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INTEGRALES INDEFINIDAS
EJERCICIOS RESUELTOS.
PROF. Jesús olivar
BARINAS 2016
Prof Jesús Olivar
Página 1
Derivadas: Utilizamos las reglas de derivación para encontrar un valor de la pendiente de la recta
tangente de una función F(x).
Integrales: Utilizamos las reglas de las integración para calcular el valor del área bajo la curva de
una función F(x).
Derivada del producto:
Regla de la cadena:
Integración por partes:
Cambio de variables
La naturaleza inversa de la integración y la derivación puede verificarse sustituyendo
por
en
la definición de integral indefinida, con lo que se obtiene:
Además, si
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, entonces
Página 2
Estas dos ecuaciones permiten obtener teoremas de integración directamente de los teoremas de
derivación, como se muestra en la siguiente tabla.
Pasos para integrar una función
Una vez con estas fórmulas básicas de integración, si no percibimos de inmediato como atacar una
integral específica, podemos entonces seguir la estrategia de cuatro pasos que describiremos a
continuación:
1. SIMPLIFIQUE EL INTEGRANDO, SI ES POSIBLE
A veces, si se emplea el algebra o identidades trigonométricas se podrá simplificar el integrando y
el método de integración sera mas obvio. A continuación presentamos algunos ejemplos:
a.
2. VEA SI HAY UNA SUSTITUCION OBVIA
Se debe tratar de encontrar alguna función,
, en el integrando, cuya derivada,
también este presente, sin importar un factor constante; por ejemplo, en la
integral:
observamos que si
, entonces
, por consiguiente, usamos la sustitución
, en lugar de las fracciones parciales.
3. CLASIFIQUE EL INTEGRANDO DE ACUERDO CON SU FORMA
4. PRUEBE DE NUEVO
Primitiva de la función
Definición de Primitiva: La primitiva es cuando una función F(x) es primitiva de otra función f(x)
sobre un intervalo I.
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Página 3
→
Al sacar la primitiva ó la anti-derivada seria
Y si derivamos ó
→
sacamos al anti-primitiva seria
Primer Teorema: Este primer teorema es primordial, porque si F es primitiva f en un intervalo la
primitiva general de f en el intervalo es:
→
Y C es una constante arbitraria y es primitiva f.
.

Explicación:

√
entonces comenzamos a ordenar todo para que sea mas facil, la raiz
de x lo podemos editar como
de ahi nos quedaria *
ahora F(x)
comenzamos a sacar las primitivas. ¿Como? si en la derivadas de las funciones comose le
multiplica el exponente por la base y luego se resta al exponente 1, con la primitiva es inverso,
al exponente se le suma 1 y la base es el inverso del exponente final. entonces quedaria de la
siguiente manera:

y el resultado final seria

.
Primitiva de la Función: Primitiva de la Función de una función f(x) se denomina integral indefinida
de f(x) y se denota por

, Entonces si F(x) es primitiva de f(x)
Encontrar la primitiva de las siguientes funciones
Ejemplo 1
Ejemplo 2
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Página 4
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
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Página 5
=
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
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Página 6
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Ejemplo 12
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Página 7
Ejercicios de Repaso
Calcular las integrales siguientes.
1.
Sol
2.
3.
4.
5.
Sol
Sol
Sol
Sol
6.
= ;
Sol
7.
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Sol
Página 8
8.
=
9.
Sol
=
10.
Sol
=
=
11.
Sol
=
12.
Sol
=
=
13.
=
14.
Sol
15.
Sol
Sol
Sol
16.
=
=
Sol
Tabla de Integrales
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Página 9
TEOREMAS DE DERIVACIÓN
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TEOREMAS DE INTEGRACIÓN
Página 10
Método de integración por sustitución
El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en
realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando
en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En muchos casos, donde
las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para
encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la
cadena en la derivación. Vale la pena resaltar que este método se utiliza cuando
no se mira a simple vista su primitiva directa.
Si
es una función derivable cuyo alcance es un intervalo I y f es continua
en I en tal caso:
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Página 11
Se puede definir este método en cuatro pasos importantes:
1. Identificar la función a sustituir, es decir Identificar "u" (Usualmente se
cometen mas errores en este paso).
2. Determinar el diferencial de "u" ("du").
3. Reescribir el integral ya sustituido.
4. Integrar.
Consejo
Intente elegir como alguna función en el integrando cuya diferencial
también se presente (excepto para un factor constante). Si no es posible,
escoja como alguna parte complicada del integrando (tal vez la función
interna de una función compuesta). Encontrar la sustitución correcta
conlleva algo de arte. No es raro que la conjetura sea errónea; si su
primera suposición no funciona, intente con otra.
Notas

