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Comunicaciones por Satélite (5º curso)
Dpto. de Señales, Sistemas y Radiocomunicaciones
ETSI de Telecomunicación.
Universidad Politécnica de Madrid
Comunicaciones por Satélite
Curso 2009/10
Mecánica orbital
Ramón Martínez Rodríguez-Osorio
Miguel Calvo Ramón
Comunicaciones por Satélite. Curso 2009/10. ©Ramón Martínez, Miguel Calvo
CSAT 1
Objetivos
• Conocer los principales parámetros orbitales de las
órbitas empleadas en satélites de comunicaciones
• Comprender el impacto de la órbita en los parámetros
del sistema de comunicaciones
• Determinar los ángulos de apuntamiento hacia un
satélite, el tiempo de visibilidad y la cobertura
• Relacionar los diferentes tipos de órbitas con los
servicios de comunicaciones por satélite
• Comprender el efecto de las perturbaciones que afectan
a la órbita del satélite
• Introducir los principios que rigen el lanzamiento y
puesta en órbita de un satélite
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CSAT 2
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1
Comunicaciones por Satélite (5º curso)
Dpto. de Señales, Sistemas y Radiocomunicaciones
ETSI de Telecomunicación.
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Índice
• Introducción histórica
• Parámetros de la órbita geoestacionaria
• Mecánica orbital
– Leyes de Kepler
– Ecuaciones de la órbita genérica
• Posición del satélite en su órbita. Anomalías
• Posición de un satélite respecto de un punto en la superficie
terrestre. Calendario
• Parámetros orbitales. Efemérides
• El punto subsatélite y su traza
• Procedimiento para determinar la posición de un satélite
• Determinación de los ángulos de visión. Elevación y acimut
• Órbitas empleadas en comunicaciones
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CSAT 3
Introducción histórica
•
Aristarco de Samos (310 -230 AC)
– Primera teoría heliocéntrica
•
Ptolomeo: sistema geocéntrico (s. II d.C.)
– La Tierra es el centro del Universo
– El Sol gira alrededor de la Tierra
•
Copérnico (1473-1543): sistema heliocéntrico
– De revolutionibus orbium caelestium (1543): “Los planetas giran en órbitas
circulares alrededor del Sol”
•
Tycho Brahe (1546-1601)
– Cuestionó la teoría heliocéntrica de Copérnico
– Gran observador astronómico: descubrió nuevas estrellas, dedujo las órbitas
elípticas de los cometas
– Sus observaciones son la base de los trabajos de Kepler
•
Galileo Galilei (1564-1642)
– Reforzó la concepción copernicana del sistema solar (primeras observaciones
telescópicas)
– “La Tierra se mueve alrededor del Sol…”
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CSAT 4
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Introducción histórica
• Kepler (1571-1630): descubre por observación tres leyes
que determinan el movimiento de los planetas alrededor
del Sol
1) Los planetas se mueven en un plano y las órbitas describen
elipses con el Sol en uno de sus focos (1602)
2) Ley de las áreas (1605)
3) La magnitud T2/a3 es igual para todos los planetas (1618)
• Newton: enuncia la Ley de la Gravitación Universal
(1667) y demuestra las leyes de Kepler
– ms<<MT, y la Tierra es esférica y homogénea
– Espacio libre
¾ Extiende el trabajo de Kepler para incluir perturbaciones en la
órbita
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Definición
• La Mecánica Orbital se encarga de estudiar, conocer y
determinar el movimiento de los cuerpos celestes en
torno al Sol …
• … y en particular el movimiento de los satélites
artificiales alrededor de la Tierra.
• Utilidad:
– Diseño orbital (Análisis de Misión): optimización de los
requisitos del sistema (tiempo de visibilidad, requisitos de la
carga útil, ventana de lanzamiento, etc.)
– Determinación orbital: conocimiento de la posición del satélite
en todo momento y correcciones orbitales
• La órbita determina la misión espacial, … y viceversa
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CSAT 6
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Puesta en Órbita (1)
V=0
V= 10 km./h
V= 100 km./h
¡ Al incrementar la velocidad inicial aumenta el alcance !
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CSAT 7
Puesta en Órbita (2)
1000 Km/h
10000 Km/h
30000 Km/h
¡ Con una velocidad inicial suficiente el objeto entra en órbita !
