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TALLER N:1
TEMA :SISTEMA SEXAGESIMAL
1.
2.
Convertir y verificar la respuesta con la calculadora:
a)
52º a ’
b)
123’ a º
c)
28,95’ a ’’
d)
35229’’ a ’
e)
43º a ’’
f)
54000’’ a º
g)
38º 57’ 29’’ a º
h)
24,75º a º ’ ’’
i)
48,953º a º ’ ’’
Hallar el valor de los ángulos desconocidos:
a)
b
f
b)
C
a
d
50º
e
y z
u t
x
w v
3.
50º
Realizar las siguientes operaciones:
a)
38º 27’ 43’’ + 24º 32’ 51’’
b)
12º 53’ 45’’+ 29º 47’’+ 128º 46’ 59’’
c)
26º 37’ 16’’ – 11º 12’ 13’’
d)
15º 13’ 19’’ – 9º 54’ 57’’
e)
28º 37’’ - 16º 14’
7(11º 15’ 21’’)
3
g)
(20º 18’ 36’’)
2
5
h)
(32º 11’ 13’’)
4
4. Usando transportador graficar los siguientes ángulos:
f)
45º, 70º, 90º, 150º, 180º, 230º, 270º, 300º, 360º, 400º, 500º, 1150º, 3973º.
5. Convertir:
2
a.
Rad a º
3
7
b.
Rad a º
4
c. 2 Rad a º
d.

Rad a º
5
e. 2 Rad a º
f. 330º a Rad
g. 135º a Rad
h. 480º a Rad
5
i.
Rad a vueltas
6
1
j.
vuelta a Rad
2
k. 400º a vueltas
l.
3 vueltas a º
6. Graficar:
a.

Rad
4
7
b.
Rad
3
7. ¿Cuál es la medida en grados de un ángulo central que subtiende un arco de
7
360
de la circunferencia de un circulo?
8. Si el radio de un círculo es de 5m, encuentre la medida en radianes de un ángulo
central que subtiende un arco de 25m y exprese también la respuesta en grados
9. Encuentra el radio de un círculo si un ángulo central de 3 rad subtiende un arco
de 21m.
10. En un círculo de radio igual a 5 cm, encuentra la longitud del arco subtendido por
un ángulo central de 4 rad.
11. La rueda de una bicicleta tiene 120 cm de diámetro. Calcula la distancia recorrida
por la bicicleta, cuando la rueda ha dado 100 vueltas (recuerda que en una vuelta
la rueda recorre 2𝜋𝑟 cm)
12. El minutero del reloj de la figura 2 mide 15.24 cm de largo. ¿Cuántos centímetros
se desplaza su punta en un cuarto de hora? ¿Cuántos centímetros se desplaza
en 30 min?
13. El péndulo de un reloj mide 75 cm y al balancearse se desplaza 12º a cada lado
de la vertical. ¿Cuál es la longitud del arco que describe?
14. La distancia entre dos punto A y B
sobre la tierra se mide sobre una
circunferencia que tiene su centro en C en el centro del planeta, y cuyo radio es
igual a la distancia de C a la superficie. Si el diámetro de la tierra es
aproximadamente 8.000 millas y los puntos A y B están a 500 millas de distancia,
expresa el ángulo ∢ACB en radianes y en grados.
TALLER N: 2
TEMA: TEOREMA DE PITÁGORAS- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
1. Hallar el valor del lado desconocido:
A.
28 cm
C=?
21 cm
B.
40 cm
2 0 cm
C =?
C.
48 10 cm
a=?
D.
12 5cm
X-2
1
XX
Hallar los valores de las 6 razones trigonométricas para el ángulo y el
triángulo correspondiente.
2.
27
cm
cm
36
µ
45cm
Ca
ß
3 cm
8 6cm
35 1
5cm

Co
5 6cm
Dada la razón trigonométrica correspondiente, hallar las demás razones
trigonométricas:
3.
1
4
2
, Sen = , Sen =
2
5
4
3
10
3. Sec  5, Sec = , Sec=
2
2
3
2 3
4. Tan  , Tan =4, Tan =
5
9
2.
Sen 
TALLER N: 3
TEMA:
RESOLUCIÓN
DE
TRIÁNGULOS
CON
RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS.
Hallar el valor de las siguientes expresiones (Sin usar calculadora):
Sen2 60º Cos 2 60º
a)
2Sen30º Tan45º
4Tan60º 5Sec 2 45º Csc30º
b)
Sen3 30º Cos 4 45º
2. Encontrar el valor de la incógnita en cada triángulo.
1.
980 cm
Z
30º
60º
h
80
C
0m
20
B
30º
a
H
45º
x
A
C
B
30º
400 m
x
H
45º
A
50
0
cm
C
B
60º
H
45º
A
x
C
x
B
x
135º
45º
60º
78 cm
A
30º
100 0 2m
3.
Resolver el triángulo ABC rectángulo en B, con los datos suministrados en cada numeral
TALLER N 4:
TEMA: ANGULOS DE DEPRESIÓN Y ELEVACIÓN
1.
