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Probabilidad Condicional
Independencia condicional
Como hemos dicho, las probabilidades condicionales
tienen las mismas propiedades que las probabilidades
no condicionales. Un ejemplo más es el siguiente:
Se dice que los eventos
son
condicionalmente independientes dado B, si para cada
subcolección
de esos eventos se
tiene que
Teorema de Bayes
Si se conoce Pr(A|Bi ) para cada i, el teorema de Bayes
proporciona una fórmula útil para calcular las
probabilidades condicionales de los Bi eventos dado A .
Teorema de Bayes
Sea Bi ,...,Bk los eventos que forman una partición del
espacio S tal que Pr(Bi )>0 para j=1,2,...,k y sea A un
evento tal que Pr(A) >0. Entonces para i=1,...,k, tenemos
que
Teorema de Bayes
Suponga que el ministerio de sanidad está ofreciendo
hacer un test gratis para una cierta enfermedad. El
test tiene una fiabilidad del 90%.
Por otro lado, una colección de datos indican que la
posibilidad de tener esa enfermedad es de 1 entre
10 000. Como el test es gratis, no duele y es rápido,
decidimos hacer el test.
¿Cuál es la probabilidad de tener la enfermedad
después de saber que el resultado del test fue
positivo?
Teorema de Bayes
Se tienen 3 diferentes máquinas M1´ M2´ M3 con las que
se hace un producto.
Los productos fabricados se guardan en un almacén y
se sabe que el 20% de esos productos fueron hechos
con la máquina M1, 30% con la M2 y 50% con M3.
También se sabe que el 1% de los productos hechos
con la máquina M1 son defectuosos, mientras que con
M2, 2% son defectuosos y con M3 , 3% de los productos
son defectuosos.
Teorema de Bayes
Pregunta:
Si se selecciona aleatoriamente un producto del
almacén y resulta que éste es defectuoso, ¿cuál es la
probabilidad de que dicho producto fuese producido
por M2 ?
Probabilidad Condicional
Teorema de Bayes para probabilidades condicionales:
Variables aleatorias
Definición:
Sea S el espacio muestral de un experimento. Una
función real definida sobre el espacio S es una
variable aleatoria.
Ejemplo: Se lanza una moneda 5 veces.
Sea X la función (real) que cuenta el número de veces
que sale cara en un posible resultado.
Si r ={cara, cara,cruz,cara, cruz} entonces
X(r)=3
Variables aleatorias
Las variables aleatorias puede ser:
- Discretas (número de valores finito o infinito
contable)
- Continuas (si toma valores en intervalos de
la recta real)
Variables aleatorias
Cuando se específica una medida de probabilidad sobre
el espacio muestral se pueden determinar las
probabilidades asociadas con los valores posibles que
toma la variable aleatoria X.
La colección de todas las probabilidades de X es la
distribución de X.
Variables aleatorias
Ejemplo: distribución de X: suma de valores obtenidos en el lanzamiento
de dos dados
Variables aleatorias
Ejemplo:
Se lanza una moneda 10 veces y sea X la variable
aleatoria que corresponde al número de caras que se
obtienen en una secuencia.
En este ejemplo, los valores de X son 0,1,2,..,10.
Para cada valor de x, la probabilidad Pr(X=x) es la
suma de las probabilidades de todos los resultados del
evento {X=x}
Variables aleatorias
Función de probabilidad y soporte:
Si una variable aleatoria X tiene una distribución
discreta, la función de probabilidad de X se define como
la función f tal que para cada número real x,
f(x)=Pr(X=x)
La cerradura del conjunto {x:f(x) > 0} se le llama
soporte de la distribución.
Variables aleatorias
Función de probabilidad:
Teorema. Si X es una variable aleatoria discreta que
toma los valores x1,x2,... con probabilidades p1,p2,...,
respectivamente, la función de probabilidad (pf) asigna
probabilidades a todos los posibles valores de X tal que
f(x)=Pr(X=x)=pi si x=xi
f(x)=0
de otra forma
Además
Variables aleatorias
Función de probabilidad acumulativa:
Se define la función de probabilidad acumulativa (cpf) de
X, F(x), cuyo valor da la probabilidad que
como:
Además, con la función de probabilidad acumulativa
podemos calcular la probabilidad de que X se encuentre
entre los valores
Variables aleatorias
Propiedades de la función de probabilidad acumulativa:
La función de probabilidad acumulativa, F(x), es una
función no decreciente de x y F(x)=1 para
Variables aleatorias
Lanzamiento de dos dados
Función de distribución o función de
probabilidad acumulativa:
Variables aleatorias
5 ejemplos de distribuciones discretas:
- Distribución de Bernoulli
- Distribución uniforme
- Distribución binomial
- Distribución de Poisson
- Distribución geométrica
Variables aleatorias
Distribución de Bernoulli:
Una variable aleatoria X que toma únicamente 2
valores, digamos 0 y 1, con
Pr(X=1)=p, se dice que sigue una distribución de
Bernoulli con parámetro p:
Pr(X=1)=p
y
Pr(X=0)=1-p
En este caso se puede escribir la función de probabilidad como:
Variables aleatorias
Distribución uniforme:
Sea a y b números enteros (
). Suponga que una
variable aleatoria es igualmente probable para cada
uno de los enteros a,...,b. Se dice entonces que la
variable aleatoria X tiene una distribución uniforme
sobre los enteros a,...,b.
