Download función derivada

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ORTEGA TOLIMA
AYUDAS PEDAGÓGICAS
1ER CONCEPTO: El concepto de derivación es muy fácil de
comprender. Dada una función Y= F(X), la derivación mide la
variación de Y, cuando hay una pequeña variación de X, la
definición de la derivada de la función Y = F(X), es:
𝑭(𝑿) = 𝟑𝑿𝟐 . 𝑿𝟐 − 𝟐𝒙
2DO CONCEPTO: la derivada es uno de los conceptos más
importante en matemática. La derivada es el resultado de un límite
y representa la pendiente de la recta tangente a la grafica de la
función en un punto.
La definicion de la derivada es la siguiente
𝑭′(𝑿) = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒇 𝑿 + 𝒉 − 𝒇(𝒙)
𝒉
3ER CONCEPTO: la derivada de una función en un punto mide
el coeficiente por el cual el valor de la función cambia, es decir, nos
da una noción del coeficiente de cambio que es equivalente a decir
que tan rápido crece o decrece a lo largo del eje X, la función Y=
F(X) en un plano cartesiano de dos (2) dimensiones; es decir, la
pendiente de la recta tangente a la función en ese punto.
y
Tg Tg
Y3
Y2
Y1
X
X1 X 2 X3
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𝑻𝒂𝒏𝒈 =
𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
∆𝒚 𝒇 𝑿 + ∆𝑿 − 𝑭 (𝑿)
=
∆𝒙
∆𝑿
∆𝒚
𝒇 𝑿 + ∆𝑿 − 𝑭 (𝑿)
= 𝐥𝐢𝐦
= 𝑻𝒈 = 𝒎
∆𝒙→𝟎
∆𝒙
∆𝑿
Para derivar una función se utiliza cualquier tipo de letra, en este
caso utilizaremos las letras Y; U; V, como símbolo de derivación
FUNCIÓN
Sea: F(X); G(X); Y(X); U(X); V(X);
DERIVADA
𝑑𝑦
𝑑𝑥
Sea: F’(X); G’(X); Y’(X);U’(X);V’(X);
𝑑𝑦
𝑑𝑥
PROPIEDADES Ó CARACTERÍSTICAS É TEOREMA DE LA DERIVADA
FUNCIÓN
Y(X)= C
Y(X)= X
Y(X)= Xn
Y(X)= C . F(X)
Y(X)= U(X) ± V(X)
Y(X)= U(X) . V(X)
Y(X)=
𝑈 (𝑋 )
DERIVADA
Y’(X)= 0
Y’(X)= 1
Y’(X)= nXn-1
Y’(X)= C . F’(X)
Y’(X)= U’(X) ± V’(X)
Y’(X)= U’(X) . V(X) + V’(X) . U’(X)
Y’(X)=
𝑉(𝑋 )
𝐔’ 𝐗 .𝐕 𝐗 − 𝐕’(𝐗) . 𝐔(𝐗)
𝑽𝟐
FUNCIONES POTENCIALES
FUNCIÓN
1
2
DERIVADA
𝑼′
Y’(X)=
Y(X)= 𝑈 ≡ 𝑈
𝟐 𝑼
n
Y(X)= U (X)
Y’(X)= nUn-1 . U’
FUNCIONES EXPONENCIALES
FUNCIÓN
Y(X)= ℮
Y(X)= 𝛼 𝑈(𝑋)
Y(X)= 𝑈 −𝑛 ≡
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DERIVADA
𝑈
𝑈(𝑋)
1
𝑈(𝑋)𝑛
Y’(X)= ℮ . U’
Y’(X)= U’ . 𝛼 𝑈 . 𝐿𝑜𝑔 (a)
Y’(X)= - n𝑼−𝐧−𝟏 . U’
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Y(X)= U V
