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MATEMÁTICA BÁSICA: TRIGONOMETRÍA CLASE 25-26: repaso de conceptos. MEDIDA DE ÁNGULOS y RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PROFESOR EFRÉN GIRALDO T. INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITAN0 ITM NOVIEMBRE 2011 Elaboró Efrén Giraldo Toro 2 • Básicamente la trigonometría es la relación matemática entre los ángulos y los lados de un triángulo. • La trigonometría tiene que ver principalmente con las funciones: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Elaboró Efrén Giraldo Toro 3 • “Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión”. • “Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites” http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa Elaboró Efrén Giraldo Toro 4 ÁNGULO: es la figura formada por 2 semirrectas que se unen en un O llamado vértice A AÔB O B CLASIFICACIÓN DE ÄNGULOS 1 – Según su medida A A A B Agudo: AÔB 90º O Recto: AÔB = 90º =π/2 Obtuso: AÔB B O B O 90º A Elaboró Efrén Giraldo Toro 5 O O B Plano o LLano: AÔB = 180º = π A B Completo: AÔB = 360º =2π Consecutivos: son ángulos que tienen el mismo vértice y un lado común A B C AÔB y BÔC son ángulos consecutivos A Elaboró Efrén Giraldo Toro 6 2– B A C AÔB y BÔC son ángulos adyacentes Adyacentes: son dos ángulos consecutivos cuyos lados no comunes son líneas opuestas 2.3 Opuestos por el vértice: Son aquellos cuyos lados de uno son las prolongaciones en sentido contrario de los lados del otro A D B O C AÔB y DÔC son ángulos opuestos por el vértice AÔD y BÔC son ángulos opuestos por el vértice 3.1 Complementarios: un ángulo es complementario de otro cuando la suma de sus medidas es 90º A B O AÔB y BÔC son ángulos complementarios C 3.2 Suplementarios: un ángulo es suplementario de otro cuando la suma de sus medidas es 180º B A O C AÔB y BÔC son ángulos suplementarios Elaboró Efrén Giraldo Toro 8 La medida del ángulo debe ser independiente de estos “arcos” o sea, que no depende de la distancia a la cual se tome desde el vértice Elaboró Efrén Giraldo Toro 9 + • Ángulos positivos: sentido antihorario, Ángulos negativos: sentido horario (Stewart, 2007) Elaboró Efrén Giraldo Toro 10 http://es.scribd.com/doc/12731979/CIRCULO-UNITARIO Elaboró Efrén Giraldo Toro 11 Unidades de medidas de ángulos En trigonometría, se emplean tres unidades: 1. La más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal. Divide una circunferencia en 360 partes iguales o grados°. Por tanto 1/360 es 1° (un grado). 2.En matemáticas es el Radián la más usada. Se basa en la idea de colocar la longitud del radio o a lo largo de la circunferencia 3.El Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se usa en topografía, arquitectura o en construcción” y se divide la circunferencia en 400 partes. Elaboró Efrén Giraldo Toro 12 90° Sistema Sexagesimal 180° 0 0° 360° 270° Este ángulo en particular, se dice que mide 1º (un grado), y que corresponde a un ángulo entre los 360 que se pueden dividir la circunferencia. Un grado corresponde a dos líneas rectas pequeñas tomadas desde el centro 0 (Ruben Álbarez Cabrera,Trigonometría contemporanea). Elaboró Efrén Giraldo Toro 13 Se llama sexagesimal porque 1° grado se divide en 60 partes lo cual da un minuto 1´ y a su vez el minuto se divide en 60 lo cual da un segundo o 1” 1º = 60´ 1´ = 60” 1º = 3600” CONVERSIÓN DE MEDIDAS. Multiplicar por 60 Multiplicar por 60 GRADOS MINUTOS Dividir por 60 SEGUNDOS Dividir por 60 Elaboró Efrén Giraldo Toro 14 Convertir grados a minutos y minutos a segundos 17º = 17 * 60 = 1020´ • También se puede dar como 17º 20´ , diecisiete grados con veinte minutos. ¿Cuántos minutos serán? ¿Cuántos segundos serán? 