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CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Ejer. 11-16: Encuentre los valores exactos de x y y.
11
Estime la distancia del estudiante al punto a nivel del suelo
que está directamente abajo del pico.
12
x
21,477.4 ft
4
x
30
25 Bloques de Stonehenge Stonehenge en los llanos de Salisbury, Inglaterra, fue construido usando bloques de piedra
maciza de más de 99,000 libras cada uno. Levantar un solo
bloque requería de 550 personas que lo subían por una
rampa inclinada a un ángulo de 9°. Calcule la distancia que
un bloque era movido para levantarlo a una altura de 30
pies. 192 ft
3
y
60
y
x 2 23; y 23
13
14
x
7
10
45
y
30
x 7 22; y 7
x
y
27 Resolución de telescopio Dos estrellas que están muy cercanas entre sí pueden aparecer como una sola. La capacidad
del telescopio para separar sus imágenes se llama resolución. Cuanto menor es la resolución, mejor es la capacidad
del telescopio para separar imágenes en el cielo. En un telescopio de refracción, la resolución (vea la figura) se
puede mejorar al usar un lente con diámetro D más grande.
La relación entre en grados y D en metros está dada por
sen 1.22D, donde es la longitud de onda de la luz
en metros. El telescopio de refracción más grande del
mundo está en la Universidad de Chicago. A una longitud de onda de 550 109 metros, su resolución es
0.000 037 69°. Calcule el diámetro del lente. 1.02 m
x 5; y 5 23
15
16
4
8
x
45
y
x
60
y
x 4 23; y 4
Ejer. 17-22: Encuentre los valores exactos de las funciones
trigonométricas para el ángulo agudo u.
3
17 sen 5
8
18 cos 17
5
19 tan 12
7
20 cot 24
3 4 3 4 5 5
5, 5, 4, 3, 4, 3
21 sec 56
6
, 6,
5
Ejercicio 27
u
15 8 15 8 17 17
17 , 17 , 8 , 15 , 8 , 15
5 12 5 12 13 13
13 , 13 , 12 , 5 , 12 , 5
211 5 211
26 Altura de un anuncio espectacular Colocado en 1990 y removido en 1997, el anuncio más alto del mundo era una
gran letra I situada en lo alto del edificio de 73 pisos First
Interstate World Center en Los Ángeles. A una distancia
de 200 pies del punto directamente abajo del anuncio, el
ángulo entre el suelo y la cima del anuncio era de 78.87°.
Calcule la altura de la cima del anuncio. 1017 ft
24 7 24 7 25 25
25 , 25 , 7 , 24 , 7 , 24
22 csc 4
,
5
211
,
6
5,
6
211
1
4,
215
4
,
1
215
, 215,
4
215
,4
23 Altura de un árbol Un guardabosque, situado a 200 pies de
la base de una sequoia roja, observa que el ángulo entre el
suelo y la cima del árbol es de 60°. Estime la altura del
árbol.
346.4 ft
24 Distancia al Monte Fuji El pico del Monte Fuji de Japón
mide aproximadamente 12,400 pies de altura. Un estudiante
de trigonometría, situado a varias millas del monte, observa
que el ángulo entre el nivel del suelo y el pico es de 30.
28 Fases de la Luna Las fases de la Luna se pueden describir
usando el ángulo de fase , determinado por el Sol, la Luna
y la Tierra, como se muestra en la figura. Debido a que la
Luna gira alrededor de la Tierra, el ángulo cambia durante
el curso de un mes. El área de la región A de la Luna, que
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CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
6.7
Ejercicios
Ejer. 1-8: Dadas las partes indicadas del triángulo ABC con
g 90°, encuentre los valores exactos de las partes restantes.
1 30,
b 20
60, a 203 23, c 403 23
2 45,
b 35
45, a 35, c 35 22
60
3 45,
c 30
4 60,
5 a 5,
b5
6 a 4 23, c 8
45, a b 15 22
45, c 5 22
7 b 5 23, c 10 23
60, 30, a 15
c6
30, a 3 23, b 3
9 37,
8 b 7 22, c 14
45, 45, a 7 22
b 24
10 6420,
a 20.1
11 7151,
b 240.0
12 3110,
a 510
13 a 25,
b 45
14 a 31,
b 9.0
15 c 5.8,
b 2.1
16 a 0.42,
c 0.68
189, a 78.7, c 252.6
29, 61, c 51
69, 21, a 5.4
2540, b 41.8, c 46.4
5850, b 843, c 985
74, 16, c 32
38, 52, b 0.53
Ejer. 17-24: Dadas las partes indicadas del triángulo ABC
con g 90°, exprese la tercera parte en términos de las primeras dos.
