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Dra. Teresa Guzman Flores UNIDAD 6: MODELOS PROBABILISTICOS BASICOS OBJETIVO: Estudiar y analizar el concepto de variable aleatoria como la representación de cualquier fenómeno aleatorio Dra. Teresa Guzman Flores   Si la distribución de una variable aleatoria permite representar el comportamiento aleatorio de una variable bajo estudio, se dice que se tiene un modelo probabilístico de dicha variable.   Un modelo probabilístico de una variable aleatoria X, esta representado por la función de probabilidades es decir por la distribución de probabilidad, que refleja el comportamiento de X.   El comportamiento de una variable aleatoria se puede representar de: de forma gráfica mediante un histograma, de forma tabular mediante una tabla o simplemente con una fórmula. Dra. Teresa Guzman Flores Modelos probabilísticos mas usado
Variables aleatorias discretas Bernoulli Poisson Hipergeométrica Binomial negativa Modelos probabilísticos mas usados Gamma Variables aleatorias continuas Normal Log-­‐lineal Raleigh Weibull Gumbel Dra. Teresa Guzman Flores Distribución Binomial   Un experimento a menudo consiste en pruebas repetidas, cada una con dos resultados posibles, los cuales se pueden marcar como éxito o fracaso, este experimento (proceso) se llama experimento de bernoulli.   Una distribución de probabilidad de variable aleatoria utilizada ampliamente es la distribución binomial, esta distribución describe datos no continuos, que son resultado de un experimento o proceso de Bernoulli.   Matemático suizo nacido en el siglo XVII Dra. Teresa Guzman Flores Propiedades de proceso(experimento) de Bernoulli   Un experimento Bernoulli es el que posee las siguientes propiedades: 1.  El experimento consiste de n ensayos repetidos. 2.  Cada ensayo proporciona un resultado que puede clasificarse como éxito o fracaso. 3.  La probabilidad de éxito, designada por p, permanece constante de un ensayo a otro 4.  Lo ensayos que se repiten son independientes. Dra. Teresa Guzman Flores  
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Un experimento consiste frecuentemente en ensayos repetidos, cada uno con dos posibles resultados que se denomina éxito y fracaso Los resultados sucesivos e independientes de tal experimento se llaman experimentos o pruebas de Bernoulli. Ejemplos:  
1.-­‐La prueba de artículos en una linea de ensamble (verificar si un articulo esta defectuoso o no )  
2.-­‐El lanzamiento de una moneda no alterada un número fijo de veces es un proceso de Bernoulli, Cada intento (cada lanzamiento), en este caso tiene solamente dos resultados posibles: cara o cruz, es decir éxito o fracaso. La probabilidad del resultado de cualquier intento (lanzamiento) permanece constante Por ejemplo la probabilidad de obtener cara siempre es 0.5 para cada lanzamiento, independientemente del número de veces que se lance la moneda.  
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Los intentos son estadísticamente independientes, es decir el resultado de un lanzamiento no afecta el resultado de cualquier otro lanzamientos.  
3.-­‐El éxito o fracaso de los solicitantes de empleo, entrevistados para prueba de aptitudes, también puede ser descrito como un proceso de Bernoulli.  
Dra. Teresa Guzman Flores Distribución binomial   Sea p la probabilidad de salga éxito en un experimento de Bernoulli, y así q = 1-­‐p será la probabilidad de que salga fracaso.   Un experimento binomial se compone de un número fijo de experimentos de Bernoulli.   La notación   B(n,p)   Se usará para indicar un experimento binomial con n pruebas y una probabilidad p de que salga éxito. Dra. Teresa Guzman Flores   Teorema.   La probabilidad de que salga exactamente k exitos en un experimento binomial B(n,p) viene dada por:   La probabilidad de que salga uno o mas éxitos es:   La probabilidad de obtener al menos k éxitos, es decir k o más éxitos es: Dra. Teresa Guzman Flores   Ejemplo:   Se tira una moneda 6 veces; en donde cara es un éxito.   Este es un experimento binomial con n=6   Para este experimento p=q=1/2   a) La probabilidad de que salga exactamente dos caras (es decir k=2) es: Dra. Teresa Guzman Flores   B) La probabilidad de que al menos salga cuatro caras ( es decir k = 4,5 o 6) es: Dra. Teresa Guzman Flores   C) la probabilidad de que no salga cara(es decir, que todos sean fracasos) es :   D) La probabilidad de que salgan una o más caras es : Dra. Teresa Guzman Flores Modelo probabilistico   Consideremos el experimento binomial B(n,p). Es decir, B(n,p) se compone de n experimentos repetidos e independientes con dos resultados, éxito o fracaso, p es la probabilidad de que salga éxito y q=1-­‐p la probabilidad del fracaso. El número X de k éxitos es una variable aleatoria con la siguiente distribución. . . .   Distribución de probabilidad Dra. Teresa Guzman Flores Propiedades de la distribución binomial Distribución binomial B(n,p) Media o número esperado de éxitos Varianza Desviación 7pica Dra. Teresa Guzman Flores   Ejemplo   La probabilidad de que cierta clase de componente sobreviva a una prueba de choque es ¾. Encuentre la probabilidad de que sobreviva exactamente 2 de los siguiente 4 componentes que se prueben.   P= ¾   q= 1-­‐p= 1-­‐3/4 ⎛
⎞
n
  N=4 P(k) = P(k éxitos) =
p k q n− k
⎜
⎟
k
⎝
⎠
  B(2;4,3/4)= 27/128 Dra. Teresa Guzman Flores