Hallar la altura de la torre de electricidad.
105m
43°20'
En parque dos jóvenes se encuentran separados por una distancia de 180
metros. Si una de ellos ve un globo elevado, exactamente arriba de él, y el otro
lo ve con un ángulo de elevación de 63º, ¿Cuál es la altura del globo?.
2.
63°
180m
1.7m
El cordón de una cometa se encuentra tensionado y forma un ángulo de
54º20' con la horizontal. Encontrar la altura aproximada de la cometa,
respecto al suelo, si el cordón mide 100 metros y el extremo del cordón se
sostiene a 15 metros del suelo.
3.
Una caja tiene las dimensiones que se muestran en la siguiente figura.
Encontrar la longitud de la diagonal entre los extremos P y Q. ¿Cuál es el valor
del ángulo  formado entre la diagonal y la parte inferior de la caja?.
4.
P
µ
3
Q
4
3
Unos observadores en dos pueblos distintos, A y B, en cada lado de la
montaña de 12.000 pies, miden los ángulos de elevación entre el suelo y la cima
de la montaña (véase la figura siguiente). Asumiendo que los pueblos están
sobre el mismo plano vertical, encuentre la distancia horizontal entre ellos.
5.
12.000 pies

28°
A
46°
B
Un hombre parado a 50 pies de una casa de 20 pies de altura, mira hacia la
antena de televisión localizada arriba, en el borde del techo. Si el ángulo, entre
su línea de visibilidad al borde del techo y su línea de visibilidad a la cima de la
antena es de 12º. ¿Cuál es la altura de la antena?.
7. Una escalera esta reclinada en un edificio. Si la escalera forma un ángulo de
63º con el suelo y llega al edificio a una altura de 16 metros, ¿a qué distancia
del edificio se encuentra el pie de la escalera?.
6.
8. Para medir la altura de las nubes sobre un aeropuerto, se enfoca verticalmente un reflector
para iluminarlas. A un kilometro de distancia un asistente provisto de un teodolito encuentra
que las nubes iluminadas se observan bajo un ángulo de 20° respecto a la horizontal. ¿Cuál es
la altura de las nubes que se encuentran sobre el aeropuerto?
9. Con los datos del dibujo que se encuentra a continuación redacta un problema que dé cuenta
de lo que sucede y donde se calcule la altura del rascacielos.
10. Un helicóptero de patrulla que se dedica a controlar el tráfico desde el aire, se encuentra en
el punto C de la figura y desde ahí detecto un vehiculo en el punto A. Un minuto después, el
vehiculo se encuentra en el punto B. Si los puntos A, B y C están en el mismo plano vertical,
determina la velocidad del vehiculo en kilómetros por hora (Km/h)
11. Una persona calcula los ángulos de elevación ( 28° 𝑦 46°) a la cima de una montaña de 12000
pies de altura, situada en los parques de dos pueblos que quedan a lados distintos de la
montaña, determinar la distancia que separa los parques de estos dos pueblos.
12. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8 m del suelo y
observa el edificio de enfrente de la siguiente manera: La parte superior, con un ángulo de
elevación de 30° y la parte inferior con un ángulo de depresión de 45°. Determinar la altura
del edificio de enfrente.
13. Un ingeniero va en un avión que vuela sobre el mar a 800m de altura y observa dos barcos
𝐵1 𝑦 𝐵2 con ángulos de depresión de 34° 𝑦 62° respectivamente. Determinar la distancia
entre los barcos.
14. Con los datos del dibujo que se encuentra a continuación redacta un problema que dé cuenta
de lo que sucede y donde se calcule la altura del globo.
15. Determinar la longitud que presenta la sombra de un árbol de 6 metros de altura cuando la
inclinación de los rayos de sol es de 40°
16. Hallar el perímetro y el área de un triángulo isósceles en el que uno de sus ángulos iguales
mide 40° y uno de sus lados iguales mide 5 cm.
17. Hallar el perímetro y el área de un rectángulo en el que uno de sus lados mide 10 cm y forma
con la diagonal un ángulo de 20°35`.
18. En cierto tramo de la autopista hay una subida del 12% (al avanzar 100m horizontalmente se
suben 12m). Como se considera una pendiente excesiva, se reducirá al 8%. Hallar el ángulo
que formará la nueva autopista con la vieja.
19. Se va a excavar un túnel rectilíneo y horizontal a través de una montaña de 300 metros de
altura, como se muestra en la figura.
Desde los puntos A y B de entrada al túnel la cima de la montaña se observa respecto a la
horizontal bajo ángulos de 36°50` 𝑦 45°, respectivamente. Calcula la longitud del
túnel AB con una precisión de metros.