17 , c;
b b c cos 18 , c;
b b c sin 19 , b;
a a b cot 20 , b;
a a b tan 21 , a;
c c a csc 22 , a;
c c a sec 23 a, c;
b b
24 a, b;
c c
2c2 a2
4
60, 30, b 4
Ejer. 9-16: Dadas las partes indicadas del triángulo ABC
con g 90°, calcule las partes restantes.
53, a 18, c 30
Ejercicio 25
26 Topografía Desde un punto a 15 metros sobre el nivel del
suelo, un topógrafo mide el ángulo de depresión de un objeto en el suelo a 68°. Calcule la distancia desde el objeto al
punto en el suelo directamente abajo del topógrafo.
27 Aterrizaje de un avión Un piloto, que vuela a una altitud de
5000 pies, desea aproximarse a los números de una pista a
un ángulo de 10°. Calcule, a los 100 pies más cercanos, la
distancia desde el avión a los números al principio del descenso.
28 Antena de radio Un cable está unido a la cima de una antena de radio y a un punto en el suelo horizontal que está a
40.0 metros de la base de la antena. Si el cable forma un ángulo de 5820 con el suelo, calcule la longitud del cable.
29 Topografía Para hallar la distancia d entre dos puntos P y Q
en las orillas opuestas de un lago, un topógrafo localiza un
punto R que está a 50.0 metros de P tal que RP es perpendicular a PQ, como se ve en la figura. A continuación,
usando un teodolito, el topógrafo mide el ángulo PRQ como
de 7240. Encuentre d.
Ejercicio 29
Q
2a2 b2
50.0 m
25 Altura de una cometa Una persona que hace volar una cometa sostiene la cuerda 4 pies arriba del nivel del suelo. La
cuerda de la cometa está tensa y forma un ángulo de 60° con
la horizontal (vea la figura). Calcule la altura de la cometa
arriba del nivel del suelo si se dan 500 pies de cuerda.
R
250 23 4 437 ft
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d
P
6.7 Problemas aplicados
30 Cálculos meteorológicos Para medir la altura h de una capa de nubes, un estudiante de meteorología dirige un proyector de luz directamente hacia arriba desde el suelo. De
un punto P en el nivel del suelo que está a d metros del proyector de luz, el ángulo de elevación u de la imagen de la
luz en las nubes se mide entonces (vea la figura).
487
Ejercicio 33
d
35
35
(a) Exprese h en términos de d y u.
150
(b) Calcule h si d 1000 m y u 59°.
Ejercicio 30
34 Diseño de un tobogán acuático En la figura se muestra
parte de un diseño para un tobogán acuático. Encuentre la
longitud total del tobogán al pie más cercano.
Ejercicio 34
h
35
u
P
15
25
d
31 Altitud de un cohete Un cohete es disparado al nivel del
mar y asciende a un ángulo constante de 75° toda una distancia de 10,000 pies. Calcule su altitud al pie más cercano.
15
100
35 Elevación del Sol Calcule el ángulo de elevación a del Sol
si una persona que mide 5.0 pies de estatura proyecta una sombra de 4.0 pies de largo en el suelo (vea la figura).
Ejercicio 35
32 Despegue de un avión Un avión despega a un ángulo de 10°
y vuela a razón de 250 pies/s. ¿Aproximadamente cuánto
tarda el avión en alcanzar una altitud de 15,000 pies?
33 Diseño de un puente levadizo Un puente levadizo mide 150
pies de largo cuando se tiende de un lado a otro de un río.
Como se ve en la figura, las dos secciones del puente se
pueden girar hacia arriba un ángulo de 35°.
(a) Si el nivel del agua está 15 pies abajo del puente cerrado, encuentre la distancia d entre el extremo de una
sección y el nivel del agua cuando el puente está
abierto por completo.