La dificultad del "Método De Integración Por Sustitución" consiste en
identificar la función que será sustituida, para esto lo que se intenta es
encontrar la función que al derivar nos de el diferencial de la integral.
Siendo de esta manera podremos sustituir la integral completa. Esto no
significa que siempre la función al derivar de el diferencial, también será
necesario dependiendo de las funciones tener ciertos despejes para
encontrar el diferencial y poder sustituir la integral en su totalidad.

Primitiva: En cálculo infinitesimal, la función primitiva o antiderivada de
una función f es una función F cuya derivada es f, es decir, F ′ = f.
Procedimiento práctico
Supongamos que la integral a resolver es:
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Página 12
En la integral reemplazamos
con (
):
(1)
Ahora necesitamos sustituir también
función de :
Tenemos que
Se despeja
para que la integral quede sólo en
por tanto derivando se obtiene
y se agrega donde corresponde en (1):
Simplificando:
Debemos considerar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma
mejor, o por el contrario empeoró las cosas. Luego de adquirir práctica en esta
operación, se puede realizar mentalmente. En este caso quedó de una manera más
sencilla dado que la primitiva del coseno es el sinus o de |seno.
Como último paso antes de aplicar la regla de Barrow con la primitiva debemos
modificar los límites de integración. Sustituimos x por el límite de integración y
obtenemos uno nuevo.
En este caso, como se hizo
:
(límite inferior)
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Página 13
(límite superior)
Luego de realizar esta operación con ambos límites la integral queda de una
forma final:
Facilitación de método:
Para poder identificar que una integral se puede solucionar con este método, lo
más sencillo de hacer es ver si es una función compuesta, un ejemplo de una
función compuesta es 2*cos (x^2), sabiendo que la función interna de la
compuesta siempre va a ser "u". Una vez identificado la función interna se
procede a derivarse para poder saber si se puede llevar a cabo la sustitución.
Ejemplo 1
Encuentre la primitiva de la función
.
En este caso esta función no tiene ninguna primitiva inmediata ya que no está en
nuestra tabla de reglas básicas de integración. Ahora si ponemos atención a la
forma de la función podemos ver que se ve que hay una composición de
funciones, las funciones que parecen esta compuestas son
y
entonces esto nos puede llevar a pensar que podemos encontrar la
primitiva usando le técnica de sustitución.



Hagamos la sustitución de
tomamos siempre a como u a la
función que está dentro de la composición.
si
entonces
como tenemos que sustituir
y tenemos que
multiplicamos
esta ultima toda por y ahora tenemos
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Página 14
Aplicamos
la
sustitución,
la primitiva de
Ejemplo 2
Encontrar

Reescribiendo:
Haciendo
y
Tenemos entonces que:
Sustituyendo para
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y al integrar obtenemos:
, concluimos que:
Página 15
Ejemplo 3
Encontrar:

Haciendo
y
Obtenemos:
Y sustituyendo para
:
Cambio de variables
Con un cambio de variable, re expresamos por completo la integral en términos
de u y du. Aunque este método requiere más pasos explícitos que reconocimiento
de modelos que vimos antes, no es menos cierto que sirve para resolver
integrando más complicados. El cambio de variable hace uso de la notación de
Leibniz para los diferenciales. Es decir, si
entonces
. Para
ilustrar mejor el método usaremos un ejemplo.
Ejemplo 3

igualamos du con dx:
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Página 16
Sustituimos y obtenemos:
Integramos:
sustituimos u:
Ejemplo 4

Si tomamos :
Entonces su
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será:
Página 17
Y
Al hacer la sustitución quedará :
Obteniendo:
Ejemplo 5

