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4.4 Naturaleza dual de los electrones: Ondas de De Broiglie
4.5 Espectro de átomo de hidrógeno. Modelo de Bohr
4.6 Ecuación de Schrödinger. Interpretación probabilística de la función de onda
4.4
Naturaleza dual de los electrones: Ondas de De Broglie
En el año 1924, físico francés, Louis-Victor de Broglie (1892-1987), formuló una hipótesis en la que afirmaba que el dualismo no es
una particularidad de los fenómenos ópticos solamente, sino que tiene un significado universal. «En la óptica-escribía el-durante siglos
fue demasiado despreciado el método corpuscular de estudio en comparación con el ondulatorio. ¿No se habrá cometido el error
inverso en la teoría sobre la materia?» Al suponer que las partículas materiales poseen propiedades ondulatorias junto con
propiedades corpusculares, de Broglie transfirió las mismas reglas de tránsito de un caso a otro, que se cumplen para la luz, al caso de
las partículas materiales. El fotón tiene una energía:
(4.4.1)
E     h 
y un momento lineal (impulso):
(4.4.2)
p  k  h 
Según la idea de de Broglie, el movimiento del electrón o de otra partícula cualquiera está relacionado con un proceso ondulatorio,
cuya longitud de onda es igual a
(4.4.3)
  h p  h mv
y cuya frecuencia es:
(4.4.4)
E
La hipótesis de de Broglie fue corroborada de forma
experimental tres años después para los electrones, con la observación
de los resultados del experimento de la doble rendija de Young en la
difracción de electrones en dos investigaciones independientes. En la
Universidad de Aberdeen, George Paget Thomson pasó un haz de
electrones a través de una delgada placa de metal y observó los
diferentes esquemas predichos. En los Laboratorios Bell, Clinton
Joseph Davisson y Lester Halbert Germer guiaron su haz a través de
una celda cristalina.
Davisson y Germer investigaron en el año 1927 la reflexión do
electrones en un mono cristal de níquel que tenía una estructura cúbica.
Un haz estrecho de electrones mono-energéticos era dirigido hacia la
superficie del monocristal. Los electrones reflejados eran capturados
por un electrodo cilíndrico unido con un galvanómetro (Fig. 4.4.1). La
intensidad del haz reflejado era valorada por la intensidad de la
corriente que fluía a través del galvanómetro. La velocidad de los
electrones y el ángulo  se variaban. La Fig. 4.4.1 ilustra la
Fig.4.4.1 Experimento de Davisson y Germer
dependencia de la intensidad de la corriente, medida por el galvanómetro,
del ángulo  a diferentes energías de los electrones. El eje vertical en los gráficos señala la dirección del haz incidente. La
intensidad de la corriente en la dirección dada se expresa por la longitud del segmento trazado desde el origen de coordenadas hasta la
intersección con la curva. En la figura se aprecia que la dispersión resultó particularmente intensa a determinados valores del ángulo
 . Este ángulo correspondía a la reflexión en los planos atómicos, la distancia d entre los cuales era conocida de las investigaciones
radiográficas. A un ángulo dado  la intensidad de la corriente resultó particularmente grande para la energía de electrones
incidentes 54eV. La longitud de onda correspondiente a esta energía calculada por la formula (4.3.3) es igual a 1.67Å. La longitud de
onda de Bragg quo cumple la condición 2d sin   n es igual a 1,65 Á- La coincidencia es tan sorprendente, que los experimentos
do Davisson y Germer se aprecian como una brillante corroboración de las ideas de de Broglie.
Viendo la fórmula (4.4.3) se aprecia fácilmente, que a medida que la masa del cuerpo o su velocidad aumentan, disminuye
considerablemente la longitud de onda. La ecuación de De Broglie se puede aplicar a toda la materia. Los cuerpos macroscópicos,
también tendrían asociada una onda, pero, dado que su masa es muy grande, la longitud de onda resulta tan pequeña que en ellos se
hace imposible apreciar sus características ondulatorias. De Broglie recibió el Premio Nobel de Física en 1929 por esta hipótesis.
Thomson y Davisson compartieron el Nobel de 1937 por su trabajo experimental.
Ejemplo. Calcúlese la longitud de onda de De Broiglie de una pelota cuya masa es 0.5kg y la velocidad 5m/s. ¿Por qué no es posible
observar sus propiedades ondulatorias?
Solución: m  0.5kg; v  5m / s;   h mv  6.626  1034 /  0.5  5  16.5  1034  m  1.65  1024 nm
Las propiedades ondulatorias correspondientes a esta longitud de no es posible observar, ya que no existe en el mundo ningún
obstáculo cuyo tamaño sea comparable con este valor tan pequeñísimo. Y como la longitud de onda es muchísimo inferior del tamaño
cualquier obstáculo existente (incluyendo micropartículas) es imposible observar propidades ondulatorias tales como interferencia,
difracción, etc.
Ejemplo. Electrón en el modelo clásico está rotándose alrededor del núcleo con una velocidad de orden 5000km/s. Encuéntrese
longitud de onda de De Broiglie correspondiente


