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Física Cuántica
Partículas idénticas.
José Manuel López y Luis Enrique González
Universidad de Valladolid
Curso 2004-2005 – p. 1/18
Partículas idénticas
•
¿ Qué son varias partículas idénticas?
Las que tienen las mismas propiedades
intrínsecas: masa, carga, spin.
Curso 2004-2005 – p. 2/18
Partículas idénticas
•
•
¿ Qué son varias partículas idénticas?
Las que tienen las mismas propiedades
intrínsecas: masa, carga, spin.
¿Cómo se trata el problema clásicamente?
Se distinguen segun su estado (posición y
velocidad) en un instante determinado.
Curso 2004-2005 – p. 2/18
Partículas idénticas
•
•
•
¿ Qué son varias partículas idénticas?
Las que tienen las mismas propiedades
intrínsecas: masa, carga, spin.
¿Cómo se trata el problema clásicamente?
Se distinguen segun su estado (posición y
velocidad) en un instante determinado.
Cuánticamente no se puede hacer lo mismo:
Por ejemplo, si en una zona del espacio la
probabilidad de encontrar dos partículas idénticas
es no nula, entonces no podemos decir mediante
un experimento cual de las dos se ha detectado.
Curso 2004-2005 – p. 2/18
Choque entre 2 partículas idénticas en el sistema CM
Inicialmente estan bien separadas y pueden
etiquetarse (1) y (2)
Curso 2004-2005 – p. 3/18
Choque entre 2 partículas idénticas en el sistema CM
Inicialmente estan bien separadas y pueden
etiquetarse (1) y (2)
Durante el choque sus paquetes de onda solapan.
Curso 2004-2005 – p. 3/18
Choque entre 2 partículas idénticas en el sistema CM
Inicialmente estan bien separadas y pueden
etiquetarse (1) y (2)
Durante el choque sus paquetes de onda solapan.
Finalmente una de ellas es detectada en D.
Necesariamente la otra irá en el sentido contrario,
debido a la conservación del momento.
Curso 2004-2005 – p. 3/18
Tenemos 2 posibilidades que nos describen el estado
medido:
¿Cual es la correcta, la (a), la (b), determinada
combinación lineal de ambas?
¡No puede decidirse!
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Otro ejemplo:
Dos partículas idénticas de spin 1/2.
Sabemos que si efectuamos una medida completa del sistema
conocemos cual es el estado del sistema después de esa medida.
Medimos la componente z del spin de las dos partículas y
obtenemos como resultado que una tiene como valor propio ~/2
y la otra −~/2. En el espacio de estados total ε = ε1 ⊗ ε2 existen
dos estados que corresponden a esa medida |+, − > y |−, + >,
por tanto el estado del sistema será
|Φ >= α|+, − > +β|−, + >
{z
}
|
con
|α|2 + |β|2 = 1
(∗)
Curso 2004-2005 – p. 5/18
Otro ejemplo:
Dos partículas idénticas de spin 1/2.
Sabemos que si efectuamos una medida completa del sistema
conocemos cual es el estado del sistema después de esa medida.
Medimos la componente z del spin de las dos partículas y
obtenemos como resultado que una tiene como valor propio ~/2
y la otra −~/2. En el espacio de estados total ε = ε1 ⊗ ε2 existen
dos estados que corresponden a esa medida |+, − > y |−, + >,
por tanto el estado del sistema será
|Φ >= α|+, − > +β|−, + >
{z
}
|
con
|α|2 + |β|2 = 1
(∗)
El hecho de que las dos partículas sean idénticas introduce la
DEGENERACIÓN DE INTERCAMBIO.
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Medimos ahora sobre el estado (*) S1x y S2x .
¿ Qué probabilidad tenemos de encontrar el valor ~/2 y ~/2?
Recordemos:
1
|+ >x = √ (|+ > +|− >)
2
por tanto
|+, + >x = |+ >x ⊗|+ >x =
1
(|+, + > +|+, − > +|−, + > +|−, − >)
2
1
P(↑x , ↑x ) = |x < +, +|Φ > | = | (α + β)|2
2
¡¡¡ No son equivalentes todos los estados !!!
Esto hace necesario añadir un nuevo postulado a los ya
explicados anteriormente:
2
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Postulado 6 (de simetrización)
Cuando en un sistema aparecen varias partículas idénticas solamente ciertos kets del espacio de estados representan estados físicamente aceptables (EFA):
Los kets completamente antisimétricos respecto
al intercambio de de partículas (fermiones)
• Los kets completamente simétricos respecto al intercambio de partículas (bosones).
