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Gottlöb Frege
(1848-1925)
Axel Arturo Barceló Aspeitia1
Instituto de Investigaciones Filosóficas, UNAM
1. El Logicismo
Jena, 1879. A los escasos treinta y un años, el filósofo y matemático alemán Friedrich
Ludwig Gottlob Frege edita su primer obra: La Conceptografía [Begriffsschrift]. Egresado
de la Universidad de Göttingen, Frege llevaba apenas ocho años de docencia en la facultad
de matemáticas de la Universidad de Jena. Gracias a esta obra, fue ascendido a
ausserordentlicher Professor 2 y pudo por primera vez, recibir un salario por su actividad
docente.3 En los pocos años que llevaba dentro de la Universidad, Frege se había hecho de
una muy buena fama, tanto como profesor como matemático e investigador. Los alumnos lo
buscaban, no sólo por el rigor de sus conocimientos, sino también por la claridad de sus
exposiciones. Frege sabía cómo evitar la complejidad excesiva aún en la presentación de
los temas más oscuros y difíciles de la matemática. Su anterior formación en Göttingen,
cuya facultad de matemáticas era más prestigiada que la de Jena, le había dado una
formación muy completa, no sólo en matemáticas sino en otras ramas del saber
universitario, como la física experimental. Además, su participación en la Jannische
Gessellschaft für Medizin und Naturwissenschaft (de 1874 a 1917) lo puso en contacto con
los más recientes avances de las ciencias naturales. Sin embargo, la Filosofía fue la
disciplina que mas atrajo a Frege, además de las matemáticas. Desde un principio elaboró
trabajos de investigación que no podían llamarse propiamente filosóficos ni propiamente
matemáticos. Desde su Habilitationsschrift hasta sus últimos artículos, todos sus textos se
ubican en una zona limítrofe que no se encuentra de lleno dentro de las matemáticas, ni de
la Filosofía. Sin embargo, Gottlöb Frege no era el único investigador interesado en esta
1
. Trabajo de investigación elaborado dentro del proyecto “¿Qué es el Análisis?” IN401106.
2
Literalmente, Profesor extraordinario.
3
Su posición anterior dentro de la Universidad, Privatdozent, no era asalariada.
extraña zona intermedia entre las matemáticas y la filosofía. Para la segunda mitad del siglo
XIX, eran varios los investigadores de ambas disciplinas trabajando temas dentro de lo que
posteriormente sería llamado la filosofía de las matemáticas.
El problema principal que impulsó a estos investigadores, Frege incluso, fueron los
fundamentos de las matemáticas. A Frege, como a muchos filósofos y matemáticos de su
tiempo, les preocupaba la falta de rigor y precisión con la cual trabajaban los matemáticos.
Le preocupaba que trabajaran sin tener un conocimiento claro y definido de ni siquiera sus
conceptos más básicos, como el de número o el de magnitud. Un texto temprano de Frege,
donde podemos encontrar por primera vez esta preocupación, es su reseña de la obra de H.
Seeger, The Elements of Arithmetic. Ahí, Frege condena obras que, como la de Seeger,
tratan de explicar los fundamentos de la aritmética sin preocuparse por la exactitud y
corrección de sus definiciones y demostraciones. Se presume que es a partir de ese
momento, y con esta preocupación en mente, que Frege empieza a proyectar una obra que
sí explique con rigor y claridad los verdaderos fundamentos de la aritmética. A partir de ese
momento, las carencias y deficiencias del libro de Seeger se convirtieron en las metas y
objetivos de todo su trabajo posterior.4
En aquellos años, tres eran las principales tendencias explicativas alrededor de los
fundamentos de la aritmética. En primer lugar, se encontraban los psicologistas, para
quiénes los números no eran más que construcciones mentales y las operaciones
matemáticas se identificaban con procesos psicológicos. En segundo lugar, estaba el
formalismo de su colega en Jena, Thomae (1880), para quién no había diferencia entre
número y numeral.5 Para Thomae, los números no eran más que símbolos y las leyes de la
aritmética, reglas para la manipulación de estos símbolos. Por último, también existía la
4
La expresión es de Rudolph Carnap, según es reportada por Terrell Ward Bynum, en “On the Life and
Works of Gottlob Frege”, en la traducción al ingles de Conceptual Notation, Oxford Clarendon Press,
1972, p. 8.
5
En su libro de texto, Elementare eorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen, de
1880, omae sostuvo que solo los enteros positivos tenían existencia concreta, mientras que el resto de
los números debían “verse como esquemas puros sin contenido” (mi traducción). La polémica entre
Frege y omae tomó lugar, principalmente, en el Jahresberichte der Deuschen Mathematiker-Vereinigung.
posición empirista extrema de Stuart Mill (1884)6 , para quien las leyes de la aritmética no
eran más que generalizaciones empíricas basadas en la inducción. Sin embargo, para Frege,
ninguna de estas escuelas de pensamiento ofrecía una clara y correcta explicación de los
fundamentos de la aritmética, ni proveían a los matemáticos de una efectiva teoría de los
números (Orayen 1988).
