Download Un gato en la oscuridad (Parte I)

Cinvestav en su tinta
Oscar Rosas-Ortiz*
gatoen
la oscuridad
Un
(Parte 1)
Oscar Rosas-Ortiz*
*Investigador del Departamento de Física del Centro de Investigación y de Estudios Avanzados
(Cinvestav) del Instituto Politécnico Nacional ( ipn ). Editor de la presente columna.
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2009
U
na de las propiedades más sorprendentes del mundo cuántico es la superposición lineal.
La física de sistemas tan grandes como una piedra, un niño o una estrella, es relativamente sencilla si se piensa en ellos como puntos que concentran una determinada
masa y que tienen una posición y una velocidad bien definidos (es decir, la posición y
la velocidad del sistema se pueden medir con precisión arbitraria). Para sistemas tan pequeños
como un electrón, sin embargo, la situación no es tan simple. Podemos seguir haciéndonos un
esquema sencillo imaginando al electrón como un punto que concentra el total de su masa
pero, en general, el esquema no funciona ya que no podremos indicar con precisión arbitraria
cuáles son su posición y su velocidad. La inviolabilidad del principio de incertidumbre de
Heisenberg lo prohibe. Aquí la superposición lineal significa que, en tanto no midamos su posición, el electrón puede estar en uno de muchos puntos del espacio. Lo mismo ocurre con su
velocidad: el electrón puede tener una de muchas velocidades en tanto no nos preocupemos
por medirla. ¿Puede esta descripción extenderse a objetos tan grandes como una piedra, un
gato o un planeta? Al fin y al cabo la piedra tanto como el gato y el planeta están compuestos
de partículas tan pequeñas como electrones, protones, etcétera.
Al salir del bar Quantum, el Dr. Fausto se dirige a su hotel. Las
ocurre la próxima vez. Ahora lárgate y déjame pasar.” Después
calles empedradas le llevan por una serie de antros que se anunde abrir la puerta de su habitación, el Dr. Fausto se sirve una becian con luces de neón y cuyos letreros se distinguen perfectabida energizante y revisa la correspondencia que el personal del
mente a la distancia pero, una vez cerca, no son más que una
hotel ha dejado sobre la mesita de centro. Una carta amarillenta
maraña de puntos luminosos entretejiéndose unos con otros
y avejentada llama su atención. Con cuidado rompe el sello de
mientras salen disparados de una serie de tubos. El Dr. Fausto
cera y empieza a leer “Hay un nuevo prisionero en el castillo de
se introduce al portal del hotel Psi cuadrada y justo frente al asPenning. Esta vez se trata de un amigo mutuo. Sugiero vernos
censor se interrumpe la energía eléctrica. Emitiendo una maldiesta noche en el salón principal de la escuela de Copenhagen.
ción, apenas ocultada por el ruido de los camareros que corren
Dorian”. La preocupación se dibuja en el rostro del Dr. Fausto,
a encender la planta eléctrica de reserva, inicia su ascenso por
revisa una y otra vez la misiva con la esperanza de haber leído
las escaleras. Casi sin aliento se detiene en el tercer nivel. Subir
mal. Sin embargo, la letra de Dorian le resulta inconfundible y el
de nivel en el mundo cuántico tiene un alto precio energético
mensaje bastante claro. Verifiy el Dr. Fausto lo sabe bien. Así que mientras toma un descanca la hora en su reloj y sus
so distingue entre la penumbra algo que parece moverse. Con
labios escupen una nueva
precaución se acerca un poco más para notar la silueta de un
maldición “!Oh demonios!
gato que se despereza estirándose a lo largo de sus cuatro paTendré que apurar el paso”.