Además, se ha observado experimentalmente que:
• Las partículas con spin semientero (s = 1 , 3 , · · ·)
2 2
son fermiones.
• Las partículas con spin entero (s = 0, 1, 2, · · ·)
son bosones.
•
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¿ Cómo se simetriza o antisimetriza un estado?
N partículas idénticas que podemos situar en
|u1 >, |u2 >, . . . |uN > estados monoparticulares.
1. Asignamos a cada partícula un número y un estado
y en el espacio ε = ε1 ⊗ ε2 ⊗ · · · ⊗ εN formamos el
producto tensorial de todos los de las N partículas:
|ψ123···N >= |1 : u1 , 2 : u2 , 3 : u3 , · · · , N : uN >=
= |1 : u1 > ⊗|2 : u2 > ⊗ · · · ⊗ |N : uN >
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2. Formamos los estados obtenidos mediante todas
las posibles permutaciones de los números asignados
a cada partícula.
Por ejemplo:
|ψ213···N >= |2 : u1 , 1 : u2 , 3 : u3 , · · · , N : uN >
, |ψ231···N >, |ψ132···N >, · · ·
3a. Para bosones → simetrizamos:
Sumamos todos los estados obtenidos anteriormente y
normalizamos.
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3b. Para fermiones → antisimetrizamos:
Multiplicamos cada estado por la paridad de su permutación (1
para permutaciones pares, -1 para permutaciones impares),
sumamos los resultados y normalizamos. El resultado final es
equivalente al llamado determinante de Slater:
|1 : u1 > |1 : u2 > · · · |1 : un > 1 |2 : u1 > |2 : u2 > · · · |2 : uN > |EF A >= √ ..
..
..
..
.
.
.
.
N! |N : u1 > |N : u2 > · · · |N : uN > Consecuencia: dos fermiones no pueden estar en el mismo
estado cuántico: si |ui >= |uj > entonces |EF A >≡ 0
Este es el principio de exclusión de Pauli generalizado.
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Medidas para 2 partículas idénticas
Consideremos un sistema de 2 partículas, una de ellas
en el estado |ϕ > y la otra en el estado |χ > (que
supondremos ortogonales).
Sobre el sistema efectuamos una medida de una
magnitud monoparticular B. Supongamos que los
autovalores del operador asociado B forman un
conjunto discreto y son no degenerados
(B|ui >= bi |ui >).
Queremos calcular la probabilidad de que la medida
de B sea bn para una partícula y bm para la otra.
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Caso a: resultados distintos
n 6= m (bn 6= bm , |un >6= |um >
(1) Si se trata de partículas distinguibles (“clásicas")
entonces podemos tomar como estado del sistema el
|1 : ϕ, 2 : χ >,
y dos posibilidades distintas de obtener bn y bm , a
saber, |1 : un , 2 : um > y |1 : um , 2 : un >.
La probabilidad pedida será por tanto la suma de las
correspondientes a las 2 posibilidades:
Pc = |< 1 : un , 2 : um |1 : ϕ, 2 : χ >|2 + |< 1 : um , 2 : un |1 : ϕ, 2 : χ >|2 =
= |< un |ϕ >< um |χ >|2 + |< um |ϕ >< un |χ >|2
Curso 2004-2005 – p. 12/18
(2) Si las partículas son idénticas tendremos
(signo + para bosones, signo - para fermiones):
El estado del sistema será
|ϕ; χ >± = √12 (|1 : ϕ, 2 : χ > ±|1 : χ, 2 : ϕ >)
El estado propio asociado a obtener los resultados
bn , bm :
|un ; um >± = √12 (|1 : un , 2 : um > ±|1 : um , 2 : un >)
Y la probabilidad pedida es el modulo al cuadrado de
2
su producto interno: P = |± < un ; um |ϕ; χ >± |
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Haciendo las cuentas se obtiene:
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Haciendo las cuentas se obtiene:
Pc = | < un |ϕ >< um |χ > |2 + | < um |ϕ >< un |χ > |2
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Haciendo las cuentas se obtiene:
Pc = | < un |ϕ >< um |χ > |2 + | < um |ϕ >< un |χ > |2
Pf = | < un |ϕ >< um |χ > − < um |ϕ >< un |χ > |2
Curso 2004-2005 – p. 14/18
Haciendo las cuentas se obtiene:
Pc = | < un |ϕ >< um |χ > |2 + | < um |ϕ >< un |χ > |2
Pf = | < un |ϕ >< um |χ > − < um |ϕ >< un |χ > |2
Pb = | < un |ϕ >< um |χ > + < um |ϕ >< un |χ > |2
{z
} |
{z
}
|
término directo
de intercambio
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Caso b: mismo nivel
n=m
(bm = bn , |um >= |un >)
Curso 2004-2005 – p. 15/18
Caso b: mismo nivel
n=m
(bm = bn , |um >= |un >)
(1) Distinguibles: Estado del sistema |1 : ϕ, 2 : χ >;
estado asociado a la medida |1 : un , 2 : un >.
