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INSTITUTO DE FÍSICA
MECÁNICA ESTADÍSTICA
Curso 2012
Práctico I – Introducción a los Métodos Estadísticos.
Fecha de Entrega: 5 de Setiembre de 2012. 1
Parte A: Ejercicios Teóricos:
Ejercicio No 1 – Pruebas de Bernoulli y Desigualdad de Chebyshev:
Se llama prueba de Bernoulli a un experimento aleatorio cuyos posibles
resultados son agrupados en dos conjuntos excluyentes, que llamaremos éxito o fracaso,
con probabilidades p y q respectivamente.
a) Demuestre que la probabilidad de obtener n éxitos en N pruebas de Bernoulli
N!
está dada por la distribución binomial
p n q N −n .
n!( N − n )!
b) Demuestre que el valor esperado de una distribución binomial es Np y su
varianza es Npq.
c) (Opcional) Demuestre la siguiente desigualdad (denominada “Desigualdad
de Chebyshev”) que verifica una variable aleatoria X de valor medio µ y
σ2
varianza σ2: P( X − µ ≥ ε ) ≤ 2 para cualquier ε >0.
ε
d) Considere la variable aleatoria X igual al número de éxitos en una sucesión
de N pruebas de Bernoulli. Utilizando la desigualdad de Chebyshev
 X
 pq
demuestre que: P − p ≥ ε  ≤
.
2
N
 Nε
e) Demuestre que pq ≤
1
y aplique a la desigualdad de la parte anterior.
4
Ejercicio No 2 (*) – Distribución de Poisson (Reif 1.9 y 1.10):
La probabilidad W (n ) de que un suceso, caracterizado por una probabilidad p
ocurra n veces en N experimentos viene dada por la distribución binomial:
W (n ) =
N!
N −n
p n (1 − p )
n! (N − n )!
1
- La entrega mínima debe contener los ejercicios marcados con asterisco, que en este repartido son:
Ejercicios No 2, 7, 8 y 10.
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Considere una situación en que la probabilidad p es pequeña (p << 1) y el número de
experimentos muy grande (N >> 1). Note que W (n ) se hace muy pequeña si n → N, a
causa de la pequeñez del factor pn. En consecuencia, W (n ) es solo apreciable cuando n
<< N. En este caso pueden hacerse algunas aproximaciones para reducir W (n ) a una
forma más sencilla.
a) Demuestre que (1 − p )
b) Demuestre que
N −n
≈ exp (− Np ) utilizando que ln (1 − p ) ≈ − p .
N!
≈ Nn.
(N − n )!
c) Utilizando los resultados anteriores concluya que:
W (n ) =
λn
exp (− λ ) .
n!
siendo λ ≡ Np el número medio de sucesos. Esta distribución se llama
“Distribución de Poisson”.
d) Demuestre que la distribución de Poisson está adecuadamente normalizada, o
sea que:
N
∑W (n ) = 1
n =0
NOTA: La suma anterior puede extenderse hasta infinito porque W (n ) es
despreciable si n ≥ N .
e) Use la distribución de Poisson para calcular n .
f) Use la distribución de Poisson para calcular
(∆n )2
≡ (n − n
)
2
.
g) Demuestre que en el caso en que n >> 1 la distribución de Poisson tiende a
una distribución gaussiana.
SUGERENCIA: Use la aproximación de Stirling: n!= (2πn ) 2 n n exp(− n ) y
expanda ln W (n ) en potencias de n − n .
1
h) (Opcional) Verifique numéricamente estos resultados. En particular realice
un histograma de la distribución binomial y ajuste una gaussiana.
Parte B: Ejercicios Prácticos:
Ejercicio No 3 – Pruebas de Bernoulli:
Aplique los resultados del Ejercicio No 1 a los siguientes casos:
a) Se lanza una moneda 1000 veces. Acote la probabilidad de que salga cara un
número de veces entre 450 y 550.
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b) ¿Cuántas veces hay que tirar un dado para que, con probabilidad mayor que
0.9, la frecuencia relativa con que salga el número 1 difiera de la
probabilidad teórica 1/6 en menos de 0.01?
c) Se desea averiguar el porcentaje de fumadores de una cierta población. Para
ello se eligen N personas al azar y se calcula la frecuencia de fumadores en
este grupo. ¿Qué valor debe tener N para que esta frecuencia no difiera de la
real en más de 0.005 con una probabilidad mayor que 0.95?
Ejercicio No 4:
Considere una sociedad en dónde las familias tienen hijos hasta el nacimiento de
la primera hija. Calcule en número medio de hijos por familia, el número medio de hijos
varones y mujeres, y la fracción hombres/mujeres en esa sociedad.