Si tomamos :
Entonces su
será:
Al hacer la sustitución quedará :
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Página 18
Obteniendo:
Ejemplo 6

Para encontrar la primitiva multiplicamos por un uno este uno es:
Entonces la primitiva nos queda de la siguiente forma.
Sustituimos.
Obtenemos la primitiva, que sería:
Entonces:
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Página 19
Ejemplo 7


Ejemplo 8


Ejemplo 9

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Página 20

Ejemplo 10


Ejemplo 11

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Página 21
Ejemplo 12
Ejemplo 13
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Página 22
EJEMPLO 14
Calcular:
Entonces, tomamos U, como;
, entonces;
, y;
Entonces;
Nuestro resultado final sería;
"C"
y no olvidemos colocar la constante
EJEMPLO 15
Calcular:
Entonces, tomamos U, como;
, entonces;
Entonces;
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Página 23
Nuestro resultado;
EJEMPLO 16
Calcular:
Entonces, tomamos U, como;
, entonces;
Nuestro resultado;
Ejemplo # 17
Encontrar:

Haciendo
y
entonces
Obtenemos:
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Página 24
y sustituyendo para
:
Ejemplo 18
Ejemplo 19
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Página 25
Ejemplo 20
al tener esta integral podemos reescribirla asi:
entonces podemos empezar a integrar y tomamos como u a lnx y lo derivamos y
nos quedara así:
tenemos el diferencial entonces podemos proceder a sustituir datos en la integral
y nos quedaría así:
ya podemos integra u ya que tiene integral inmediata y nos quedaría así:
ya al sustituir el valor de u en la respuesta nos quedarías así la respuesta final:
Ejemplo 21
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al tomar como
derivamos
:
ya que se encuentra su diferencial que es
sustituimos los valores en la integral y nos quedarías así:
integramos y sustituimos el valor de
y las respuesta nos quedaría asi
Ejemplo 22
Calcular la integral de:
Identificamos
:
Calculamos diferencial de
:
Sustituimos:
Integramos:
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Página 27
Obtenemos la integral sustituyendo nuevamente
:
Integrales por Partes.
Estrategia para derivar por partes
a) Tomar como u la función que al derivarla se simplifica. También ayuda seguir un orden de
prelación de escogencia para u:
1. Función Inversa 2. Función Logarítmica 3. Función Algebraica 4. Función Trigonométrica 5.
Función Exponencial.
b) Si las 2 funciones tienen el mismo grado de complejidad, al ser derivadas tomar como dv la
función que al integrarla se simplifica.
c) Notar que lo que se desea integrar es un producto entre dos funciones.
D) ojo: una forma fácil de poder encontrar quien es U y qn es dv es que para u se busca el mas
fácil de derivar y para dv el resto. Aplica para muchas integrales que se resuelven por partes. e)
Una integral por parte se puede identificar como cíclica de una manera muy sencilla, si se ve una
exponencial con una trigonométrica específicamente seno o coseno esa integral es cíclica.
Ejemplo 1
Encuentre la primitiva de

Hacemos
y
. Entonces u, v, du y dv son,
Usando la ecuación de integración por partes,
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Página 28
Este nuevo integral es fácil de evaluar.
Ejemplo 2
Encontrar:

Hacemos
y
Entonces u, v, du y dv son:
Ahora tenemos:
Y nuevamente hacemos:
Para obtener:
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Página 29
Ejemplo 3
Encontrar:

Haciendo:
y sabiendo que
Obtenemos:
Nuevamente hacemos para:
Sustituir y operar:
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Página 30
=
Ejemplo 4
Encontrar:

Haciendo:
y sabiendo que
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Página 31
Obtenemos:
Ejemplo 5
Encontrar:

Haciendo:
y sabiendo que
Obtenemos:
Ejemplo 6

Hacemos:
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Página 32
Usando la ecuación de integración por partes:
Tenemos que:
Ejemplo 7
Encontrar:

Hacemos:
Entonces, usando la ecuación de integración por partes
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tenemos:
Página 33
Ejemplo 8
Encontrar:

Hacemos :
Tenemos:
Usamos integración por partes nuevamente para
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:
Página 34
Ejemplo 9
Encontrar:

Hacemos:
Entonces:
lo guardamos un momento mientras encontramos la respuesta de nuestra nueva integral
para nuestra nueva integral
volvemos a integrar por partes:
por lo tanto, nuestra respuesta sería:
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Página 35
Ejemplo 10
Encontrar:

Hacemos:
Entonces:
A simple vista no parece haber mejorado , pero volvamos a integrar por partes otra vez.
Hacemos:
Entonces:
Al sustituir esto en el primer resultado quedaria de la siguiente forma :
Se pueden dar cuenta que el último termino de la ecuación puede pasar a sumar al otro lado de la
ecuación.
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Página 36
Entonces :
Resultado de esto es :
Método por tabulación
Ejemplo 11

tomamos a u como
tomamos a dv como
Tenemos que derivar u hasta que se haga 0 para poder ya escribir la primitiva de lo que nos piden.
multiplicamos u y dv en diagonal, y empezamos a color los signos +,-,+,-,+,...... sucesivamente
hasta que lleguemos al 0.
Entonces la primitiva nos quedará.
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Página 37
Ejemplo 12

tomamos a u como
tomamos a dv como
Tenemos que derivar u hasta que se haga 0 para poder ya escribir la primitiva de lo que nos piden.
No olvidar hacer el respectivo cambio de signos.
Resultado:
tomamos a u como
tomamos a dv como
Tenemos que derivar u hasta que se haga 0 para poder ya escribir la primitiva de lo que nos piden.
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Página 38
No olvidar el cambio de signos
Resultado:
Ejemplo 13

respuesta..
Ejemplo 14

escogemos u y dv de la siguiente forma:
;
entonces obtenemos
;
utilizando nuestra ecuación para la integración por partes sustituimos los valores
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Página 39
podemos notar que de nuevo tenemos otra vez una integral por partes y la resolvemos de la
siguiente manera
;
;
sustituimos siguiendo nuestra ecuación y tenemos
de los dos lados de la ecuación aparece
entonces el del lado derecho de la
ecuación lo pasamos sumando al otro lado y obtenemos
ahora ya solo despejamos y obtenemos la integral
Ejemplo 15

Entonces:
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Página 40
Ejemplo 16
Demostración integral cíclico que contiene exponencial y coseno
Cíclico
Ejemplo 17

Usando la formula de integración por partes
Todavía queda una integral la cual se puede volver a usar la formula de integración por partes para
que quede mas sencilla.
La integral que nos queda no es muy obvia todavía podemos volver a utilizar la formula de
integración por partes.
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Página 41
Nos queda de una forma sencilla que podemos integrar sin ningún problema.
Expandimos.
Simplificamos.
EJEMPLO 18
Evaluar la integral:
Entonces; hacemos las respectivas sustituciones;
Entonces;
Nuestro resultado;
EJEMPLO 19
Evaluar la integral:
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Página 42
Entonces; hacemos las respectivas sustituciones;
"help" -->6
Nuestro resultado;
EJEMPLO 20
Evaluar la integral:
Entonces, hacemos nuevamente nuestras respectivas sustituciones;
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Página 43
Nuestro resultado;
EJEMPLO 21
Evalúe la integral:
Hacemos nuestras sustituciones correspondientes;
Nuestro resultado;
Ejemplo 22
luego definimos cual seria nuestra U y dv
y
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Página 44
luego derivamos u:
E integramos dv por método de sustitución:
entonces por la ecuación de integración por partes nos quedaría:
como podemos ver la integral que nos queda no tiene integración inmediata entonces integramos
otra ves por partes siguiendo el mismo método de arriba tomando como
y dv=
luego derivamos u:
E integramos dv por método de sustitución:
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Página 45
sustituyendo otra ves con la ecuación de integración por partes nos quedaría otra ves así:
como podemos ver aun no nos ya el integral:
ya lo podemos integrar por medio de sustitución y la respuesta nos quedaría así
-
Ejemplo 23
primero escogemos cual va a ser nuestra u y dv para poder empezar, entonces quedarían así:
y
derivamos u y nos quedaría así:
y utilizamos el método de sustitución para poder integrar dv y nos quedaría así:
y al sustituir nos quedaría así:
y al integrar nos quedaría así:
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Página 46
al sustituir en la ecuación de integración por partes nos quedará todo asi:
podemos ver que aun el integral
no tiene integración inmediata entonces
utilizaremos otra vez el método de integración por partes.
entonces volvemos a escoger un u y dv
e integramos nuestro dv:
al integrar nos quedaría así :
al sustituir otra ves en la ecuación de integración por partes nos quedaría:
como podemos ver ya el termino
ya se puede integrar por medio de sustitución la
respuesta nos quedaría así:
Ejemplo 24
Determinar la Integral de:
Sean:
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Página 47
Al integrar por partes se obtiene:
Como la integral que se obtuvo aun no es inmediata, volvemos a utilizar una
segunda vez laintegración por partes, esta vez con
y
,
,
obteniendo:
Como de ambos lados aparece
podemos agrupar términos
semejantes quedando de la siguiente manera:
Despejando y simplificando la expresión obtenemos la integral:
INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS
En esta sección las identidades trigonométricas nos servirán para integrar ciertas combinaciones
de funciones trigonométricas, además nos facilita al calculo de funciones racionales en el cual se
nos facilitara mas aplicar dichas identidades. Comenzaremos con las potencias de seno y coseno.
o
(En donde al menos uno de los exponentes, n o m es un entero positivo).
Para evaluar la integral trigonometrica\int
sen^{n}x*cos^{m}xdx
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Página 48

