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Gonzalo Maureira León.
Profesor de Matemáticas y Licenciado en Educación.
Objetivos.
 Comprender
el
origen
y
significado
de
la
Trigonometría.
 Identificar las razones Trigonométricas presentes en
los triángulos rectángulos.
 Realizar diversos ejercicios aplicando los conceptos
trigonométricos enseñados.
Trigonometría
La trigonometría es una rama de las matemáticas, cuyo
significado es la medición de los triángulos, en base
a las proporciones de sus lados y ángulos.
Álgebra.
Matemáticas.
Geometría.
Aritmética.
Trigonometría.
Trigonometría
 La
historia de la
trigonometría
comienza en primera
parte
con
los
Babilonios
y
los
Egipcios,
para
ser
continuada por Indúes
y
Griegos.
Estos
últimos establecieron
la medida de los
ángulos en grados,
minutos y segundos.
Trigonometría
 Para ser más precisos,
la
trigonometría
estudia la relación
existente entre los
ángulos y los lados del
triángulo.
Trigonometría
 Para resolver problemas relacionados con trigonometría
se deben manipular adecuadamente las razones
trigonométricas, denominadas por:
 Seno
 Cosecante
 Coseno
 Secante
 Tangente
 Cotangente
Trigonometría
 Para trabajar en trigonometría se debe tener algún
triángulo rectángulo que cumpla con:
Trigonometría
Ejercicios
 En los siguientes triángulos rectángulos , calcula las
seis razones trigonométricas para sus ángulos agudos.
Ejercicios
 En un triángulo, las medidas de sus ángulos son α,
β. Además, se cumple que
. Determinar
las razones trigonométricas restantes.
Ejercicios
 Resolver un triángulo equivale a determinar el valor de los tres
ángulos y los tres lados. A continuación se dan los tres
mínimos que necesitarás para resolver cada triángulo.
Ejercicios
 Manuel, un astrónomo principiante, midió el ángulo que se
muestra en la figura para calcular la distancia que hay entre los
centros de la Luna y la Tierra. Considerando que el radio de la
Tierra es 6380 km, ¿qué resultado obtuvo Manuel?
Ejercicios
 Determina el ángulo de inclinación mínimo necesario para
que el avión de la figura pueda despegar sobrevolando el
cerro.
Ángulos de Elevación y Depresión
 Ángulos de Elevación:
Si un objeto esta por encima de la horizontal (nivel del ojo), se llama
ángulo de elevación al ángulo formado por una línea horizontal y la
línea visual hacia el objeto.
Ángulos de Elevación y Depresión
 Desde un punto a nivel del suelo y a 135 metros de la
base de una torre, el ángulo de elevación a la parte más
alta de la torre es de 57º. Calcular la altura de la torre.
 Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m
de largo. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese
momento.
Ángulos de Elevación y Depresión
 Ángulos de Depresión:
Si un objeto esta por debajo de la horizontal, se llama ángulo de
depresión al ángulo formado por una línea horizontal y la línea visual
hacia el objeto.
Ángulos de Elevación y Depresión
 Desde lo alto de un faro, cuya altura sobre el nivel del mar es
de 120 metros, el ángulo de depresión de una embarcación es
de 15. ¿A qué distancia del faro está la embarcación ?
 ¿Cuál es la altura del puente que cruza un río de 35 metros de
ancho, si desde uno de los extremos del puente se ve la base
del mismo pero del lado opuesto con un ángulo de depresión
de 15º?
Ejercicios
 Desde un faro, ubicado en la cima de un cerro, se observa
un barco con un ángulo de depresión de 30º. Calcular la
altura del cerro con el faro incluido.
Ejercicios
 El cordel de un cometa se encuentra tenso y forma un
ángulo de 70 grados con la horizontal. Encuentre la altura
del cometa con respecto al suelo, si el cordel mide 45 m. y
el extremo de la cuerda se sostiene a 1 m. del suelo.
45 metros
x
70º
1 metro
Ejercicios
 Una persona se encuentra en la ventana de su
apartamento que está situada a 8m. del suelo y observa
el edificio de enfrente. La parte superior con un ángulo de
40 grados y la parte inferior con un ángulo de depresión
de 67 grados. Determine la altura del edificio señalado.
 Sobre un plano horizontal, un mástil está sujeto por dos
cables, de modo que los tirantes quedan a lados
opuestos. Los ángulos que forman estos tirantes con
respecto al suelo son 35 grados y 55 grados. Si la distancia
entre sus bases es de 50 m. ¿cuánto cable se ha gastado?,
¿cuál es la altura a la cual están sujetos los cables? .
Ejercicios
 Eda observa la estatua del Cristo Blanco con un ángulo de
elevación de 53º, sabiendo que se encuentra a una
distancia horizontal visual de 6 metros. Calcular la altura
del Cristo Blanco.
Ejercicios
 Una escalera de 6 m. de longitud descansa sobre una pared
vertical de tal manera que el pie de la escalera queda a 1,5 m.
de la base de la pared. Si el ángulo que forma ésta con el piso
es de 43º ¿A qué altura de la pared llega la escalera?
 Calcule el ancho de una calle, si un observador situado sobre
un edificio, ve el otro lado de la misma bajo un ángulo de
depresión de 60 grados con respecto a la horizontal.
Control
 Determine el otro ángulo y calcule las razones trigonométricas
de ambos ángulos encontrados.
 Desde la parte alta de una torre de 120m de altura, el ángulo de
depresión hacia un objeto que está frente a la base de la torre es de
24º. ¿Qué tan lejos está el objeto del pie de la torre ? ¿A qué
distancia del observador está el objeto ?
Sistema π- radián
1π
180º
2π
360º
Circunferencia Goniométrica.
Regla Nemotécnica.
Ejercicios
Determina la altura de un árbol, sabiendo que su sombra mide 15 m cuando el ángulo
de elevación del sol es de
.
Desde lo alto de un cerro, de 70 metros de altura, se observa una casa con un ángulo de
depresión de
. Calcular la distancia entre la base de la casa y el cerro, y entre la
punta del cerro con la casa
A qué altura se encuentra un volantín, si el ángulo que forma el hilo con la base del
piso es de y el hilo desplegado tiene una longitud de 20 metros.
Calcular el área y perímetro de la figura si
y
.
 Determina la altura de un árbol, sabiendo que su
sombra mide 15 m cuando el ángulo de elevación del
sol es de
Ejercicios
Una chimenea tiene 30 metros de altura más que otra. Un observador
que está a 10 metros de distancia de la más baja observa que sus
cúspides están en una recta inclinada respecto del suelo con un ángulo
de . Hallar las alturas de las chimeneas y la distancia entre el
observador y la chimenea mas alta.
Dos postes de 18 y 12 metros de altura, y la recta que los une en sus
puntos más altos forma un ángulo de
con el suelo. Determinar la
distancia que los separa (distancia entre postes).
Ejercicios
Un cable está sujeto a lo alto de una antena de radio y a un
punto en el suelo, que está a 40 metros de la base de la antena.
Si el alambre forma un ángulo de
con el suelo, encuentre la
longitud del cable.