Y’(X)= vUv-1 . U’ + Uv. V’. Ln(u)
FUNCIONES LOGARÍTMICAS
FUNCIÓN
DERIVADA
Y(X)= Log(u)
Y’(X)=
Y(X)= Ln
Y’(X)=
𝑼′
𝑼
𝑼′
𝑼
. Log (u) . ℮
≡
𝟏
𝑼
.𝒅
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS (CIRCULAR)
FUNCIÓN
DERIVADA
Y(X)= 𝑠𝑒𝑛(𝑈)
Y(X)= 𝐶𝑜𝑠(𝑈)
Y(X)= 𝑇𝑔(𝑈)
Y(X)= 𝐶𝑠𝑐(𝑈)
Y’(X)= U’ . 𝑪𝒐𝒔(𝑼)
Y’(X)= - U’ . 𝒔𝒆𝒏(𝑼)
Y’(X)= U’ . Sec2(U) ≡ (1+Tg2(u)) . U’
Y(X)= 𝑆𝑒𝑐(𝑈)
Y’(X)= U’ . 𝑺𝒆𝒄(𝑼) . 𝑻𝒈(𝑼) ≡
Y’(X)= U’ . -𝑪𝒔𝒄(𝑼) . 𝑪𝒕𝒈(𝑼) ≡ −
𝑪𝒐𝒔 (𝒖)
𝑺𝒆𝒏 (𝒖)𝟐
𝑺𝒆𝒏 (𝒖)
𝑪𝒐𝒔 (𝒖)𝟐
. U’
. U’
Y(X)= 𝐶𝑡𝑔(𝑈)
Y’(X)= U’ . -Csc2(U) ≡ (1+Ctg2(u)) . U’
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS (CICLOMETRICAS O INVERSAS)
FUNCIÓN
Y(X)= 𝐴𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛(𝑈)
Y(X)= 𝐴𝑟𝑐 𝐶𝑜𝑠(𝑈)
DERIVADA
𝑼′
Y’(X)=
Y’(X)= −
Y(X)= 𝐴𝑟𝑐 𝑇𝑔(𝑈)
Y’(X)=
Y(X)= 𝐴𝑟𝑐 𝐶𝑠𝑐(𝑈)
Y’(X)= −
Y(X)= 𝐴𝑟𝑐 𝑆𝑒𝑐(𝑈)
Y(X)= 𝐴𝑟𝑐 𝐶𝑡𝑔(𝑈)
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Y’(X)=
𝟏−𝑼𝟐
𝑼′
𝟏−𝑼𝟐
𝑼′
𝟏 + 𝑼𝟐
𝑼′
𝑼 𝑼𝟐 −𝟏
𝑼′
𝑼 𝑼𝟐 −𝟏
Y’(X)= −
𝑼′
𝟏 + 𝑼𝟐
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Primer paso para derivar
La formula más usada en la derivada, donde Y(x) es un función dada,
quedando como origen 𝒀: 𝑿𝒏 → 𝒀′: 𝑵 𝑿𝒏−𝟏 como esto es una formula
constante; se realiza en la tabla de derivación sea Y la función e Y’ (prima)
dibujada (Y’) la función derivada.
Ejemplo:
Sea: 𝒀: 𝒙𝟐
Como Y es la función de X2 entonces X es igual a X (de la formula) y 2
(elevado de X) es igual a n.
𝒀: 𝒙𝟐 Utilizamos la formula de la derivación 𝒀′: 𝑵 𝑿𝒏−𝟏
Sustituyendo la función sin derivar 𝒀: 𝒙𝟐 en la función de derivada
𝒀′ : 𝟐𝑿𝟐−𝟏 esto es igual a: 𝒀′ : 𝟐𝑿𝟏 . Se dice que la derivada de:
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𝒀: 𝒙𝟐 𝒆𝒔 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍 𝒂 𝒀′ : 𝟐𝑿
Nota: F(X) ; Y(X) ; dy(X) son funciones guales y significa lo mismo.
Nosotros trabajaremos con Y(X).
Segundo paso para derivar
COMO DERIVAMOS UNA SUMA O RESTA
Para resolver este sistema, realizamos a igual que lo anterior; solo que
los productos los vamos a identificar:
Se la función 𝑌 𝑋 5𝑋 4 + 6𝑋 3
Identificamos los productos el 5𝑋 4 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑈, 𝑦 𝑒𝑙 6𝑋 3 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑉.
