Download 7. teorema central del limite e inferencias para proporciones.

131
7. TEOREMA CENTRAL DEL LIMITE E INFERENCIAS PARA
PROPORCIONES.
7.1 Muestras de tamaño pequeño.
Para muestras de tamaño pequeño las inferencias deben realizarse con la distribución
exacta del estadígrafo de prueba, esto es, si la distribución poblacional es normal utilizando la
distribución normal de la media muestral, si la distribución poblacional es binomial con la
distribución binomial del estadígrafo, si la distribución poblacional es Poisson con la distribución
Poisson del estadígrafo y así en otros casos.
En la unidad anterior la metodología para las inferencias se basan en el supuesto de
normalidad poblacional, para de esta manera obtener estadígrafos o variables pivotales con
distribución normal o > de Student o ;# . Hay muchos casos en los cuales la normalidad
poblacional no se cumple y en consecuencia se debe proceder con la distribución exacta, lo
que trae algún grado de complicación por que las tablas de esas distribuciones son menos
completas que la de la distribución normal típica. El siguiente es un ejemplo de este tipo.
Se sabe que un tipo de vacuna contra el distemper es alérgica en un 40% de los casos. Un
laboratorio promueve una nueva vacuna tan efectiva como la anterior, aunque algo más cara,
que es menos alérgica que la en uso. Para tal efecto se inoculan 20 perros para decidir sobre
la afirmación del laboratorio. Las hipótesis son H! À T œ !ß %! versus H" : T  !ß %! y sea
\ número de caninos de la muestra que presentan alergia producida por la vacuna, cuyos
valores posibles son !ß "ß #ß ÞÞÞÞÞß "*ß #!, en consecuencia la distribución es \ œ F38Ð#!ß !ß %!Ñ,
luego la regla de decisión debe diseñarse para una RC œ {XÎ X  K}, donde K es un número
natural . La cuestión es ¿cómo se determina el valor de K ?. La respuesta está en la
distribución acumulativa de la binomial anterior, donde se observa que T Ð\ Ÿ $ Ñ œ !ß !"'! y
T Ð\ Ÿ %Ñ œ !ß !&"!, de modo que para un nivel de significación del 5%, la última probabilidad
da aproximadamente ese valor y en consecuencia K = & , pues recuérdese que
! œ ProbÖ \  &Î P œ !ß %!×= 0,051.
Para establecer el valor de " es necesario fijar un valor alternativo simple para PÞ
Supongamos que H" : P œ !ß #!, entonces:
" œ ProbÖ\ € &Î P œ !ß #!× œ 1  ProbÖ\ Ÿ %ÎP œ !ß #!× œ 1  0,6296 œ 0,3704, es decir, el
error tipo II es aproximadamente del 37%.
7.2 Teorema del Límite Central.
No obstante lo anterior, es posible validar la distribución normal como parte de la
metodología estadística, tomando muestras de tamaño grande, situación que establece el
Teorema Central del Límite, el que se puede enunciar así.
Sea X variable aleatoria con cualquier distribución, tal que IÐ\Ñ œ .
q
Z Ð\Ñ œ 5 # y X la media de una muestra tamaño n, entonces
q
X Ä N(., 5 # Î8Ñ cuando 8 Ä _.
y