17º 20´ = 17 * 60 + 20´= 1020´+ 20´= 1040´ mil cuarenta minutos • Se convierten los 17 grados a minutos y se le suman los 20 minutos. • Luego los minutos a segundos • 1040 minutos*60 = 62.400 segundos Elaboró Efrén Giraldo Toro 15 • 2. Un Radian: es un ángulo que sostiene un arco de longitud igual al radio r. Ese ángulo diremos que mide 1 radián • En una circunferencia esto se puede hacer un 6 veces y un pedacito = 6.28 Elaboró Efrén Giraldo Toro 16 • Es decir, si se corta un pedazo de cuerda de longitud exactamente igual al radio, ¿cuántos trozos harían falta para dar una vuelta completa alrededor de la circunferencia? • Más o menos 6.28 trozos de cuerda o 2*3.14= 2π= 6.28… Elaboró Efrén Giraldo Toro 17 • La longitud de una circunferencia completa es 2π radianes o 6.28. • 6.28 qué? • De pende de la unidad de medida usada: • Si el radio es 1 m será 6.28m • Si el radio es 1km será 6.28km • Si r= 1 pulgada será 6.28 pulg. • Si el radio r no es unitario L= 2πr (la unidad de medida usada) Elaboró Efrén Giraldo Toro 18 http://www.google.com.co/imgres?q=radian&um=1&hl=es&sa=N&rlz=1R2ADRA_esCO438&biw=1280&bih=558&tbm=isch&tbnid=CAUsa3QTJGZ1GM:&imgrefurl=http://zonal andeducation.com/mmts/trigonometryRealms/radianDemo1/RadianDemo1.html&docid=GdWJzff4HLh6WM&w=484&h=448&ei=L76UTuGZNujc0QGxrem9Bw&zoom=1&iact= hc&vpx=712&vpy=108&dur=960&hovh=216&hovw=233&tx=113&ty=106&page=1&tbnh=159&tbnw=172&start=0&ndsp=11&ved=1t:429,r:8,s:0 Elaboró Efrén Giraldo Toro 19 Se toma como referencia el eje x Elaboró Efrén Giraldo Toro 20 Ángulos en radianes (Stewart, 2007) Elaboró Efrén Giraldo Toro 21 2 radianes Elaboró Efrén Giraldo Toro 22 Grados y los radianes correspondientes Elaboró Efrén Giraldo Toro 23 • Existen aparatos que nos permiten conocer medidas de ángulos y otras herramientas encaminadas a facilitarnos los cálculos. Elaboró Efrén Giraldo Toro 24 http://es.scribd.com/doc/12731979/CIRCULO-UNITARIO Elaboró Efrén Giraldo Toro 25 (Stewart, 2007) Elaboró Efrén Giraldo Toro 26 (Stewart, 2007) Elaboró Efrén Giraldo Toro 27 (Stewart, 2007) Elaboró Efrén Giraldo Toro 28 Ángulo en posición normal o estándar • Un ángulo en el plano xy está en la posición normal o estándar si su vértice está en el origen de coordenadas y su lado inicial coincide con el eje x positivo y el final en cualquier otra posición. • Es todo ángulo que se toma a partir del eje x Elaboró Efrén Giraldo Toro 29 (0,0) http://es.scribd.com/doc/12731979/CIRCULO-UNITARIO Elaboró Efrén Giraldo Toro 30 Los ángulos en posición normal o estándar pueden ir en sentido antihoraio + u horario (Stewart, 2007) Elaboró Efrén Giraldo Toro 31 • Ángulos coterminales: • Dos ángulos son coterminales si coinciden en su lado inicial y final. Esto no implica que sean iguales. • Si un ángulo es menor que 360°, es muy fácil obtener ángulos coterminales partir de el; basta sumar o restar múltiplos