Resolvemos la derivada de cada producto sea de U y de V; con la
formula anterior 𝑌′: 𝑁 𝑋 𝑛−1
𝑼 = 𝟓𝑿𝟒 𝒔𝒖 𝒅𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂 𝒆𝒔 ∶ 𝑼′ = 𝟐𝟎𝑿𝟒−𝟏 → 𝑼′ = 𝟐𝟎𝑿𝟑
𝑽 = 𝟔𝑿𝟑 𝒔𝒖 𝒅𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂 𝒆𝒔 ∶ 𝑽′ = 𝟏𝟖𝑿𝟑−𝟏 → 𝑽′ = 𝟏𝟖𝑿𝟐
Ya tenemos la derivada de los dos productos; ahora la sustituimos en la
formula de la derivada de la suma o resta:
𝒀′ : 𝑼′ ± 𝑽′
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𝑌 ′ : 𝟐𝟎𝑿𝟑 + 𝟏𝟖𝑿𝟐
Este es el resultado de la derivada buscada.
Sea más directa la operación del ejercicio:
𝑌 𝑋 5𝑋 4 + 6𝑋 3
𝒀′ 𝑿 𝟐𝟎𝑿𝟑 + 𝟏𝟖𝑿𝟐
NOTA: las letras U(X), V(X), F(X), G(X) son lo mismo. Ya que el
educador utiliza a su comodidad. Nosotros utilizáremos U(X) y V(X)
Tercer paso para derivar
COMO DERIVAMOS UNA MULTIPLICACIÓN
Para derivar una función de este origen se utiliza la formula de
𝒀′: 𝑵 𝑿𝒏−𝟏 de cada producto y se sustituye en la formula de la
derivada multiplicativa: Y’: U’.V + V’.U; QUE SE LEEE: Y’ = a la
derivada de U’ por V sin derivar + derivada de V’ por U sin derivar.
Ejemplo:
Sea la función: 𝑌 𝑋 6𝑋 −3 . 2𝑋 4
Volvemos a identificar los productos sea:
𝑼 = 𝟔𝑿−𝟑 𝒔𝒖 𝒅𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂 𝒆𝒔 ∶ 𝑼′ = −𝟏𝟖𝑿−𝟑−𝟏 → 𝑼′ = −𝟏𝟖𝑿−𝟒
𝑽 = 𝟐𝑿𝟒 𝒔𝒖 𝒅𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂 𝒆𝒔 ∶ 𝑽′ = 𝟖𝑿𝟒−𝟏 → 𝑽′ = 𝟖𝑿𝟑
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Una vez derivada los productos U y V sustituimos en la formula
antes enunciada: Y’: U’.V + V’.U
𝑌 ′ : − 18𝑿−𝟒 . 2𝑿𝟒 + 𝟖𝑿𝟑 . 6𝑿−𝟑
U’
V
V’
U
Sea más directa la operación del ejercicio:
−𝟒
𝑼 = 𝟔𝑿−𝟑 → 𝑼′ = −18𝑿
𝒀 𝑿 𝟔𝑿−𝟑 . 𝟐𝑿𝟒
𝟑
𝑽 = 𝟐𝑿𝟒 → 𝑽′ = 𝟖𝑿
𝒀′ : − 𝟏𝟖𝑿−𝟒 . 𝟐𝑿𝟒 + 𝟖𝑿𝟑 . 𝟔𝑿−𝟑
Cuarto paso para derivar
COMO DERIVAMOS UNA DIVISIÓN
Para derivar la función divisional se realiza a igual que la
multiplicación solo que es dividiendo. Para cada producto se deriva
con lo formula constante y se sustituye en su fórmula de
′
′
′ 𝑼 . 𝑽 − 𝑽 .𝑼
derivación: 𝒀 :
𝑽𝟐
Sea la función 𝑌 𝑋 :
𝟔𝑿−𝟐
𝟐
𝟒𝑿𝟑
Identifiquemos la función, sea:
𝑼 = 𝟔𝑿−𝟐 𝒔𝒖 𝒅𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂 𝒆𝒔 ∶ 𝑼′ = −𝟏𝟐𝑿−𝟐−𝟏 → 𝑼′ = −𝟏𝟐𝑿−𝟑
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𝟐
𝟐
𝟖
𝟖
𝟏
𝑽 = 𝟒𝑿𝟑 𝒔𝒖 𝒅𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂 𝒆𝒔 ∶ 𝑽′ = 𝑿𝟑−𝟏 → 𝑽′ = 𝑿−𝟑
𝟑
Sustituyendo
𝟑
′
′
′ 𝑼 . 𝑽 − 𝑽 .𝑼
en: 𝒀 :
𝑽𝟐
𝟐
−𝟏𝟐𝑿−𝟑 . 𝟒𝑿𝟑 −
𝒀′ :
𝟖 −𝟏𝟑
𝑿
. 𝟔𝑿−𝟐
𝟑
𝟐 𝟐
𝟒𝑿𝟑
SEA DIRECTA LA OPERACIÓN DEL EJERCICIO
𝑼 = 𝟔𝑿−𝟐 → 𝑼′ = −𝟏𝟐𝑿−𝟑
𝑌𝑋 :
𝟔𝑿−𝟐
𝟐
𝟖
𝟏
𝑽 = 𝟒𝑿𝟑 → 𝑽′ = 𝑿−𝟑
𝟐
𝟑
𝟒𝑿𝟑
−𝟑
−𝟏𝟐𝑿
′
𝒀:
.
𝟐
𝟒𝑿𝟑
−
𝟖 −𝟏𝟑
𝑿
. 𝟔𝑿−𝟐
𝟑
𝟐 𝟐
𝟒𝑿𝟑
RECOMENDACIÓN DEL AUTOR:
Ya terminamos lo que son las derivas de suma, resta,
multiplicación y división. Como se puede notar que para
derivar es fácil, solo que la enseñanza de la misma, la hace la
práctica.
Quinto paso para derivar
COMO DERIVAMOS UNA RAIZ
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Para derivar una función de radical se utiliza la formula constante;
pero para derivar solo se saca la expresión radical. Sea el caso:
𝟐
𝒂
𝑌 𝑋 : 𝑿 → Sacamos en el radicando, sea ahora 𝒀 𝑿 : 𝑿𝒂 ;
que es lo mismo a lo anterior.
𝟑
Se la función: 𝑌 𝑋 : 𝑿
𝟐
𝟑
Ordenando: 𝑌 𝑋 : 𝑿
Derivando: 𝒀′
𝟐 − 𝟏𝟑
𝑿 : 𝟑𝑿
Sea más directo la operación del ejercicio:
𝟑
𝑌𝑋 : 𝑿
𝒀′ 𝑿 :
𝟐 −𝟏
𝑿 𝟑
𝟑
Sexto paso para derivar
COMO DERIVAMOS FUNCIONES EXPONENCIALES
Sea el caso de la función 𝒆𝒖 y una función constante a su exponente
𝒂𝒖 ; para derivar dichas funciones se utilizan sus formulas
correspondientes:
𝒀𝑿
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1er CASO: sea LA FORMULA
: 𝒆𝒖 → 𝒆𝒖 . 𝒅𝒖 𝒐 𝒎𝒆𝒋𝒐𝒓 𝒅𝒊𝒄𝒉𝒐 𝒀′ 𝑿 𝒆𝒖 . 𝑼′
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EJEMPLO: SE LA FUNCION 𝒀 𝑿 : 𝒆𝟔𝑿
Sea U = (6X) la derivada es U’= 6
Sustituimos en la formula 𝒀′ 𝑿 𝒆𝒖 . 𝑼′
𝒀′ 𝑿 𝒆𝒖 . 𝟔 ≡ 𝒀′ 𝑿 𝟔𝒆
𝒖
2do CASO: sea LA FORMULA
𝒀 𝑿 : 𝜶𝒖 → 𝜶𝒖 . 𝑳𝒐𝒈(𝜶) . 𝒅𝒖 𝒐 𝒎𝒆𝒋𝒐𝒓 𝒅𝒊𝒄𝒉𝒐 𝒀′ 𝑿 𝜶𝒖 . 𝑳𝒐𝒈(𝜶) . 𝑼′
Para esta función
𝜶 𝒆𝒔 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍 𝒂 𝒖𝒏 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒄𝒖𝒂𝒍𝒒𝒖𝒊𝒆𝒓, 𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒄𝒊𝒓, 𝒂 𝒖𝒏 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆.
