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FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Teodoro Rodriguez Firmado digitalmente por Teodoro Rodriguez Nombre de reconocimiento (DN): cn=Teodoro Rodriguez, c=ES, ou=Colegio Marista Cristo Rey Fecha: 2013.08.22 06:06:31 +02'00' Física II. Apuntes Prof. Teodoro Rodríguez Colegio Marista Cristo Rey A Coruña. Agosto 10/ Rev.08 Con profundo agradecimiento a Andrés Souto y Luis José Marcos, cuya eficaz colaboración facilitó mucho la edición de estos apuntes. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 1 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Índice Diagrama conceptual General Diagrama conceptual repaso Cinemática y Dinámica Diagrama conceptual Campos Centrales U.D. 1. Campos Centrales Diagrama conceptual Campo Gravitatorio U.D. 2. Campo Gravitatorio Diagrama conceptual Campo Eléctrico U.D. 3. Campo Eléctrico Diagrama conceptual Campo Magnético U.D. 4. Campo Magnético Ecuaciones de Maxwell Diagrama conceptual Inducción Electromagnética U.D. 5. Inducción Electromagnética Diagrama conceptual Movimiento Vibratorio Diagrama conceptual Movimiento Ondulatorio U.D. 6. Movimiento Vibratorio U.D. 7. Movimiento Ondulatorio Diagrama conceptual Luz y Óptica Física Diagrama conceptual Óptica Geométrica U.D. 8. Luz y Óptica Física U.D. 9. Óptica Geométrica Diagrama Conceptual Física Relativista y Cuántica Diagrama Conceptual Física Nuclear U.D. 10. Física Relativista y Cuántica U.D. 11. Física Nuclear Addenda sobre Efecto Fotoeléctrico Addenda sobre Efecto Compton Cuaderno de problemas y ejercicios Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 1 2 3 4 13 14 25 26 36 37 44 45 46 57 58 59 65 76 77 78 89 104 105 106 116 121 124 125 2 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 FÍSICA II. DIAGRAMA CONCEPTUAL GENERAL Revisión de conceptos básicos CINEMÁTICA FÍSICA FÍSICA NEWTONIANA CAMPOS CENTRALES DINÁMICA GRAVITATORIO ELÉCTRICO RELATIVIDAD CLÁSICA MAGNÉTICO ELECTROMAGNÉTICO ECUACIONES DE MAXWELL MOVIMIENTO VIBRATORIO LUZ ÓPTICA GEOMÉTRICA MOVIMIENTO ONDULATORIO ÓPTICA FÍSICA SONIDO RELATIVIDAD GENERAL -EFECTO FOTOELÉCTRICO RADIACIÓN DEL CUERPO NEGRO ESPECTROS DISCONTÍNUOS RADIACTIVIDAD FÍSICA CUÁNTICA RELATIVIDAD ESPECIAL ESTRUCTURA DE LA MATERIA FÍSICA NUCLEAR Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 3 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 FII. UD.0. DC. CONCEPTOS BÁSICOS DE CINEMÁTICA Y DINÁMICA BASE MATEMÁTICA CÁLCULO VECTORIAL DERIVADAS INTEGRALES TRIGONOMETRÍA ANÁLISIS CINEMÁTICA ESTUDIO DE CAUSAS POSICIÓN VELOCIDAD MEDIA E INSTANTÁNEA ACELERACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA COMPONENTES INTRÍNSECAS DE a MRU, MRUA, MCU, MCUA DINÁMICA MOMENTO LINEAL 2ª LEY DE NEWTON PESO IMPULSO LINEAL IMPULSO LINEAL DINÁMICA DEL MCU 3ª LEY DE NEWTON ROZAMIENTO TRABAJO Y ENERGÍA RENDIMIENTO EC Y EP CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 4 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 FII. UD1. D.C. CAMPOS CENTRALES Concepto físico de campo Campo escalar Campo vectorial MATEMÁTICA ASOCIADA Representado mediante: Superficies y líneas equiescalares CIRCULACIÓN Representado mediante: Líneas de campo GRADIENTE NO CONSERVATIVOS POTENCIAL ESCALAR CONSERVATIVOS CENTRALES MAGNÉTICO NEWTONIANOS POTENCIAL ESCALAR V=V(x,y,z) GRAVITATORIO ELÉCTRICO C. JG CONSERVATIVO JG JG A = A( x, y, z ) = −∇V Partícula de prueba FUERZA JG JG CONSERVATIVA F = p '· A( x, y, z ) Adquiere energía potencial por efecto del campo. Es función del potencial. ∞ JG JJG ∞ JGJJG ∞ JJGJJG = p ' V = p ' A · dr = p ' Ep ∫ ∫ Adr = ∫ F ·dr p p E p = p 'V p La Fuerza Conservativa es el – gradiente de Ep JG JG JG JG JG F = p ' A = − p ' ∇V = −∇ p 'V = −∇E p Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 5 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 FII. UD1. CAMPOS CENTRALES Concepto físico de campo Diremos que en una región existe un campo cuando a cada punto de la misma se le puede asignar una propiedad física mensurable, una magnitud. Ej. Diferentes temperaturas en una habitación, diferente propiedades magnéticas de la región que rodea a un imán. -Cuando la magnitud que caracteriza al campo es independiente del tiempo, diremos que el campo es ESTACIONARIO. -Si La magnitud que caracteriza al campo toma el mismo valor en todos los puntos del espacio, diremos que el campo es UNIFORME. Ej. Presiones en un fluido. Campos escalares y campos vectoriales Los campos pueden clasificarse en escalares y vectoriales dependiendo de la magnitud que los define: Un campo escalar es aquel en el que en cada punto del espacio, la propiedad física que lo caracteriza queda perfectamente definida mediante un valor numérico. En otras palabras, existe una función escalar V=V(x,y,z), función del punto y del tiempo si el campo no es estacionario, que asigna a cada punto un valor de la magnitud física. Ej. Presiones, temperaturas, densidades, etc... Un campo vectorial es aquel en el que en cada punto del espacio, la propiedad física que lo caracteriza queda perfectamente determinada mediante un valor numérico, una dirección y un sentido. En otras palabras, existe una función vectorial A=A(x,y z), función del punto y del tiempo, si el campo no es estacionario, que asigna a cada punto un valor del campo. Ej. Gravitatorio, Eléctrico, Magnético, etc... Representación de los campos escalares Se usan fundamentalmente las superficies y líneas EQUIESCALARES Superficie equiescalar: Se define como el lugar geométrico de todos los puntos del espacio en los que la magnitud característica del campo toma el mismo valor. Matemáticamente V(x,y,z)=cte Líneas equiescalares: Son llas curvas obtenidas al intersecar las superficies equiescalares con un plano Ej. En el “mapa del tiempo”, las isobaras son líneas equiescalares, líneas que unen puntos de igual presión a una altura determinada, que es precisamente la altura del plano de intersección. Representación de los campos vectoriales Se usan fundamentalmente las líneas de campo. Línea de campo: Línea imaginaria tangente a la dirección del vector campo en cada punto del espacio. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 6 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Se representan de forma proporcional a la intensidad del campo, de forma que cuanto mayor sea el número de ellas por unidad de área, más intenso será el campo en la región. En realidad, dado que cada punto del espacio presenta un determinado valor del campo, el número de líneas de campo sería infinito, aunque sólo representamos algunas que consideramos significativas. Cuando en una región del espacio las líneas de campo son paralelas y equiespaciadas, representarán un campo vectorial uniforme. Gradiente de una función escalar JJJJJG Grad V Sea una región del espacio afectada por un campo escalar y sean V1 y V2 G sendas superficies V2 ur equiescalares tales que V1 <V2. P’2 P2 Si efectuamos un V desplazamiento entre ambas 1 G dr superficies en línea recta entre los puntos P1 P2 en primer P1 lugar y posterior -mente entre P1 P’2, tras completarlo, es obvio que la magnitud que origina el campo habrá cambiado una cantidad (V1-V2), pero sin embargo, no habrá cambiado la misma cantidad por unidad de longitud recorrida, ya que los recorridos efectuados son distintos. En concreto: ∆ ∆ (V − V ) (V − V ) P1 P2 = 1 2 ; P1 P2' = 1 2 P1 P2 P1 P2' ∆ ∆ y dado que P1 P2 < P1 P2' tendremos que P1 P2' < P1 P2 Queda claro en el ejemplo que la máxima variación de la función escalar V ( la que crea el campo) por unidad de longitud recorrida tiene lugar en dirección perpendicular a las superficies equiescalares. Si las superficies equiescalares analizadas estuviesen muy próximas, la variación de V sería V→V+dV es decir: (V+dV)-V=dV. De nuevo, la máxima variación de la función escalar V vendría dada en dirección perpendicular a las superficies equiescalares y dicha variación representa el módulo de un vector denominado “Gradiente de la función escalar V” de manera que : JJJJJG dV JJJJJG dV G = Grad V ; vectorialmente Grad V = ur dr dr En definitiva: El gradiente de una función escalar es un vector, de dirección perpendicular a las superficies equiescalares, de sentido el de los valores crecientes de la magnitud Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 7 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 que crea el campo y cuyo módulo es la máxima variación de dicha función por unidad de longitud recorrida Circulación de un vector JG JG Dada una region del espacio en la que existe un campo vectorial A = A( x, y , z ) , G consideremos una trayectoria L que une dos puntos del espacio B y D. Sea d r un elemento de longitud de dicha trayectoria: JG G JG Definimos la circulación elemental del vector A como el producto escalar dC = A·d r . JG Si el vector A toma diferentes valores en diferentes puntos del espacio y concretamente en diferentes puntos de la trayectoria, descompondremos la G JG misma en elementos de longitud d r de modo que A pueda considerarse constante en ellos, así: JJG JG JJG JG JJG JJG D JG JG CB → D = A1d r1 + A2 d r2 + ..... + AN d rN = ∫ Ad r B G JG Teniendo en cuenta las expresiones de A y d r en coordenadas cartesianas: JG G G G A = Ax i + Ay j + Az k G G G G d r = dxi + dy j + dzk Tendremos que : yD zD D G G G G G G xD CB → D = ∫ Ax i + Ay j + Az k · dxi + dy j + dzk = ∫ Ax dx + ∫ Ay dy + ∫ Az dz ( )( ) B xB yB zB Si la trayectoria es cerrada, la circulación a través de la misma se expresa como: JG G C = v∫ A·d r Cuando el campo vectorial es un campo de fuerzas, la circulación del mismo representa el trabajo realizado por dicha fuerza a lo largo de la trayectoria Campos conservativos JG JG Diremos que el campo A = A( x, y , z ) es conservativo si verifica: 1. La circulación del vector campo entre dos puntos es independiente de la trayectoria seguida entre ambos: Q JG G Q JG G ∫ Ad r = ∫ Ad r P ( L1 ) P(L ) 2 JG 2. La circulación del campo A a lo largo de una trayectoria cerrada es cero. JG G v∫ Ad r = 0 L Esta segunda propiedad es consecuencia directa de la primera y de las propiedades de la integral: Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 8 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 JG G Q JG G P JG G v∫ Ad r = ∫ Ad r + ∫ Ad r L P Q Por las propiedades de las intregrales definidas : Q P JG G JG G Ad r = − ∫ ∫ Ad r , luego : Q P JG G Q JG G Q JG G v∫ Ad r = ∫ Ad r − ∫ Ad r = 0 L P P Puede verificarse además que un campo vectorial constante en módulo dirección y sentido, es decir, un campo uniforme, es siempre un campo conservativo Potencial A cada uno de los puntos del espacio afectados por un campo conservativo asignamos una magnitud escalar, dependiente de la perturbación que crea el campo y del punto V=V(x,y,z) que denominamos POTENCIAL y que en el caso de los campos conservativos permite que la circulación entre dos puntos cualesquiera sea independiente de la trayectoria seguida entre ambos. La DIFERENCIA DE POTENCIAL entre un punto cualquiera P y un punto Q de referencia es igual a la circulación del vector campo de P a Q. Q JG G VP − VQ = ∫ Ad r P Para evitar trabajar con diferencias de potencial, ubicamos el punto de referencia en el infinito y asignamos a dicho punto potencial 0, con ello tendremos que : El POTENCIAL EN UN PUNTO P cualquiera del espacio es la circulación del vector campo desde el punto P al infinito. ∞ JG G VP = ∫ Ad r P Relación entre el vector campo y el potencial escalar Las superficies equiescalares asociadas a un potencial escalar, reciben el nombre de superficies EQUIPOTENCIALES Si elegimos dos puntos sobre una superficie equipotencial y una trayectoria que los conecte, podemos escribir: B JG G VC − VB = ∫ Ad r C Por definición, al estar B y C sobre una superficie equipotencial, se encuentran al mismo potencial, es decir VC=VB, luego: B JG G JG G JG G Ad r = 0 ⇒ Ad r = 0 ⇒ A ⊥ d r ∫ C es decir: El vector campo es siempre perpendicular a la superficie equipotencial. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 9 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Sabemos que: JJJJJG dV ∂V G ∂V G ∂V G JG GradV = G = i+ j+ k = ∇V ∂x ∂y ∂x dr JG G luego dV = ∇V ·d r Si integramos esta expresión entre los puntos I y S, situados en superficies equipotenciales distintas (Inferior y Superior), tendremos que: S S JG S JG G G · dV = ∇ V d r ⇒ V − V = S I ∫ ∫ ∫ ∇V ·d r (1) I I I por otra parte, por la definición de diferencia de potencial como circulación del vector campo: I JG G VS − VI = ∫ A·d r S luego: JG G VS − VI = − ∫ A·d r (2) S I y comparando las expresiones (1) y (2) tendremos que: S JG S JG G G JG JG ∇ V · d r = − ∫ ∫ A·d r ⇒ A = −∇V I I es decir: Un campo vectorial conservativo deriva de un potencial escalar y es igual al gradiente de dicho potencial cambiado de signo. Su sentido es pues. el de los potenciales DECRECIENTES. Campos Centrales Un campo central es un campo vectorial en el que cada una de las direcciones del vector campo pasa por un punto común O, llamado polo o centro del campo. El módulo del campo no dependerá estrictamente de la posición sino de la distancia r al centro del campo. Entre los campos centrales son de interés los denominados: Campos Newtonianos: Aquellos campos centrales en los que el módulo del campo varía según el inverso al cuadrado de la distancia al centro del campo. JG C JJG C A = 2 ; A = 2 ur r JG r Dado que el vector A ha de ser tangente a las líneas de campo, éstas han de ser obviamente radiales. Si la perturbación que crea el campo es positiva, entonces C>0 y las líneas de campo serán radiales y salientes; la perturbación será entonces un MANANTIAL de líneas de campo. Si la perturbación que crea el campo es negativa, C<0, las líneas de campo serán radiales y entrantes; la perturbación será entonces un SUMIDERO de líneas de campo. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 10 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Carácter conservativo de un campo central Para demostrar que un campo central es conservativo, no tenemos que hacer otra cosa más que calcular la circulación del vector campo en una trayectoria cerrada. C A dr dr B D E O Consideremos que la perturbación que crea el campo es positiva y consideremos que A JG C JJG es de carácter central y newtoniano ( A = 2 ur ).Calcularemos la circulación de B a D a r lo largo de dos caminos distintos: 1) BCD C JG G D JG G C CB → D = ∫ Ad r + ∫ Ad r = ∫ Adr cos 0 + 0 B C B C JJG ⎡1 1⎤ ⎡1 1⎤ ⎡ r −2+1 ⎤ C = −C ⎢ − ⎥ = C ⎢ − ⎥ Sust A : CB → D = ∫ 2 dr = C ⎢ ⎥ r ⎣ −2 + 1 ⎦ B ⎣ rC rB ⎦ ⎣ rB rC ⎦ B 2) BED E JG G D JG G D CB → D = ∫ Ad r + ∫ Ad r = 0 + ∫ Adr cos 0 C B E E D JJG ⎡1 1⎤ ⎡1 1⎤ ⎡ r −2+1 ⎤ C Sust A : CB → D = ∫ 2 dr = C ⎢ = −C ⎢ − ⎥ = C ⎢ − ⎥ ⎥ r ⎣ −2 + 1 ⎦ E ⎣ rD rE ⎦ ⎣ rE rD ⎦ E Y ambas circulaciones serán idénticas, ya que rB=rE y rC=rD. Pudiendo garantizarse además, que el resultado obtenido es idéntico para cualquier campo central, sea newtoniano o no. D Fuerzas conservativas. Energía Potencial Sea una región del espacio en la que existe un campo vectorial conservativo. Si introducimos en dicha región una partícula de prueba o partícula testigo, afectada de la misma propiedad que aquella que crea al campo, aparece sobre ella una fuerza. -Diremos que en dicha regiónJGexiste, además, un campo de fuerzas: JG F ( x, y, z ) = p ' A( x, y, z ) JG JG -Al ser A conservativo, F también será conservativo JG -El vector A , en estas condiciones, recibe el nombre de intensidad de campo y representa la fuerza que actúa sobre la unidad de magnitud activa en cada punto de la región afectada. -Como resultado de dicha fuerza, la partícula p’ se pone en movimiento de forma espontánea. Energéticamente ello es explicable diciendo que por efecto Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 11 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 del campo, p’ adquiere automáticamente una energía potencial y que se pone en movimiento al efecto de disminuirla. -Dicha energía potencial es función del potencial en el punto en el que se encuentra p’, de forma que: Ep=p’V→Ep es pues función de la posición. - De manera que: ⎛ ∞ JG G ⎞ ∞ JG G ' = p ' ⎜ ∫ Ad r ⎟ = ∫ p ' Ad r E p = pV ⎜ ⎟ ⎝p ⎠ p ∞ JG G de donde : E p = ∫ Fd r p -Es decir: La energía potencial de una partícula activa p’ en un campo JG conservativo en el punto P, es el trabajo realizado por la fuerza F desde el punto P al infinito. JG JG -Si tenemos en cuenta que A = −∇V tendremos que: JG JG JG JG ' JG F = p ' A = − p ' ∇V = −∇ pV = −∇E p es decir, la fuerza conservativa es el gradiente de la energía potencial cambiada de signo. -Si consideramos el desplazamiento de la magnitud testigo del punto D al punto E por efecto de la acción del campo, la diferencia de energías potenciales entre ambos puntos será: ⎛ E JG G ⎞ E ' JG G E JG G ' ' ' ' E pD − E pE = pV − pV = p ( V − V ) = p ⎜ ∫ Ad r ⎟ = ∫ p Ad r = ∫ Fd r = WD → E D E D E D ⎝D ⎠ D de donde concluimos : WD → E = −( E pE − E pD ) = −∆E p Lo que constituye el Teorema de la Energía Potencial. Principio de conservación de la Energía Mecánica Si reproducimos la situación del epígrafe anterior: WD→E=EpD-EpE , es decir, el campo realiza un trabajo que desemboca en la disminución de energía potencial de la partícula testigo. Por el Teorema de las fuerzas vivas, podemos afirmar que dicho trabajo se invierte en aumentar la energía cinética de la partícula, es decir: WD→E =∆Ec=EcE-EcD. Dado que el trabajo es el mismo en ambos casos, tendremos que: EpD - EpE = EcE - EcD → EpD + EcD= EpE + EcE Teniendo en cuenta que la suma de energías cinética y potencial es lo que conocemos como energía mecánica Em, podemos afirmar que en un sistema sometido a fuerzas conservativas, la energía mecánica se conserva. Efecto de las fuerzas no conservativas Sea una partícula p’ sobre la que actúan tanto fuerzas conservativas como no conservativas. Según el teorema de las fuerzas vivas, aplicable tanto en uno como en otro caso, tendremos que: W=Wc+Wnc=∆Ec Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 12 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Ahora bien, hemos demostrado en el epígrafe anterior que Wc=-∆Ep de donde podremos concluir que Wnc=∆Ec+∆Ep. si transformamos ligeramente la expresión anterior, tendremos que : ∆Ec=EcE-EcD , ∆Ep=EpE-EpD. y sumando ambas expresiones, tendremos: ∆Ec+∆Ep=(Ec+Ep)E-(Ec+Ep)D=EmE-EmD. De donde finalmente: Wnc=EmE-EmD Es decir: cuando sobre un sistema actúan fuerzas no conservativas, su energía mecánica NO se conserva; aumenta si el trabajo de las fuerzas no conservativas es positivo y disminuye si el trabajo de las fuerzas no conservativas es negativo. Momento de una fuerza con respecto a un punto fijo JG F O P G r Sea un punto P del Gespacio caracterizado por su vector de posición r y supongamos que durante un JG instante, actúa sobre el mismo una fuerza F . JJG JG Definimos: Momento M de una fuerza F respecto aJJun G punto G JG fijo O como el producto vectorial M = r × F Propiedades: Su módulo es M=rFsenα=Fh, donde h=rsenα se denomina “brazo de la fuerza” G JG Su dirección es perpendicular al plano formado por r y F . Su sentido está determinado por la regla de Maxwell Su unidad en el SI es el Nm que no equivale al Julio por tratarse de una magnitud vectorial JG Momento angular o cinético L de una partícula G Consideremos una partícula de masa m y velocidad v en la posición P del diagrama anterior. JG Definimos: Momento angular o cinético L de una partícula respecto a un punto fijo O cmo el productoGvectorial de su vector de posición y su vector momento JG G JG G lineal L = r × p = r × mv Conservación del momento angular Estudiemos la variación temporal del momento cinético de una partícula Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 13 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 JG G JG G JG G G d L d (r × p) d r JG G d p d r G G JG d r JG = = × p+r× ; Ahora bien : =v yv& p⇒ ×p=0 dt dt dt dt dt dt JG JG dL G d p Luego = r× . Aplicando la segunda ley de Newton : dt dt JG JG JG n JJG d p d L G JG JJG F = ∑ Fi = ⇒ = r×F = M dt dt i =1 Lo que nos permite llegar a 2 interesantes conclusiones: 1) La variación del momento angular de una partícula se debe al efecto de la fuerza resultante aplicada sobre ella (Th. del momento angular) JJG 2) La ausencia de momento resultante ( M = 0 ) implica la conservación del momento angular. OBSERVACIONES: -El momento angular se utiliza para describir movimientos curvilíneos y rotaciones, mientras que el momento lineal se utiliza para describir traslaciones -Cuando el momento angular de una partícula se conserva, su trayectoria es plana Momento angular de un sistema de partículas El momento angular total de un sistema de partículas será la suma vectorial de los momentos angulares de cada una de las partículas. La variación del momento angular de un sistema de partículas se debe al momento resultante de las fuerzas externas aplicadas sobre el mismo La ausencia de momento neto debido a fuerzas externas implica la conservación en módulo dirección y sentido del momento angular. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 14 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 FII. UD2. CAMPO GRAVITATORIO ÓRBITAS GALILEO LEYES DE KEPLER ÁREAS BRAHE PERÍODOS NEWTON GRAVITACIÓN UNIVERSAL SATÉLITES MAREAS LEYES CONSERVACIÓN CARACTERÍSTICAS CAMPO GRAVITATORIO VARIACIONES FUERZA GRAVITATORIA EP GRAVITATORIA POTENCIAL GRAVITATORIO VELOCIDAD DE ESCAPE ENERGÍA MECÁNICA ÓRBITAS ABIERTAS Y CERRADAS Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 15 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 FII. UD2. CAMPO GRAVITATORIO Desde el modelo geocéntrico a las leyes de Kepler Realizar un resumen cronológico de los descubrimientos y la evolución de los modelos de sistema solar. No se valorará la simple impresión de un documento de internet. Las leyes de Kepler Están basadas en el modelo heliocéntrico y en las observaciones tabuladas de Tycho Brahe. Primera ley o ley de las órbitas Los planetas, en su movimiento alrededor del sol describen órbitas planas, cerradas y elípticas, en uno de cuyos focos se encuentra el sol. Una elipse es una figura geométrica que tiene las siguientes características: • • • • • • Semieje mayor a Semieje menor b Semidistancia focal c La relación entre los semiejes es a2=b2+c2 La excentricidad se define como el cociente ε=c/a r1 es la distancia más cercana al foco (cuando θ=0) y r2 es la distancia más alejada del foco (cuando θ=π). Vemos en la figura que r2+r1=2a, y que r2-r1=2c Segunda ley o ley de las áreas El radio vector que une al sol y al planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. Esta ley significa que el movimiento de los planetas no es uniforme, presentando cambios de velocidad . dA La velocidad areolar / A(t ) = Área barrida es constante dt El punto de mayor proximidad al sol se denomina perihelio y el de mayor distancia afelio Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 16 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 La velocidad lineal del planeta es mayor cuanto más próximo se encuentra al perihelio. Tercera ley o ley de los períodos Para todos los planetas, la relación entre el cubo de la distancia media del planeta al sol y el cuadrado de su período es constante. R3 =K T2 De las Leyes de Kepler a la Gravitación Universal El estudio de la dinámica del sistema solar se debe a Newton, quien partió de las observaciones de Galileo, Brahe y Kepler. Sea un planeta de masa m en movimiento circular de radio R con período T alrededor del sol. Como sabemos, su aceleración centrípeta será: 2 v 2 ⎛ 2π R ⎞ 1 4π 2 R ac = =⎜ ⎟ · = R ⎝ T ⎠ R T2 tal aceleración ha de ser causada por una fuerza centrípeta tal que: 4π 2 R F = m·ac = m· 2 T Según la 3ª ley de Kepler, tenemos que: R3 K 1 =K⇒ 3 = 2 2 T R T y sustituyendo tal resultado en nuestro razonamiento m F = 4π 2 K · 2 R De manera que la fuerza centrípeta sobre el planeta es directamente proporcional a su masa e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia al sol. Newton supone entonces que 4π 2 K = Gms donde G es una constante de proporcionalidad y ms es la masa solar. Posteriormente generalizó estos resultados para cualesquiera dos cuerpos del universo, suponiendo que la fuerza gravitatoria de atracción que un cuerpo de masa m1 ejerce sobre otro de masa m2 a distancia r es: m m F = 4π 2 K . 22 = Gm1 22 r r Análogamente y por el principio de acción y reacción, el cuerpo de masa m2 ejerce una fuerza igual y de sentido opuesto sobre el de masa m1. De manera que la expresión que resume la ley de Gravitación Universal queda m ·m como: F = G 1 2 2 r “Dos cuerpos cualesquiera se atraen con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa” Observaciones: El tratamiento realizado es una simplificación, Newton hizo sus cálculos para órbitas elípticas. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 17 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Newton demostró además que cualquier cuerpo esférico se comporta como si toda su masa estuviese concentrada en su centro El valor de la constante G fue determinado 100 años más tarde por Cavendish, mediante una balanza de torsión. JG J m ·m JG En forma vectorial la ley queda como F = −G 1 2 2 ur donde el signo r menos se debe a que la fuerza es atractiva, haciendo que fuerza y vector de posición tengan signos opuestos. 2 G=6.67·10-11 Nm Kg 2 G no depende de los cuerpos considerados, no de su posición ni del estado de movimiento que presenten; es pues una constante universal que representa la fuerza atractiva entre dos cuerpos de masa 1Kg separados una distancia de 1m. Principio de superposición Dado un conjunto de partículas, la fuerza gravitatoria que experimenta cada una de ellas se debe a la suma vectorial de cada una de las fuerzas gravitatorias producidas por las partículas restantes. JJG n JJG FT = ∑ Fi i =1 Velocidad orbital. Satélites Se determina sencillamente teniendo en cuenta dos hechos: - La órbita es circular - Fcentrípeta=Fgravitatoria Así pues: Mm v2 GM G 2 =m ⇒v= r r r Observaciones: - M es la masa de la Tierra o del cuerpo sobre el que se orbita - v sólo depende de r, lo que indica dos cosas: v es independiente de la masa del cuerpo que orbita y además sólo una velocidad es posible en cada órbita Período de revolución. Satélites Por definición, el período de revolución T es el tiempo empleado en recorrer una órbita completa, es decir: 2π r GM v= y según vimos antes v = .Igualando : T r 2π r GM 4π 2 r 3 = ⇒T = T r GM Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 18 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Determinación de la aceleración de la luna Newton consideró a la luna como un cuerpo en caída libre. Anteriormente hemos calculado que la fuerza entre la Tierra y un cuerpo de masa m es: 4π 2 KT ) m ( F= RT2 siendo la aceleración con que dicho cuerpo cae sobre la superficie: 4π 2 KT F =g= m RT2 de la misma forma, la aceleración de la luna vendrá dada como: F 4π 2 K aL = = 2 T m RT − L Siendo RT-L el radio entre centros de ambos cuerpos (Tierra-Luna) Dividiendo ambas expresiones: aL R2 R 1 = 2T ; Newton conocía que : g = 9.81 m 2 y que T = s g RT − L RT − L 60 luego : aL = 2.7·10−13 m s2 Explicación de las mareas Ampliar conocimientos y elaborar un trabajo sobre el epígrafe, poniendo especial atención en detallar la acción sobre las mismas de la luna y el sol, explicar porqué la luna siendo un cuerpo más pequeño (con menos masa) ejerce una mayor influencia y explicar con gráficos el fenómeno de las mareas vivas y mareas muertas. La fuerza gravitatoria es una fuerza central Y lo es porque su dirección en un punto coincide con la dirección del vector de posición en dicho punto. En consecuencia: JJG G JG M = r × F = rFsen0 = 0 JG d L JJG = M = 0. El momento angular se c onserva dt La conservación del momento angular, al tratarse de una magnitud vectorial, significa como ya vimos que se conservan módulo, dirección y sentido. Dado que el momento angular es en todo momento perpendicular a la JG trayectoria, la conservación de la dirección de L significa de forma inmediata la conservación del plano perpendicular al mismo. Es decir, el plano de la trayectoria de un cuerpo bajo la acción de una fuerza central se mantiene constante (1ª Ley de Kepler) En cuanto a la conservación del módulo del momento angular, supongamos un planeta de masa m en órbita elíptica alrededor del sol; el módulo de su momento angular será: L=mωr2. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 19 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 ds r dα Dado que consideramos m=cte, si ω varía, habrá de variar en consecuencia r para mantener constante el valor de cómputo de L. Sea dα el ángulo barrido por el radio r en un intervalo de tiempo dt. Si este ángulo es muy pequeño, el área barrida por el radio puede considerarse como: 1 1 1 dα =ω dA = r.ds = r.r.dα = r 2 .