Para Frege, como para la mayoría de los críticos del psicologismo, el mayor pecado
filosófico que éste cometía era confundir la génesis psicológica de un conocimiento con su
validez. Por lo menos, así lo entendía al decir:
No se confunda la verdad de una proposición con su
ser pensada. Es necesario recordar bien esto: que una
proposición no cesa de ser verdadera en cuanto yo no
la pienso más como el sol no cesa de existir cuando
yo cierro los ojos. (1884)
Tal era la firmeza de las verdades matemáticas, que no podía descansar en algo tan débil y
mutable como las ideas y el pensamiento. Si así fuera, perdería su carácter objetivo y
universal. De la misma manera, los formalistas estaban equivocados al creer que los
números y sus propiedades eran construcciones subjetivas. Para Frege, los matemáticos no
podían inventar números y leyes matemáticas, sino solamente descubrirlas y tratar de
enunciarlas de una manera clara. Para esto último eran indispensables los símbolos, pero no
por ello debía de identificárseles con los verdaderos números. Para Frege, pues, las
matemáticas no podían ser una mera invención del hombre, como lo sostenían Thomae y
los formalistas. Por último, Frege consideraba la teoría empirista de Stuart Mill como
primitiva y ajena al verdadero espíritu matemático. Para Frege, Mill veía a los matemáticos
como si todavía calcularan con guijarros y pasteles; y le parecía absurdo que los
matemáticos pudieran inferir de esos resultados las leyes de la matemática.
Frege, pues, no estaba en lo absoluto satisfecho con los trabajos de estas escuelas.
Sin embargo, también sabía que no podía simplemente rechazarlas si no ofrecía, al mismo
tiempo, una respuesta alternativa que explicara mejor la naturaleza del número y las leyes
6.
Stuart Mill, John (1884) A System of Logic: Ratiocinative and Inductive, Longman.
fundamentales de la aritmética. Después de complejos razonamientos pensó que había
encontrado la respuesta definitiva en la Lógica. Según Frege, los conceptos fundamentales
de la aritmética (como el de número) podrían ser definidos usando sólo conceptos de la
lógica formal, y además, las leyes básicas de la aritmética podían ser probadas, a partir de
estas definiciones, usando exclusivamente leyes e inferencias lógicas. Este proyecto, según
el cual es posible demostrar que los verdaderos fundamentos de las matemáticas se
encuentran dentro de la lógica, es conocido como logicismo, y después de Frege ha sido
adoptado por filósofos matemáticos con Russell, Boolos, Cocchiarella, Wright y Hale.
El primer paso de Frege en la dirección logicista fue tratar de reducir el concepto de
orden-en-una-secuencia al de ordenación lógica. Pero, en el intento, Frege se topó con una
muy importante dificultad: Necesitaba que sus argumentos quedaran expresados de una
manera completamente clara, precisa, y fácil de seguir. Necesitaba que cada uno de sus
pasos fuera fácilmente identificable, de tal manera que ningún supuesto quedara implícito,
sino que fuera claramente expuesto. Sin embargo, al tratar de expresar argumentos tan
complejos como los que necesitaba para su proyecto, su lenguaje natural – el alemán –, no
ofrecía sino ambigüedad y extrema complejidad. Frege intentó con otros lenguajes
naturales y artificiales, pero ninguno le satisfizo. Los naturales eran ambiguos e inexactos,
mientras que los artificiales habían sido todos diseñados con otros propósitos, de tal manera
que ninguno servía a los fines del proyecto logicista. Fue precisamente al tratar de sortear
estas dificultades que le surgió a Frege la idea de elaborar una conceptografía, es decir, un
lenguaje artificial creado ad-hoc para su proyecto. Antes de reducir las matemáticas a la
lógica, era necesario contar con un lenguaje artificial que facilitara la comprensión y
elaboración de esta reducción. La presentación de este lenguaje y la reducción, en ella, del
concepto de orden-en-una-secuencia al de ordenación lógica, son los principales objetivos
que Frege cree haber logrado en su Conceptografía (1879). Sin enbargo, los alcances de la
obra sobrepasan por mucho las expectativas de su joven autor. Pese a que Frege no
pretendía que fuera una obra de lógica, los avances en este campo que por primera vez
aparecen en ella son abrumadores. En la Conceptografía, aparecen por primera vez las
funciones lógicas 7, las pruebas recursivas, la teoría cuantificacional y, por supuesto, el
cálculo lógico. No por nada es llamado Frege al inventor de la lógica matemática y padre
del giro lingüístico en la Filosofía.
Sin embargo, pese a todos estos impresionantes avances en el campo de la lógica,
las matemáticas y la filosofía, la Conceptografía, no fue nada bien recibida por el público
filosófico o matemático. La mala recepción de su primer obra (el primero de muchos
desagradables sucesos, frustraciones y tragedias, personales y profesionales que, desde
entonces, rondaron la vida del pensador alemán) no desalentó a Frege para continuar con su
proyecto filosófico. Tratando de explicar lo que él consideraba posibles fuentes de
confusión en su obra original, Frege publico algunos textos que terminaron siendo
fundamentales en la historia de la filosofía del siglo veinte, como Los Fundamentos de la
Aritmética (1884), “Función y Concepto” (1891) “Sobre Sentido y Referencia” (1892) y
“Sobre Concepto y Objeto” (1892). En estas tres obras cortas, Frege sentó las bases de una
nueva ontología y semántica, basada en la distinción matemática entre función, argumento
y valor. En otras palabras, para sostener su logicismo, desarrollo toda una teoría de la
existencia y del significado, sobre la cual pudo montar su nueva concepción de la
matemática y su relación con la lógica. Esta relación quedo plasmada, en su forma más
completa en su tercer y último libro, Las Leyes Fundamentales de la Aritmética (1903).