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CSAT 8
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Ecuaciones Órbita Geoestacionaria
r
r
Fc = F g
msv2
ms me
G
=
re + h (re + h )2
v=
re
h
T =
Masa de la Tierra :
mT = me = 5.98 × 1024 kg
Constante de Gravitación Universal : G = 6.67 ×10-11
Constante de Kepler : k = Gme = 3.98601352 ×105
Radio terrestre : rT = re = 6377 km
T = 2π
m3
kg ⋅ s
km
s2
3
2
Gm e
re + h
2π (re + h )
v
(re + h )3
Gm e
T = 23 h 56 m 4 s = 86164 seg
re + h = 42157 Km
h = 35779 Km
v = 3 . 074 Km
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seg
CSAT 9
Día solar y día sidéreo
Ángulo de la eclíptica
23g 27m
Primavera
Verano
Radio medio
250x106 km
SOL
Invierno
Otoño
Movimiento de la Tierra entorno al Sol
1 día solar = 24 horas
1 a~
n o solar = 365 . 25 días
365 . 25
1 día sidéreo = 24
= 23 h 56 m 4 s
366 . 25
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Cálculo de la Órbita
Aproximaciones:
– Tierra y satélite son masas puntuales
– Sólo acción fuerzas gravitacionales Tierra-satélite
– Sólo órbitas terrestres
r
Fc
Z
r
Fg
m
r
Mm
(− rˆ )
Fg = G
r2
r
r
r
d 2r
Fc = ma = m
dt 2
r
r
r
r
r
d 2r
k
+ rˆ
=0
Fg = Fc ⇒
2
r2
dt
Y
M
X
k = GM ≅ 3.99×1014
m3
sg 2
Constante de Kepler
CSAT 11
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La órbita es plana
r
r d 2r
r×
=0
dt 2
r
Haciendo el producto vectorial ( r × ):
0
d
dt
Teniendo en cuenta que:
Resulta
r
d ⎡ r dr ⎤
r×
=0
⎢
dt ⎣
dt ⎥⎦
r
r
r
2r
⎡ r dr ⎤ dr dr r d r
×
=
×
+
×
r
r
⎢
dt ⎥⎦ dt dt
dt 2
⎣
y por tanto
r r r r r r r r
r ⋅ h = r ⋅ (r × v) = v ⋅ (r × r ) ≡ 0
r
r dr r r r
r×
= r ×v = h
dt
→
(cte)
r r
r ⊥h
Portanto,
tanto,la
laórbita
órbitaestá
estáen
enun
unplano
planoperpendicular
perpendicularaahhyy
Por
que
pasa
por
el
centro
de
masas
de
la
Tierra.
que pasa por el centro de masas de la Tierra.
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La órbita es plana
yo
r r r
h = r×v
m
r
v
r
r
xo
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CSAT 13
Sistema de Coordenadas Orbitales (Sistema perifocal)
perifocal)
Se elige un sistema de coordenadas
orbitales (xo, yo, zo=0).
yo
φ̂
r
v
El vector velocidad es tangente a la
trayectoria y conviene usar polares (r,
φ) para describir la posición.
r$
r
φ
xo
zo
r
r dr
d
dr
dr$
v=
=
(rr$ ) = r$
+r
dt dt
dt
dt
0
Pero
dr$ ∂r$ dr ∂r$ dφ ∂r$ dφ
=
+
=
dt ∂r dt ∂φ dt ∂φ dt
Además
Por tanto:
$ φ
r$ = x$ cos φ + ysin
=>
∂r$
$ φ + y$ cos φ = φ$
= − xsin
∂φ
r dr
dφ $
v=
r$ + r
φ
dt
dt
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Ecuaciones Escalares
r
r
r d 2 r dv
a=
=
dt
dt 2
El vector aceleración será:
dφ$ ∂φ$ dφ
dφ
=
= − r$
dt ∂φ dt
dt
y teniendo en cuenta que
resulta:
2
⎡d 2r
r
1 d ⎛ 2 dφ ⎞
⎛ dφ ⎞ ⎤
a = r$ ⎢ 2 − r ⎜ ⎟ ⎥ + φ$
⎟
⎜r
⎠
⎝
dt
r
dt ⎝ dt ⎠
dt
⎢⎣
⎥⎦
Con ello la ecuación vectorial del movimiento del satélite
