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Trigonometría
Angulo orientado
Un ángulo orientado α consiste de un vértice O , una semirrecta (li) de origen O
llamada lado inicial , otra semirrecta (lt) de origen O llamada lado terminal , y un giro g
alrededor de O desde el lado inicial al lado terminal. El giro g puede contener varias
vueltas completas alrededor de O.
El ángulo α se dice positivo si el giro g se hace en el sentido contrario al de las agujas
del reloj y en caso contrario se dice que α es negativo.
lt
o
li
Positivo
Negativo
En el plano coordenado, el lado inicial es coincidente con el eje x (posición normal) con vértice en el
origen de coordenadas.
y
y
45°
Negativo
x
x
Positivo
-45°
Hay ángulos orientados diferentes pero que tienen el mismo lado terminal.
Nota Al girar una rueda alrededor de su eje lo puede hacer hacia "adelante" o hacia "atrás" y puede dar
tantas vueltas como se quiera y parar en un momento dado. Esta puede ser la imagen intuitiva de ángulo
orientado.
Forma de medir los ángulos en números reales
En un sistema coordenado se grafica una circunferencia de radio 1 y centro en el origen, la medida del
ángulo en radianes es la longitud del arco de la circunferencia subtendido entre el lado inical y el lado
terminal.
y
Dado un ángulo orientado  , su giro g determina un arco
sobre esa circunferencia, que puede contener varias
x
circunferencias completas. Sea a la longitud de ese arco.
Si el ángulo  es positivo se dice que mide a radianes
1
y si es negativo que mide - a radianes.
1
Trigonometría
La longitud de la circunferencia completa es de 2  por ser una circunferencia de radio 1.
De allí resultan:
Un ángulo llano positivo (180°) mide  radianes
Un ángulo recto (90°) positivo mide /2 radianes
Un ángulo de 450 positivo mide /4 radianes.
La relación fundamental es que 2 radianes equivalen a 3600
Luego x radianes equivalen a
y
 ° equivalen a
𝑥 360°
2𝜋
θ° 2𝜋
360°
radianes
Números y ángulos
Consideremos un número cualquiera, por ejemplo, el número 173.4 .
Podemos determinar el ángulo orientado que mide 173.4 radianes.
Como 173.4/(2 ) =27.5975..... el ángulo consiste 27 vueltas completas en sentido
positivo más un arco de 2 0.5975..radianes que equivale a  212.40 .
De la misma manera, para encontrar el ángulo orientado de - 21.3 radianes hacemos
21.3/(2 ) 3.23.. y 360(3) + 360(0.23). Luego el ángulo de -21.3 radianes consiste de 3
giros completos negativos más un ángulo de -360(0.23) aprox igual -82,8 .
La conclusión importante es que los números reales se corresponden con los ángulos
orientados de tal manera que:
Cada número real x se corresponde con el ángulo orientado que mide x
radianes
Funciones trigonométricas. Gráficas y propiedades.
Dado un número real x consideremos el ángulo orientado de x radianes. Al marcar un
ángulo x, el lado terminal del ángulo que mide x radianes determina un punto p en la
circunferencia las coordenadas son (por definición) abscisas coseno de x, ordenada seno de x.
El lado terminal corta a la circunferencia unidad en un punto P(a, b) : a2+b2=1
Llamamos a P el punto terminal del ángulo.
Se definen las funciones trigonométricas seno y coseno por cos x = a sen x = b
Estas funciones están definidas para cada número x.
Observemos que cuando 0 < x < /2 , el ángulo orientado de x radianes es el ángulo de
un triángulo rectángulo y las definiciones anteriores coinciden con las usuales de la
trigonometría: sen x , cos x :
* sen x es la longitud del cateto opuesto dividido la longitud de la hipotenusa
* cos x es la longitud del cateto adyacente dividido la longitud de la hipotenusa.