Desafortunadamente, el proyecto logicista de Frege recibió un golpe fatal de mano
de su mayor discípulo: Bertrand Russell. Al mismo tiempo que Frege trabajaba en su
fundamentación logicista de la aritmética, matemáticos importantes como Hilbert y
Dedkind buscaban fundar la aritmética y el análisis matemático en lo que ahora se llama la
teoría de conjuntos. Esta búsqueda estaba motivada por el descubrimiento, por parte de
Georg Cantor, de paradojas en la concepción intuitiva de conjunto. Además de conocer – y
admirar – el trabajo de Frege, a principios del siglo XX, Bertarnd Russell estudió también
el trabajo de Cantor, hasta descubrir la famosa paradoja que lleva su nombre. Esta paradoja,
descubierta independientemente por Ernest Zermelo, contradice la postulación de un
7
Esta central aportación que Frege a la lógica es indudablemente fruto del amplio conocimiento de
funciones matemáticas que obtuvo Frege en sus años en Göttingen, a las cuales dedicó su
Habilitationsschrift.
conjunto de todos los conjuntos. Desafortunadamente, dada la similitud entre lo que ahora
llamamos conjuntos y las extensiones de conceptos Fregeanas, dicha paradoja muestra
también que el sistema de Las Leyes Fundamentales de la Aritmética de Frege es
inconsistente.
En Junio de 1902, Russell envió una carta a Frege informándole de la paradoja. La
reacción de Frege no pudo ser más radical. Al no encontrar método lógico para distinguir
entre extensiones de conceptos aceptables y paradójicos, Fege concluyó
No puedo ver cómo la aritmética puede
fundamentarse científicamente, cómo los números
pueden concebirse como objetos lógicos. (Frege
1903, 253).
Con estas líneas, Frege abandonaba el proyecto de su vida, el logicismo.
2. El Análisis Filosófico
Famosamente, Ludwig Wittgenstein llegó a decir que la profundidad de la filosofía es la
misma que la de un chiste o un juego de palabras. En pocos casos es esto mas cierto que en
el de Gottlöb Frege y la tradición analítica que ayudó a fundar. El chiste puede contarse
más o menos así:
Seleccina la respuesta correcta:
¿Quien escribió La Divina Comedia?
a. Su autor
b. Quién escribió La Divina Comedia
c. Dante Alighieri
En cierto sentido, parecería que la respuesta correcta es (c), pero ¿por qué? ¿Cuál es la
diferencia relevante entre ésta y las otras dos opciones? Después de todo, las tres respuestas
podrían ser correctas, por lo menos en el sentido mínimo de que las tres son verdaderas.
Aceptar que (a) y (b), pese a ser verdaderas, no son correctas parece implicar que, en
ciertos casos, lo correcto va mas allá de lo verdadero. Es tan verdadero que La Divina
Comedia fue escrita por su autor, como que fue escrita por Dante. A fin de cuentas, esto es
así porque Dante Alighieri no es otro sino el autor de La Divina Comedia, quien escribió La
Divina Comedia. Es decir, las expresiones “Dante Alighieri”, “quien escribió La Divina
Comedia y “su autor” refieren a la misma persona. Sin embargo, las tres expresiones no
significan lo mismo. Si significaran lo mismo, una respuesta sería tan buena como otra, lo
cual no es así. De ahí que podamos concluir que el significado de un termino va mas allá de
su referencia. (A esta parte del significado que hace la diferencia entre (a), (b) y (c), Frege
llamará su “sentido”).
Pues bien, el trabajo de Frege puede verse precisamente como tratando de explicar
la diferencia entre respuestas como (a) y (b), por un lado, y (c) por el otro. Explicar porque
ciertas expresiones que refieren a lo mismo, sin embargo, difieren lo suficiente en
significado como para explicar la diferencia entre juicios tautológicos como “Quien
escribió La Divina Comedia escribió La Divina Comedia” y juicios perfectamente
informativos como “Dante escribió La Divina Comedia”. Al primer tipo de juicios, Frege
los llamó juicios “analíticos”; y a los segundos, “sintéticos”, recogiendo una distinción que
usará también Immanuel Kant. Así pues, la preocupación central del trabajo de Frege fue
construir una teoría que dibujará claramente y por una vez por todas la línea divisoria entre
los juicios sintéticos y los analíticos. En particular, le importaba establecer que juicios de la
aritmética como “5+7=12” no son sintéticos, como sostuvo Kant, sino analíticos.
Es fácil entender la intuición detrás de la posición Kantiana, ya que podemos hacer
con números un ejercicio similar al de Dante. En un examen de aritmética bizarro, por
ejemplo, podría aparecer el siguiente ejercicio:
5+7=
a) 5+7
b) 12
La analogía con el caso de Dante y La Divina Comedia es bastante claro. Si bien es
cierto que 5+7=5+7, es aun más claro que 5+7=12 es la respuesta correcta que buscamos.
5+7=5+7, aunque verdadero, no es suficientemente informativo. Es meramente
tautológico. Para Kant, mientras que 5+7=5+7 es una verdad lógica analítica, 5+7=12 es
una verdad aritmética sintética. Basta analizar qué significa ser el autor de un libro para
aceptar que el autor de La Divina Comedia es quién escribió La Divina Comedia. No
necesitamos saber nada sobre La Divina Comedia (salvo, tal vez. que es una obra literaria)
ni sobre su autor. Sin embargo, por más que analicemos al número 12, no hay manera que
caigamos en la cuenta de que 5+7=12. No podemos descubrir que 5+7=12 por pura lógica
ni análisis. ¡Es necesario hacer aritmética!
Entender las razones que tenía Frege para sostener que tanto 5+7=12 como
5+7=5+7 eran ambas verdades lógicas y, por lo tanto, analíticas es mucho más difícil.
