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MAGNETISMO
aletos
CAMPO
Física para Ciencias e Ingeniería
1
MAGNÉTICO
Contacto: [email protected]
M
N
I
Un largo conductor rectilíneo por el que circula una corriente de intensidad
I forma un arco semicircular de radio a como muestra la figura.
Calcúlese el campo magnético en el centro O del bucle.
a
O
I
Q
P
SOLUCIÓN:
El campo magnético total en el punto O es la suma vectorial de los campos creados en dicho punto por cada uno
de los conductores rectilíneos, MN, PQ, y el arco semicircular NP.
Campo B1 creado por el tramo MN
[Para ver la teoría correspondiente al problema y comprender el razonamiento que sigue, copia y pega el siguiente enlace:
https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxtYWduZXRpc3Ntb3xneDo
yOGY3MjA0ZmZkYTlhMzg0
y consulta los epígrafes 1.4 y 1.5.]
El módulo del campo creado por un tramo de un conductor rectilíneo en un punto, es
µ I
B = 0 cos α + cos β 
4π r
[1]
donde r es la distancia del punto al conductor, y α y β son los ángulos formados por el tramo conductor con los segmentos que unen sus extremos con el punto en que se desea calcular el campo.
Si unimos el punto O con el extremo izquierdo M del conductor MN, que está muy alejado, el ángulo α1 = 0º, y
si lo unimos con el extremo N, el ángulo β 1 = 90º.
Sustituyendo en [1],
B1 =
µ0 I 
 µ0 I 1+ 0 = µ0 I


cos α1 + cos β1  =
4π a
4π a
4π a
[2]
La dirección del campo B1 es perpendicular al plano determinado por el conductor y el punto O. Por tanto B1
es perpendicular al plano de la figura. Su sentido se determina por la regla del sacacorchos. Para ello, se supone
situado un sacacorchos, o un tornillo roscado a derechas, a lo largo del hilo y se le hace girar de forma que avance
en el sentido de la corriente eléctrica.
En este caso el sentido es tal, que se aleja del lector.
Campo B2 creado por el arco semicircular NP

dl

r'
O
[Para ver la teoría correspondiente a esta parte del problema y comprender el razonamiento que sigue, copia y pega el siguiente enlace:
https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpb
nxtYWduZXRpc3Ntb3xneDoyOGY3MjA0ZmZkYTlhMzg0
y consulta el epígrafe 1.6]
Un elemento de corriente de un conductor, de longitud infinitesimal dl, crea un
campo magnético cuya expresión vectorial es:
  
 µ
0 I .dl ×(r − r ')
dB =
  3
[3]
4π
r −r '
Cualquier elemento de corriente de longitud infinitesimal dl del arco NP, tiene la dirección de la tangente, y por
tanto, el ángulo que forman los vectores dl y r’ es de 90º.
El módulo del numerador de [2] es ahora, teniendo en cuenta que r = 0:
  
 
dl ×(r −r ') = dl ⋅ r ' ⋅ sen 90º= dl ⋅a
con lo cual, el módulo dB del campo creado es:
2
MECÁNICA
CAMPO
aletos
Física para Ciencias e Ingeniería
MAGNÉTICO
µ0 Idl ⋅a µ0 Idl
=
[4]
4π a 3
4π a 2
La dirección y sentido de este vector son los del producto vectorial
  


 
dl ×(r − r ') = dl ×(−r ') = −dl × r '
Por tanto, la dirección es perpendicular al plano determinado por los vectores dl y r’, es decir, al plano del dibujo, y su sentido es tal, que se aleja del lector.
El campo total es, pues, la suma vectorial de los campos dB creados por los infinitos elementos de corriente dl,
y como todos ellos tienen la misma dirección y sentido, el módulo de la suma vectorial se reduce a la suma aritmética de sus módulos, es decir, a la integral de dB extendida de forma que quede incluido todo el arco de semicircunferencia, y como la única variable que aparece en el integrando es dl, hay que integrar desde cero hasta πa:
dB =
µ0 Idl µ0 I
I
=
πa = µ0
2
2
0
4a
4π a
4π a
La dirección del campo B2 es perpendicular al plano del arco y su sentido es tal, que se aleja del lector.
B2 =
∫
πa
[5]
Este resultado se puede obtener de una forma inmediata teniendo en cuenta que el módulo del campo creado por
el arco semicircular NP es la mitad del que crea una espira circular de radio a en su centro, cuya expresión es:
BO =
µ 0I
2a
No obstante, se ha indicado el método anterior con el fin de familiarizar al lector con el uso de la expresión [2].
Campo B3 creado por el tramo PQ
Si unimos el punto O con el punto P, el ángulo α2 = 90º, y si lo unimos con el extremo Q, que está muy alejado, el ángulo β2 = 0º.
Sustituyendo en [1],
µ I
µ I
µ I
[6]
B3 = 0 cos α3 + cos β3  = 0 0 +1 = 0
4π a
4π a
4π a
La dirección del campo B3 es perpendicular al plano determinado por el conductor y el punto O. Por tanto B3
es perpendicular al plano de la figura. Su sentido se determina por la regla del sacacorchos. Para ello, se supone
situado un sacacorchos, o un tornillo roscado a derechas, a lo largo del hilo y se le hace girar de forma que avance
en el sentido de la corriente eléctrica.
En este caso el sentido es tal, que se aleja del lector.
Por ser los tres vectores B1, B2, y B3 de igual dirección y sentido, el módulo del campo total es la suma aritmética de sus módulos:
µ I
I µ0 I µ0 I
I
I  1 1  4 + 2 π µ0I
BO = B1 + B2 + B3 = 0 + µ0
+
=
+ µ0
= µ0  +  =
[7]
4a 4 π a 2π a
4a
a  2π 4 
a
4π a
8π
BO =
4 + 2 π µ 0I
8π
a
La dirección del campo BO es perpendicular al plano de la figura, y su sentido es tal, que se aleja del lector.