Solución. m  9.1  1031 kg; v  5  106 m / s;   h mv  6.626  1034 / 9.1  1031  5  106  1.46  1010  m   0.146nm Esta longitud
de onda es aproximadamente tres veces mayor que el radio de Bohr (correspondiente al tamaño típico de los átomos) y por eso
electrón al interactuar con los átomos puede manifestar sus propiedades ondulatorias.
4.5
Espectro de átomo de hidrógeno. Modelo de Bohr
Ernest (Lord) Rutherford (1871 – 1937)
Lord Rutherford tuvo una profunda influencia en el desarrollo de la física en los últimos cien años, y de él
se ha dicho que era el padre de la física nuclear. Contribuyó sustancialmente en el entendimiento de la
desintegración radioactiva, identificando la partícula alfa como un átomo de helio, por lo que recibió el
Premio Nobel de Química en 1908 (quizás algo irónico porque tenía un cierto desprecio hacia cualquier
ciencia que no fuera la Física, atribuyéndole la frase "Toda ciencia o es Física o es coleccionar sellos").
Quizás su contribución más importante a las físicas fue su investigación sobre la dispersión de rayos alfa,
y la naturaleza de la estructura interna del átomo que causa esta dispersión. Esta investigación le condujo a
su concepto del núcleo. Según él, prácticamente toda la masa del átomo, y al mismo tiempo toda su carga
positiva están concentradas en un pequeñísimo espacio en el centro. Durante su último año en Manchester
descubrió que los núcleos de ciertos elementos ligeros como nitrógeno podrían desintegrarse mediante el
impacto de partículas alfa de alguna fuente radioactiva, y durante este proceso se emiten protones. Más
tarde se demostró que el nitrógeno en este proceso se transforma en un isótopo de oxígeno, así que
Rutherford era el primero en transmutar, deliberadamente, un elemento en otro, por una reacción nuclear.
El modelo clásico de átomo de hidrogeno propuesto en 1913 por Rutherford, en la base experimental, en el cual electrón esta
girándose alrededor del núcleo cargado positivamente, entró en contradicción con las leyes de la mecánica clásica y la
electrodinámica. En vista de que un sistema de cargas .inmóviles no puede encontrarse en estado estable, Rutherford inicialmente se
vio obligado a renunciar al modelo estático del átomo y suponer que los electrones se mueven alrededor del núcleo, describiendo
trayectorias circulares. Pero en este caso, el electrón se moverá con aceleración, y por consiguiente según la electrodinámica clásica
deberá emitir continuamente ondas electromagnéticas. El proceso de emisión conlleva a la pérdida de energía, de manera que el
electrón deberá, a fin de cuentas, caer en el núcleo. Con el fin de resolver esta contradicción Rutherford en el mismo año invito al
joven físico danés Nils Bohr, quien encontró la solución del desconcierto creado, aunque al precio de introducir suposiciones que
contradecían las concepciones clásicas.
Las suposiciones hechas por Bohr están contenidas en los tres postulados enunciados por él:
1.
De la cantidad infinita de órbitas electrónicas que son posibles desde el punto de vista de la mecánica clásica, son
estacionarias sólo algunas discretas que cumplan determinadas condiciones cuánticas. El electrón que se encuentre en una de estas
órbitas, a pesar de su movimiento con aceleración, no emite ondas electromagnéticas.
2.
Son estacionarias las órbitas para las cuales el momento angular del electrón L  r  mv cumple la condición:
(4.5.1)
M  r  mv  n  ; n  1, 2,3,
3.
La radiación se emite o se absorbo en forma de cuanto de luz de energía h , al pasar el electrón de un estado estacionario
(estable) a otro. La magnitud del cuanto de luz es igual a la diferencia de energía de aquellos
estados estacionarios entre los cuales se realiza el salto cuántico de electrón:
h  En  Em
(4.5.2)
El segundo postulado de Bohr se entiende de manera fácil considerando electrón no como
una partícula sino como una onda de De Broiglie y la ‘0rbita circular como guía para esta onda.
Una onda que se propaga a lo largo de una guía puede ser estacionaria solo cuando su trayectoria
circular cumple las condiciones periódicas según las cuales la longitud de la circunferencia
L  2 r es igual a un número entero de las longitudes de onda de De Broiglie, L  n   (ver Fig.
4.5.1). Esta condición enseguida conduce al postulado (4.5.1) teniendo en cuenta que la longitud
de onda de De Broiglie es igual a   h mv .
La fórmula (4.5.1) se llama la regla de cuantización de Bohr, la cual nos permite
encontrar los parámetros de las órbitas desconocidas, tales como los radios de órbitas rn
velocidades de movimiento del electrón v n sobre estas órbitas y las energías En
Fig. 4.5.1 Representación del
movimiento
de electrón en átomo de
correspondientes. Las dos ecuaciones que definen valores rn y v n son: la regla de cuantización
hidrogene en forma de onda de De
(4.5.1) y la segunda Ley de Newton aplicada al movimiento circular bajo la fuerza de atracción
Broiglie
electrostática dada por Ley de Coulomb, es decir rn  mvn  n  y mv2n rn  e2 4 0 rn2 . Aquí
y en adelante e y m son carga eléctrica y masa de electrón. Expresando desde la primera de las ecuaciones la velocidad en términos
del radio vn  n  mrn y sustituyendo esta expresión en la segunda se encuentra los radios de las órbitas correspondientes:
rn  n2  a0 ;
a0  4 0
2
me2 ;
n  1, 2,3,
(4.5.3)
Aquí el valor a0 se llama el radio de Bohr:
1
2 
2
31
19
11
(4.5.4)
a0  9  109
1.054  1034
 9.1  10  1.6  10
  5.3  10 m  0.053nm  0.53Å