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Trigonometría
Relaciones pitagóricas
Propiedad 1
Se verifica la relación Pitagórica:
P1:
sen2 x + cos2 x = 1 Es una consecuencia de que el punto P está en la circunferencia unidad.
De ella se deduce que:
-1  sen x  1
Es claro que: sen 0 = 0
sen /2 = 1
sen  = 0
sen 3/2  = -1
;
-1  cos x  1
cos 0 = 1
cos /2 = 0
cos  = -1
cos 3/2 = 0
Según en qué cuadrante se ubique el punto terminal P así será el signo de las funciones trigonométricas:
en el primer cuadrante
sen x > 0 y cos x > 0
en el segundo cuadrante
sen x > 0 y cos x < 0
en el tercer cuadrante
sen x < 0 y cos x < 0
Propiedad 2
Como el punto terminal P es el mismo para un ángulo de x radianes o de x + 2 k 
radianes, para k entero, resulta la segunda propiedad, llamada de periodicidad:
P2: sen (x+2 k ) = sen x
cos (x+2 k ) = cos x
para cada entero k = 0, ±1, ±2 ...
Propiedad 3
Sea P=(a, b) el punto terminal de un ángulo de x radianes.
Es fácil ver que el punto terminal para el ángulo de - x radianes es el simétrico de P respecto del eje x : P
' = (a, -b) . De allí resulta la propiedad 3
P3:
sen (-x) = - sen x
cos(-x) = cos x
Propiedad 4
Sea P el punto terminal del ángulo orientado de x radianes.
Ubiquemos el punto terminal P ' del ángulo de x + /2 radianes.
1
0.5
-1
-0.5
0.5
1
-0.5
-1
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Trigonometría
Razonado sobre la figura se ve si P = (a, b) entonces P ' = (-b, a) de donde se tiene la
propiedad 4.
P4:
sen(x + /2) = cos x
cos(x + /2) = - sen x
Con los valores que conocemos de sen x y las propiedades demostradas, estamos en
condiciones de determinar los valores de sen x para los múltiplos de /4 y de /6.
Podemos gráficar en el plano algunos esos puntos (x, sen x) para tener una primera idea de
la gráfica de la función sen x. Si unimos los puntos por una poligonal queda el siguiente
gráfico provisorio para sen x.
1
0.5
-5
-2.5 -0.5
-1
2.5
5
7.5
10
12.5
sen (x+)= -sen(x)
cos(x+)=-cos(x)
sen(/2 -x) =cos(x)
cos(/2 -x) =sen(x)
Ejercicio hallar cos(u-v) conociendo cos(u), cos(v), sen(u) y sen(v)
Demostración:
Para obtener la fórmula para cos(u-v) sean u y v ángulos como se muestra en la figura (a). Si
colocamos el ángulo u-v en posición normal, como se observa en la figura (b), tenemos que
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Trigonometría
la distancia d desde R hasta S equivale a la distancia desde P hasta Q, como se ve en la
figura (a). Los cuadrados de las distancias son iguales, es decir [d(P,Q)]2=[d(R,S)]2
Utilizando la formula de distancia, tenemos
[cos(u) –cos(v)]2 + [sen(u)-sen(v)]2=[cos(u-v)-1]2+ sen2(u-v)
 Cos2(u) – 2cos(u)cos(v)+ sen2(u) – 2 sen (u)sen(v)+sen2(v)=cos2(u-v) -2 cos(u-v) +1+sen2(u-v)
 Ya que cos2(x) + sen2(x)=1


2-2cos(u)cos(v) – 2 sen(u) sen(v) = 2 -2cos(u-v)
Cos(u-v)=cos(u)cos(v) + sen(u)sen(v)
Ejemplo
Si sen x = - 0.35 y el punto terminal P está en el tercer cuadrante entonces,
por la relación Pitagórica P1 , podemos calcular cos x
cos x = -
1  sen2 x
=-
1  0.352
 - 0.93675 .
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