de 360° o de 2π si el ángulo está en radianes. • Nota: siempre se debe tomar el ángulo coterminal a partir del eje x, ya sea en sentido positivo o negativo. Elaboró Efrén Giraldo Toro 32 http://es.scribd.com/doc/12731979/CIRCULO-UNITARIO Elaboró Efrén Giraldo Toro 33 . Por ejemplo 30°, –330° y 390° son todos ángulos coterminales . http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/coterminal-angles.html Elaboró Efrén Giraldo Toro 34 http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/coterminal-angles.html Elaboró Efrén Giraldo Toro 35 ángulo de . http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/coterminal-angles.html Elaboró Efrén Giraldo Toro 36 Si conocemos un ángulo cuya medida es 85°, podemos obtener todos los ángulos coterminales que queramos: • 85°+ 360 = 445° • 85 + 2*360= 805° , • 85 + 3*360= 1165°, etc. • Y también negativo, restamos: • 85°-360°= -275° • 85°-2*360°=-635 Elaboró Efrén Giraldo Toro 37 • Cuando el ángulo es mayor que 360° y deseamos obtener un ángulo coterminal menor que 360° • Coterminal de 900°: 900 360 1. Dividir 900÷360 180 2 2. Tenemos 2 como cociente y 180 como residuo 3. Se interpreta así: el ángulo ha dado dos vueltas positivas de 360° y el ángulo coterminal es el residuo de la división o sea 180° Elaboró Efrén Giraldo Toro 38 Ejemplo 1: Encuentre un ángulo coterminal negativo y uno positivo con un ángulo de 55°. 55° – 360° = –305° 55° + 360° = 415° Un ángulo de –305° y un ángulo de 415° son coterminales con un ángulo de 55°. http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/coterminal-angles.html Elaboró Efrén Giraldo Toro 39 de 55°. Elaboró Efrén Giraldo Toro 40 http://es.scribd.com/doc/12731979/CIRCULO-UNITARIO Elaboró Efrén Giraldo Toro 41 Triángulos • El triángulo es el polígono más simple y el más fundamental, ya que cualquier polígono puede resolverse en triángulos Elaboró Efrén Giraldo Toro 42 • Triángulo Isósceles • Se llama triángulo isósceles al que tiene dos lados iguales; el tercer lado es la base. Los ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales; • Si dos ángulos de un triángulo son iguales, los lados opuestos a dichos ángulos también serán iguales y viceversa . http://trigonometria.galeon.com/ Elaboró Efrén Giraldo Toro 43 . Se llama triángulo equilátero al que tiene los tres lados iguales. Por tanto los tres ángulos de un triángulo equilátero son iguales; recíprocamente, si los tres ángulos de un triángulo son iguales, el triángulo es equilátero. http://trigonometria.galeon.com Elaboró Efrén Giraldo Toro 44 Cuando uno de los ángulos es recto (igual a 90º), se llama triángulo rectángulo. Y este triangulo es la base de mucha parte de la trigonometría. Recordar que la suma de los 3 ángulos de un triángulo cualquiera suman 180º. Si se conoce un ángulo ∝ de un triángulo rectángulo, el otro ángulo se conoce fácilmente:90-∝ Así, si un ángulo es 30º el otro será 90º-30º= 60º http://trigonometria.galeon.com Elaboró Efrén Giraldo Toro 45 TEOREMA DE PITÁGORAS (HIPOTENUSA)2 A HIPOTENUSA CATETO 1 B CATETO 2 C http://trigonometria.galeon.com Elaboró Efrén Giraldo Toro 46 12 5 5 29 21 4 13 3 20 http://trigonometria.galeon.com Elaboró Efrén Giraldo Toro 47 48 Elaboró Efrén Giraldo Toro 48 (90º −∝) http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Trigono_a10.svg Elaboró Efrén Giraldo Toro 49 http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Trigono_a10.svg Elaboró Efrén Giraldo Toro 50 TEOREMA DE PITÁGORAS H 12 H2 122 352 H 1369 37 35 sen 12 37 12 tan 35 cos 35 37 35 cot 12 sec csc 37 35 37 12 http://www.google.com.co/#sclient=psyab&hl=es&site=&source=hp&q=Rub%C3%A9n%20Alba%20Cabrera.