resulta en el sistema de ecuaciones escalares:
⎧ 1 d ⎛ 2 dφ ⎞
Componente angular en θ̂
⎪ r dt ⎜ r dt ⎟ = 0
⎝
⎠
⎪
⎨ 2
2
⎪ d r − r ⎛ dφ ⎞ + k = 0 Componente radial en r̂
⎜
⎟
2
⎪⎩ dt 2
⎝ dt ⎠ r
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Segunda Ley de Kepler
dφ
= cte
dt
r
r r
dφ
h = r ×v = r2
dt
La primera ecuación indica que:
y teniendo en cuenta que
resulta:
h = r2
Como además:
yo
r2
dφ
= cte
dt
dA =
1 2
r dφ
2
dφ
=>
dA
r
dA 1
= h = cte
dt
2
rdφ
·
xo
Quees
esla
laexpresión
expresiónmatemática
matemáticade
dela
la2ª
2ªley
leyde
deKepler:
Kepler:
Que
“Áreasbarridas
barridasen
entiempos
tiemposiguales
igualesson
soniguales”
iguales”
“Áreas
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Segunda Ley de Kepler
“Áreas
“Áreasbarridas
barridasen
entiempos
tiemposiguales
igualesson
soniguales”
iguales”
CSAT 17
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Primera Ley de Kepler (1)
2
Del resultado anterior obtenemos:
y de la 2ª ecuación del sistema:
r2
dφ
h2
⎛ dφ ⎞
= cte ⇒ r ⎜ ⎟ = 3
⎝ dt ⎠
dt
r
d 2r h 2
k
− 3 + 2 =0
2
dt
r
r
Eliminamos t :
dr dr dφ dr h
du
=
=
= −h
dt dφ dt dφ r 2
dφ
2
2
d r
d ⎛
du ⎞
2 2⎛ d u⎞
h
h
u
=
−
=
−
⎜
⎟
⎜
⎟
dφ ⎠
dt 2 dt ⎝
⎝ dφ 2 ⎠
con el cambio
u=
Resulta por tanto:
1
dr
⇒ du = − 2
r
r
d 2u
k
+u = 2
2
h
dφ
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Primera Ley de Kepler (2)
La solución de la ecuación diferencial
u=
es:
d 2u
k
+u = 2
2
dφ
h
k
+ C cos(φ − φ o )
h2
Deshaciendo el cambio de variable y eligiendo el eje xo de
manera que φo = 0 resulta:
r =
siendo
p=
p
1 + e cos φ
h2
,, e = pC
k
Para
Paraee<<11la
laecuación
ecuaciónanterior
anteriores
esla
lade
deuna
unaelipse,
elipse,
yyes
la
expresión
matemática
de
la
1ª
ley
de
Kepler.
es la expresión matemática de la 1ª ley de Kepler.
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CSAT 19
Secciones cónicas
Sólo para e<1 se tienen trayectorias cerradas, de interés para satélites de
comunicaciones. Para e≥1, la trayectoria del satélite escapa a la atracción
terrestre (sondas espaciales, cometas).
Ecuación de la
trayectoria:
e=0: circunferencia
e<1: elipse
e>1: hipérbola
e=1: parábola
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Tercera Ley de Kepler
Para el caso de órbita elíptica:
dA =
1
1
hdt ⇒ πab = hT
2
2
siendo T el período de rotación.
Sustituyendo h resulta:
T = 2π
a
3
k
2
1
2
que
quees
esla
laexpresión
expresiónmatemática
matemáticade
dela
la3ª
3ªley
leyde
deKepler.
Kepler.
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CSAT 21
Resumen
Leyes de Kepler:
1º Las órbitas son planas y el satélite describe una elipse con un
foco en el centro de masas de la Tierra.
2º El radio vector describe áreas iguales en tiempos iguales.
3º Los cuadrados de los periodos orbitales de dos satélites tienen la
misma relación que los cubos de sus distancias medias al centro
de la Tierra.