Especialmente porque, al defender su posición, Frege transformó radicalmente lo que
entendemos por análisis lógico. La concepción clásica del análisis antes de Frege consistía
en descomponer los hechos o conceptos en sus componentes lógicos. Ser humano, por
ejemplo, podría analizarse en ser animal y ser racional. Ser animal y racional eran
componentes del concepto de ser humano en tanto que es necesario ser animal racional para
ser humano, y viceversa. La primera gran contribución de Frege a nuestra concepción del
análisis fue extender este tipo de análisis, de los predicados simples a las relaciones. Frege
logró esto gracias a (i) la introducción de ciertas herramientas matemáticas al análisis
filosófico, en especial, (a) el formalismo simbólico y (b) la distinción función-argumento; y
(ii) el desarrollo de una teoría formal de la cuantificación. Gracias a estos avances, la
transformación del análisis fue radical.
Por principio de cuentas, Frege propuso cambiar nuestra concepción del análisis, de
un mero descomponer algo en sus partes, al de ubicarlo en un espacio de relaciones lógicas.
Analizar un concepto, a partir de Frege, no es simplemente descomponerlo en sus partes,
sino determinar sus relaciones lógicas con el resto de los conceptos. Igualmente, analizar
una proposición o un hecho no debe verse simplemente como buscar cuales son sus partes,
sino cuales son sus relaciones lógicas con otras proposiciones o hechos. Esta
transformación involucra cambiar nuestra imagen del análisis como algo que mira hacia
adentro de aquello que analizamos, a algo que mira hacia fuera: hacia sus relaciones
lógicas con el resto de los conceptos, objetos o proposiciones.
De esta manera, el análisis lógico Fregeano consiste en primer lugar, en el dibujo
del mapa del espacio lógico, y segundo, en la ubicación del objeto de análisis en dicho
espacio. Esta nueva imagen del análisis aparece ya en la introducción a la Conceptografía
de Frege. Ahí, Frege compara su trabajo de análisis lógico con la cartografía geográfica. Así
como el objetivo de un mapa cartográfico es permitir la fácil localización de lugares en el
espacio geográfico, el objetivo del análisis – lo que Frege llamó su “Conceptografía” – es
facilitar la ubicación de conceptos en el espacio lógico. El objetivo de la cartografía lógica
Fregeana es la elaboración de mapas lógicos donde se ubique el lugar que ocupa cada
concepto, objeto o proposición en relación con los otros. Para esto, Frege pensaba que era
necesario desarrollar un sistema de notación propio para este tipo de mapas lógicos.
Aunque, más que mapas, lo que desarrollo fue un simple sistema de diagramas,
antecedentes directos de nuestras actuales fórmulas lógicas.
La conceptografía de Frege contaba con dos avances significativos con respecto a
intentos anteriores de desarrollar sistemas de notación lógica. En primer lugar, como el
lenguaje algebraico de las matemáticas, usaba variables. Esto permitió dos cosas: primero,
expresar ciertas relaciones lógicas entre relaciones de una manera mucho más fácil y clara
que hasta entonces y, segundo, permitir manejar predicados y relaciones sin la necesidad de
infinitivos u otros trucos gramaticales. Por ejemplo, en vez de hablar del concepto ser
humano, Frege representaba dicho predicado a través del esquema formal “x es humano”.
De esta manera, se evitaba la confusión entre conceptos y objetos: mientras que los
conceptos se expresaban a través de esquemas con variables, los objetos sí tenían nombres.
Los nombres, para Frege incluyen tanto lo que comúnmente llamaríamos nombres
propios, como enunciados proposicionales (cuya referencia es la verdad o la falsedad,
dependiendo de si son enunciados verdaderos o falsos). De ahí que en su ontología se
consideren objetos, no solo lo que comúnmente llamaríamos objetos concretos, sino
también otros objetos lógicos como los números, los valores de verdad (verdad y falsedad),
los pensamientos (lo que ahora llamaríamos proposiciones) los recorridos de las funciones
y las extensiones de los conceptos. Estos objetos lógicos no eran meros objetos del
pensamiento, sino entidades reales, aunque abstractas. De ahí que se hable de Frege como
un platonista moderno. A decir verdad, gran parte de su trabajo filosófico se dedicó
precisamente a fundamentar el estatus objetivo de estas entidades. Dado que su logicismo
tenía como objetivo reducir la aritmética a la lógica, Frege necesitaba que existieran objetos
lógicos a los que reducir los objetos de la aritmética. Qué tanto éxito tuvo Frege en esta
empresa es una cuestión controversial. El punto débil de su logicismo siempre fue la
existencia de estos extraños objetos lógicos.
Para Frege, entonces, la búsqueda de una notación adecuada para el análisis
filosófico requería, entre otras cosas, de un lenguaje en el cual distinciones ontológicas
fundamentales, como la de objeto y concepto, correspondan a distinciones gramaticales. En
particular, Frege buscó que su Conceptografía tuviera nombres solamente para los objetos
genuinos, y que el resto del lenguaje sólo pudiera hacer referencia a conceptos. Para Frege,
los únicos objetos genuinos son aquellos a los que se refieren los nombres (o las
proposiciones). El resto de las expresiones refieren a conceptos.