Sea la función 𝒀 𝑿 : 𝟐
𝟒𝑿
𝜶=2
U= 4x esto aplica que U’= 4
Sustituyendo en la formula: 𝒀′ 𝑿 𝜶𝒖 . 𝑳𝒐𝒈(𝜶) . 𝑼′
𝒀′ 𝑿 𝟐
𝟒𝑿
𝒀′
. 𝑳𝒐𝒈(𝟐) . 𝟒
𝑿
Log( 2) = 0,3010
𝟐𝟒𝑿 . 𝟎, 𝟑𝟎𝟏𝟎 . 𝟒
SEA MÁS DIRECTO PARA EL 1ER CASO:
𝒂) 𝒀 𝑿 : 𝒆𝟕𝑿
𝒀′ 𝑿 𝟕𝒆
𝟕𝒙
𝒃) 𝒀 𝑿 : −𝟒𝒆
𝒀′ 𝑿 −𝟖𝟎𝒆
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𝟐𝟎𝑿
𝟐𝟎𝒙
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SEA MÁS DIRECTO PARA EL 2do CASO:
𝒂) 𝒀 𝑿 : 𝟒
𝒀′ 𝑿
𝟒
𝟐𝟎𝑿
𝟐𝟎𝑿
. 𝑳𝒐𝒈 (𝟒) . 𝟐𝟎
𝒃) 𝒀 𝑿 : −𝟏𝟐
𝒀′
𝟐𝑿
𝑿
−𝟏𝟐 . 𝑳𝒐𝒈 (𝟏𝟐) . −𝟐𝟒
𝒄) 𝒀 𝑿 : −𝟑
𝒀′ 𝑿
𝟐𝑿
−𝟑
−𝟏𝟎𝟎𝑿
−𝟏𝟎𝟎𝑿
. 𝑳𝒐𝒈 (−𝟑) . 𝟑𝟎𝟎
Séptimo paso para derivar
COMO DERIVAMOS FUNCIONES LOGARÍTMICAS
Para derivar una función logarítmica utilizamos la regla de la
derivación, es decir, para derivar se utiliza los mismos pasos de las
operaciones anteriores con la diferencia del cambio de formula.
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Para derivar una FUNCIÓN LOGARÍTMICA se utiliza como derivada
𝒀′
𝑼′
𝑿
: 𝑳𝒐𝒈 𝒂 . 𝒆 . 𝑼
Y para derivar una FUNCIÓN DE LOGARITMO NEPERIANO (Ln)
operamos con la formula siguiente: 𝒀′ 𝑿 :
𝑼′
𝑼
𝟏
ó .𝒅
𝑼
1er CASO: LOGARITMO sea LA FORMULA
𝒀′ 𝑿 : 𝑳𝒐𝒈 𝒂 . 𝒆 .
𝑼′
𝑼
EJEMPLO: SE LA FUNCION 𝒀 𝑿 : 𝑳𝒐𝒈 𝟒 (𝟔𝑿𝟐 )
Sea U = (𝟔𝑿𝟐 ) la derivada es U’= 12X
Sea “a” = 4
𝑼′
Sustituimos en la formula 𝒀′ 𝑿 : 𝑳𝒐𝒈 𝒂 . 𝒆 . 𝑼
𝒀′ 𝑿 : 𝑳𝒐𝒈 𝟒 . 𝒆 .
𝟏𝟐𝑿
𝟔𝑿𝟐
2do CASO: LOGARITMO NEPERIANO sea LA FORMULA
𝒀′ 𝑿 :
𝑼′
𝑼
EJEMPLO: SE LA FUNCION 𝒀 𝑿 : 𝑳𝒏 (𝟒𝑿𝟐 )
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Sea U = (𝟒𝑿𝟐 ) la derivada es U’= 8X
𝑼′
𝑼
Sustituimos en la formula 𝒀′ 𝑿 :
𝒀′
𝑿
:
𝟖𝑿
𝟒𝑿𝟐
=
𝟐
𝑿
SEA MÁS DIRECTO PARA EL 1ER CASO:
𝒀
𝑿
: 𝑳𝒐𝒈 −𝟐𝟎 (−𝟓𝟎𝑿−𝟐 )
𝒀′ 𝑿 : 𝑳𝒐𝒈 −𝟐𝟎 . 𝒆 .
