Download Práctico nº 3: Álgebra Matricial

Métodos en Computación Científica
2º Cuatrimestre de 2010
Práctico nº 3: Álgebra Matricial
PARTE A: Uso de Matlab
(Se recomienda la lectura del tutorial de Matlab y la realización de la ejercitación
IntroMatlab I,II y III provistas en la página web: Downloads –> Material Adicional)
Ejercicio nº 1:
Dada la matriz:
5  1
1 0
A
2 2

0  5
0  3
0 2 
2  2

3  3
Usando MATLAB
a) Extraiga las tres primeras filas y las tres primeras columnas de A.
b) Compare A con A'.
c) Compare size(A'), (size(A))' y size(A).
d) ¿Qué se obtiene al ejecutar los comandos diag(A(:,4)) y diag(A(4,:))?
e) Ingrese A(:,2:4) y A(:,1:3) e inferir el significado de B(:,i:j) para i y j arbitrarios.
¿Qué sucede si i>j?
f) Repetir e) para A(2:4,:), A(1:3,:) y A(1:2,2:4).
g) ¿Qué resulta de ingresar A(:,:) y A(:)?
Ejercicio nº 2:
Dada la matriz:
2  1 1  1
A  1 0  1 0 
0 1 1 1 
Determine la respuesta de los siguientes comandos:
a) size(A)
b) eye(size(A)), zeros(size(A)), ones(size(A))
c) diag(A)
d) diag(diag(a))
e) length(diag(A)) (para que sirve?)
f) Pruebe y analice como interpreta MATLAB la sentencia:
A+k con k=-1 y k=2.
Ejercicio nº 3:
Dadas las matrices:
1  1  2
A  2 1
3 
2 3
0 
Use MATLAB para calcular:
a) A-B y B-A
b) 5A+2B
Ejercicio nº 4:
Dada la matriz:
0 1 2 
B  1 0  3
2 3  1
c) A  AT
y
AT  A
d) A. AT
y
AT . A
 1 0  1
A   0 2 2 
 1 2 2 
Hallar:
T
a) Ae1
b) e1 A
Analice y generalice el resultado (ei indica el versor i).
T
c) e2 Ae3
Ejercicio nº 5:
Dadas las matrices:
  1 0
B

 3 3
0 1 
A

 2 2
C  1 1
D  0 0
a) Comparare A B con A ; B
b) Halle A B ; C D y A zeros (size ( A)) ; zeros (size ( A)) B
Verifique que:
c) CA B  CA CB
2
A
zeros ( size ( A)) 

A2

 zeros ( size ( A))
 
B


 zeros ( size ( A))
 A
d) C D    CA  DB 
B

e) AA B  A 2
AB
zeros ( size ( A)) 

B2


Ejercicio nº 6:
Arme dos matrices random A y B  R 5x 5 (usar función rand) y verifique:
a) ( AT ) 1  ( A1 )T
b) ( AB) 1  B 1 A 1
c) ( A 1 ) 1  A
Ejercicio nº 7:
Usando MATLAB y con la matriz
 0  1  2
A   1 0  3
 2 3
0 
Calcular:
a) det( A)
c) verificar que det( A2 )  (det( A)) 2
b) det( AT )
d) det( 2 A)  (8). det( A)
Ejercicio nº 8:
Dado un valor de n, la matriz de Hilbert H queda definida de la siguiente manera:
1
Hi j 
 i, j  1 : n
i  j 1
Escriba una función en MATLAB para construir esta matriz. Calcular para distintos
valores de n =2, 4, 6, 10, 20 el det(H ) . ¿Qué conclusión puede extraer?
PARTE B: Álgebra
Ejercicio nº 9:
Sean A y B  R nxn demostrar que:
a) ( AT )T  A
b) ( A.B)T  BT . AT
1
c) (kA) 1  A 1 (k  R )
k
T 1
d) ( A )  ( A1 )T
e) ( AB) 1  B 1 A 1
f) Teniendo en cuenta que A y B son matrices cuadradas, explique por que si
AB  I  BA  I (en otras palabras, si AB  I  B  A 1
Ejercicio nº 10:
Mostrar que:
a) Si suponemos que AB= C y todas las matrices son cuadradas, entonces si A y C son
inversibles, B es inversible.
b) Si B es inversible y B 2  B mostrar que B=I.
c) Si A es inversible ( An ) 1  ( A1 ) n para cada n>0.
d) A 2  I implica que det( A)  1
Ejercicio nº11:
Aplicar la definición de inversa para mostrar que si ad  bc  0 entonces:
1
 b
a b 
1  d
 c d   (ad  bc)  c a 




Ejercicio nº 12:
Hallar por inspección la inversa de las siguientes matrices:
a 0 0 0 
0
0 b 0 0 
0


A
B
0 0 c 0 
0



0 0 0 d 
1
0 0 1
0 1 0
1 0 0

0 0 0
Ejercicio nº 13:
Sean P una matriz de permutación, mostrar que P tiene inversa y que la inversa es
ortogonal (esto es PT = P-1).
Ejercicio nº 14:
Construya matrices elementales E  R 4 x 4 que aplicadas a A R 4x 4 (es decir EA)
operen de la siguiente manera:
a) Intercambie las filas 4 y 1.
b) Multiplique la fila 1 por –4.
c) Adicione la fila 1 a la 3.
d) Adiciona (-2) veces la fila 3 a la fila 1.
Ejercicio nº 15:
a) Suponga que el precio de los productos A, B y C está dado por un vector de precios
PT   p1 p2 p3  . Si los precios se incrementan en un 10%, el vector de los nuevos
precios puede ser obtenido multiplicando P, ¿por qué escalar?
b) Un agente de bolsa vendió a un cliente 200 acciones tipo A, 300 tipo B, 500 tipo C, y
250 tipo D. Los precios por acción de A, B, C y D son 100$, 150$, 200$ y 300$,
respectivamente. Escriba un vector fila que represente el número de acciones vendidas
de cada tipo y un vector columna que represente el precio por acción de cada tipo.
Utilice multiplicación de matrices para encontrar la venta total de las acciones.