TALLER N:5
TEMA :FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
1.
los valores de las 6 funciones trigonométricas en cada punto .
a) P(6,8), Q(2,4), M(3,2), N(1,7)
b) P(-2,3), Q(-4,10),M(-5,4),N(-3,3)
c) P(-4,-2), Q(-8,-1),M(-6,-6),N(-7,-6)
d) P(4,-5),Q(3,-4), M(9,-8)N(11,-3)
Dada la función trigonométrica y el ángulo correspondiente, hallar los
valores de las demás funciones.
3
5
a) Sen  ,  I C
b) Cos  ,  I C
4
6
3
2
c) Sen 
d) Tan  
,   II C
,  II C
4
6
2 5
,  III C
e) Cos  
f) Csc  3,  IV C
9
2.
TALLER N: 6
TEMA: ANGULOS DE REFERENCIA
Hallar los valores de las funciones trigonométricas para cada uno de los
ángulos en el cuadrante correspondiente.
1.
135º, 150º, 170º, 180º.
b) 210º, 225º, 240º, 250º, 270º.
c) 290º, 300º, 310º, 315º, 330º, 360º.
2. Sin usar calculadora, hallar el valor de las siguientes expresiones:
Sen  45º   Cos  30º 
a)
a)
2Tan  45º 
5Csc 2  30º   7Sec 3  45º 
b)
2Cot  60º   9Cos  30º 
Sen315º 8Cos135º 4Tan330º
c)
2
Cot 2  225º   6Sec  120º 
3
3. Usando calculadora, hallar el valor de:
Sen70º Cos160º 5Sec200º
a)
4Csc  310º   11
4
1
Sec10º
b)
Sen3 100º  Cot  207º  
5
2
Cos28º
TALLER N:7
TEMA :IDENTIDADES DERIVADAS
I.
Demostrar las siguientes identidades trigonométricas
1. (1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃)(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃) = 𝑠𝑒𝑛2 𝜃
2. 𝑐𝑠𝑐𝜃 − 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑡𝜃
3.
4.
𝑡𝑎𝑛2 𝜃+1
= 𝑐𝑠𝑐 2 𝜃
𝑡𝑎𝑛2 𝜃
𝑐𝑠𝑐𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑠𝑒𝑐𝜃
+ 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 2𝑐𝑜𝑡𝜃
1
5. 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑡𝑎𝑛𝜃+𝑐𝑜𝑡𝜃
6.
𝑐𝑜𝑠4 𝜃−𝑠𝑒𝑛4 𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃+𝑠𝑒𝑛𝜃
= 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑠𝑒𝑛𝜃
7. 𝑠𝑒𝑐𝜃 + 𝑐𝑠𝑐𝜃 =
8.
1
1+𝑐𝑜𝑠𝜃
2
1+𝑡𝑎𝑛𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃
2
= 𝑐𝑠𝑐 𝜃 − 𝑐𝑠𝑐𝜃𝑐𝑜𝑡𝜃
9. 𝑡𝑎𝑛 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛2 𝜃𝑠𝑒𝑛2 𝜃
10.
𝑐𝑜𝑡𝜃+2𝑐𝑜𝑠𝜃
= 𝑠𝑒𝑐𝜃 + 2𝑡𝑎𝑛𝜃
𝑐𝑠𝑐𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑡𝑎𝑛𝜃
𝑠𝑒𝑐𝜃+1
11. 𝑠𝑒𝑐𝜃−1 =
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑡𝑎𝑛𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃
12. 1−𝑡𝑎𝑛𝜃 + 1−𝑐𝑜𝑡𝜃 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃
13. 𝑡𝑎𝑛𝜃 − 𝑐𝑜𝑡𝜃 =
1−2𝑐𝑜𝑠2 𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃
14. 𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑡𝑎𝑛𝜃 + 𝑠𝑒𝑐𝜃) = 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 1
𝑠𝑒𝑐𝑥
15. 𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑐𝑠𝑐𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
16. 𝑐𝑠𝑐𝑥 + 𝑠𝑒𝑐𝑥 = 1
17. (1 + 𝑡𝑎𝑛𝑥)(1 − 𝑡𝑎𝑛𝑥) = 2 − 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥
18. 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑡𝑥
19. 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥(1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥) = 1
20. 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 1
21. 𝑐𝑜𝑡𝜃 + 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝑠𝑒𝑐𝜃𝑐𝑠𝑐𝜃
22.
𝑡𝑎𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑠𝑒𝑐𝜃−1
𝑠𝑒𝑐𝜃
+ 𝑐𝑜𝑡𝜃 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃𝑐𝑠𝑐𝜃
1
23. 𝑡𝑎𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑡𝜃 = 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃
24. 𝑠𝑒𝑐 4 𝜃 − 𝑡𝑎𝑛4 𝜃 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 + 𝑡𝑎𝑛2 𝜃
25. 1 − 𝑡𝑎𝑛𝜃 =
1
𝑐𝑜𝑠𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
2
26. 1−𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑠𝑒𝑐 𝜃 + 𝑠𝑒𝑐𝜃𝑡𝑎𝑛𝜃
27. 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 − 𝑐𝑠𝑐 2 𝜃 =
𝑡𝑎𝑛𝜃−𝑐𝑜𝑡𝜃
61.