%20Trigonometr%C3%ADa%20contemporanea.%20http%3A%2F%2Fwww.sectormatematica.cl%2Fppt.ht m&pbx=1&oq=&aq=&aqi=&aql=&gs_sm=&gs_upl=&bav=on.2,or.r_gc.r_pw.,cf.osb&fp=5d66ad1cdfb15af2&biw=1024&bih=572&pf=p&pdl=3000 Elaboró Efrén Giraldo Toro 51 • Nota importante: • Las funciones trigonométricas son en realidad razones trigonométricas puesto que son el resultado de la división entre los diferentes lados de un triángulo rectángulo(catetos e hipotenusa) Elaboró Efrén Giraldo Toro Elaboró Efrén Giraldo Toro 52 (Stewart, 2007) Elaboró Efrén Giraldo Toro 53 (Stewart, 2007) Elaboró Efrén Giraldo Toro 54 (Stewart, 2007) Elaboró Efrén Giraldo Toro 55 Valores positivos o negativos de la x respectivos cuadrantes. Elaboró Efrén Giraldo Toro y la y en los 56 Valores positivos o negativos de las funciones trigonométricas en los respectivos cuadrantes Elaboró Efrén Giraldo Toro 57 Elaboró Efrén Giraldo Toro 58 Funciones o Razones trigonométricas de 45° Estas funciones se deducen dividiendo un cuadrado de lado 1 en 2 triángulos rectángulos isósceles. Los 2 catetos iguales tienen medida 1, sus ángulos agudos miden 45° cada uno. La hipotenusa de este tipo de triángulo rectángulo es según Pitágoras: 2 http://www.google.com.co/imgres?q=funciones+trigonometricas+de+45&hl=es&biw=1280&bih=859&gbv=2&tbm=isch&tbnid=EhUrPt8DbomJoM:&imgrefurl=http://www.t areasfacil.info/Matematicas-Basicas/trigonometria-basicaelementos.html&docid=fkAMxapcbTa07M&imgurl=http://www.tareasfacil.info/imaganes/clip_image048_0084.jpg&w=213&h=161&ei=YdiZTrW3GIGztwe16IDrAw&zoom =1&iact=hc&vpx=883&vpy=627&dur=89&hovh=128&hovw=170&tx=103&ty=115&sig=108289476752443945942&page=1&tbnh=128&tbnw=170&start=0&ndsp=20&ved =1t:429,r:18,s:0 59 45° 2 1 45° 1 sin 45 = • 1 2 , racionalizando= 2 2 Lo mismo para las otras funciones Elaboró Efrén Giraldo Toro • Funciones de 30° y 60° • Estas funciones se deducen del triángulo equilátero cuyos 3 lados miden cada uno 1 y sus ángulos por tanto miden 60° cada uno. • La bisectriz b divide al ángulo de 60° en 2 ángulos de 30° cada uno y al lado 1 de la base en dos 1 segmentos iguales a =0,5 cada uno 2 Elaboró Efrén Giraldo Toro 61 30° 1 3 2 1 2 2 2 𝑏 =1 − 60° 1 2 = 2 4−1 3 1- = = 1 4 4 4 Elaboró Efrén Giraldo Toro b= 3 4 = 3 2 62 http://www.google.com.co/imgres?q=funciones+trigonometricas+de+30+60+y+45&um=1&hl=es&sa=N&biw=1280&bih=859&tbm=isch&tbnid=EqItcxVK5wXMnM:&im grefurl=http://www.tareasfacil.info/Matematicas-Basicas/trigonometria-basicaelementos.html&docid=fkAMxapcbTa07M&imgurl=http://www.tareasfacil.info/imaganes/clip_image052_0056.jpg&w=518&h=157&ei=DuKZTtbCYK5twfrj4GHBA&zoom=1&iact=hc&vpx=401&vpy=632&dur=323&hovh=120&hovw=400&tx=301&ty=94&sig=108289476752443945942&page=2&tbnh=74&tbnw= 243&start=26&ndsp=23&ved=1t:429,r:1,s:26 Elaboró Efrén Giraldo Toro 63 PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGOMOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS: son las