De esta manera, el radio de la primera órbita en el modelo de Bohr es r1  a0 , de la segunda r2  4a0 , de la tercera r3  9a0 ,
etc. Estos son radios de las órbitas estacionarias que satisfacen las condiciones: en la primera cabe solo una onda de De Broiglie, en la
segunda caben dos ondas de De Broiglie, etc. Ahora definimos las energías correspondientes a estas órbitas estacionarias para
demostrar que éstas pueden cambiarse sólo en una forma discreta.
Las
velocidades
correspondientes
a
cada
órbita
son
iguales
a
donde
vn  n  mrn  v0 n ;

v0 
 






ma0  1.054  1034 / 9.1  1031  5.3  1011  2  106 m / s  2000km / s . Es decir, las velocidades para las órbitas superiores
son menores que de las inferiores, el mayor el número de órbita menor es la velocidad de electrón en ella. La energía total de átomo
de hidrogeno está compuesta por dos términos, por la energía cinética, que es positiva Kn  mvn 2 2 y la energía potencial originada
por la atracción electrostática entre núcleo y electrón, U n   e2 4 0 rn (negativa). Es decir, En  Tn  U n  mvn 2 2  e2 4 0rn .
Reemplazando en esta fórmula rn y v n por las expresiones encontradas se obtiene la formula final para niveles energéticos de átomo
de hidrogeno en el modelo de Bohr:
Ry
e2
(4.5.4)
; Ry 
 2.176  1018 J  13.6eV
2
8

a
n
0 0
Según el tercer postulado de Bohr otra; la diferencia de energía entre los dos niveles es
emitida o absorbida en forma de un cuanto de luz (fotón) de energía h , siendo  la frecuencia
de la radiación emitida o absorbida. Se realiza una emisión cuando el átomo pasa de un estado de
mayor energía a uno de menor energía y absorción cuando es a la inversa (ver Fig. 2.1.9).
Consideremos una transición entre orbitas con los números n y m , suponiendo que n  m .
Aplicando las formulas (4.5.2) y (4.5.4) la energía de fotón (emitido u absorbido)
1 
 1
(4.5.5)
h  Em  En  Ry  2  2 
n 
m
Fig.4.5.2 Diagrama de transiciones
Teniendo en cuenta que   c  se puede encontrar la longitud de onda de la línea
electrónicas en el modelo de Bohr.
espectral correspondiente a la transición n
m . Adicionalmente si fijamos uno de los dos
números de la órbita (por ejemplo m , obtenemos grupos de líneas denominados «series espectrales». Por ejemplo, para el hidrógeno
tenemos las series:
1 Ry  1 1 
1 1 
Serie de Lyman m  1;