Variables aleatorias
Distribución Uniforme:
Teorema. Si X tiene una distribución uniforme sobre
los enteros a,...,b,la función de probabilidad de X
está dada por
Variables aleatorias
Distribución binomial:
Esta distribución describe procesos que consisten de
un número de intentos independientes con dos posibles
resultados.
Es usual llamar a los posibles resultados: “éxitos” y
“fracasos”
Variables aleatorias
Distribución binomial:
Digamos que tenemos los eventos A y B, con
Si la probabilidad de que ocurra un éxito es
Pr(A)=p, entonces la probabilidad de un fracaso es
Pr(B)=q=1-p
Si se realizan n intentos, entonces la variable
aleatoria X está dada por:
X=número de veces que A ocurre (éxitos). Por lo que X
puede tomar los valores 0,1,..., n
Variables aleatorias
Si se realizan n intentos y x son éxitos una posible
secuencia es:
Variables aleatorias
Distribución binomial:
La función de probabilidad de que en n intentos x sean
éxitos está dada por:
Comment: para
n=1, tenemos la fp de Bernoulli
Movimiento Browniano (enfoque de EinsteinSmoluchowski)
Brown
Einstein
(~1820)
(1905)
Movimiento Browniano (enfoque de EinsteinSmoluchowski)
Caminante aleatorio en 1D:
Una partícula salta una distancia l en un tiempo
(promedio)
Al tiempo t la partícula ha dado
saltos
Movimiento Browniano (enfoque de EinsteinSmoluchowski)
Supongamos que R saltos han sido hacia la derecha y L
saltos hacia la izquierda.
De este modo
n= R + L
Ahora supongamos que la partícula dió m saltos más
hacia la derecha, es decir,
m=R-L
Movimiento Browniano (enfoque de EinsteinSmoluchowski)
Usando la distribución binomial encontramos que la
función de probabilidad de encontrar a la partícula en
m, después de n saltos, es:
de donde:
Movimiento Browniano (enfoque de EinsteinSmoluchowski)
Usando la distribución binomial encontramos que la
función de probabilidad de encontrar a la partícula en
m, después de n saltos, es:
de donde:
Movimiento Browniano (enfoque de EinsteinSmoluchowski)
Suponiendo que
aproximación:
se encuentra que
con
o bien
Con coeficiente de difusión D:
y utilizando la
Movimiento Browniano (enfoque de EinsteinSmoluchowski)
Variables aleatorias
Distribución de Poisson:
Nos da la probabilidad de obtener un número dado de
éxitos, en un número de intentos que no podemos
enumerar.
a) Tiempo de llegada aleatorias a un sitio
b) Ocurrencia de desastres naturales
Variables aleatorias
Distribución de Poisson:
: promedio de eventos (éxitos) en cierto intervalo
(de tiempo, por ejemplo).
Variables aleatorias
Variables aleatorias
La distribución de Poisson puede obtenerse de la
distribución binomial considerando los límites:
De modo que
Variables aleatorias
Ejemplo:
Suponga que un estudiante recibe aleatoriamente
whatsapps. Si en promedio recibe 10 whatsapps
durante la clase de Métodos Matemáticos (50
minutos). Calcule la probabilidad de que en esos 50
minutos reciba 0, 1, 2, y 3 mensajes.
Variables aleatorias
Distribución de geométrica
(problemas de tiempo de espera)
¿Cuánto tiempo hay que “esperar” para lograr un
primer éxito?
Variables aleatorias
Ejemplo:
Suponga que un restaurant ofrecerá una comida gratis
al primer cliente que llegue que cumpla años ese día.
¿Cuánto tiene que esperar el restaurant para que la
primera persona cumpliendo años aparezca?
i.e., ¿cuántos clientes visitarán el restaurant antes de
que aparezca la primera persona que cumple años?