𝟏𝟎𝟎𝑿
−𝟓𝟎𝑿−𝟐
SEA MÁS DIRECTO PARA EL 2do CASO:
𝒀 𝑿 : 𝑳𝒏
𝒀′
𝑿
𝟗
(−𝟑𝟏𝑿𝟓 )
𝟐𝟕𝟗 𝟒𝟓
−
𝑿
𝟓
:
=
𝟗
−𝟑𝟏𝑿𝟓
𝟏
𝟗
−𝟑𝟏𝑿𝟓
.𝒅
Octavo paso para derivar
COMO DERIVAMOS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
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Para derivar funciones trigonométricas, realizamos los pasos de derivación de
los ejercicios anteriores; con la diferenciar que el ángulo (∡) de la función es
constante para la sustitución de la formula. Sea así para todas las funciones.
Las funciones trigonométricas representan varias fórmula para su
derivación sea el caso de la función a derivar.
Sea la función 𝒀 𝑿 : 𝐒𝐞𝐧(𝟐𝑿)
Sea (U) el ángulo interno (∡) = 2x la derivada es U’ = 2
Sustituimos en la formula 𝒀′ 𝑿 : 𝑼′ . 𝑪𝒐𝒔 (𝒖)
𝒀′
𝑿
: 𝟐. 𝑪𝒐𝒔 (𝟐𝑿)
NOTA: 2 Cos (2X) no se multiplica, porque (2x) es un ángulo y 2 es un número
independiente del (∡).
Cuando la función es potencial se deriva la potencia, se coloca la
derivación y se multiplica por la función a derivar sea el caso:
𝟑
𝒀
𝑿
: 𝐒𝐞𝐧𝟒 (𝟒𝑿)
𝟑
Derivamos la potencia: 𝐘′ 𝐗 : 𝐬𝐞𝐧
𝟒
𝟏
−𝟒
Derivamos el ángulo 𝒀 𝑿 : Sen (4X) 𝒀′ 𝑿 = Cos 4
Lo sustituimos en la formula: 𝒀′ 𝑿 : 𝑼′ . 𝑪𝒐𝒔 (𝒖)
𝒀′
𝑿
:
𝟏
𝟑
𝐬𝐞𝐧− 𝟒 . 𝟒 𝑪𝒐𝒔 (𝟒𝑿)
𝟒
𝑁𝑜𝑡𝑎: Siempre el ángulo es (U) y la potencia es (V)
Noveno paso para derivar
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COMO DERIVAMOS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
(CICLOMÉTRICAS)
Para derivar estos tipos de ejercicios solo basta con derivar el ángulo
interno llamado ó simbolizado como (U). Una vez derivada (U) se
sustituye en la formula. Sea así para todas las funciones Ciclométricas.
Sea el caso de la función:
𝒀
𝑿
: 𝑨𝒓𝒄𝑺𝒆𝒏(𝟔𝑿𝟑 )
Sea U = 6𝑋 3 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑠 𝑈 ′ = 18𝑋 2
𝑼′
Sustituimos en la formula: 𝒀′ 𝑿 :
𝟏− 𝑼
𝒀′ 𝑿 :
𝟏𝟖𝑿𝟐
𝟏 − 𝟔𝑿𝟑
𝟐
=
𝟐
𝟏𝟖𝑿𝟐
𝟏 − 𝟑𝟔𝑿𝟔
En este caso hay que resolver el cuadrado que está dentro de la raíz.
SEA MÁS DIRECTO
𝒀 𝑿 : 𝑨𝒓𝒄𝑪𝒐𝒔(𝟒𝑿𝟐 )
Sea U= 4𝑋 2 → U’= 8X
𝒀′ 𝑿 : −
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𝟖𝑿
𝟏 − 𝟏𝟔𝑿𝟒