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃
4
28. 𝑠𝑒𝑐 4 𝜃 − 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛 𝜃 + 𝑡𝑎𝑛2 𝜃
𝑐𝑜𝑡𝜃−1
62.
𝑐𝑠𝑐𝜃
29. 1−𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝑠𝑒𝑐𝜃
63.
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃
30. 𝑐𝑠𝑐𝜃 = 2(1+𝑐𝑜𝑠𝜃) + 2(1−𝑐𝑜𝑠𝜃)
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝒔𝒆𝒏𝒙+𝒕𝒂𝒏𝒙
= 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒕𝒂𝒏𝒙
𝒄𝒐𝒕𝒙+𝒄𝒔𝒄𝒙
𝟏+𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙
𝟏+𝒄𝒔𝒄𝒙
𝒄𝒐𝒕𝒙
𝒕𝒂𝒏𝒙
64. 𝒔𝒆𝒄𝒙 −
𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙
𝟏+𝒔𝒆𝒏𝒙
+ 𝒔𝒆𝒏𝒙 = 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒄𝒐𝒕𝒙
𝟏+𝒄𝒔𝒄𝒙
− 𝒄𝒔𝒄𝒙 = 𝒄𝒐𝒕𝒙𝒄𝒔𝒄𝒙
𝒔𝒆𝒄𝒙−𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒕𝒂𝒏𝒙
𝒔𝒆𝒏𝒙
=𝟎
31. 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 1+𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑥
65.
32. 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑐𝜃 = 𝑡𝑎𝑛𝜃
66. 𝟏−𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝟏+𝒔𝒆𝒏𝒙 = 𝟐𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙
𝑠𝑒𝑛𝜃
33. 𝑐𝑜𝑡𝜃 = 𝑠𝑒𝑐𝜃 − 𝑐𝑜𝑠𝜃
2
36. (𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃)2 = 1 + 2𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃
37.
𝑐𝑜𝑠𝑥
2
= 1+𝑠𝑒𝑛𝑥
38. 𝑡𝑎𝑛 𝜃𝑐𝑠𝑐 2 𝜃𝑐𝑜𝑡 2 𝜃𝑠𝑒𝑛2 𝜃 = 1
39. 𝑡𝑎𝑛𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑥
𝑡𝑎𝑛𝜃−𝑐𝑜𝑡𝜃
40. 𝑡𝑎𝑛𝜃+𝑐𝑜𝑡𝜃 = 2𝑠𝑒𝑛2 𝜃 − 1
𝑡𝑎𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝜃
(1−𝑐𝑜𝑡 2 𝜃)𝑠𝑒𝑛𝜃
1
45. 𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑠𝑒𝑛𝑥 = 1−𝑡𝑎𝑛𝑥
46. 𝑠𝑒𝑐 6 𝜃 − 𝑡𝑎𝑛6 𝜃 = 1 − 3𝑠𝑒𝑐 2 𝜃𝑡𝑎𝑛2 𝜃
48. 𝑠𝑒𝑐 4 𝜃(1 − 𝑠𝑒𝑛4 𝜃) − 2𝑡𝑎𝑛2 𝜃 = 1
50. (𝑡𝑎𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑡𝑥)2 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 − 4
51. 𝑡𝑎𝑛2 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 =
𝑠𝑒𝑛4 𝜃
𝒔𝒆𝒄𝒙
71. 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 − 𝒄𝒔𝒄𝒙+𝒄𝒐𝒕𝒙 = 𝟒𝒄𝒐𝒕𝒙𝒄𝒔𝒄𝒙
𝒕𝒂𝒏𝟑 𝒙+𝒔𝒆𝒏𝒙𝒔𝒆𝒄𝒙−𝒔𝒆𝒏𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒔𝒆𝒄𝒙−𝒄𝒐𝒔𝒙
2
= 𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒕𝒂𝒏𝒙𝒔𝒆𝒄𝒙
76. 1 + 𝑐𝑜𝑡𝜃 =
77.
