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Universidad Central de Venezuela
Facultad de Ciencias
Escuela de Física
Métodos Matemáticos de la Física II (2424)
http://fisica.ciens.ucv.ve/~svincenz/metodosmatematicosdos.html
Tarea 4 (Especial)
Cálculo en la variable compleja
Funciones Gamma y Beta
Expansiones asintóticas
http://fisica.ciens.ucv.ve/~svincenz/metodosmatematicosdos(t4e).pdf
1°) Algo más sobre funciones generalizadas, el llamado “átomo de hidrógeno unidimensional”: considere la energía potencial singular unidimensional U (x) = −k/ |x|, donde k es
una constante positiva. Nota: es necesario mencionar que, debido a su contraparte tridimensional,
a esta energía potencial se le ha asignado el nombre (por cierto incorrecto) de “energía potencial
para el átomo de hidrógeno unidimensional” o brevemente, energía potencial para el átomo 1H. En
efecto, sería el potencial unidimensional V (x) = 2πe |x|, más bien que V (x) = e/ |x| (con e > 0),
el que corresponde a una carga positiva en el origen y el cual genera el siguiente campo de fuerzas
sobre el electrón: F (x) = (−e)(−V 0 (x)) = −2πe2 sgn(x). En tres dimensiones, esto es equivalente
al campo eléctrico debido al plano y − z con una densidad de carga superficial uniforme σ = e.
Es claro que, cualquier potencial físico “unidimensional” (i.e., dependiente solo de x) requiere de
una fuente que sea infinita en las direcciones y y z, así que V (x) debe tender realmente a infinito
y no a cero cuando |x| → ∞. Por lo tanto, el problema del átomo de hidrógeno unidimensional
corresponde más bien a un movimiento unidimensional en el campo de Coulomb V (x) = −e/r, que
a movimiento en un verdadero potencial unidimensional. (a) Demuestre que el campo de fuerza
correspondiente a nuestro potencial singular es:
F (x) = −k
sgn(x)
δ(x)
+ 2k
.
x2
x
(1.1)
Ayuda: recuerde que sgn(x) = x/ |x| y su derivada es sgn0 (x) = 2δ(x). Note que esta fuerza no
es puramente atractiva ya que contiene una singularidad repulsiva que proviene del término que
contiene a la delta de Dirac. (b) Considere la siguiente representación para la función signo y la
delta de Dirac:
x
1
−2 x
sgn(x) = lı́m tanh
, δ(x) = lı́m
cosh
.
(1.2)
α→0
α→0 2α
α
α
Estas dos expresiones están relacionadas por sgn0 (x) = 2δ(x), o bien por la relación integral
ˆ x
sgn(x) = −1 + 2
du δ(u)
(1.3)
−∞
¡Compruebe ésto! (c) Demuestre que para x pequeño se verifica el siguiente resultado:
F (x) ≈ lı́m −
α→0
2k
x.
3α3
(1.4)
Esta fuerza proporciona oscilaciones armónicas alrededor del punto de equilibrio estable x = 0,
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además, la frecuencia de este movimiento aumenta sin parar a medida que α → 0. De esta forma,
el término repulsivo en la expresión de la fuerza hace que ésta se anule en x = 0 (¡no se incrementa
infinitamente!), pero no prohibe la penetración del electrón a través del origen.
2°) Demuestre el siguiente resultado:
ˆ
+∞
dx
0
cos(x)
π
=
p
x
2Γ(p) cos
pπ ,
2
0 < p < 1.
(2.1)
3°) Algunas expansiones asintóticas: (a) Encuentre una expansión asintótica para la integral
√
ˆ +∞
u exp (u)
I(x) =
du exp (−xu)
,
1+u
0
que sea válida para valores grandes de x (x → ∞). Ayuda: Use el llamado lema de Watson:
“Bajo condiciones apropiadas sobre la función continua F (u), es decir, para que exista la integral
(|F (u)uα | ≤ M exp (cu), para las constantes M y c cuando u → ∞), se verifica el siguiente desarrollo
asintótico:
ˆ +∞
a0 Γ(α + 1) a1 Γ(α + 2) a2 Γ(α + 3)
du exp (−xu) uα F (u) ∼
+
+
+ ··· ,
(3.1)
xα+1
xα+2
xα+3
0
donde α > −1, x → ∞ y se asume que F (u) se puede expresar como F (u) = a0 + a1 u + a2 u2 + · · · ”.
Por cierto, las condiciones dadas garantizan que esta integral existe para x > c. (b) Obtenga el
siguiente desarrollo asintótico el cual es válido para valores grandes de z:
ˆ +∞
exp (−zu)
1
1!
2!
3!
du
∼ − 2 + 3 − 4 + ··· .
(3.2)
1+u
z z
z
z
0
(c) Demuestre que la llamada función error erf(x) tiene el siguiente desarrollo asintótico válido para
grandes valores de x:
2
erf(x) = √
π
ˆ
x
du exp −u2 ∼ 1 +
0
x exp
π
−x2
∞
X
(−1)k
k=1
Γ k−
x2k
1
2
.
(3.3)
(d) Demuestre que la llamada función integral exponencial E1 (x) tiene el siguiente desarrollo asintótico:
ˆ +∞
∞
X
exp (−u)
k!
E1 (x) =
du
∼ exp (−x)
(−1)k k+1 ,
(3.4)
u
x
x
k=0
el cual es válido para grandes valores de x.
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