(b) ¿Cuál es la separación aproximada de los extremos de
las dos secciones cuando el puente está abierto por
completo, como se ve en la figura?
5
a
4
36 Construcción de una rampa Un constructor desea hacer una
rampa de 24 pies de largo que suba a una altura de 5.0 pies
sobre el nivel del suelo. Calcule el ángulo que la rampa debe
formar con la horizontal.
37 Juego de video En la figura se muestra la pantalla de un
juego de video sencillo en el que unos patos se mueven de A
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CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
a B a razón de 7 cms. Balas disparadas desde el punto O se
mueven a 25 cm/s. Si un jugador dispara tan pronto como
aparece un pato en A, ¿a qué ángulo " debe apuntar el arma
para acertar en el blanco?
Ejercicio 37
A
B
40 Elongación de Venus La elongación del planeta Venus se
define como el ángulo u determinado por el Sol, la Tierra y
Venus, como se muestra en la figura. La máxima elongación
de Venus ocurre cuando la Tierra está en su mínima distancia Dt del Sol y Venus está en su máxima distancia Dv del
Sol. Si Dt 91,500,000 millas y Dv 68,000,000 millas,
calcule la máxima elongación umáx de Venus. Suponga que
la órbita de Venus es circular.
Ejercicio 40
w
Venus
O
u
38 Banda transportadora Una banda transportadora de 9 metros de largo puede hacerse girar hidráulicamente hacia
arriba a un ángulo de 40° para descargar aviones (vea la figura).
(a) Encuentre, al grado más cercano, el ángulo que la
banda transportadora debe girar hacia arriba para llegar
a la puerta que está a 4 metros sobre la plataforma que
soporta la banda.
(b) Calcule la máxima altura sobre la plataforma que la
banda pueda alcanzar.
Ejecicio 38
9m
Tierra
Sol
41 Área del terreno del Pentágono El Pentágono es el edificio
de oficinas más grande del mundo en términos de área de terreno. El perímetro del edificio tiene la forma de un pentágono regular con cada lado de 921 pies de largo. Encuentre
el área encerrada por el perímetro del edificio.
42 Un octágono regular está inscrito en un círculo de radio
12.0 centímetros. Calcule el perímetro del octágono.
43 Una caja rectangular tiene dimensiones de 8 6 4.
Calcule, al décimo de grado más cercano, el ángulo u formado por una diagonal de la base y la diagonal de la caja,
como se ve en la figura.
Ejercicio 43
4
u
8
39 Estructura más alta La estructura artificial más alta del
mundo es una torre transmisora de televisión situada cerca
de Mayville, Dakota del Norte. Desde una distancia de 1
milla al nivel del suelo, su ángulo de elevación es de
212024. Determine su altura al pie más cercano.
6
44 Volumen de un vaso cónico Un vaso cónico de papel tiene
un radio de 2 pulgadas. Calcule, al grado más cercano, el
ángulo b (vea la figura) para que el cono tenga un volumen
de 20 pulgadas cúbicas.
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6.7 Problemas aplicados
Ejercicio 44
489
48 Altura de un edificio Desde un punto A que está a 8.20 metros sobre el nivel del suelo, el ángulo de elevación de lo alto
de un edificio es 3120 y el ángulo de depresión de la base
del edificio es 1250. Calcule la altura del edificio.
2
49 Radio de la Tierra Una nave espacial gira en torno a la Tierra a una altitud de 380 millas. Cuando un astronauta ve el
horizonte de la Tierra, el ángulo u mostrado en la figura es
de 65.8°. Use esta información para estimar el radio de la
Tierra.
b
45 Altura de una torre De un punto P al nivel del suelo, el ángulo de elevación de la cima de la torre es de 2650. De un
punto a 25.0 metros más cercano a la torre y sobre la misma
línea con P y la base de la torre, el ángulo de elevación de
la cima es 5330. Calcule la altura de la torre.
Ejercicio 49
46 Cálculos de escaleras Una escalera de 20 pies de largo se
inclina contra el costado de un edificio, siendo el ángulo
entre la escalera y el edificio de 22°.
(a) Calcule la distancia desde la base de la escalera al edificio.
(b) Si la distancia desde la base de la escalera al edificio se
aumenta en 3.0 pies, ¿aproximadamente cuánto baja
por el edificio la parte alta de la escalera?