(1−𝑐𝑜𝑡 2 𝜃)𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑠𝑒𝑐𝜃+𝑡𝑎𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃−𝑡𝑎𝑛−𝑠𝑒𝑐𝜃
2
2
𝑠𝑒𝑛𝜃−𝑐𝑜𝑠𝜃
= −𝑐𝑠𝑐𝜃
78. 𝑠𝑒𝑐 𝑥 + 𝑡𝑎𝑛 𝑥 = (1 − 𝑠𝑒𝑐 4 𝑥)𝑠𝑒𝑐 4 𝑥
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
1
80. 𝑠𝑒𝑐𝑥−𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑥
56. 𝒕𝒂𝒏𝒙 − 𝒄𝒔𝒄𝒙𝒔𝒆𝒄𝒙(𝟏 − 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙) = 𝒄𝒐𝒕𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙+𝒔𝒆𝒏𝒙
57. 𝟏−𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙 + 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 −𝟏 = 𝒄𝒐𝒔𝒙−𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙
𝑐𝑠𝑐𝑥
82. 𝑡𝑎𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑡𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥
1
52. 𝒄𝒐𝒕𝒙(𝒕𝒂𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒕𝒙) = 𝒄𝒔𝒄 𝒙
53. (𝒕𝒂𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒕𝒙)𝟐 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 + 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙
54. (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝒙)(𝟏 + 𝒔𝒆𝒄𝒙)𝒄𝒐𝒕𝒙 = 𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒔𝒆𝒏𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙
55. 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 − 𝒄𝒐𝒕𝒙 = 𝒄𝒔𝒄𝒙 − 𝒔𝒆𝒏𝒙
58. 𝟏+𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒄𝒐𝒕𝒙 = 𝒄𝒔𝒄𝒙
81. 𝑐𝑠𝑐𝑥−1 = 𝑐𝑠𝑐𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑥+𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
1
83. 𝑐𝑠𝑐𝑥−𝑐𝑜𝑡𝑥 = 𝑐𝑠𝑐𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝜃
𝟐
𝟏
𝟏+𝒄𝒐𝒔𝒙
𝑐𝑜𝑡 2 𝑥
= 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝟐𝒕𝒂𝒏𝒙
=
𝟏+𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒄𝒔𝒄𝒙−𝒄𝒐𝒕𝒙
79. 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑐𝑜𝑡𝜃 = 𝑠𝑒𝑐𝜃 + 𝑐𝑠𝑐𝜃 − 𝑡𝑎𝑛𝜃
2𝑡𝑎𝑛𝑥
47. 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃−𝑠𝑒𝑛𝑥𝑠𝑒𝑛𝜃 = 1−𝑡𝑎𝑛2 𝑥
𝑐𝑠𝑐 2 𝑥−1
=
𝒔𝒆𝒏𝒙+𝟐
𝒔𝒆𝒏𝒙𝒄𝒐𝒕𝒙
𝟐𝒔𝒆𝒏𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙(𝟏+𝒔𝒆𝒏𝒙)+𝒄𝒐𝒔𝟑 𝒙
𝟏+𝒔𝒆𝒏𝒙
𝑠𝑒𝑛2 𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃−𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃+𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝑥
𝒔𝒆𝒄𝒙−𝒔𝒆𝒏𝒙
75. 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + 𝑡𝑎𝑛2 𝜃 = 1
𝑐𝑜𝑡𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
70.
=
𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙−𝟏
𝒕𝒂𝒏𝒙−𝟏
(𝟐𝒔𝒆𝒏𝒙−𝟏)𝒄𝒐𝒔𝒙
𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙+𝟑𝒔𝒆𝒏𝒙−𝟐
1
44. 1−𝑐𝑜𝑡𝑥 + 1−𝑡𝑎𝑛𝑥 = 1 + 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑥
𝑐𝑜𝑡𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
69.
𝒔𝒆𝒏𝟑 𝒙+𝒄𝒐𝒔𝟑 𝒙
74. 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑠𝑐𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑥
𝑠𝑒𝑐 2 𝜃−𝑠𝑒𝑐𝜃𝑡𝑎𝑛𝜃
43. 1 + 𝑐𝑜𝑡𝜃 =
𝒔𝒆𝒏𝒙
73. 𝑡𝑎𝑛2 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1
1−𝑐𝑜𝑠𝜃
49.
68.
72.
41. (𝑐𝑠𝑐𝜃 − 𝑐𝑜𝑡𝜃)2 = 1+𝑐𝑜𝑠𝜃
42. 1+𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝟏
67. 𝒄𝒔𝒄𝒙−𝒄𝒐𝒕𝒙 − 𝒄𝒔𝒄𝒙+𝒄𝒐𝒕𝒙 = 𝒔𝒆𝒄𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑐 2 𝜃
+ 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 = 𝟐𝒄𝒔𝒄𝒙
𝒕𝒂𝒏𝒙
2
34. (1 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃)(1 + 𝑡𝑎𝑛 𝜃) = 1
𝑠𝑒𝑛𝑥
35. 1 − 𝑐𝑠𝑐𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
1−𝑠𝑒𝑛𝑥
𝒔𝒆𝒏𝒙
𝟏
84.
𝑡𝑎𝑛𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑠𝑒𝑛3 𝜃
𝑠𝑒𝑐𝜃
= 1+𝑐𝑜𝑠𝜃
85. 𝑠𝑒𝑛3 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 3 𝜃 = (𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃)(1 − 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃)
𝑡𝑎𝑛𝜃−𝑐𝑜𝑡𝜃
86. 𝑡𝑎𝑛𝜃+𝑐𝑜𝑡𝜃 = 1 − 2𝑐𝑜𝑠 2 𝜃
1−𝑡𝑎𝑛2 𝑥
87. 1+𝑡𝑎𝑛2 𝑥 = 1 − 2𝑠𝑒𝑛2 𝑥
88. 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑥
89. 𝑐𝑠𝑐𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
90. (𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃)2 + (𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑐𝑜𝑠𝜃)2 = 2
1−𝑐𝑜𝑠𝜃
59. 𝟏−𝒔𝒆𝒏𝒙 − 𝒕𝒂𝒏𝒙 = 𝒔𝒆𝒄𝒙
91. √1+𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑐𝑠𝑐𝑥 − 𝑐𝑜𝑡𝑥
60. 𝒔𝒆𝒄𝒙 −
92. (𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑠𝑐𝑥)2 = 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 + 3
𝒄𝒐𝒔𝒙
𝟏+𝒔𝒆𝒏𝒙
= 𝒕𝒂𝒏𝒙
𝑠𝑒𝑛𝑥
93. 1+𝑐𝑜𝑠𝑥 +
1+𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
99. 𝑠𝑒𝑛2 𝑥𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
100.