En general, se intenta escribir un integrando en el que intervienen potencias de seno y
coseno en una forma donde se tiene sólo un factor seno (y el resto de la expresión en
términos de coseno) o sólo un factor coseno (y el resto de la expresión en términos de
seno).

La identidad
permite convertir de una parte a otra entre
potencias pares de seno y coseno.
Tendremos 3 casos:
1. Cuando n es impar
Cuando
en la integral trigonométrica\int sen^{n}x*cos^{m}xdx, podemos apartar un
factor del seno y sustituirlo por la identidad
para poder expresar los
factores restantes en términos del coseno:
Al tener el integral de esta forma se puede resolver por medio de sustitución haciendo
,
multiplicamos ambos lados por
. Como en la expresion no tenemos un
y nos queda la expresión
que ya
podemos sustituir:
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Página 49
2. Cuando m es impar
Cuando
en la integral trigonemetrica\int sen^{n}x*cos^{m}xdx, podemos de la
misma manera apartar un factor de coseno y emplear
expresar los factores restantes en términos del
al hacer
y
para poder
:
tendríamos
3. Cuando m y n son pares
Cuando las potencias de la integral trigonemtrica\int sen^{n}x*cos^{m}xdxson pares a la vez
y
, podemos aplicar las identidades de la mitad de ángulo
-y-
algunas veces nos sera útil utilizar la
identidad
seria igual a:
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Página 50
 Se puede usar una estrategia similar a la anterior.
Puesto que:
, se puede separar un factor
y convertir la potencia
restante (par) de la secante en una expresión relacionada con la tangente por medio de la
identidad
.
O bien, puesto que:
, se puede separar un factor
y convertir la
potencia restante (par) de tangente a secante.
Tendremos 5 casos:
1. Cuando n es par
separar un factor de
y utilice
expresar los factores restantes en términos de
de esta manera podemos hacer
y
para lograr
:
y el integral
quedaría así:
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Página 51
2. Cuando m es impar
apartar un factor de
y emplear
para poder expresar los factores que restan en términos de
de esta manera podemos hacery
:
y nos queda
4.\int sec^{2k+1}xdx
Al encontrarnos con este caso debemos integrar por partes tal como se muestra en
el ejemplo 8.
5. cuando no cabe en 1, 2, 3, 4
Al no encontrar la forma de ninguno de los pasos anteriores deberemos trasladarlo
a
y
recordando que:
Para otros casos, las directrices no son tan claras. Podría ser necesario usar
identidades, integración por partes y, ocacionalmente, un poco de inventiva.