Uno de los esloganes más famosos de Frege fue su famoso “principio del contexto”,
el cual aconseja no inquirir por el significado de una expresión sino en el contexto de un
enunciado completo. Esto es así, no porque ninguna expresión tenga significado sino en el
contexto de un enunciado, sino porque es en el contexto del enunciado que se vuelve más
claro el papel que juega dicha expresión. Metodológicamente, por lo tanto, es imperativo
empezar por los enunciados. Un enunciado completo, pues, es aquel que determina
completamente su sentido (el pensamiento que expresa) y su valor de verdad (su
significado). Para analizar dicho enunciado, como habíamos dicho, no es suficiente
observar sus partes gramaticales. Es necesario hacer un trabajo lógico más profundo. Para
determinar la identidad del pensamiento que expresa, por ejemplo, es necesario determinar
sus relaciones lógicas con otros enunciados y los pensamientos que éstos expresan. Como
habíamos dicho antes, es necesario ubicar su sentido en la red de relaciones lógicas que
forman su espacio lógico.
El análisis lógico-sintáctico en Frege es un juego de semejanzas y diferencias. Si
tenemos dos entidades, por ejemplo, dos enunciados que se parecen en algo pero también se
distinguen en algo, podemos codificar dichas similitudes y diferencias en términos de la
distinción matemática entre función y argumento: la función es aquello que explica la
similitud entre ellas y el argumento aquello que explica su diferencia. Cuando comparamos
dos objetos, entonces, necesitamos una notación que incluya tanto una parte en común – la
función – que explique su similitud, como elementos distintos dentro de la representación
de cada una – los argumentos – que explique sus diferencias.
Frege toma esta idea de la aritmética. Tomemos por ejemplo, los números 4 y 14.
Estos dos números tienen varias propiedades en común. Por ejemplo, ambos son números
aunque ello no se vea a simple vista. Sin embargo, si en vez de representar a ambos
números a través de un numeral, usáramos fórmulas, por ejemplo “2 x 2” o “2 x 7”, ya
veremos que hay algo en común entre ambos números. Las fórmulas “2 x 2” o “2 x 7”
tienen algo en común, y algo que las distingue. Tienen en común que ambas empiezan con
“2 x” y terminan con un numeral (de algún número entero). Lo que las distingue es que al
final tienen numerales diferentes. En jerga matemática, diríamos que ambos números son
diferentes valores de la misma función 2 x n. Nótese como, para expresar esta función, no
usamos una fórmula aritmética – es decir, una fórmula que refiera a algún número –, sino
una fórmula algebraica, es decir, con una variable n. A esto es a lo que Frege hace
referencia cuando habla de expresiones “insaturadas”. La expresiones funcionales como
“2 x n” están insaturadas, porque tienen un espacio vacío – señalado por la variable – que
ha de llenarse para que puedan referir a un objeto. Además, dependiendo cómo se llenen,
terminarán referiéndose a diferentes objetos.
En este caso, dependiendo que numeral sustituya la variable, tendremos diferentes
fórmulas completas, es decir, saturadas, que pueden referir a diferentes números. Si
sustituimos la variable por el numeral 2, tendremos “2 x 2”. Si la sustituimos por el
numeral 7, tendremos “2 x 7”. Por lo tanto, podemos analizar la fórmula “2 x 2” en la
expresión funcional “2 x n” y el numeral “2”. La primera expresión representa la función
2 x n, y la segunda el argumento 2. De manera análoga, podemos analizar 2 x 7 en la misma
función 2 x n, pero ahora con el argumento 7. La función 2 x n, por lo tanto, representa lo
que tienen en común 2 y 14, a saber, que ambos son pares. En efecto, cualquier numero
(entero positivo) que se asigne como argumento a esta función dará un número par: 2 x 3,
2 x 378, 2 x 43, 2 x 1,239,076, etc. y viceversa, todo número par es el valor de esta función
para algún argumento. Además, los diferentes argumentos representan lo que distingue a un
número par del otro.
Por supuesto, 2 y 14 tienen muchas otras propiedades en común además de ser
pares. Por ejemplo, ambos son números menores a cien. Pero mostrar esto requeriría un
análisis distinto, donde la función y el argumento sean distintos (Por ejemplo, si tomamos
la función 100 – x y los argumentos 96 y 86). De este hecho se siguen tres importantes
principios del análisis que Frege subrayó: (1) cual es la función y el argumento dependen
del análisis. El mismo objeto puede analizarse en diferentes funciones y argumentos
dependiendo del propósito del análisis. (2) el análisis depende esencialmente de cómo se
represente a el o los objetos bajo análisis. Hay un momento del análisis en el cual cuál es la
función y el argumento relevantes se hace obvio (cuando el objeto a analizar esta
representado de tal manera que se puede dividir en la expresión funcional y la de su
argumento). Sin embargo, (3) gran parte del trabajo del análisis es precisamente llegar a ese
punto.
