua
si, y sólo si, existe una función y ∈ L1 ([a, b]) tal que
t
gr
at
x(t) = x(a) +
y(s) ds,
a
Sean {x1 , x2 , . . . , xn } vectores linealmente independientes en un
espacio prehilbertiano (H, h·, ·i) y sean c1 , c2 , . . . , cn ∈ K. Sea el conjunto
M = {z ∈ H : hz, xj i = cj , j = 1, 2, . . . , n}. Demuestre que para
cada x ∈ H existe una única mejor aproximación y a M dada por
y = x+k1 x1 +· · ·+kn xn , donde k1 , . . . kn es la única solución del sistema


hx1 , x1 ik1 + hx2 , x1 ik2 + · · · + hxn , x1 ikn = c1 − hx, x1 i



 hx , x ik + hx , x ik + · · · + hx , x ik
= c2 − hx, x2 i
1 2 1
2 2 2
n 2 n

···



 hx , x ik + hx , x ik + · · · + hx , x ik = c − hx, x i
1 n 1
2 n 2
n n n
n
n
tra
1.30
siendo x derivable salvo en un conjunto de medida nula N ⊂ [a, b] y
x′ (t) = y(t) en [a, b] \ N .
mu
es
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Z
1.31
1.32
P
Sea (an )n una sucesión en [0, +∞) tal que ∞
n=1 an bn < +∞ para
cada sucesión (bn )n de números reales positivos que verifique (bn )n ∈ ℓ2 .
Pruebe que (an )n ∈ ℓ2 .
Sean a, b, c ∈ C. Pruebe que la función
Z 1
F (a, b, c) :=
|x3 − a − bx − cx2 |2 dx
−1
tiene un mínimo absoluto en C3 que además es único. Determínelo.
131
1.13. Ejercicios
1.34
Consideremos H = L2 ([−1, 1]) con su estructura usual de espacio
de Hilbert y sea un (t) = tn para n = 0, 1, . . . Aplicando a la sucesión
(un ) el procedimiento de ortonormalización de Gram-Schmidt se construye una sucesión (en ).
(i) Construya explícitamente los tres primeros términos de dicha sucesión.
(ii) Pruebe que (en ) es una sucesión de polinomios, llamada sucesión
de polinomios ortogonales de Legendre, que constituye una base
hilbertiana de H.
(iii) Pruebe que
ek (t) =
k
X
tra
gr
at
ui
ta
Sean (en ) y (fn ) sucesiones ortonormales en un espacio de Hilbert
y considere la matriz aij = hei , fj i. Demuestre que las filas y columnas de (aij ) son sucesiones con límite cero pero que la diagonal no es
convergente en general.
akj tj , con akk > 0 y tk =
mu
es
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1.33
k
X
bkj ej (t), con bkk > 0.
j=0
j=0
(iv) Pruebe que si Pn es un polinomio de grado n y hPn (t), tj i = 0, para
0 ≤ j < n, entonces Pn (t) = cn en (t) para cierto cn ∈ K.
dn
(v) Sea Pn (t) = n (t2 − 1)n . Utilizando integración por partes reitedt
radamente pruebe que hPn (t), tk i = 0, para 0 ≤ k < n, y concluya
que Pn (t) = cn en (t) con cn > 0.
(vi) Integrando por partes repetidas veces pruebe que
kPn k2 =
(n!)2 22n+1
(2n + 1)
y obtenga la siguiente fórmula diferencial para los polinomios de
Legendre
r
2n + 1 1 dn 2
(t − 1)n .
en (t) =
2 2n n! dtn
132
1.13. Ejercicios
1.36
Sean H1 y H2 espacios de Hilbert y sea H0 ⊂ H1 un subespacio.
Sea T0 : H0 −→ H2 lineal continua.
(a) Demuestre que existe T : H1 −→ H2 lineal continua que coincide
con T0 en H0 y que cumple kT k = kT0 k.
(b) Si H2 = K demuestre la unicidad de la aplicación lineal T considerada en el apartado anterior. ¿Hay unicidad en el caso general?
1.37
Sea (xn ) un conjunto ortogonal en un espacio de Hilbert H. Pruebe
que las siguientes afirmaciones son equivalentes.
P∞
(a)
n=1 xn converge en H.
P∞
(b)
n=1 hxn , yi converge para cada y ∈ H.
P∞
2
(c)
n=1 kxn k converge.
tra
gr
at
ui
ta
Considere para cada n ∈ N la función fn definida sobre [0, 1] como
fn (x) = −1 si la n-ésima cifra del desarrollo binario de x es un 0 y
fn (x) = 1 si la n-ésima cifra del desarrollo binario de x es un 1. Demuestre que fn está correctamente definida en casi todo punto y que
la sucesión (fn ) es ortonormal en L2 [0, 1] ¿Es (fn ) una base hilbertiana?
mu
es
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1.35
1.38
Sea H un espacio de Hilbert y sea (xn ) una sucesión acotada.