A veces será necesario poder integrar

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por medio de la fórmula establecida:
Se necesitará también la integral indefinida de la secante:
Página 52
Esta última se podría comprobar mediante la derivación de lado derecho, o
como sigue:
Primero se mutiplican numerador y denominador por
Si se sustituye
:
, después
,
también, la integral se convierte en:
Así, se tiene:
NOTAPara integrales que contienen cosecantes y
cotangentes, la estrategia es análoga a la del par secantestangentes. Recordar la identidad:
IDENTIDADES
TRIGONOMETRICAS
FUNDAMENTALES QUE LES
SERVIRA DE MUCHA AYUDA
Identidades recíprocas
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Página 53
Identidades pitagóricas
Identidades de paridad
Ejemplos
Ejemplo #1
Evaluar

SoluciónLa simple sustitución
pues
no va a servir
.
Para integrar potencias del coseno necesitaríamos un factor
sen x extra. También una potencia del seno necesitaría un
factor
de más. De modo que se puede separar un
factor del coseno y convenir el que queda, es decir,
,
en una expresión que contenga el seno por medio de la
identidad
Es útil contar con el factor adicional, luego se evalúa la
integral sustituyendo
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y
,y
Página 54
En general trataremos de escribir un integrado que contenga
potencias de seno y de coseno en una forma que contenga
un solo factor de seno ( y lo restante de la expresión en
términos de coseno) o bien un solo factor coseno ( y lo
demás en términos de seno), la identidad
nos permite convertir de potencias
pares de seno a potencias pares de coseno e inversamente.
Ejemplo #2
Determine

SoluciónPodríamos convertir
a
quedaríamos con una expresión en términos de
factor
sin
extra. En vez de eso, separamos un solo factor
seno y reescribimos el factor
de
pero nos
restante en términos
:
Sustituyendo
, tenemos
luego
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Página 55
En los ejemplos anteriores una potencia impar del seno o el
coseno nos permitió separa un factor simple y convertir la
potencia complementaria. Si el integrando contiene potencias
pares de seno tanto como de coseno esta estrategia falla. En
este caso aprovechamos las identidades del ángulo mitad.
y
Ejemplo #3
Evaluar

Solución
Si escribimos
, la integral no
queda mejor. Pero usando la fórmula del ángulo mitad para
, tenemos
Observamos que, mentalmente, hicimos la sustitución
al integrar
.
Ejemplo #4
Determine

Prof Jesús Olivar
Página 56
Es posible evaluar esta integral con la fórmula de reducción
para
con el resultado del ejemplo 1, pero otro
método es expresar
y aplicar la
fórmula del ángulo mitad;
Ya que se representa con
, debemos emplear otra
fórmula de mitad de ángulo.
Con esto llegamos a
Como resumen, listamos los lineamientos a seguir al evaluar
integrales de la forma
donde
y
son enteros.
Cómo evaluar
(a) Si la potencia del coseno es impar (n=2k+1) , aparte un
factor de coseno y emplee
para expresar los
factores restantes en términos del seno:
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Página 57
=\int sen^mx(1-sen^2x)^kcosxdx
A continuación, sustituya
(b)Si la potencia sel seno es impar (
factor del seno y use
, aparte un
para expresar los
factores restantes en términos del coseno:
Luego, reemplace
. Advierta que si las potencias
de sen y de cos son ambas impares use (a) o (b)
(c)Si las potencias del seno y coseno son pares a la vez,
aplicamos las identidades de mitad del ángulo:
A veces es útil emplear la identidad
Usaremos una estrategia similar para evaluar integrales de la
forma
. Sabiendo que (d/dx)
, podemos separar un factor
y
convertir la potencia restante (impar) de secante a una
expresión que contiene tangente usando la identidad
. O, ya que (d/dx)
, podemos separar un factor sec x
tan x y convertir la potencia restante(par) de tangente a
secante.
Ejemplo #5
Encontrar
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Página 58