+ 1−𝑐𝑜𝑡𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥
1−𝑡𝑎𝑛𝑥
= 2𝑐𝑠𝑐𝑥
94. 𝑠𝑒𝑐 4 𝑥 − 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛4 𝑥 − 𝑡𝑎𝑛2 𝑥
𝑡𝑎𝑛2 𝑥
95. √1+𝑡𝑎𝑛2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥
96. 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑥𝑡𝑎𝑛2 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛2 𝑥
97. 𝑠𝑒𝑛3 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
1
98. √(1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥)(1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥) = 𝑠𝑒𝑐𝑥
II.
Complete la siguiente tabla expresando cada función en términos de las
otras funciones.
senθ
senθ
cosθ
tanθ
cotθ
secθ
cscθ
senθ
cosθ
tanθ
Cotθ
secθ
cscθ
1-cos 2
cosθ
tanθ
Cotθ
secθ
cscθ
TALLER N: 8
TEMA:IDENTIDADES
i)
sen -7π
12
DE
LA
DIFERENCIA
DE
j)
tan 17π
12
¿Cuál de los siguientes valores es
el valor exacto de sen75º?.
Justifique.
a) 2
√6
2
k)
cos -5π
12
SUMA
Y
ANGULOS
1.
b)
c)
d)
2 + √6
2
√2 - √6
2
√2 + √6
2
2. Utilice la fórmula de la suma o
de la diferencia más apropiada
para hallar el valor exacto de la
expresión:
a) cosπ
2
b)
sen -π
2
c)
sen 11π
12
d)
e)
f)
g)
h)
cos105º
m) tan225º
n) sen 7π
6
l)
cos165º
tan165º
sen195º
cos345º
cos13π
12
o)
tan 3π
4
3. Utilice la fórmula más apropiada
de la suma o de la diferencia de
ángulos
para
verificar
la
identidad
a) cos(t + 2π) = cost
b) sen(t + 2π) = sent
c) sen t + π = cost
2
d)
cos t + π = -sent
2
cos(π - t) = -cost
f) tan(π - t) = -tant
e)
Si senα = 3 y cosβ = 12 , donde
0≤α≤ π y0≤β≤ π.
a) sen(α + β)
b) cos(α + β)
c) tan(α - β)
6. Si θ es un ángulo del cuadrante
II, α es un ángulo del cuadrante
III, senθ =1/2 y tanα = 4
4.
7. Si cosθ = 3/7, θ Є IV C, hallar
sen2θ y sen3θ
Hallar:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
sen(θ + α)
sen(θ - α)
cos(θ + α)
cos(θ - α)
tan(θ + α)
sen(θ - α)
8. Si tanθ = 1 , θ Є III C, hallar
cos4θ
TALLER N: 9
TEMA
:IDENTIDADES
DEL
ANGULO MEDIO Y EL ANGULO
DOBLE
1. Si sent =,√2/2, t Є II C, hallar
cos2t y tan2t
√3
2. Si cost =
, t
3
cos2t y tan2t
9. Encuentre el calor exacto de la
expresión dada
a) cos(π/12)
b) sen(π/8)
c) sen(3π/8)
d) tan105º
e) csc(13π/12)
f) sec(-3π/8)
Demostrar
las
siguientes
identidades:
a) 1 sen2x = senxcosx
2
10.
Є IV C, hallar
b)
(senx + cosx)2 – sen2x = 1
d) cotx – tanx = 2cot2x
c)
3. Si cscα = -3, α Є III C, hallar
sen2α y tan2α
4. Si tan2θ =√5, θ Є I C, hallar
tanθ
5. Si cotα= 4, α Є I C, hallar sen2α
y cos2α
Use la información dada para
t
t
t
hallar: cos , sen y tan
2
2
2
a) sent = 1 , t Є II C.
3
11.
b)
6. Si sect= -13, t Є II C, hallar
cos2t y tan2t
cos2x
= 2cot2x
senxcosx
cost = 4 , t Є IV C.
5
tanθ= 2, θ Є III C.
d) cscθ= 9, θ Є I C.
c)
e)
sect = 3 , t Є I C.
2
6.
tan   cot 
f)
cotψ = -1 , ψ Є II C.
4
7.