3. El nacimiento de la Filosofía Analítica
Seguramente cause extrañeza el que un filósofo dedicado a un proyecto tan peculiar como
el logicismo sea considerado entre los pensadores más importantes de su siglo. Es
indudable que el trabajo de Frege es fundamental en Filosofía de la Matemática y del
Lenguaje. Sin embargo, ¿dónde radica su importancia para la filosofía en general? Para
responder a esta pregunta, es necesario recordar que, al iniciar el siglo veinte, tanto la
ciencia empírica como la matemática avanzaban a pasos agigantados. Parecía que la
filosofía quedaría relegada a ser una vieja reliquia – una pseudo-ciencia como la Alquimia
–, una vez que la ciencia diera respuesta a las preguntas que solían ser provincia de la
filosofía. Regresemos, ahora, a la cuestión central de Frege. Si es posible que el mero
análisis lógico determine no solo verdades tautológicas como que 5+7=5+7 (o que quien
escribió La Divina Comedia escribió La Divina Comedia) sino también verdades
sustanciales e informativas como que 5+7=12 es posible, entonces, que haya otro tipo de
verdades filosóficas que también puedan descubrirse a partir del mero análisis lógico. Antes
de Frege, el análisis lógico era visto, a lo más, como una disciplina terminada con poco
ofrecer de sustancia al conocimiento humano. Las verdades lógicas y analíticas eran vistas
como obvias, triviales e insustanciales. Al transformar nuestra concepción del análisis
lógico, Frege abrió las puertas a toda una nueva manera de concebir a la filosofía: con un
método propio (el análisis lógico) y un tipo de verdades (las analíticas) irreducibles a la de
la ciencia (es decir, a las verdades sintéticas). Si bien no es claro que ésta sea la concepción
de la filosofía que tenía Frege, sí es claro que ésta fue la moraleja central de su trabajo para
los filósofos que, a partir de entonces, han sido conocidos como “analíticos.”
Referencias
Obras de Frege (Ediciones Originales en Alemán)
(1879) Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des
reinen Denkens, Halle a. S.
(1884) Die Grundlagen der Arithmetik: eine logisch-mathematische Untersuchung
über den Begriff der Zahl, Breslau.
(1891) “Funktion und Begriff: Vortrag gehalten” en der Versammlung vom 9. Januar
1891 der Jenaischen Gesellschaft für Medizin und Naturwissenschaft, Jena.
(1892) “Über Sinn und Bedeutung”, en Zeitschrift für Philosophie und
philosophische Kritik, 25-50.
(1892) “Über Begriff und Gegenstand”, en Vierteljahresschrift für wissenschaftliche
Philosophie, XVI, 192-205.
(1893, 1903) Grundgesetze der Arithmetik, Jena: Verlag Hermann Pohle, Tomo I
(1893), Tomo II (1903)
(1904) “Was ist eine Funktion?”, en Festschrift Ludwig Boltzmann gewidmet zum
sechzigsten Geburtstage, 20. Februar 1904, S. Meyer (ed.), Leipzig, S.
656-666.
(1918 – 1919) Der Gedanke. Eine logische Untersuchung, in Beiträge zur
Philosophie des Deutschen Idealismus I (1918-1919): 58-77
(1918-1919) “Die Verneinung”, en Beiträge zur Philosophie des deutschen
Idealismus, I, 143-157.
(1923) “Gedankengefüge”, en Beiträge zur Philosophie des Deutschen Idealismus,
III, 36-51.
Traducciones de Frege al Español
(1972) Conceptografía: un lenguaje de fórmulas, semejante al de la aritmética, para
el pensamiento puro. Los Fundamentos de la Aritmética: una investigación
lógico matemática sobre el concepto de número. Otros estudios filosóficos,
México, Universidad Autónoma de México, Instituto de Investigaciones
Filosóficas.
(1974) Escritos Lógico-Semánticos, Editorial Tecnos, Madrid.
(1996) “El pensamiento: una investigación lógica”, en Margarita M. Valdés, (comp.,
introd. y rev. técnica de la traducción.) Pensamiento y lenguaje : problemas
en la atribución de actitudes proposicionales, México, Universidad Nacional
Autónoma de México, Instituto de Investigaciones Filosóficas, pp. 23-48.
Comentaristas en español 8
Alcolea Banegas, Jesús, “Significado y denotación”. Reseña sobre: Alejandro Tomasini
Bassols (pról., selecc. y tr.), Significado y denotación. La polémica Russell-Frege,
2001. Mathesis, Serie II, vol. 1, no. 1, p. 183-197.
Álvarez, Carlos, “Gottlob Frege :cálculo y características”. 1985. Mathesis, Vol. 1, no. 2, p.
129-136.
Ávila del Palacio, Alfonso, “¿Qué podrían ser números según Frege?”, 1990. Revista
filosófica intercontinental desde América, Vol. 1, no. 1, p. 93-98.
8.
Tomado de la base de datos Filos, Universidad Nacional Autónoma de México.
Ávila del Palacio, Alfonso, “La definición de número en Gottlob Frege”. 1992. Crítica, Vol.
24, no. 72, Pp. 73-101.
Beuchot, Mauricio “El problema de los Universales en Gottlob Frege”. 1977.Crítica, vol. 9,
no. 26, pp. 65-89.
Beuchot, Mauricio, “La conceptografía y la lógica formal de Frege”. 1986. Elementos, Vol.
2, no. 9, pp. 70-75.
Beuchot, Mauricio, “Un caso de influencia de la estructura ontológica entitativa sobre la
estructura lógica proposicional :Vicente Ferrer (s. XlV) antecesor de Frege”. 1986.
Humanidades (UIA), No. 9, pp. 55-66.
Beuchot, Mauricio, Reseña sobre: G. E. Rosado Haddock. Expresión crítica de la filosofía
de Gottlob Frege. 1986. Revista de filosofía, Vol. 19, no. 57, p. 513-516.
Castro, Max Fernández de, “La paradoja de Russell y el programa Fregeano”. 2005. Signos
filosóficos, Vol. 7, no. 13, p. 31-55.
Dummett, Michael, La verdad y otros enigmas. México : Fondo de Cultura Económica,
1990.
Favila, José Manuel, Reseña sobre: Gottlob Frege. Conceptografía. Los conceptos de la
aritmética. Otros estudios filosóficos. 1974. Diánoia. Año 20, no. 20, pp. 244-247.
Ferreirós, José, “Lógica, conjuntos y logicismo :desarrollos alemanes de 1870 a 1908”.