Y0
Sistema perifocal de coordenadas
a(1 − e 2 )
r=
1 + e cos ϕ
m
b
r
Apogeo
a
φ
C
ae
a(1+e)
X0
Perigeo
M
a(1-e)
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⎛ 2 1⎞
v = k⎜ − ⎟
⎝ r a⎠
CSAT 22
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Ejemplos
Tercera Ley de Kepler
1600
Intelsat
35779 km, 1440 min
1400
Periodo [minutos]
1200
GPS
20220 km, 718 min
1000
800
600
MetOp-A
821 km, 101 min
400
ISS
200 400 km, 92 min
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Radio de la órbita [km]
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4
4.5
4
x 10
CSAT 23
Ejemplo: la ISS
hperigeo=348km
hapogeo=351km
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CSAT 24
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Variación de la altura de la ISS
CSAT 25
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Resumen
Sistema perifocal de coordenadas
r (ϕ ) =
a(1 − e 2 )
1 + e cos ϕ
Y0
m
b
r
Apogeo
φ
a
C
ae
Perigeo
M
a(1+e)
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X0
a(1-e)
CSAT 26
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Posición del Satélite en la Órbita. Anomalías
Y0
Circunferencia de radio
el semieje mayor a
(inscribe a la órbita)
Órbita
P’
P’
P
r
P
O
b
θφ
E
B
F
r
M
φθ
E
ae
B
X0
a(1-e)
M: anomalía media
E: anomalía excéntrica
φ: anomalía verdadera
a
CSAT 27
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Posición del Satélite en la Órbita (1)
Objetivo: determinar la posición del satélite en función del tiempo → r(t)
dφ
h h 0 r0 v 0
pk
=
=
=
=
dt r 2 r 2
r2
r2
p
p−r
r=
⇒ cos φ =
1 + e cos φ
re
− senφ ⋅
dφ − p dr
⋅
=
dt er 2 dt
cos E =
e + cos φ
1 + e cos φ
a cos E = ae + r
r
M
E
k
2
⋅ a 2e 2 − (a − r )
ar 2
]
Por geometría:
a cos E = ae + r cos φ = c + r cos φ
Y0
b
[
dr
=
dt
a(1-e)
X0
cos E − e
1 − cos E
cos E − e
⇒ r = a(1 − e cos E )
1 − cos E
dE
dr
= ae ⋅ senE ⋅
=
dt
dt
θφ
ae
cos φ =
E − esenE =
a
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k ± esenE
⋅
a 1 − e cos E
k
⋅ (t − t p )
a3
CSAT 28
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Posición del Satélite en la Órbita (2)
E − esenE =
k
⋅ (t − t p )
a3
Anomalía media M es el ángulo que formaría el semieje del perigeo de un satélite
que se moviera a velocidad constante η0 por la circunferencia de radio a que
inscribe la órbita elíptica:
M = η 0 ⋅ (t − t p ) =
P’
Área FP 'B = Área OP 'B − Área OP 'F
P
r
O
M = E − esenE
θ
E
k
⋅ (t − t p )
a3
B
F
E se calcula con métodos iterativos, p.e.,
Newton-Raphson (Eini=M, π):
f (E ) = E − esenE − M ⎫
f (E )
= ...
⎬⇒E=E−
f ' (E )
f ' (E ) = 1 − e cos E
⎭
CSAT 29
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Procedimiento para determinar
la posición del satélite en la órbita
1a) El periodo de rotación del satélite es:
1b) La velocidad angular media es: η
Y0
=
T = 2π
2π 1 k
=
T
a a
a3 2
k12
2) Conocido t y el tiempo de paso por el
perigeo tp , podemos calcular la anomalía
media M o la anomalía excéntrica E:
M = η(t − t p ) = E − esinE
3) A partir de E se obtienen r y ϕ (polares):
b
r = a(1 − e cos E )
r
M
E
φ
ae
a(1-e)
X0
a
4) Y también:
1
a(1 − e 2 )
)]
ϕ = cos [ (1 −
e
r
−1
x o = r cos ϕ
,,
y o = rsin ϕ
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CSAT 30
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Sistema de Coordenadas Inerciales
- Punto vernal o primer punto de Aries (γ): une el centro de la Tierra con el del Sol
en el equinoccio de Primavera (21 de Marzo). COORDENADAS INERCIALES
Nodo
Descendente
Plano
Orbital
X0
Perigeo
Plano Ecuatorial
ω
Inclinación