tas mientras su lomo se arquea con la cola
erizada. Instintivamente, el Dr. Fausto
dirige su mirada al suelo, debajo del gato
perezoso, y observa la silueta de otro gato
que, idéntico al primero y sin movimiento alguno, tiene el cuerpo desmadejado,
como si estuviera muerto. “Andrómeda,
¿eres tu? --pregunta con preocupación- diablo de gato, si Erwin no te hubiera
arrojado a este mundo no tendría yo esta
clase de sobresaltos”. Después de hurgar
en sus bolsillos, el Dr. Fausto extiende
la mano y enciende una luz, las siluetas
de los dos gatos parecen temblar, revolviéndose una con otra, oscilando entre
la figura del gato perezoso y la del gato
muerto. Al final, se escucha un maullido
y el Dr. Fausto siente que Andrómeda se
Figura 1. Se representa esquemáticamente el experimento de la doble rendija de Young. El lector puede considerar que a la izquierle restriega entre los pies. “Vaya que eres
da se inyectan electrones que se hacen pasar por dos orificios pequeños. A la derecha, en azul, está dibujado el comportamiento
de la densidad de probabilidad (el modulo al cuadrado de la función de onda —el hotel Psi cuadrada—), los picos representan
agradecido, esta vez volviste a tener suerregiones donde es más probable encontrar al electrón después de pasar por la doble rendija. Mientras más alto es el pico mayor
es la probabilidad.
te y te he pillado vivo. Ya veremos lo que
IPN
Donde la ciencia se convierte en cultura
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El Dr. Fausto cuántico es un personaje que ya hemos usado
con la intención de facilitar la introducción de conceptos que resultan poco convencionales en nuestra vida cotidiana pero que
son del todo comunes en el micro-mundo (ver referencia 1). Cabe
decir que nos hemos dado muchas libertades literarias y que el
mundo cuántico no necesariamente es como lo hemos descrito.
De hecho, no sabemos cómo es en realidad dicho mundo. Lo que
si sabemos es que la teoría cuántica proporciona una excelente
aproximación al comportamiento de los sistemas cuánticos, con
ella predecimos los resultados que se obtienen en el laboratorio
con una precisión impresionante. Las predicciones de la teoría
corresponden a densidades de probabilidad finitas, asignadas a
dos o más posibilidades que resultan ser mutuamente excluyentes. Dichas posibilidades pueden ser, por ejemplo, que encontremos al electrón en este lugar, o en aquél, o mucho más allá
de la habitación donde usted apaciblemente lee este documento.
La superposición lineal se expresa matemáticamente como la
suma codificada de estas posibilidades y no hay forma de indicar dónde exactamente estará el electrón al momento de medir
su posición, solo podemos decir dónde es más probable que se
encuentre (ver figura 1).
Tomando en cuenta la infalible efectividad que la teoría
cuántica ha mostrado uno podría suponer que es una excelente descripción no sólo del mundo microscópico sino del mundo
físico, incluyendo aquel con el que estamos acostumbrados a lidiar día con día. De esta forma se antoja asignar una probabilidad finita a dos estados que difieran drásticamente, incluso si
tales estados representan sistemas tan grandes como un gato.
En su famoso artículo de 1935, Erwin Shrödinger presenta una
situación “ridícula” donde el estado de un gato se entrelaza con
el estado de un átomo radioactivo de tal suerte que hay una superposición de estados “gato vivo” y “gato muerto” (ver referencia 2). Está claro que asignando igual probabilidad a cada uno
de estos estados mutuamente excluyentes y “macroscópicos” se
llega a la situación donde, antes de la medición, el gato no está
ni vivo ni muerto (ver figura 2). Esta situación es precisamente
la que Schrödinger entendía como ridícula y por ello propuso
un ejercicio tan inverosímil. Hay, por otro lado, una corriente
dentro de las interpretaciones de la teoría que le adjudica al objeto matemático que se usa para representar el
estado cuántico de una partícula (la función
de onda) un papel que está más allá de ser
una mera herramienta de cálculo para ha-
cer predicciones. Para esta corriente, por ejemplo, la función de
onda asociada con la posición de un electrón no sólo codifica las
posibilidades de encontrar al electrón en tal o cual lugar, sino
que refleja el hecho de que el electrón está en todos y cada uno
de esos lugares al mismo tiempo, siempre que no se haga alguna
medición de la posición. Al adjudicarle esta clase de propiedades
a la función de onda la hacen, en muchos sentidos, indistinguible del electrón y la vuelven un objeto de estudio por si misma.
Así, esta corriente de interpretación se ve obligada a introducir
conceptos adicionales, como el del colapso de la función de onda.