1994. Mathesis, Vol. 10, no. 3, p. 255-272.
Hernández Márquez, Víctor Manuel, “Bréal, Frege y los orígenes de la semántica”, en:
Acosta Félix, A. et al. (comps.). Cuarto Encuentro Internacional de Lingüística en
el Noroeste. Memorias Tomo 3: Interdisciplinas lingüísticas, Hermosillo, Sonora :
Editorial UniSon, 1998. Pp. 151-171.
Hernández Márquez, Víctor Manuel, Lógica, lenguaje y realidad :examen crítico del
programa absolutista. Chihuahua, Chihuahua : Universidad Autónoma de
Chihuahua, Textos Universitarios, 2001.
Jiménez Cataño, Rafael, Semántica y racionalidad en Frege : un estudio desde las
operaciones mentales. México : Minos, Coleccion manuales de filosofía ; no. 4,
1991.
M. Otero, "El concepto de racionalidad. Un caso: la polémica, Frege-Hilbert" en Olivé,
León, introd. y comp. Racionalidad: ensayos sobre racionalidad en ética y política,
ciencia y tecnología. México : Universidad Nacional Autónoma de México, Instituto
de Investigaciones Filosóficas : Siglo XXI, 1988, pp. 212-224.
Mergáin, Charles, Hugo, “Notas sobre la semántica de Frege”. 1979. Revista del Colegio de
Bachilleres, 1a. época, vol. 1, no. 2, pp. 77-83.
Moretti, Alberto, “Dos problemas clásicos en La ontología de Frege”, en Maite Ezcurdia
(comp. e introd.), Orayen : de la forma lógica al significado, México : Universidad
Nacional Autónoma de México, Instituto de Investigaciones Filosóficas, 2007. Pp.
149-171.
Moretti, Alberto, “Fidelidad a los hechos y suspicacia semántica”. 1995. Crítica, Vol. 27,
no. 79, p. 21-45.
Moretti, Alberto, “La objetividad de los números fregeanos”. 1991. Crítica, Vol. 23, no. 68,
p. 139-156.
Orayen, Raúl, “Frege: una aproximación a sus Teorías semánticas”. 1988. Ergo, Vol. 2, no.
4, pp. 13-40.
Padilla Gálvez, Jesús, “El método axiomático revisado (reconstrucción de la polémica entre
G. Frege y D. Hilbert”. 1992. Mathesis, Vol. 8, no. 2, p. 141-152.
Padilla, Hugo, Reseña sobre: Reinhardt Grossmann. Reflexions on Frege's Philosophy.
1969. Crítica. Vol. 3, no. 78, p. 111-113.
Pérez Sedeño, Eulalia, Reseña sobre: Hans Sluga Gottlob Frege. The Arguments of the
Philosopher. 1981. Crítica, Vol. 13, no. 37, pp. 85-87.
Perry, John, “Frege sobre los demostrativos”, en: Margarita M. Valdés, (comp., introd. y
rev. técnica de la traducción.) Pensamiento y lenguaje : problemas en la atribución
de actitudes proposicionales. México : Universidad Nacional Autónoma de México,
Instituto de Investigaciones Filosóficas, 1996. Pp. 49-77.
Robles García, José Antonio, “La generalidad múltiple y la cuantificación en la lógica de
Frege”. 1980. Episteme, Año 2, no. 4, pp. 37-42.
Rolleri, José Luis, “Una reconstrucción conjuntista de la semántica de Frege”. 1981.
Diánoia, Vol. 27, no. 27, pp. 223-232.
Sánchez Pozos, Javier, “Principios generales de una teoría fregeana del nombre para la
lógica formal”. 1989. Signos, No. 2, p. 229-236.
Segura Martínez, Luis Felipe, “La primera Begriffsschrift fregeana”. 1999. Signos
filosóficos Vol. 1, no. 1, p. 13-32.
Segura, Luis Felipe, La prehistoria del logicismo. México : Universidad Autónoma
Metropolitana Iztapalapa : Plaza y Valdés, 2002.
Serratos Franco, Mayahuel, “Frege, Meinong y Russell”. 1990. Revista filosófica
intercontinental desde América. Vol. 1, no. 2, p. 113-122.
Simpson, Thomas Moro, “Dos problemas en la doctrina de Frege”. 1967. Crítica. Vol. 1,
no. 1, p. 101-116.
Simpson, Thomas Moro, “Nombres canónicos y existencia necesaria”. 1970. Crítica. Vol.
4, no. 10, pp. 61-74.
Simpson, Thomas Moro, “Sobre una alternativa nominalista a la semántica de FregeChurch”. 1971. Diánoia, vol. 17, no. 17, pp. 17-35.
Simpson, Thomas Moro, Reseña sobre: R. V. Birjukov. Two Soviet Studies on Frege. 1967.
Crítica. Vol. 1, no. 1, p. 117-122.
Tomasini Bassols, Alejandro, comp., Significado y denotación : la polémica Russell-Frege.
México : Interlínea, 1996.
Tomasini Bassols, Alejandro, Reseña sobre: Leonard Linsky. Names and Descriptions.
1980. Crítica, Vol. 12, no. 34, pp. 147-154.
Toribio Mateas, Josefa, “La relevancia metafísica del principio de bivalencia”. 1989. Ergo.
Vol. 3, no. 5, pp. 5l-69.
Valdivia Dounce, Lourdes, “Frege: una estipulación viable”. 1985. Crítica, Vol. 17, no. 49,
pp. 3-20.