γ
Ω
i
Nodo
Ascendente
Ω : ascensión recta nodo ascendente
i : inclinación de la órbita
ω : argumento del perigeo
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CSAT 31
Determinació
Determinación de la posició
posición del saté
satélite
respecto de un punto de la superficie terrestre
• Objetivo: determinar la posición del satélite respecto
de la superficie terrestre
– Longitud y latitud
– Estimación de los ángulos de visión del satélite
– Estaciones terrenas
• Procedimiento: transformación de coordenadas
orbitales a rotatorias
– Hay que deshacer los giros de coordenadas para, a partir
de (Xo,Yo,Zo=0), obtener las coordenadas inerciales
(Xi,Yi,Zi)
– Matrices de giro
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CSAT 32
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Transformación C.O.-C.I. (1)
Paso 1: Giro alrededor de Zo (perpendicular a la órbita) para situar el eje
Xo en el plano ecuatorial (- ω)
⎡cos ω
⎡ X 1⎤
⎢ Y ⎥ = ⎢ s in ω
⎢
⎢ 1 ⎥
⎢⎣
⎢⎣ Z 1 ⎥⎦
0
− s in ω
0⎤
0 ⎥⎥
1 ⎥⎦
cos ω
0
⎡X
⎢Y
⎢
⎢⎣ Z
0
0
0
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
Zi
Z0
Satélite
Y0
X0
Perigeo
Yi
ω
Ω
i
Xi
Nodo Ascendente
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CSAT 33
Transformación C.O.-C.I. (2)
Paso 2: Giro alrededor de X1 para situar el plano X1’-Y1’ sobre el plano
ecuatorial (i). El eje Z se convierte en el eje polar
⎡ X 1' ⎤
⎡1
⎢
⎢0
' ⎥
Y
=
⎢ 1 ⎥
⎢
⎢ Z 1' ⎥
⎢⎣ 0
⎣
⎦
0
0
cos i
s in i
− s in i
cos i
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
⎡ X 1⎤
⎢Y ⎥
⎢ 1 ⎥
⎢⎣ Z 1 ⎥⎦
Zi
Z0
Satélite
Y0
X0
Perigeo
Ω
Yi
ω
i
Xi
Nodo Ascendente
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CSAT 34
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Comunicaciones por Satélite (5º curso)
Dpto. de Señales, Sistemas y Radiocomunicaciones
ETSI de Telecomunicación.
Universidad Politécnica de Madrid
Transformación C.O.-C.I. (3)
Paso 3: Giro alrededor del eje polar Z1’ para alinear el eje Xi en la
dirección del punto vernal (Ω)
⎡X
⎢Y
⎢
⎢⎣ Z
i
i
i
⎤
⎡cos Ω
⎥ = ⎢ s in Ω
⎥
⎢
⎥⎦
⎢⎣
0
− s in Ω
cos Ω
0
0⎤
0 ⎥⎥
1 ⎥⎦
⎡ X 1' ⎤
⎢
' ⎥
⎢Y1 ⎥
⎢ Z 1' ⎥
⎣
⎦
Zi
Z0
Satélite
Y0
X0
Perigeo
Yi
ω
Ω
i
Xi
Nodo Ascendente
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CSAT 35
Transformación C.O.-C.I. (4). Resumen
1) Giro de (-ω) respecto a Zo:
⎡ X 1⎤
⎡cos ω
⎢ Y ⎥ = ⎢ s in ω
⎢ 1⎥
⎢
⎢⎣ Z 1 ⎥⎦
⎢⎣
0
− s in ω
cos ω
0
0⎤⎡ X 0 ⎤
0 ⎥⎥ ⎢⎢ Y 0 ⎥⎥
1 ⎥⎦ ⎢⎣ Z 0 ⎥⎦
2) Giro de (i) respecto a X1:
⎡ X 1' ⎤
⎡1
⎢ '⎥
⎢
⎢Y1 ⎥ = ⎢0
⎢ Z 1' ⎥
⎢⎣ 0
⎣
⎦
0
cos i
s in i
0 ⎤ ⎡ X 1⎤
− s in i ⎥⎥ ⎢⎢ Y 1 ⎥⎥
c o s i ⎦⎥ ⎣⎢ Z 1 ⎥⎦
3) Giro de (Ω) respecto a Z’1=Zi:
⎡X i⎤
⎡cos Ω
⎢ Y ⎥ = ⎢ s in Ω
⎢ i ⎥
⎢
⎢⎣ Z i ⎥⎦
⎢⎣
0
− s in Ω
cos Ω
0
0 ⎤ ⎡ X 1' ⎤
⎥
⎢
0 ⎥⎥ ⎢ Y 1' ⎥
1 ⎥⎦ ⎢⎣ Z 1' ⎥⎦
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Comunicaciones por Satélite (5º curso)
Dpto. de Señales, Sistemas y Radiocomunicaciones
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Transformación C.O.-C.I. Resumen
Finalmente, haciendo los productos sucesivos, resulta:
⎡Xi ⎤
⎢ ⎥
⎢ Yi ⎥ =
⎢⎣ Z i ⎥⎦
⎡(cos Ω cos ω − sen Ω cos i sen ω )
⎢
⎢( sen Ω cos ω + cos Ω cos i sen ω )
⎢⎣
sen i sen ω
( − cos Ω sen ω − sen Ω cos i cos ω ) sen Ω sen i ⎤ ⎡ X 0 ⎤
( − sen Ω sen ω + cos Ω cos i cos ω ) − cos Ω sen i ⎥⎥ ⎢⎢ Y0 ⎥⎥
sen i cos ω
cos i
⎥⎦ ⎢⎣ Z 0 ⎥⎦
Matriz de transformación de coordenadas orbitales a inerciales
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CSAT 37
Coordenadas Rotacionales
A partir de las coordenadas inerciales (Xi,Yi) se obtienen
las coordenadas rotacionales (Xr,Yr).