;   91nm  2  2  ; n  2,3, 4,
 h  c  12 n2 
1 n 
1 Ry  1
1 
1 
 1
Serie de Balmer m  2;


;   91nm  2  2  ; n  3, 4,5
 h  c  22 n2 
n 
2
1 Ry  1
1 
1 
 1
Serie de Pashen m  3;


;   91nm  2  2  ; n  3, 4, 5,
 h  c  32 n2 
n 
3
En  
h  c  19.9  1026  J  m  1.24  106  eV  m  ; h  c Ry  9.1  108 m  91nm
Los límites de cada serie son los valores de longitudes de onda se obtienen
uno cuando n en estas fórmulas tiende a infinito y otro cuando n adquiere una
magnitud mínima posible. Por ejemplo, para la serie de Lyman los límites son 91nm
 n  
y 121nm  n  2  , para la serie de Balmer los límites son 364nm
 n  
y
655nm  n  3 , para la serie de Pashen los límites son 815nm  n    y 1873nm
 n  4 , etc.
Cada una de las series representa un número infinito de líneas que se
van acumulando, una tras otra, en la medida que se van acercando al límite inferior de
la serie. Cuando se ha llegado al límite, la energía alcanza el valor necesario para
ionizar el átomo a partir del nivel m . La serie de Lyman cae en el UV lejano. La
serie de Balmer se halla en la región visible del espectro y sus líneas son muy intensas
Fig.4.5.3 Diagrama de los niveles
en muchas estrellas; por ese motivo de intensidad de las líneas, para los astrónomos,
de energía de átomo de hidrogeno
esta serie se encuentra dentro de las más importantes.
Los niveles posibles de energía de un átomo, y las transiciones que dan origen
a las líneas espectrales, los podemos representar a través del diagrama de los niveles de energía. Las energías positivas E  0 en este
diagrama corresponden a los electrones libres y el espectro es continuo, mientras que las energías negativas a los estados enlazados y
el espectro es discreto.
4.6
Ecuación de Schrödinger. . Interpretación probabilística de la función de onda
Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887-1961), físico austriaco quien inventó la ecuación de
onda en 1926, que tiene su nombre, la cual es la base de la mecánica cuántica. La ecuación de Schrödinger
describe matemáticamente el comportamiento de los electrones y los átomos. Recibió el Premio Nobel de
Física en 1933 por haber desarrollado esta ecuación, que describe la evolución temporal de una partícula de
tamaño microscópico. Es de importancia central en la teoría de la mecánica cuántica, donde representa para las
partículas microscópicas un papel análogo a la segunda ley de Newton en la mecánica clásica. Las partículas
microscópicas incluyen a las partículas elementales, tales como electrones, así como sistemas de partículas,
tales como núcleos atómicos.
Como hemos visto en las secciones anteriores, al comienzo del siglo XX se había comprobado que la luz
presentaba una dualidad onda-corpúsculo, es decir, la luz se podía manifestar según las circunstancias como
partícula (fotón en el efecto fotoeléctrico o radiación de un cuerpo negro), o como onda electromagnética en la interferencia luminosa.
En 1923 Louis-Victor de Broglie propuso de generalizar esta dualidad a todas las partículas conocidas. Propuso la hipótesis,
paradójica en su momento, de que a toda partícula clásica microscópica se le puede asignar una onda, lo cual se comprobó
experimentalmente en 1927 cuando se observó la difracción de electrones. La ecuación de onda unidimensional asociada con la
partícula que se propaga a lo largo de eje X de Broglie presentó en la forma
(4.6.1)
  x, t   exp i  k  x    t 
Por analogía con los fotones, De Broglie asocia a cada partícula libre con energía E y cantidad de movimiento p una frecuencia ν y
una longitud de onda λ:
 E  h    ;  h 2 ;   2
(4.6.2)

k  2 
 p  h    k;
La comprobación experimental hecha por Davisson y Germer mostró que la longitud de onda asociada a los electrones medida en la
difracción según la fórmula de Bragg se correspondía con la longitud de onda predicha por la fórmula de De Broglie. Teniendo en
cuenta las relaciones (4.6.2) ecuación de onda (4.6.2) se puede reescribir como:
(4.6.3)
  x, t   exp i  p  x  E  t  
Schrödinger trató escribir una ecuación diferencial para la onda asociada de De Broglie calculando las derivadas parciales
i
2