Pruebe que existe una subsucesión (xnk ) débilmente convergente a algún x ∈ H, es decir, tal que hxnk , yi −→ hx, yi para todo y ∈ H (esto
se expresa diciendo que la bola unidad de un espacio de Hilbert es débilmente sucesionalmente compacta).
Indicación. La sucesión hx1 , xn i es acotada en K y por tanto existe
una subsucesión de (xn ) que denotamos con (x1n ) tal que hx1 , x1n i converge. Aplicar la misma técnica a hx2 , x1n i y proceder recursivamente. La
sucesión diagonal (xnn ) tiene la propiedad requerida.
1.39
Sea X un espacio normado sobre K y sea B una forma sesquilineal
en X. Pruebe que:
(i) B es acotada si, y sólo si, es continua;
(ii) B satisface la siguiente identidad
2B(x, x) + 2B(y, y) = B(x + y, x + y) + B(x − y, x − y).
133
1.13. Ejercicios
1.40
Sea X un espacio prehilbertiano sobre K y sea B una forma sesquilineal y hermitiana continua en X. Pruebe que:
sup{|B(x, y)| : kxk = kyk = 1} = sup{|B(x, x)| : kxk = 1}
ui
ta
(1.68)
tra
B(x, y) = hx, T yi para todo x, y ∈ H.
1.42
Sea H un espacio de Hilbert y sean {xi : 1 ≤ i ≤ n} vectores
linealmente independientes de H. Cámbiese el producto escalar en H
para conseguir que H siga siendo un espacio de Hilbert y que los vectores
(xi ) sean ortogonales.
1.43
Sea (E, h·, ·i) un espacio prehilbertiano y sean x 6= y ∈ E de norma
unidad. Pruebe que para cada 0 < λ < 1 se tiene kλx + (1 − λ)yk < 1.
¿Cuál es el significado geométrico de esta propiedad en la bola unidad
BE = {x ∈ E : kxk ≤ 1} ?
mu
es
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Sean H un espacio de Hilbert sobre K y B un producto escalar
en H. Pruebe que las siguientes afirmaciones son equivalentes.
(i) El producto escalar B define la misma topología que el producto
escalar original de H.
(ii) Existe un isomorfismo de espacios de Hilbert T : H −→ H, unívocamente determinado, tal que
gr
at
1.41
1.44
Sea (xn ) una sucesión de vectores linealmente independientes en un
espacio de Hilbert H. Sea F el subespacio lineal cerrado que engendran y
sea Fn el subespacio engendrado por (xi )1≤i≤n . Sea x ∈ H y denotemos
con yn la mejor aproximación de x a Fn y con y la mejor aproximación
de x a F . Pruebe que y = lı́m yn .
1.45
Sea F un subespacio cerrado propio de un espacio de Hilbert H.
Pruebe que existe x ∈ H con kxk = 1 = d(x, F ).
1.46
y
Consideremos los subespacios
Lp = f ∈ L2 ([−a, a]) : f (t) = f (−t)
Li = f ∈ L2 ([−a, a]) : f (−t) = −f (t)
134
1.13. Ejercicios
lı́m kxnk − yk k = 0
k
tra
(ii) Toda sucesión débilmente convergente en H es acotada.
(iii) Sea (xn ) ⊂ H una sucesión débilmente convergente a x, entonces
existe una subsucesión (xnk ) tal que
xn 1 + xn 2 + · · · + xn k
lı́m
− x
=0
k
k
mu
es
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Sea H un espacio de Hilbert. Una sucesión (xn ) en H se dice
débilmente convergente a x ∈ H si lı́mn hxn , yi = hx, yi para cada y ∈ H.
Demuestre las siguientes afirmaciones.
(i) Si (xn ) ⊂ H es débilmente convergente a 0, entonces existe una
subsucesión (xnk ) y una sucesión ortogonal (yk ) tal que
gr
at
1.47
ui
ta
(i) Pruebe que Lp y Li son ortogonales y que Lp es el complementario
ortogonal de Li .
(ii) Encuentre las proyecciones ortogonales en estos espacios.
(iii) Encuentre la distancia de f (t) = t2 +t a estos subespacios. Encuentre la distancia de cualquier f ∈ L2 ([−a, a]) a estos subespacios.
(Propiedad de Banach-Saks).
1.48
Sea H un espacio de Hilbert y sea A ⊂ H con la propiedad de que
para y ∈ H se tiene que
α(y) = sup |hz, yi| : z ∈ A < +∞.
Demuestre que A es un conjunto acotado.
1.49
Sea X un espacio normado real y f : X −→ R tal que para todo
x, y ∈ X se tiene f (x + y) = f (x) + f (y). Pruebe que si f está acotada
en algún entorno del origen entonces f ∈ X ∗ .