que al multiplicar la una por la otra dan 1 o la una es igual 1 sobre la otra. 1 sen csc 1 cos sec 1 tan cot sen csc 1 cos sec 1 tan cot 1 Rubén Alba Cabrera. Trigonometría contemporanea. http://www.sectormatematica.cl/ppt.htm Elaboró Efrén Giraldo Toro 64 EJEMPLOS 1 o csc 36 A) sen36o C) tan 49o cot 49o 1 1 o B) sec17 cos17o D)sen2 csc 2 1 Rubén Alba Cabrera. Trigonometría contemporanea. http://www.sectormatematica.cl/ppt.htm Elaboró Efrén Giraldo Toro 65 CÍRCULO UNITARIO • Un círculo unitario es el conjunto de puntos que están a una distancia 1 del centro o sea que su radio es 1 y su ecuación es: • 𝑥 2 +𝑦 2 = 1 • Si se ubica el círculo unitario en un plano cartesiano su centro coincide con el origen de coordenadas (0,0) y los ángulos se comienzan a medir a partir del eje x ó punto P(1,0) Elaboró Efrén Giraldo Toro 66 𝒙𝟐 +𝒚𝟐 = 𝟏 (0,0) r=1 (1,0) Círculo unitario Elaboró Efrén Giraldo Toro 67 Gráfica de coordenadas de cualquier punto (x,y) del círculo en el plano xy. El seno y el coseno por definición son: • • 𝑦 sin ∝= 1 𝑥 cos ∝= 1 sin ∝= 𝑦 cos ∝= 𝑥 Elaboró Efrén Giraldo Toro 68 • El seno de un ángulo se asocia con y • o eje vertical • • El coseno se asocia con x o eje horizontal Elaboró Efrén Giraldo Toro 69 Por tanto las coordenadas P(x,y) que estén en el círculo unitario se representan trigonométricamente también como P(𝒄𝒐𝒔 ∝ , 𝐬𝐢𝐧 ∝ ) Elaboró Efrén Giraldo Toro 70 Lo cual permite que conocido el ángulo ∝ , se pueda hallar su posición en el círculo P(x,y) mediante P(𝒄𝒐𝒔 ∝ , 𝐬𝐢𝐧 ∝ ) • ∝=30° • x = cos 30° = 0.866 • y = sin 30° = 0.5 A un ángulo de 30° le corresponde en el círculo unas coordenadas P(0.866, 0.5) Elaboró Efrén Giraldo Toro 71 • Lo anterior vale tanto para ángulos en grados ° como en radianes (𝜋 o números reales) puesto que las calculadoras permiten ambos sistemas adecuándolas convenientemente en el modo “sexages” o “radianes” • Hallar la posición en el plano xy de un ángulo de 5𝜋 6 • • 5𝜋 cos = −0.866 6 5𝜋 sin = 0.5 por 6 tanto P(−0.866,0.5) • - significa que está en el segundo cuadrante • Nota. Tener cuidado con el signo. Elaboró Efrén Giraldo Toro 72 5𝜋 6 0.5 −0.866 Posición del ángulo 5𝜋 6 en el círculo 5𝜋 5𝜋.180° = =150° 6 6𝜋 Elaboró Efrén Giraldo Toro 73 • Los puntos del círculo se pueden asociar a los puntos P(x,y) del plano cartesiano. Conocido el ángulo se puede hallar sus coordenadas, http://recursostic.educacion.es/gauss/web/materiales_didacticos/misc_eso/applets/defcosi.htm http://www.geogebra.org/en/upload/files/Ferito/Circulo_Unitario.html Elaboró Efrén Giraldo Toro 74 • La ecuación del circulo unitario es • 𝒙𝟐 +𝒚𝟐 = 𝟏 • Y como 𝑥 = cos ∝ • 𝑦 = sin ∝ • 𝒔𝒆𝒏𝟐 ∝ +𝒄𝒐𝒔𝟐 ∝= 𝟏 • Esta es una identidad fundamental de la trigonimetría Elaboró Efrén Giraldo Toro 75 • Las funciones circulares se basan en una función cuyo dominio es el conjunto de los números reales y el rango es el conjunto de los puntos del círculo unitario. Elaboró Efrén Giraldo Toro 76 • • http://recursostic.educacion.es/gauss/web/materiales_didacticos/misc_eso/applets/defcosi.html http://www.geogebra.org/en/upload/files/Ferito/Circulo_Unitario.html • • http://www.vadenumeros.es/geogebra/geometria/goniometrica.html http://geogebra.geometriadinamica.org/construccion_de_las_razones_trigonometricas.html Elaboró Efrén Giraldo Toro 77