Ejercicio No 5 – El Significado de Nunca (Kittel, Problema 4.4):
Se ha escrito que “seis monos, dedicados a golpear ininteligentemente las teclas
de máquinas de escribir durante millones de millones de años, hubieran sido capaces de
escribir todos los libros del Museo Británico” 2. Esta frase es un disparate
desconcertante, pues lleva a una conclusión errónea sobre los grandes números.
¿Podrían todos los monos del mundo haber escrito un solo libro desde que existe el
universo?
Suponga que 1010 monos han permanecido sentados ante unas máquinas de
escribir desde el principio del universo, o sea por 1018 s. Este número de monos es
aproximadamente tres veces más grande que la población humana presente sobre la
Tierra3. Suponga que un mono puede escribir 10 letras por segundo en una máquina de
escribir. Una máquina de escribir puede tener 44 teclas. Acepte letras minúsculas en
lugar de mayúsculas. Suponiendo que Hamlet de Shakespeare tiene 105 caracteres,
¿pudieron los monos haber escrito Hamlet?
a) Demuestre que la probabilidad de que cualquier secuencia de 105 caracteres
escrita al azar aparezca en la secuencia correcta (la secuencia de Hamlet) es ~
10-164345.
b) Demuestre que la probabilidad de que un Hamlet-mono haya podido ser
escrito a máquina desde el principio del universo es ~ 10-164316. La
probabilidad de Hamlet es por lo tanto cero en el sentido operacional de un
acontecimiento, de forma de que la afirmación inicial en el enunciado de este
problema es un disparate: nunca ocurrirá, en la producción literaria total de
los monos, que escriban un solo libro dado, mucho menos una biblioteca
entera.
c) ¿Qué ocurre con el resultado anterior si no especificamos el libro pero
aceptamos un libro cualquiera? Pueden existir unos 30 x 106 libros distintos.
2
3
Aldous Huxley, Un mundo Feliz.
El libro de C. Kittel, Termal Physics en donde está propuesto este ejercicio es de 1969.
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NOTA: La producción total de los monos es equivalente a 1024 volúmenes cortos
de 105 caracteres cada uno de ellos, pero ninguno de ellos sirve de
duplicado a cualquier libro existente.
Ejercicio No 6:
Una fábrica produce piezas con p = 0.02 de que una de ellas sea defectuosa.
a) Calcule la probabilidad de que un lote de 100 piezas no tenga ninguna
defectuosa.
b) Haga el mismo cálculo pero con 3 piezas defectuosas.
c) Repita los cálculos anteriores pero usando la aproximación de Poisson (ver
Ejercicio No 2) y calcule el error cometido en la aproximación.
Ejercicio No 7 (*) – Caminatas al azar en una dimensión:
a) (Reif 1.4) Un borracho parte de un farol en el centro de una calle, dando
pasos de igual longitud a la derecha o a la izquierda con igual probabilidad.
¿Cuál es la probabilidad de que esté nuevamente en el farol después de dar N
pasos si:
i. N es par,
ii. N es impar?
b) Considere un camino al azar con probabilidad ½ de quedarse en el lugar y ¼
de dar un paso a la izquierda o a la derecha. Calcule la posición media y su
dispersión al cabo de N pasos.
c) (Reif 1.8) Dos borrachos parten juntos del origen, teniendo cada uno la
misma probabilidad de dar un paso a la derecha o a la izquierda. Calcular la
probabilidad de que vuelvan a encontrarse después de N pasos.
SUGERENCIA: Se recomienda considerar los pasos de los borrachos como
variables aleatorias independientes, en lugar de estudiar su
movimiento relativo.
Ejercicio No 8 (*) – Gas Ideal (Reif 1.16 y 1.17):
Considere un gas de N0 moléculas sin interacciones mutuas encerrado en un
recipiente de volumen V0. Enfoque la atención en un subvolumen cualquier V de este
recipiente y designe N el número de moléculas contenidas en este subvolumen. Cada
molécula tiene la misma probabilidad de encontrarse en un punto cualquiera del
recipiente; en consecuencia, la probabilidad de que una molécula esté situada dentro del
subvolumen V es V .
V0
a) ¿Cuál es el número medio N de moléculas dentro de V?
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(N −
b) Determine la dispersión relativa
)
2
N
N
en el número de moléculas
2
situadas dentro de V. Exprese el resultado en función de N, V y V0.
c) ¿Cuál será la respuesta a la parte anterior si V << V0?
d) ¿Qué valor tomará la dispersión
(N −
N
)
2
si V → V0? ¿Está de acuerdo
la respuesta a la parte b con esta presunción?
V
<< 1 , ¿cuál es la probabilidad de que el número de moléculas que
V0
hay en este volumen esté entre N y N + dN?
e) Si 0 <<
Ejercicio No 9 – Caminata al azar en tres dimensiones (Reif 1.18):
Una molécula de gas recorre distancias iguales l entre colisiones, con la misma
probabilidad en cualquier dirección. Después de un total de N desplazamientos, ¿cuál es
→
el valor medio de los cuadrados de los desplazamientos  r 
 
2
de la molécula desde
su punto de partida?