 2
p2
 E ; 

 . Teniendo en cuenta que la energía mecánica total es una suma de las energías cinética y potencial
t
2m x 2 2m
E  K  V r  
p2
 V  r  , se obtiene la ecuación diferencial de Schrödinger para un movimiento unidimensional
2m
2

 2
(4.6.4)

 V  x 
t
2m x 2
El éxito de la ecuación, deducida de esta expresión utilizando el principio de correspondencia, fue inmediato por la evaluación de los
niveles cuantificados de energía del electrón en el átomo de hidrógeno, pues ello permitía explicar las rayas de emisión del hidrógeno:
series de Lyman, Balmer, Paschen, etc. La interpretación física correcta de la función de onda de Schrödinger fue dada en 1926 por
Max Born. En razón del carácter probabilista que se introducía, la mecánica ondulatoria de Schrödinger suscitó inicialmente la
desconfianza de algunos físicos de renombre como Albert Einstein, para quien «Dios no juega a los dados».
Sin embargo, para nuevas áreas de ingenierías que surgieron en siglo XX tales como la energética nuclear, micro- y
optoelectrónicas la Mecánica Cuántica sirvió como una base teórica y como una rama de Física alternativa a la Mecánica Clásica que
permite en una forma matemáticamente rigurosa describir el comportamiento de micropartículas cuando estas manifiestan su
naturaleza dual. En realidad, la Mecánica Cuántica debería con mayor exactitud llamarse la Mecánica Ondulatoria en la cual las
partículas se describen a través de sus funciones de onda. A partir de esa función, o función de ondas, se extraen teóricamente todas
las magnitudes del movimiento necesarias
Las suposiciones más importantes de esta teoría son las siguientes:
 Al ser imposible fijar a la vez la posición y el momento de una partícula, se renuncia al concepto de trayectoria, vital en
mecánica clásica. En vez de eso, el movimiento de una partícula queda regido por una función de ondas que asigna, a cada
punto del espacio y a cada instante, la probabilidad de que la partícula descrita se halle en tal posición en ese instante.
 La función de onda para cualquier sistema se encuentra como una solución de la ecuación de Schrödinger. Existen dos tipos
de estas soluciones, unos que describen las ondas viajeras y otras las ondas estacionarias. Las primeras describen los
estados extendidos o libres y los segundos estados enlazados (o ligados),
 Las energías de los estados extendidos (o ondas viajeras) se variarse en forma continua y el espectro energético de estos
estados es continuo.
 Las energías de los estados ligados correspondientes a las ondas estacionarias se varían a saltos, y el espectro energético de
los estados ligados es discreto.
 La energía no se intercambia de forma continua en un estado ligado, sino en forma discreta lo cual implica la existencia de
paquetes mínimos de energía llamados cuantos, mientras en los estados no ligados la energía de intercambio se comporta
como un continuo.
i
Aunque la estructura formal de la Mecánica Cuántica está bien desarrollada, y sus resultados son coherentes con los experimentos, no
sucede lo mismo con su interpretación, que sigue siendo objeto de investigación
Actualmente, entre los físicos es convencional la interpretación probabilística de la ecuación de onda
propuesta por Max Born quien fue un matemático y científico alemán. Ganó el Premio Nobel de Física
en 1954, compartido con el físico alemán Walter Böthe. Max Born contribuyó de forma importante al
desarrollo de la mecánica cuántica llegando a ser quien por primera vez acuñó este término. La
interpretación de Born de la mecánica cuántica establece que el único aspecto observable de la función
de onda es su cuadrado y que éste representa una densidad de probabilidad de encontrar a la partícula en
una región del espacio
A principios de la década de 1930 Max Born que había trabajado junto con Werner Heisenberg
y Pascual Jordan en una versión de la mecánica cuántica apreció que la solución de la ecuación de
Schrödinger en cada punto x tiene una característica dada por   x, y, z, t 
2
que se conserva y que
podía ser interpretada como una densidad de probabilidad. Born le dio a la función de onda una
interpretación probabilística diferente de la que De Broglie y Schrödinger le habían dado, y por ese trabajo recibió el premio Nobel en
1954. De ese modo se abandonó el enfoque de la función de onda como una onda material, y pasó a interpretarse de modo más