2 cos x  3 sec x  5
8.
sen 4 x  2sen 2 x  1  0
9.
sec xsen 2 x  tan x
10.
tan3 x  4,24 tan2 x  0
2cos2A - cosA = 1
2
11.
1  cot   csc 
tanx = cscx - cotx
2
12.
12. Verificar
las
siguientes
identidades:
a) 2sen π cosπ = senπ
2
2
b)
c)
senx  cos x  0
TALLER N:10
TEMA:
ECUACIONES
13.
cos   cos   0
14.
cos  1  tan2   1
TRIGONOMÉTRICAS
Encontrar todas las soluciones de
las siguientes ecuaciones
trigonométricas:
1.
15.
3(tan x  cot x )  4
2senx  3  0
Encontrar todas las soluciones de:
2.
3 tan 2 x  1  0
16.
3.
sen2x  0
sen 2 x  2  senx  0
17. 2 cos 2x  2sen 2 x  0
2
4.
5.
1  2senx
1
2
csc   csc  sec 
2
x
x
cos  0
2
2
18.
senx cos x  sen
19.
tan 2x  cot x  0
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
cos2x – 1 = 0
cscx + 3 = 6
cos2x + 2 = 3cosx
tan2θ = tanθ
2sent = sentcost
senx = cosh
cosw – secw = 0
senx + 3 = -2cscx
2cos2x – senx –1 = 0
tan2x – sec2x = 5
cot2α – cscα = 1
2sen2x – 3senx + 1 = 0
3sec2x = secx
tan2α + (√3 – 1)tanα - √3 = 0
cot2θ + cotθ = 0
2sec2α + (2 - √3 )senα - √3 = 0
2sen3θ = 1
cot x = 1
2
sen2x + senx = 0
39. cos2θ = senθ
40. sen2θ + 2senθ – 2cosθ = 2
41. tan4θ – 2sec2θ + 3 = 0
42. senx + √senx = 0
43. 1 + cosθ = 2
Cosθ
38.
TALLER N:11
TEMA :GRÁFICAS DE FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS
Graficar las siguientes funciones
trigonométricas.
Determinar
el
dominio, el rango y periodo de cada
función.
1.
1
+ cosx
2
-1 + senx
-senx
-cosx
-(3 +cosx)
sen(x-  )
a)
y=
b)
f)
y=
y=
y=
y=
y=
g)
y = cos(x -
c)
d)
e)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)

)
4
y = 2 + tanx

y = 1 - tan  x  
2

y = -cotx

y = -secx
6
y = -csc(x+  )
5 
y =-2 + cot  x 

6 

y =cosx - senx
y = x - tanx
y = senx + cosx +1
Investigar las técnicas de
traslación, reflexión y suma de
coordenadas
para
graficar
funciones.
2.
Taller n°12
TEMA:LEY DEL SENO
Resuelva el triángulo indicado teniendo en cuenta la posición relativa de ,
, , a, b y c que se muestra en la siguiente figura:
1.
A
b
c
B
a
C
β = 60º, γ = 15º, a = 30 cm
b) α = 38º, β = 53º, b = 6 cm
c) α = 18º, γ = 32,5º, c = 35 cm
d) α = 72º, a = 12Hm, b = 6Hm
e) β = 150º, b = 50cm, c = 8cm
f) β = 62º, a = 7cm, b = 4cm
g) α = 20º, b = 9m, c = 4m
h) β = 65º, b = 10cm, c = 12cm
i) α = 13º 12', β = 102º, c = 9cm
j) β = 125º, b = 15mm, c = 10mm
k) β = 135º, γ = 18º, a = 12dm
l) γ = 33º, a = 8m, c = 10m
2. Dos salvavidas se encuentran en la orilla de una playa a una distancia uno del
otro de 15 km en los puntos A y B, y divisan un bote que se esta hundiendo
situado en el punto C. Si el salvavidas en A mide un ángulo CAB igual a 79,3º y
el que está en B mide un ángulo CBA igual a 43,6º, ¿a qué distancia esta el bote
de cada salvavidas?¿A qué distancia esta el bote de la costa?.
3. Una persona situada en un punto A se dirige en línea recta hacia un punto C.
Otra persona hace mismo desde un punto B. Si la distancia entre A y B es de 8
km, el ángulo CAB es de 75º y el ángulo CBA es de 45º, ¿qué distancia tendrá
que recorrer cada persona?.
a)
TALLER n°13
TEMA: TEOREMA DEL DE COSENO
Resuelva el triángulo indicado teniendo en cuenta las posiciones relativas de α, β, γ, a, b y c
que se muestra en la siguiente figura:
a) α = 60º, b = 14dm, c = 10dm
A
b) α = 75º, b = 7cm, c = 12cm
c) β = 120º, a = 8m, c = 10m
d) a = 7, b = 5km, c = 6km
e) a = 3, b = 6cm, c = 12cm
c
b
f) a = 19,1, b = 12,2m, c = 23,8m
g) a = 11,5, b = 7,8 cm, c = 14,08cm
B
h) γ = 22º, a = 9mm, b = 3mm
a
C
i) γ = 130º, a = 9Hm, b = 13Hm
j) α = 97º 15', b = 3Dm, c = 6Dm
k) a = 6, b = 12m, c = 8m
l) a = 13,5, b = 18,6cm, c = 25,2cm
1.