47 Ascenso de un globo de aire caliente Cuando un globo de
aire caliente se eleva verticalmente, su ángulo de elevación,
desde un punto P en el nivel del suelo a 110 kilómetros del
punto Q directamente debajo del globo, cambia de 1920 a
3150 (vea la figura). ¿Aproximadamente cuánto sube el
globo durante este periodo?
Ejercicio 47
u
r
380 mi
al centro de la
Tierra
50 Longitud de una antena Una antena de banda civil está colocada encima de un garaje que mide 16 pies de altura.
Desde un punto al nivel del suelo que está a 100 pies de un
punto directamente debajo de la antena, la antena subtiende
un ángulo de 12°, como se muestra en la figura. Calcule la
longitud de la antena.
Ejercicio 50
12
16
100
Q
P
110 km
51 Rapidez de un avión Un avión que vuela a una altitud de
10,000 pies pasa directamente sobre un objeto fijo en el
suelo. Un minuto más tarde, el ángulo de depresión del objeto es 42°. Calcule la rapidez del avión a la milla por hora
más cercana.
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490
CAPÍTULO 6 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
52 Altura de una montaña Un automovilista, que viaja a lo
largo de una carretera a nivel a una rapidez de 60 kmh directamente hacia una montaña, observa que entre la 1:00 p.m.
y la 1:10 p.m., el ángulo de elevación de la cima de la montaña cambia de 10° a 70°. Calcule la altura de la montaña.
53 Satélite de comunicaciones En la parte izquierda de la figura se muestra un satélite de comunicaciones con una órbita
ecuatorial, es decir, una órbita casi circular en el plano determinado por el ecuador de la Tierra. Si el satélite describe
círculos alrededor de la Tierra a una altitud a 22,300 millas, su rapidez es la misma que la rapidez rotacional de la
Tierra; para un observador en el ecuador, el satélite parece
estar estacionario, es decir, su órbita es sincrónica.
(a) Usando R 4000 millas para el radio de la Tierra, determine el porcentaje del ecuador que está dentro del
alcance de señal de este satélite.
(b) Como se ve en la parte derecha de la figura, tres satélites están igualmente espaciados en órbitas ecuatoriales
sincrónicas. Utilice el valor de u obtenido en la parte
(a) para explicar por qué todos los puntos en el ecuador
están dentro del alcance de señal de al menos uno de
los tres satélites.
Ejercicio 53
Ejercicio 54
u
a
d
R
55 Altura de una cometa Generalice el ejercicio 25 para el
caso donde el ángulo es a, el número de pies de cuerda
dados es d y el extremo de la cuerda está sostenido c pies
sobre el suelo. Exprese la altura h de la cometa en términos
de a, d y c.
56 Topografía Generalice el ejercicio 26 para el caso donde el
punto está d metros sobre el nivel del suelo y el ángulo de
depresión es a. Exprese la distancia x en términos de d y a.
57 Altura de una torre Generalice el ejercicio 45 para el caso
donde el primer ángulo es a, el segundo ángulo es b y la
distancia entre los dos puntos es d. Exprese la altura h de
la torre en términos de d, a y b.
a
u
R
58 Generalice el ejercicio 42 para el caso de un polígono de n
lados inscrito en un círculo de radio r. Exprese el perímetro
P en términos de n y r.
54 Satélite de comunicaciones Consulte el ejercicio 53. En la
figura se ve el área cubierta por un satélite de comunicaciones
que se mueve en círculos alrededor de un planeta de radio R a
una altitud a. La parte de la superficie del planeta que está dentro del alcance del satélite es un casquete esférico de profundidad d y un área superficial A 2pRd.
(a) Exprese d en términos de R y u.
59 Ascenso de un globo de aire caliente Generalice el ejercicio
47 para el caso donde la distancia de P a Q es d kilómetros
y el ángulo de elevación cambia de a a b.
60 Altura de un edificio Generalice el ejercicio 48 para el caso
donde el punto A está d metros sobre el suelo y los ángulos
de elevación y depresión son a y b, respectivamente. Exprese la altura h del edificio en términos de d, a y b.
(b) Estime el porcentaje de la superficie del planeta que
está dentro del alcance de señal de un solo satélite en
órbita ecuatorial sincrónica.
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