Valdivia Dounce, Lourdes, Introducción a la semántica y ontología de Gottlob Frege.
México : Sociedad de Filosofía Iberoamericana, Universidad Nacional Autónoma de
México, 1989.
Wettstein, Howard, “Significación cognitiva sin contenido cognitivo”. 1989. Ergo, Vol. 3,
no. 5, pp. 7-49.
Otros comentaristas 9
Beaney, M., 1996, Frege: Making Sense, London: Duckworth.
Beaney, M., 1997, The Frege Reader, Oxford: Blackwell
Bell, D., 1979, Frege's Theory of Judgment, Oxford: Clarendon.
Boolos, G., 1986, ‘Saving Frege From Contradiction’, Proceedings of the
Aristotelian Society, 87 (1986/87): 137-151.
Boolos, G., 1987, ‘The Consistency of Frege's Foundations of Arithmetic’, en J.
Thomson (ed.), On Being and Saying, Cambridge, MA: The MIT Press, pp.
3-20.
Boolos, G., 1990, ‘The Standard of Equality of Numbers’, in G. Boolos (ed.),
Meaning and Method: Essays in Honor of Hilary Putnam, Cambridge:
Cambridge University Press, 261-77.
Boolos, G., 1995, ‘Frege's Theorem and the Peano Postulates’, The Bulletin of
Symbolic Logic 1, 317-26.
Boolos, G., 1998, Logic, Logic, and Logic, Cambridge, MA: Harvard University
Press.
Coffa, J.A., 1991, The Semantic Tradition from Kant to Carnap, L. Wessels (ed.),
Cambridge: Cambridge University Press.
Currie, G., 1982, Frege: An Introduction to His Philosophy, Brighton, Sussex:
Harvester Press.
Demopoulos, W., (ed.), 1995, Frege's Philosophy of Mathematics, Cambridge, MA:
Harvard.
9.
Tomado de Zalta, Edward N., "Gottlob Frege", e Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring
2007 Edition), Edward N. Zalta (ed.), URL = <http://plato.stanford.edu/archives/spr2007/entries/
frege/>.
Dummett, M., 1973, Frege: Philosophy of Language, London: Duckworth.
Dummett, M., 1981, The Interpretation of Frege's Philosophy, Cambridge, MA:
Harvard University Press.
Dummett, M., 1991, Frege: Philosophy of Mathematics, Cambridge, MA: Harvard
University Press.
Furth, M., 1967, ‘Editor's Introduction’, in G. Frege, The Basic Laws of Arithmetic,
M. Furth (translator and editor), Berkeley: University of California Press, pp.
v-lvii
Goldfarb, W., 2001, ‘Frege's Conception of Logic’, in J. Floyd and S. Shieh (eds.),
Future Pasts: The Analytic Tradition in Twentieth-Century Philosophy,
Oxford: Oxford University Press, 25-41.
Haaparanta, L., and Hintikka, J., (eds.), 1986, Frege Synthesized, Dordrecht: D.
Reidel.
Heck, R., 1993, ‘The Development of Arithmetic in Frege's Grundgesetze der
Arithmetik’, Journal of Symbolic Logic, 58/2 (June): 579-601.
Hodges, W., 2001, ‘Formal Features of Compositionality’, Journal of Logic,
Language and Information, 10: 7-28.
Klemke, E. D. (ed.), 1968, Essays on Frege, Urbana, IL: University of Illinois Press.
MacFarlane, J., 2002, ‘Frege, Kant, and the Logic in Logicism’, Philosophical
Review, 111/1 (January): 25-66.
Parsons, C., 1965, ‘Frege's Theory of Number’, en M. Black (ed.), Philosophy in
America, Ithaca: Cornell, 180-203.
Parsons, T., 1981, ‘Frege's Hierarchies of Indirect Senses and the Paradox of
Analysis’, Midwest Studies in Philosophy: VI, Minneapolis: University of
Minnesota Press, pp. 37-57.
Parsons, T., 1987, ‘On the Consistency of the First-Order Portion of Frege's Logical
System’, Notre Dame Journal of Formal Logic, 28/1 (January): 161-168.
Parsons, T., 1982, ‘Fregean Theories of Fictional Objects’, Topoi, 1: 81-87.
Pelletier, F.J., 2001, ‘Did Frege Believe Frege's Principle’, Journal of Logic,
Language, and Information, 10/1: 87-114.
Perry, J., 1977, ‘Frege on Demonstratives’, Philosophical Review, 86 (1977):
474-497.
Resnik, M., 1980, Frege and the Philosophy of Mathematics, Ithaca, NY: Cornell
University Press.
Ricketts, T., 1997, ‘Truth-Values and Courses-of-Value in Frege's Grundgesetze’, en
Early Analytic Philosophy, W. Tait (ed.), Chicago: Open Court, pp. 187-211.
Ricketts, T., 1986, ‘Logic and Truth in Frege’, Proceedings of the Aristotelian
Society, Supplementary Volume 70, pp. 121-140.
Salmon, N., 1986, Frege's Puzzle, Cambridge, MA: MIT Press.
Schirn, M., (ed.), 1996, Frege: Importance and Legacy, Berlin: de Gruyter.
Sluga, H., 1980, Gottlob Frege, London: Routledge and Kegan Paul.
Sluga, H. (ed.), 1993, The Philosophy of Frege, New York: Garland, four volumes.
Smiley, T., 1981, ‘Frege and Russell’, Epistemologica 4: 53-8.
Wright, C., 1983, Frege's Conception of Numbers as Objects, Aberdeen: Aberdeen
University Press.