Ωe
Ωe: Velocidad de rotación de la Tierra
Τe: Tiempo transcurrido desde que Xr≡Xi
Yr
Ωe Te = α g ,o + 0.25068447⋅ t(minGMToTU)
Yi
Zi ≡Zr
α g ,o = 99.6909833 + 36000.7689 ⋅ Tc + 3.8708 ⋅ 10−4 ⋅ Tc2
Tc =
Meridiano de
Greenwich
ΩeTe
Xi
Xr
(JD − 2415020)
36525
JD: día Juliano
Tc: tiempo en siglos Julianos
αg,o: ascensión recta del meridiano cero
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CSAT 38
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Comunicaciones por Satélite (5º curso)
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Cálculo del día Juliano
JD = 2415020 + 365 × ( A − 1900) + DTA + NAB1900 +
TU
− 0.5
24
•
JD: Día juliano
•
2415020: JD del 31/12/1899 a las 12 h del mediodía
•
A: Año cuyo JD se desea calcular
•
DTA: Días transcurridos del año A
•
NAB1900: número de años bisiestos transcurridos desde 1900
•
TU: Fracción del día en tiempo universal en horas
Ejemplo: Calcular el JD del 1 de enero de 2000 a las 12 a.m.
•
–
–
–
–
A=2000
DTA=1
NAB1900=24
TU=12
JD = 2415020 + 365 × (2000 − 1900) + 1 + 24 +
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12
− 0.5 = 2451545
24
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Calendario
Sol Medio (movimiento ficticio uniforme)
Año tropical (tiempo de una órbita Tierra al Sol)
Día solar medio, referido al Sol medio, 24 h
Día sidéreo (1 rotación Tierra): 23h 56m 4.09s
Año tropical: 365.2422 días medios
Año civil: 365 días
Julio Cesar introdujo el año bisiesto (1 día más cada 4
años y se compensan 0.25)
• Para compensar los 0.0088 el calendario Gregoriano
elimina como bisiestos los que terminan en 00 salvo los
divisibles por 400.
• TU o GMT tiempo referido al meridiano de Greenwich
•
•
•
•
•
•
•
– Ahora sustituido por el UTC (relojes atómicos)
• Día Juliano cero: 12 mediodía del 1 Enero del 4713 AC
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CSAT 40
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Comunicaciones por Satélite (5º curso)
Dpto. de Señales, Sistemas y Radiocomunicaciones
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Transformación C.I.-C.R.
Para pasar de las coordenadas geocéntricas inerciales
al sistema rotatorio hay que girar (Xi,Yi,Zi) un ángulo
ΩeTe respecto al eje Zi:
Ωe
Yr
Yi
Zi ≡Zr
Meridiano de
Greenwich
ΩeTe
⎡ X r ⎤ ⎡ cos Ω eTe
⎢ ⎥ ⎢
⎢ Yr ⎥ = ⎢− sen Ω eTe
⎢⎣ Z r ⎥⎦ ⎢⎣
0
sen Ω eTe
cos Ω eTe
0
0⎤ ⎡ X i ⎤
⎥⎢ ⎥
0⎥ ⎢ Yi ⎥
1⎥⎦ ⎢⎣ Z i ⎥⎦
Xr
Xi
CSAT 41
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Parámetros orbitales. Efemérides
Para especificar las coordenadas
inerciales de un satélite en el instante
t, se suele emplear el siguiente
conjunto de seis parámetros:
Nodo
Descendente
Plano
Orbital
X0
Perigeo
ω
Plano Ecuatorial
1) Excentricidad (e)
2) Semieje mayor (a)
3) Ascensión recta del nodo
ascendente (Ω)
4) Inclinación del plano orbital (i)
5) Argumento del perigeo ( ω)
6) Tiempo de paso por el perigeo (tp)
o anomalía media (M)
(tp)
Inclinación
γ
Ω
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i
Nodo
Ascendente
CSAT 42
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