2. Un terreno triangular tiene lados de longitud 35, 40 y 60 metros respectivamente.
Encuentre el ángulo interior mas grande del triángulo.
3. Un rombo tiene lados de 12 cm de longitud. Si el ángulo de uno de sus vértices es 55º,
encuentre las longitudes de las diagonales.
4. Dos autos parten de la intersección de dos carreteras rectas y viajan a lo largo de ella a 80
km/h y 100 km/h respectivamente. Si el ángulo de intersección de las carreteras es 80º, ¿qué tan
separados están los automóviles al cabo de 45 minutos?.
5. Dos estaciones de radar se sitúan a 3,5 km la una de la otra. Un helicóptero pasa
directamente sobre la línea entre las dos estaciones. En ese instante la distancia entre las
estaciones y el helicóptero es de 1,8 km y 2,5 km. Encuentre la altitud del helicóptero.
6. Para la cometa que se muestra en la siguiente figura encuentre la longitud de cada vara de
alineación requerida para los soportes de las diagonales.
8cm
70°
12cm
8cm
12cm
45,54°
TALLER n°13
TEMA:LEY DEL SENO Y TEOREMA DEL COSENO .COMPLEMENTARIO
Utilice la información dada para determinar las partes faltantes de
triángulo ABC.
1.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2.
A = 80º, B = 35º, a = 12m
A = 72º, a = 24cm, b = 15cm
a = 6cm, b = 9cm, c = 10cm
B = 110º, C = 25º, c = 16dm
a = 15, b = 12km, c = 5km
A = 80º, C = 41º, b = 30m
Aplicaciones
1. Un topógrafo desea medir la distancia entre dos puntos A y B en las orillas
opuestas de un río como indica la figura siguiente. El topógrafo mide 200
metros de distancia entre los puntos A y C, utiliza un instrumento llamado
transitó para determinar que m(B) = 63,8º y m(C )= 84,2º. Determine la
distancia entre A y B.
C
84,2°
A
200 cm
63,8°
B
La torre inclinada de Pisa tiene 179 pies de longitud, pero debido al terreno
inestable, se inclina cada año con respecto de la perpendicular, de modo que se
inclina con un cierto Angulo  , como se indica en la figura siguiente. A una
distancia de 100 pies desde el centro de la base de la torre, el Angulo de
elevación a la parte superior de la torre es de 64,7º.
a) Aproxime el Angulo  .
b) Aproxime la distancia de inclinación d de la torre con respecto de la
perpendicular.
d
2.
179
3.
100
64.7°
Un método común que se utiliza para medir la altura de un árbol o una
montaña es determinar dos ángulos de elevación del objeto desde dos puntos
diferentes, a lo largo de la misma línea de visión, llamada línea de base. Utilice
la información de la figura siguiente para estimar la altura de un árbol de
secoya en California.
P
Q
24.2°
200 pies
R
38°
S
4. Se desea cercar un terreno que tiene forma de paralelogramo con tres hilos de alambre. Si la
diagonal mayor de dicha figura tiene una longitud de 230 m y forma con los lados adyacentes
ángulos de 38° y 40°, ¿Qué cantidad de alambre se necesitará para llevar a cabo esta labor?
5. Dos vias de ferrocarril se cruzan formando un ángulo de 75°. En un instante pasa por el cruce
un tren con una velocidad de 70 Km/h. Transcurridos 15 minutos cruza por el mensionado punto
otro tren que va por la otra via a una velocidad de 130 Km/h. Determina la distancia que separa
los dos trenes 15 minutos despues del paso del segundo tren por el punto de cruce.
6. Un barco es rastreado por dos estaciones de radar P y Q que se encuentran en línea norte sur
y 6.000 m una de la otra. La estación P lo localiza en la dirección N 34°E y la estación Q hace lo
mismo en la dirección N 48°E ¿A qué distancia está el barco en la estación P?
7. Un topógrafo situado en un punto C localiza dos puntos A y B en los lados opuestos de un lago.
Si C está a 5 kilómetros de A y a 8 Kilómetros de B, y además el ángulo C mide 36°. Calcula el ancho
del lago.
8. Dos personas, A Y B, se encuentran a una distandia de 400 metros una de la otra. Cuando un
avión pasa por el plano vertical d las mencionadas personas, éstas lo ven simultáneamente con
ángulos de elevación de 35° y 48°, respectivamente. Calcula la altura del avión en este instante.
9. Una casa mide 45 pies de adelante hacia atrás. El techo mide 32 pies, desde la parte delantera
de la casa hasta la punta del techo y 18 pies desde la punta del techo hasta la parte trasera de la
casa. Encuentre los ángulos de elevación de las partes delantera y trasera de la casa.