abstracto como una amplitud de probabilidad. Este punto de vista fue aceptado en un Congreso de Físicos Internacional y es
conocido como la Interpretación de Copenhague.
Según esta interpretación la Mecánica Cuántica describe el estado instantáneo de un sistema (estado cuántico) con una
función de onda que codifica la distribución de probabilidad de todas las propiedades medibles, u observables. Algunos observables
posibles sobre un sistema dado son la energía E , posición r , momento p y momento angular L . La mecánica cuántica no asigna
valores definidos a los observables, sino que hace predicciones sobre sus distribuciones de probabilidad. Las propiedades ondulatorias
de la materia son explicadas por la interferencia de las funciones de onda.
Estas funciones de onda pueden variar con el transcurso del tiempo. Esta evolución es determinista si sobre el sistema no se
realiza ninguna medida aunque esta evolución es estocástica y se produce mediante colapso de la función de onda cuando se realiza
una medida sobre el sistema. Por ejemplo, una partícula moviéndose sin interferencia en el espacio vacío puede ser descrita mediante
una función de onda que es un paquete de ondas centrado alrededor de alguna posición media. Con el tiempo, el centro del paquete
puede trasladarse, cambiar, de modo que la partícula parece estar localizada más precisamente en otro lugar. La evolución temporal
determinista de las funciones de onda es descrita por la Ecuación de Schrödinger.
Algunas funciones de onda describen estados físicos con distribuciones de probabilidad que son constantes en el tiempo,
estos estados se llaman estacionarios, que son llamados estados propios y tienen energía bien definida. Muchos sistemas que eran
tratados dinámicamente en mecánica clásica son descritos mediante tales funciones de onda estacionarios. Por ejemplo, un electrón en
un átomo sin excitar se dibuja clásicamente como una partícula que rodea el núcleo, mientras que en mecánica cuántica es descrito por
una nube de probabilidad estática que rodea al núcleo.
Cuando se realiza una medición en un observable del sistema, la función de ondas se convierte en una del conjunto de las
funciones llamadas funciones propias o estados propios del observable en cuestión. Este proceso es conocido como colapso de la
función de onda. Las probabilidades relativas de ese colapso sobre alguno de los estados propios posibles son dadas por la función de
onda instantánea justo antes de la reducción. Considerando el ejemplo anterior sobre la partícula en el vacío, si se mide la posición de
la misma, se obtendrá un valor impredecible x. En general, es imposible predecir con precisión qué valor de x se obtendrá, aunque es
probable que se obtenga uno cercano al centro del paquete de ondas, donde la amplitud de la función de onda es grande. Después de
que se ha hecho la medida, la función de onda de la partícula colapsa y se reduce a una que esté muy concentrada en torno a la
posición observada x.
Consideremos ahora descripción cuantitativa que da la interpretación de la función de onda   x, y, z, t  de M. Born.. Según
Born, el cuadrado del módulo de la función   x, y, z, t  define la probabilidad dP de que la partícula sea localizada en los límites del
volumen dV :
dP    x, y, z, t  dV   *  x, y, z, t    x, y, z, t  dV
2
(4.6.5)
La integral de la expresión (4.6.5) por todo el volumen debe ser igual a la unidad:
 dP     x, y, z, t 
2
dV  1
(4.6.6)
En efecto, esta integral da la probabilidad de que la partícula se encuentre en uno de los puntos del espacio, o sea, la probabilidad de
un suceso cierto, la cual es igual a. la unidad. La condición (4.6.6) se denomina condición de normalización. La función que satisfaga
esta condición se denomina normalizada. En adelante supondremos siempre que las funciones   x, y, z, t  con las que trataremos
estén normadas. De acuerdo con (4.6.5) deducimos que el cuadrado del módulo de la función   x, y, z, t  da la densidad de la
probabilidad (probabilidad referida a la unidad de volumen) de ser localizada la partícula en el lugar correspondiente del espacio. En
el caso de un campo de fuerzas estacionario (no dependiente de tiempo), la ecuación de Schrödinger para la función de onda
  x, y, z, t  es:
i
  x, y, z, t 
t