1.50
Sea X un espacio de Banach. Pruébese que:
(a) Si (xn )n∈N es una sucesión en X convergente a cero, entonces la
envoltura absolutamente convexa y cerrada de (xn )n∈N es compacto
en norma y viene dada por
o
nX
X
an xn :
|an | ≤ 1 .
co{xn : n ∈ N} =
135
1.13. Ejercicios
Sea B una forma sesquilineal sobre un espacio de Hilbert complejo
y Q(x) = B(x, x) su forma cuadrática asociada. Demuestre que
ui
ta
1.51
(b) Si K ⊂ X es compacto para la norma, entonces existe una sucesión
(xn )n en X convergente a 0 tal que K está contenido en la envoltura
absolutamente convexa y cerrada de {xn : n ∈ N}.
3
1X n
i Q(x + in y)
B(x, y) =
4
n=0
gr
at
Sean H un espacio de Hilbert, M ⊂ H un subconjunto convexo
cerrado y x ∈ H.
(i) Pruebe que y ∈ M es la mejor aproximación de x a M si, y sólo si,
Rehx − y, w − yi ≤ 0 para todo w ∈ M .
(ii) Pruebe que si M es un subespacio, la conclusión Rehx−y, w−yi ≤ 0
es equivalente a (x − y) ⊥ M .
tra
1.52
mu
es
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¿Es posible recuperar una forma bilineal a partir de su forma cuadrática
en un espacio de Hilbert real?
1.53
Sea H un espacio de Hilbert y sea (xn ) una sucesión (o una red)
en H. Pruebe que las siguientes afirmaciones son equivalentes.
(i) (xn ) converge a x en H.
(ii) (hxn , yi) converge a hx, yi para cada y ∈ H y (kxn k) converge a kxk.
(iii) (hxn , yi) converge a hx, yi uniformemente en y ∈ {z ∈ H : kzk = 1}.
1.54
Demuestre que entre todas las curvas regulares cerradas y simples
en el plano, la circunferencia es la que encierra un área máxima. Proceda
del siguiente modo:
(i) Demuestre que si f es una función definida en un intervalo [0, 2π]
derivable, con derivada continua, entonces el desarrollo de Fourier de f ′ se obtiene derivando término a término el desarrollo de
Fourier de f .
(ii) Si s es el parámetro arco y L la longitud de la curva entonces
la curva admite una parametrización en función de t := s/L con
t ∈ [0, 1] dada por
136
1.13. Ejercicios
x(t) = a0 +
X
√ X
an cos 2πnt +
bn sin 2πnt
2
n≥1
n≥1
n≥1
n≥1
X
√ X
cn cos 2πnt +
dn sin 2πnt .
y(t) = c0 + 2
ui
ta
Deduzca que
Z 1
X
2
(x′ (t)2 + y ′ (t)2 ) dt =
4π 2 n2 (a2n + b2n + c2n + d2n ).
L =
0
gr
at
(iii) Muestre que el área A que la curva encierra satisface
A=
Z
x
X
dy
dt =
2πn(an dn − bn cn ).
dt
n≥1
tra
0
1
(iv) Muestre que L2 − 4πA ≥ 0 (desigualdad isoperimétrica) y que se da
la igualdad si, y sólo si a1 = d1 , b1 = −c1 an = bn = cn = dn = 0
para n ≥ 2. Siendo así que esta condición describe la ecuación de
una circunferencia.
mu
es
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n≥1
1.55
Calcule las estimaciones para las constantes Cn (S) correspondientes a los espacios (Rn , k·kp ), con p = 1 y p = ∞, similares a las obtenidas
en el lema 1.12.11 para la norma euclídea.
1.56
Demuestre el teorema de aproximación por polinomios de Weierstrass comprobando que para una función continua dada f ∈ C[0, 1], las
siguientes funciones
Z 1
n
−1
pn (x) = λn
1 − (t − x)2 f (t) dt,
0
R1
donde λn = −1 (1 − t2 )n dt, son polinomios de grado no superior a 2n
que convergen uniformemente a f en intervalos de la forma [δ, 1−δ] para
cualquier δ ∈ (0, 1/2).
Indicación. Observe que la operación que proporciona los polinomios
es prácticamente una convolución con una sucesión de Dirac.
ui
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gr
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Este libro es un curso de introducción al Análisis Funcional.
De entre las posibles elecciones al tema, los autores han
optado por los contenidos que habitualmente explican en sus
cursos de Análisis Funcional y que parece que otros docentes
comparten como pertenecientes a un curso de iniciación. Los
autores son miembros del grupo de Análisis Funcional de la
Universidad de Murcia y tienen amplia experiencia
investigadora y docente en la temática del libro. Creemos
que el contenido, nivel y forma de presentación de este texto
puede hacerlo especialmente útil tanto para estudiantes de
grado como para estudiantes de máster. No es fácil encontrar
un libro de Análisis Funcional con estas características que
vaya acompañado de una larga lista de ejercicios propuestos,
a cuyas soluciones, escritas por especialistas, se pueda
acceder a través de una aplicación web. A veces se pueden
encontrar ejercicios y sus soluciones en internet, pero no es
tan frecuente que las soluciones a problemas tenga autoría
reconocida y se puedan encontrar desde el propio libro.
ISBN 978-84-940688-2-9
9 788494 068829