=
=
=
=
Ejemplo #6
Encuentre:
Esta integral puede escribirse como:
Y en tal caso realizamos lo siguiente:
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Página 59
Integrales por Sustitución Trigonométrica
Cuando calculamos áreas de un círculo o una elipse encontraremos integrales que tengan la forma
de:
Nota
Generalmente se traza el dibujo de un diagrama en donde aparezca un triángulo rectángulo,
colocando un
que vamos a interpretar como uno de los ángulos de este triángulo. Para evaluar
la integral se colocan los datos recibidos en ella en los catetos/hipotenusa correspondientes, y es
allí en donde utilizamos lassustituciones trigonométricas, por medio de las identidades
trigonométricas para expresar de la manera que mejor convenga
,
,
, etc.
Es parecido a utilizar el método deSustitución, solo que aquí sustituimos con las identidades
trigonométricas.
Sustitución #1
despejar la x de la siguiente manera:
Prof Jesús Olivar
Página 60
Sustitución #2
despejamos X de tal manera que
y
Sustitución # 3
despejamos X y nos quedaría de la siguiente manera
y
por lo tanto
entonces :
Prof Jesús Olivar
Página 61
Ejemplo # 1

Utilizamos nuestro triangulo para obtener función trigonométrica:
Despejamos
luego le sacamos su diferencial y nos quedaría de la siguiente manera:
Luego tenemos:
Despejamos
nos queda asi:
Luego sustituimos nuestros datos en la integral y queda de la siguiente manera:
En esta parte se eliminan
Prof Jesús Olivar
y
y nos queda:
Página 62
Como el es una constante lo podemos sacar de la integral, y utilizamos la identidad trigonométrica
La integral de
Ya por ultimo sacamos
de nuestro triangulo y el resultado final es:

Ejemplo # 2

Utilizamos nuestro triangulo para obtener nuestras funciones trigonométricas:
luego despejamos
y le sacamos su diferencial:

Para
intentamos buscar una función trigonométrica para que sea mas fácil sustituirla en
la integral, la que se va utilizar seria
Prof Jesús Olivar
:
Página 63

Ahora que tenemos nuestros datos lo podemos sustituir en la integral, y operamos:

Sabemos que la
Luego solo buscamos una función trigonométrica de nuestro triangulo y el resultado final es:

Ejemplo #3
Resuelva.
Como se puede notar esta función no tiene ninguna de las formas (a+x, a-x,x-a)
pero podemos complementar al cuadrado.
formamos el triangulo.
tenemos que:
Prof Jesús Olivar
Página 64
Sustituyendo.
Resolvemos.
bucamos la funcion trigonometrica en el triangulo.
--Jorgetr16:01 31 jul 2009 (UTC)
Ejemplo # 4
Demuestre
IMAGEN
derivamos.
elevamos al cuadrado.
Prof Jesús Olivar
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Sustituios.
Simplificando
despejamos \Theta .
Sustituimos.
--Jorgetr17:15 31 jul 2009 (UTC)
Ejemplo # 5
Prof Jesús Olivar
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elevamos al Cubo
Sustituimos en la Integral
Integramos y nos queda
Sustituimos el Seno por Opuesto que es x y la hipotenusa.
--Antonio Moran19:04 31 jul
2009 (CST)tonymoran
Ejemplo # 6
Prof Jesús Olivar
Página 67
--Antonio Moran23:07 31 jul 2009 (CST)tonymoran
Ejemplo # 7
Derivamos esta ecuacion y nos queda....
Sustituimos nuestras funciones trigonometricas en la integral...
Integramos....
--Antonio Moran13:02 16 ago 2009 (CST)tonymoran
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Ejemplo # 8
Derivamos la ecuacion.....
Sustituimos las funciones trigonometricas en la Integral...
Eliminamos los Senos y las constantes...
Integramos...
--Antonio Moran13:15 16 ago 2009 (CST)tonymoran
Ejemplo # 9
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Derivamos la ecuacion...
Sustituimos las funciones trigonometricas en la Integral...
Hacemos esta integral por partes...
Prof Jesús Olivar
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Aplicamos leyes de logaritmos y nos queda.....
Tomamos a C -ln(a) como una constate K....
--Antonio Moran15:35 16 ago 2009 (CST)tonymoran
Ejemplo #10
Resuelva.
tenemos que nuestra
sustituimos
la primitiva
esto lo multiplicamos por
Ejemplo #11
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Resuelva.
tenemos que nuestra
sustituimos
la primitiva
esto lo multiplicamos por
Ejemplo #12
Resuelva.
tenemos que nuestra
sustituimos
la primitiva
esto lo multiplicamos por
obtenemos de resultado que
Introducción a las fracciones parciales
El método de las fracciones parciales consiste en reducir un cociente de polinomios en fracciones
más simples, que permitan obtener de manera inmediata una integral o una transformada de
Laplace Inversa. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea
estrictamente mayor que el grado del numerador.
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Definimos fracciones parciales a la función F(x) en la cual dicha función depende de un numerador
y un denominador. Para que sea una fracción parcial el grado del denominador tiene que ser
mayor al grado del numerador.
Las integrales por fracciones parciales es de la forma

P(x)yQ(x)son polinómios

El grado deP(x)es menor que el deQ(x)
donde:
NOTA

Lasfracciones parcialesse utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y
obtener sumas de expresiones más simples.