Esto último significa que la función de onda (o el electrón, ya que
dicha corriente no distingue entre uno y otro) “elije” la posibilidad por la que ha de decantarse justo en el momento de la medición. Llevando al extremo dicha interpretación uno encuentra
que Andrómeda, el triste gato inventado por Schrödinger y caricaturizado junto a nuestro Dr. Fausto, antes de cualquier medición (es decir, ¡en la oscuridad!) se encuentra en un estado tipo
“zombi”, ya que está vivo y muerto a la vez. No sólo eso, sino
que con el simple hecho de observarlo (en nuestra historia, el Dr.
Fausto lo ilumina para “observarlo”, pero aquí esta palabra es
un sinónimo de medición) uno rescata al infeliz gato de dicho
estado para “obligarlo” a estar de una vez por todas ya sea vivo
o muerto. Esta clase de conclusiones es precisamente la que tanto
disgustaba no solo a Schrödinger, sino (y sobre todo) a Einstein
(ver referencia 2).
¿Hasta dónde es acertado afirmar que el sistema en realidad
se encuentra en una combinación de estados antes de la medición? Es decir, ¿hasta dónde las propiedades matemáticas de la
función de onda se le pueden adjudicar al sistema físico que, no
solo justifica la existencia de dicha función sino que es nuestro
verdadero objeto de estudio? Además, suponiendo que como resultado de la medición se encuentra al sistema (Andrómeda) en
el estado “gato vivo”, ¿no será que el sistema siempre estuvo en
dicho estado? La teoría cuántica no puede contestar a esta última
pregunta. Con respecto a las dos primeras hay un problema de
fondo: ¡ni la función de onda ni su colapso son entes o fenómenos
mensurables! Así que no hay forma de comparar un antes y un
después del colapso. Ciertamente, ningún laboratorio del mundo
ha encontrado al electrón en dos lugares diferentes como resultado de medir su posición, pero esto no representa ninguna prueba del colapso ya que tampoco se ha reportado la “medición” de
la función de onda correspondiente antes del colapso (obsérvese
que, en sentido estricto, tampoco se mide la función de onda después del colapso). En tanto la
función de onda (y su colapso) no sea mensurable no hay
motivo para tratarla como
una variable física al mismo
nivel que la posición, la velocidad o la energía, mucho
menos está justificado ha1
2
cerla indistinta del sistema
cuántico al que pertenece.
Revisando las motivaciones
Figura 2. Combinación lineal de los estados “gato vivo” (café) y “gato muerto” (gris). El gato “zombi” (gato a cuadros) tiene igual probabilidad de estar
que dieron origen a la teoría
vivo que de estar muerto. Los números C con etiquetas 1 y 2 son los coeficientes de la combinación lineal que, en este caso, son ambos iguales a uno
cuántica uno se encuentra
sobre la raíz cuadrada de dos. De esta forma, el modulo al cuadrado de cada uno de ellos corresponde a una probabilidad de 1/2. Una vez que se hace
la medición el gato a cuadros se transforma ya sea en un gato completamente café o en un gato completamente gris.
con que Heisenberg se ins-
= C
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+ C
piró en las ideas de la relatividad restringida de Einstein para
proponer que la (entonces) nueva teoría debería construirse a
partir de cantidades que fuesen mensurables, como los niveles de
energía de los espectros atómicos, antes que usar conceptos que
dejaban de tener significado tales como la trayectoria de una partícula. Dicha propuesta le llevo a definir el concepto de observable
en la teoría cuántica como aquella variable que fuese mensurable y que estuviese representada por un objeto matemático bien
definido (lo que ahora conocemos como operador Hermitiano).