2
2m
  x, y, z, t   V  x, y, z    x, y, z, t 
(4.6.7)
Como la parte derecha de esta ecuación no depende de tiempo la solución de (2.2.3) se puede representar en la forma:
  x, y, z, t   exp   iEt    x, y, z 
Aquí el primer factor según la fórmula de Planck E
(4.6.8)
  es la parte dependiente del tiempo de una onda de De Broiglie con la
energía E y el segundo factor   x, y, z  se llama la función de onda independiente del tiempo. Al sustituir (4.6.8) en (4.6.7) y al
cancelar el factor exponencial común se obtiene la ecuación diferencial
2
(4.6.9)
  x, y, z   V  x, y, z   x, y, z   E  x, y, z 
2m
La ecuación (4.6.9) se llama ecuación de Schrödinger independiente de tiempo y el parámetro E en esta ecuación es la energía
estacionaria mientras que el primer término es la energía cinética y el segundo la energía potencial.
La densidad de probabilidad f  x, y, z, t  de encontrar una partícula en el punto con la coordenadas  x, y, z, t  en el momento

de tiempo t es igual a
f  x, y, z, t    *  x, y, z, t    x, y, z, t   exp iEt
  *  x, y, z  exp   iEt    x, y, z    *  x, y, z    x, y, z   f ( x, y, z)
(4.6.10)
2
de manera que la densidad de la probabilidad es igual a  *   y, por consiguiente, no dependo del tiempo. Por esta razón, los
estados descritos por las funciones de onda del tipo (4.6.8) fueron denominados estacionarios.
Del sentido do la función   x, y, z  se deduce que la mecánica cuántica tiene un carácter estadístico. Ella no permite
determinar la posición de una partícula en el espacio o la trayectoria de su movimiento. Con ayuda de la función   x, y, z  puede
pronosticarse solamente, con qué probabilidad puede ser localizada la partícula en diferentes puntos del espacio. A primera vista,
puedo parecer que la mecánica cuántica de una descripción menos exacta y menos completa del movimiento de la partícula que la
mecánica clásica, la cual determina «exactamente» la posición y la velocidad de la partícula en cada momento do tiempo. Sin
embargo, eso no es así. La mecánica cuántica pone en claro más profundamente el comportamiento auténtico de las micropartículas.
Ella no determina sólo lo que no existe en realidad. Aplicados a las micropartículas, los conceptos de localización fija y trayectoria en
la mecánica cuántica pierden su sentido.
La ecuación de Schrödinger permite hallar la función   x, y, z  de un estado dado y, por consiguiente, determina la
probabilidad de que la partícula se encuentre en distintos puntos del espacio. Sin embargo, el significado de esta ecuación no se limita
sólo a eso. De la ecuación (4.6.9) y de las condiciones impuestas a la función   x, y, z  se infieren directamente las reglas de
cuantización de la energía. La función   x, y, z  en concordancia con su sentido deberá ser continua y finita (con la excepción do
puntos especiales). Además, deberá tener una derivada continua y finita. El conjunto de requisitos enumerados se denomina
condiciones estándares. La energía total E de la partícula forma parte de la ecuación de Schrödinger en calidad de parámetro. En la
teoría de las ecuaciones diferenciales se demuestra que las ecuaciones del tipo (4.6.9) no tienen soluciones que satisfagan las
condiciones estándares para todos los valores del parámetro (o sea de la energía E) sino solamente para ciertos valores escogidos.
Estos últimos se denominan valores propios de la correspondiente magnitud (en nuestro caso de la energía). Las soluciones
correspondientes a los valores propios do E se llaman funciones propias del problema.
El conjunto do valores propios lleva el nombro de espectro de la magnitud. Si este conjunto forma una sucesión discreta, el
espectro se denomina discreto y en el caso do una sucesión continua el espectro suelo llamarse continuo. En adelante nos limitaremos
solamente al estudio do tales problemas, cuyo espectro de valores propio sea discreto. Para un espectro discreto, los valores propios y
los funciones propias pueden ser enumeradas:
n
1
2
3
…
…
En
E1
E2
E3
n
…
1
2
3
De esta manera, la cuantización de la energía se obtiene de los principios fundamentales de la mecánica cuántica sin ningunas
suposiciones complementarias.