En álgebra,fracción parcial,descomposiciónoextensión parcialde la fracción se utiliza para
reducir el grado de el numerador o el denominador de a función racional. El resultado de la
extensión parcial de la fracción expresa esa función como la suma de las fracciones, donde:
- El denominador de cada término es irreducible (no factorizable) polinómico y,
- El numerador es un polinomio de un grado más pequeño que ese polinomio irreducible.
Caso I (Factores Lineales Distintos)
En este caso tenemos que los factores del denominador son todos factores lineales distintos.
Q(x) = (a1x+b1)(a2x+b2)(a3x+b3)...(anx+bn)aybson constantes, proponer:
(1)
EncontrarA1,A2,An
Ejemplo Caso I
Sea
.
Primero factorizamos el denominador nos quedaría
Tenemos entonces dos factores lineales no repetidos usamos elcaso Ipara escribir
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Sigue este link para ver 5 ejemplos mas de fracciones parciales
Caso II (Factores Lineales Repetidos)
Suponga que el primer factor lineal(a1x+b1)se repiterveces; es decir,(a1x+b1)raparece en la
factorización deQ(x). Por lo tanto en lugar del término simple
en(1), se usaría
(2)
Ejemplo caso II
Si tenemos
en el denominadorQ(x) = (x+ 1)3(x− 1)(x− 2)podemos ver que tenemos que tenemos los
factores lineales(x− 3)3,x− 1yx− 2
 Para(x− 1)y(x− 2)usamos elcaso Ientonces escribimos
 Para(x+ 1)3usamos elcaso IIentonces escribimos
Ahora juntamos las fracciones anteriores y obtenemos,
Sigue este link para ver 5 ejemplos mas de fracciones parciales
Caso III (Factores Cuadráticos Irreducibles)
SiQ(x)tiene un factor de la formaax2+bx+c, dondeb2− 4ac< 0(esto nos dice que no se puede
expresarax2+bx+ccomo la multimplicacion de dos fatores lineales pues la solución de la
cuadratica es compleja) además de las fracciones parciales de(1)y(2)entonces la expresión
para
tendrá un término de la forma
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Ejemplo Caso III
podemos notar quex2+ 1es una cuadrática irreducible
Sea
ya que su solución es compleja entonces para este factor escribimos una suma de la forma
y para el factor(x+ 1)2escribimos las fracciones
Sumamos estas fracciones y tenemos la expresion en fraciones parciales paraf(x)
Sigue este link para ver 5 ejemplos mas de fracciones parciales
Caso IV (Factor Cuadrático Irreducible repetido)
SiQ(x)tiene un factor de la forma(ax2+bx+c)r, dondeb2− 4ac< 0, luego en lugar de la única
fracción parcial
, escribimos la suma
Ejemplo Caso IV
Sea
usamos el Caso II y el Caso IV y nos queda
Sigue este link para ver 5 ejemplos mas de fracciones parciales
Caso V (Fracción Impropia)
Si
es una fracción impropia (es decir, el grado deP(x)es mayor o igual que el
deQ(x)entonces dividirP(x)porQ(x)para obtener:
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Donde el grado deP1(x)es menor que el grado deQ(x)
Ejemplo Caso V
Sea
podemos notar que el grado del numerador2x3− 4x2− 15x+
5es 3 y es mayor que el grado del denominadorx2− 2x− 8que es 2 por lo que la fracción es un
fracción impropia entonces hacemos division larga,
Entonces podemos escribir
donde en la fracción
el grado del numerador es menor que el grado del
denominador entonces ya podemos aplicar los métodos antes mencionados.
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