La teoría cuántica construida por Heisenberg (y la primera) es lo
que actualmente se conoce como la versión matricial de la Mecánica Cuántica mientras que la de Schrödinger (la segunda) es
la versión ondulatoria. Dirac haría posteriores refinamientos a
ambos esquemas y los llevaría al caso relativista. Así, en el mero
corazón de la teoría, conceptos como el colapso de la función de
onda están en la misma posición que las trayectorias dentro del
contexto cuántico, no pueden ser considerados objetos de estudio por si mismos en tanto no sea posible medirlos en el mismo
sentido que se miden los niveles energéticos atómicos. Esta argumentación descarta la situación en la que el electrón está en
todas partes antes de la medición tanto como la de que tengamos
gatos “zombis” deambulando por todas partes. La efectividad de
las predicciones de la teoría, sin embargo, se mantiene intacta ya
que no depende de ninguna clase de interpretación. Lo cierto es
que cada vez que el Dr. Fausto alumbra (hace una medición) al
gato Andrómeda, lo encontrará ya sea vivo o ya sea muerto, pero
no en ambos estados a la vez. Mientras más ocasiones repita el
experimento los resultados irán engrosando una muestra estadística que coincidirá más y más con la predicción probabilística
de la teoría: La mitad de las veces estará vivo y la mitad de las
veces estará muerto. El mismo resultado se obtendrá si, en lugar
de iluminar un gato a la vez, el Dr. Fausto ilumina cientos de
miles (quizás millones) de gatos al mismo tiempo, mientras más
gatos sean mejor. Es en este esquema donde la teoría cuántica es
infalible y completamente independiente de las interpretaciones
que de ella y de sus ingredientes se hagan. Robert B. Laughlin, por
ejemplo, gusta de llamar a esto último como una propiedad emergente, es decir, aquella propiedad que surge de la organización
de grandes cantidades de partículas cuánticas. Según Laughlin,
los misterios más indescifrables se hacen comprensibles (ver referencia 3). Sin embargo, Laughlin se olvida de considerar que
los electrones y demás partículas parecen conocer a priori las dis-
tribuciones probabilísticas asociadas con cada experimento ya
que gustan de “caer” en las regiones más probables indicadas
por la teoría (zonas azules en la figura 1), independientemente
de que sean lanzados uno por uno o todos juntos (y revueltos)
a la vez. Esto último, por otro lado, conocido como teorema ergódico, es usado por autores como David Deutsch para motivar,
justificar y promocionar la interpretación de muchos mundos
(propuesta por Hugh Everet en 1957) como la más acertada (ver
referencia 4).
Con todo, la veracidad de la teoría cuántica ha sido constatada en innumerable cantidad de veces, muy a pesar de sus creadores (me refiero, entre otros, a Einstein y a Schrödinger). En el caso
que nos ocupa, si bien no se pueden usar gatos reales para investigar las posibilidades del ejercicio propuesto por Schrödinger,
sí es posible construir en el laboratorio sistemas cuánticos cuyo
comportamiento es el más acercado al de un sistema macroscópico. Se trata de los estados coherentes de la luz (ver referencia
5). Dichos estados fueron inventados por Glauber para describir
el comportamiento convencional de la luz en términos de la teoría cuántica pero fueron previamente estudiados por Schrödinger al investigar las condiciones que debe satisfacer un sistema
cuántico para comportarse como un sistema macroscópico. En
el laboratorio se han obtenido estados tipo gato de Schrödinger
aplicando pulsos de láser sobre iones desde la década de los noventa (ver referencia 6). El estado obtenido es una superposición
de estados coherentes localizados en puntos distantes entre sí.
La verificación de dicha superposición se hizo en forma indirecta a través de la medición de la interferencia cuántica de dichos
estados (el patrón de probabilidades mostrado
en la figura 1 corresponde a un patrón de interferencia). Una descripción muy sencilla
de la construcción de esta clase de estados
usando óptica cuántica y cavidades cuánticas electrodinámicas puede encontrarse en la
referencia 7.
Continuaremos nuestra discusión en la
siguiente entrega.
Referencias
1.
O. Rosas-Ortiz, “Computación Cuántica y Geometría”,
Conversus (Abril 2009) p 12
2.
O. Rosas-Ortiz, “Entrelazamiento cuántico y universos
paralelos”, Conversus (Mayo 2008) p 18
3.
R.B. Laughlin, “Un universo diferente. La reinvención de
la Física en la edad de la emergencia”. Katz editores, Buenos Aires, 2007.
4.
D. Deutsch, “La estructura de la realidad”, Anagrama,
Barcelona, 1999.
5.
S. Cruz y Cruz, O. Rosas-Ortiz, “Estados coherentes y
gatos de Schrödinger”, Cinvestav 27 (enero-marzo 2008) p 30
6.
C. Monroe, D.M. Meekhof, B.E. King and D.J. Wineland,
“A Schrödinger Cat, Superposition State of an Atom”, Science 272
(1996) 1131.
7.
C.C. Gerry and P.L. Knight, “Quantum superpositions
and Schrödinger cat status in quantum optics”, Am. J. Phys. 65
(1997) 964
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