ω.dt ya que dt 2 2 2 Finalmente tendremos que: dA 1 2 = r ω que será la velocidad instantánea de barrido de áreas dt 2 Dado que L=mωr2 =cte y m=cte, se tiene necesariamente que 1 dA ω r 2 = cte ⇒ ω r 2 = cte ⇒ = cte lo que nos sitúa exactamente en la 2ª Ley dt 2 de Kepler. Campo gravitatorio Como vimos en el tema precedente, la presencia de una masa en una región del espacio crea una perturbación en el mismo, lo que hace que al situar una segunda masa en la misma región, ésta se vea sometida a la acción de una fuerza que tiende a acercarla a la primera. Es precisamente dicha perturbación lo que denominamos Campo Gravitatorio. Formalmente: La intensidad de campo gravitatorio o simplemente el campo gravitatorio producido por la masa m1 en un punto del espacio P, es la fuerza ejercida por m1 JG JG F J Gm JG sobre la unidad de masa en P. g = = − 2 1 ur m2 r Observaciones: JJG ur es el unitario en la dirección de r JG g va dirigido hacia la masa que crea el campo, ya que F es atractiva JG g depende sólo de la posición JG N m ⎡g⎤ = ⎣ ⎦ Kg = s 2 Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 20 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Principio de superposición Sean N masas que se sitúan en una región del espacio, el campo creado por el conjunto de masas será la suma vectorial de los campos creados por cada una de ellas. JJG N JJG gT = ∑ g i i =1 Líneas de fuerza Como sabemos, las líneas de fuerza o líneas de campo son tangentes en cada punto al vector campo. -La densidad de líneas de fuerza es proporcional a la intensidad del campo Conforme nos alejamos de la masa que crea el campo, ésta (la intensidad) es más débil y las líneas aparecen más separadas. -Indican la trayectoria que seguiría una masa cualquiera abandonada a la acción del campo gravitatorio. - No pueden cortarse, ya que ello supondría la existencia de dos valores del campo en un punto. TIERRA Gravedad terrestre Como todo grave, la Tierra perturba el espacio a su alrededor creando un campo gravitatorio que denominamos campo gravitatorio terrestre. Cuando el cuerpo que sufre la acción del campo es pequeño en comparación con la masa de la Tierra denominamos PESO a la fuerza gravitatoria. La aceleración de la gravedad terrestre coincide con el módulo del vector M intensidad de campo. g = G 2T RT Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 21 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Variaciones de la gravedad en la superficie terrestre Se deben al hecho de que la Tierra no es perfectamente esférica sino que es un elipsoide de revolución. Su radio no es constante, aunque nosotros si lo consideraremos como tal para nuestros cálculos. Variaciones de la gravedad con la altura Sobre la superficie de la Tierra, sabemos que M MT g 0 = G 2T ; a altura h tendremos : g h = G 2 RT ( RT + h ) RT+h GM T RT gh = g0 ( RT + h ) GM T 2 RT2 y finalmente g h = gh 1 RT2 ⇒ = = 2 2 g 0 ( RT + h) ⎛ h ⎞ ⎜1 + ⎟ ⎝ RT ⎠ g0 ⎛ h ⎞ ⎜1 + ⎟ ⎝ RT ⎠ 2 Variaciones de la gravedad con la profundidad El valor de g a profundidad p será g p = G m donde m es la masa de la “esfera r2 activa” o “Tierra efectiva”. Cuando estamos sobre la superficie de la Tierra o en su interior a profundidad p nos afecta respectivamente una masa: M T = VT ρT ; m = Vr ρT Compu tan do volúmenes : 4 4 M T = π RT3 ρT ; m = π r 3 ρT 3 3 Sustituyendo los valores de MT y m, y efectuando la división gp/g0, operando y simplificando, es trivial llegar a : ⎛ R −p p ⎞ g = g0 T ≡ g = g0 ⎜1 − ⎟ RT ⎝ RT ⎠ lo que nos permite concluir que la gravedad disminuye a medida que profundizamos en el interior de la Tierra, llegando a ser 0 en el mismo centro de la misma, cuando la profundidad p coincide con el radio terrestre. Teniendo en cuenta el carácter vectorial de la misma, lo que explica el signo negativo de la gráfica, tendremos: Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 22 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 JG g R RT 0 La fuerza gravitatoria es conservativa Analizamos la fuerza gravitatoria con pequeños graves en la proximidad de la superficie terrestre. El trabajo realizado por la fuerza peso F=mg cuando el cuerpo asciende a cota h será h W=-mgh ya que fuerza y desplazamiento tienen sentidos opuestos. Análogamente, cuando el cuerpo desciende de nuevo a cota 0, W=mgh, ya que fuerza y mg↓ desplazamiento tienen ahora sentidos idénticos. El trabajo total en el ciclo analizado será: W=-mgh+mgh=0 1 2 3 Por lo tanto, la fuerza gravitatoria es conservativa y llevará asociada una energía potencial de forma que W=-∆Ep B JG G El trabajo realizado por una fuerza variable, será : WA→ B = ∫ F d r A Sustituyendo la fuerza en la expresión anterior por la fuerza gravitatoria y suponiendo que las masas m1 y m2 permanecen constantes, tendremos que: B B ⎛1 1⎞ mm ⎡1 ⎤ WA→ B = ∫ −G 1 2 2 dr = Gm1m2 ⎢ ⎥ ⇒ WA→ B = Gm1m2 ⎜ − ⎟ r ⎣r ⎦A ⎝ rB rA ⎠ A donde puede observarse que el trabajo calculado es independiente de la trayectoria seguida y sólo depende de las posiciones inicial y final. Energía potencial gravitatoria El trabajo calculado anteriormente WA→B=-∆Ep, luego: ⎛1 1⎞ WA' → B = Gm1m2 ⎜ − ⎟ = −∆E p = E p A − E pB (1) ⎝ rB rA ⎠ Si suponemos que el cuerpo se desplaza desde el punto A hasta un punto B situado en el infinito y donde la energía potencial será nula, tendremos que: Gm1m2 E pA = − Energía potencia l g ravitatoria en A rA Observaciones: La energía potencial en el infinito es nula La energía potencial es siempre negativa, lo que significa que es necesario suministrar energía para que un cuerpo escape a la atracción gravitatoria de otro. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 23 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Analizando la expresión (1), si los cuerpos se alejan, rB>rA→∆Ep>0, mientras que si se acercan rB<rA→∆Ep<0 Energía potencial gravitatoria terrestre Aplicando los resultados generales anteriores al sistema formado por la Tierra y un cuerpo cualquiera, tendremos que: Energía potencial de un cuerpo de masa m a distancia r del centro de la Tierra M m E p = −G T r Energía potencial de un cuerpo de masa m a altura h sobre la superficie de la Tierra M m E p = −G T RT + h Si h<<RT aproximamos a la expresión M E p = − mgh donde g = G 2T RT Observaciones: La energía potencial es 0 cuando el cuerpo se encuentra en la superficie de la Tierra. La energía potencial es cero en puntos muy alejados de la superficie terrestre La energía potencial es una característica propia de la altura a la que se encuentran los cuerpos La energía potencial no varía en desplazamientos horizontales ya que la fuerza peso no realiza trabajo en ellos. El trabajo realizado por la fuerza peso es igual a la disminución de Energía potencial. Energía mecánica Supongamos que un cuerpo que se encuentra a distancia r del centro de la Tierra gira en M una órbita estacionaria con una velocidad v = G T ; su energía cinética será en esa r 1 1 M m circunstancia: Ec = mv 2 = G T y su energía mecánica podrá calcularse como: r 2 2 M m 1 M m 1 M m Em = Ec + E p = G T − G T = − G T r r r 2 2 que será la energía que deba tener un cuerpo orbital, por ejemplo un satélite para mantener una órbita estacionaria alrededor de la Tierra. -Es negativa debido a la elección del origen de energías potenciales -Al ser la fuerza gravitatoria conservativa, Em se mantiene constante, lo que significa que si lanzamos un cuerpo con masa m y velocidad v desde la superficie de la Tierra, éste se detendrá a una altura h donde la Ep final iguale a la suma de Ep y Ec iniciales. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 24 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 1 M m ET = − G T 2 r E p = −G Ec = MT m r 1 2 mv 2 Velocidad de escape Es la velocidad mínima que debe poseer un cuerpo para escapar de un campo gravitatorio. Corresponde a aquella velocidad para la que su energía cinética iguala en valor absoluto a la energía potencial, haciendo, teniendo en cuenta que ésta última tiene signo negativo, que la energía total del cuerpo sea nula. Sie el campo gravitatorio es producido por una masa M a distancia r, tendremos que : 2GM T 1 2 Mm 2GM mv = G ⇒v= y para la Tierra v = r r RT 2 Órbitas abiertas y cerradas El hecho de que un cuerpo describa una órbita abierta o cerrada depende de ET ; como 1 Mm sabemos: ET = EC + EP = mv 2 − G y en base a ello podemos distinguir 3 casos: r 2 Ep>Ec (en valor absoluto)→ET<0. El cuerpo no puede escapar de la atracción gravitatoria y describe una órbita cerrada. Ep=Ec (en valor absoluto)→ET=0. La velocidad del cuerpo en órbita iguala la velocidad de escape y el cuerpo no queda retenido en órbita, describiendo una parábola. Ep<Ec (en valor absoluto)→ET>0. La velocidad del cuerpo es superior a la velocidad de escape y el cuerpo evita la atracción gravitatoria, describiendo una hipérbola. Potencial gravitatorio Es una magnitud escalar que se define como la energía potencial por unidad de masa. Si suponemos que el campo gravitatorio es creado por una distribución de masas: E Gmi V = p = ∑− ; [V ] = J Kg m0 ri i De acuerdo con esta definición y con los conocimientos sobre campos que ya tenemos, si en un determinado punto del espacio existe una masa m, ésta origina una perturbación en el espacio circundante, de forma que si otra masa m’ se coloca en el punto P donde el m potencial gravitatorio vale V = −G , adquirirá una EP=m’V. Dado que EP y el trabajo r de las fuerzas del campo pueden ser relacionados: W = EP (1) − EP (2) = m' (V1 − V2 ) Si asignamos un valor “potencial cero” al infinito, W=m’V1 será el trabajo necesario para trasladar una masa unidad desde el punto 1 al infinito. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 25 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Así pues: El potencial gravitatorio en un punto es el trabajo necesario a realizar por las fuerzas del campo para trasladar una masa unidad desde dicho punto al infinito. Superficies equipotenciales Se definen como el lugar geométrico de todos los puntos del espacio que tienen el mismo potencial. -Para una masa m son superficies esféricas concéntricas -Las líneas de fuerza son perpendiculares a las superficies equipotenciales -El sentido del campo es hacia los potenciales decrecientes. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 26 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 FII. UD.3. CAMPO ELÉCTRICO CONDUCTORES CARGA ELÉCTRICA MATERIALES DIELÉCTRICOS LEY DE COULOMB FUERZA ELÉCTRICA CARACTERÍSTICAS CAMPO ELÉCTRICO CONSERVATIVIDAD POTENCIAL ELÉCTRICO DIPOLO ELÉCTRICO EP ELÉCTRICA FLUJO ELÉCTRICO SUPERFICIE GAUSSIANA TH. DE GAUSS CONDENSADOR CONDUCTORES METÁLICOS EN EQUILIBRIO TH. GAUSS EN DISTRIBUCIONES DE CARGA SIMÉTRICAS CONDUCTOR IRREGULAR POLARIZACIÓN CAPACIDAD Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 27 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 FII UD3 CAMPO ELÉCTRICO Origen y Recorrido de los fenómenos eléctricos (OPCIONAL) Leer y ampliar sobre la historia del conocimiento de los fenómenos eléctricos, realizando una cronología de la misma en dos folios como extensión máxima (ENTREGAR) Tipos y características de la carga eléctrica F Existen dos tipos de carga eléctrica: positiva o carga del protón y negativa o carga del electrón: • Cargas del mismo signo interactúan repulsivamente. • Cargas de signo contrario interactúan atractivamente. La medida fundamental de carga es la del protón o lo que es lo mismo la del electrón en valor absoluto. En el S.I se adopta una medida mucho mayor, el Culombio (C). e=1,6*10 -19C • La carga está cuantizada; cualquier cantidad de carga es múltiplo entero de e. • El cuerpo es NEUTRO cuando contiene el mismo número de cargas positivas y negativas. • • Si tiene exceso de e- se dirá cargado negativamente. • Si tiene defecto de e- se dirá cargado positivamente. Principio de conservación de la carga: La carga total de un sistema aislado es la suma algebraica de todas las cargas individuales y permanece constante. • La carga es invariante en cualquier sistema de referencia. Conductores y dieléctricos F Un conductor eléctrico es una sustancia que permite el desplazamiento de cargas eléctricas entre zonas. Un dieléctrico o aislante eléctrico es una sustancia que no permite el desplazamiento de cargas eléctricas en su interior. Son conductores los metales, las disoluciones acuosas de electrolitos y los gases • ionizados, unos por tener electrones libres y otros por tener iones móviles. Ley de Coulomb F La fuerza de interacción entre dos cargas puntuales es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa: F=K Q.q r2 Observaciones: – K es la constante de Coulomb y depende del medio dónde se encuentren las cargas. – K= – 1 / ε = Constante dieléctrica absoluta del medio o permitividad absoluta 4πε ε = ε 0 .ε r / = ε r = Constante dieléctrica relativa al medio (adimensional) ε 0 = Constante dieléctrica del vacio C2 N ⋅ m2 – ε 0 = 8,8542 ⋅10−12 – En el vacío, – K= – La ley de Coulomb sólo puede aplicarse a cargas estáticas o de movimiento lento. εr = 1 ⇒ ε = ε0 1 m2 = 9 ⋅109 N ⋅ 2 4πε 0 C en el vacío Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 28 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Campo eléctrico. Intensidad de campo eléctrico r E F Definición: Denominamos campo eléctrico a la perturbación creada en su espacio circundante por una carga eléctrica Q o un conjunto o distribución de cargas. • El campo eléctrico es detectable mediante la introducción en dicho espacio circundante de una carga de prueba o testigo q' sobre la que el campo eléctrico ejerce una fuerza. • El campo eléctrico es un campo de fuerzas. • Si el campo eléctrico no depende de t, se denomina campo electrostático. • La perturbación en cada punto del espacio se mide mediante el vector intensidad de campo eléctrico r E , definido como la fuerza ejercida sobre la mitad de carga eléctrica positiva en el • r r F E= q r r E es al campo eléctrico lo que g al campo gravitatorio. • Si la carga creadora del campo es +Q, aislada y en reposo: punto de análisis: donde r ur Así pues: Dado que r Q⋅q r F = K ⋅ 2 ⋅ ur r tiene dirección radial y saliente a Q r r F Q r E= = K ⋅ 2 ⋅ ur q r r r r r r ur = r = , tendremos que: |r | r r Q r E =k⋅ 3 r r Expresión que demuestra que el campo eléctrico existe y es independiente de la carga de prueba q. • La unidad de campo eléctrico en el S.I. Es el N/C Líneas de campo eléctricos R Definición: Son lineas imaginarias tangentes a la dirección del vector r E en cada punto del espacio • Representan la trayectoria que seguiría una carga puntual en dicho campo. • El número de líneas por unidad de superficie perpendicular a las mismas es una medida de la • Para una carga puntual aislada sería siempre radiales, salientes si Q es positiva y entrantes si intensidad del campo. Q es negativa. • • Esto se debe a que consideramos siempre que la carga testigo es positiva. Están dirigidas en el sentido de los potenciales DECRECIENTES (Igual que en el campo gravitatorio). Principio de superposición F La intensidad de campo eléctrico ur E en un punto, debida a la acción de varias cargas es la suma vectorial de las intensidades de campo debidas a cada una de ellas. n ur ur ur ur ur E = E1 + E 2 + ... + E n = ∑ E1 (Idéntico al campo gravitatorio) i =1 Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 29 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Carácter conservativo ur E Dado que R es proporcional a r-2, el campo eléctrico es central y newtoniano y por lo tanto conservativo, caracterizado por 2 propiedades fundamentales: 1) 2) ∫ B A ( L1) Ñ∫ L uur r B E ⋅d r = ∫ A ( L 2) uur r E ⋅d r (Independencia de la trayectoria) ur r E ⋅dr = 0 (Circulación cerrada =0) (Idéntico a campo gravitatorio) Concepto de potencial eléctrico Dado que ur E F es conservativo, podemos diferir en cada punto del espacio una función escalar V=V(x,y,z) que denominamos potencial eléctrico y que depende del punto donde fijemos el origen de potenciales. Definición: Definimos la diferencia de potencial eléctrico entre los puntos A y B, siendo B el origen de potenciales como el trabajo realizado por las fuerzas del campo para trasladar la unidad de carga positiva de A a B: r r B uu VA − VB = ∫ E.d r A Si tomamos ∞ uur r B = ∞ ⇒ VB = 0 ⇒ VA = ∫ E ⋅d r * A Definición: Definimos el potencial eléctrico en un punto como el trabajo realizado por las fuerzas del campo para trasladar la unidad de carga positiva dada desde dicho punto al infinito. - La unidad de potencial eléctrico en el S.I. es el VOLTO. - En electricidad, la diferencia de potencial es denominado habitualmente VOLTAJE o TENSIÓN. - V =∫ ∞ P Aplicando *, el potencial eléctrico creado por Q (puntual) es un punto P a distancia r será: ∞ ∞ uur r ∞ KQ 1 0 E ⋅d r = ∫ E ⋅dr ⋅ cos 0 = ∫ dr = KQ − = P r ² r P P - [ Invertimos la regla de Barrow para evitar el s igno negativo ] = KQ 1r − ∞1 = KQr El potencial sólo depende de la carga que crea el campo y de la distancia a la misma. El potencial existe independientemente de la existencia de carga testigo. Si Q < 0 ⇒ V < 0 Superficies equipotenciales R Son el lugar geométrico de aquellos puntos que presentan igual valor del potencial: - Son esferas concéntricas centradas en la carga que crea el campo - Si las cortamos con un plano, obtenemos las líneas equipotenciales, circunferencias concéntricas centradas en la carga. - Dado que las líneas de campo son radiales, estas serán perpendiculares tanto a líneas como a superficies equipotenciales. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 30 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 ur F r r ur E un campo conservativo deriva de un potencial escalar, de manera que: E = −∇V Intensidad de campo E en función del potencial eléctrico Al ser Pero teniendo en cuenta que ur dv r E = − .ur dr ur E es radial y que r es la distancia al punto donde calculamos el potencial Si igualamos dimensionalmente en esta última expresión, tendremos que: Principio de superposición para el potencial 1 N V =1 C m F El potencial eléctrico cuando en un punto por una agrupación de cargas puntuales es igual a la suma n algebraica de los potenciales creados por cada una de las cargas: V = ∑ Vi i =1 Energía potencial eléctrica. Trabajo F Cuando una carga eléctrica se sitúa en una región del espacio afectada por el campo eléctrico creado por otra, adquiere, por efecto de dicho campo una Ep eléctrica. Al objeto de disminuir dicha Ep la carga testigo se pone en movimiento. Observación: Se trata de un discurso idéntico al campo gravitatorio. La E p eléctrica de una carga testigo q en el campo creado por otra carga Q, será el producto de Qq q por el potencial en el punto de colocación: Ep = q.V = K Ahora bien: r V = ∫ E ⋅ dr ∞ P luego r r r E p = q ∫ E ⋅ dr = ∫ F ⋅ dr ∞ ∞ P P Luego: La E p eléctrica será el trabajo a realizar por las fuerzas del campo para desplazar la carga testigo q desde el punto de cálculo P al infinito. Entre 2 puntos cualesquiera A y B tendremos que: B uur r B ur r B ur r EpA − EpB = qVA − qVB = q(VA − VB ) = q ∫ E.d r = ∫ qE.d r = ∫ F .d r =WA → B A A A El trabajo realizado por la fuerza del campo para desplazar una carga testigo q entre los puntos A y B es igual al producto de q por la diferencia de potencia entre ambos puntos. Observaciones • • • Si WA→ B > 0 ⇒ El desplazamiento de q es espontáneo, ya que es realizado por las fuerzas del campo. Si WA→ B < 0 ⇒ El desplazamiento es originado por una fuerza externa al campo y de sentido opuesto a la fuerza del campo q (VA − VB ) = WA→ B ⇒ 1J = 1C ⋅1V Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 31 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Energía potencial eléctrica para un sistema de cargas F Dado un conjunto de cargas Q1...Q2 separadas por distancias rij, la Ep eléctrica del sistema será la suma de las Ep entre cada par de cargas: n Ep = K ⋅ ∑ Qi ⋅ Q j i , j =1 Dipolo eléctrico ri , j L Definición: Definimos un dipolo eléctrico como un sistema formado por dos cargas puntuales de igual magnitud y signo opuesto (+Q,-Q) separadas una distancia pequeña en comparación con aquella a la que estudiamosrsus efectos • d es un vector unitario en la dirección que une ambas cargas y orientación (-)--->(+) Definición: Definimos el momento dipolar eléctrico como r r p = Q⋅d sus unidades en el S.I. Serán C·m Observación: Cuando un dipolo se sitúa en un campo eléctrico ur E ambas cargas (+) y (-) se ven afectadas por la acción del campo, mediante fuerzas de igual magnitud y sentido opuesto. Aparecen pues un par de fuerzas que hacen que el dipolo se oriente, es decir, que gire para ur alinear su momento dipolar paralelo y con el mismo sentido que Definición: Definimos al momento del par de fuerzas como: r r τ = p× E E . τ = tau Observaciones: • La carga total del dipolo es 0, pero ni su campo eléctrico ni su potencial son nulos. • Si calculamos el potencial a distancia r del centro del dipolo en la línea que une ambas cargas, tendremos: Q Q Q⋅d de V = V+ + V− = [Principio − * superposición] = k =k 2 r − (d / 2)2 r − (d / 2) r + (d / 2) • Si el punto de cálculo se encuentra muy alejado del dipolo: r>>>d/2 luego: • V =k Q⋅d r2 La intensidad del campo será entonces: r dV r 2 KQd r E=− ur = ur ** dr r3 Teniendo en cuenta (*) y (**) campo y potencial del dipolo decrecen más rápidamente con r que los de la carga puntual. -Q r d r p ur E +Q Líneas equipotenciales Líneas equipotenciales + Líneas de fuerza Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 32 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Flujo eléctrico. Teorema de Gauss F Los conceptos que se introducen en este apartado no son conceptos “palpables”, sino modelos y artificios físicos y matemáticos que nos permiten aproximarnos de una forma intuitiva a la relación entre carga y campo eléctrico. • Supondremos que de la misma forma que de una fuente luminosa fluye luz, de las cargas eléctricas fluye el flujo eléctrico. Definición: Definimos el flujo a través de una superficie y denotamos como Φ (Phi) como el número de líneas de campo eléctrico que atraviesan dicha superficie. • • r Si la superficie es plana y su vector superficie (siempre perpendicular a la misma) es s y siendo ur E un campo eléctrico uniforme: Φ ur r = E ⋅ s = E ⋅ s ⋅ cos θ Si la superficie no es plana y/o el campo eléctrico no es uniforme, dividiremos la superficie en superficies elementales r ur d s planas, donde E sea uniforme: ur r d Φ = E ⋅ d s será entonces el FLUJO ELEMENTAL. ur r El flujo total a través de la superficie, se obtendrá mediante integración: Φ = ∫∫ E ⋅ d s s • • Siempre consideraremos positivo el flujo saliente y negativo el entrante. El flujo neto será la suma algebraica de ambos. ur ur F N N E = ⇒ [ Φ ] = ⋅ m² q C C Teorema de Gauss F Denominaremos superficie gaussiana a cualquier superficie imaginaria cerrada que encierre a la carga objeto de análisis • De manera trivial, dentro o fuera de cualquier superficie irregular podremos definir siempre una • Para simplificar, consideraremos siempre carga positiva. superficie gaussiana esférica y centrada en la carga. r r Φ = ∫∫ E ⋅ ds =* ∫∫ E ⋅ ds = ∫∫ Q Q Q Q ⋅ ds ** = ⋅ ∫∫ ds = ⋅ 4π r 2 = 2 2 2 S S S 4πε r S 4πε 0 r 4πε 0 r ε0 0 ur r * Al elegir una superficie esférica ur y serr E radial, ds , como es perpendicular a la superficie, será también radial, con lo que E y ds formarán ángulo 0. cos 0=1 ** La superficie de la esfera es 4Πr2 • El resultado muestra que el flujo es independiente del radio de la superficie gaussiana elegida. Consecuencia: El flujo eléctrico es directamente proporcional a la carga contenida en el interior de la superficie gaussiana e independiente de la forma o tamaño de la misma, así como de la posición de la carga en su interior. • Si en el interior de la superficie tenemos varias cargas: Φ = Φ1 + Φ 2 + ... + Φ n = Q Q1 Q2 + + ... + n ε0 ε0 ε0 n Y la expresión generalizada del Teorema de Gauss quedará como: Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez Φ=Ò ∫∫ E ⋅ ds = s ∑Q i =1 i ε0 33 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Conductores metálicos en equilibrio electrostático. Propiedades L Definición: Un conductor metálico se encuentra en equilibrio electrostático cuando sus cargas libres se encuentran en reposo. Sus propiedades fundamentales son las siguientes: 1. El campo ureléctrico en su interior es nulo. Si existe E , éste aceleraría las cargas y el conductor dejaría de estar en equilibrio. 2. Si el conductor está cargado, las cargas se sitúa en la superficie. r Dado que E = 0 en su interior, tomamos una superficie gaussiana interior a la superficie y Φ = 0 r Q Φ = ∫∫ E ⋅ ds = = 0 ⇒ Q = 0 s ε0 3. Un conductor metálico en equilibrio es una superficie y un volumen equipotencial. Sea A un punto interior y B un punto exterior del conductor: B B r r r VA − VB = ∫ Eint ⋅ dr = ∫ 0 ⋅ dr = 0 ⇒ VA = VB A 4. A En un conductor metálico de forma irregular, la carga se acumula en las formas de mayor curvatura, particularmente en salientes o puntas. TRABAJO: Investigar los conceptos “viento eléctrico” y “poder de las puntas” y su relación con el pararayos ur 5. El vector E en el interior de un conductor metálico cargado es perpendicular a la superficie del mismo Ello es una consecuencia directa de que la superficie del conductor sea equipotencial. 6. Un conductor metálico hueco aísla su interior de toda influencia electrostática y por lo tanto actúa como una pantalla eléctrica. (Jaula de Faraday) Este extremo es demostrable mediante la aplicación del Teorema de Gauss a dos superficies gaussianas, una muy próxima a la superficie exterior Φ = 0 y otra muy próxima a la superficie interior con Φ = 0 , luego en ambos casos: Φ =0⇒Q =0 Teorema de Gauss en distribuciones de carga de simetría simple F Definición: Definimos las densidades volumétricas, superficiales y lineales de carga como la cantidad promedio de carga por unidad de volumen, superficie o longitud, sin detrimento de que a nivel microscópico la carga se encuentra cuantizada. p= QC QC Q C ;σ = 2 ; λ = 3 V m s m l m Observaciones: Habitualmente, el estudio de distribuciones continuas de carga, conlleva el uso de herramientas matemáticas avanzadas, pero si la distribución tiene suficiente simetría, siempre podemos ur “encerrarla” en una superficie gaussiana que nos permita determinar E de una forma simple. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 34 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Esfera conductora cargada a) Puntos exteriores a distancia r (r>R / R=Radio de la esfera) ➢ Tomamos una esfera gaussiana concéntrica con la esfera cargada que pasa por el punto P ur Er será en todo punto ⊥ a la esfera gaussiana • E = cte por simetría • ➢ Aplicamos Teorema de Gauss: r r Q r r Q Q E ⋅ ds = ⇒ E ⋅ ds ⋅ cos 0o = ⇒ E ⋅ Ò ds = Ò ∫∫ s Ò ∫∫ ∫∫ s s ε0 ε0 ε0 Dado que la superficie gaussiana es esférica: Ò ∫∫ ds = 4π r 2 s E= Y finalmente: ➢ ⇒ E ⋅ ds ⋅ cos 0o Q ε0 Q 4π r 2ε 0 Calculamos el potencial en un punto P arbitrario: V =∫ ∞ P r r ∞ r ∞ r E ⋅ dr = ∫ E ⋅ dr ⋅ cos 0o = ∫ P P Luego: Q Q dr = 2 4πε 0 r 4πε 0 V = ∫ ∞ P dr Q =− 2 r 4πε 0 ∞ Q 1 r = + 4πε P 0 1 1 r − ∞ Q 4πε 0 r La coincidencia de resultados con lo obtenido para cargas puntuales nos permite concluir que: Una esfera metálica cargada uniformmente en su superficie se comporta en puntos exteriores a la misma como sí toda la carga estuviese concentrada en su CENTRO. b) Puntos situados en la superficie de la esfera (r=R) ➢ Usamos los resultados obtenidos anteriormente con r=R E= c) Q 4πε 0 R 2 V= Q 4πε 0 R Puntos situados en el interior de la esfera (r<R) r E=0 ➢ La esfera es un conductor metálico en equilibrio, luego en su interior: ➢ La esfera es un conductor metálico en equilibrio y por lo tanto se comporta como un volumen equipotencial, luego: V= Q 4πε 0 R Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 35 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Hilo rectilíneo cargado (Objetivo: Campo y potencial en punto P) Consideramos un hilo infinitamente largo rectilíneo y cargado con densidad lineal de carga λ – Tomamos 2 elementos de carga dQ en posiciones simétricas sobre un punto P arbitrario – Las contribuciones elementales de campo r dE pueden descomponerse en componentes transversales y radiales (las primeras van en la dirección del hilo y se anularán, las segundas van en dirección perpendicular y se sumarán). – Para aplicar el Teorema de Gauss elegimos como superficie gaussiana el cilindro de base de radio r y altura l, con eje coincidente con el hilo conductor. Aplicando el Teorema de Gauss, tendremos: Ò ∫∫ S r r r r E ⋅ ds = ∫∫ E ⋅ ds + ∫∫ S B1 S B2 r r r r E ⋅ ds + ∫∫ E ⋅ ds ⇒ r r λ ⋅l ⇒ E ⋅ ds ⋅ cos 0o = ε0 Y finalmente: [ SL r r r r = ∫∫ E ⋅ ds = 0 = ∫∫ E ⋅ ds ⇒ SB 2 SB1 ] Obsérvese r que en P or elrcontrario r B1 y B2 E ⊥ dsr en L E P ds Carga encerrada en el cilindro gaus s iano Luego: ∫∫ S B1 ds = λ ⋅l λl ⇒ E ⋅ 2π rl = ε0 ε0 Área lateral del cilindro λ E= 2πε 0 r Si calculamos el potencial en P r r V = ∫ E ⋅ dr = ∫ E ⋅ dr ⋅ cos 0o = ∫ ∞ ∞ P P ∞ λ λ ∞1 λ dr = dr = (ln ∞ − ln r ) = ∞ ∫ 2π rε 0 2πε 0 P r 2πε 0 P Dado que V no puede ser infinito en P, hemos de elegir otro punto de referencia para el cálculo de potenciales. Según * éste no puede ser otro más que r=1(m), de manera que ln1=0 y obtengamos: V= −λ ln r 2πε 0 Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 36 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Lámina plana infinita cargada uniformemente (Objetivo: campo y potencial a distancia r) – Supongamos una lámina plana e infinita cargada con una densidad superficial uniforme de carga σ. – Como en el caso anterior, tomamos una superficie gaussiana cilíndrica y separamos las componentes lateral y bases del cálculo de la integral de superficie del Teorema de Gauss. r r r r E ⋅ ds = ∫∫ E ⋅ ds + ∫∫ r r r r E ⋅ ds + E Ò ∫∫ S ∫∫SL ⋅ ds S B1 S B2 r r r r En la superficie lateral E ⊥ ds , mientras que en las bases E P ds , luego razonando como venimos haciendo ∫∫ S B1 Luego: 2 ES B = r r E ⋅ ds + ∫∫ r r σ SB E ⋅ ds = 2 ∫∫ E ⋅ ds ⋅ cos 0o = 2 E ∫∫ ds = S B2 SB SB ε0 C arga encerrada por la superficie gaussiana σ SB σ ⇒ E= ε0 2ε 0 Como podemos observar en la expresión obtenida, no hay dependencia de la distancia al plano, luego podemos afirmar que: El campo creado por un conductor plano infinito es uniforme a ambos lados del mismo Procedemos entonces al cálculo del potencial: r r σ σ ∞ V = ∫ E ⋅ dr = ∫ E ⋅ dr ⋅ cos 0o = dr = [ r] r ∫ 2ε 0 P 2ε 0 P P ∞ Es decir: V= ∞ ∞ σ ( ∞ − r) 2ε 0 - De nuevo encontramos que si tomamos el origen de potenciales en el infinito, todos los puntos del espacio serían equipotenciales y no existiría campo. Optamos entonces por tomar el origen de potenciales en el propio plano de la lámina y nos quedará: 0 r r σ −σ r V = ∫ E ⋅ dr = ( 0 − r) ⇒ V = 2 ε 2 ε 0 0 P Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 37 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 FII. UD.4. CAMPO MAGNÉTICO MAGNETISMO NATURAL EXPERIENCIA DE ÖERSTED RELACIÓN ENTRE ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO CORRIENTE ELÉCTRICA ACCIONES CAMPO MAGNÉTICO FLUJO MAGNÉTICO CARGA PUNTUAL LEY DE AMPERE CONDUCTOR RECTILÍNEO CIRCULACIÓN CORRIENTES PARALELAS ESPIRA SOLENOIDE MATERIALES DIAMAGNÉTICOS PARAMAGNÉTICOS Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez TOROIDE FERROMAGNÉTICOS 38 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 FII UD4 CAMPO MAGNÉTICO Experiencia de Oersted F Es una experiencia que pone de manifiesto la relación intrínseca entre electricidad y magnetismo, presentando la orientación de una aguja imantada perpendicularmente a la circulación de la corriente eléctrica. – Fue completada muy poco tiempo después por Ampère, al descubrir que una bobina por la que circula una corriente se comporta como un imán. – Ampère explicó el fenómeno como debido a la existencia de unas corrientes microscópicas moleculares y cerradas, las corrientes amperianas. Campo magnético. Vector inducción magnética o densidad de flujo B F Definición: Denominamos campo magnético a la perturbación creada en una región del espacio por la presencia de una fuente magnética. – Puede ponerse de manifiesto mediante una aguja imantada o magnetómetro. – Se representa mediante el vector B que recibe el nombre de vector inducción magnética o flujo magnético. – Puede representarse mediante “líneas de inducción” similares a las líneas de campo en el campo eléctrico. – – – Son cerradas, salen del N y llegan al S. B es tangente a la línea de inducción en cada punto. A mayor densidad de líneas de inducción, mayor intensidad de campo. Acción del campo magnético sobre una carga puntual móvil F Se observa experimentalmente que cuando una carga puntual F penetra en un campo magnético de inducción B Fm=q v × B / ∣Fm∣=q⋅v⋅B⋅sen aparece sobre ella una fuerza: Donde: q es la magnitud de la carga v es la velocidad de la carga es el ángulo B v , Observaciones: es al plano formado por v F – – y B El sentido viene determinado por la regla de Maxwell, si q es positiva e inverso si q es negativa – Si – Si – Si la partícula no se desvía ya que F =0 v∥B es máxima B F v ⊥ F v ⊥ B ⇒∣Fm∣=qvB ⇒ B= m lo que permite definir la unidad de inducción magnética. q⋅v Definición: Definimos el TESLA como el valor de la inducción magnética en un punto, tal que, al pasar una carga de 1C con velocidad 1m/s perpendicularmente al campo magnético, se ve sometida a una fuerza de 1N. 1T= 1N 1C⋅1 – m s = 1N 1N = C 1A⋅1m 1 ⋅1m s Debido al valor enorme de la carga 1C, suele usarse otra unidad, no perteneciente al S.I. que denominamos GAUSS, verificándola: 1G=10-4T. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 39 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Observaciones: Fm ⊥ v – Al ser la fuerza magnética no realiza trabajo. – Un campo magnético no puede frenar partículas cargadas en movimiento. – Si una partícula se mueve en una región donde coexisten un campo eléctrico y uno magnético se verá sometida a una fuerza total. =q⋅E q⋅ v × v × F B =q⋅ E B que denominamos FUERZA DE LORENTZ Movimiento de una carga puntual en un campo magnético uniforme F Sea q una partícula de masa m y carga q que penetra perpendicularmente . B Fm ⊥ v , actúa sobre q sin modificar su Ec (no realiza trabajo) en un campo Dado que y por esta perpendicularidad, actúa sobre q cambiando su dirección y obligándole a describir un movimiento circular uniforme de velocidad v. B ⊥ al papel y s aliente s e repres enta como x s i es entrante – El radio R de la circunferencia descrita puede calcularse mediante la 2ª ley de Newton. Fmagnética = Fcentrípeta v2 , de donde, despejando R: R m⋅v 2 m⋅v ∣p∣ R= = = q⋅v⋅B q⋅B q⋅∣B∣ q⋅v⋅B = m – El módulo de la velocidad angular será: v v q⋅B = = = R m⋅v / q⋅B m Observaciones: – – – – es independiente de la velocidad de la partícula depende de la relación q/m de la partícula Todas las partículas que tengan idéntica relación q/m girarán en el campo magnético con la misma velocidad angular, cuando describan órbitas con radios distintos. La frecuencia del movimiento será: = – q⋅B = 2 2m Conocida como FRECUENCIA DE CICLOTRÓN Se puede despejar la relación q/m como: q / m= 2 2 ⋅ v = = = B 2 ⋅B B B⋅R Observaciones: Si el vector velocidad de la carga forma con B un ángulo distinto de 0o o 90o puede dividirse en dos componentes; una perpendicular al campo, que origina una fuerza magnética y obliga a la partícula a describir una trayectoria circular y otra paralela al campo, que no origina fuerza magnética pero que “resta eficacia” a la componente perpendicular para confinar a la partícula. – Como consecuencia la trayectoria de la partícula es una hélice, de eje paralelo al campo – El paso de la hélice (avance perpendicular al movimiento de rotación) será: d =v ⋅T =v⋅cos ⋅T / T = período siendo el radio de la órbita: R= m⋅v ⊥ m⋅ v⋅sen = q⋅B q⋅B Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 40 B FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Inducción magnética producida por cargas y corrientes eléctricas – F Carga eléctrica en movimiento: Como se comprende de la experiencia de Oersted, una carga en movimiento produce un campo magnético. La inducción magnética en P será: B= 0 v × r ⋅q⋅ 3 4 r NO LO DEMOSTRAMOS de dónde: – – r es el vector de posición de P 0 es la permeabilidad magnética del vacío. T⋅m 0=4⋅10− 7 – A – Si la carga eléctrica se mueve en un medio de permeabilidad magnética será ésta la que =0⋅r = permeabilidad magnética relativa al medio aparezca en la expresión anterior. – Elemento de corriente Un elemento de corriente de longitud por una corriente de intensidad I d l de un conductor de cualquier geometría, en el vacío y recorrido crea una inducción magnética en d l ×r d B = 0 ⋅I⋅ 3 4 r P a distancia r . NO LO DEMOSTRAMOS Expresión que constituye la 2ª ley de LAPLACE – Corriente rectilínea e infinita Las líneas de inducción creadas por este elemento de corriente se determinan mediante la “regla de la mano derecha”: Rodeamos al conductor con la mano, de modo que el pulgar apunte en el sentido de la corriente. El giro de los restantes dedos nos marca el sentido de las líneas de inducción. • B en cada punto es tangente a la línea de inducción que pasa por el mismo • Cada elemento dl creará en P un formado por el conductor y Observar: + d d =r⋅sen ⇒ r = sen d tg = ⇒l=d⋅cotg l d ⋅d Derivando: dl=− 2 X sen Dado que B dB perpendicular al plano d r , vector de posición de P. de todos los d B , teniendo en • será la suma vectorial cuenta que todos éstos tendrán idéntica dirección y sentido para un P determinados. • Aplicando la 2ª ley de Laplace: dB= o⋅I⋅dl⋅r⋅sen 0⋅I⋅dl⋅sen = 4 r3 4 r2 dl X y r + ⋅I d⋅sen ⋅d ⋅I sen ⋅d dB=− 0 ⋅ 2 =− 0 ⋅ 2 4 d ⋅sen 4 d Sustituyendo la expresión hallada para 3 es la única variable, si queremos conocer la contribución de todo el conductor, tendremos que integrar entre y 0≡− ∞ ,∞ . Así pues: B=− 0⋅I 0 0⋅I 0⋅I 0⋅I o⋅I⋅2 0 sen ⋅d =− ⋅[− cos ]= ⋅[cos 0− cos ]= ⋅[11]= ∫ 4 d 4d 4 d 2 d 4d Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 41 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 y finalmente, B= 0⋅I 2 d ---> Ley de BIOT-SAVART Expresión que se ha demostrado para un conductor infinito, pero que puede aproximarse para un conductor finito dónde la distancia perpendicular al mismo sea despreciable frente a su longitud. Circulación de B . Ley de Ampère Hemos visto que una corriente rectilínea infinita crea, a una distancia B= inducción magnética de módulo 0⋅I 2 d d perpendicular al conductor una que sólo depende de d y que será constante a lo largo de la circunferencia L. Para calcular su circulación a lo largo de L tomamos un elemento de d l ∥ B. ∮L B⋅d l =∮L B⋅dl⋅cos0º =∮L B⋅dl longitud de circunferencia Dado que B es constante. ⋅I ∮L B⋅dl= B∮l dl=B⋅2 d = 2 0 d ⋅2 d =0⋅I Observaciones: I – La circulación de B es proporcional a – Es además independiente de la trayectoria, – ∮L B⋅d l ≠0 ⇒ B e independiente de d. NO ES CONSERVATIVO, – Al no ser B conservativo, NO EXISTE POTENCIAL ESCALAR MAGNÉTICO. – Si tomamos varias corrientes I 1, I 2, ... I n enlazadas por una trayectoria cualquiera tendremos: n ∮ B⋅d l =0⋅∑ I 1 ---> LEY DE AMPÈRE i=1 Inducción (campo magnético) creado por un solenoide largo F Solenoide: Conductor enrollado en forma de hélice, de forma que si el hilo es muy fino y las vueltas muy apretadas, puede considerarse como un conjunto de N espiras planas y paralelas de raíz R, recorridas por la misma intensidad. Espira: Circuito plano recorrido por una intensidad I que presenta dos caras, una norte de la que salen las líneas de inducción y una sur a la que llegan las mismas al plano de la espira. Líneas de inducción en la espira. Polos de la espira dependiendo de la circulación de la corriente. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 42 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 • B en el solenoide será la suma de contribuciones de cada espira • Ello significa que el campo en el interior tiende a reforzarse, mientras que resulta ser débil en puntos exteriores y alejados del eje. • En solenoides de longitud grande L≃10R el campo magnético en el interior es prácticamente constante en módulo, dirección y sentido. • ACDEA longitud h del Aplicamos la ley de Ampère al recorrido B para calcular en un tramo de solenoide. • El camino cerrado ACDEA enlaza las que circula una intensidad • D espiras por I. N' I: La corriente total enlazada por el recorrido será C N' E A ∮BCDEA B⋅d l =∫A 1 B⋅d l ∫C 2 B⋅d l ∫D 3 B⋅d l ∫E 4 B⋅d l =0⋅N '⋅I • – (2) y (4) son nulas porque – (3) es nula porque ≈0 . B Tendremos en consecuencia que: Dado que B B ⊥ d l . C h ∮ACDEA B⋅d e =∫A B⋅d e =∫0 B⋅d e =0⋅N '⋅I es constante en el interior del solenoide: ⋅N '⋅I ∣ B∣⋅h=0⋅N '⋅I ⇒∣ B∣= 0 =0⋅n⋅I h N' Donde n= es el número de espiras por unidad de longitud del solenoide. h Observaciones: – – – B en el solenoide largo sólo depende de la intensidad circulante y del nº de espiras por unidad de longitud. B es independiente tanto del radio como de la longitud del solenoide. El resultado puede expresarse en función de la longitud total y nº total de espiras del solenoide: B= 0⋅N⋅I L Acción de un campo magnético sobre una corriente eléctrica Consideremos un elemento de longitud d l que se desplazan cargas con velocidad v = de un conductor delgado en un campo magnético d l dt . Tendremos: I= Sabemos que la fuerza elemental sobre un elemento de carga es: y haciendo uso de *: =I d l × dF B F B , en el * dq dq dq⋅v = ⇒ I= ⇒ I⋅d l =dq⋅v dt d l /v d l =dq v × B =dq v × dF B ---> 1ª Ley de Laplace Obviamente la fuerza total sobre el conductor será la integral de todas las fuerzas elementales: =I ∫ d l × F B S Y para el caso de un conductor rectilíneo de longitud L en un campo magnético B constante: =I L× F B 1ª LEY DE LAPLACE Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 43 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Flujo magnético. R Definimos un flujo magnético elemental como el número de líneas de inducción magnética atraviesan una superficie d s . que d = B⋅d s =B⋅ds⋅cos – La unidad de flujo magnético en el S.I. es el Weber (wb) – Si =0⇒ d =B⋅ds ⇒ B= B d ds 1T= 1wb 2 1m es decir: “la inducción magnética en un punto es el número de líneas de inducción que atraviesan la unidad de superficie colocada perpendicularmente en dicho punto”. – El flujo total se obtiene integrando los flujos elementales. Si la superficie es cerrada, al ser cerradas las líneas de inducción se tendrá: =∯S B⋅d s =0 =entrante − saliente=0 LEY DE GAUSS DEL MAGNETISMO Acción entre corrientes paralelas. Definición de Amperio F Consideremos la situación del gráfico. L1 crea sobre L2 L2 está recorrido por una corriente un campo magnético el mismo una fuerza: I2 F21=I 2 L2× B2 B 1= 0 ⋅I 1 2 d luego actuará sobre de manera que: I ⋅I ∣F21∣=I 2⋅L 2⋅B1= 0 ⋅ 1 2⋅L2 2 d 0 I 1⋅I 2 ⋅ ⋅L1 2 d F 12 F 21 0 I 1⋅I 2 Ambas fuerzas son distintas, pero iguales por unidad de longitud ya que: = = ⋅ L1 L2 2 d Análogamente si consideramos la acción de L2 tendremos ∣F12∣= Ello nos permite enunciar una definición alternativa de Amperio: “Un amperio es la intensidad de corriente que circulando por dos conductores rectilíneas de longitud indefinida y sección despreciable, situados en el vacío y a distancia de 1 metro produce sobre cada conductor una fuerza de atracción o repulsión de 2⋅10− 7 N / m “ Observaciones: – Los conductores se atraen si están recorridos por corriente del mismo signo. – Los conductores se repelen si están recorridos por corriente de distinto signo Corrientes Microscópicas. Materiales para/dia/ferro-magnéticos F Leer detenidamente los apartados 11.1 y 11.2 de las páginas 160 y 161 del libro de texto. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 44 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Comportamiento de una partícula cargada en campos eléctrico y magnético 1. Una partícula cargada penetra en un campo eléctrico perpendicularmente al campo: - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - La curvatura de la trayectoria depende de la relación q/m de la partícula +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 2. Una partícula cargada penetra en un campo magnético perpendicularmente al campo. En nuestro caso, el campo magnético se dirige al interior del papel: La partícula queda confinada describiendo circunferencias en sentido HORARIO La partícula queda confinada describiendo circunferencias en sentido ANTIHORARIO 3. Una partícula cargada penetra en una región donde coexisten un campo eléctrico y uno magnético perpendiculares entre si: - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - La partícula describe una HÉLICE en sentido HORARIO La partícula describe una HÉLICE en sentido ANTIHORARIO +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 45 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 ECUACIONES DE MAXWELL 1 Parámetros presentes Los parámetros que intervienen en la formulación de las ecuaciones de Maxwell son los siguientes: • - Campo eléctrico existente en el espacio, creado por las cargas. • - Campo dieléctrico que resume los efectos eléctricos de la materia. • - Campo magnético existente en el espacio, creado por las corrientes. • - Campo magnético que resume los efectos magnéticos de la materia. • - Densidad de cargas existentes en el espacio. • - Densidad de corriente, mide el flujo de cargas por unidad de tiempo y superficie • • - Permitividad eléctrica, característica de los materiales dieléctricos. - Permeabilidad magnética, característica de los materiales paramagnéticos. 2 Significado físico Cuando Maxwell resumió la teoría electromagnética de su época en sus famosas ecuaciones recopiló las siguientes: Ley de Gauss, que se reduce a la Ley de Coulomb para cargas puntuales. no tiene nombre especial y expresa la inexistencia de monopolos magnéticos en la naturaleza, es decir, esta es la explicación de que al romper un imán obtengamos dos imanes, y no dos medios imanes. expresión diferencial de la Ley de Faraday. Ley de Ampère. Sin embargo encontró que esta última ecuación, juntamente con la ley de Faraday conducían a un resultado que violaba el principio de conservación de la carga, por lo que decidió modificarla para que no violase este principio, dándole la siguiente forma: que ahora se conoce como ley de Ampère modificada. El término introducido recibe el nombre de corriente de desplazamiento. Sin embargo estas cinco ecuaciones no son suficientes para resumir todo el conocimiento de la electrodinámica clásica, nos hace falta una ecuación más, la fuerza de Lorentz: Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 46 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 FII. UD.5. INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA EXPERIENCIAS DE HENRY AUTOINDUCCIÓN LEY DE FARADAY fem INDUCIDA INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA GENERADOR CC LEY DE LENZ APLICACION FUNDAMENTAL: PRODUCCIÓN ENERGÍA ELÉCTRICA ALTERNADOR Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 47 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 FII. UD.5. INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA La inducción electromagnética es la producción de corrientes eléctricas por campos magnéticos variables con el tiempo. El descubrimiento por Faraday y Henry de este fenómeno introdujo una cierta simetría en el mundo del electromagnetismo. Maxwell consiguió reunir en una sola teoría los conocimientos básicos sobre la electricidad y el magnetismo. Su teoría electromagnética predijo, antes de ser observadas experimentalmente, la existencia de ondas electromagnéticas. Hertz comprobó su existencia e inició para la humanidad la era de las telecomunicaciones. El descubrimiento, debido a Oersted, de que una corriente eléctrica produce un campo magnético estimuló la imaginación de los físicos de la época y multiplicó el número de experimentos en busca de relaciones nuevas entre la electricidad y el magnetismo. En ese ambiente científico pronto surgiría la idea inversa de producir corrientes eléctricas mediante campos magnéticos. Algunos físicos famosos y otros menos conocidos estuvieron cerca de demostrar experimentalmente que también la naturaleza apostaba por tan atractiva idea. Pero fue Faraday el primero en precisar en qué condiciones podía ser observado semejante fenómeno. A las corrientes eléctricas producidas mediante campos magnéticos Faraday las llamó corrientes inducidas. Desde entonces al fenómeno consistente en generar campos eléctricos a partir de campos magnéticos variables se denomina inducción electromagnética. La inducción electromagnética constituye una pieza destacada en ese sistema de relaciones mutuas entre electricidad y magnetismo que se conoce con el nombre de electromagnetismo. Pero, además, se han desarrollado un sin número de aplicaciones prácticas de este fenómeno físico. El transformador que se emplea para conectar una calculadora a la red, la dinamo de una bicicleta o el alternador de una gran central hidroeléctrica son sólo algunos ejemplos que muestran la deuda que la sociedad actual tiene contraída con ese modesto encuadernador convertido, más tarde, en físico experimental que fue Michael Faraday. Las experiencias de Faraday Las experiencias que llevaron a Faraday al descubrimiento de la inducción electromagnética pueden ser agrupadas en dos categorías: experiencias con corrientes y experiencias con imanes. En primer lugar preparó dos solenoides, uno arrollado sobre el otro, pero aislados eléctricamente entre sí. Uno de ellos lo conectó a una pila y el otro a un galvanómetro y observó cómo cuando accionaba el interruptor del primer circuito la aguja del galvanómetro del segundo circuito se desplazaba, volviendo a cero tras unos instantes. Sólo al abrir y al cerrar el interruptor el galvanómetro detectaba el paso de una corriente que desaparecía con el tiempo. Además, la aguja se desplazaba en sentidos opuestos en uno y otro caso. En el segundo grupo de experiencias Faraday utilizó un imán recto y una bobina conectada a un galvanómetro. Al introducir bruscamente el imán en la bobina observó una desviación en la aguja, desviación que desaparecía si el imán permanecía inmóvil en Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 48 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 el interior de la bobina. Cuando el imán era retirado la aguja del galvanómetro se desplazaba de nuevo, pero esta vez en sentido contrario. Cuando repetía todo el proceso completo la aguja oscilaba de uno a otro lado y su desplazamiento era tanto mayor cuanto más rápido era el movimiento del imán entrando y saliendo en el interior de la bobina. Lo mismo sucedía cuando mantenía quieto el imán y movía la bobina sobre él. La representación del campo magnético en forma de líneas de fuerza permitió a Faraday encontrar una explicación intuitiva para este tipo de fenómenos. Para que se produjera una corriente inducida en la bobina era necesario que las líneas de fuerza producidas por el imán fueran cortadas por el hilo conductor de la bobina como consecuencia del movimiento de uno u otro cuerpo. En el primer grupo de experiencias, las líneas de fuerza, al aparecer y desaparecer junto con la corriente debida a la pila, producían el mismo tipo de efectos. Las experiencias anteriores a las de Faraday, al no tener en cuenta los aspectos dinámicos, o de cambio con el tiempo, de esta clase de fenómenos, no pudieron detectar este tipo de corrientes que aparecen en un circuito eléctrico sin que exista dentro del propio circuito ninguna pila que las genere. LA NOCIÓN DE FLUJO MAGNÉTICO Flujo magnético La representación de la influencia magnética de un imán o de una corriente eléctrica en el espacio que les rodea mediante líneas de fuerza fue ideada por Faraday y aplicada en la interpretación de la mayor parte de sus experimentos sobre electromagnetismo. Mediante este tipo de imágenes Faraday compensaba su escasa preparación matemática, apoyándose así su enorme habilidad gráfica y su no inferior intuición científica. La noción de flujo magnético recoge esa tradición iniciada por Faraday de representar los campos mediante líneas de fuerza, pero añade, además, un significado matemático. Cuando se observa, con la ayuda de limaduras de hierro, el campo magnético creado por un imán recto, se aprecia que, en los polos, las líneas de fuerza están más próximas y que se separan al alejarse de ellos. Dado que la intensidad del campo magnético B disminuye con la distancia a los polos, parece razonable relacionar ambos hechos y establecer por convenio una proporcionalidad directa entre la intensidad del campo B y la cantidad de líneas de fuerza que atraviesan una superficie de referencia unidad. Cuanto más apretadas están las líneas en una región, tanto más intenso es el campo en dicha región. El número de líneas de fuerza del campo B que atraviesa una superficie unidad depende de cómo esté orientada tal superficie con respectó a la dirección de aquéllas. Así, para un conjunto de líneas de fuerza dado, el número de puntos de intersección o de corte con la superficie unidad será máximo para una orientación perpendicular y nulo para una orientación paralela. El número de líneas de fuerza del campo B que atraviesa perpendicularmente una superficie constituye entonces una forma de expresar el valor de la intensidad de dicho campo. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 49 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Se define el flujo del campo magnético B a través de una superficie, y se representa por la letra griega Φ, como el número total de líneas de fuerza que atraviesan tal superficie. En términos matemáticos, para un campo magnético constante y una superficie plana de área S, el flujo magnético se expresa en la forma: Φ = B · S · cos (12.1) siendo el ángulo que forman las líneas de fuerza (el vector B) con la perpendicular a la superficie. Dicha ecuación recoge, mediante el cos , el hecho de que el flujo varíe con la orientación de la superficie respecto del campo B y también que su valor dependa del área S de la superficie atravesada. Para = 0º (intersección perpendicular) el flujo es máximo e igual a B · S; para = 90º (intersección paralela) el flujo es nulo. La idea de flujo se corresponde entonces con la de «cantidad» de campo magnético que atraviesa una superficie determinada. En el Sistema Internacional se expresa en wéber (Wb). Un wéber es el flujo magnético que, al atravesar un circuito de una sola espira produce en la misma una fuerza electromotriz de 1 volt si se anula dicho flujo en 1 segundo por crecimiento uniforme. La ley de Faraday-Henry Independientemente de Faraday, Joseph Henry, en los Estados Unidos, había observado que un campo magnético variable produce en un circuito próximo una corriente eléctrica. Los resultados concordantes de las experiencias de ambos físicos pueden resumirse en un enunciado que se conoce como ley de Faraday-Henry: La fuerza electromotriz inducida en un circuito es proporcional a la rapidez con la que varía el flujo magnético que lo atraviesa. O en forma matemática: siendo ε la fuerza electromotriz inducida y ∆Φ la variación de flujo magnético que se produce en el intervalo de tiempo ∆t. De acuerdo con esta ecuación, la magnitud de f.e.m. inducida coincide con lo que varía el flujo magnético por unidad de tiempo. La presencia de la fuerza electromotriz ε en la ley de Faraday-Henry en lugar de la intensidad de corriente (ambas son proporcionales entre sí), resalta una característica de la inducción, a saber, su capacidad para sustituir a un generador, es decir, para producir los mismos efectos que éste en un circuito eléctrico. Por su parte, el signo negativo recoge el hecho, obser,vado experimentalmente por Faraday y Henry, de que aumentos (∆Φ > 0) y disminuciones (∆Φ < 0) de flujo magnético producen corrientes inducidas de sentidos opuestos. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 50 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Si no hay variación con el tiempo del flujo magnético que atraviesa un circuito, el fenómeno de la inducción electromagnética no se presenta. Tal circunstancia explica los fracasos de aquellos físicos contemporáneos de Faraday que pretendieron conseguir corrientes inducidas en situaciones estáticas, o de reposo, del circuito respecto del imán o viceversa. Cuando la ley de Faraday-Henry se aplica a una bobina formada por N espiras iguales toma la forma para una sola espira en la bobina. El sentido de las corrientes inducidas Aunque la ley de Faraday-Henry, a través de su signo negativo, establece una diferencia entre las corrientes inducidas por un aumento del flujo magnético y las que resultan de una disminución de dicha magnitud, no explica este fenómeno. Lenz (1904-1965), un físico alemán que investigó el electromagnetismo en Rusia al mismo tiempo que Faraday y Henry, propuso la siguiente explicación del sentido de circulación de las corrientes inducidas que se conoce como ley de Lenz: Las corrientes que se inducen en un circuito se producen en un sentido tal que con sus efectos magnéticos tienden a oponerse a la causa que las originó. Así, cuando el polo norte de un imán se aproxima a una espira, la corriente inducida circulará en un sentido tal que la cara enfrentada al polo norte del imán sea también Norte, con lo que ejercerá una acción magnética repulsiva sobre el imán, la cual es preciso vencer para que se siga manteniendo el fenómeno de la inducción. Inversamente, si el polo norte del imán se aleja de la espira, la corriente inducida ha de ser tal que genere un polo Sur que se oponga a la separación de ambos. Sólo manteniendo el movimiento relativo entre espira e imán persistirán las corrientes inducidas, de modo que si se detiene el proceso de acercamiento o de separación cesarían aquéllas y, por tanto, la fuerza magnética entre el imán y la espira desaparecería. La ley de Lenz, que explica el sentido de las corrientes inducidas, puede ser a su vez explicada por un principio más general, el principio de la conservación de la energía. La producción de una corriente eléctrica requiere un consumo de energía y la acción de una fuerza desplazando su punto de aplicación supone la realización de un trabajo. En los fenómenos de inducción electromagnética es el trabajo realizado en contra de las fuerzas magnéticas que aparecen entre espira e imán el que suministra la energía necesaria para mantener la corriente inducida. Si no hay desplazamiento, el trabajo es nulo, no se transfiere energía al sistema y las corrientes inducidas no pueden aparecer. Análogamente, si éstas no se opusieran a la acción magnética del imán, no habría trabajo exterior, ni por tanto cesión de energía al sistema. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 51 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 LEY DE FARADAY- HENRY Aplicación de la ley de Faraday-Henry y del concepto de flujo magnético Una espira circular de 20 cm de diámetro gira en un campo magnético uniforme de 5 T de intensidad a razón de 120 vueltas por minuto. Determinar: a) El flujo magnético que atraviesa la espira cuando su plano es perpendicular al campo y cuando forma un ángulo de 30º con la dirección del campo magnético. b) El valor de la f.e.m. media inducida en la espira cuando pasa de la primera a la segunda posición. a) La expresión del flujo que atraviesa una espira circular en un campo magnético uniforme viene dada por. siendo B la intensidad del campo magnético, S el área limitada por la espira, R su radio y el ángulo que forma la perpendicular al plano de la espira con la dirección del campo. En la primera posición el ángulo 1 = 0º y por lo tanto: En la segunda posición el ángulo 2 = 90º - 30º = 60º y entonces: b) De acuerdo con la ley de Faraday-Henry, la f.e.m. media inducida en una espira en un intervalo de tiempo t viene dada por: siendo ∆t el intervalo de tiempo que transcurre entre una y otra posición. Dado que el movimiento de rotación es uniforme, se cumple la relación: que permite el cálculo de ∆t. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 52 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 resulta: Sustituyendo el valor de ∆Φ y de ∆t en la ley de Faraday-Henry resulta finalmente: Producción de una corriente alterna La corriente alterna se caracteriza porque su sentido cambia alternativamente con el tiempo. Ello es debido a que el generador que la produce invierte periódicamente sus dos polos eléctricos, convirtiendo el positivo en negativo y viceversa, muchas veces por segundo. La ley de Faraday-Henry establece que se induce una fuerza electromotriz (f.e.m.) ε en un circuito eléctrico siempre que varíe el flujo magnético Φ que lo atraviesa. Pero de acuerdo con la definición de flujo magnético (ecuación 12.1), éste puede variar porque varíe el área S limitada por el conductor, porque varíe la intensidad del campo magnético B o porque varíe la orientación entre ambos dada por el ángulo . En las primeras experiencias de Faraday las corrientes inducidas se conseguían variando el campo magnético B; no obstante, es posible provocar el fenómeno de la inducción sin desplazar el imán ni modificar la corriente que pasa por la bobina, haciendo girar ésta en torno a un eje dentro del campo magnético debido a un imán. En tal caso el flujo magnético varía porque varía el ángulo . Utilizando el tipo de razonamiento de Faraday, podría decirse que la bobina al rotar corta las líneas de fuerza del campo magnético del imán y ello da lugar a la corriente inducida. En una bobina de una sola espira la fuerza electromotriz bobina desde la posición paralela ( = 90º) a la posición perpendicular ( = 0º) puede calcularse a partir de la ley de Faraday-Henry, en la forma: Como el flujo Φ inicial es cero (cos 90º = 0) y el final es B · S (cos 0º = 1), la variación ∆Φ o diferencia entre ambos es igual al producto B · S. Considerando el instante inicial igual a cero, resulta ∆t = t- 0 = t, siendo t el tiempo correspondiente al instante final después de un cuarto de vuelta. De este modo se obtiene el resultado anterior. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 53 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Si se hace rotar la espira uniformemente, ese movimiento de rotación periódico da lugar a una variación también periódica del flujo magnético o, en otros términos, la cantidad de líneas de fuerza que es cortada por la espira en cada segundo toma valores iguales a intervalos iguales de tiempo. La f.e.m. inducida en la espira varía entonces periódicamente con la orientación y con el tiempo, pasando de ser positiva a ser negativa, y viceversa, de una forma alternativa. Se ha generado una f.e.m. alterna cuya representación gráfica, en función del tiempo, tiene la forma de una línea sinusoidal. El alternador Es el nombre que recibe el generador de corriente alterna. Se basa en la producción de una fuerza electromotriz alterna mediante el fenómeno de inducción electromagnética. El imán que genera el campo magnético se denomina inductor y la bobina en la que se induce la fuerza electromotriz recibe el nombre de inducido. Los dos extremos de hilo conductor del inducido se conectan a unos anillos colectores que giran junto con la bobina. Las escobillas, que suelen ser de grafito, están en contacto permanente, mediante fricción, con los anillos colectores y transmiten la tensión eléctrica producida a los bornes del generador en donde puede conectarse a un circuito exterior. Por lo general, la bobina del inducido se monta sobre un núcleo de hierro. La elevada permeabilidad magnética de este material hace que el campo magnético que atraviesa la bobina aumente; ello significa que las líneas de fuerza se aproximan entre sí aumentando el flujo magnético y, consiguientemente, el valor máximo de la f.e.m. inducida. Un efecto semejante se consigue aumentando el número de espiras del inducido. En los grandes alternadores, el inducido está fijo y es el inductor el que se mueve, de modo que en este caso no son necesarios los anillos colectores ni las escobillas. Aunque la inducción electromagnética depende del movimiento relativo entre el campo magnético y el conductor, con este procedimiento se consigue salvar algunos inconvenientes relacionados con el paso de corrientes elevadas por el colector y las escobillas. Por lo general, en los alternadores comerciales el campo magnético es producido por un electroimán y no por un imán natural; en tales casos el inductor se denomina también excitador, pues es una corriente eléctrica la que excita la producción del campo magnético externo. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 54 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Los alternadores son los elementos esenciales en las centrales eléctricas. En ellos se genera una muy alta tensión eléctrica que se transporta a través de una red de tendidos eléctricos y es transformada en estaciones intermedias para llegar finalmente hasta los enchufes domésticos con un valor eficaz de 220 V. La frecuencia de oscilación de esta tensión alterna es en Europa de 50 Hz, lo que equivale a 50 ciclos por segundo. La dinamo Puede ser considerada como una modificación del alternador que permite generar corrientes continuas. Para lograr que la corriente que circula por la bobina tenga un único sentido, se han de invertir las conexiones justo en el instante en el que la f.e.m. cambia de signo. Ello se consigue sustituyendo los anillos colectores por un cilindro metálico compuesto de dos mitades aisladas entre sí o delgas y conectadas cada una a un extremo de hilo conductor de la bobina. Esa pieza se denomina conmutador porque cambia o conmuta en cada media vuelta la polaridad del generador, de tal forma que la tensión que llega a los bornes a través de las escobillas tiene siempre el mismo signo y al conectarlo al circuito exterior produce una corriente continua. En las dinamos sencillas la tensión producida, aunque tiene siempre el mismo signo, no mantiene un mismo valor, sino que varía de una forma ondulada o pulsante. Sin embargo, es posible conseguir una f.e.m. prácticamente constante introduciendo un número suficiente de bobinas, dividiendo otras tantas veces el anillo colector y añadiendo los correspondientes pares de escobillas. Por este procedimiento la ondulación de la tensión, que es pronunciada en una dinamo sencilla, se reduce a un ligero rizado despreciable. Las bicicletas utilizan la dinamo para producir luz a partir del movimiento. Tratándose por lo general de una dinamo sencilla, puede observarse cómo a baja velocidad la intensidad luminosa aumenta y disminuye alternativamente a un ritmo que depende de la velocidad. Cuando ésta es suficiente, la rapidez de la oscilación unida a la inercia del sistema hace que la intensidad luminosa de la lámpara se mantenga prácticamente constante. Este efecto es semejante al que se consigue al aumentar el número de bobinas, de delgas y de escobillas. La dinamo es una máquina reversible que puede actuar como motor si se le aplica a través de las escobillas una corriente continua de intensidad conveniente. En el primer caso, funcionando como dinamo, la máquina transforma energía mecánica en energía eléctrica; en el segundo transforma energía eléctrica en movimiento. EL FUNDAMENTO DEL TRANSFORMADOR Inducción mutua y autoinducción Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 55 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 En sus primeras experiencias sobre el fenómeno de la inducción electromagnética Faraday no empleó imanes, sino dos bobinas arrolladas una sobre la otra y aisladas eléctricamente. Cuando variaba la intensidad de corriente que circulaba por una de ellas, se generaba una corriente inducida en la otra. Este es, en esencia, el fenómeno de la inducción mutua, en el cual el campo magnético es producido no por un imán, sino por una corriente eléctrica. La variación de la intensidad de corriente en una bobina da lugar a un campo magnético variable. Este campo magnético origina un flujo magnético también variable que atraviesa la otra bobina e induce en ella, de acuerdo con la ley de Faraday-Henry, una fuerza electromotriz. Cualquiera de las bobinas del par puede ser el elemento inductor y cualquiera el elemento inducido, de ahí el calificativo de mutua que recibe este fenómeno de inducción. El fenómeno de la autoinducción, como su nombre indica, consiste en una inducción de la propia corriente sobre sí misma. Una bobina aislada por la que circula una corriente variable puede considerarse atravesada por un flujo también variable debido a su propio campo magnético, lo que dará lugar a una fuerza electromotriz autoinducida. En tal caso a la corriente inicial se le añadirá un término adicional correspondiente a la inducción magnética de la bobina sobre sí misma. Todas las bobinas en circuitos de corriente alterna presentan el fenómeno de la autoinducción, ya que soportan un flujo magnético variable; pero dicho fenómeno, aunque de forma transitoria, está presente también en los circuitos de corriente continua. En los instantes en los que se cierra o se abre el interruptor, la intensidad de corriente varía desde cero hasta un valor constante o viceversa. Esta variación de intensidad da lugar a un fenómeno de autoinducción de duración breve, que es responsable de la chispa que se observa en el interruptor al abrir el circuito; dicha chispa es la manifestación de esa corriente adicional autoinducida. Transformadores: elevadores y reductores de tensión Los fenómenos de la autoinducción y de la inducción mutua constituyen el fundamento del transformador eléctrico, un aparato que permite elevar o reducir tensiones alternas. Un transformador consta, en esencia, de dos bobinas arrolladas a un mismo núcleo de hierro. La bobina o arrollamiento donde se aplica la f.e.m. alterna exterior recibe el nombre de primario y la bobina en donde aquélla aparece ya transformada se denomina secundario. Cuando al primario se le aplica una fuerza electromotriz alterna, el flujo magnético variable que produce atraviesa tanto al primario como al secundario. Si N1 es el número de espiras del primario y N2 el del secundario, de acuerdo con la ley de Faraday-Henry, resultará para el primario la fuerza electromotriz autoinducida: y para el secundario la fuerza electromotriz inducida por el primario: Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 56 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 La presencia del núcleo de hierro evita la dispersión del flujo magnético , por lo que puede aceptarse que es igual en ambos casos. Combinando las anteriores ecuaciones resulta: Esta expresión puede escribirse para un transformador ideal en la forma: o también: Sin embargo, en la práctica, como consecuencia de las resistencias de los circuitos correspondientes, la tensión V1 aplicada al primario es algo mayor que la f.e.m. inducida ε1 y la tensión V2 que resulta en el secundario es algo menor que la f.e.m. ε2 inducida en él. La expresión (12.4) indica que estando el circuito secundario abierto la relación entre la tensión aplicada en el primario y la tensión transformada disponible en los bornes del secundario, coincide con el cociente de sus respectivos números de espiras. Este cociente N1/N2 recibe el nombre de relación de transformación. Según sea la transformación deseada, así habrá de ser la relación entre el número de espiras de los dos arrollamientos. En los elevadores (V1 < V2) el número de espiras del primario ha de ser menor que el del secundario y la relación de transformación resulta, por tanto, menor que la unidad. En los reductores (V1 > V2) sucede lo contrario. En los transformadores comerciales el rendimiento es muy elevado, lo que significa que se pierde poca energía en el proceso de transformación. En tal supuesto la potencia eléctrica en el primario puede considerarse aproximadamente igual que en el secundario, es decir: V1 · I1 = V2 · I2 Esta propiedad de la transformación eléctrica explica el hecho de que la energía eléctrica se transporte en líneas de alta tensión y baja intensidad de corriente. En las estaciones transformadoras situadas cerca de los núcleos de consumo, es posible convertirla, de Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 57 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 acuerdo con la anterior expresión, en otra de menor tensión y mayor intensidad con poca pérdida de potencia. El transporte a baja intensidad reduce considerablemente las pérdidas en forma de calor (efecto Joule) a lo largo del trayecto que separa las centrales eléctricas de las ciudades. Autoinducción de un solenoide Si tomamos la aproximación de solenoide muy largo podemos intentar calcular el valor de siendo , su coeficiente de autoinducción. Como el campo en su interior vale recordemos, la densidad longitudinal de espiras, tendremos que si cada espira presenta una superficie el flujo total será donde es la longitud del solenoide. Despejando y por tanto en esta aproximación resultará que Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 58 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 FII. UD.6. MOVIMIENTO VIBRATORIO MOVIMIENTO PERIÓDICO MOVIMIENTO OSCILATORIO MOVIMIENTO VIBRATORIO M.A.S. -ECUACIONES -PERÍODO Y K -VELOCIDAD Y ACELERACIÓN -PROPIEDADES -ESTUDIO ENERGÉTICO PÉNDULO SIMPLE Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 59 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 FII. UD.7. MOVIMIENTO ONDULATORIO CONCEPTO CLÁSICO CLASIFICACIÓN DE LAS ONDAS DEFINICIONES BÁSICAS: PULSO Y TREN ONDAS ECUACIONES MAGNITUDES CARACTERÍSTICAS PRINCIPIO DE HUYGENS ANÁLISIS DE VELOCIDAD PROPAGACIÓN FENÓMENOS ONDULATORIOS REFLEXIÓN REFRACCIÓN INTERFERENCIA O. ESTACIONARIAS SONIDO COMO ONDA LONGITUDINAL CUALIDADES NIVEL DE INTENSIDAD EFECTO DOPPLER CONTAMINACIÓN ACÚSTICA Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 60 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 FII U.D. 6 MOVIMIENTO VIBRATORIO Movimiento periódico, oscilaciones y vibraciones Def. Diremos que un móvil realiza un movimiento periódico cuando todas las variables de su movimiento (posición, velocidad, aceleración) toman idéntico valor a intervalos de tiempo regulares. Sus magnitudes características son: Def. Período: T: Tiempo transcurrido hasta que se repiten los valores de las variables de l movimiento, o tiempo empleado en efectuar un ciclo completo. [T] = s Def. Frecuencia: ν (NU) :Número de ciclos realizados por segundo [ν ] = s−1 = Hz Período y frecuencia son magnitudes inversas T = 1 ν Oscilaciones Def. Una oscilación es un tipo de movimiento periódico en el que el móvil pasa alternativamente por un máximo y un mínimo en su distancia al origen. Sus magnitudes características son: Def. Elongación: Distancia instantánea que separa al móvil de su posición de equilibrio. Def. Amplitud: Elongación máxima. Ambas se miden en m. Vibraciones Def. Una vibración es un movimiento periódico de tipo oscilatorio cuyo punto de equilibrio se encuentra en el punto medio de su trayectoria. Dinámica del MAS Un Movimiento Armónico Simple es un movimiento rectilíneo de aceleración variable producido por una fuerza proporcional al desplazamiento pero de sentido contrario, originada cuando el cuerpo se desplaza de su posición de equilibrio. El móvil que describe tal movimiento recibe el nombre de Oscilador Armónico. Sea un resorte (muelle) del que pende una masa m a la que aplicamos una fuerza F, de manera que el resorte sufre un estiramiento ∆x . -La relación entre fuerza aplicada y alargamiento viene dada por la ley de Hooke F = k·∆x =kx→FUERZA DEFORMADORA -El cambio ∆x = x se realiza situando el origen en la posición de equilibrio -Al cesar la fuerza deformadora comienza a actuar la fuerza recuperadora, del mismo módulo pero de sentido contrario, que tiende a llevar la masa a su posición de equilibrio. F=-kx →FUERZA RECUPERADORA G JJG -Vectorialmente F = −kxu x -Al llegar de nuevo al punto de equilibrio, la velocidad de m es máxima y no se detiene. -A partir de ese punto vuelve a actuar una nueva fuerza recuperadora, dirigida al punto de equilibrio que tiende a frenar el movimiento. Esta fuerza acaba Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 61 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 deteniendo a m en un punto que dista de la posición de equilibrio lo mismo que aquel desde el que comenzó el movimiento. Observaciones: -En los puntos extremos del movimiento, la velocidad es nula pero aceleración y fuerza son máximas. -En tales puntos el móvil se detiene para iniciar el movimiento en sentido contrario. -En el punto de equilibrio la velocidad es máxima, pero aceleración y fuerza son nulas. Ecuaciones del MAS Analicemos el movimiento de un oscilador en una sola dimensión. La fuerza responsable de un movimiento armónico de este tipo es: F=-kx De acuerdo con la segunda ley de Newton: dx 2 F = ma = m 2 e igualando ambas exp resiones dy − kx = m dx 2 ; de donde : dy 2 dx 2 k + x = 0, ecuación diferencial que admite dos soluciones dy 2 m ⎧ x = Asen(ω t + θ ) ⎨ ⎩ x = A cos(ω t + θ ) donde: x=Elongación A=Amplitud o elongación máxima ω=frecuencia angular (rads/s) / ω = k m θ=Valor del ángulo en t=0. Se denomina corrección de fase e indica la discrepancia entre el origen de tiempo y el origen de espacio. El abordaje de esta cuestión puede realizarse también asimilando el MAS a un movimiento circular en el que estudiamos la posición observando la proyección vertical (versión seno) u horizontal (versión coseno) de la partícula en el tiempo. Relación entre período y constante elástica Hemos admitido que ω = k m en el MAS. Por otra parte, conocemos que ω = Igualando ambas expresiones, deducimos que T = 2π 2π . T m . k Observaciones: -El período de oscilación de un resorte es independiente de la amplitud de oscilación. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 62 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 1 1 ⇒ ω = 2πν ⇒ ν = T 2π también es independiente de la amplitud. -Sabemos que ν = k luego la frecuencia, como T, m Velocidad del MAS Si tomamos como ecuación de la elongación x = Asen(ω t + θ ),sabemos que dx = Aω cos(ω t + θ ). De las exp resiones anteriores deducimos v= dt x x2 ⇒ sen 2 (ω t + θ ) = 2 sen(ω t + θ ) = A A v v2 ⇒ cos 2 (ω t + θ ) = 2 2 cos(ω t + θ ) = Aω Aω Aplicando la igualdad fundamental trigonométrica sen 2α + cos 2 α = 1, tendremos que: x2 v2 v2 2 2 + = 1 ⇒ A = x + 2 y en consecuencia ω A 2 A 2ω 2 2 v A 2 − x 2 = 2 ⇒ v 2 = ω 2 (A 2 − x 2 ) o análogamente ω ⎧x = A ⇒ v = 0 v = ω A2 − x 2 ⇒ ⎨ ⎩ x = 0 ⇒ v = m áx Aceleración del MAS dv Sabemos que a = = −Aω 2sen(ω t + θ ) y razonando como en el apartado anterior, dt tendremos que: ⎧⎪ x = 0 ⇒ a = 0 a = −ω 2 x ⇒ ⎨ ⎪⎩ x = A ⇒ a = máx Propiedades del MAS -Desplazamiento, velocidad y aceleración varían sinusoidalmente con el tiempo, pero NO están en fase. -La aceleración es proporcional al desplazamiento, pero de sentido opuesto. -Tanto frecuencia como período del movimiento son independientes de la amplitud. Energía en el MAS La energía mecánica puesta en juego en el MAS es de dos tipos: -Cinética: Debida a la velocidad del desplazamiento -Potencial: Porque el movimiento es debido a una fuerza elástica, que es conservativa. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 63 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Energía cinética Sabemos que : E c = 1 mv 2 2 Si prescindimos de la fase inicial del movimiento θ , tendremos que: k v = Aω cos ω t y además ω = k ⇒ ω 2 = ⇒ k = ω 2 m m m -Tendremos pues que: 1 1 1 E c = mv 2 = A 2 mω 2 cos 2 ω t = kA 2 cos 2 ω t 2 2 2 -Usando la igualdad fundamental trigonométrica sen 2ω t + cos 2 ω t = 1, tendremos que : 2 x 1 2 1 2 2 2 E c = kA (1 − sen ω t) = k(A − A sen 2ω t), luego : 2 2 1 E c = k(A 2 − x 2 ) 2 Observaciones : E c ∝ A 2 ; E c = f (x) ⎫ ⎪ E c máx ⇔ x = 0 ⎬ IMPORTANTE E c = 0 ⇔ x = A ⎪⎭ Energía potencial La fuerza elástica es una fuerza conservativa y como tal, admite una función de Ep dependiente únicamente de la posición. -Sabemos además que W = −∆E p -Al desplazar el móvil de x1 a x2, el trabajo realizado por F será: x1 x1 x2 x2 W = ∫ F·dx = ∫ −kx·dx ;luego : 1 1 kx1 − kx 2 , es decir : 2 2 1 1 ∆E p = E p2 − E p1 = kx 2 − kx1 2 2 -Para nuestros cálculos resulta conveniente tomar el 0 de Ep en el punto de equilibrio, luego E p = 0 ⇔ x1 = 0 y tendremos x1 W = ∫ −kx·dx = x2 1 2 1 1 kx = mω 2 x 2 = mω 2 A 2sen 2ω t 2 2 2 o lo que es lo mismo Ep = Ep = 1 2 2 kA sen ω t 2 Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 64 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Energía mecánica Como sabemos E T = E c + E p , luego 1 1 1 1 E T = E c + E p = k(A 2 − x 2 ) + kx 2 ⇒ E T = kA 2 ;o lo que es lo mismo E T = mω 2 A 2 2 2 2 2 Observaciones: - ET ∝ A - E T ≠ f ( t) ⇒ Fuerza Conservativa -El movimiento conlleva una continua conversión de Ec en Ep y viceversa. Péndulo simple Def. Péndulo: Todo cuerpo suspendido por un punto por encima de su centro de gravedad Def. Péndulo simple o matemático: Ente ideal constituido por una masa puntual, suspendida de un hilo inextensible y sin peso, capaz de oscilar libremente en el vacío sin rozamiento -El péndulo, apartado de su posición de equilibrio, oscila en un plano bajo la acción de la gravedad, realizando un MAS. Estudio Experimental→ Práctica Conclusiones: -El período del péndulo es proporcional a su longitud -El período del péndulo es independiente de su masa -Para amplitudes pequeñas, el período del péndulo se mantiene constante e independiente de la amplitud. Estudio analítico del péndulo simple α T mgsenα mgcosα mg En el péndulo simple en oscilación libre, la única fuerza que actúa sobre la masa es el peso: G G F = mg que puede descomponerse en dos componentes F1=mgcosα en la dirección del hilo F2=-mgsenα perpendicular al hilo y responsable del movimiento (-) significa que es de signo contrario al desplazamiento en todo momento ya que tiende a mantener al péndulo en su posición de equilibrio. Dado que m=cte., g=cte. → mg=cte. y podremos escribir F=-cte·senα Teniendo en cuenta que senα ≈α cuando α ↓↓ y se expresa en radianes, tendremos que: Longitud arco x x = , luego F = − mg = −cte·x F = −mgα ; pero α = radio l l -De forma que aproximando tal cual lo hemos hecho, la fuerza recuperadora es proporcional a la elongación y de sentido contrario, precisamente lo que caracteriza al MAS. -Comparando expresiones ya conocidas: Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 65 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 F = −mω 2 x ⎫ mg g ⎪ / 2 ⇒ ω2 = /ω = x ⎬m l l F = −mg ⎪ l ⎭ -De la expresión anterior obtendremos que el período del péndulo será: l T = 2π g -Si tomamos el cero de Ep cuando el péndulo se halla en su punto más bajo, en los puntos extremos de oscilación se verificará que : v=0; Ec=0; Ep=máx -Dado que la única fuerza actuante es el peso y es una fuerza conservativa, la ET se conservará, verificándose en consecuencia que: Ec min=Ep máx Amortiguación y resonancia Todo movimiento oscilatorio real pierde energía por la presencia de fuerzas no conservativas como la fuerza de rozamiento. Cuando la energía del sistema oscilante disminuye con el tiempo, diremos que se trata de un oscilador amortiguado. -Si la amplitud perdida por fuerzas no conservativas se compensa mediante la acción de fuerzas externas de forma exacta, se logrará el estado estacionario, caracterizado por su amplitud constante. -Cuando la frecuencia de la fuerza impulsora se aproxima a la frecuencia natural de oscilación, se produce un aumento significativo de la amplitud, que conocemos con el nombre de resonancia. La frecuencia a la que se alcanza se denomina frecuencia de resonancia. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 66 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 FII U.D. 7 MOVIMIENTO ONDULATORIO. SONIDO Concepto clásico de movimiento ondulatorio Un movimiento ondulatorio es la propagación de un movimiento vibratorio. Una onda es la posición que adopta en cada instante la perturbación producida en el medio elástico. -La propagación se produce gracias a las fuerzas de cohesión del medio material. -Las partículas del medio no sufren desplazamiento, sino simplemente vibración alrededor de una posición de equilibrio fija. Consecuencia: En un movimiento ondulatorio hay transporte de energía pero no de materia Pulso y tren de ondas Cuando una sola onda se propaga en un medio material, dicha onda se denomina pulso. -Una sucesión de ondas en propagación en un medio material se denomina tren de ondas. Clasificación de las ondas Existen diferentes criterios: Ondas longitudinales y transversales -Longitudinales: Son aquellas en las que las direcciones de vibración y propagación coinciden, (ej. ondas en un muelle) -Transversales: Son aquellas en las que las direcciones de vibración y propagación son perpendiculares , (ej. ondas en el agua) Ondas mecánicas y electromagnéticas .Clasificación que atiende al tipo de energía que se propaga. -Mecánicas: Son aquellas que transportan energía mecánica y necesitan un medio material para su desplazamiento. (sonido, ondas en el agua) -Electromagnéticas: Son aquellas que transportan energía electromagnética, no JG JG necesitan medio material, son producidas por oscilaciones de los campos E y B (luz, radar, microondas) Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 67 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Ondas uni, bi, tridimensionales. Atiende esta clasificación a la dirección de propagación. -Unidimensionales: Onda en una cuerda -Bidimensionales: Ondas en el agua -Tridimensionales: Ondas sonoras Magnitudes características del movimiento ondulatorio Trataremos ondas mecánicas que requieren: FOCO: Que produzca la perturbación. MEDIO: Que la transmita. CONEXIÓN: Entre partículas adyacentes del medio, vehículo de propagación. Para caracterizar una onda se requieren cuatro magnitudes físicas: Período (T): Coincide con el de vibración del foco y es inverso de la frecuencia ν. Se mide en s (segundos) Longitud de onda (λ): Distancia recorrida por la onda en un período. Coincide con la distancia entre dos puntos en idéntico estado de vibración. Se mide en m (metros) Amplitud (A): Representa el valor máximo que puede alcanzar la perturbación en un punto. Se mide en m (metros). Velocidad de propagación (v): Distancia recorrida por la onda en la unidad de tiempo. λ = λν T -Esta velocidad no debe confundirse con la velocidad transversal de vibración, velocidad individual de las partículas en vibración. Observaciones: - La frecuencia es la única magnitud de la onda que permanece constante. - Velocidad y λ pueden depender del medio y A puede atenuarse con la distancia al foco emisor. - Decimos que un medio es isótropo si la velocidad de propagación es la misma en todas las direcciones. En caso contrario se dirá anisótropo. v= Análisis de la velocidad en algunos movimientos ondulatorios T ⎧T = Tensión en la cuerda ⎨ ρ L ⎩ ρ L = Densidad lineal de la cuerda E ⎧E = Módulo de elasticidad (Young) ⎨ ρ ⎩ ρ = Densidad volumétrica del sólido Onda transversal en una cuerda v = Onda longitudinal en sólido v = ⎧γ = Coeficiente adiabático ⎪ γ RT ⎪M = Masa molar Onda longitudinal en gases v = ⎨ M ⎪R = Cte. gases ideales ⎪⎩T = Temperatura Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 68 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Ecuación de una onda armónica unidimensional La ecuación de una onda es una expresión matemática que permite conocer el estado vibratorio de cualquier partícula del medio en cualquier instante. Consideraciones: -El foco vibra con un MAS de amplitud A y período T -El sentido positivo de propagación es izquierda-derecha -La onda se propaga con velocidad constante -Suponemos que no existe fase inicial -y=Asenωt /y= Elongación del punto p Ahora bien, si P lleva vibrando t segundos, un punto situado a distancia x de P x llevará vibrando t − segundos, ya que x/v es el tiempo que tarda la v perturbación en transmitirse de P a P’. Así, para un punto cualquiera del medio y = Asenω (t − x ) v 2π Si tenemos en cuenta que ω = y que Tv = λ podemos escribir la onda (su T función) en función de las cuatro magnitudes fundamentales: ⎛ t x⎞ y = Asen2π ⎜ − ⎟ ⎝T λ⎠ Observaciones: 2π 2π = ω = Frecuencia angular; = nº de ondas K = nº - T λ de longitudes de onda contenidas en 2π 2π x = fase , representa la posición relativa del punto respecto al foco λ -Dos puntos se encuentran en concordancia de fase si en un mismo instante se encuentran en posiciones análogas. -Dos puntos se dirán en oposición de fase si sus fases difieren en (2n+1)π. Otras ecuaciones del movimiento ondulatorio Son simplemente otras formas de representar la función de onda: ⎛ 2π t 2π x ⎞ y = Asen(wt − kx) ; y = Asen ⎜ − λ ⎟⎠ ⎝ T Análogamente puede usarse como base para la función de onda la función coseno, la única diferencia es un desfase de 2π entre ambas. ⎛ t x⎞ ⎛ 2π t 2π x ⎞ y = A cos 2π ⎜ − ⎟ ; y = A cos(wt − kx) ; y = A cos ⎜ − λ ⎟⎠ ⎝T λ⎠ ⎝ T -La velocidad de vibración de un punto concreto se obtiene derivando la función de onda (lógico ya que ésta nos ofrece la posición). dy 2π ⎛ t x⎞ v= cos 2π ⎜ − ⎟ =A dt T ⎝T λ⎠ Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 69 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 El movimiento ondulatorio es doblemente periódico Esta circunstancia puede observarse si se representa gráficamente el estado de un punto frente al tiempo y la distancia. Energía potencia e intensidad del movimiento ondulatorio El movimiento ondulatorio es la propagación de la energía del movimiento vibratorio -Según lo calculado en la UD6, la energía de una partícula que vibra será: 1 E i = mi A 2ω 2 2 -A y ω son idénticos para cualquier punto, de manera que sólo tendremos que hallar la masa total de las partículas: 1 E = A 2ω 2 Lρ L → Cuerda en vibración longitudinal 2 1 E = A 2ω 2 Vρ → Cualquier otro tipo de onda 2 La potencia de una onda es la energía transmitida por unidad de tiempo E 1 2 2L 1 = Aω ρ L = A 2ω 2 vρ L para una onda longitudinal en una cuerda t 2 t 2 -Dado que se conserva la energía mecánica, la potencia transmitida por la onda ha de igualarse a la potencia transmitida por el foco. -P = La intensidad de una onda en un punto es la cantidad de energía que atraviesa por segundo una superficie unidad, normal a la dirección de propagación ⎡⎢ W 2 ⎤⎥ ⎣ m ⎦ -I = P E = S S·t Propagación de las ondas Consideremos un foco puntual que emite ondas tridimensionales en un medio homogéneo e isótropo. Def. Denominamos frente de onda al lugar geométrico de todos los puntos que poseen el mismo estado de vibración -Por convenio, se representan sólo los que corresponden a la máxima elongación cuando se hace en tres dimensiones. -El movimiento de un frente de ondas puede representarse mediante líneas perpendiculares al frente, que denominamos rayos Principio de Huygens Cuando un punto de un medio es afectado por una onda, se convierte él mismo en un nuevo foco emisor, de cuya vibración resulta un nuevo frente de ondas. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 70 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 -Como todos los puntos del frente de ondas comienzan a vibrar simultáneamente, se producen interferencias que anulan las ondas elementales, quedando tan sólo la resultante, conocida como envolvente y que constituye el nuevo frente. Fenómenos ondulatorios Reflexión: Es el cambio de dirección que experimenta una onda al chocar contra una superficie lisa sin atravesarla. Refracción: Es el cambio de velocidad que experimenta una onda al pasar de un medio a otro con distinta densidad. -En realidad en la superficie de separación entre dos medios se producen simultáneamente ambos fenómenos, dando lugar a una onda reflejada y otra refractada. Interferencias: Denominamos interferencia a la interacción, siguiendo el principio de superposición de dos o más ondas que viajan simultáneamente en un medio. Dado que la suma impuesta por el principio de superposición es algebraica, la interferencia puede ser constructiva o destructiva. Difracción: La difracción es el cambio de forma que se produce en una onda cuando ésta atraviesa una rendija estrecha, del orden de λ o inferior. Tras la rendija, y siguiendo el principio de Huygens, las ondas se propagan en todas las direcciones. Polarización: Se trata de un fenómeno consistente en la restricción de la dirección de vibración de las ondas a un único plano o describiendo curvas cerradas (polarización lineal y circular o elíptica respectivamente) -Las ondas longitudinales sólo tienen una posible dirección de vibración. Para ellas, pues, no tiene sentido hablar de polarización. -Una onda con dirección de vibración cambiante al azar o compuesta de otras de de diferente polarización, se dice no polarizada. -La forma de conseguir una onda polarizada a partir de otra que no lo es es mediante un polarizador. El sonido, una onda longitudinal El sonido es una onda mecánica, longitudinal y tridimensional; el elemento de transmisión es la presión. Es por ello que las onda sonoras son también conocidas como ondas de presión. -La amplitud de onda indica la máxima presión que soporta el medio en un punto. -El sonido no se propaga en el vacío y su propagación material depende de las propiedades elásticas del medio. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 71 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Velocidad de propagación del sonido Sólidos v = Fluidos v = Gases v = E ρ B ρ γ RT M Se verifica que v(sólidos)>v(fluidos)>v(gases) E= Módulo de Young B=Módulo volumétrico, relaciona presión ejercida y cambio de volumen γ=Coeficiente adiabático R=Constante de los gases T=Temperatura Todas las propiedades descritas para ondas son válidas para el sonido. Cualidades del sonido Tono: Corresponde a la frecuencia, facilita la distinción agudo/grave Timbre: Permite distinguir entre dos focos de igual frecuencia e intensidad debido a la “Composición de armónicos” ya que los sonidos no son puros, es decir, no son puramente sinusoidales. Intensidad: Permite clasificar a los sonidos en fuertes y débiles. La ley de conservación de la energía, nos dice que la potencia total que atraviesa cualquier superficie esférica concéntrica con el foco debe ser la misma. -La intensidad a distancia R del foco será: P Es decir, la intensidad disminuye con el cuadrado de la distancia I= 4π R 2 -Al alejarnos del foco R↑ →I↓→ Dados dos puntos a distancias R1 y R2 I1 R 22 tendremos que: = I 2 R12 -Observaciones: -En el tema anterior vimos que la intensidad del movimiento vibratorio es proporcional al cuadrado de la amplitud de la vibración. Así pues, dos partículas situadas en dos esferas de radios R1 y R2 vibrarán con amplitudes inversamente proporcionales a su distancia al foco emisor. -Nuestra percepción de la intensidad de un sonido es aproximadamente logarítmica, en otros términos: Un sonido nos parece el doble de fuerte que otro cuando su intensidad es el cuadrado de la de aquel. -Este es el motivo de que usemos la escala logarítmica de intensidades -Dado que el argumento de cualquier función logarítmica ha de ser adimensional, estudiamos la intensidad de cualquier sonido respecto a una intensidad de referencia I0. I0 = 10−12 W / m 2 -El nivel de intensidad acústica, L, también llamado intensidad fisiológica o sonoridad, se define como: Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 72 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 ⎛ I⎞ L = 10·log ⎜ ⎟ , que es adimensional y se mide en ⎝ I0 ⎠ decibelios (dB). -El oído humano es capaz de detectar sonidos a partir de cierto valor umbral de audición, que depende de la frecuencia del sonido. Efecto Dopler Consiste en el cambio de frecuencia que experimenta una onda cuando el emisor, el receptor o ambos, se mueven con respecto al medio de propagación -Ello ocurre porque tanto λ como ν de un sonido están ligadas a la velocidad de propagación de la perturbación en la forma: λ=v·T=v/ν -Mientras receptor y emisor se encuentran en reposo, las “ondas de presión” nos llegan con la misma frecuencia con que son emitidas por el foco. -Si F y O (Foco y observador resp.) se encuentran en reposo, los frentes de onda recorren una distancia v por unidad de tiempo, en la que “caben” v/λ ondas completas. - El efecto Doppler establece el cambio de frecuencia de un sonido de acuerdo al movimiento relativo entre la fuente del sonido y el observador. Este movimiento puede ser de la fuente, del observador o de los dos. Diríamos que el efecto Doppler asume la frecuencia de la fuente como una constante pero lo escuchado depende de las velocidades de la fuente y del observador. -La frecuencia que percibirá el observador se puede hallar de la siguiente relación: νO = frecuencia del observador v ± vO νF = frecuencia de la fuente Donde : ν O =ν F v ± vF v = velocidad del sonido vF= velocidad de la fuente vO=Velocidad del observador las velocidades vOy vF son positivas si hay acercamiento y son negativas si e hay alejamiento. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 73 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Estudio detallado de algunos fenómenos ondulatorios Reflexión 2 1 AB=Frente de onda INCIDENTE A’C=Frente de onda REFLEJADO 1= normal a AB 2= normal a A’C ˆi=ángulo incidente ˆr=ángulo reflejado ˆi ˆr A’ A B ˆi ˆr C ab Ab Las semicircunferencias punteadas muestran como cada punto de la superficie comienza a vibrar cuando le llega la onda incidente, convirtiéndose en un nuevo foco (Huygens). -La onda emitida por A llega a A’ al mismo tiempo que la onda emitida por B llega a C. AA ' ˆ = BC ; sen(r) ˆ = -Observando el gráfico, tendremos que : sen(i) AC AC ˆ = sen(r) ˆ ⇒ ˆi = rˆ -Dado que AA ' = BC ⇒ sen(i) -Esta conclusión origina las leyes de la reflexión: -Rayo incidente, rayo reflejado y normal a la superficie de separación se encuentran en el mismo plano. -El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 74 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Refracción Sea un frente de onda que llega a la superficie de separación de dos medios. Supongamos que v2<v1 M1 B ˆi A ˆi ˆr C A’ M2 ˆr -Cuando B llega a C, al ser el medio 2 más “lento” que el medio 1, la perturbación producida por A sólo ha tenido tiempo de llegar a A’. -Observando el gráfico tendremos que: AA ' ˆ = BC ; sen(r) ˆ = sen(i) AC AC -Si expresamos los segmentos del gráfico en función de los parámetros de la perturbación, tendremos: BC = v1t; AA ' = v 2 t, luego l vt v sen(i) = 1 = 1 = n r = cte. l sen(r) v 2 t v 2 donde nr es el índice de refracción relativo del medio 2 respecto del medio 1. -Estas conclusiones originan las Leyes de Snell, Leyes de Descartes o simplemente Leyes de la refracción: -Rayos incidente, refractado y normal a la superficie de separación se encuentran en el mismo plano. -Entre los senos de los ángulos de incidencia y refracción existe una relación constante que es igual a la existente entre las velocidades de propagación en ambos medios. -En la refracción permanece constante la frecuencia de la perturbación. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 75 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Interferencia d1 F1 F2 Supongamos que a P llegan ondas procedentes de F1 y F2, de igual período, fase y amplitud. P d2 ⎛t d ⎞⎫ F1 ) → y1 = Asen2π ⎜ − 1 ⎟ ⎪ ⎝T λ ⎠ ⎪ ⎬ Aplicamos el principio de sup erposición ⎛ t d2 ⎞⎪ F2 ) → y 2 = Asen2π ⎜ − ⎟ ⎝ T λ ⎠ ⎪⎭ ⎛t d ⎞ ⎛t d ⎞ y = y1 + y 2 = Asen2π ⎜ − 1 ⎟ + Asen2π ⎜ − 2 ⎟ ; operando ⎝T λ ⎠ ⎝T λ ⎠ ⎛d d ⎞ ⎛ t d +d ⎞ y = 2A cos π ⎜ 2 − 1 ⎟ .sen2π ⎜ − 1 2 ⎟ 2λ ⎠ ⎝λ λ⎠ ⎝T ⎛d d ⎞ donde 2A cos π ⎜ 2 − 1 ⎟ se denomina amplitud resultante, que no es ⎝λ λ⎠ constante sino que depende de la distancia a los focos emisores. Condición de máximo y mínimo ⎛d d ⎞ ⎛d −d ⎞ La amplitud resultante será máxima cuando cos π ⎜ 2 − 1 ⎟ = máx ⇒ π ⎜ 2 1 ⎟ = nπ ⎝λ λ⎠ ⎝ λ ⎠ o lo que es lo mismo d2-d1=nλ -La amplitud resultante valdrá entonces 2A y tendremos INTERFERENCIA CONSTRUCTIVA La amplitud resultante será nula cuando π ⎛d d ⎞ ⎛d −d ⎞ cos π ⎜ 2 − 1 ⎟ = min = 0 ⇒ π ⎜ 2 1 ⎟ = ( 2n + 1) o lo que es lo mismo 2 ⎝λ λ⎠ ⎝ λ ⎠ d 2 − d1 = (2n + 1) λ 2 -La amplitud resultante valdrá 0 en tales casos y tendremos INTERFERENCIA DESTRUCTIVA Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 76 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Ondas estacionarias Son el resultado de la superposición de dos focos de igual naturaleza, período y amplitud propagándose en sentidos contrarios. F1·))) (((·F2 Q Q R R Q Q R R R R R Q Q Q Q Q Q R R Q R R R FOCOS EMITIENDO INSTANTE DETERMINADO: INTERFERENCIA T/2 MÁS TARDE Q -Los puntos marcados como R se denominan nodos y tienen A=0 permanentemente. -Los puntos Q, se denominan vientres y tienen amplitud máxima permanentemente -La onda no avanza -dv-v = λ/2 -dn-v = λ/4 Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 77 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 FII. UD.8. LUZ Y ÓPTICA FÍSICA DESARROLLO HISTÓRICO PROPAGACIÓN ÓPTICA GEOMÉTRICA ÓPTICA FÍSICA RECTILÍNEA NO RECTILÍNEA: ONDULATORIA PRINCIPIO DE FERMAT REFRACCIÓN REFLEXIÓN POLARIZACIÓN DIFRACCIÓN INTERFERENCIA LEYES : SNELL REFRINGENCIA APLICACIONES FENÓMENOS LUMINOSOS DOBLE RENDIJA Y LÁMINA DELGADA RENDIJA RECTANGULAR Y ORIFICIO CIRCULAR ESPECTROSCOPÍA DICROISMO REFLEXIÓN BIRREFRINGENCIA TEORÍA DEL COLOR Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 78 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 FII. UD.9. ÓPTICA GEOMÉTRICA CONCEPTOS BÁSICOS TIPOS DE IMÁGENES CONVENIO SIGNOS FORMACIÓN DE IMÁGENES PLANOS ESPEJOS CÓNCAVOS ESFÉRICOS CONVEXOS ESFÉRICOS REFRACTORES PLANOS CONVERGENTES EC. DESCARTES LENTES DELGADAS DIVERGENTES EC. CONSTRUCTOR COMBINACIONES OJO MICROSCOPIO Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez TELESCOPIO 79 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 FII. UD.8 LUZ Y ÓPTICA FÍSICA ¿Qué es la luz? Es una forma de radiación electromagnética o energía radiante, similar al calor, las ondas de radio o los rayos X. La luz corresponde a oscilaciones extremadamente rápidas de un campo electromagnético, en un rango determinado de frecuencias que pueden ser detectadas por el ojo humano. Las diferentes sensaciones de color corresponden a luz que vibra con distintas frecuencias, que van desde aproximadamente 4 × 1014 ciclos por segundo en la luz roja hasta aproximadamente 7,5 × 1014 ciclos por segundo en la luz violeta. El espectro de la luz visible suele definirse por su longitud de onda, que es más pequeña en el violeta (unas 40 millonésimas de centímetro) y máxima en el rojo (75 millonésimas de centímetro). Las frecuencias mayores, que corresponden a longitudes de onda más cortas, incluyen la radiación ultravioleta, y las frecuencias aún más elevadas están asociadas con los rayos X. Las frecuencias menores, con longitudes de onda más altas, se denominan rayos infrarrojos, y las frecuencias todavía más bajas son características de las ondas de radio. La mayoría de la luz procede de electrones que vibran a esas frecuencias al ser calentados a una temperatura elevada. Naturaleza de la luz La energía radiante tiene una naturaleza doble, y obedece leyes que pueden explicarse a partir de una corriente de partículas o paquetes de energía, los llamados fotones, o a partir de un tren de ondas transversales (Movimiento ondulatorio). El concepto de fotón se emplea para explicar las interacciones de la luz con la materia que producen un cambio en la forma de energía, como ocurre con el efecto fotoeléctrico o la luminiscencia. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 80 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 ¿Qué es un fotón? Un fotón es la cantidad mínima de energía de la luz u otra radiación electromagnética. La energía E de un fotón se expresa mediante la ecuación E=hν donde h es una constante universal (la constante de Planck) y ν es la frecuencia (número de oscilaciones por segundo) de la luz. El concepto de onda suele emplearse para explicar la propagación de la luz y algunos de los fenómenos de formación de imágenes. En las ondas de luz, como en todas las ondas electromagnéticas, existen campos eléctricos y magnéticos en cada punto del espacio, que fluctúan con rapidez. Como estos campos tienen, además de una magnitud, una dirección determinada, son cantidades vectoriales. Los campos eléctrico y magnético son perpendiculares entre sí y también perpendiculares a la dirección de propagación de la onda. La onda luminosa más sencilla es una onda senoidal pura, llamada así porque una gráfica de la intensidad del campo eléctrico o magnético trazada en cualquier momento a lo largo de la dirección de propagación sería la gráfica de un seno. Haz de Ondas Electromagnéticas En el espectro visible, las diferencias en longitud de onda se manifiestan como diferencias de color. El rango visible va desde, aproximadamente, 400 nanómetros (violeta) hasta unos 750 nanómetros (rojo), un nanómetro, nm, es una milmillonésima de metro. La luz blanca es una mezcla de todas las longitudes de onda visibles. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 81 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Longitud de onda λ No existen límites definidos entre las diferentes longitudes de onda, pero puede considerarse que la radiación ultravioleta va desde los 400 nm hasta los 10 nm. Los rayos infrarrojos, que incluyen la energía calorífica radiante, abarcan las longitudes de onda situadas aproximadamente entre 750 nm y 1 mm. La velocidad de una onda electromagnética es el producto de su frecuencia y su longitud de onda. Las diferentes ondas electromagnéticas tienen distintas longitudes de onda y distintas frecuencias, pero si consideramos : c= f *λ f = frecuencia λ = longitud de onda se deduce que la longitud de onda y la frecuencia de las ondas electromagnéticas son inversamente proporcionales En el vacío, la velocidad es la misma para todas las longitudes de onda. La velocidad de la luz en las sustancias materiales es menor que en el vacío, y varía para las distintas longitudes de onda; este efecto se denomina dispersión. La relación entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad de una longitud de onda determinada en una sustancia se conoce como índice de refracción de la sustancia para dicha longitud de onda. El índice de refracción del aire es 1,00029 y apenas varía con la longitud de onda. En la mayoría de las aplicaciones resulta suficientemente preciso considerar que es igual a 1. La dispersión y la refracción las trataremos más adelante con más profundidad Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 82 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Desarrollo histórico de la naturaleza de la luz Estudiamos esta introducción al tema por tratarse de un modelo de evolución de teorías científicas y aplicación de los modelos a la resolución de problemas. Newton: Luz compuesta de corpúsculos con comportamiento mecánico, explica fenómenos como reflexión y refracción. Huygens: Modelo ondulatorio como opuesto al corpuscular, supone ondas longitudinales, requiere la existencia del éter. Explica propagación rectilínea reflexión y refracción. Young: Experimento de doble rendija, descubre las interferencias luminosas Maxwell: Descubre matemáticamente la existencia de campos electromagnéticos. Explica fundamentalmente los fenómenos de propagación. Sigue utilizando el concepto del éter. Establece como diferencia entre ondas de radio y ondas luminosas la longitud de onda, apunta el concepto de espectro electromagnético visible. No explica la absorción y emisión de luz por la materia. Planck: Experimenta con el cuerpo negro, postula que la interacción materia-radiación está cuantizada. Einstein: Experimenta con el efecto fotoeléctrico, retoma la teoría corpuscular de Newton y la reformula, llamando fotón al cuanto de luz y dándole carácter corpuscular. Hoy en día podemos afirmar que la luz se produce en la materia en forma de fotones, se propaga en forma de ondas y es detectada por el ojo y otros indicadores en forma de fotones. Röemer: Realiza la primera medición de la velocidad de la luz basada en medidas astronómicas, (período de traslación de los satélites de Júpiter alrededor del planeta. Foucault y Fizeau: Miden la velocidad de la luz en espacios reducidos mediante una rueda dentada. Comprueban una diferencia de velocidad en diferentes medios => Teoría ondulatoria. Michelson y Morley: Determinan el valor actual conocido para la velocidad de la luz, usando el interferómetro que lleva su nombre Propagación de la luz Las diferentes formas de propagación de la luz nos permiten establecer dos ramas de la óptica, la física u ondulatoria y la geométrica Ley fundamental de la óptica geométrica: La luz se propaga en línea recta en un medio que además de ser transparente sea homogéneo e isótropo. Principio de Fermat: La luz , para ir de un sitio a otro atravesando uno o más medios con distintas densidades, sigue la trayectoria que le lleve el mínimo tiempo. Ambos principios explican fenómenos como reflexión y refracción pero no otros como el de difracción, interferencias o polarización Resumiendo, veamos el siguiente esquema: Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 83 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Propagación de la luz O. Geométrica Rectilínea Reflexión Refracción O. Física No Rectilínea Interferencia Difracción Polarización Reflexión y Refracción Reflexión: Fenómeno por el cual la luz, al incidir sobre una superficie cambia de dirección, invirtiéndose su sentido. Puede ser: Regular o especular: Superficie de incidencia lisa, los rayos conservan su forma. Difusa: Superficie de incidencia rugosa, el conjunto de rayos se dispersa y desordena. Leyes de la reflexión: Rayo incidente , reflejado y normal se encuentran en el mismo plano Ángulo incidente y reflejado son idénticos Refracción: Es el cambio de dirección que experimenta la propagación de la luz cuando atraviesa oblicuamente la superficie de separación de dos medios transparentes de distinta naturaleza. Índice de refracción: La velocidad con la que la luz se propaga en un medio transparente homogéneo e isótropo es una característica del medio. El índice de refracción absoluto de un medio es el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad de la luz en el medio c n= v El índice de refracción relativo del medio 1 respecto del medio 2 se calcula como el cociente de velocidades entre ambos medios. c v1 n1 n1 n12 = = = c v2 n2 n2 Leyes de la refracción Rayo incidente, normal y refractado se encuentran en el mismo plano Ley de Snell: Los senos de los ángulos de incidencia y refracción son directamente proporcionales a las velocidades de propagación en ambos medios Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 84 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 c n1 n2 sen(i ) v1 = = = c sen(r ) v2 n1 n2 o lo que es lo mismo n1sen(i ) = n2 sen(r ) = cte Refringencia de un medio: La refringencia de un medio va ligada a la densidad de su materia. Medios muy refringentes son aquellos en los que la luz se propaga a poca velocidad. A mayor densidad menor velocidad y mayor índice de refracción y grado de refringencia. Cuando la luz viaja de un medio a otro con distinto índice de refracción cambia su longitud de onda pero no cambia su frecuencia. Al permanecer inalterados los colores, el color debe estar relacionado con la frecuencia. Aplicaciones de la ley de Snell Refracción en una lámina de caras paralelas Las láminas plano paralelas no modifican la dirección de los rayos que inciden sobre ellas, tan sólo los desplazan paralelamente. Ello ocurre porque el rayo se refracta dos veces de la forma que vemos en el gráfico: i N1 N2 α´ e α d r La aplicación de simple geometría al gráfico, permite calcular el desplazamiento lateral que sufre el rayo como : sen(i − α ) d =e cos α ´ Refracción en un prisma Si las dos caras de una lámina de separación entre medios no son paralelas, sino que ellas mismas o sus prolongaciones se cortan en un ángulo A que denominamos ángulo refringente, tenemos un prisma óptico. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 85 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 N N’ γ A i r α α’ Aplicando geometría elemental: A+γ A = ángulo refringente sen( ) 2 n= donde γ = desviación entre rayo incidente y refractado A sen( ) n = índice de refracción del prisma 2 Ángulo límite, reflexión interna total Si analizamos el fenómeno de la refracción desde el medio más refringente al menos refringente, el rayo refractado , según se deduce de la ley de Snell se alejará de la normal. Si el ángulo i aumenta progresivamente, el rayo refractado se apartará cada vez más de la normal, aproximándose a la superficie hasta coincidir con ella. Cuando alcanzamos tal condición el ángulo de incidencia se denomina ángulo límite. n1sen( L) = n2 sen(90º ) ⇒ sen( L) = Se verificará entonces que : n2 n1 n2 ) n1 El ángulo límite sólo tiene sentido si n2<n1 , caso contrario no podría definirse, ya que estaríamos limitados por la definición del arcsen. Para ángulos superiores al ángulo límite no existe refracción sino tan sólo reflexión, produciéndose el fenómeno conocido como reflexión interna total, que puede explicarse también a partir de la ley de Snell. luego L = arcsen( Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 86 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 n1 n sen(i) = sen(r ) ⇒ sen(i) = 2 n2 n1 Cuando se verifica que r=L=90º se tiene que sen 90º=1 o bien que sen (i)≤n2/n1 si r<L ya que sen(r)≤1, o lo que es lo mismo sen(i)≤sen(L) lo que implica necesariamente que r≤L. Es decir, la ley de Snell se verifica exclusivamente para ángulos inferiores al ángulo límite. En definitiva, para que se produzca reflexión total es necesario que: La luz viaje de un medio más refringente a uno menos refringente El ángulo de incidencia sea menor que el ángulo límite. La fibra óptica es una aplicación práctica de la reflexión total. Fenómenos luminosos cotidianos Reflexión atmosférica: debido a la falta de homogeneidad de la capa atmosférica la luz sufre pequeñas refracciones que le producen cierta curvatura, ofreciéndonos falsas imágenes de los cuerpos astrales, como cuando vemos al sol en el horizonte cuando en realidad se encuentra por debajo del mismo. Espejismos: El observador percibe una doble imagen, la real, digamos por el camino directo y la virtual, procedente de reflexiones y refracciones en capas más densas de la atmósfera (aire frío / aire caliente). Dispersión luminosa: Se llama dispersión a la desviación que sufre cada longitud de onda electromagnética que compone la luz al atravesar un medio. Se produce porque la refracción disminuye con la longitud de onda Difusión luminosa: Se debe al hecho de que la luz es una onda EM que al chocar con una partícula de su misma longitud de onda cede parte de su energía a la corteza atómica. Finalmente es la materia la que acaba radiando energía en todas las direcciones. Es mayor cuanto menor es la longitud de onda Óptica Física . Interferencias. Difracción. Polarización Características de la Óptica Física Se utiliza el modelo ondulatorio, aplica el principio de Huygens yel de superposición de ondas. Se usan fuentes luminosas coherentes, en fase. Se usan fuentes luminosas monocromáticas, de una sola longitud de onda. Interferencias Se producen cuando dos haces de luz, procedentes de una misma fuente recorren caminos diferentes y coinciden en una zona del espacio. La luminosidad depende de la diferencia de fase Si es 2Π o múltiplo se produce refuerzo Si es múltiplo impar de Π se produce anulación Difracción Es una desviación rectilínea de la luz que no puede ser explicada mediante reflexión o refracción. Se presenta cuando la luz encuentra a su paso una rendija u obstáculo de tamaño comparable a su longitud de onda. Hay dos modelos de estudio de la difracción: Fresnel: Campo cercano. NO la estudiamos. Foco cerca del receptor y ambos a distancia finita del punto de estudio. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 87 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Fraunhoffer: Campo lejano. Receptor y punto de estudio están lo bastante lejanos como para que los rayos incidan paralelamente. Puede conseguirse también mediante lentes convergentes. Son destacables: Difracción por rendija rectangular estrecha, que da como patrón luminoso una serie de bandas, una central que concentra aprox . el 80% de la luminosidad y una serie de máximos a ambos lados de intensidad decreciente. Se explica mediante el principio de Huygens. Difracción por orificio circular, cuyo patrón luminoso es una serie de anillos concéntricos luminosos / oscuros de intensidad decreciente, denominados Anillos de Newton. Polarización: Es una característica exclusiva de las ondas transversales. Se produce seleccionando mediante artificios mecánicos un plano de oscilación para las ondas electromagnéticas luminosas, que como sabemos, están compuestas por una componente eléctrica y una magnética, siempre perpendiculares entre si pero que oscilan en cualquier dirección. Polarización por absorción selectiva o dicroísmo: El dicroísmo es el fenómeno por el cual un determinado material absorbe perfectamente una componente de la vibración. El caso más típico es el Polaroid (1938), compuesto de cristales orgánicos incrustados en plástico y orientados de forma paralela La dirección perpendicular a las cadenas orgánicas se denomina eje de transmisión Si se colocan dos polaroides en línea la intensidad transmitida es proporcional al coseno del ángulo que forman los ejes de transmisión. Si los polaroides tienen sus ejes formando ángulo de 90º (polaroides cruzados) la absorción es total Este es el principio de las gafas de sol Polarización por reflexión Cuando la luz natural incide sobre una superficie pulida, la luz reflejada está total o parcialmente polarizada, estándolo totalmente cuando I ┴ R. El ángulo de Brewster es igual al cociente entre los índices de refracción de ambos medios Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 88 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 n2 n1 Cuando tag (i)=n , siendo no el índice de refracción del medio en el que se refracta la luz, la polarización es total. Polarización por doble refracción o birrefringencia Se trata de un método de polarización que consiste en refractar la luz. Las sustancias que producen doble refracción se denominan birrefringentes. Ej. Prisma de Nicol, (cristal de calcita sin reflexión total). Espectroscopía Descubierta por Fraunhoffer. Se basa en el principio de análisis espectral: “Todo cuerpo incandescente absorbe los mismos colores que emite”. La espectroscopía es la técnica que se ocupa del registro, análisis y observación de espectros. El análisis de la luz se hace mediante redes de difracción o espectroscopio de prisma tag (i ) = Hay 4 grupos fundamentales de espectros: De líneas o de emisión: Rayas de colores separadas por rayas oscuras. Característicos de cada material. Propios de sustancias gaseosas atómicas o moleculares a T elevada. Continuos de emisión: Todas las λ están superpuestas. Banda continua de colores desde violeta a rojo. Propias de sólidos o líquidos incandescentes. De líneas o rayas de absorción: Producidos por luz blanca al pasar a través de un gas. Al analizar con espectrómetro aparecen bandas oscuras en el mismo lugar de las rayas de emisión de la sustancia. Continuos de absorción: Producidos al pasar luz blanca a través de un sólido, líquido, disolución o filtro de color. Teoría física del color Según la teoría electromagnética, el color es la parte del espectro electromagnético comprendida entre 350 y 750 nm. Físicamente el color no existe, un objeto tiene color cuando , con preferencia, refleja o transmite las radiaciones correspondientes a dicho color. Ej. Un cuerpo es visto de color rojo porque absorbe todas las radiaciones salvo las rojas, que son las que refleja. Color aditivo :Puede reproducirse cualquier sensación de color mezclando aditivamente diversas cantidades de rojo, azul y verde. Por eso se conocen estos colores como colores aditivos primarios. Si se mezclan luces de estos colores primarios con intensidades aproximadamente Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 89 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 iguales se produce la sensación de luz blanca. También existen parejas de colores espectrales puros denominados colores complementarios; si se mezclan aditivamente, producen la misma sensación que la luz blanca. La mayoría de los colores que experimentamos normalmente son mezclas de longitudes de onda que provienen de la absorción parcial de la luz blanca. Los pigmentos que dan su color a la mayoría de los objetos absorben determinadas longitudes de onda de la luz blanca y reflejan o transmiten las demás, que son las que producen la sensación de color. Color sustractivo Los colores que absorben la luz de los colores aditivos primarios se llaman colores sustractivos primarios. Son el magenta —que absorbe el verde—, el amarillo —que absorbe el azul— y el cyan (azul verdoso), que absorbe el rojo. Por ejemplo, si se proyecta una luz verde sobre un pigmento magenta, apenas se refleja luz, y el ojo percibe una zona negra. Los colores sustractivos primarios también se denominan pigmentos primarios. Pueden mezclarse en proporciones diferentes para crear casi cualquier tonalidad. Si se mezclan los tres en cantidades aproximadamente iguales, producen una tonalidad muy oscura, aunque nunca completamente negra. LUZ BLANCA Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 90 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 FII UD.9 ÓPTICA GEOMÉTRICA La óptica geométrica se ocupa del estudio de la luz, sus características y manifestaciones sin atender a su carácter ondulatorio. Trata, mediante representaciones geométricas, los cambios de dirección que experimentan los rayos luminosos en los fenómenos de reflexión y refracción. Se fundamenta en 3 supuestos básicos: 1. En un medio homogéneo e isótropo la luz se propaga en línea recta Representamos la luz mediante rayos 2. Aplican las leyes de reflexión y refracción para el cálculo de la trayectoria de los rayos. Las superficies de incidencia son espejos y lentes, sin defectos o aberraciones. 3. El camino óptico de la luz es reversible Conceptos básicos Dioptrio: Es la superficie que separa medios homogéneos e isótropos con índices de refracción distintos. Sistema óptico: Conjunto de dioptrios Sistema óptico astigmático: Aquel en que todos los rayos que parten de un punto (objeto) confluyen en otro (imagen). Sistema óptico perfecto: Aquel que es astigmático para todos sus puntos. Aproximación paraxial: Aquella que limita la luz a rayos próximos al eje óptico y elimina aberraciones Tipos de imágenes: Real: Formada en un sistema óptico mediante la intersección en un punto de rayos convergentes procedentes del objeto. Puede recogerse en una pantalla. Virtual: Formada en un sistema óptico mediante la intersección en un punto de las prolongaciones de los rayos divergentes procedentes del objeto. No puede recogerse en una pantalla. Altura positiva Ángulo negativo sentido negativo Ángulo positivo Origen Altura negativa Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 91 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Ángulo positivo: Al llevar el rayo sobre el eje, giramos en sentido Contrarreloj Ángulo negativo: Al llevar el rayo sobre el eje, giramos Reloj. Formación de imágenes en espejos Espejos planos: Superficies lisas capaces de reflejar prácticamente el 100% de la luz incidente. En un espejo plano, los rayos se reflejan y divergen tras incidir en su superficie. Un observador situado en P observa los rayos como procedentes de P’ , punto donde convergen las prolongaciones de los rayos divergentes. Es por eso que P’ es la imagen VIRTUAL de P P P’ Sea un espejo plano y un objeto finito MN M +y R I M’ +y I N’ N R -s +s’ Tomamos dos rayos: Uno a la altura de M que se refleja sobre si mismo y otro que partiendo de M incide en el espejo a la altura de N. Las prolongaciones de ambos coinciden en M’, dando la altura del objeto virtual. Considerando el esquema geométricamente tenemos que –s=s’ donde el signo es debido al criterio de signos especificado anteriormente. El aumento lateral o amplificación viene definido por la relación entre las alturas de objeto e imagen: A= y' s' =1= − y s Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 92 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Concluimos: El espejo plano produce imágenes virtuales, derechas, de igual tamaño e idéntica distancia tras el espejo. El espejo es un plano de simetría del objeto y su imagen. Espejos esféricos Superficie pulimentada en forma de casquete esférico. Pueden ser cóncavos o convexos. Datos necesarios para su estudio Eje del espejo: Perpendicular al vértice (V) Centro de curvatura: (C) Centro de la superficie esférica, puede quedar a la derecha o a la izquierda del vértice, que es para nosotros el origen de coordenadas. Foco: (F) Situado en el centro del segmento C-V , en él concurren todos los rayos y sus prolongaciones si el espejo es convexo. Radio de curvatura: Longitud del segmento C-V Distancia Focal: Longitud del segmento F-V=1/2 C-V Construcción de imágenes Se usan 3 rayos: Paralelo: Sale de la parte superior del objeto y pasa por el foco tras reflejarse. Focal: Sale de la parte superior del objeto y pasa por el foco, saliendo reflejado paralelo al eje Radial: Sale de la parte superior del objeto y se dirige al centro de curvatura, saliendo reflejado sobre si mismo Espejos cóncavos: Hacen converger los rayos que reciben Tienen radio de curvatura y distancia focal negativos Espejos convexos: Hacen diverger los rayos que reciben Tienen radio de curvatura y distancia focal positivos Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 93 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 94 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 95 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Ecuaciones de los espejos Sean los triángulos ABF y FVM en la figura. Si aplicamos semejanza de triángulos de ángulo común α y aproximamos y’=VM, tendremos que y −y' = ; y cambiando de signo −s + f − f toda la expresión y y' y s− f =− ⇒ =− (1) s− f f y' f Sabemos que el aumento lateral o amplificación será: y' s' =− (2) donde A<0 indicará imagen invertida, A>0 imagen derecha, /A/>1 y s imagen mayor y /A/<1 imagen menor. Combinando las expresiones (1) y (2) 1 1 1 obtendremos + = que es la Ecuación de los espejos esféricos. s s' f A= Superficies refractoras Aplicamos la ley de Snell al rayo refractado (ángulos proporcionales a velocidades en diferentes medios). Dado que la ley de Snell está expresada en función del sen de los ángulos, suponemos ángulos pequeños y sen(α)=α en rads. Aplicamos consideraciones geométricas que no detallamos y teniendo en cuenta que: Cóncavo si R<0 s’>0 Imagen Real Convexo se R>0 s’<0 Imagen Virtual obtenemos n2 n1 n2 − n1 − = Invariante de ABBE, Ecuación del dioptrio esférico s' s R A= y ' n1s ' = y n2 s Aumento lateral Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 96 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Dioptrio Plano Se obtiene a partir del Invariante de ABBE teniendo en cuenta que en la superficie plana el radio de curvatura es infinito. n2 n1 n2 − n1 n n − = = 0 ⇒ 2 = 1 Ecuación del dioptrio plano s' s ∞ s' s Dado que s’ tiene el mismo signo que s, la imagen se encontrará siempre al mismo lado de la superficie que el objeto y será siempre virtual. La profundidad aparente del objeto es siempre menor que la real y tanto menor cuanto mayor sea el índice de refracción del medio en que esté sumergido. Formación de imágenes en lentes Tipos de lentes La primera clasificación distingue entre lentes gruesas y delgadas. Nos ocupamos sólo de las últimas ya que en las primeras no se puede definir el centro óptico. Las lentes delgadas se clasifican en: Convergentes: Más gruesas en el centro que en los bordes, hacen converger los rayos incidentes paralelos en un punto denominado FOCO. Divergentes: Más delgadas en el centro que en los bordes, hacen diverger los rayos paralelos incidentes, siendo sus prolongaciones las que convergen en el punto F’. Notación: Lente: Objeto transparente limitado por dos superficies esféricas o por una esférica y una plana. Centro de curvatura: C y C’ , centros de los dioptrios que forman la lente; si uno de ellos es plano, su centro de curvatura está en el infinito. Plano óptico: Plano central de la lente, representado por su esquema Conv Div Centro óptico: Centro geométrico de la lente, situado en el origen de coordenadas. Todo rayo que pasa por él no sufre desviación Eje principal: Recta que pasa por el centro óptico t es perpendicular al plano óptico. Focos principales F y F’: Puntos donde se cruzan los rayos paralelos que inciden sobre la lente (objeto e imagen respectivamente). Distancia focal imagen: f ‘ : Distancia entre el centro óptico y el foco imagen F’. f’>0 en lentes convergentes y f’<0 en lentes divergentes. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 97 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Construcción de imágenes Se forman por la intersección del rayo paralelo y el rayo radial. El rayo focal comprueba dicha intersección. Rayo paralelo: Rayo paralelo al eje óptico que se refracta en la lente para pasar por F’. Rayo radial: Rayo que incide sobre el centro óptico y no sufre desviación Rayo focal: Rayo que pasa por el foco de la lente y se refracta saliendo paralelo al eje óptico. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 98 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Ecuación de las lentes delgadas Para obtener la ecuación de la lente delgada la analizamos como si se tratase de dos dioptrios. Partimos por lo tanto de la ecuación del dioptrio esférico n2 n1 n2 − n1 − = s' s R Analizamos la primera superficie, suponemos n1=1 y n2=n, luego n 1 n −1 1 n 1− n − = ; para la segunda superficie n2=1 y n1=n, luego − = s' s R1 s '2 s2 R2 Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 99 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Si suponemos despreciable el espesor de la lente “e” y observamos el proceso de forma global, podemos hacer s1=s y s’2=s’, con lo que sumando ambas ecuaciones y operando matemáticamente obtenemos: ⎛1 1 ⎞ 1 1 − = (n − 1) ⎜ − ⎟ Ecuación de DESCARTES para una lente delgada s' s ⎝ R1 R2 ⎠ Si consideramos que la distancia focal imagen f’ dx la distancia imagen de una distancia objeto que tiende a infinito, tendremos que s→∞ → s’→f’ y en consecuencia: ⎛ 1 1 ⎞ 1 = (n − 1) ⎜ − ⎟ Ecuación del CONSTRUCTOR de lentes delgadas f' ⎝ R1 R2 ⎠ E igualando los primeros términos de las anteriores ecuaciones: 1 1 1 Ecuación de las lentes delgadas o de GAUSS − = s' s f ' 1 = C = Potencia o convergencia de la lente [m-1 ] [dp] f' En lentes convergentes C>0, f’>0 y en lentes divergentes f’<0, luego C<0 La amplificación o aumento lateral será A = y' s' = y s Combinación de varias lentes: En combinaciones de lentes, la imagen de la primera se calcula como si no existiese la segunda y la luz incide en la segunda lente como si viniese de la imagen formada por la primera. La imagen de la segunda lente será la imagen final del sistema. La potencia es la suma de potencias C=C1+C2 Al aumento lateral es el producto de los aumentos A=A1*A2 El ojo humano El ojo en su conjunto, llamado globo ocular, es una estructura esférica de aproximadamente 2,5 cm de diámetro con un marcado abombamiento sobre su superficie delantera. La parte exterior, o la cubierta, se compone de tres capas de tejido: la capa más externa o esclerótica tiene una función protectora, la capa media o úvea tiene a su vez tres partes diferenciadas: la coroides continúa con el cuerpo ciliar, formado por los procesos ciliares, y a continuación el iris, que se extiende por la parte frontal del ojo. La capa más interna es la retina, sensible a la luz. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 100 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 El ojo humano y sus partes La córnea es una membrana resistente, compuesta por cinco capas, a través de la cual la luz penetra en el interior del ojo. Por detrás, hay una cámara llena de un fluido claro y húmedo (el humor acuoso) que separa la córnea de la lente del cristalino. En sí misma, la lente es una esfera aplanada constituida por un gran número de fibras transparentes dispuestas en capas. Está conectada con el músculo ciliar, que tiene forma de anillo y la rodea mediante unos ligamentos. El músculo ciliar y los tejidos circundantes forman el cuerpo ciliar y esta estructura aplana o redondea la lente, cambiando su longitud focal. El iris es una estructura pigmentada suspendida entre la córnea y el cristalino y tiene una abertura circular en el centro, la pupila. El tamaño de la pupila depende de un músculo que rodea sus bordes, aumentando o disminuyendo cuando se contrae o se relaja, controlando la cantidad de luz que entra en el ojo. Por detrás de la lente, el cuerpo principal del ojo está lleno de una sustancia transparente y gelatinosa (el humor vítreo). La presión del humor vítreo mantiene distendido el globo ocular. La retina es una capa compleja compuesta sobre todo por células nerviosas. Las células receptoras sensibles a la luz se encuentran en su superficie exterior detrás de una capa de tejido pigmentado. Estas células tienen la forma de conos y bastones y están ordenadas como los fósforos de una caja. Situada detrás de la pupila, la retina tiene una pequeña mancha de color amarillo, llamada mácula lútea; en su centro se encuentra la fóvea central, la zona del ojo con mayor agudeza visual. La capa sensorial de la fóvea se compone sólo de células con forma de conos, mientras que en torno a ella también se encuentran células con forma de bastones. Según nos alejamos del área sensible, las células con forma de cono se vuelven más escasas y en los bordes exteriores de la retina sólo existen las células con forma de bastones. El nervio óptico entra en el globo ocular por debajo y algo inclinado hacia el lado interno de la fóvea central, originando en la retina una pequeña mancha, el punto ciego, ya que carece de células sensibles a la luz. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 101 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Defectos de la visión Los rayos de luz que entran en el ojo son refractados, o reflejados, al pasar por el cristalino. En una visión normal, los rayos de luz se enfocan justo sobre la retina, sin ninguna actuación de los músculos ciliares. OJO NORMAL La imagen se forma exactamente sobre la retina. El ser humano es capaz de enfocar los dos ojos sobre un objeto, lo que le permite una visión estereoscópica, fundamental para percibir la profundidad. El principio de la visión estereoscópica puede describirse como un proceso visual, el cual muestra una imagen desde dos ángulos ligeramente diferentes, que los ojos funden en una imagen tridimensional única. Miopía La miopía es un exceso de convergencia del sistema óptico que forma el mismo ojo. La imagen, en actitud de reposo ( sin actuar los músculos ciliares ) se forma entre el cristalino y la retina. OJO MIOPE La imagen se forma delante de la retina. El ojo miope no ve con nitidez los objetos lejanos ya que estos se forman delante de la retina y no sobre ella, por lo que necesita lentes divergentes para tener una visión normal. Hipermetropía La hipermetropía es un defecto de convergencia del sistema óptico que forma el mismo ojo. La imagen en actitud de reposo ( sin actuar los músculos ciliares) se forma detrás de la retina. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 102 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 OJO HIPERMÉTROPE La imagen se forma detrás de la retina. El ojo hipermétrope no ve con nitidez los objetos cercanos ya que estos se forman detrás de la retina y no sobre ella, por lo que necesita lentes convergentes para tener una visión normal. Presbicia La presbicia se debe a la pérdida de elasticidad de los tejidos oculares con la edad; suele empezar a partir de los 45 años, y es similar a la hipermetropía. Astigmatismo El astigmatismo es el resultado de la deformación de la córnea o de la alteración de la curvatura de la lente ocular, con una curvatura mayor a lo largo de un meridiano que del otro; produce una visión distorsionada debido a la imposibilidad de que converjan los rayos luminosos en un sólo punto de la retina. Microscopio simple o lupa Un microscopio es un sistema de lentes que produce una imagen virtual aumentada de un objeto. El microscopio más sencillo es la lupa, que consta de tan sólo una lente convergente. El objeto se sitúa entre la lente y el foco, con lo que se produce en el punto próximo una imagen virtual aumentada. Si el objeto a observar se coloca justamente en el foco, los rayos emergen paralelos y la imagen virtual se forma en el infinito, evitando la necesidad de acomodación del ojo. El aumento angular o visual A es la relación de tamaño entre el objeto y su imagen virtual, idéntico a la relación angular α’A/α0 Av = y 'A α 'A = y0 α0 Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 103 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 En valor absoluto, el aumento angular de la lupa es Av=0,25C donde C es la potencia de la lente en dioptrías y 0,25 es la distancia próxima en metros del punto próximo del ojo normal. Recordar que C=1/f’ Microscopio compuesto Consiste en dos lentes convergentes, de pequeña distancia focal, llamadas respectivamente objetivo (forma la imagen) y ocular (permite observarla), instaladas en el mismo tubo. El objeto se coloca invertido en una platina (porta) y el enfoque se realiza alejando o acercando el tubo para que el objeto quede ligeramente fuera de la distancia focal del objetivo. La primera lente crea una imagen intermedia y’, real, derecha y mayor, que es recogida por la segunda lente como si fuese una lupa, creando una imagen virtual, derecha y aún mayor y’’. El aumento angular obtenido es Av=C1·C2 ∆δ donde C1 y C2 son las potencias de objetivo y ocular e ∆δ es la distancia entre foco imagen del objetivo y foco objeto del ocular F’1-F’2 y’’ y’ y F1 F2 Obj ∆δ Oc. Telescopios Existen 2 tipos básicos, refractores, que usan lentes y reflectores que usan espejos. Refractores: Astronómico: Usa una lente convergente como ocular y proporciona una imagen invertida Terrestre: Usa una lente divergente, es más limitado pero proporciona una imagen derecha. La propiedad esencial de los telescopios es su resolución, capacidad de diferenciar dos estrellas muy próximas entre si. crece a medida que aumenta el diámetro de la lente de entrada. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 104 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Su problema fundamental son las aberraciones que producen por la descomposición de la luz en los pequeños prismas que componen la lente. Se corrigen usando lentes acromáticas y mejorando el pulido de las mismas. Reflectores Sustituyen la lente por un espejo parabólico, captan gran cantidad de luz y evitan aberraciones al evitar el tránsito por el interior de la lente. Hay dos montajes destacables NEWTON Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez CASSEGRAIN 105 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 FII. UD.10. FÍSICA RELATIVISTA Y CUÁNTICA RELATIVIDAD CLÁSICA TRANSFORMACIÓN DE GALILEO DIST. TIEMPO ECS. MAXWELL RELATIVIDAD DIST. ESPACIO EXPTO. MICHELSON - MORLEY JG p RELATIVISTA TRANSFORMACIONES DE LORENTZ EC RELATIVISTA ESPACIO - TIEMPO MASA DE LA LUZ PLANCK Y EL CUANTO EFECTO FOTOELÉCTRICO FOTONES FÍSICA CUÁNTICA PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE DUALIDAD ONDACORPÚSCULO Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 106 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 FII. UD.11. FÍSICA NUCLEAR EMISIÓN β+ TAMAÑO Y CARGA NÚCLEO ATÓMICO FUERZAS NUCLEARES ESTABILIDAD ENERGÍA DE ENLACE RADIACTIVIDAD NATURAL EXCESO DE PROTONES EMISIÓN α CAPTURA K LEYES EMISIÓN β+ FAMILIAS EXCESO DE NEUTRONES CINÉTICA RADIACTIVIDAD ARTIFICIAL EMISIÓN β- RAYOS γ REACCIONES NUCLEARES FISIÓN FUSIÓN Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 107 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 FII. UD.10. FÍSICA RELATIVISTA Y CUÁNTICA Trabajo: Realizar una cronología física que abarque desde los últimos años del S.XIX hasta el lanzamiento de la Bomba Atómica en Hiroshima. Entendemos cronología física como ordenación en el tiempo de hechos y descubrimientos fundamentales en Física. La relatividad en la Mecánica Clásica Newton, en lo que se conoce como relatividad newtoniana, afirma que sólo se puede hablar de velocidad relativa de una sistema respecto a otro y no de velocidad absoluta de un sistema. El principio de relatividad de Galileo afirma: “La materia obedece a las mismas leyes de la Física en cualquier sistema de referencia inercial, independientemente de su orientación, posición o movimiento a velocidad constante”. o Si este principio resultase violado, los experimentos tendrían resultados diferentes en un laboratorio móvil y en uno fijo; los resultados nos permitirían determinar cuál era el fijo, contradiciendo así la idea de relatividad del movimiento Transformaciones de Galileo Nos permiten conectar los datos obtenidos en dos sistemas inerciales diferentes en movimiento relativo y uniforme. - Para un sistema (OXYZ)’ en movimiento a velocidad v en dirección del eje OX respecto al sistema OXYZ tendremos que: ⎧ x = x '+ vt ⎧ x ' = x − vt ⎪ ⎪ ≡⎨y' = y ⎨y = y' ⎪z = z ' ⎪z ' = z ⎩ ⎩ G - Generalizando, para un movimiento en la dirección de r tendremos que: JG G JJG JG G JJG r ' = r − vr t y v ' = v − vr JJG donde vr es la velocidad relativa del sistema (OXYZ)’ respecto al sistema OXYZ. Relatividad de Einstein. Antecedentes Los profesores de Einstein enseñaban que la luz obedecía unas leyes completamente diferentes de aquellas que eran aplicables a la materia. - Consideraban que las ondas de luz constituían una vibración de un medio especial que denominaban “éter”. - A pesar de que el tratamiento de Maxwell del Electromagnetismo no hacía referencia alguna a medios, sencillamente no podían concebir una onda que no fuese la vibración de algún medio. - Así, a pesar de que la piedra angular de la Física había sido durante más de dos siglos la relatividad del movimiento, parecía intuirse la idea de que para el tratamiento de la luz, había ciertos medios que se encontraban en reposo absoluto respecto al éter y en consecuencia eran preferibles frente a otros. - Si analizamos el sueño de juventud de Einstein: “correr en moto a velocidad de la luz junto a un rayo de luz y poder hacer medidas” , en el sistema de referencia del motorista, la luz sería completamente estática, se podrían introducir en ella todo tipo de instrumentos de medida, monitorear los campos eléctrico y magnético y encontrar que los mismos serían constantes en cualquier punto. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 108 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Aquí se produciría una violación de las leyes de Maxwell, que afirman que un campo eléctrico sólo puede producirse por carga o por variación de un campo magnético. Si ninguna de las dos situaciones se produce en el sistema de referencia del motorista ¿cómo existe pues el campo eléctrico? o Razonamientos similares, también basados en la cuarta ecuación de Maxwell, dificultan la existencia del campo magnético que también mediría el motorista. Einstein no podía tolerar esta discrepancia en el tratamiento de la luz y la materia y se decidió a reconstruir el edificio de la Física con un sólo concepto en mente: o - Tanto la luz como la materia obedecen las mismas leyes de la Física en cualquier sistema de referencia inercial, independientemente de su orientación, posición o movimiento a velocidad constante Las ecuaciones de Maxwell son las leyes básicas que gobiernan la luz y predicen un valor para su velocidad de c=3.0·108 m/s, de manera que este primer concepto de Einstein tiene una primera implicación inmediata: o “La velocidad de la luz ha de ser la misma en todos los sistemas de referencia”. Distorsión del tiempo y del espacio La última frase del epígrafe anterior no es fácil de asimilar: - Si mi perro se ha escapado y corre delante de mi a 5 m/s en el sistema de la acera y yo corro tras él a 3 m/s en el mismo sistema, la velocidad del perro en mi propio sistema es de 2 m/s. Es decir, de acuerdo con todo lo que conocemos de Física, el perro tiene dos velocidades distintas dependiendo del sistema de referencia del observador. ¿Cómo puede entonces la velocidad de la luz ser constante para un observador en reposo y para alguien que la persigue a altísima velocidad? - De hecho, la extraña constancia de la velocidad de la luz aparece en el ahora famoso experimento de Michelson y Morley de 1887. o Michelson y Morley crearon un “aparato listo” para medir la diferencia de velocidades en dos rayos de luz, viajando respectivamente en direcciones Norte-Sur y Este-Oeste. El movimiento de la Tierra alrededor del Sol a 110.000 Km/h hacia el Oeste, pensaban, debido a su creencia en el éter y en la constancia de la velocidad de la luz respecto al mismo, causaría un efecto en la velocidad del rayo que viajaba de Este a Oeste. o Suponían que si lanzaban un rayo de luz de Este a Oeste, éste se movería a velocidad menor de la normal ya que la Tierra lo perseguía en el éter. o Se sorprendieron cuando la variación esperada de alrededor del 0,01% en las velocidades no se dio. - Aunque el experimento de Michelson y Morley se llevó a cabo casi dos décadas antes de que Einstein publicase su primer documento sobre relatividad en 1905, Einstein no tuvo constancia del mismo hasta bien después de su publicación de la teoría de la relatividad. El mérito de Einstein radica en su bravura a la hora de proponer una solución radical a la negación de la luz a obedecer las leyes de adición y sustracción de velocidades debidas al movimiento relativo. - Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 109 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Propuso que debería existir estiramiento y compresión del tiempo observado en diferentes sistemas de referencia. Dado que v=e/t , un adecuada distorsión del tiempo podría conseguir que la luz fuese observada con la misma velocidad en todos los sistemas de referencia. - Esta conclusión podría haberse alcanzado dos generaciones de físicos antes, tras la publicación de las ecuaciones de Maxwell, pero las actitudes acerca del espacio-tiempo absolutos implantadas por Newton estaban tan arraigadas que a nadie se le ocurrió contravenirlas hasta Einstein. - Trabajo: Ampliar conocimientos consiguiendo información sobre la contracción de Fitzgerald. Dilatación relativista del tiempo Supongamos que viajamos a bordo de un cohete espacial y que en el mismo tenemos un tubo especial con espejos en los extremos. - Lanzamos un destello de luz al fondo del tubo que se reflejará una y otra vez entre ambos extremos del mismo En principio podemos usar el tubo como un reloj, lo que no parece muy práctico pero que sin embargo es fundamento de los relojes atómicos reales. - Imaginemos ahora que en la segunda figura, el cohete viaja a una fracción significativa de la velocidad de la luz. o Una persona a bordo del cohete y debido a la relatividad del movimiento no encontrará ningún cambio de comportamiento en el reloj. o Una persona en un SRI terrestre observaría la luz como efectuando un zigzag a lo largo del espacio, incrementándose de esa forma la distancia recorrida Si no creyésemos en la relatividad, si las velocidades no fuesen próximas a c y si el objeto zigzagueante fuese por ejemplo una pelota de ping-pong , zanjaríamos la cuestión diciendo que bajo el punto de vista del observador terrestre, el objeto (luz) viaja más rápido ya que recorre mayor distancia (zigzag) en el mismo tiempo. - Ahora bien, de acuerdo con los principios de la relatividad, la velocidad de la luz ha de ser la misma en todos los SRI, con lo que nos vemos obligados a admitir una distorsión del tiempo y que concretamente bajo el punto de vista del observador terrestre, el reloj de luz del cohete funciona más lento a bordo del cohete. La velocidad se relaciona con el espacio y el tiempo, de manera que presumiblemente, si el tiempo está distorsionado, es espacio lo está igualmente para que de alguna manera el cociente espacio/tiempo pueda dar un valor constante a la velocidad de la luz. - Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 110 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Analicemos un zigzag de luz teniendo lugar en un intervalo de tiempo ∆t c∆t será 2 la distancia recorrida por la luz en la v∆t será mitad del zigzag, mientras que 2 la distancia recorrida por el cohete en el mismo tiempo. Por simple aplicación del Th. de Pitágoras, tendremos que: Sea d la longitud del tubo-reloj, c∆t 2 d v∆t 2 2 ⎛ c∆t ⎞ ⎛ v∆t ⎞ 2 ⎜ ⎟ = d +⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2 De donde despejando ∆t obtendremos: 2d 2d 1 1 ∆t = = · = ∆t '· = ∆t '·γ c c2 − v2 v2 v2 1− 2 1− 2 c c Donde ∆t’ será el tiempo transcurrido par el observador inercial a bordo del cohete, también llamado TIEMPO PROPIO. Dado que γ<1→ ∆t >∆t’, efecto que se conoce como dilatación relativista del tiempo. Contracción relativista de la longitud. La longitud L de un objeto a lo largo de la dirección del movimiento, medida en el referencial donde se mueve, siempre parece menor que la longitud propia L’ del objeto en el referencial donde se encuentra en reposo. v2 1 = L '· 2 c γ La anchura no varía, el efecto sólo afecta a la longitud en la dirección del movimiento, no a la perpendicular. L = L ' 1− Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 111 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Transformaciones de Lorentz Son las ecuaciones de la Relatividad Especial que relacionan las coordenadas espaciales y temporales de dos sistemas inerciales. - Sea un sistema O’ que se aleja del sistema O a velocidad v constante a lo largo del eje OX . o (x, y, z, t) → (x, y, z, t)’ vx t− 2 x − vt c , y ' = y, z ' = z , t ' = x' = 2 v v2 1− 2 1− 2 c c o (x, y, z, t)’ → (x, y, z, t) vx ' c2 , y = y ', z = z ', t = x= v2 v2 1− 2 1− 2 c c Si γ→1, entonces v<<<c y la transformación de Lorentz se convierte en la transformación de Galileo. x '+ vt t '+ El espacio-tiempo Las transformaciones de Lorentz ligan espacio y tiempo; para conocer la coordenada x’ en el sistema de referencia hay que conocer datos acerca de x y t. - Def: Denominamos SUCESO al conjunto de 4 coordenadas que indican la localización de un evento. Son tres coordenadas espaciales y una coordenada temporal. Se expresa como (c.t, x, y, z) - La coordenada ct denominada 4ª dimensión provee la unificación de los conceptos espacio y tiempo en el espacio-tiempo. Momento lineal y masa relativista Todos los conceptos de mecánica clásica necesitan ser redefinidos para que sufriendo las transformaciones de Lorentz se sigan preservando los principios y leyes de conservación que hemos asumido como invariantes. La masa relativista de un cuerpo observado en movimiento, siempre parece ser mayor que si estuviera en reposo. Variación relativista de la masa - Si denominamos m0 a la masa en reposo (o velocidades v<<c), tendremos: G JG G m0 m0 v m= = γ .m0 ⇒ p = = γ m0 v v2 v2 1− 2 1− 2 c c Energía cinética relativista JG G JG d p JG dv dm dm ⇒F =m +v ; obviamente, el término Según Newton F = = 0 para dt dt dt dt Newton , pero no así para Einstein. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 112 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 - - Como sabemos, el trabajo necesario para acelerar una partícula desde el reposo hasta cierta velocidad final v es la Energía Cinética de dicha partícula: x x v d (mv) Ec = ∫ Fdx = ∫ dx = ∫ v·d (mv) dt 0 0 0 de donde integrando por partes y usando la expresión relativista para la masa, obtendremos : E = (m − m0 )c 2 = mc 2 − m0c 2 donde E0=m0c2 se denomina energía en reposo de la partícula y E=mc2 energía total relativista .Teniéndose finalmente que E=Ec+E0 La variación relativista de la masa fue observada experimentalmente por Kauffmann, desviando electrones de alta velocidad en campos eléctricos y magnéticos. De tal ecuación puede obtenerse la siguiente conclusión: Si una partícula experimenta un cambio en su energía ∆E, su masa sufrirá una variación ∆m que vendrá dada como: ∆E ∆m = 2 c expresión que constituye el principio de equivalencia entre masa y energía. La equivalencia masa-energía produce dos conclusiones muy importantes: Las leyes de conservación de la masa y la energía se funden en una misma ley de conservación, de forma que para un sistema cerrado ∑ ( Ec + m0 c 2 ) = cte La idea de la equivalencia sugiere que parte de la energía en reposo se puede transformar en otra forma de energía. Dado que la energía equivalente de la masa es enorme, una pequeña reducción de masa es acompañada de la liberación de una gran cantidad de energía. La masa de la luz El fotón es una partícula sin masa pero con energía, el valor E 2 = p 2 ·c 2 ó E = p·c , donde E=mc² y p=mv nos lleva a : E pc vp v p=v 2 =v 2 = ⇒ = 1⇒ v = c c c c c - Es decir, si existiese una partícula sin masa pero con energía, tal partícula sólo podría moverse a velocidad de la luz. Dado que sólo la luz puede alcanzar tal velocidad, afirmamos que: o La luz está formada por partículas sin masa llamadas fotones o Ninguna partícula con m0>0 puede llegar a moverse con velocidad igual o mayor que c. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 113 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 FÍSICA CUÁNTICA Planck y la cuantización de la energía La insuficiencia de la Física Clásica viene determinada por 3 fenómenos que no conseguían una explicación satisfactoria: o Efecto fotoeléctrico o Radiación del cuerpo negro o Espectros discontinuos emitidos por átomos a temperatura elevada. - La denominada catástrofe ultravioleta es el fenómeno por el cual se manifiesta otra insuficiencia de la Física Clásica que predecía energía infinita para la emisión en frecuencia ultravioleta cuando experimentalmente se comprobó que tendía a cero. - La figura a) muestra la intensidad de la radiación (Kw/m²) en función de λ hallada experimentalmente, la figura b) muestra la predicción de la Física en el momento. Las leyes de Stefan-Boltzmann, Wien y Rayleigh-Jeans son diferentes intentos de explicación del espectro del cuerpo negro, que lo consiguen en algunas zonas del espectro, fracasando en otras: o Stefan-Boltzmann: P=σT4 S donde σ=5.67·10-8 Wm-2K-4 o Wien: λmaxT=2.9·10-3 mK Hipótesis de Planck - La energía se emite o absorbe de forma discontinua en paquetes de energía o cuantos. o Explicó la curva experimental suponiendo que la radiación en el cuerpo negro era absorbida por átomos, iones y moléculas en un cristal; tales elementos, al vibrar emiten radiación electromagnética en forma de cuantos. Expresó en dos hipótesis las características de estos osciladores elementales. Los átomos que emiten radiación se comportan como osciladores y sólo pueden emitir energía en cantidades discretas o cuantizadas. Sólo son posibles ciertas energías, que verifican: E = nhν / n = 1, 2,3, 4,... donde ν es la frecuencia de la radiación y h es la constante de Planck (h=6.63·10-34) o Planck definió h como la mínima cantidad de energía térmica capaz de convertirse en luz de frecuencia ν o En el ámbito macroscópico basta con hacer h→0 para conseguir E→0 a frecuencias altas (λ bajas) Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 114 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Einstein y el efecto fotoeléctrico Se denomina efecto fotoeléctrico a la evidencia experimental de emisión electrónica al irradiar un metal con luz LUZ eA Propiedades del efecto fotoeléctrico 1. El número de electrones emitidos es proporcional a la intensidad de la luz incidente 2. Existe una frecuencia umbral para cada metal, por debajo de la cual no se produce emisión sea cual sea la intensidad de la luz 3. La Energía cinética de los electrones no depende de la intensidad luminosa, sino de la diferencia entre la frecuencia de iluminación ν y la frecuencia umbral ν0. De hecho Ec es proporcional a la diferencia ν- ν04. La emisión de electrones es casi instantánea tras la iluminación Las propiedades 2 y 4 fundamentalmente, no eran explicables al amparo de la teoría de Maxwell. Interpretación de Einstein. Einstein, en 1905, explicó este fenómeno afirmando que la energía no se transmite repartida en toda la onda (como se suponía en la teoría clásica), sino agrupada en unos paquetes de energía que llamó fotones (partícula sin masa en reposo, pero con una cantidad de movimiento y energía) que se mueven con la onda. O mejor aún, que al moverse son guiados por una onda que es la que se detecta en determinadas experiencias. Cuando la luz llega a la superficie del metal la energía no se reparte equitativamente entre los átomos que componen las primeras capas en las que el haz puede penetrar, sino que por el contrario sólo algunos átomos son impactados por el fotón que lleva la energía y, si esa energía es suficiente para extraer los electrones de la atracción de los núcleos, los arranca del metal. - La energía cinética de los electrones emitidos depende de la frecuencia de la radiación incidente y de la posición que ocupa ese electrón en el metal. hν- hνo=½ m v2 . (La energía incidente menos el trabajo de extracción es igual a la energía cinética del electrón extraído). Ecuación de Einstein. - - Existe un potencial de corte (Vo) o potencial de frenado para el que i=0. Este potencial de corte es independiente de la intensidad de la radiación (I), pero depende de su frecuencia. El producto del potencial por la carga es trabajo ( por la definición de potencial V=W/q ). El trabajo de frenado (Voq) debe ser suficiente para frenar a los electrones más rápidos, que son los que estaban menos ligados al metal. Vo · qe=½ m v2 . Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 115 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Según la teoría de conducción metálica de Sommerfeld los electrones de conducción tienen diferentes energías de unión al metal. Se puede establecer la distribución de electrones por energías aplicando la teoría estadística de Fermi-Dirac. - - En el gráfico anterior vemos varios electrones (bolas rojas). El electrón ligado al metal con una energía Em (máxima) al ser extraído alcanza una energía cinética máxima entre la de todos los electrones. Otro electrón más ligado, situado en Ei requerirá más energía de extracción y por lo tanto alcanza una energía cinética menor. Un electrón muy ligado no puede ser extraído, quizá pueda sólo ser promocionado a un nivel superior. La explicación de Einstein coincide con los hechos experimentales. Si se repartiese la energía de la onda entre los trillones de átomos en los que incide la radiación, tardarían años en acumular la energía necesaria para ser extraídos y todos los electrones superficiales de los átomos de la superficie abandonarían de golpe el metal, al cabo de ese tiempo. Por el contrario, se comprueba experimentalmente, que desde que incide la radiación hasta la extracción de los electrones transcurren solamente algunos nanosegundos y sólo son extraídos unos pocos electrones de los millones que componen las capas superficiales. La energía emitida es discontinua, va en paquetes, tal como había enunciado Planck (que sin embargo creía que se propagaba repartida en la onda, como lo suponía la teoría clásica). La aportación original de Einstein es que la energía se transmite e impacta de manera discontinua o discreta, en paquetes. Dualidad onda-corpúsculo En 1924 de Broglie plantea: “ Si la luz, considerada hasta el momento como una onda, presenta características de partícula (fotón) quizá una partícula como un electrón pueda presentar características ondulatorias”. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 116 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Estudió la teoría de Einstein y combinó las características de la luz como onda y como partícula Como onda: λ E = mc 2 Onda-Partícula c mc 2 = h λ mc = h λ Usando la segunda expresión de onda-partícula mc = h Como partícula: JG p c E = hν = h λ λ y teniendo en cuenta que v≈c h → Longitud de onda de de Broglie λ p “Todo corpúsculo material tiene una onda asociada cuya longitud de onda viene determinada por la longitud de onda de de Broglie” se tendrá que mc=mv=p de donde p = h ⇒ λ = Principio de Incertidumbre de Heisenberg En 1927 W. Heisenberg establece que existen situaciones en el estudio del mundo subatómico en las que no es posible conocer al mismo tiempo los valores de dos magnitudes diferentes de una partícula elemental, por el hecho de que medir una de ellas interfiere con nuestra capacidad para medir la segunda. - Primera formulación : En el mundo microscópico es prácticamente imposible realizar medidas simultáneas de la posición y velocidad de una partícula con precisión infinita. o SUPONE: El abandono de la CAUSALIDAD DETERMINISTA - Formulación formal: Si denominamos ∆x a la indeterminación de la posición de una partícula e ∆p a la indeterminación de su momento lineal, en cualquier intento de medir ambas indeterminaciones: h ∆x·∆p ≥ 2π - Formulación Energía-Tiempo: h ∆E·∆t ≥ 2π El valor numérico tan pequeño de la constante de Planck justifica que en el mundo macroscópico pueda ignorarse la interacción del observador con el objeto analizado Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 117 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 FII UD 11. FÍSICA NUCLEAR Existe en los átomos un núcleo cargado donde reside la práctica totalidad de la masa, siempre un múltiplo de la del átomo de Hidrógeno. Dicho múltiplo se denomina NÚMERO MÁSICO A = ( protones + neutrones). Protones y neutrones son también denominados NUCLEONES, siendo el número de protones el denominado NÚMERO ATÓMICO Z. En consecuencia, el número de neutrones N=A-Z; conocidos A y Z los núcleos se representan mediante el simbolismo A Z X Nucleidos: Especies o estructuras nucleares, no necesariamente constituyentes de elementos. Se clasifican en: - Isótopos: Átomos del mismo elemento con idéntico número atómico y diferente número másico; se diferencian por lo tanto en el número de neutrones. - Isotonos : Átomos con A y Z distintos pero que coinciden en el número de neutrones. - Isóbaros: Átomos con A idéntico aunque pertenezcan a diferentes elementos y presenten Z y N distintos. Tamaño y carga del núcleo Consideramos que el radio nuclear es proporcional al número másico, mediante la 1 relación: R = r0 · A 3 donde r0 = 1,3·10−15 m y es una constante para todos los átomos. La carga del núcleo es +Ze siendo e=1,6·10-19C. Fuerzas nucleares Explican la estabilidad de los núcleos atómicos y justifican que permanezcan aglutinados venciendo las fuerzas repulsivas entre protones. - Son de naturaleza distinta a las fuerzas gravitatorias y electromagnéticas y considerablemente más complejas. - Son de dos tipos: o Fuerza nuclear débil: Responsable de la desintegración β o Fuerza nuclear fuerte: Responsable de la cohesión del núcleo, sus propiedades fundamentales son: Corto alcance (10-15m) Independientes de la carga eléctrica De gran intensidad Independientes de A y Z Estabilidad nuclear Un núcleo se considera estable si no transmuta en 1021 años, si bien puede transformarse en otros núcleos bajo ciertas condiciones. - Son inestables los núcleos con Z>83 y además radiactivos debido a la relación neutrón/protón neutrones 1 , mientras que en los - Los elementos ligeros y estables mantienen protones 1 átomos pesados la misma relación puede llegar a ser 6/1 Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 118 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Energía de enlace nuclear La energía de enlace nuclear o de ligadura es la energía necesaria para separar de un núcleo alguno de sus nucleones, o bien la energía que se libera cuando se unen los nucleones para formar un núcleo. - El origen de esta energía reside en que la masa total de un núcleo en reposo es menor que la suma de las masas en reposo de sus nucleones constituyentes. - Para separar los nucleones, pues, debe aplicarse energía - El defecto másico se corresponde con la energía de enlace mediante la ecuación de Einstein ∆E=∆m·c2 - La energía media de enlace por nucleón “f “ puede calcularse como: 2 ∆E ( N ·mn + Z ·m p − mnúcleo )c = f = A A - El valor máximo de f se obtiene para A=62 correspondiente a Fe, Co, Ni - El decremento de f para A>62 se debe a la repulsión coulombiana entre protones; para A<60 cada nucleón es atraído por pocos nucleones, lo que reduce su estabilidad. Radiactividad natural TRABAJO: Extraer de la cronología propuesta al inicio de la UD 10, los hechos más relevantes en cuanto a radiactividad, entre 1890 y 1930, poniendo énfasis en el contenido de los hechos y descubrimientos. Emisiones radiactivas También conocidas como procesos de decaimiento radiactivo. Desintegración por exceso de protones Un nucleido por debajo de la franja de estabilidad Z/N, es decir con número de protones superior al de neutrones, deberá reducir su número de protones para ser estable. Ello puede realizarse de tres formas: - Emisión α : Se da en núcleos con Z>83 y va acompañada de la emisión de una gran cantidad de energía, procedente del defecto másico producido: ZA X → ZA−−42Y + 24 He - Captura K o captura electrónica: Se produce en átomos con exceso de protones. Consiste en la captura de un electrón de la capa K por un protón, produciendo un neutrón: ZA X + −10 e → Z −A1Y ; p + + e − → n - Emisión β+ : Se produce cuando un núcleo emite una partícula β+, también llamado positrón (electrón con carga positiva): A A 0 p + → n + e+ Z X → Z −1Y + +1 e; Desintegración por exceso de neutrones Se da en aquellos átomos o nucleidos situados por encima de la franja de estabilidad Z<N, eliminando neutrones que se transforman en protón + electrón - Emisión β-: ZA X → Z −A1Y + −10 e; n → p + + e − . Al estudiar esta reacción se comprobó que no se cumplían las leyes de conservación, por lo que se postuló la existencia de otra partícula elemental a la que se denominó neutrino ν. El neutrino carece de carga y tiene masa en reposo nula: A A 0 Z X → Z +1Y + −1 e + ν Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 119 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 - En la desintegración β+ se ha descubierto en antineutrino ν antipartícula del neutrino. Desintegración por emisión de rayos γ : En la mayoría de los casos, tanto la emisión de α como de β van acompañadas de emisión de radiaciónn electromagnética en forma de fotones, que son las “partículas” γ. Cuando un átomo emite esta radiación , se altera su contenido energético pero no cambia el número de partículas atómicas, por lo que continúa siendo el mismo elemento y no cambia su posición en la curva Z/N: A * A Z X → Z X + γ ; * = excitado energéticamente Leyes de la desintegración radiactiva Def: Denominamos semivida o período de semidesintegración T1/2 al tiempo necesario para que el número de átomos iniciales se reduzca a la mitad. N N0 N0/2 N0/4 T1/2 t Familias radiactivas Las mayores fuentes de radiactividad natural se encuentran en los minerales de Uranio y Thorio. Los nucleidos iniciales U-235, U-238 y Th-232 tienen unos valores de vida media muy altos y al desintegrarse, transmutan en otros nucleidos también inestables, que vuelven a desintegrarse hasta llegar a un nucleido estable. Son las denominadas series o familias radiactivas A=4n (Th-232) El número másico toma valores A=4n+1 (Np-237) determinados por una relación de A=4n+2 (U-238) recurrencia n=+/-(0,1,2,3,4,...) A=4n+3 (U-235) entero Cinética de la desintegración radiactiva La desintegración radiactiva está gobernada por leyes estadísticas La ley de desintegración radiactiva indica que el número de nucleidos que se desintegran, dN en un tiempo dt, es decir, la velocidad con la que se desintegra un cuerpo radiactivo, es proporcional al número de nucleidos presentes N. dN = −λ N dt λ (s-1) es la constante de desintegración, fracción de núcleos que se desintegran por segundo por cada núcleo presente en la muestra Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 120 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 dN dN = −λ N ⇒ = −λ dt ; de donde dt N N t dN N ∫N N = −λ ∫0 dt ⇒ Ln N0 = −λt; luego 0 N = e − λt ⇒ N = N 0 e − λt N0 donde N es el número de átomos sin desintegrar en el instante t Cada sustancia tiene un período de semidesintegración característico que puede deducirse de la ley anterior, haciendo N=N0/2 N0 1 = N 0 e − λT1/ 2 ⇒ = e − λT1/ 2 ⇒ 2−1 = e− λT1/ 2 2 2 Tomando Ln Ln 2 Ln 2−1 = +1·Ln 2 = +λT1/ 2 ⇒ T1/ 2 = λ La vida media será el valor medio de duración de los núcleos de una sustancia 1 T radiactiva: τ = = 1/ 2 λ Ln2 La velocidad de desintegración de una sustancia radiactiva es el número de desintegraciones que se producen por unidad de tiempo. Su valor absoluto es la dN = λN actividad radiactiva: A = dt Con los detectores de radiación medimos ACTIVIDAD RADIACTIVA en Bq (Becquerel) Radiactividad artificial Denominamos radiactividad artificial tanto a la radiactividad espontánea de nucleidos artificiales como a la desintegración radiactiva de nucleidos normalmente estables. Reacciones nucleares Son reacciones que cambian la identidad o naturaleza de los nucleidos utilizados como blanco. De forma general se considera una reacción nuclear aquella en la que un núcleo X denominado blanco es bombardeado con una partícula a denominada proyectil, resultando un núcleo Y y una partícula b. a + X → Y + b ≡ X (a, b)Y Fusión y fisión nuclear Fisión nuclear Consiste en la ruptura de un núcleo pesado en fragmentos de tamaño medio. La reacción se produce bombardeando el átomo pesado (U-235 habitualmente) con un neutrón, obteniéndose 2 fragmentos y además dos o tres neutrones que facilitan sucesivas fisiones en cadena. Es una reacción enormemente energética que produce energía por defecto de masa. Fusión nuclear Consiste en la unión de dos núcleos ligeros para formar uno más pesado. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 121 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 La reacción más fácil de conseguir es la de deuterio y tritio (isótopos del Hidrógeno) para formar He y un neutrón, liberando 17,6 Mev. Su contenido energético por nucleón es superior al de fisión, lo que la hace más rentable en términos de contenido energético por unidad de masa. Para que se produzca de forma eficiente es necesario alcanzar el estado de plasma y lograr una concentración mínima de partículas durante un tiempo suficientemente largo. (Criterio de Lawson). Cuando calentamos cualquier sustancia a 108K se convierte en plasma, una sustancia neutra que contiene el mismo número de electrones e iones positivos. RECOMENDACIÓN: LEED EL RESTO DEL CAPITULO DEL LIBRO DE TEXTO. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 122 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 EFECTO FOTOELÉCTRICO La emisión de electrones por metales iluminados con luz de determinada frecuencia fue observada a finales del siglo XIX por Hertz y Hallwachs. El proceso por el cual se liberan electrones de un material por la acción de la radiación se denomina efecto fotoeléctrico o emisión fotoeléctrica. Sus características esenciales son: • Para cada sustancia hay una frecuencia mínima o umbral de la radiación electromagnética por debajo de la cual no se producen fotoelectrones por intensa que sea la radiación. • La emisión electrónica aumenta cuando se incrementa la intensidad de la radiación que incide sobre la superficie del metal, ya que hay más energía disponible para liberar electrones. En los metales hay electrones que se mueven más o menos libremente a través de la red cristalina, estos electrones no escapan del metal a temperaturas normales por que no tienen energía suficiente. Calentar el metal es una manera de aumentar su energía. Los electrones "evaporados" se denominan termoelectrones y este es el tipo de emisión que se da en las válvulas electrónicas. Veremos que también se pueden liberar electrones (fotoelectrones) mediante la absorción por el metal de la energía procedente de radiación electromagnética. Descripción Sea We la energía mínima necesaria para que un electrón escape del metal, que conocemos con el nombre de trabajo de extracción. Si el electrón absorbe una energía Ei, la diferencia Ei-We será la energía cinética del electrón emitido. Ec = Ei − We . Einstein explicó las características del efecto fotoeléctrico, suponiendo que cada electrón absorbía un cuanto de radiación o fotón. La energía de un fotón se obtiene multiplicando la constante h de Planck por la frecuencia ν de la radiación electromagnética. E=h· ν . Si la energía del fotón Ei, es menor que la energía de extracción We, no hay emisión fotoeléctrica. En caso contrario, si hay emisión y el electrón sale del metal con una energía cinética Ec = Ei-We . Por otra parte, cuando una placa de área S se ilumina con cierta intensidad I, absorbe una energía en la unidad de tiempo proporcional a IS; basta dividir dicha energía entre la energía por fotón E=hν para obtener el número de fotones que inciden sobre la placa en la unidad de tiempo. Como cada electrón emitido toma la energía de un único fotón, concluimos que el número de electrones emitidos en la unidad de tiempo es proporcional a la intensidad de la luz que ilumina la placa Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 123 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 Mediante una fuente de potencial variable, tal como se ve en la figura podemos medir la energía cinética máxima de los electrones emitidos. Aplicando una diferencia de potencial V entre las placas A y C se frena el movimiento de los fotoelectrones emitidos. Para un voltaje V0 determinado, el amperímetro no marca el paso de corriente, lo que significa que ni aún los electrones más rápidos llegan a la placa C. En ese momento, la energía potencial de los electrones se hace igual a la energía cinética. E p = eV0 = hν − We = E c Variando la frecuencia ν (o la longitud de onda de la radiación que ilumina la placa) obtenemos un conjunto de valores del potencial de frenado V0. Llevados a un gráfico obtenemos una serie de puntos (potencial de frenado, frecuencia) que se aproximan a una línea recta. hν − We h W = ν− e e e e Ecuación de una recta y = mx + n donde W h m= ;n= e e e eV0 = hν − We ⇒ Vo = Midiendo el ángulo formado por dicha recta y el eje de abscisas y calculando la tangente del mismo, obtendremos la pendiente o lo que es lo mismo h/e. Conocida la carga del electrón qe =1.6 10-19 C es trivial obtener el valor de la constante de Planck, h=6.63 10-34 Js. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 124 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 ν We/e Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 125 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 EFECTO COMPTON Una demostración interesante de la naturaleza corpuscular de la luz fue ofrecida por Arthur Compton en el año 1922. El fenómeno en pocas palabras era el siguiente: cuando los rayos X incidían en la superficie de un cristal (mineral), salían reflejados con una longitud de onda mayor, o lo que es lo mismo una frecuencia menor, dependiendo del ángulo de reflexión.. Compton concluyó que este fenómeno se podía entender si se piensa en los rayos X como fotones individuales, es decir como pequeñas bolas de billar que golpean contra otras (los núcleos y los electrones del elemento que compone el cristal). El cambio energético del fotón en la colisión significa, de acuerdo al postulado de Planck, un cambio en la frecuencia (un aumento de la longitud de onda). Esta variación es fácilmente detectable y corrobora la idea de que la energía es proporcional a la frecuencia. Según la teoría ondulatoria de la luz, no existían razones que pudieran explicar el porqué de este cambio de frecuencia en la interacción entre ciertas radiaciones electromagnéticas y la materia (los electrones que la componen). Por este trabajo Compton recibió el premio Nobel en 1927. Esquema del efecto Compton. Se representa la dispersión de un fotón que colisiona con un electrón inicialmente estacionario, generando la dispersión de un electrón y un fotón como resultado de la colisión elástica. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 126 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 CUADERNO DE PROBLEMAS Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 127 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 TEORÍA GENERAL DE CAMPOS 1. Sea el campo escalar V(x, y, z) = 1 =C. x 2 + y2 + z 2 Determina la ecuación de sus superficies equiescalares 2. Dibuja algunas líneas de campo de JG G a. A JG = 2i G b. A = 3x j 3. Dado el campo escalar V(x,y)=x2+y2+1, se pide: a. La ecuación de sus líneas equiescalares y su representación en el plano XY. JG b. La expresión general de ∇V y su valor en el punto (1,0) c. Representar este último vector en el plano XY JG G G 4. Calcula la circulación del campo A = 2xi + 2y j desde el punto B(0,0) hasta C(1,1) siguiendo la trayectoria y=x2. ¿Es conservativo? JG G G G 5. ¿Tiene asociado el campo A = 2i − 3j − 4k un potencial escalar? JG G G 6. Dado el campo A = xi − y j , calcular: a. La expresión del potencial y su valor en P(1,1) sabiendo que el potencial en el punto de referencia Q(0,0) vale 1. b. La ecuación de las líneas equipotenciales 7. Dado el potencial V=Cz, determina la expresión del vector campo. C=cte distinta de 0. 8. ¿Cómo son las líneas de campo respecto a las superficies equipotenciales? 9. ¿Qué podemos decir de un punto del campo en el que confluyen líneas de campo? ¿Y de otro desde el que divergen? 10. Dados los siguientes campos determina cuáles de ellos son centrales, identificando los newtonianos entre los mismos: JG G G a) A = 2xi + 2y j JG G G x y b) A = i + j 3 3 5(x 2 + y 2 ) 2 5(x 2 + y 2 ) 2 JG G G c) A = 2xi − 3y j JG G G 11. Sobre una partícula actúa una fuerza F = 2i − j (N) . Obtén la expresión de su energía potencial asociada, sabiendo que en el punto de referencia (0,0) vale 0. 12. Demostrar que en un campo de fuerzas conservativo el trabajo realizado por la fuerza del campo en cualquier trayectoria cerrada es nulo, es decir, al volver la magnitud activa testigo al punto inicial, ni se gana ni se pierde energía. 13. La interacción entre átomos de una molécula diatómica puede representarse aproximadamente por la función de energía potencial 6 ⎡⎛ x 0 ⎞2 ⎛ x0 ⎞ ⎤ E p (x) = E p0 ·⎢⎜ ⎟ − 2 ⎜ ⎟ ⎥ ⎝ x ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢⎝ x ⎠ siendo x0 y Ep0 constantes. Determina la fuerza que actúa entre los átomos de la molécula. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 128 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 14. Un niño se balancea en un columpio, ¿se conserva la Em del sistema formado por el niño y el columpio? JG G G G 15. Determina el momento de la fuerza F = i − 3j + 2k(N) aplicada en el punto (1,0,4) (m) con respecto al origen de coordenadas. G G 16. Para t=0 una masa m=3 Kg. situada en r = 5i tiene una velocidad JJG G v 0 = 10 j (m / s) . Halla el momento angular de m respecto al origen para t=0 y t= 12 s. 17. Discute en qué casos se conserva el momento angular de una partícula. 18. Si el momento angular de un sistema de partículas es nulo ¿significa eso que todas las partículas están en reposo? 19. Cuando el momento angular de un sistema de partículas es constante ¿significa eso que la resultante de las fuerzas externas es nula? JG G G 20. Dado el campo A = − kxi − ky j , halla la expresión del potencial. 21. La resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo viene dada por la JG G G G expresión F = 6x 2 i + 2y j + 4zk . ¿Qué trabajo realiza esta fuerza al trasladar el cuerpo de (0,0,0) a (1,1,1)? Las coordenadas están expresadas en m. y la fuerza en N. 22. Dos niños de 25 y 20 Kg. están sentados en los extremos de un columpio de 3m. de largo. Calcula en qué punto se debe colocar el pivote para que el columpio se encuentre en equilibrio. 23. ¿Puede una partícula, que se desplaza con velocidad constante, tener momento angular nulo con respecto a un punto? 24. El vector de posición (S.I.) de un cuerpo de masa 6 Kg. viene dado por la G G G G expresión: r = (3t 2 − 6t)i − 4t 3 j + (3t + 2)k (m.) : a. Halla la fuerza que actúa sobre la partícula b. Calcula el momento respecto al origen de dicha fuerza c. Determina el momento lineal y angular de la partícula respecto al origen G JG JG dp JJG dL yM= d. Verifica que F = dt dt Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 129 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 CAMPO GRAVITATORIO 1. Cuando en el lenguaje coloquial decimos “el sol sale” y “el sol se pone”, ¿a qué teoría sobre el Universo estamos aludiendo de forma inconsciente? 2. Calcula la constante del sistema Tierra-Luna según la 3ª ley de Kepler. ¿Coincide con la del sistema Sol-Tierra? Datos: RT-S=1,49.1011 m., RT-L=3,89.108 m. 3. ¿Cuál es el sentido del signo menos en la expresión vectorial de la ley de Gravitación Universal? 4. ¿Por qué se dice que G es una constante universal? 5. Una masa de 5 Kg. dista 1 m. de otra masa de 72 Kg. ¿cuál es la fuerza de atracción gravitatoria entre ellas? 6. Si las masas anteriores están libres para moverse ¿cuáles son sus respectivas aceleraciones en ausencia de otras fuerzas? 7. Calcula la velocidad con la que orbita un satélite artificial situado a 10000 Km. de la superficie terrestre. 8. ¿Cuál es el período de rotación del satélite del ejercicio anterior? 9. Si la fuerza con la que la Tierra atrae a la Luna es del mismo tipo que la fuerza que hace caer la manzana del árbol ¿por qué la Luna no cae hacia la Tierra? 10. En qué punto de su trayectoria tiene su velocidad mínima un satélite artificial de órbita elíptica? 11. Calcula el momento angular de la Tierra suponiendo que su trayectoria es circular. Datos: Ms=1,9891.1030 Kg.; MT=5,98.1024 12. ¿Cuánto vale el módulo de la intensidad de campo gravitatorio creado por una esfera de 50 Kg. en un punto que dista 5 m. de su centro. 13. ¿Cuánto vale el módulo de la intensidad de campo gravitatorio en el punto medio de dos esferas de 100 Kg. y 250 Kg. respectivamente, separadas una distancia de 1 m.? 14. Calcula la masa de la Luna sabiendo que la gravedad en su superficie es 50 veces menor que en la Tierra. El volumen de la Luna es 50 veces menor que el de la Tierra. 15. Calcula la altura a la que es necesario subir por encima de la superficie de la Tierra para que la aceleración de la gravedad sea de 7 m/s2. 16. Al subir una montaña, ¿es mayor el trabajo realizado al subir por un camino corto y empinado o por uno largo de pendiente suave? 17. ¿Qué trabajo se realiza al desplazar un cuerpo de 1000 Kg. desde la superficie terrestre hasta una distancia igual a 3 veces el radio de la Tierra? 18. ¿Cuál es el sentido del signo menos en la expresión de la Energía potencial gravitatoria? 19. ¿Qué relación existe entre la Ec y la Ep de un satélite en órbita alrededor de la Tierra? 20. Calcula la energía total de un satélite artificial de 100 Kg. situado en una órbita circular terrestre a 300 Km. de altura sobre la superficie de la Tierra. 21. Un cometa tiene un período estimado de al menos 106 años ¿cuál es su distancia media al sol? 22. Los radios de las dos lunas de Júpiter son uno el doble del otro ¿cómo son en comparación sus períodos? 23. Explica como es posible estimar la masa del sol conocido el radio de la órbita y el período de revolución de alguno de sus planetas. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 130 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 24. Tres esferas uniformes de masas 2,4 y 6 Kg. se colocan en los vértices de un triángulo rectángulo de coordenadas (0,3), (0,0) y (-4,0) respectivamente. Calcula la fuerza gravitatoria sobre la masa de 4 Kg. 25. Tres masas puntuales m, m/2 y m se encuentran alineadas de manera que la primera dista de la segunda 2l y la tercera dista 3l de la primera y l de la segunda. Halla la expresión del campo gravitatorio en el punto medio entre las dos primeras. 26. Un satélite artificial gira alrededor de la Tierra con una velocidad orbital de 1,8.104 m/s. ¿A qué distancia se encuentra del centro de la Tierra? ¿cuál es su período de revolución?. 27. Un satélite artificial de 500 Kg. de masa gira en una órbita de 800 Km. de radio. Calcula: Momento angular, Ec, Ep, ET. 28. ¿Cuál es la velocidad mínima que es necesario comunicar a un objeto situado a 1000 Km. de altura para que escape del campo gravitatorio terrestre? 29. Un satélite da una vuelta a la Tierra cada 98 minutos a una altura de 500 Km. sobre la superficie. Calcula la masa de la Tierra 30. ¿A qué altura sobre la Tierra hay que colocar un satélite para que su período coincida con el período de rotación de la Tierra y por lo tanto se encuentre siempre sobre el mismo punto?. 31. ¿Es posible colocar un satélite del tipo anterior sobre cualquier punto de la superficie terrestre? Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 131 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 CAMPO ELÉCTRICO 1. ¿Es posible que la carga de una partícula sea de 6.10-19C? ¿y si fuera de -1,6.10-2? 2. ¿A qué distancia habrá que colocar dos cargas puntuales en el agua para que se repelan con la misma fuerza que a 1m. de distancia en el vacío? Dato. εr=80 para el agua. 3. Dos esferas cargadas e iguales de 0,2 g. cada una cuelgan del mismo punto mediante sendos hilos de 50 cm. de longitud. Las esferas tienen la misma carga y se separan hasta que los hilos forman un ángulo de 60º. Cuál es la carga de cada esfera? JJG G G 4. En el punto A cuyo vector de posición es rA = 2i + 3j m. se encuentra una carga puntual de +50 µC. Halla la intensidad de campo eléctrico en B cuyo vector de JG G G posición es rB = 8i − 5 j m . 5. ¿Pueden cortarse las líneas de campo eléctrico en un mismo punto? 6. Dos partículas cargadas con +2q y –q están separadas una distancia d. Determina un punto del espacio en el que el campo eléctrico sea nulo. 7. Se sitúan 4 cargas iguales y positivas en un cuadrado de lado L. ¿Cuánto vale el campo en el centro del cuadrado? 8. ¿Puede existir diferencia de potencial eléctrico entre 2 puntos de una región en la que el campo eléctrico es nulo? 9. El potencial a cierta distancia de una carga puntual es 600V y la intensidad de campo eléctrico 200 N/C. ¿Cuál es la distancia a la que se han efectuado los cálculos? 10. En una región del espacio el potencial eléctrico es constante. Deduce el valor del JG campo E . 11. Si la diferencia de potencial entre dos puntos del espacio es 0 ¿es correcto decir que también es nulo el campo en dicha región? 12. ¿Puede determinarse el potencial en un punto del espacio conocido el valor de la intensidad de campo en dicho punto? 13. En cada uno de los vértices de la base de un triángulo equilátero de 3 m. de lado hay una carga de 10 µC. Calcula la intensidad de campo eléctrico y el potencial en el tercer vértice debido a ambas cargas, considerando que están en el vacío. 14. Al aproximar dos cargas del mismo signo ¿la Ep aumenta o disminuye? ¿y si son de signo distinto? 15. Sea una partícula de carga 4.10-4C en una posición cuyo potencial es -10V. ¿Cuál será su Ep en eV? 16. Una carga de 6 µC se encuentra en el punto (0,0). Determina: a. El trabajo necesario para traer muy lentamente otra carga de 2 µC a 4 m. de la primera. b. La Ep de la segunda carga en esta segunda posición. 17. ¿Cuánto vale el flujo eléctrico total a través de una superficie cúbica situada en un campo eléctrico uniforme? 18. Ocho cargas iguales de 5.10-4 C se encuentran situadas en los vértices de un cubo regular de 1 m. de arista. En el centro se encuentra situada una novena carga de valor 7.10-3 C. Si consideramos una superficie esférica con centro coincidente con el centro del cubo y radio R, calcula el flujo del campo eléctrico a través de dicha superficie en los dos casos siguientes: a. R=0,5 Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 132 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 b. R=2 19. ¿Se seguiría cumpliendo el Teorema de Gauss si la ley de Coulomb fuese 1 Fα 3 ? r 20. Una carga eléctrica Q=3 µC está situada en el origen de coordenadas. Se pide: a. Flujo eléctrico a través de una superficie triangular de vértices (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), con las coordenadas expresadas en metros. b. Flujo a través de una superficie esférica de R = 1m. centrada en el punto (1,1,1). 21. Si el flujo a través de una superficie cerrada es 0, ¿pueden existir cargas eléctricas en el interior de la superficie? 22. Si se introduce un cuerpo cargado positivamente en el interior de un conductor aislado descargado ¿protege el conductor al exterior del mismo de las influencias del cuerpo cargado? 23. Una esfera conductora de 8 cm. de radio posee una carga de 0,3 µC. Calcular: a. Potencial eléctrico en un punto de la superficie b. Densidad superficial de carga sobre la esfera c. Trabajo que habrá que realizar para traer lentamente un protón desde el infinito a la superficie de la esfera. 24. En el interior de una esfera hueca conductora descargada y aislada de radio exterior 5 cm. y radio interior 3 cm. se coloca una carga puntual de 2 µC. a. ¿cuánto vale la carga inducida en la superficie interior de la esfera? b. ¿Cuál sería el potencial eléctrico en un punto que dista de la esfera 10 cm. ? c. Si la esfera se conecta posteriormente a tierra ¿cuánto vale la intensidad de campo para un punto situado a 6 cm. del centro? d. ¿qué conclusiones puedes deducir del apartado anterior? 25. Halla la fuerza que un hilo de carga de longitud infinita y densidad lineal de carga λ = 2 nC/m. ejerce sobre una carga de -5 nC situada a 5 m. del mismo. 26. Un hilo infinito cargado tiene una densidad de carga λ = 4 nC/m. Calcula el trabajo necesario para desplazar una carga de 10 µC desde un punto situado a 2 cm. del hilo hasta otro a 6 cm. 27. Dos hilos conductores ilimitados están situados paralelamente y tienen densidades lineales de carga λ1 y λ2 , (λ1 > λ2). Están situados a una distancia d. Calcula: a. Fuerza por unidad de longitud con que se repelen los hilos b. Intensidad de campo eléctrico en un punto equidistante de ambos c. Fuerza total que actuaría sobre una esfera conductora de carga Q, uniformemente distribuida, de centro O y diámetro menor que d. 28. Se tiene un plano de grandes dimensiones cargado con una densidad de carga σ=2nC/m2 . a. Calcula el trabajo al desplazar una carga de -20 µC desde un punto A que dista 2cm. del plano a un punto B que se encuentra a 8 cm. e interpreta el resultado. b. ¿cuál es la separación entre dos superficies equipotenciales cuya diferencia de potencial es de 5V? Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 133 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 29. ¿Qué velocidad adquiere un electrón que parte del reposo al moverse bajo la acción de un campo eléctrico entre dos puntos cuya diferencia de potencial es de 2000 V? 30. Si se toma como origen de potenciales el suelo (tierra) ¿por qué se dice que V=0 para r=∞? 31. Una superficie gaussiana esférica rodea una carga puntual q. Describe qué sucede con el flujo total a través de dicha superficie si: a. La carga se triplica b. El radio de la esfera se duplica c. La superficie se cambia por un cubo d. La carga se cambia de posición dentro de la superficie 32. Cuando observamos un diagrama con las líneas equipotenciales de dos cargas positivas idénticas, vemos que algunas de esas líneas se cortan ¿cómo es posible? Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 134 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 CAMPO MAGNÉTICO 1. Si el trabajo de la fuerza magnética sobre una trayectoria cerrada es 0, ¿es ésta una fuerza conservativa? JG G 2. En una región del espacio coexisten un campo eléctrico E = 105 j N y un C JG G 4 campo magnético de inducción B = 0,6 k T . Si una partícula 2 α entra en esta región con una velocidad perpendicular a ambos campos. ¿Cuál será el módulo de la velocidad para que la partícula no sufra desviación?. Si se duplica la velocidad ¿se desvía la partícula? 3. Un electrón con Ec=1 eV penetra perpendicularmente en un campo magnético de inducción 10-4 T y sentido entrante hacia el papel. a. Determina el radio de la trayectoria que describe b. Indica el sentido de su movimiento Datos : me=9,1.10-28 g; qe=1,6.10-19 C; 1eV=1,6.10-19 J 4. Un protón se mueve en un campo magnético formando ángulo de 30º con el campo, su velocidad es de 107 m/s y la inducción magnética en la zona 1,5 T. Calcular: a. Radio de la hélice descrita b. Distancia que avanza por revolución c. Frecuencia de rotación en el campo. 5. Calcula la fuerza que se ejerce sobre un tramo de cable conductor de 140 m. de longitud, tendido horizontalmente entre dos torres y que transporta una intensidad de corriente de 200 A. La inducción magnética terrestre es de 5.105 T y forma con el cable un ángulo de 60º. 6. Un alumno está parado a una cierta distancia de una carga q, también en reposo, ¿detectará algún campo? ¿y si avanza hacia la carga? 7. Tres hilos de cobre están dispuestos sobre las aristas laterales de un prisma de base cuadrada de 20 cm. de lado. Si por dichos hilos circula una corriente de 20 A en los sentidos indicados en la figura, determina la inducción magnética sobre el 4º vértice. 8. Utilizando la ley de Ampere deduce la ley de Biot-Savart 9. Determina la inducción magnética en el interior y en el exterior de un conductor cilíndrico infinito de radio R recorrido por una corriente que circula por su superficie. 10. Explica cómo variará la inducción magnética en el interior de un solenoide largo y cilíndrico si a. Se duplica la corriente que circula por él. b. Se aprietan las espiras hasta reducir a la mitad su longitud. c. Se duplica el radio de las espiras sin modificar su número. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 135 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 11. ¿Pueden ser abiertas las líneas de inducción de un campo magnético? 12. Por dos conductores paralelos rectilíneos de 8 cm. de longitud situados a 2 cm. de distancia circulan corrientes de 2 A cada una en el mismo sentido. Calcula la fuerza con que se atraen mutuamente. 13. Por dos conductores rectilíneos paralelos y de gran longitud, separados una distancia de 20 cm. circulan corrientes de 2 A y 5 A en el mismo sentido. Calcular: a. Campo creado en el punto medio de la recta que une perpendicularmente ambos conductores. b. La fuerza por unidad de longitud con que se atraen. 14. Una carga eléctrica penetra en una región del espacio donde existe un campo JG magnético constante de inducción B entrante al papel. ¿Cuál es el signo de la carga si ésta entra desde la izquierda y se desvía hacia abajo? 15. Un e − tiene en el punto A una velocidad de 107 m/s. Calcula el módulo y el sentido del vector inducción magnética que obligaría al electrón a seguir una trayectoria semicircular hasta el punto B, distante 0,1 cm. de A. Datos: me=9.1·10-31 Kg. qe=1.6·10-19C. 16. Un protón acelerado desde el reposo por una diferencia de potencial de 4·106V entra en una región del espacio donde existe un campo magnético de inducción 0,5 T perpendicular a la dirección en la que se mueve el protón. Determina: a. Velocidad que adquiere el protón. b. Radio de su trayectoria c. Tiempo necesario para completar una órbita Datos : mp=1.7·10-27 Kg, qp=1.6·10-19C 17. Tres cables paralelos de gran longitud A, B y C están separados entre sí 10 cm. sobre el mismo plano. Por A y B circulan corrientes de igual sentido de 10 A y por C circula una corriente de 20 A en sentido contrario. Determina la línea del plano en la cual la inducción magnética generada por las tres corrientes es nula. 18. ¿Qué le ocurre a un muelle recorrido por una corriente eléctrica? 19. Se aceleran partículas α ( 42 He ) mediante una diferencia de potencial de 1 KV, penetrando a continuación en un campo magnético de inducción 0,2T perpendicular a la dirección del movimiento. Halla el radio de su trayectoria. Datos: mα=6,68·10-27Kg. qα=3,2·10-19C 20. Una carga eléctrica se mueve en un campo magnético constante en el tiempo, razona si aparece o no aceleración tangencial. 21. Sobre un electrón que se mueve con una velocidad de módulo 5·106 m/s actúa en dirección normal a su velocidad un campo magnético de inducción B=10T. En consecuencia el electrón describe una circunferencia. Determina: a. Fc debida al campo magnético que actúa sobre el electrón. b. Radio de la circunferencia descrita c. Tiempo empleado por el electrón en recorrerla. 22. Un conductor cilíndrico hueco de de rext=R2 y rint=R1 lleva una corriente uniforme I0. Aplica la ley de Ampere y determina la inducción magnética en las regiones: a. r<R1 b. R1<r<R2 c. r>R2 23. Dos carriles paralelos , separados una distancia de 10 cm. están situados en un plano inclinado que forma ángulo de 30º con la horizontal. Sobre los carriles hay Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 136 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 un hilo conductor perpendicular a ellos de 30 g. de masa. Perpendicular al plano horizontal hay un campo magnético B=2T. Determina el valor mínimo de la intensidad circulante por el conductor para que éste permanezca en equilibrio. 24. Una partícula portadora de carga eléctrica se desplaza horizontalmente con una velocidad de 1000 m/s, formando ángulo recto con campo magnético de JG inducción B =5·10-3T. Por acción del campo la partícula sigue en el mismo plano como si no le afectase la acción de la gravedad. ¿Cuál es la masa de la partícula si su carga es de 1,6·10-19C? Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 137 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA 1. ¿A qué se debe la aparición de pequeñas corrientes inducidas en aviones o satélites artificiales alrededor de la Tierra? 2. Halla la expresión de la diferencia de potencial entre los extremos de un conductor que se desplaza con velocidad paralela al campo magnético 3. Calcula la fem inducida en una bobina circular de 20 espiras y r=5cm. que se coloca en un campo magnético dirigido perpendicularmente al plano de la bobina para t=5s si el módulo de la inducción magnética varía con el tiempo de acuerdo con la expresión B=0,02t+0,08t2 donde [t]=s y [B]=T. 4. Una espira circular de 5cm. de radio está situada perpendicularmente a un campo magnético uniforme saliente del papel. Durante un intervalo de tiempo de 0,1s, el módulo del campo varía linealmente de 0,30 a 0,35T. Determina: a. fem inducida en la espira b. sentido de la corriente eléctrica 5. Una espira de radio R está situada en una región del espacio donde existe un campo magnético uniforme perpendicular a la espira, de inducción magnética B0, que disminuye, llega a anularse e invierte su sentido hasta llegar a valer finalmente –B0 en un tiempo t. ¿Cuánto valdrá la fem media inducida? 6. Una espira conductora de 200cm2 de superficie se encuentra en una región donde existe un campo magnético uniforme de inducción 0,18T y dirigido perpendicularmente al plano de la espira. Al cabo de 0,10s la espira ha girado 30º alrededor de un eje que pasa por uno de sus diámetros. Determina la fem inducida en la espira. 7. Explica qué le ocurriría a una varilla que se mueve sobre un conductor en forma de Ц constituyendo un circuito por el que circula una intensidad de corriente I, en un campo B, si la ley de Lenz diese a las corrientes inducidas un sentido opuesto al estudiado. 8. Una corriente continua de 5A en una bobina de 1000 vueltas da lugar a un flujo de 10-3Wb en el interior de la misma. Calcula: a. fem autoinducida en la bobina si la corriente se interrumpe en 0,1s b. Autoinductancia de la bobina 9. Se dispone de dos solenoides largos de igual longitud, distinto radio pero realizados con la misma longitud de cable eléctrico. ¿cuál de ellos tiene mayor inductancia? 10. Dos bobinas de 300 y 600 espiras respectivamente se colocan una al lado de otra. Por la primera bobina se hace circular una corriente de intensidad 3ª originando un flujo de 3·10-4Wb y en el caso de la segunda 2·10-4Wb. Determinar: a. Inductancia de la 1ª bobina b. Inductancia mutua de ambas c. fem inducida en la 2ª bobina cuando se interrumpe la corriente en la primera en 0,4s. 11. Dos bobinas adyacentes A y B tienen un coeficiente de inducción mutua de M=20mH. ¿Cuál es la fem en A cuando la corriente en B viene dada por IB=3+4t-t2? 12. Sean dos bobinas A y B de 400 y 900 espiras respectivamente. Una corriente de 3ª circulando por la bobina A crea un flujo de 2·10-4Wb en cada una de las espiras de B. Calcula: a. La inductancia mutua Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 138 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 b. fem inducida en B cuando la corriente que circula por A varía de 2 a 1 A en 0,1s. c. Flujo a través de A cuando por B circulan 2 A Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 139 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 MOVIMIENTO VIBRATORIO Y ONDULATORIO 1. Responde verdadero o falso y justifica la respuesta: a. Todos los movimientos periódicos son vibratorios b. Todos los movimientos oscilatorios son vibratorios c. Todos los movimientos vibratorios son periódicos 2. ¿Cuáles son las características básicas de un MAS? 3. ¿Es constante la fuerza que origina un MAS? 4. La ecuación de un oscilador armónico es x=2sen(6πt+π) (S.I.), calcula: a. Frecuencia angular b. Período c. Fase inicial d. Máxima distancia recorrida desde la posición de equilibrio e. Posición del oscilador para t=0 y t=5s. 5. El movimiento de un oscilador armónico viene expresado por la ecuación x=4senπt (S.I.) a. ¿Cuánto vale el período de este movimiento? b. Calcula las elongaciones para t=0, 0.5, 1, 1.5, y 2s c. Representa la gráfica elongación/tiempo 6. Comprueba que la velocidad del MAS es nula en los puntos de elongación máxima 7. Una partícula se desplaza con MAS su velocidad máxima es 0.2 m/s y su aceleración máxima 0.8 m/s2. Calcula frecuencia y período del movimiento. 8. ¿Pueden la Ep o la Ec ser cantidades negativas en el MAS? 9. Escribe las ecuaciones de Ep y Ec si la fase inicial del movimiento es θ. 10. Cuando la elongación es igual a la mitad de la amplitud ¿qué porcentaje de ET corresponde a Ep y a Ec? ¿Cuál debe ser el valor de x para que Ep=Ec? 11. ¿Es siempre un MAS el movimiento de un péndulo? ¿Qué condiciones debe cumplir? 12. Un pelotón de soldados marcha llevando el paso a lo largo de un camino. ¿Por qué se les ordena romper el paso cuando pasan por un puente? 13. ¿Por qué un MAS no tiene aceleración normal? ¿Por qué sin embargo si la tiene tangencial? 14. Un muelle vertical se alarga 1 cm. por cada 20 g. que se cuelgan de él. Calcula: a. Constante elástica del muelle b. Período del movimiento producido cuando se cuelga un cuerpo de 100 g. y se desplaza de la posición de equilibrio. 15. Un móvil está animado de un MAS de amplitud A=1m. y frecuencia angular ω=π rad/s. Determina: a. Período b. Frecuencia c. Ecuación del movimiento si se considera el origen de tiempos el instante en que el móvil pasa por la posición de equilibrio d. Ecuaciones de velocidad y aceleración e. Velocidad máxima 16. Un móvil animado de un MAS recorre un segmento de 4 cm. La frecuencia del movimiento es de 5 Hz y en el instante t=0 el móvil se encuentra en el punto de máxima elongación. a. Escribe la ecuación del movimiento b. Halla v para t=0 Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 140 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 c. Halla a para t=0 17. Una masa de 2 g oscila con υ=4 Hz. y una amplitud de 8 cm. Calcula Ep y Ec cuando x=1 cm. 18. El período de un péndulo simple es de 1 s. ¿Qué longitud tiene? 19. Si un péndulo que bate segundos se alarga 2 mm. ¿Cuántos segundos se retrasará en 1 día? 20. Un péndulo simple tiene un período de 1 s en un lugar en que g=9,80 m/s2. Si lo trasladamos a otro lugar en que g=9,83 m/s2, ¿con qué período oscilará? ¿cuánto adelantará? 21. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a. Las ondas mecánicas no pueden propagarse en el vacío b. Las ondas EM no pueden propagarse en un medio natural c. Un movimiento ondulatorio es la propagación de un movimiento vibratorio d. En una onda longitudinal, la dirección de vibración es normal a la dirección de propagación 22. Una ola del mar se propaga con una velocidad de 0,2 m/s. Halla la frecuencia del movimiento si la longitud de onda es de 8 cm. 23. Halla la longitud de onda de la voz de un bajo cuya frecuencia es de 61 vibraciones por segundo y la de una soprano que produce una nota de 2000 vibraciones por segundo. Dato vsonido=340 m/s. 24. La tensión de una cuerda es 4 veces mayor que en una segunda cuerda idéntica ¿cuál es la razón de las velocidades de onda de ambas cuerdas? 25. Cuando todas las cuerdas de una guitarra se estiran con la misma tensión, la velocidad de una onda que viaja sobre la cuerda más gruesa ¿será mayor o menor que sobre la cuerda delgada? 26. Calcula la distancia que debe separar dos puntos de una onda para que se encuentren : a. En fase → fase=2nπ rad b. En oposición de fase →fase=(2n+1)π rad 27. ¿Qué representa la función y(x,t) si se fijan la posición y el tiempo simultáneamente? 28. El sol posee una potencia aproximada de 2,8·1020 MW. ¿Qué intensidad luminosa recibimos sobre la superficie terrestre? Dato: RT-S=1,5·1011m. 29. Una onda formada en una cubeta pasa de una sección de menor profundidad a otra de mayor profundidad bajo un ángulo incidente de 45º y un ángulo de refracción de 60º. a. ¿Cuál es la relación de velocidades en las dos secciones? b. Si la velocidad de la onda es de 2,5·10-3 m en la sección profunda ¿cuánto vale en la sección menos profunda? 30. En ocasiones se dice que el rayo refractado se acerca o aleja de la normal ¿en qué circunstancias ocurre cada caso? 31. ¿Puede haber interferencias entre ondas longitudinales? 32. ¿Qué condiciones deben cumplirse para que se produzca una onda estacionaria? 33. ¿Se puede polarizar el sonido?¿Y una onda transversal en una cuerda? 34. ¿Cuándo se dice que una onda transversal está polarizada? 35. ¿Qué propiedades son necesarias para afirmar que un fenómeno tiene carácter ondulatorio? 36. Determina la velocidad de propagación del sonido en un líquido cuyo módulo volumétrico es 2,1·109 N/m2 y cuya densidad es 1000 Kg/m3. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 141 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 37. Una onda sonora plana penetra en el agua formando cierto ángulo con la normal. La onda refractada ¿se acercará o alejará de la normal? 38. ¿Se puede escuchar el sonido del motor de un transbordador espacial en el espacio, fuera de la atmósfera? 39. Una motocicleta presenta una intensidad sonora de 79 dB ¿cuál es la intensidad física de este sonido? 40. Un altavoz emite sonido con una potencia de 40 W. Calcula la intensidad sonora a 10 m. de distancia del altavoz, ¿a qué nivel de intensidad acústica corresponde? 41. Una sirena de una ambulancia en reposo tiene una frecuencia de 1000 Hz. Calcula la frecuencia que oirá el conductor de un automóvil que circula a 15 m/s. a. Cuando se aproxima a la sirena b. Cuando se aleja de la sirena 42. Calcula la velocidad de un tren y la frecuencia de su silbato si un observador percibe una frecuencia de 800 Hz cuando el tren se acerca a la estación y de 650 Hz cuando se aleja. 43. ¿Para qué frecuencias somos todos sordos? 44. ¿Cuántas personas deben gritar a razón de 50 dB para emitir un sonido de 70 dB? 45. ¿Por qué se considera un pulso un onda transversal? 46. Si sacudes periódicamente el extremo de una cuerda tensa dos veces por segundo, ¿cuál es el período de las ondas generadas en la cuerda? 47. Para cierta onda transversal se observa que la distancia entre 2 máximos sucesivos es de 1,2 m. También se observa que pasan ocho crestas por un punto dado a lo largo de la dirección de propagación cada 12s. Calcula la velocidad de propagación de la onda. 48. La masa por unidad de longitud de una cuerda de guitarra es de 3·10-3 Kg/m. Si la tensión de dicha cuerda es de 90 N ¿cuál es la velocidad de las ondas en la misma? 49. En el centro de una piscina circular de 5 m de radio se produce un movimiento ondulatorio en la superficie del agua, λ=0,5 m y tarda 10 s en llegar a la orilla. a. Halla período y frecuencia del movimiento b. Escribe la ecuación del movimiento si A=5 cm 50. Un punto situado a 3 m de distancia del foco vibrante tiene una elongación igual a la mitad de la amplitud en t=2T. Determina la longitud de onda del movimiento. 51. Cuando dos ondas interfieren ¿Puede la onda resultante tener más amplitud que cualquiera de las interfirientes? 52. Enuncia las condiciones de máxima y mínima amplitud en el fenómeno de interferencia. 53. Halla la velocidad del sonido en el Hidrógeno a 27ºC , siendo M=2g/mol , γ=1,4 54. Se desea establecer una zona de seguridad para una fuente sonora con una potencia de salida de 90 W. Determina la distancia máxima a la que se puede acercar una persona si el nivel de intensidad permitido es de 90 dB. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 142 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 ÓPTICA FÍSICA Y ÓPTICA GEOMÉTRICA 1. Explica en qué consiste el Principio de Huygens, base de la teoría ondulatoria de la luz. 2. ¿Qué es el espectro electromagnético? 3. Si consideramos que las ondas se producen al propagarse en el espacio un movimiento ondulatorio, ¿qué es lo que vibra realmente en una onda luminosa? 4. Tras la teoría electromagnética, que considera la luz como una onda transversal formada por los campos eléctrico y magnético aparece la teoría corpuscular o teoría de los fotones de Einstein, ¿a qué es debido? 5. Explica qué significa la dualidad de la naturaleza de la luz 6. Un foco emite ondas electromagnéticas de 1,5 MHz en un medio con índice de refracción n=1,2. Calcula la longitud de onda en el medio y en el aire. 7. Indica las diferencias fundamentales entre óptica geométrica y óptica física. 8. Indica experiencias que demuestren la propagación rectilínea de la luz y otras que demuestren la no rectilínea. 9. Explica por qué en una superficie de charol negra puedes ver tu imagen mientras que no la ves si la superficie es de terciopelo. 10. Indica verdadero o falso: a. El índice de refracción de un medio permite calcular la velocidad de la luz en dicho medio. b. El principio de Fermat permite explicar la propagación no rectilínea de la luz. c. El arroyo parece ser menos profundo de lo que es. 11. El índice de refracción de las sustancias generalmente disminuye al aumentar la longitud de onda ¿se desviará más la luz roja o la luz azul cuando los rayos inciden en el agua desde el aire? 12. Considera qué le sucede a un rayo del luz en el que el índice de refracción fluctúa con el tiempo. ¿Explica eso el centelleo de las estrellas? 13. ¿Por qué una lámina de caras plano-paralelas no cambia el color de la luz dispersa incidente en ella? 14. Explica en qué condiciones un rayo de luz monocromática: a. Se refracta con un ángulo de refracción menor que el de incidencia. b. Experimenta reflexión total. 15. Un espejismo se forma cuando el aire que está encima del suelo se enfría a medida que se incrementa la altura. ¿Por qué ocurre esto? 16. Explica las relaciones fundamentales entre los caminos recorridos por dos haces luminosos en el fenómeno de interferencia. 17. Explica por qué dos lámparas de mano no producen interferencia en una pantalla distante. 18. Indica las diferencias fundamentales entre la difracción de Fraunhoffer y la de Fresnel. 19. Una forma de observar un patrón de interferencia es ver una fuente luminosa a través de un pañuelo estirado. Explícalo. 20. Explica las diferencias entre los espectros de emisión y absorción. 21. Una superficie roja, iluminada con luz blanca ¿Qué color tiene?,¿y con luz amarilla?, ¿y con luz azul? 22. Define superficies blancas, negras y grises. 23. Un rayo de luz incide desde el vidrio (n=1,52) sobre una superficie de separación con el aire. Determina: Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 143 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 a. Ángulo de refracción si el de incidencia es de 30º. b. Ángulo límite c. ¿Habrá reflexión total para un ángulo i = 45º ? 24. Una lámina de vidrio de 2 mm. de espesor tiene un índice de refracción de 1,54 para una luz monocromática. ¿Cuánto tiempo tardará el rayo de luz en atravesarla? 25. Halla el intervalo de energías de los fotones del espectro visible que se extienden desde longitudes de onda en el vacío de 4·10-7m. (luz violeta) a 7·10-7m. (luz roja). Dato: h=6,63·10-34J·s. 26. En una rendija de 1 m. de ancho se observa la difracción del sonido y en cambio no se produce difracción de la luz ¿cuál es la razón de dicho comportamiento? 27. Averigua cuál es la longitud de onda en el cuarzo (n=1,458) de un haz que tiene λ=589 nm en el vacío. 28. Un horno solar se puede construir utilizando un espejo cóncavo para reflejar y enfocar la luz dentro del horno. Explica su diseño. 29. Explica las diferencias que existen entre un espejo plano y uno curvo. 30. A 25 cm. de un espejo cóncavo con distancia focal de 50 cm. se coloca un objeto de 1 cm. perpendicular al eje óptico. Determina: a. Posición y tamaño de la imagen b. Naturaleza de la imagen c. Radio de curvatura del espejo 31. Responde las siguientes cuestiones: a. Define dióptrio b. ¿Por qué vemos a un pez continuamente aumentar y disminuir su tamaño en una piscina esférica? c. ¿Dónde está el centro óptico de un dióptrio esférico? d. ¿Dónde está el centro óptico de un espejo esférico? 32. Un dióptrio esférico convexo separa dos medios de índices de refracción 1 y 1,5 y tiene radio 5 cm.. Determina la posición, tamaño y naturaleza de la imagen de un objeto de 1mm. a 20 cm. a la izquierda del dióptrio. Repetir el ejercicio considerando el dióptrio como cóncavo. 33. Un cofre de 80 cm. de largo se encuentra en el fondo del mar a 9 m. de profundidad. Halla: a. La profundidad aparente del cofre visto desde la superficie del mar (n=1,5 para el agua salada) b. La longitud de la imagen del cofre. 34. ¿Puede ser infinito el aumento de una lente delgada? 35. ¿Cuál es la altura mínima de un espejo para que una persona se vea en él de cuerpo entero? 36. Se utiliza un espejo esférico para formar una imagen invertida, cinco veces mayor que el objeto sobre una pantalla situada a 5 m. del objeto. a. Determina la posición del objeto anterior respecto al espejo y su radio de curvatura. ¿Qué tipo de espejo es? b. Utilizando el mismo espejo, ¿a qué distancia tendría que colocarse el objeto para que la imagen formada fuera virtual y de tamaño cinco veces mayor? 37. Calcula la potencia total de un sistema de 2 lentes delgadas que tienen respectivamente +3dp y -10dp. 38. Calcula la potencia de las lentes delgadas con radio de curvatura de 40mm. y fabricadas con vidrio de n=1,5. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 144 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 a. b. c. d. e. Biconvexa Bicóncava Plano-convexa Plano-cóncava Calcula la posición de la imagen producida por la primera lente de un objeto real situado en el eje principal a 20 cm. de la lente. 39. Un objeto de 2 cm. de altura está situado a 25 cm. de una lente convergente de distancia focal 20 cm. Calcula posición, naturaleza y tamaño de la imagen. 40. Dos lentes delgadas convergentes de distancias focales 10 cm. y 20 cm. están separadas 20 cm. Un objeto se coloca frente a la primera lente. Encuentra la posición de la imagen final y la amplificación del sistema. 41. Si delante de un espejo esférico podemos vernos en cualquier posición en que nos situemos, ¿de qué clase de espejo se trata?, ¿y si a cierta distancia la imagen desaparece? Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 145 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 FÍSICA MODERNA FÍSICA RELATIVISTA Y CUÁNTICA 1. Una pelota se mueve a una velocidad de 20 Km/h en el interior de un vagón de tren en movimiento. Aplica las transformaciones de Galileo y calcula la velocidad relativa a un S.R. estacionario para el cual el tren se mueve con velocidad v en el sentido de movimiento de la pelota. 2. Cuando vas en un ascensor que se mueve a velocidad constante ¿puedes saber mediante algún experimento mecánico si estás en movimiento? 3. De acuerdo con el principio de relatividad ¿es cierto que ningún experimento en un sistema cerrado puede distinguir entre el reposo y el movimiento con respecto a algún sistema de referencia? 4. Con la transformación de Galileo ¿cambia la energía potencial de la interacción gravitatoria entre dos partículas? 5. Una persona que se encuentra dentro de un vagón de tren en movimiento enciende un laser. Calcula la velocidad relativa a un S.R. estacionario para el cual el tren se mueve con velocidad v en el sentido del movimiento del laser. 6. Cuando se deja caer un objeto en el interior de un autobús se le ve caer en línea recta. Desde fuera, sin embargo, la trayectoria es parabólica. De acuerdo con la ley de la relatividad ¿no debería seguir la misma ley en ambos sistemas de referencia? 7. Un electrón recorre un segmento de microscopio electrónico de 0,1 m de longitud a 0,3c. ¿Cuál es la longitud de este segmento medido en el sistema en reposo del electrón? 8. Aplica las transformaciones de Lorentz en forma incremental para demostrar que: a. La simultaneidad no es un concepto absoluto b. Un reloj en movimiento parece funcionar más despacio que uno en reposo. 9. ¿Qué es la llamada cuarta dimensión? 10. La energía de una partícula en movimiento respecto a un SRI es el doble de la que posee en su propio sistema. ¿Cuál es la velocidad de la partícula? 11. Si la masa es una forma de energía, determina si: a. Un resorte comprimido tendrá más masa que cuando no está comprimido b. Un planeta que gira rápido alrededor de su eje tendrá más masa que el planeta en reposo 12. Calcula la longitud de onda irradiada por el cuerpo humano suponiendo que la temperatura corporal es de 37ºC. Utiliza la ley de desplazamiento de Wien e indica en qué zona del espectro electromagnético se encuentra. 13. Explica por qué algunos metales presentan emisión de electrones al ser irradiados con luz ultravioleta y no con otro tipo de radiación. 14. La frecuencia umbral de extracción de electrones por efecto fotoeléctrico de un metal es υ0=1,014·1015Hz. Si en el metal inciden fotones de 10 eV, calcula la Ec máxima de los electrones arrancados. 15. Un muón es una partícula subatómica de corta vida creada por los rayos cósmicos en la atmósfera superior a 10.000 m. de altura y viajan a 0,999c. En experimentos en reposo tienen una vida media de 2,2·10-6s: a. ¿Cuánto durarán en movimiento según un observador en la Tierra? b. ¿Llegará a la Tierra el muón medio? Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 146 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 16. Una nave espacial tiene una longitud propia de 200 m y se mueve a una velocidad de 0,77c respecto a la Tierra. ¿Cuál será su longitud en un SRI ligado a la Tierra? 17. Una partícula tiene una vida media en reposo de 5µs. Si se mueve a una velocidad de 0,95c respecto al laboratorio ¿cuál será su vida media respecto a este sistema? 18. Una nave espacial se aleja en línea recta de la Tierra a una velocidad constante de 0,9c. Si la nave tiene una longitud propia de 70 m: a. ¿Cuál será su longitud medida desde la tierra? b. Si los astronautas hacen guardias cada 8 horas medidas en la nave ¿cada cuánto tiempo medido desde la Tierra se relevan? c. La cabina de mandos está separada de la sala de máquinas por una distancia de 20 m. En ambas se produce un suceso que es simultáneo en el SR de la nave. ¿Son simultáneos en la Tierra? o 19. Una radiación de luz ultravioleta de 3500 A de longitud de onda incide sobre una superficie de potasio. Si el We de un electrón del potasio es de 2 eV, calcula: a. La energía por fotón de la radiación incidente b. La energía máxima de los electrones extraídos c. La velocidad máxima de esos electrones. Dato: me=9,11·10-31 Kg. 20. Sobre la superficie del potasio incide luz de 6·10-8 m de longitud de onda. Sabiendo que la longitud de onda umbral para el potasio es de 7,5·10-7 m. Calcula: a. We en K b. Ec max. de los electrones emitidos 21. Calcula la velocidad que ha de tener un electrón para que su longitud de onda de De Broglie sea 200 veces la de un neutrón de Ec=6 eV. ¿Podría considerarse a esta velocidad que el electrón no es relativista?. Datos: me=9,11·10-31 Kg., mn=1,66·10-27 Kg. 22. Determina la longitud de onda de De Broglie de: a. Un electrón con v=2·106 m/s b. Una partícula de polvo de 10 µg con velocidad v=10-3 m/s. Dato: me=9,11·10-31 Kg 23. Calcula la incertidumbre de una canica de 5 g de peso moviéndose a una velocidad de 5 m/s si la imprecisión de la velocidad es de 10-6. Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 147 FII. 2º BACH. APUNTES 10/11 FÍSICA MODERNA FÍSICA NUCLEAR 1. Una partícula α tiene Z=2 y N=2. Usando el criterio de estabilidad habitual, indica si será estable. 2. ¿Qué son los isómeros radiactivos? 3. Explica por qué pueden estar los protones en el núcleo sin repelerse 4. ¿Hay un límite para la estabilidad de los núcleos? 5. Explica el significado de los términos “nucleido padre” y “nucleido hijo” en las series radiactivas. 6. ¿Cómo se puede determinar la edad de las rocas uraníferas a partir de su contenido en plomo? 7. Si de una sustancia con semivida de 1 día se pudiesen aislar 3 átomos: a. ¿Cuántos quedarían al cabo de 1 día? b. ¿Es posible que al cabo de un mes queden 3? 8. ¿Cuál es el proyectil atómico más eficaz?¿Por qué? 9. ¿Qué reacción es más rentable, la de fusión o la de fisión?¿Por qué? 10. Define el concepto de isótopos y explica por qué la masa atómica de un elemento no suele ser un número entero. 11. La masa de los núcleos de los átomos no coincide exactamente con la suma de las masas de los nucleones constituyentes. ¿Por qué? 12. Indica si es cierta o falsa y razona la siguiente afirmación: “La emisión de una partícula β de los núcleos altera la naturaleza de los mismos” 13. ¿Qué energía se libera por un núcleo en una reacción nuclear en la que se produce un defecto de masa de 0,1 u? 14. El período de semidesintegración del potasio 210 es de 138 días y disponemos inicialmente de 2mg ¿qué tiempo deberá transcurrir para que queden 0,5mg? 15. Un núcleo radiactivo tiene una vida media de 1 s a. ¿Cuál es su constante de desintegración? b. Si en un instante dado una muestra de esta sustancia tiene una actividad de 11,1·107 desint/s, ¿cuál es el número medio de núclidos en ese instante? 16. El período de semidesintegración de un núcleo radiactivo es de 100s. Una muestra que inicialmente contenía 109 núcleos contiene en la actualidad 107. Calcula: a. Antigüedad de la muestra b. Vida media c. Actividad de la muestra dentro de 1000 s 17. Elige la opción correcta y razónala brevemente. La actividad de un elemento radiactivo pasa a valer 1/32 de su valor inicial cuando han transcurrido 45s. Su período de semidesintegración es: a. 45 s b. 1/9 s c. 9 s d. 32 s 18. Si inicialmente tenemos 1 mol de nucleidos de radio ¿cuántos átomos se habrán desintegrado en 1995 años? .Dato: T1/2=1840 años Colegio Marista Cristo Rey. Depto de Ciencias. Prof. Teodoro Rodríguez 148