Curso 2004-2005 – p. 15/18
Caso b: mismo nivel
n=m
(bm = bn , |um >= |un >)
(1) Distinguibles: Estado del sistema |1 : ϕ, 2 : χ >;
estado asociado a la medida |1 : un , 2 : un >.
(2) Bosones: Estado del sistema |ϕ; χ >+ ; estado
asociado a la medida |un ; un >+ ≡ |1 : un , 2 : un >.
Curso 2004-2005 – p. 15/18
Caso b: mismo nivel
n=m
(bm = bn , |um >= |un >)
(1) Distinguibles: Estado del sistema |1 : ϕ, 2 : χ >;
estado asociado a la medida |1 : un , 2 : un >.
(2) Bosones: Estado del sistema |ϕ; χ >+ ; estado
asociado a la medida |un ; un >+ ≡ |1 : un , 2 : un >.
(3) Fermiones: Estado del sistema: |ϕ; χ >− ; estado
asociado a la medida |un ; un >− ≡ 0 (principio de
exclusion).
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Haciendo las cuentas resulta
Curso 2004-2005 – p. 16/18
Haciendo las cuentas resulta
Pc = | < un |ϕ >< un |χ > |2
Curso 2004-2005 – p. 16/18
Haciendo las cuentas resulta
Pc = | < un |ϕ >< un |χ > |2
Pf = 0
Curso 2004-2005 – p. 16/18
Haciendo las cuentas resulta
Pc = | < un |ϕ >< un |χ > |2
Pf = 0
Pb = 2 | < un |ϕ >< un |χ > |2
Curso 2004-2005 – p. 16/18
Haciendo las cuentas resulta
Pc = | < un |ϕ >< un |χ > |2
Pf = 0
Pb = 2 | < un |ϕ >< un |χ > |2
Comparado con el caso "clásico", la probabilidad de
que el nivel n se ocupe por segunda vez aumenta (al
doble) en el caso de bosones y disminuye (a cero) en
el caso de fermiones.
Esto tiene importantes consecuencias en la Mecánica
Estadística Cuántica.
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N partículas idénticas independientes
Independientes ≡ no interactuantes (que no
interaccionan entre sí). Más concretamente, el
hamiltoniano del sistema puede escribirse como
H(1, 2, · · · , N ) = h(1) + h(2) + · · · + h(N )
Particulas identicas ⇒ H(1, · · · , N ) es simétrico
respecto al etiquetado de las partículas.
En el caso de partículas independientes implica que
todos los h(i) son iguales.
Los estados y energías propias de H en
ε = ε1 ⊗ · · · ⊗ εN vienen determinados por los de
h(j) en εj :
h|ϕn >= en |ϕn >
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Bosones:
Estados propios:
|Φn1 ,n2 ,···,nN >= SIM [|1 : ϕn1 , 2 : ϕn2 , · · · , N : ϕnN >]
Energías: En1 ,n2 ,···,nN = en1 + en2 + · · · + enN
Estado fundamental≡energía más baja: E1,1,···,1 = N e1
Fermiones:
|Φn1 ,n2 ,···,nN >= SLAT ER[|1 : ϕn1 >, |2 : ϕn2 >, · · · , |N : ϕnN >]
pero sólo los permitidos por el principio de exclusion.
En1 ,n2 ,···,nN = en1 + en2 + · · · + enN
Estado fundamental≡energía más baja: Se van llenando los
niveles ei más bajos respetando el principio de exclusion. La ei
más alta alcanzada se denomina Energía de Fermi
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