Download Variables Aleatorias y Función de Distribución

Juan Carlos Colonia
DISTRIBUCIONES MUESTRALES
POBLACIÓN




Es el conjunto de individuos u objetos que poseen
alguna característica común observable y de la cual se
desea obtener información.
El número de elementos que forman la población se
llama tamaño de la población, se denota con la letra N.
La población debe ser susceptible de ser definida con
absoluta precisión.
Una población puede ser finita o infinita. Si el número
de elementos de una población es grande se la
considera para el tratamiento estadístico, en algunos
casos como infinita.
MUESTRA
 Es
una parte o subconjunto de la población en estudio.
Esta constituido de elementos de la población
seleccionados de forma aleatoria con el objetivo de
investigar las características de la población. La muestra
solo da información de aquella población de la que ha sido
extraída.
 El número de elementos que forman la muestra se llama
tamaño de muestra, se denota con la letra n.
 El objetivo de los técnicas de muestreo estadístico es que
cada elemento de la población tenga una probabilidad e
independencia de ser incluido en la muestra. Estas
técnicas de muestreo conducen a una muestra aleatoria.
MUESTRA ALEATORIA
Sea X una característica de la población en estudio con
función de distribución de probabilidad FX  x  . Una muestra
aleatoria de tamaño n es un conjunto de n variables
aleatorias X1 , X 2 , ..., X n seleccionadas de la población en
estudio si:
1.
Son independientes.
2.
Están idénticamente distribuidas y tienen la misma
función de distribución de probabilidad que X, FX  x  .
MUESTRA ALEATORIA
Sea X una variable aleatoria que representa la calificación
obtenida en la prueba de conocimientos sobre preservación del
ambiente de los alumnos de la Facultad de Ingeniería de
Telecomunicaciones y Telemática de la UTP.
Si X1 , X 2 , ..., X30
es una muestra aleatoria de 30 alumnos, se
tiene:
 X1 : calificación obtenida en la prueba por 1er alumno
seleccionado en la muestra.
 X 2 : calificación obtenida en la prueba por 2do alumno
seleccionado en la muestra.
 X 30: calificación obtenida en la prueba por 30avo alumno
seleccionado en la muestra.
PARÁMETRO
Un parámetro es una medida descriptiva numérica de una
población. Son valores constantes que caracterizan a la población
bajo estudio. Un parámetro se suele representar a mediante
letras griegas:



 : Promedio poblacional
 2: Varianza poblacional
 : Proporción poblacional
En términos prácticos, un parámetro es un valor que resulta al
emplear los valores de una población.
ESTADÍSTICAS
Una estadística es una función real de la muestra aleatoria que
no contiene parámetros desconocidos. Como los elementos de
una muestra son variables aleatorias, una estadística también es
una variable aleatoria. Una estadística se representa mediante
letras latinas:



x : Promedio muestral
s 2: Varianza muestral
p : Proporción muestral
En términos prácticos, una estadística es un valor que se obtiene
al emplear los elementos de una muestra.
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL



Se denomina distribución muestral a la distribución
de probabilidad de una estadística; es decir, la
distribución de un estadístico calculado a partir de los
valores de una muestra.
Las distribuciones muestrales adoptan diferentes
formas según las estadísticas que se investiguen y las
características de la población estudiada.
Conociendo la distribución muestral se puede hacer
inferencia acerca de la población bajo estudio.
DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL
Si X1 , X 2 , ..., X n es una muestra aleatoria de tamaño n
extraída desde una población N   ,  2  , entonces la
distribución de la media muestral esta dado por:
x
Por tanto: Z 
x
 n
 2 
N  ,

n


N  0 ,1
DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL
Ejemplo
Un fabricante especifica que la duración de sus baterías
tiene distribución normal con media 36 meses y
desviación estándar 8 meses. ¿Cuál es la probabilidad
que una muestra aleatoria de 9 baterías, la duración
media no sea mayor a 30 meses.?
Solución
x
N  36 , 7.1
P  x  30   P  z  2.6   0.0122
DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL
Si X1 , X 2 , ..., X n es una muestra aleatoria de tamaño n
extraída desde una población N   ,  2  , entonces:
t
x
 n
 n  1 s
 2  n  1
1 n
2
donde: s 
 xi  x 

n  1 i 1
2
2
x

s n
t  n 1
DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL
Ejemplo
Una población con distribución normal tiene una media
de 5.5, su varianza es desconocida. En una muestra
aleatoria de tamaño 6 se encontró una desviación
estándar de 0.5, ¿Cuál es la probabilidad de que la
media muestral sea mayor o igual a 6.5.?
Solución
x
N  5.5 ,  6 
2
Como la varianza de la población es desconocida, la
varianza de la media muestral también es
desconocida
 x   6.5  5.5 
P  x  6.5   P 

  P t  5  4.89  0.0023
 s n 0.5 6 


DISTRIBUCIÓN DE LA VARIANZA MUESTRAL
Si X1 , X 2 , ..., X n es una muestra aleatoria de tamaño n
extraída desde una población N   ,  2  , entonces:
n
x
i 1
i
 x
2
2
 2 n 1
De forma equivalente:
n
2
n

1
s
 
2

  xi  x 
i 1
2
2
 2 n 1
DISTRIBUCIÓN DE LA VARIANZA MUESTRAL
Ejemplo
Una población con distribución aproximadamente
normal tiene varianza especificada de 0.8. Calcule la
probabilidad que una muestra aleatoria de tamaño 6
tenga una varianza mayor o igual a 1.2.
Solución
2

n

1
s
6  11.2 



2
2
P  s  1.2   P 


P


2
 5  7.5
0.8 
 



P  s 2  1.2   P  25  7.5  0.189

DISTRIBUCIÓN DE LA PROPORCIÓN MUESTRAL
Si X1 , X 2 , ..., X n es una muestra aleatoria de tamaño n
extraída desde una población con proporción  de
“éxitos”, la distribución de la proporción p muestral
esta dado por:
p
Por tanto:
p 
 1   
n
  1    
N  ,

n


N  0 ,1
DISTRIBUCIÓN DE LA PROPORCIÓN MUESTRAL
Ejemplo
Según pruebas de inspección 4 de cada 10 baterías
tienen fallas.¿Cuál es la probabilidad de que la
proporción de baterías defectuosas sea mayor que 0.45
en una muestra de 250 baterías?
Solución
  0.4
p
N  0.4 , 0.00096 
P  p  0.45  P  z  1.61  1  P  z  1.61  0.0537