Ejercicio No 10 (*) – Variables Aleatorias (Reif 1.22 y 1.23):
Considere el problema del camino aleatorio para una partícula en una dimensión.
Suponga que en cada paso su desplazamiento es siempre positivo y que tiene la misma
probabilidad de estar en cualquier sitio dentro del intervalo entre l – b y l + b, siendo b
< l. Después de N pasos:
a) ¿Cuál es el desplazamiento medio x ?
b) ¿Cuál es la dispersión
(x − x )
2
?
c) Repita las partes anteriores si la probabilidad de un desplazamiento entre s y
s + ds es gaussiana con valor medio l y dispersión σ.
Parte C: Ejercicios Numéricos:
Ejercicio No 11:
Se lanza un dado 100 veces. Calcule las probabilidades de que:
a) salga el número 6 exactamente 20 veces;
b) salga el número 6 a lo sumo tres cuartas partes de las veces;
c) salgan los números 3 y 6 por lo menos 15 veces.
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d) salga el número 6 más de 20 veces. En este caso calcule exactamente y
usando la aproximación normal.
Ejercicio No 12:
Considere un grupo de r personas; calcule la probabilidad de que al menos dos
de ellas cumplan años el mismo día. Grafique los valores obtenidos para r = 1, 2, . . . 50
y calcule a partir de qué valor de r esta probabilidad es mayor que 0.5.
Parte D: Ejercicios Adicionales:
Ejercicio No 13 – Ruleta Rusa (Reif 1.5):
En el juego de la ruleta rusa (no recomendado por Reif) se introduce un cartucho
en el tambor de un revolver, dejando libre las otras cinco cámaras. Se hace girar el
tambor, se apoya el cañón en la sien y se aprieta el gatillo.
a) ¿Cuál es la probabilidad de estar con vida después de jugar N veces?
b) ¿Cuál es la probabilidad de sobrevivir a N – 1 jugadas, produciendo el
disparo la N-sima vez que se aprieta el gatillo?
c) ¿Cuál es el número medio de veces que un jugador tiene oportunidad de
apretar el gatillo en este macabro juego?
Ejercicio No 14 (Reif 1.12):
Un foco de radioactividad emite partículas α durante un cierto tiempo t. Imagine
que este intervalo de tiempo está subdividido en muchos intervalos ∆t. Como las
partículas α se emiten en instantes aleatorios, la probabilidad de que una desintegración
radiactiva tenga lugar durante uno cualquiera de estos ∆t es completamente
independiente de las desintegraciones ocurridas en otros instantes. Imagine además que
∆t se elige lo suficientemente pequeño para que la probabilidad de que en ese intervalo
ocurra más de una desintegración sea despreciablemente pequeña. Esto significa que
existe cierta probabilidad p de que haya una desintegración durante un tiempo ∆t (con p
<< 1, puesto que ∆t se ha elegido suficientemente pequeño) y una probabilidad 1 – p de
que no haya desintegración en este espacio de tiempo. Cada intervalo ∆t puede
considerarse como un experimento independiente, habiendo un total de N = t/ ∆t
experimentos durante el tiempo t.
a) Demuestre que la probabilidad W (n ) de n desintegraciones durante un
tiempo t viene dada por una distribución de Poisson (ver Ejercicio No 2).
b) Suponga que la intensidad del foco radiactivo es tal que el número medio de
desintegraciones por minuto es 24, ¿cuál es la probabilidad de obtener n de
ellas en 10 segundos? Dar valores numéricos para valores enteros de n desde
0 hasta 8.
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Práctico I – Introducción a los Métodos Estadísticos.
Ejercicio No 15:
Un líquido contiene 4 bacterias por cm3, calcule la probabilidad de tener 1 cm3
sin bacterias y la probabilidad de tener en 0.5 cm3 por lo menos una bacteria.
Ejercicio No 16 (Reif 1.19):
Una batería de potencial V está conectada a una resistencia R; en consecuencia se
V2
disipa una potencia P =
en dicha resistencia. La batería está formada por N celdas
R
individuales conectadas en serie de forma que V es la suma de todos los potenciales de
todas las celdas. La batería es vieja de forma que no todas las celdas están en perfectas
condiciones. Por lo tanto, existe una probabilidad p de que el potencial de cualquier
celda individual tenga su valor nominal v; y una probabilidad 1 – p de que el potencial
de cualquier celda individual sea cero por cortocircuito interno. Las celdas individuales
son estadísticamente independientes entre sí. Bajo estas condiciones calcule la potencia
media P disipada en la resistencia, expresando el resultado en función de N, V, p y R.
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